ΧΩΡΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ SPATIAL ECONOMETRIC MODELS FOR VALUATION OF THE PROPERTY PRICES

Transcript

1 1 ο Συνέδριο Χωρικής Ανάλυσης: Πρακτικά, Αθήνα, 013, Σ. Καλογήρου (Επ.) ISBN: ΧΩΡΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ Μαριάνθη Στάμου 1*, Άγγελος Μιμής και Αναστάσιος Καραγάνης 3 1 Υποψηφία Διδάκτορας, Πάντειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Οικονομικής και Περιφερειακής Ανάπτυξης, Λεωφ. Συγγρού 136, Αθήνα 17671, Τηλ , marianthi.stamou@panteion.gr Λέκτορας, Πάντειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Οικονομικής και Περιφερειακής Ανάπτυξης, Λεωφ. Συγγρού 136, Αθήνα Επίκουρος Καθηγητής, Πάντειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Οικονομικής και Περιφερειακής Ανάπτυξης, Λεωφ. Συγγρού 136, Αθήνα Περίληψη Το άρθρο εξετάζει την επίδοση τριών χωρικών υποδειγμάτων, του υποδείγματος χωρικού σφάλματος, του χωρικού αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος και του χωρικού υποδείγματος Durbin στην εκτίμηση των τιμών των ακίνητων. O παράγων χώρος ενσωματώνεται στα υποδείγματα μέσω της μήτρας W, με δύο εναλλακτικούς τρόπους, που βασίζονται στην απόσταση και την γειτνίαση. Για κάθε χωρική εξειδίκευση συγκρίνεται ο συντελεστής προσδιορισμού, η διακύμανση των καταλοίπων και το κριτήριο πληροφοριών Akaike. Σε δεύτερο στάδιο γίνεται έλεγχος για την ύπαρξη χωρικής εξάρτησης με τον συντελεστή χωρικής αυτοσυσχέτισης του Moran και τα ασυμπτωτικά κριτήρια Wald, λόγου πιθανοφάνειας και πολλαπλασιαστή Lagrange. Τα αποτελέσματα της εφαρμογής έδειξαν ότι το χωρικό υπόδειγμα Durbin αποτελεί το καταλληλότερο υπόδειγμα για την περιγραφή των παραγόντων που διαμορφώνουν τις τιμές των κατοικιών στην Αθήνα και για την μοντελοποίηση των χωρικών επιδράσεων. Λέξεις Κλειδιά: Χωρική Οικονομετρία, Χωρικές Επιδράσεις, Αγορά Ακινήτων SPATIAL ECONOMETRIC MODELS FOR VALUATION OF THE PROPERTY PRICES Marianthi Stamou 1,*, Angelos Mimis and Anastasios Karaganis 3 1 PhD candidate, Department of Economic and Regional Development, Panteion University of Social and Political Sciences, 136 Sygrou Av, Athens 17671, Tel , marianthi.stamou@panteion.gr Lecturer, Department of Economic and Regional Development, Panteion University of Social and Political Sciences, 136 Sygrou Av, Athens Assistant Professor, Department of Economic and Regional Development, Panteion University of Social and Political Sciences, 136 Sygrou Av, Athens Abstract Three spatial econometric models, the spatial autoregressive model, the spatial error model and the spatial Durbin model are used, to explore the variation of property prices in space. For that, different definitions of the weight matrix are used and the predictions are compared by the model fit, the Akaike information criterion and variance of the residuals criteria. Our approach uses the Moran's I statistic and the asymptotic tests Wald, Likelihood Ratio and Lagrange Multiplier to investigate whether the spatial dependence of the data has been captured by the models. The results indicate that the spatial Durbin model is a better model to capture the spatial autocorrelation and influencing factors of housing prices in Athens. Keywords: spatial econometrics, spatial dependence, house prices

2 1 ο Συνέδριο Χωρικής Ανάλυσης: Πρακτικά, Αθήνα, 013, Σ. Καλογήρου (Επ.) ISBN: Εισαγωγή Το κύριο μεθοδολογικό ζήτημα στην ανάλυση της αγοράς ακινήτων είναι η ύπαρξη των χωρικών επιδράσεων, της χωρικής εξάρτησης και της χωρικής ετερογένειας στα προς ανάλυση στοιχειά (Can, 199, 1990). Η χωρική εξάρτηση συνίσταται στην ύπαρξη συναρτησιακής σχέσης μεταξύ μιας μεταβλητής σε ένα σημείο και στα υπόλοιπα σημεία στο χώρο, ενώ η χωρική ετερογένεια συνίσταται στην διαφορετική συμπεριφορά μιας μεταβλητής στα διαφορετικά σημεία του χώρου (Anselin, 1988). Οι χωρικές επιδράσεις στην παλινδρόμηση μελετώνται ως χωρική αυτοσυσχέτιση (η χωρική εξάρτηση) και ως χωρική ετεροσκεδαστικότητα (η ετερογένεια) κατά αναλογία με την κλασική οικονομετρία. Οι χωρικές επιδράσεις δεν μπορούν να αντιμετωπιστούν με τα μέσα και τις τεχνικές της κλασσικής οικονομετρίας. Σύμφωνα με τον Anselin (1999), η χωρική ετερογένεια είναι η δομική αστάθεια στο υπόδειγμα εξ αιτίας των μη σταθερών διακυμάνσεων των όρων σφάλματος (ετεροσκεδαστικότητα) ή των συντελεστών των υποδειγμάτων που προκαλείται από τον τρόπο με τον οποίο λαμβάνεται υπόψη ο παράγων χώρος, δηλαδή ο τρόπος κατασκευής της μήτρας χωρικών σταθμίσεων. Ο λόγος που προκαλεί την αστάθεια είναι η χωρική δηλαδή η γεωγραφική «δομή», με την έννοια ότι η θέση των παρατηρήσεων είναι κρίσιμος παράγοντας στην εκτίμηση των παραμέτρων των υποδειγμάτων. Στα διαστρωματικά στοιχεία η χωρική αυτοσυσχέτιση και η χωρική ετερογένεια μπορεί να είναι παρατηρησιακά ισοδύναμες (Anselin, 1999). Παραδείγματος χάριν, μία ομάδα γειτονικών χωρικών παρατηρήσεων (π.χ. γειτονικά ακίνητα δηλαδή ακίνητα που ανήκουν στην ίδια υποαγορά) με μεγάλες τιμές μπορεί να ερμηνευτεί είτε ως χωρική ετερογένεια (δηλαδή ετεροσκεδαστικότητα κατά ομάδες) είτε ως χωρική αυτοσυσχέτιση (δηλαδή η τιμή της μεταβλητής σε ένα σημείο της περιοχής μελέτης εξαρτάται από την τιμή σε γειτονικό σημείο, με άλλα λόγια υπάρχει στοχαστική συσχέτιση). Αυτό προϋποθέτει ότι και οι δυο όψεις του προβλήματος (ετεροσκεδαστικότητα και αυτοσυσχέτιση) πρέπει να είναι εξειδικευμένες με τέτοιο τρόπο ώστε να επιτυγχάνεται η ταυτοποίηση των παραμέτρων του μοντέλου, και ότι η μια όψη δεν μπορεί ποτέ να εκτιμηθεί ξέχωρα από την άλλη. Γίνεται λοιπόν κατανοητή η αναγκαιότητα ενσωμάτωσης των χωρικών επιδράσεων στα υποδείγματα των κλασσικών οικονομετρικών μεθόδων. Αυτό επιτυγχάνεται με την ποσοτικοποίηση του παράγοντα χώρου μέσω της μήτρας χωρικών σταθμίσεων και στην συνέχεια με την ενσωμάτωση της στις οικονομετρικές εξισώσεις ή με τον καθορισμό υποαγορών και εφαρμογή των ηδονικών εξισώσεων σε αυτές. Προκειμένου να ληφθεί υπόψη η χωρική διάσταση στην αγορά ακινήτων στο παρόν άρθρο γίνεται χρήση των μεθόδων της χωρικής οικονομετρίας. Με τον τρόπο αυτό βελτιώνονται ποιοτικά οι εκτιμήσεις, μέσω της μείωση των τυπικών σφαλμάτων και παρέχεται η δυνατότητα ενσωμάτωσης μεγάλου αριθμού παρατηρήσεων στα υποδείγματα, αλλά κυρίως εξειδικεύεται η επίδραση του παράγοντα χώρου στην τιμή του ακινήτου. Η ταξινόμηση των υποδειγμάτων της χωρικής οικονομετρίας είναι ανάλογη με την ταξινόμηση των κλασικών οικονομετρικών υποδειγμάτων. Στην πρώτη κατηγόρια ανήκουν τα υποδείγματα μιας εξίσωσης, στην δεύτερη κατηγορία τα συστήματα ταυτόχρονων αλλά φαινομενικά μη συσχετιζόμενων εξισώσεων και τέλος στην τρίτη κατηγορία ανήκουν τα συστήματα εξισώσεων. Στην παρούσα εργασία, για την αντιμετώπιση της χωρικής εξάρτησης χρησιμοποιήθηκαν τα υποδείγματα μιας εξίσωσης. Συγκεκριμένα εξετάζονται το χωρικό αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα (Spatial Autoregressive Model - SAR), το μοντέλο χωρικού σφάλματος (Spatial Error Model - SEM) και το χωρικό υπόδειγμα Durbin (Spatial Durbin Model - SDM).. Χωρικά Οικονομετρικά Υποδείγματα To υπόδειγμα SAR θα μπορούσε να περιγραφεί ως μια επέκταση της κλασσικής γραμμικής παλινδρόμησης, σύμφωνα με την οποία η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής y αποτελεί συνάρτηση όχι μόνο των ανεξάρτητων μεταβλητών X, αλλά και των γειτονικών τιμών της y. Σύμφωνα με τον Αnselin (1988), η συνάρτηση του υποδείγματος περιγράφεται από την σχέση: : y Wy X (1) ~ N(0, I n ) όπου y η εξαρτημένη μεταβλητή, ρ ο συντελεστής χωρικής υστέρησης, W η μήτρα χωρικών σταθμίσεων, X το διάνυσμα των ανεξάρτητων μεταβλητών, β το διάνυσμα των άγνωστων

3 1 ο Συνέδριο Χωρικής Ανάλυσης: Πρακτικά, Αθήνα, 013, Σ. Καλογήρου (Επ.) ISBN: παραμέτρων της παλινδρόμησης και ε το διάνυσμα των καταλοίπων τα οποία κατανέμονται ταυτόσημα και ανεξάρτητα με μέσο το 0 και σταθερή διακύμανση. Όταν η χωρική εξάρτηση ενσωματώνεται στη μήτρα των διαταρακτικών όρων το μοντέλο καλείται μοντέλο με χωρική αλληλοσυσχέτιση στο σφάλμα ή μοντέλο χωρικού σφάλματος (SEM) και σύμφωνα με τον Αnselin (1988) έχει τη μορφή: y X u u Wu ~ N(0, I n Τέλος, το υπόδειγμα SDM περιλαμβάνει εκτός από την μεταβλητή της χωρικής υστέρησης της εξαρτημένης μεταβλητής και ένα επιπρόσθετο όρο χωρικής υστέρησης ως προς τις ανεξάρτητες μεταβλητές. y Wy X 1 WX (3) ~ N(0, ) I n 3. Δεδομένα H βάση δεδομένων που χρησιμοποιήθηκε διατέθηκε από ελληνικό πιστωτικό ίδρυμα και αφορά την περίοδο εκτίμησης Το δείγμα συνίσταται από ακίνητα που βρίσκονται εντός της μητροπολιτικής περιοχής της Αθήνας. Οι μεταβλητές που χρησιμοποιήθηκαν για την εκτίμηση των ηδονικών εξισώσεων είναι οι εξής: αξία της κατοικίας ανά τετραγωνικά μέτρα ( Pr ice ), το είδος της κατοικίας (μονοκατοικία ( r 1 ), μεζονέτα ( r ) διαμέρισμα ( r 3 )), το έτος εκτίμησης ( t i ), το εμβαδόν της κατοικίας σε τετραγωνικά μέτρα ( Surface ), τον όροφο ( f i ) στον οποίο βρίσκεται το ακίνητο και το έτος κατασκευής ( Age ) του ακινήτου. Επιπλέον, με τη βοήθεια των Γεωγραφικών Συστημάτων Πληροφοριών υπολογίστηκε η απόσταση κάθε κατοικίας από την εγγύτερη στάση του Μετρό ή του ΗΣΑΠ ( DistMetro ) την όποια συμπεριλάβαμε ως μια επιπρόσθετη ανεξάρτητη μεταβλητή στα χωρικά υποδείγματα. ) () 4. Αποτελέσματα Στο πρώτο στάδιο της εμπειρικής ανάλυσης, γίνεται υπολογισμός της συνάρτησης των ηδονικών τιμών των ακινήτων. Η συναρτησιακή μορφή της ηδονικής τιμής των ακινήτων της Αθήνας, επιλέχθηκε με βάση την στατιστική σημαντικότητα των μεταβλητών και την τιμή του συντελεστή προσδιορισμού. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της ανάλυσης περιγράφεται από τον ακόλουθο τύπο: ln Price Age Age Surface SurfaceAge f f f f4 9 f5 p 10t0 11t1 1t 13t4 14t5 15t r1 18r 7 DistMetro (4) όπου ln Price είναι η ηδονική τιμή του ακινήτου λογαριθμικά εκφρασμένη. Η πρώτη μεταβλητή είναι η ερμηνευόμενη μεταβλητή για την αξία του ακινήτου (ανά τετραγωνικό μέτρο), οι επόμενες είναι οι ερμηνευτικές μεταβλητές που αναφέρονται στην παλαιότητα, στην παλαιότητα στο τετράγωνο, στο μέγεθος του ακινήτου, στην παλαιότητα του ακινήτου σε σχέση με το μέγεθός του, στον όροφο που βρίσκεται, στο οικονομικό περιβάλλον, στην απόσταση από την εγγύτερη στάση του Μετρό και οι δυο τελευταίες μεταβλητές περιγράφουν το είδος του ακινήτου. Η εξίσωση (4) δείχνει ότι ο ηδονικός δείκτης τιμής στέγασης εκφράζεται στην παρούσα εφαρμογή ως πακέτο δεκαεπτά χαρακτηριστικών. Στην συνέχεια έγινε έλεγχος για την ύπαρξη χωρικής αυτοσυσχέτισης στις τιμές των καταλοίπων που προέκυψαν από την εφαρμογή της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης μεταξύ της αξίας του ακινήτου και των ανεξάρτητων μεταβλητών που περιγράφουν τα χαρακτηριστικά του ακινήτου και της περιοχής στην οποία βρίσκεται. Ο έλεγχος της χωρικής αυτοσυσχέτισης έγινε με τον υπολογισμό του δείκτη Moran I και με μήτρα γειτνίασης κατασκευασμένη με βάση τα 5 πλησιέστερα ακίνητα. Η τιμή

4 1 ο Συνέδριο Χωρικής Ανάλυσης: Πρακτικά, Αθήνα, 013, Σ. Καλογήρου (Επ.) ISBN: του δείκτη ισούται με 0.1 (z-score = and p-value. 10 ) κάτι το οποίο καταδεικνύει την ύπαρξη θετικής χωρικής αυτοσυσχέτισης στις τιμές των καταλοίπων. Δεδομένου της χωρικής εξάρτησης, έγινε εφαρμογή των χωρικών οικονομετρικών υποδειγμάτων SAR, SEM και SDM έτσι ώστε να γίνει ενσωμάτωση των χωρικών επιδράσεων στο υπό εκτίμηση υπόδειγμα. Τα χωρικά οικονομετρικά υποδείγματα εκτιμήθηκαν διατηρώντας την ίδια εξειδίκευση και τις ίδιες μήτρες γεωγραφικών σταθμίσεων έτσι ώστε να είναι δυνατή η σύγκριση τους. Η επιλογή του καταλληλότερου υποδείγματος έγινε με βάση τις τιμές του συντελεστής προσδιορισμού (R ), του κριτηρίου πληροφοριών Akaike (AIC) και της τιμής της διακύμανσης των κατάλοιπων ( u ), τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον Πίνακα 1. Πίνακας 1. Σύγκριση Χωρικών Υποδειγμάτων Μέθοδος Εκτίμησης SDM SAR SEM W σχήμα AIC AIC AIC d 00 m d 400 m d 600 m d 800 m d 1km d 1. km d 1.4 km d 1.6 km n n n n n n Σημείωση: d-απόσταση, n-πλησιέστερα Πιο συγκεκριμένα εξετάστηκαν οι μήτρες χωρικών σταθμίσεων με βάση την απόσταση από 100 μέτρα έως 1.6 χιλιόμετρα με βήμα τα 00 μέτρα και την γειτνίαση των 5 πλησιέστερων μέχρι τα 30 πλησιέστερα με βήμα τα 5 ακίνητα. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της ανάλυσης το χωρικό υπόδειγμα Durbin με εξειδίκευση της μήτρας χωρικών σταθμίσεων την γειτνίαση των 5 πλησιέστερων ακινήτων αποτελεί το καταλληλότερο υπόδειγμα για την μοντελοποίηση των χωρικών επιδράσεων και για την περιγραφή των παραγόντων που διαμορφώνουν τις τιμές των κατοικιών στην Αθήνα. Στον Πίνακα, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα του SDM υποδείγματος. Το υπόδειγμα εκτιμήθηκε με την μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. Η προσαρμογή των στατιστικών δεδομένων κυμάνθηκε στο 48%. Ο συντελεστής χωρικής υστέρησης ρ είναι ίσος με 0.60 είναι στατιστικά σημαντικός σε επίπεδο σημαντικότητας 1% και καταδεικνύει υψηλή θετική χωρική αυτοσυσχέτιση. Τελευταίο στάδιο της ανάλυσης αποτελεί ο έλεγχος για την ύπαρξη χωρικής αυτοσυσχέτισης στα κατάλοιπα τoυ SDM υποδείγματος. Χρησιμοποιήθηκε ο συντελεστής χωρικής αυτοσυσχέτισης του Moran καθώς και το ασυμπτωτικό κριτήριο Wald, τον λόγο πιθανοφάνειας και τον πολλαπλασιαστή Lagrange (Greene, 000). Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της ανάλυσης δεν υπάρχει χωρική αυτοσυσχέτιση. Τέλος, οι τιμές όλων των παραμέτρων έχουν τα αναμενόμενα πρόσημα συμφώνα με την αρθρογραφία (Anselin and Gracia, 008; Osland, 010).

5 1 ο Συνέδριο Χωρικής Ανάλυσης: Πρακτικά, Αθήνα, 013, Σ. Καλογήρου (Επ.) ISBN: Πίνακας. Αποτελέσματα SDM Υποδείγματος Variable β z-value Pr(> z ) Constant.8991e <.e-16 *** Age e <.e-16 *** Age.5405e <.e-16 *** Surface e <.e-16 *** SurfaceAge e <.e-16 *** ƒ e e-14 *** ƒ e e-08 *** ƒ e *** ƒ e e-05 *** ƒ 5p e e-09 *** t e e-05 *** t e *** t e *** t e t e *** t e e-10 *** DistMetro e r e e-09 *** r 1.71e e-10 *** W-Age e ** W-Age e * W-Surface.8419e e-10 *** WSurfaceAge.0888e W-ƒ e W-ƒ e ** W-ƒ e W-ƒ e W-ƒ 5p e *** W-t e *** W-t e W-t e W-t e W-t e W-t e W-DistMetro e W-r e e-10 *** W-r e ρ <.e16 *** R Wald test <.e16 *** LR test <.e16 *** LM test e10 *** Log likelihood F-statistic *** Σημείωση: Επίπεδο σημαντικότητας: p< 0.01 *** p<0.05 ** p<0.1 *. 5.Συμπεράσματα Το άρθρο εξετάζει την επίδοση τριών χωρικών υποδειγμάτων στην εκτίμηση των τιμών των ακίνητων. Η συμβολή του άρθρου έγκειται αφενός στην ενσωμάτωση του παράγοντα χώρου στην χωρική εξειδίκευση της συνάρτησης εκτίμησης των τιμών των ακινήτων και αφετέρου στην

6 1 ο Συνέδριο Χωρικής Ανάλυσης: Πρακτικά, Αθήνα, 013, Σ. Καλογήρου (Επ.) ISBN: κατάστρωση μίας στρατηγικής για την επιλογή της κατάλληλου χωρικού υποδείγματος. Στο άρθρο η ενσωμάτωση των χωρικών επιδράσεων γίνεται με δύο τρόπους. Πιο συγκεκριμένα, ο παράγων χώρος ενσωματώνεται στα υποδείγματα με δύο εναλλακτικούς τρόπους, την απόσταση και την γειτνίαση. Τα τρία χωρικά υποδείγματα που συγκρίνονται, είναι αυτά του υποδείγματος χωρικού σφάλματος, του χωρικού αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος και του χωρικού υποδείγματος Durbin. Σε πρώτο στάδιο εξετάζονται οι επιδράσεις στα χωρικά υποδείγματα των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους κατασκευάζονται οι μήτρες χωρικών σταθμίσεων. Έτσι, για κάθε χωρική εξειδίκευση συγκρίνεται ο συντελεστής προσδιορισμού, η διακύμανση των καταλοίπων και το κριτήριο πληροφοριών Akaike. Σε δεύτερο στάδιο γίνεται έλεγχος για την ύπαρξη χωρικής αλληλεπίδρασης (χωρικής αυτοσυσχέτισης) με τον συντελεστή χωρικής αυτοσυσχέτισης του Moran και τα ασυμπτωτικά κριτήρια Wald, του λόγου πιθανοφάνειας και πολλαπλασιαστή Lagrange. Τα αποτελέσματα της εφαρμογής έδειξαν ότι το χωρικό υπόδειγμα Durbin αποτελεί το καταλληλότερο υπόδειγμα για την περιγραφή των παραγόντων που διαμορφώνουν τις τιμές των κατοικιών στην Αθήνα και για την μοντελοποίηση των χωρικών επιδράσεων. 6. Βιβλιογραφία Anselin, L., Gracia N.L., 008. Errors in Variables and Spatial Effects in Hedonic House Price Models of Ambient Air Quality. Empirical Economics. 34, Anselin, L., Spatial econometrics: Methods and models. Kluwer Academic Publishers, Netherlands. Anselin, L., Spatial Econometrics. Available from: Can, A., The measurement of neighbourhood dynamics in urban house prices. Economic Geography. 66 (3), Can, A., 199. Specification and estimation of hedonic housing price models. Regional Science and Urban Economics., Osland, L., 010. An application of spatial econometrics in relation to hedonic house price modelling. Journal of Real Estate Research. 3 (3), Greene, W. H., 000. Econometric Analysis, fourth ed., Prentice Hall, U.S.A.