ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Θέμα Α. 1. β 2. α 3. γ 4. β 5. Λ,Λ,Λ,Λ,Λ.

Transcript

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ- 07 Θέμα Α.. β. α 3. γ 4. β 5. Λ,Λ,Λ,Λ,Λ.

2 Β Στην επιφάνεια ελαστικού μέσου υπάρχουν δύο πανομοιότυπες πηγές κυμάτων που ξεκινούν ταυτόχρονα την ταλάντωση τους. Σε ένα σημείο Κ r Κ r του ελαστικού μέσου φτάνουν τα δύο κύματα έχοντας διανύσει το ένα κύμα Π Π μεγαλύτερη απόσταση κατά,5λ από το άλλο (όπου λ το μήκος κύματος των κυμάτων). Ελαττώνουμε την συχνότητα ταλάντωσης των πηγών κατά 00 % 3 σε σχέση με την αρχική, χωρίς μεταβολή στο πλάτος του. Το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Κ: α. Θα αυξηθεί β. Θα μειωθεί γ. θα παραμείνει σταθερό Να επιλέξτε την σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Η διαφορά των δρόμων που ακολουθούν τα δύο κύματα είναι Δr =,5λ, οπότε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Κ μετά την συμβολή των κυμάτων σ αυτό είναι: r,5 Η νέα τιμή της συχνότητας μετά την μείωση θα είναι 3 f f f f f Το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Κ μετά την αλλαγή της συχνότητας θα είναι: r, άρα το πλάτος θα αυξηθεί.

3 Β Τα δύο υγρά Υ και Υ του σχήματος έχουν πυκνότητες ρ Σύστημα Σύστημα και ρ < ρ αντίστοιχα. Οι δύο κύλινδροι είναι ανοιχτοί στο Υ Υ πάνω μέρος τους. Μεταξύ των δύο υγρών υπάρχει έμβολο αμελητέας μάζας που δεν επιτρέπει την ανάμιξη τους. Υ Υ Αρχικά το ύψος κάθε υγρού είναι. Κάποια στιγμή ανοίγουμε την κάνουλα και σχεδόν αμέσως αποκαθίσταται η σταθερή ροή. υ Σχήμα υ Α. Για τις αρχικές ταχύτητες μόλις αποκατασταθεί η ροή ισχύει: α. υ > υ β. υ = υ γ. υ < υ Β. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία έχοντας το "κάτω" υγρό σε κάθε σύστημα στο μισό ύψος απ αυτό που το είχαμε αρχικά. Για Σύστημα Υ Υ Σύστημα τις διαφορές των τετραγώνων των ταχυτήτων και κατά την έναρξη στα σχήματα και ισχύει: / Υ / Υ υ υ α. β. γ. Σχήμα Γ. Από την κατάσταση που βλέπουμε στο σχήμα, ως την κατάσταση του σχήματος θα φτάσει πιο γρήγορα (ξεκινώντας ταυτόχρονα) το: α. σύστημα β. σύστημα γ. ταυτόχρονα Θεωρούμε σε κάθε περίπτωση ότι τα υγρά είναι ιδανικά, η ροή γίνεται αμέσως στρωτή το έμβολο κινείται χωρίς τριβές μέσα στον κάθε κύλινδρο η ελεύθερη επιφάνεια κατεβαίνει με σχεδόν μηδενική ταχύτητα. 3

4 Να αιτιολογήσετε όλες τις απαντήσεις σας. Λύση Α. Σωστή απάντηση η γ. Σύστημα Σύστημα Υ Υ Θεωρούμε ως επίπεδο αναφοράς την βάση κάθε κυλίνδρου. Εφαρμόζουμε τον νόμο του Bernoulli για τα σημεία Α,Β και Υ Α Υ Γ Γ,Δ και έχουμε: pa g pb () υ Β Σχήμα Δ υ Αλλά pa = pατ + ρg και pb = pατ Με αντικατάσταση στην () έχουμε: p g g p g g g( ) () g( ) Με ανάλογη διαδικασία για τα σημεία Γ και Δ προκύπτει: (3) Διαιρούμε τις () και (3): g( ) g( ) υ < υ Β. Σωστή απάντηση είναι η β. Σύστημα Σύστημα Από τις σχέσεις () και () προκύπτει: g( ) g( ) Υ Υ g( )( ) g (4) / Υ Α υ / Β Σχήμα Υ Γ Δ υ 4

5 Με ανάλογη διαδικασία όπως στην περίπτωση Α θα έχουμε για τα σημεία Α και Β: g( ) p g g p g g (5) Και ομοίως για τα σημεία Γ και Δ θα ισχύει: Με αφαίρεση των (5) και () προκύπτει: g( ) (5) g( ) g( ) g( ) g (7) Από τις (4) και (7) προκύπτει Σημείωση: Οι ταχύτητες εκροής στα σχήματα και είναι διαφορετικές, παρόλα αυτά όμως οι διαφορές των τετραγώνων τους είναι σταθερές!!! Γ. Σωστή απάντηση είναι η β. Έστω ότι το υγρό που εκρέει έχει κάποιο ύψος x με εφαρμογή του νόμου του Bernoulli για μία φλέβα ΑΒ θα g δώσει p g gx p g gx gx (8) Με ανάλογη διαδικασία για μία φλέβα ΓΔ θα πάρουμε g gx (9) Αλλά ρ > ρ οπότε από τις (8) και (9) προκύπτει: υ > υ. Δηλαδή σε κάθε ύψος (x < ) η ταχύτητα εκροής του συστήματος είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα εκροής του συστήματος, συνεπώς το σύστημα θα αδειάσει πιο γρήγορα το υγρό που υπάρχει στο κάτω μέρος. 5

6

7 Σώμα, μάζας m = 4 kg, είναι δεμένο στο ένα άκρο ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο, και μέσω αβαρούς νήματος και ενός τελείως λείου καρφιού, m m k k με άλλο σώμα, μάζας m = kg, που φέρει στο κάτω μέρος του ελατήριο σταθεράς k και ( θ U β = 0 φυσικού μήκους l 0 = m, όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Το κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης θ = 30 ο και αρχικά το ελατήριο k είναι παραμορφωμένο κατά Δx = 0, m. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα μάζας m αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, ενώ το σώμα μάζας m αρχικά πέφτει ελεύθερα και μόλις το άκρο του ελατηρίου πατήσει στο έδαφος (στιγμή που θεωρούμε ως t = 0), κολλάει σ αυτό χωρίς απώλειες ενέργειας. Η ταλάντωση που εκτελεί κατόπιν το σώμα μάζας m έχει εξίσωση 5 απομάκρυνσης x A (0t ) S.I. Να βρείτε: α. την σταθερά k του ελατηρίου στο κεκλιμένο επίπεδο. β. την μέγιστη δυναμική ενέργεια που αποθηκεύει το ελατήριο σταθεράς k. γ. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής όταν το σώμα μάζας m διέρχεται από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. δ. την αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια του σώματος μάζας m (πριν κόψουμε το νήμα) θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο δάπεδο. ε. την ελάχιστη βαρυτική δυναμική ενέργεια του σώματος μάζας m Θεωρούμε ως θετική τη φορά προς τα πάνω για την ταλάντωση του σώματος μάζας m. Δίνεται g = 0 m/s. Λύση α. Η συνιστώσα του βάρους του σώματος μάζας m έχει μέτρο wx mg w x = 0Ν Από την ισορροπία του σώματος μάζας m έχουμε: 7

8 F 0 w T 0 T w T = 0N Επειδή για τα μέτρα έχουμε Τ > w x για να ισορροπεί το σώμα μάζας m θα πρέπει η δύναμη που δέχεται από το ελατήριο να είναι ομόρροπη Δl Δx F ελ() w x Τ (+) l 0 Τ w της συνιστώσας του βάρους w x, όπως στο ( θ Θ.Ι. Θ.Φ.Μ U β = 0 σχήμα. Άρα: F 0 T w F 0 w F F w k x w k x x () x () () x x w x x N k = 00. m β. Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του σώματος μάζας m είναι κάτω από τη θέση φυσικού μήκους κατά: Fx 0 wx F () 0 wx F () Δl F ελ() k w x w k x Δ = 0,m w x ( θ Θ.Ι. Θ.Φ.Μ Η ταλάντωση γίνεται γύρω από τη θέση ισορροπίας και απέχει απ αυτήν (την στιγμή που κόβεται το νήμα) Α = Δl + Δx A = 0,3 m Κατά την διάρκεια της ταλάντωσης το ελατήριο υφίσταται μέγιστη παραμόρφωση Δl max = Δl + Α Δl max = 0,4 m. Άρα U k max max ελ U max = J. γ..τη στιγμή που το σώμα μάζας m περνά από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, η μόνη δύναμη που του ασκείται στην διεύθυνση της κίνησης του είναι η συνιστώσα του βάρους του w x. Άρα: dp dt F w x dp dt kg m = 0 s δ. Το σώμα μάζας m μετά το κόψιμο του νήματος κάνει ελεύθερη πτώση. 5 Σύμφωνα με τη σχέση x A (0t ) (S.I.) προκύπτει ότι η εξίσωση της ταχύτητας θα είναι: max, 5 (0t ) (S.I.). 8

9 Στην ισορροπία ισχύει: Fy 0 w F 0 w F k mg Θ.Φ.Μ g m m g Δ = 0,m Δl F ελ w Θ.Ι. Από την εξίσωση της απομάκρυνσης για t = 0 (στιγμή που το σώμα έρχεται σε 5 A επαφή με το ελατήριο), έχουμε: x A ( ) x Αλλά την t = 0 ισχύει επίσης και x = Δl, άρα από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει: 0, A A = 0,m και η εξίσωση της ταχύτητας τελικά είναι: 5 (0t ) Την χρονική στιγμή (t = 0) που το ελατήριο ακουμπά το δάπεδο το σώμα μάζας m έχει ταχύτητα μέτρου 5 ( ) m υ = 3. s Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. από τη στιγμή που το νήμα κόβεται μέχρι τη στιγμή που το ελατήριο σταθεράς k ακουμπά στο έδαφος. K Ww m mg g = 0,5m. Δηλαδή το σώμα μάζας m βρίσκεται αρχικά πάνω από το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας σε ύψος Η = + l 0 H =,5 m Άρα U αρχ = m gh U αρχ = 9 J. ε. Την ελάχιστη βαρυτική δυναμική ενέργεια το σώμα μάζας m την έχει όταν βρεθεί στο κατώτερο σημείο της ταλάντωσης του δηλαδή όταν το ελατήριο έχει μέγιστη παραμόρφωση. οπότε Δl max = Δl + Α Δl max = 0,3 m. και το μήκος του ελατηρίου εκείνη τη στιγμή είναι l = l 0 Δl max l = 0,7 m. Συνεπώς η ελάχιστη βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι: U min = m gl U min = 4 J. 9

10 Θέμα Δ Ένας κύλινδρος μάζας m = 8kg και εμβαδού βάσης Α = m επιπλέει όρθιος και ηρεμεί σε ισορροπία μέσα υγρό όπως φαίνεται στο σχήμα. Το δοχείο που περιέχει το υγρό έχει εμβαδόν βάσης A = m 3 και στη θέση αυτή η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται σε ύψος =m από τον πυθμένα του δοχείου. Α. Αγνοείστε την ατμοσφαιρική πίεση και υπολογίστε τη δύναμη που δέχεται ο πυθμένας του δοχείου από το υγρό. Η πυκνότητα του υγρού είναι ρ = 000kg/m 3, και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s. Β. Δένουμε τον κύλινδρο σε κατακόρυφο αβαρές και μη εκτατό νήμα ( ιδανικό νήμα), όπως στο σχήμα και φέρνουμε το σύστημα σε ισορροπία. Η διπλή τροχαλία Τ που φαίνεται στο σχήμα έχει ακτίνες R = r = 0,4m, ροπή αδράνειας ως προς τον άξονά της Ι = 0,04Kgm και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές ως προς οριζόντιο ακλόνητο άξονα κάθετο στο επίπεδό της διερχόμενο από το κέντρο μάζας της. Τα νήματα δεν γλιστρούνε πάνω στις τροχαλίες. Στο κάτω άκρο του ιδανικού νήματος που περιβάλει τον μεγάλο τροχό της τροχαλίας είναι δεμένη σφαίρα μάζας m =kg. Β. Να υπολογίσετε την πίεση στη βάση του κυλίνδρου που είναι βυθισμένη στο υγρό στη θέση ισορροπίας που φαίνεται στο σχήμα. Β. Να εξετάσετε αν το ύψος του υγρού στη νέα κατάσταση ισορροπίας βρίσκεται χαμηλότερα ή ψηλότερα από την αρχική θέση ισορροπίας στο σχήμα, και στη συνέχεια να βρείτε τη διαφορά των υψών. Γ. Κάποια χρονική στιγμή κόβεται το κατακόρυφο νήμα που συνδέει τον κύλινδρο με την τροχαλία. Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος σφαίρα τροχαλίακατακόρυφο νήμα, αμέσως μετά. Γ. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή που η σφαίρα θα έχει μετακινηθεί από την αρχική της θέση προς τα κάτω κατά,8 m. Απάντηση F p ga 000N. Α. B. Στον κύλινδρο ασκείται το βάρος του w η τάση του νήματος Τ και η δύναμη από το υγρό F υ όπως στο σχήμα. Από την ισορροπία του κυλίνδρου προκύπτει ότι F w T () 0

11 Από την στροφική ισορροπία της τροχαλίας ( σχήμα 4) προκύπτει ότι Tr T R T r ή T T () όπου Τ η τάση του οριζόντιου νήματος και Τ η τάση του κατακόρυφου νήματος. Το βάρος w της τροχαλίας και η δύναμη στήριξης F έχουν μηδενικές ροπές και δεν επηρεάζουν την στροφική ισορροπία. Όμως Τ= Τ (3) ( νήμα ιδανικό) και έτσι η () με βάση τις () και (3) γράφεται: F w T mg T (4) Από την ισορροπία του σώματος Σ ( σχήμα 5) προκύπτει ότι w T ή T m g 0N (5) 3 3 Αλλά T 3 T ( νήμα ιδανικό) άρα T 0N και με βάση την (5) F (80 40) N 40 N F 40 4 Οπότε p pa 80 pa Β. Η δύναμη F υ,αρ που δέχεται ο κύλινδρος από το υγρό στην αρχική θέση ισορροπίας ( σχήμα ) είναι ίση κατά μέτρο με το βάρος του αφού δεν υπάρχει ατμοσφαιρικός αέρας. Έτσι αν το ύψος του κυλίνδρου που είναι μέσα στο υγρό θα έχουμε: F mg ή p mg ή m 3 3 g A mg,, άρα A 80 m. Στην νέα θέση ισορροπίας σχήμα θα είναι F g A ή F 3 3 A 40 m, όπου το ύψος του g κυλίνδρου που είναι μέσα στο υγρό στη θέση αυτή. Επομένως στη νέα θέση ισορροπίας έχει μειωθεί ο όγκος του κυλίνδρου που είναι βυθισμένος στο υγρό, κατά συνέπεια θα έχει ελαττωθεί και όγκος του υγρού που εκτοπίζει, οπότε η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού θα βρίσκεται χαμηλότερα στη νέα θέση σε σχέση με την αρχική θέση ( σχ). 3 3 Στην αρχική θέση ο όγκος του υγρού είναι V A A 9 0 m V A Στη νέα θέση ο όγκος του δοχείου θα είναι V A A ή A V A ή 0,98m A Συνεπώς η ελεύθερη επιφάνεια έχει πέσει κατά 0,0m. Γ. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος είναι ίσος με την συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων. Οι δυνάμεις του νήματος είναι εσωτερικές δυνάμεις για το σύστημα, το βάρος της τροχαλίας και η δύναμη του άξονα είναι μεν εξωτερικές δυνάμεις αλλά έχουν μηδενικές ροπές επειδή τέμνουν τον άξονα. dl Οπότε w R 8Nm dt Γ. Μετά το κόψιμο του νήματος η τροχαλία επιταχύνεται γωνιακά και η σφαίρα μεταφορικά.

12 Με εφαρμογή της Αρχής διατήρησης της ενέργειας για το σύστημα έχουμε ότι: m g m όπου υ = ωr επειδή η γραμμική ταχύτητα στην περιφέρεια της τροχαλίας είναι ίση με την ταχύτητα του σώματος. Άρα mg m R I 0 rad / s

13 Στο διπλανό σχήμα τα σώματα Σ και Σ έχουν μάζες m = 0,5 kg και m = 4 kg, αντίστοιχα και ισορροπούν όπως d φαίνεται στο σχήμα. Το Σ απέχει από το ελεύθερο Σ Σ άκρο του ελατηρίου σταθεράς k, απόσταση d m 45 και με το κόψιμο του νήματος διανύει την απόσταση k ( φ k αυτή στο λείο κεκλιμένο επίπεδο (φ = 30 ο ), στο μισό χρόνο απ αυτόν που χρειάζεται για να ακινητοποιηθεί στιγμιαία για πρώτη φορά. Μόλις το Σ ακουμπήσει στο ελατήριο σταθεράς k καρφώνεται σ αυτό, χάνοντας μέρος της ενέργειας του και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση της μορφής x A ( t ). Οι δύο ταλαντώσεις πραγματοποιούνται έχοντας ίσες ενέργειες ταλάντωσης. Να βρείτε: α. σε πόσο χρόνο θα ακινητοποιηθεί το σώμα Σ μετά το κόψιμο του νήματος β. την σταθερά του ελατηρίου k γ. το πλάτος της ταλάντωσης του Σ δ. την απώλεια της ενέργειας του Σ κατά το κάρφωμα στο ελατήριο ε. το μέτρο του μέγιστου ρυθμού μεταβολής της ορμής στο Σ στ. το πλάτος και την σταθερά του ελατηρίου k. Δίνεται g = 0 m/s, το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό, ως στιγμή t 0 = 0 για την ταλάντωση του Σ θεωρούμε τη στιγμή που ακουμπά στο ελατήριο. Λύση α. Το Σ μετά το κόψιμο του νήματος και πριν ακουμπήσει στο ελατήριο κινείται με επιτάχυνση: m Fx m w x m mg m g α = 5. s N Οπότε d 45 π d t t t s Δt = s 5 5 w x w w y 3

14 Άρα για να ακινητοποιηθεί στιγμιαία για πρώτη φορά χρειάζεται άλλο τόσο χρόνο Δt = π s 5 έτσι λοιπόν θα ακινητοποιηθεί στιγμιαία για πρώτη φορά μετά από χρονικό διάστημα 4π Δt = s 5 μετά το κόψιμο του νήματος. β. Σύμφωνα με την εξίσωση της απομάκρυνσης την στιγμή που ακουμπά το σώμα στο ελατήριο βρισκόμαστε στον αρνητικό ημιάξονα ( x A ( ) 0 ) άρα το σώμα θα σταματήσει για πρώτη φορά όταν φτάσει στο θετικό άκρο (το προς τα κάτω). Άρα για t s: 5 4 A ( ) ( ) ω = 5 rad/s. Άρα k N m k = 00. m γ. Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του Σ βρίσκεται κάτω από το φυσικό μήκος κατά: k F 0 F wx mg mg Δ = 0,m k ( Θ.Ι. φ Δl Θ.Φ.Μ. w x F ελ Όταν το σώμα ακουμπά στο ελατήριο (t 0 = 0) η ταλάντωση ξεκινά με απομάκρυνση αλγεβρικής τιμής x = Δl = 0, m. Άρα για t 0 = 0 έχουμε: 0,m A ( ) 0,m A ( ) A = 0,4m δ. Την στιγμή που ακουμπά το Σ στο ελατήριο έχει ταχύτητα t 5 υ= πm 5 3 s Η ταλάντωση ξεκινά με ταχύτητα ' υ' = m 3 s Η απώλεια είναι 4 m m ( 4 43) J Ε απ = J 9 9 4

15 ε. Από την ισορροπία του Σ έχουμε: F 0 wx T T = 0N Το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό οπότε στα άκρα του ασκεί ίδιου μέτρου δύναμη. Η αρχική θέση ισορροπίας του Σ μόλις κοπεί το νήμα αποτελεί άκρο για την ταλάντωση, άρα εκεί θα έχουμε και μέγιστη δύναμη. dp dp dp kg m F F, w T = 0 dt dt dt s max max στ. Από την παραπάνω σχέση είδαμε ότι dp dt max F max F max = 0N Η ενέργεια της ταλάντωσης του Σ είναι: k A E 8J άρα και Ε = 8 J. Ισχύει: ka A E A = 0,8m F k A F F A max max max και επειδή F max = 0 N, έχουμε: F max = k A k = 5 N/m. 5