ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο) Απαντήσεις στην 1 η Σειρά ασκήσεων

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 8-9 Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο) Απαντήσεις στην 1 η Σειρά ασκήσεων 1. α) Υπολογίστε τον αριθµό των πλεγµατικών σηµείων που ανήκουν εξ ολοκλήρου στη µοναδιαία κυψελίδα του εδροκεντρωµένου κυβικού () συστήµατος. β) Υπολογίστε τον αριθµό των ατόµων πυριτίου που ανήκουν εξ ολοκλήρου στη µοναδιαία κυψελίδα του υλικού, και την συγκέντρωση ατόµων πυριτίου ανά κυβικό εκατοστό. γ) Υπολογίστε την πυκνότητα του πυριτίου. ίνονται: πλεγµατική σταθερά (Si) = 5.4, ατοµικό βάρος (Si) = 8.9 g/ml. : (α) Το εδροκεντρωµένο κυβικό σύστηµα () περιλαµβάνει: 8 πλεγµατικές θέσεις στις κορυφές του κύβου, κάθε µία από τις οποίες ανήκει κατά το 1/8 στη µοναδιαία κυψελίδα του, συνολικά 8x(1/8)=1 6 πλεγµατικές θέσεις στις στα κέντρα των εδρών του κύβου, κάθε µία από τις οποίες ανήκει κατά το 1/ στη µοναδιαία κυψελίδα του, συνολικά 6x(1/)= Συνολικά έχουµε 1+=4 πλεγµατικές θέσεις, που ανήκουν «εξ ολοκλήρου» στη µοναδιαία κυψελίδα του. (β) Το πυρίτιο έχει διατοµική βάση [ένα άτοµο στο (,,) και ένα άτοµο στο (¼. ¼, ¼)], άρα συνολικά έχουµε x4=8 άτοµα πυριτίου που ανήκουν «εξ ολοκλήρου» στη µοναδιαία κυψελίδα του. (γ) Από το ατοµικό βάρος του Si. και το γεγονός ότι ένα γραµµοάτοµο έχει 6.x1 άτοµα, υπολογίζουµε το βάρος του ενός ατόµου 6.x1 άτοµα Si ζυγίζουν 8.9 g τα 8 άτοµα Si ζυγίζουν X 8 X = 8.9g =.7 1 g 6. 1 Εποµένως, η πυκνότητα του πυριτίου υπολογίζεται λαµβάνοντας υπόψη µας ότι η πλεγµατική σταθερά (Si) = 5.4, ενώ έχουµε 8 άτοµα ανά (5.4x1-8 cm) =1.6x1 - cm, οπότε: m.7 1 g ρ. g Si ρ = = = V cm cm

2 Εc (V) Σχετικά µε τις Ασκήσεις και. Το σύνθετο ηµιαγώγιµο υλικό l x Ga 1-x s έχει κυβική κρυσταλλική δοµή θειούχου ψευδαργύρου και η δοµή των ενεργειακών του ζωνών σθένους και αγωγιµότητας, κατά µήκος των διευθύνσεων (Γ Χ) και (Γ ), περιγράφεται από το διπλανό σχήµα (Σχ.1α). Τα τοπικά ελάχιστα της ζώνης αγωγιµότητας είναι: ένα (1) στο σηµείο Γ (,, )π/a, έξι (6) σε σηµεία ισοδύναµα του Χ (.9,, )π/a, και οκτώ (8) σε σηµεία ισοδύναµα του (1, 1, 1)π/a, όπου a=5.65 Α ο (5.66 Α ο ) είναι η πλεγµατική σταθερά του Gas (ls), αντίστοιχα. Οι ενεργές µάζες ηλεκτρονίων του Gas είναι: m nγ =.7m, m n,l =.9m, m n,t =.m, m nx,l =.8m, m nx,t =.1m. Μεταβάλλοντας την περιεκτικότητα σε l (x), τα τοπικά ελάχιστα της ζώνης αγωγιµότητας, στα σηµεία, Γ, Χ,, του αντιστρόφου χώρου, αλλάζουν τιµή, (µε ενέργεια αναφοράς Ε V (k=) V (Γ)=), µε τον τρόπο που φαίνεται στο Σχ.1β, ενώ οι ενεργές µάζες παραµένουν, µε καλή προσέγγιση, αµετάβλητες.. α) Σε ποιά περιοχή περιεκτικοτήτων αλουµινίου (x) το υλικό l x Ga 1-x s είναι καταλληλότερο για οπτοηλεκτρονικές εφαρµογές και σε ποιά όχι, και γιατί; β) Υπολογίστε, (σε nm), το µήκος κύµατος της οπτικής ακτινοβολίας και (όπου χρειάζεται) το µήκος κύµατος των πλεγµατικών ταλαντώσεων, που πρέπει να συνδυαστούν για τη διέγερση ενός ηλεκτρονίου από τη ζώνη σθένους στη ζώνη αγωγιµότητας, για l x Ga 1-x s µε περιεκτικότητες x=, x.5, x.5, x=1. l x Ga 1-x s Γ Σχ. 1.α, X 1,8 Σχ. 1.β Γ 1,4,,4,8 Ποσοστό Αλουµινίου (x) (α) Το υλικό l x Ga 1-x s είναι καταλληλότερο για οπτοηλεκτρονικές εφαρµογές στις περιοχές περιεκτικότητας αλουµινίου για τις οποίες το ενεργειακό του χάσµα είναι άµεσου τύπου. Όπως βλέπουµε, από το Σχ. 1.α, αυτό συµβαίνει όταν το χαµηλότερο ελάχιστο της ζώνης αγωγιµότητας βρίσκεται στο σηµείο Γ του αντίστροφου χώρου, όπου ευρίσκεται και το µέγιστο της ζώνης αγωγιµότητας. Από το Σχ. 1.β, αυτό συµβαίνει για την περιοχή περιεκτικοτήτων l (<x<.5), ενώ, για την περιοχή (.5<x<1) το υλικό έχει έµµεσο ενεργειακό χάσµα και είναι ακατάλληλο για εφαρµογές οπτοηλεκτρονικής. Η παραπάνω ανάγκη προέρχεται από την απαίτηση διατήρησης της κρυσταλλικής ορµής κατά τις διεγέρσεις (αποδιεγέρσεις) ηλεκτρονίων-οπών, µέσω απορρόφησης (επανεκποµπής) ενός φωτονίου. Tα φωτόνια µεταφέρουν ορµή, π π 1 k phtn = = =.1, η οποία είναι ελάχιστη, συγκρινόµενη µε τη συνολική λphtn 5 π π 1 έκταση της ζώνης Billuin, kmax = = = 1.. a 5 Εποµένως, όταν έχουµε άµεσες µεταβάσεις, οπότε λαµβάνουν χώρα στο ίδιο σηµείο της ζώνης Billuin, δεν χρειάζεται η µεσολάβηση άλλου σωµατιδίου. Αντίστοιχα, όταν έχουµε έµµεσες µεταβάσεις, από k = σε k =.9k, τότε χρειάζεται η µεσολάβηση ενός φωνονίου µε κρυσταλλική ορµή k =.9kmax. Οπότε, µε βάση το σχήµα, έχουµε: X max

3 x g (V) λ phtn (µm) k λ phtn (µm) x= x x ( π a) x= ( π a) α) Υπολογίστε, για θερµοκρασία Τ=Κ, τις συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων της ζώνης αγωγιµότητας, που προέρχονται από τα τοπικά ελάχιστα Γ, Χ και, για x=.5, οπότε Ε,Γ = Ε,X = 1.85 V,, =. V. β) Υπολογίστε το πηλίκο (n X /n Γ ) και (n /n Γ ) των συγκεντρώσεων των ηλεκτρονίων στα τρία τοπικά ελάχιστα (Γ,, X), σε θερµοκρασία δωµατίου και για x=., οπότε Ε,Γ = 1.5 V, Ε,X = 1.8 V,, =1.7 V. γ) ιερευνήστε αν υπάρχει δυνατότητα εξίσωσης των πηλίκων του ερωτήµατος (β) µε τη µονάδα, σε κάποια πεπερασµένη θερµοκρασία, και, σε περίπτωση που αυτό είναι δυνατόν, προσδιορίστε αυτή την θερµοκρασία, κατά περίπτωση. Σύµφωνα µε την προσέγγιση της εκφώνησης: «Οι ενεργές µάζες ηλεκτρονίων του Gas είναι: m nγ =.7m, m n,l =.9m, m n,t =.m, m nx,l =.8m, m nx,t =.1m. Μεταβάλλοντας την περιεκτικότητα σε l (x), τα τοπικά ελάχιστα της ζώνης αγωγιµότητας, στα σηµεία, Γ, Χ,, του αντιστρόφου χώρου, αλλάζουν τιµή,..., ενώ οι ενεργές µάζες παραµένουν, µε καλή προσέγγιση, αµετάβλητες.». Επίσης, για τον υπολογισµό της συγκέντρωσης ηλεκτρονίων, χρειαζόµαστε την ενεργό µάζα πυκνότητας καταστάσεων ηλεκτρονίων, κατά περίπτωση: m, S = M ( mt ml ), η οποία χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό της πυκνότητας d (, + d) 1 ( m ) 1/ καταστάσεων: gn( ) = ( c,min), που, σε συνδυασµό µε d π ħ την κατανοµή mi, οδηγεί, στην περίπτωση µη-εκφυλισµένων ηµιαγωγών, στη, συγκέντρωση: m n s xp n, ff xp = = π, όπου η ενδογενής ħ στάθµη mi υπολογίζεται από την συνθήκη ουδετερότητας n= p, συναρτήσει των ενεργών µαζών πυκνότητας καταστάσεων. Για την ενεργό µάζα των οπών χρησιµοποιούµε τις τιµές mhh =.45m και mlh.8m m = m + m =.47m / / =, και παίρνουµε ( ) h, S hh lh Άρα, για τις συγκεντρώσεις στα τρία τοπικά ελάχιστα, πρέπει να υπολογιστούν οι ενεργές πυκνότητες καταστάσεων στη ζώνη σθένους και στα τρία τοπικά ελάχιστα της ζώνης αγωγιµότητας, (µε βάση τις αντίστοιχες ενεργές µάζες πυκνότητας καταστάσεων), καθώς και η στάθµη mi, η οποία, στην περίπτωση που ενεργοποιούνται περισσότερα του ενός τοπικά + m V h, S ελάχιστα, δεν θα έχει την απλή µορφή, = + ln, αλλά θα εξακολουθεί 4 m, S να προκύπτει από την συνθήκη ουδετερότητας, που στη συγκεκριµένη περίπτωση θα X V X V Γ X γράφεται: p= nγ + n + n =, Γ +, +,

4 V Γ X, Γ, X, = + + V V V Γ+ V X + V + V, Γ, X, = + + V V V Γ+ V X + V + V, Γ, X, = ln + + V V V Γ+ V X + V + V, Γ, X, = ln + + V V V Λαµβάνοντας υπόψη ότι, ειδικά στην περίπτωση x=.5, έχουµε Ε,Γ = Ε,X = 1.85 V,, =. V, παίρνουµε: Γ+ V + V, Γ, X, = ln + + V V V Γ, Γ+, X, = ln + V V Όπου έχουµε πάρει ως επίπεδο αναφοράς το V =. Αντικαθιστώντας τις τιµές από τον Πίνακα που ακολουθεί, υπολογίζουµε την = 918. V (µε επίπεδο αναφοράς, πάντοτε, την V = ), η οποία είναι κατά 5% χαµηλότερη της τιµής που υπολογίζεται (96.8 V), αν ληφθεί υπόψη µόνο το ελάχιστο στο Γ. Γ X X Γ X, Γ, X,, Γ, X, ( ) n = n + n + n = + + = + + ολ 1 mn, i , Kg V Kg Γ = = = = π 16 ħ π ( Vs ) Vs 4 Kg m m cm 19 ( ) = =.66 1 = = Js k-pint M m l m t m, S g, ff [ cm ] n [ cm ] Γ X Παρατηρούµε ότι παρά την ενίσχυση των ενεργών πυκνοτήτων καταστάσεων στα σηµεία Χ και, αυτό που τελικά επικρατεί είναι η διεύρυνση του ενεργειακού χάσµατος και η εξ αυτής µείωση της πιθανότητας διέγερσης, µε αποτέλεσµα την µείωση της συγκέντρωσης φορέων πολύ κάτω του τυπικού cm - του διµερούς Gas.

5 4. ίδονται τα παρακάτω ηµιαγώγιµα υλικά µε τις αντίστοιχες παραµέτρους (πλεγµατική σταθερά, σχετική διηλεκτρική σταθερά, ενεργές µάζες ηλεκτρονίων-οπών). Ηµιαγ. Πλεγµατική Σταθερά / Σχετική ιηλ/κή Ενεργός Μάζα Ενεργός µάζα Απόσταση πλησ. γειτ. Σταθερά ηλεκτρονίων ( / ) οπών ( lh / hh ) G 5,66 /,44 16,8 / 1,6,4 /, Si 5,4 /,5 1,19 /,91,15 /,54 Gas 5,65 /,45 1,9, / 1,98,7 /,5 ZnS 6,67 /,45 5,9,16,15 /,8 α) Περιγράψτε, µε βάση το ηµικλασικό µοντέλο του Bh για ένα µονοηλεκτρονιακό άτοµο, τον τρόπο υπολογισµού των ενεργειακών σταθµών δοτών και αποδεκτών σε καθένα από αυτά τα υλικά. Για ποιά από αυτά τα υλικά, ο υπολογισµός είναι περισσότερο αξιόπιστος και για ποιά λιγότερο; β) Εκτιµήστε, για τον ηµιαγωγό που κατά τη γνώµη σας είναι πιό αξιόπιστος ο προηγούµενος υπολογισµός, την κρίσιµη πυκνότητα της συγκέντρωσης δοτών και αποδεκτών (ανεξάρτητα η µία από την άλλη), πάνω από τις οποίες οι διάκριτες στάθµες των προσµείξεων µετατρέπονται σε ζώνες λόγω της αλληλεπικάλυψης των κυµατοσυναρτήσεων των ηλεκτρονίων (ή, ανεξάρτητα, των οπών) γειτονικών ουδετέρων ατόµων της πρόσµιξης. (α) Με βάση το ηµικλασικό µοντέλο του Bh, η ακτίνα του (πρώτου) τροχιακού της m 4πε ħ m m θεµελιώδους κατάστασης δίνεται από τη n = ε n = ε a = ε (.5 ), m m m m ε οπότε, η ακτίνα του Bh είναι ανάλογη του πηλίκου. Το υλικό που παρουσιάζει το µεγαλύτερο πηλίκο είναι πλησιέστερα στην προσέγγιση του υδρογονοειδούς ατόµου του Bh, αφού, τότε, το ηλεκτρόνιο της πρόσµειξης, στη θεµελιώδη του δέσµια κατάσταση, ως έχων τη µεγαλύτερη συγκριτικά ακτίνα του Bh, «αντιλαµβάνεται» το υλικό, που το φιλοξενεί, ως συνεχές διηλεκτρικό υλικό που θωρακίζει το δυναµικό ulmb του µητρικού του πυρήνα, µε την σχετική διηλεκτρική του σταθερά, (σε συνέπεια µε την αρχική υπόθιεση εργασίας). Αντίστοιχα, η θεµελιώδης ενεργειακή κατάσταση της δέσµιας πρόσµειξης δίνεται (για n=1), από τη σχέση m 1 m 1 m 1 1.6V m 1 n = = = ε (4 πε ħ) n (4 πε ħ) n m ε n m ε Και για τις δύο σχέσεις, πρέπει να υπολογισθεί µία ισοδύναµη ενεργός µάζα, µε βάση τις δεδοµένες τιµές για την εγκάρσια και τη διαµήκη ενεργό µάζα. Επειδή µας απασχολεί η δυναµική του ηλεκτρονίου, θα χρησιµοποιήσουµε ως ισοδύναµη ενεργό µάζα των µέσο όρο mt + ml mhh + mlh των ενεργών µαζών, ως εξής mn =, και αντίστοιχα mh =. Η διαφοροποίηση των συντελεστών βάρους στους παραπάνω µέσους όρους, οφείλεται στις διαφορετικές πολλαπλότητες, σε κάθε κλάδο. Έτσι, διαµορφώνουµε αντίστοιχα τον Πίνακα των δεδοµένων που µας έχει δοθεί και παίρνουµε: m

6 Ηµιαγ. Πλεγµατική Σταθερά /Απόσταση πλησ. γειτ. Σχετική ιηλ/κή Σταθερά Ενεργός Μάζα ηλεκτρονίων ( / ) m ε m Ενεργός µάζα οπών (lh / hh) m h ε m h G 5,66 /,44 16,8 / 1, ,4 /, Si 5,4 /,5 1,19 /, ,15 /, Gas 5,65 /,45 1,9, / 1, ,7 /, ZnS 6,67 /,45 5,9, ,15 /, Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα του παραπάνω Πίνακα, για µεν τις προσµείξεις τύπου ότες, το πλέον αξιόπιστο υλικό, ως προς την ανωτέρω προσέγγιση, είναι το ZnS, ενώ για τις προσµείξεις τύπου Αποδέκτες, το πλέον αξιόπιστο υλικό είναι το G. (β) Ο υπολογισµός της κρίσιµης πυκνότητας, πάνω από την οποία οι διάκριτες στάθµες των προσµείξεων µετατρέπονται σε ζώνες λόγω της αλληλεπικάλυψης των κυµατοσυναρτήσεων των ηλεκτρονίων (ή, ανεξάρτητα, των οπών) γειτονικών ουδετέρων ατόµων της πρόσµιξης, γίνεται µε βάση το επιχείρηµα ότι δεν πρέπει να υπάρχουν, στην θεµελιώδη δέσµια κατάσταση της πρόσµειξης, αλληλεπικαλύψεις των τροχιακών την ηλεκτρονίων γειτονικών προσµείξεων. Εποµένως, η κρίσιµη πυκνότητα είναι ίση µε µία πρόσµείξη ανά µία «σφαίρα του Bh». Άρα: Για το ZnS: 8 Bh = = = cm Για το G: 4 V = π =.6 1 cm ρ = ( V ) 1 σϕαιρα =.8 1 cm 19 Bh, σϕαιρα Bh citical Bh, 8 Bh = = 47.6 = cm 4 V = π = cm ρ = ( V ) 1 σϕαιρα =. 1 cm 18 Bh, σϕαιρα Bh citical Bh, Παρατηρούµε, δηλαδή, ότι οι προσµείξεις παραµένουν, για αρκετά υψηλές συγκεντρώσεις, cm -, «εντοπισµένες», µε τις αντίστοιχες ενδοχασµατικές ενεργειακές καταστάσεις να είναι διάκριτες (όχι, ενεργειακές ζώνες).

7 5. Ενας ηµιαγωγός µε κυβική δοµή αδάµαντα και έµµεσο ενεργειακό χάσµα, έχει το µέγιστο της ζώνης σθένους στο κέντρο της ζώνης Billuin, (όπου θεωρούµε ότι V (k=)=), και χαρακτηρίζεται από τα εξής µεγέθη: i) στο κέντρο της ζώνης Billuin, (k=)= =. V, ii) κοντά σε ένα από τα έξι ισοδύναµα ελάχιστα της ζώνης αγωγιµότητας, ισχύει : 1 ( kx, k y, kz ) = cs a( kx 9.8 nm ) B cs( bk y ) + cs( bkz ) όπου Α=.5 V, B=. V, a=1.1ħ /(m ) ½, b=.ħ /(m B) ½, και m η µάζα του ελεύθερου ηλεκτρονίου. α) Προσδιορίστε το σηµείο του αντίστροφου χώρου, (k x, k y, k z ) όπου η ζώνη αγωγιµότητας παρουσιάζει ελάχιστο, επιβεβαιώστε ότι το υλικό έχει έµµεσο ενεργειακό χάσµα και υπολογίστε την τιµή του g. β) Ποιά είναι, κατά τη γνώµη σας, τα άλλα πέντε (5) σηµεία του αντίστροφου χώρου, όπου η ζώνη αγωγιµότητας παρουσιάζει ισοδύναµα ελάχιστα. ώστε τις συντεταγµένες τους, και εξηγείστε µε επιχειρήµατα συµµετρίας. γ) Αναπτύξτε σε σειρά Tayl, ως προς k x, k y, k z, την ενέργεια της ζώνης αγωγιµότητaς, κοντά σε ένα από τα ισοδύναµα σηµεία του αντίστροφου χώρου όπου παρουσιάζει ελάχιστο, [Υπενθύµιση: cs(θ) 1-θ /, για µικρές τιµές του θ], και υπολογίστε την εγκάρσια και τη διαµήκη ενεργό µάζα του ηλεκτρονίου σε αυτές τις περιοχές της ζώνης Billuin. k και x k y 1 [ ( 9.8 )] 1 a k nm = k = 9.8 nm = asin x x k k k y x k x = a > x ελάχιστο ( bk ) = k = = bbsin y y Όµοια, στο k = k = z, έχουµε ελάχιστο. (β) Άρα το z k x, και = b Bcs( bk ) = b B> y ελάχιστο k y k y, min λαµβάνει χώρα στα εξής έξι (6) ισοδύναµα (λόγω κυβικής συµµετρίας) ± nm, και επειδή το V, max παρατηρείται στο k = (,, ), το υλικό έχει έµµεσο ενεργειακό χάσµα.. Η τιµή του ελαχίστου υπολογίζεται σε ένα από τα 6 ισοδύναµα σηµεία και βρίσκεται η τιµή του ενεργειακού χάσµατος g = + B =..5+. V σηµεία, ( ± 9.8 nm,, ), (, ± 9.8 nm, ), (,, 9.8 ) ( ) [ ( )] V = (γ) Αναπτύσσοντας κατά Tayl στην περιοχή του ελαχίστου, έχουµε: 1 ( k 9.8 nm ) a b k x y b kz = 1 B ħ ħ = = a m =. Όµοια m,, m ħ k ħ a T = Bb, x Οπότε: m.86m, =, και m.189m, T =

8 6. Κρύσταλλος πυριτίου ( g = 1.17 V = 117 mv ) νοθεύεται µε προσµίξεις αρσενικού, ( = 4 mv ), σε συγκέντρωση 1 16 (άτοµα s)/cm. Να υπολογιστεί η στάθµη mi σε θερµοκρασίες, α) δωµατίου (Κ), β) υγρού αζώτου (77Κ), γ) υγρού ηλίου (4Κ), µε βάση τη συνθήκη ουδετερότητας, στη µη-προσεγγιστική της έκφραση. (Υπόδειξη: Σχεδιάστε, µε τη βοήθεια υπολογιστή, συναρτήσει της µεταβλητής Ε, την συνάρτηση συνολικού φορτίου + Q= p+ n, και προσδιορίστε την τιµή της µεταβλητής για την οποία η συνάρτηση φορτίου Q µηδενίζεται). δ) Να υπολογιστούν τα ποσοστά ιονισµού των προσµείξεων, σε κάθε περίπτωση. ε) Να σχολιασθεί η συνέπεια των απαντήσεων στα ερωτήµατα α-δ, αν αυτά προέκυπταν µε βάση την σχέση που προϋποθέτει τον ολικό ιονισµό. (α γ) Η απαίτηση ουδετερότητας του συστήµατος «Ηµιαγωγός-προσµείξεις-φορείς» + _ ισοδυναµεί µε την σχέση Q ( ) = ( p( ) + ( ) n( ) ( )) =, της οποίας + _ ρίζα είναι η ζητούµενη στάθµη mi. Στην παράσταση αυτή τα p,, n, είναι µηγραµµικές συναρτήσεις του και του, Στη συγκεκριµένη περίπτωση, µάλιστα λείπει εντελώς ο όρος των αποδεκτών ( = = ) Η ρίζα της παράστασης µπορεί να προσδιοριστεί γραφικά, όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα, όπου έχει χαραχτεί, ως συνάρτηση του x, η παράσταση Q=11^16/(1+xp(-(117-4-x)/))+11^19xp(-(x)/)-.41^19xp(-(117-x)/)., ,+16 Q ολικό (),+ -1,+16 T = K, = mv T = 77 K, = mv T = 4 K, = mv -, (mv) Στον προηγούµενο τρόπο γραφής έχει ληφθεί ως επίπεδο µηδενικής ενέργειας το µέγιστο της στάθµης σθένους ( V ), ενώ ο όρος παίρνει τις τιµές 6 mv, (77/)6=6.7 mv, και (4/)6=.5 mv, για τις θερµοκρασίες Κ, 77Κ, και 4Κ, αντίστοιχα.

9 Τα σηµεία µηδενισµού του ολικού φορτίου (ρίζες της παράστασης) δίνουν τις τιµές των αντιστοίχων επιπέδων mi. T=K = mv T=77K = mv T=4K = mv ενώ η οριακή τιµή είναι = 115 mv [ ] + T = (βλ. Ασκ. 8 παρακάτω). (δ) Στην προσέγγιση του ολικού ιονισµού και του εξωγενούς χαρακτήρα του + συστήµατος ( n ), η στάθµη mi υπολογίζεται από τη σχέση = ln, σύµφωνα µε την οποία παίρνουµε, αντίστοιχα T=K 96.6 mv (έναντι του ακριβούς: mv) (διαφορά:.4%) T=77K mv (έναντι του ακριβούς: mv) (διαφορά: 1.1%) T=4K mv (έναντι του ακριβούς: mv) (διαφορά: 1.9%) (ε) Παρ ότι οι διαφορές, από τις ακριβείς τιµές της στάθµης mi, δεν φαίνεται να ξεπερνούν το %, εντούτοις, υπάρχει αυξανόµενη ασυνέπεια (στις χαµηλές θερµοκρασίες) ανάµεσα στην προσέγγιση του ολικού ιονισµού και στο αντίστοιχα + υπολογιζόµενο ποσοστό ιονισµού =, µε βάση την 1+ xp προσεγγιστική τιµή της.

10 7. α) Υπολογίστε το επίπεδο mi, σε θερµοκρασία δωµατίου, για τρία δείγµατα πυριτίου (Si) εµπλουτισµένα µε προσµίξεις γαλλίου (Ga) µε συγκεντρώσεις 1 14 άτοµα/cm, 1 16 άτοµα/cm, 1 18 άτοµα/cm, αντίστοιχα, υποθέτοντας πλήρη ιονισµό των προσµείξεων. β) Χρησιµοποιείστε τις τιµές που υπολογίσατε στο προηγούµενο ερώτηµα για το επίπεδο mi του καθενός δείγµατος και ελέγξτε κατά πόσο η υπόθεση του ολικού ιονισµού ευσταθεί, κατά περίπτωση. (α β) Οι προσµείξεις είναι τύπου «αποδέκτες» και, στην προσέγγιση του ολικού ιονισµού, µε δεδοµένο ότι οι ενδογενείς συγκεντρώσεις σε θερµοκρασία δωµατίου, στο Si, είναι της 1 τάξης του 1 cm, καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι οι φορείς πλειονότητας προέρχονται µε πολύ καλή προσέγγιση από τους ιονισµένους αποδέκτες, (που είναι από 4 µέχρι 8 τάξεις µεγέθους πολυπληθέστεροι των ενδογενών), δηλαδή, pp =, οπότε η στάθµη mi υπολογίζεται από τη σχέση = + ln p = + ln[ ] όπου V V V p V V, 19 = 1 1 cm. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στο Πίνακα που ακολουθεί, όπου έχει ληφθεί ως επίπεδο αναφοράς των ενεργειών η στάθµη σθένους, V =, Στον ίδιο Πίνακα φαίνονται και τα ποσοστά ιονισµού, όπως προκύπτουν από τη σχέση = = = 1 1+ xp 1 xp + στην οποία υποθέτουµε µία τυπική στάθµη αποδεκτών V 7 mv, όπως προκύπτει από σχετικούς πίνακες και σχήµατα από το Απόσπασµα Σηµειώσεων. / Ολικός Ιονισµός ,97% Ισχύει πολύ καλά ,71% Ισχύει σχετικά καλά % εν ισχύει

11 8. Θεωρείστε γνωστό ότι σε έναν ηµιαγωγό µε συγκέντρωση προσµίξεων τύπου n ίση µε N d, η συγκέντρωση ιονισµένων δοτών, (σε χαµηλές θερµοκρασίες, όπου k B T<< Ε - d ), δίδεται Nd από τη σχέση N + d, όπου Ε το επίπεδο mi και d η στάθµη ενέργειας ( d ) xp kbt δοτών, µε αναφορά την ανώτατη ενέργεια της στάθµης σθένους. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή µε το γεγονός ότι, στην ίδια περιοχή χαµηλών θερµοκρασιών, n i <<N + d /, να υπολογίσετε : (α) τη συγκέντρωση ηλεκτρονίων (n), και (β) το επίπεδο mi ( ), συναρτήσει της θερµοκρασίας και των N c, N d, c, d. (γ) Σε ποιά τιµή τείνει, για την παραπάνω περίπτωση, το επίπεδο mi, στο όριο Τ ; Λύση Σύµφωνα µε την προσέγγιση της εκφώνησης του προβλήµατος (1) Η συνθήκη ουδετερότητας του συστήµατος, σε συνδυασµό µε το νόµο δράσης των µαζών δίνει: + p+ n= + n + = = n i n n ni p= ni / n n µε φυσικώς αποδεκτή λύση την n + + = + + 4n i = + + n + Επειδή, στην περιοχή χαµηλών θερµοκρασιών, ισχύει n << i, η προηγούµενη σχέση δίνει n, οπότε από (1): n= () αλλά γενικά ισχύει n= () Πολλαπλασιάζοντας τις () και () : 1 n = n= (β) Για τον υπολογισµό της ισχύουσα), σχέση (), εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη και λύνοντας ως προς + = + ln συνδυάζουµε την τελευταία (προσεγγιστική) µε την, (γενικώς + (γ) Στο όριο T παίρνουµε ( T ). Γενικά, όµως, επειδή <, η στάθµη mi είναι χαµηλότερη από το όριο + αλλά, (στις περισσότερες των περιπτώσεων), και από την ενεργειακή στάθµη των δοτών. : i