Layer(0) := {s}; i := 0; While there is an edge (u,v) s.t. u Layer( i)& v Layer( k) i := i+1; R := {s}; while there is an edge (u,v) s.t.
|
|
- Παρασκευή Παπανδρέου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 אל ג ו ר י ת מ י ם ח ו ב ר ת ה ר צ א ו ת פ ב ר ו א ר שלמה מורן החוברת מכילה תקצירי הרצאות של הדס שכנאי בסמסטר חרף ספי, בתוספת מספר הרצאות של ושלי מסמסטר חורף מצורפים בסוף החוברת נוסחאות שצורפו ל ב ח י נ ו ת ב ש נ י ם ושלי, שניתנו נ א ו ר ד פ י בכתיבת חוברת ז ו נעזרתי בחוברת של ג י ל כהן מ, שהכילה סיכומים של ההרצאות מאותה שנה, ובמספר סיכומי הרצאות של סטודנטים בקורס ב ר צ ו נ י ל ה ו ד ו ת ג ם ל י ו נ ת ן גולדהירש, המתרגל האחראי בקורס 0 3- הערותיו, על ועל הכנת ג י ר ס ה ראשונית של ב ש נ ה " ל דף הנוסחאות תודות ג ם לסטודנטים שלא התביישו ל ש א ו ל ו ל ה ע י ר, ובכך תרמו לשיפור החוברת שלמה מורן
2
3 3 ה ר צ א ה מ ס ' אלגוריתמים לחיפוש בגרפים א ל ג ו ר י ת מ י ם ל ח י פ ו ש ב ג ר פ י ם ב א י ם ל ע נ ו ת ע ל ש א ל ה ב ס י ס י ת : ב ה י נ ת ן צ ו מ ת ב ג ר ף, מ ה ם ה צ מ ת י ם ה נ ג י ש י ם ( ב נ י ה ג ע ה, א ו ) reachable מ מ נ ו =G, ו צ ו מ ת מ ק ו ר ( V, ק ל ט : ג ר ף מ כ ו ו ן א ו ל א מ כ ו ו ן (E פ ל ט : s V ע ץ מ כ ו ו ן T=(R,E') ע ם ש ר ש, s ה מ כ י ל א ת כ ל ה צ מ ת י ם ב- ו מ ס ל ו ל י ם מ s ל צ מ ת י ם א ל ו ב מ י ו ח ד, אלגוריתם חיפוש ג נ ר י מ-, s ה נ ג י ש י ם V, ו 'E ה ן ק ש ת ו ת מ כ ו ו נ ו ת ה מ י י צ ג ו ת ק ש ת ו ת ב E R V R := {s}; while there is a edge (u,v) st u R ad v R R: = R {}; v Paret(v) := u; ק ב ו צ ת ה ק ש ת ו ת 'E ב ע ץ ה מ כ ו ו ן ה מ ו ח ז ר ע " י ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י מ ו ג ד ר ת ע " י : E' = {(paret(v),v) : v R\{s}} נ ל מ ד ש נ י מ י מ ו ש י ם ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י : " ח י פ ו ש ל ר ו ח ב " ו " ח י פ ו ש ל ע ו מ ק " ח י פ ו ש ל ר ו ח ב BFS) :(Breadth First Search - ה ג ד ר ה : מ ר ח ק ב י ן ש נ י צ מ ת י ם ב ג ר ף ל א מ מ ו ש ק ל ה ו א ה מ ס פ ר ה מ י נ י מ א ל י ש ל ק ש ת ו ת ב מ ס ל ו ל ב י נ י הם, א ו א ם א י ן מ ס ל ו ל כ ז ה מ ס ל ו ל ש א ר כ ו ש ו ו ה ל מ ר ח ק ה ו א מ ס ל ו ל ק צ ר ב י ו ת ר ב ע ץ ח י פ ו ש ל ר ח ב, ה מ ר ח ק מ- s ל כ ל צ ו מ ת ב- R ה ו א ה מ ר ח ק ב י נ י הם ב ג ר ף המקורי ה א ל ג ו ר י ת ם ב ו נ ה א ת ה ע ץ ב " ש כ ב ו ת " ש כ ב ה i מ כ י ל ה א ת כ ל ה צ מ ת י ם ש מ ר ח ק ם מ- s ה ו א i: Layer(0) := {s}; i := 0; While Layer( i) Φ Layer( i + ) : = Φ ; While there is a edge (u,v) st u Layer( i)& v Layer( k) i := i+; Layer( i + ) : = Layer( i + ) { v}; Paret( v) : = u; k i
4 ל מ ה? ) ) 4 מ י מ ו ש BFS ב ע ז ר ת ת ו ר ה ת ו ר ( ש י ס ו מ ן ) Q מ כ י ל ב ה ת ח ל ה ר ק א ת s כ ל ז מ ן ש ה ת ו ר ל א ר י ק, מ ו צ י א י ם א ת ה צ ו מ ת u ש ב ר א ש ה ת ו ר, מ כ נ י ס י ם ל ס ו ף ה ת ו ר א ת כ ל ש כ נ י ו ש ל u ש ע ו ד ל א ה ת ג ל ו, ו- u נ ק ב ע כ א ב י ה ם ש ל ה ש כ נ י ם ה א ל ו ב ע ץ ה BFS ש נ ב נ ה v, d[ v] s מ- v צ מ ת ל כ ל v ש ד ו ת: ש נ י מ ו ג ד ר י ם ש ל ה מ ר ח ק ה- BFS ב ע ץ ש ל ו ה א ב v adj ( v) [v ]p מ ס מ ן א ת ק ב ו צ ת ה ש כ נ י ם ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם : BFS(G,s): for ay u i V do d[u] := ; p[u] := il; Q := {s}; d(s):=0; while Q is ot empty do u := dequeue(q); for each v i adj(u) do if d[v] = the d[v] := d[u] + ; p[v] := u; equeue(q,v); נ ג י ד ש צ ו מ ת x ג י ל ה א ת צ ו מ ת y א ם ה ת ב צ ע ה ה פ ק ו ד ה + ] [ dx = :[ [ dy Q O( V ) ר י צ ה ז מ ן ס י ב ו כ י ו ת ה י א ה א ת ח ו ל א ח ת פ ע ם ה י ו ת ר ל כ ל ל- מ ו כ נ ס צ ו מ ת כ ל V ו- E מ י י צ ג י ם, ב ה ת א ם ל ה ק ש ר, א ו ב ח ו ב ר ת ז ו א ת ק ב ו צ ו ת ה צ מ ת י ם ו ה ק ש ת ו ת ב ג ר ף, א ו א ת ה ע ו צ מ ו ת ש ל ק ב ו צ ו ת א ל ו
5 ל מ ה? () u 5 כ א ש ר צ ו מ ת מ ו כ נ ס ל ת ו ר, ה א ל ג ו ר י ת ם מ ב צ ע מ ס פ ר ק ב ו ע ש ל פ ע ו ל ו ת ל כ ל צ ו מ ת ב- u) adj ( ס ה " כ ה ז מ ן ה נ ד ר ש O adj u = O E u ל ב צ ו ע פ ע ו ל ו ת א ל ו ב מ ה ל ך ה א ל ג ו ר י ת ם ה ו א ) ( מ כ א ן ש ה ס י ב ו כ י ו ת ה כ ו ל ל ת ה י א (E + ( ה ו כ ח ת נ כ ו נ ו ת OV נ ר א ה כ י BFS מ ו צ א א ת ה מ ר ח ק ה ק צ ר ב י ו ת ר ( ב ק ש ת ו ת ) ל כ ל צ ו מ ת ש ה ו א בן ה ג ע ה נ ס מ ן ב- מ- s,s dist ( א ת ה מ ר ח ק מ- s ל- v ט ע נ ה ב ס י ס י ת ש נ ש ת מ ש ב ה ה י א : v) א י ש ו ו י ו ן ה ק ש ת : לכל קשת מ ת ק י י ם (v (,u dist(, s v) dist(, s u) + מ ס ל ו ל מ s ל- v ש א ו ר כ ו d[] v dist s, v " v ל s י ק ר א " מ ס ל ו ל ק צ ר ב י ו ת ר מ- dist (,s v) ל מ ה : בכל שלב ב ב י צ ו ע ה א ל ג ו ר י ת ם מ ת ק י י ם ל כ ל צ ו מ ת v א י ה ש ו ו י ו ן ) ( ה ו כ ח ה : ב א י נ ד ו ק צ י ה מ ס פ ר ע ל ש נ ק ב ע י ם ה ע ר כ י ם ל ר א ש ו נ ה ) פ ע ו ל ו ת [v ]d ע ר כ י ש ל ה ע ד כ ו ן,s []d s = 0 = dist ( ו ל ג ב י ש א ר ה צ מ ת י ם ב ס י ס: א ח ר י ה א ת ח ו ל (s ש ה א ל ג ו ר י ת ם ( ל א ח ר מ ב צ ע d[] v = dist(, s v) צ ע ד ה א י נ ד ו ק צ י ה : נ נ י ח ה ט ע נ ה נ כ ו נ ה א ח ר י k פ ע ו ל ו ת ע ד כ ו ן, ו ת ה י dy [ ]: = dx [ ] + פ ע ו ל ת ה ע ד כ ו ן ה +k ל ג ב י כ ל צ ו מ ת u ל מ ע ט y ה ט ע נ ה נ כ ו נ ה מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה ( כ י ע ר ך d[u] ל א ה ש ת נ ה ) ל ג ב י y מ ת ק י י ם ל א ח ר ה ע ד כ ו ן : d[ y] = d[ x] + dist s, x + dist s, y כ א ש ר א י ה ש ו ו י ו ן ה ר א ש ו ן נ ו ב ע מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה ו ה ש נ י נ ו ב ע מ א י ש ו ו י ו ן ה ק ש ת ל ע י ל ל מ ה : ל כ ל צ ו מ ת x ע ב ו ר ו dist(, s x ) < א x מ ו כ נ ס ל- Q ב מ ה ל ך ב י צ ו ע BFS(G,s) ב ל כ ל צ ו מ ת, y א ם (y dist(, s (x < dist(, s ה ו כ חה: ב ס י ס א י נ ד ו ק צ י ה ע ל dist(s,x) ה א י נ ד ו ק צ י ה מ ו כ נ ס ר א ש ו ן : dist(s,x)=0 ה ט ע נ ה נ נ י ח ש ה ט ע נ ה נ כ ו נ ה ע ב ו ר, k ו י ה י x ה מ ק י י ם ק י י ם מ ת ק י י ם : א ז y ל א מ ו כ נ ס ל- Q ל פ נ י x s כ י מ ת ק י י מ ת dist( x) = k + ה ו א x' adj( x) כ ך ש dist( x') = dist( x) ה מ ק י י ם ה י ח י ד ו ה ו א ה ש ו ו י ו ן, )'x ה צ ו מ ת ה ק ו ד ם ל- x ע ל מ ס ל ו ל ק צ ר ב י ו ת ר
6 ל מ ש ל ש כ ן) 6 מ s לx ) מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה 'x ה ו כ נ ס ל ת ו ר ל פ נ י ש- x' כ ע ת י ה י y כ ך ש-( y < dist(, s ),) א ח ר ת י ה י 'y ה צ ו מ ת ש ג י ל ה dist s x ה ו צ א מ ה ת ו ר ג ם x ה ו כ נ ס ל ת ו ר א ם y ל א ה ו כ נ ס ל ת ו ר ה ט ע נ ה מ ת ק י י מ ת ב א ו פ ן ר י ק א ת y ב ג ל ל " א י ש ו ו י ו ן ה ק ש ת " מ ת ק י י ם, dist(s, y ) dist(s, y) > dist(s, x) = dist(s, x ) מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה ע ל dist(, s y ') > dist(, s x') כ ל ו מ ר 'x, נ ו ב ע ש- 'x מ ו כ נ ס ל ת ו ר ל פ נ י ש ה ו כ נ ס y ה ו כ נ ס ל פ נ י x ו ל כ ן 'y כ א ש ר מ ר י צ י ם א ת d[] v = dist s, v ל כ ל צ ו מ ת v מתקיים: ) ( BFS(G,s) ע ל ג ר ף G ע ם צ ו מ ת מ ק ו ר ב נ ו ס ף, ה ע ץ ה מ ו ר כ ב מ ה ק ש ת ו ת (p(v),v) ה ו א ע ץ BFS ש ל ה ו כ חה: ל ה ו כ י ח מ ל מ ה ש ב ס י ו ם ט ר י ב י א ל י א ם s ע ם מ ק ו ר G כ י נ ו ב ע ה א ל ג ו ר י ת ם ל א ו ר ך מ ת ק י י ם ב י צ ו ע א י ה א ל ג ו ר י ת ם ה ש ו ו י ו ן d[] v dist(, s v) ה ה פ ו ך( v dist(, s [], s ב ס י ו ם ה ה ר צ ה v צ ו מ ת ל כ ל d v dist(, s v ) = נ נ י ח ב ש ל י ל ה ש ק י י ם y ע ב ו ר ו ב ס י ו ם ה א ל ג ו ר י ת ם ע ב ו ר ו d[ y] > dist(, s y) א י א ז ק י י ם צ ו מ ת y dist ( s, y) = k מ ל מ ה נ ו ב ע ש כ ל ה צ מ ת י ם x ע ב ו ר ם ע ב ו ר k מ י נ י מ א ל י א פ ש ר י ( ש י מ ו ל ב ש- k>0 ) א ל י ה ל פ ח ו ת א ח ד מ צ מ ת י ם א ל ו ה ו א ש כ ן ש ל y מ ב י ן כ ל ה צ מ ת י ם ה א ל ו, י ה י dist(, s x) k ש ו ו י ו ן כ ז ה נ ו ת ר ה ו כ נ ס ו ל מ ח ס נ י ת ל פ נ י ש- y ה ו כ נ ס ע ל מ ס ל ו ל ק צ ר ביותר מ- s ז ה ל- y ) x 0 ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן ש ה ו כ נ ס ל ת ו ר כ א ש ר ב ו צ ע ה ל ו ל א ת ה-, x 0 ה ת ב צ ע ה פ ע ו ל ת ה ע ד כ ו ן + ] [ dx dy [ :[ = ו ה צ ו מ ת y ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ב ז מ ן 0 while ע ב ו ר כ מ ו כ ן ע ר כ ו של d[y] ל א ה ש ת נ ה י ו ת ר ע ד ס י ו ם d[ y] = d[ x ] + k = dist(, s y) 0 ז ה ה ת ק י י ם ה א ל ג ו ר י ת ם ס ת י ר ה ל ה נ ח ת ה ש ל י ל ה ה ח ל ק ה ש נ י מ ו כ ח ג ם ה ו א ב א י נ ד ו ק צ י ה פ ש ו ט ה ע ל dist(, s v)
7 7 ח י פ ו ש ל ע ו מ ק (DFS) ה ו א ה ר צ א ה מ ס ' ח י פ ו ש ל ע ו מ ק (DFS) - Depth First Search א ל ג ו ר י ת ם ח י פ ו ש ש ה ו ג ד ר ב צ ו ר ת ו ה נ ו כ ח י ת Hopcroft ב, 9 9 ע ל ס מ ך ט כ נ י ק ה ל " ה ל י כ ה ב מ ב ו ך " מ 8 8 ע ב ו ר ג ר ף ( מ כ ו ו ן א ו ל א מ כ ו ו ן ) G=(V,E), ה ר צ ת ע צ י ח י פ ו ש ז ר י ם ב צ מ ת י ם ט כ נ י ק ת ה א ל ג ו ר י ת ם : " ה ת ק ד מ ו ת ל ע ו מ ק " - ש ל ע ל י ד י Tarja ו ('E, F=(V ש ל Tremaux DFS ע ל G ת ח ז י ר י ע ר ה י ע ר F מ כ י ל א ת כ ל צ מ ת י ה ג ר ף ו E ' E כ א ש ר נ ב ק ר ב צ ו מ ת, u א ם י ש ק ש ת (u,v) ל צ ו מ ת v ש ע ו ד ל א נ ת ג ל ה נ ק ב ע ש u ה ו א א ב ש ל v ב י ע ר, F נ ח צ ה א ת ה ק ש ת ו נ מ ש י ך א ת ה ח י פ ו ש מ- v א ם א י ן ק ש ת כ ז ו ו u א י נ נ ו ה ש ו ר ש ש ל ה ע ץ ה נ ו כ ח י, ה צ ו מ ת u ש מ מ נ ו נ ע ש ה ה ח י פ ו ש נ ק ר א " מ ר כ ז ה פ ע י ל ו ת " ק ל ט : ג ר ף מ כ ו ו ן א ו ל א מ כ ו ו ן פ ל ט : י ע ר ס י מ ו ן : נ י ס ו ג ל א ב י ו ש ל u DFS ל מ י מ ו ש ע G= ( V, E) v V ו ג ם ל כ ל G ש ל DFS י ד י מ ח ס נ י ת ז מ ן ה ג י ל ו י ש ל v k[ v] ז מ ן ה ג י ל ו י ש ל, v ה א ב ש ל v ב י ע ר ה DFS ו-[ v ]p for all v i V k[v] := 0 ; p[v] := il; i := 0; while there is a vertex s with k(s) = 0 STACK := {s}; i := i+; k[s] := i; While STACK u:= head(stack) ; {u is the "ceter of activity"} if there is a edge (u,v) st k[v]=0 i := i+; k[v] := i; p[v] := u ; push(stack,v) ; else pop(stack); ה ג ר ף ה מ כ ו ו ן F=(V,E') ש נ ו צ ר ע ל י ד י ה ר צ ת ה א ל ג ו ר י ת ם ה ו א ה ג ר ף ה מ ו ר כ ב מ ה ק ש ת ו ת (p(u),u) כ ע ת נ ו כ י ח מ ס פ ר תכונות של ה א ל ג ו ר י ת ם, ו ב מ י ו ח ד ש ג ר ף ז ה ה ו א י ע ר מ כ ו ו ן ה מ כ י ל א ת כ ל צ מ ת י ה ג ר ף
8 נ ו ב ע) ב) כ ל ו מ ר( 8 י ה י א כ ל צ ו מ ת מ ו כ נ ס ל כ ל ה י ו ת ר פ ע ם א ח ת ל מ ח ס נ י ת ב א ם ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם כ ל צ ו מ ת ש מ ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת מ ו צ א מ מ נ ה ה ו כ ח ה : א צ ו מ ת u מ ו כ נ ס ר ק א ם k(u)=0, ו ל א ח ר ש ה ו כ נ ס k(u) 0 ב נ ו ב ע מ כ ך ש ב ס י ו ם ה א ל ג ו ר י ת ם ה מ ח ס נ י ת ר י ק ה מ ס ק נ ה מ ל מ ה : ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם ל א ח ר ל כ ל ה י ו ת ר V א י ט ר צ י ו ת ש ל ל ו ל א ת הwhile ה פ נ י מ י ת ס ב ו כ י ו ת ה ז מ ן ש ל ו ה י א O(V+E) O(V) : פ ע ו ל ו ת pop ו, push ו( O(E ל צ ו ר ך ס ר י ק ת כ ל ש כ נ י ו ש ל כ ל צ ו מ ת ש ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת STACK = s = u0 u k [,, ] ת כ ן ה מ ח ס נ י ת ב ש ל ב מ ס ו י י ם ב ב י צ ו ע ה א ל ג ו ר י ת ם א ז u i ui = p[ u ל כ ל i=0,,k-, מ ת ק י י ם [ + i ה ו א א ב י ו ש ל ) ב י ע ר הDFS u +i א י נ ד ו ק צ י ה ע ל מ ס פ ר פ ע ו ל ו ת push ו pop ש מ ת ב צ ע ו ת ב מ ה ל ך ה א ל ג ו ר י ת ם מ ש מ ע ו ת ל מ ה ה י א ש ב כ ל ש ל ב ב א ל ג ו ר י ת ם, ס ד ר ת ה צ מ ת י ם ה נ מ צ א י ם ב מ ח ס נ י ת מ ה ו ו ה מ ס ל ו ל מ כ ו ו ן ה מ ת ח י ל ב ש ו ר ש ה ע ץ ה נ ו כ ח י ו מ ס ת י י ם ב צ ו מ ת ה א ח ר ו ן ש ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ה ק ש ת ו ת (p(u),u), ה ו א י ע ר מ כ ו ו ן ה מ כ י ל א ת כ ל צ מ ת י ה ג ר ף ה מ כ ו ו ן F ש ל ל מ ה 3: 3 ה ג ר ף ה ו כ ח ה : ת ה י U ק ב ו צ ת ה צ מ ת י ם ה מ ו כ נ ס ת ל מ ח ס נ י ת ב א י ט ר צ י ה א ח ת ש ל ל ו ל א ת הwhile ב ג ר ף F י ש מ ס ל ו ל מ כ וו ן מs ל כ ל ( א ) ה ח י צ ו נ י ת ( ש ב ת ח י ל ת ה צ ו מ ת s מ ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ) צ ו מ ת ב U ת ה י מ ל מ ה ) ) לs י ש ד ר ג ת כ נ י ס ה 0 ו ל כ ל צ ו מ ת א ח ר בU י ש ד ר ג ת כ נ י ס ה 0 ת נ א י ם א ל ו מ ג ד י ר י ם ע ץ מ כ ו ו ן ש ש ר ש ו s מ א ח ר ו כ ל צ ו מ ת מ ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ל כ ל ה י ו ת ר פ ע ם א ח ת, ה ע צ י ם ה מ ת ק ב ל י ם ה ם ז ר י ם ב צ מ ת י ם ה י ע ר מ כ י ל א ת כ ל צ מ ת י ה ג ר ף מ ש ו ם ש ה א ל ג ו ר י ת ם ע ו צ ר ר ק ל א ח ר ש כ ל ה צ מ ת י ם ה ו כ נ ס ו ל מ ח ס נ י ת ל מ ה 4: 4 v ה ו א צ א צ א ש ל u ב ג ר ף v F ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת כ א ש ר ה מ ח ס נ י ת ה כ י ל ה א ת u P= ( s= v, v,, v = v) k ס ד ר ת ה צ מ ת י ם ב מ ח ס נ י ת כ א ש ר v ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת מ ל מ ו ת ו 3 נ ו ב ע ש s ה ו א ה ש ו ר ש ש ל ה ע ץ T ה מ כ י ל א ת, v וP ה ו א ה מ ס ל ו ל ה י ח י ד מ s ל v ל כ ן u א ב ק ד מ ו ן ש ל v א ם ם u נ מ צ א ב P ב ד י ו ן ל ה ל ן, צ ו מ ת י י ק ר א ל ב ן ע ם ע ד י י ן ל א ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת א ם כ א ש ר u ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ה י ה ב ג ר ף ה ק ל ט G מ ס ל ו ל ( u= u, u,, u = v) 0 k ש ל צ מ ת י ם ל ב נ י ם, א ז v ה ו א צ א צ א ש ל u ב ג ר ף F
9 ל ו ל א ה) ש א י נ ן, 9 ה ו כ ח ה : ע ל ס מ ך ל מ ה, 4 י ס פ י ק ל ה ו כ י ח ש כ ל צ מ ת ב מ ס ל ו ל ה נ " ל ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ל פ נ י ש u ה ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת א ת ז ה מ ו כ י ח י ם ב א י נ ד ו ק צ י ה ע ל ס ד ר ה צ מ ת י ם ב מ ס ל ו ל, ע ל ס מ ך ה ע ו ב ד ה ש צ ו מ ת מ ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת ר ק ל א ח ר ש כ ל ש כ נ י ו ה ו כ נ ס ו ל מ ח ס נ י ת ( ב ג ל ל ה פ ס ו ק if else ב א ל ג ו ר י ת ם ( כ א ש ר G ג ר ף ל א מ כ ו ו ן, י ע ר הDFS F=(V,E') ה מ ו ח ז ר ע ל י ד י ה א ל ג ו ר י ת ם מ ק י י ם א ת ת כ ו נ ת ה ק ש ת ה א ח ו ר י ת : ל כ ל ק ש ת (x,y) ב x, E ה ו א צ א צ א ש ל y ב F א ו ל ה פ ך ה ו כ ח ה : נ נ י ח ב ה כ ש x ה ת ג ל ה ( ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ) ל פ נ י y א ז ה ק ש ת (x,y) מ ק י י מ ת א ת ה ה נ ח ה ש ל ל מ ה 5 ו ל כ ן y ה ו א צ א צ א ש ל x בF ה ג ד ר ה : ע ץ פ ו ר ש מ ו ש ר ש ש ל ג ר ף ל א מ כ ו ו ן ו ק ש י ר G ה מ ק י י ם א ת ת כ ו נ ת ה ק ש ת ה א ח ו ר י ת נ ק ר א ע ץ DFS ש ל G ס י ו ו ג ק ש ת ו ת DFS ע ל ג ר ף מ כ ו ו ן י ע ר DFS ע ל ג ר ף מ כ ו ו ן G=(V,E) מ ג ד י ר א ר ב ע ה ס ו ג י ק ש ת ו ת בE : u= ק ש ת ו ת ע ץ: (u,v) ק ש ת ע ץ א ם ם (v )p DFS u u ( u, v) ק ש ת ו ת א ח ו ר י ו ת : ק ש ת ב ע ץ ש ל ק ד מ ו ן ל א ב א ת ש מ ח ב ר ת ע צ מ י ת ת ח ש ב כ ק ש ת א ח ו ר י ת ) u u מ- ( u, v) ק ש ת ו ת ק ד מ י ו ת : ק ש ת ו ת ל צ א צ א ש ל ב ע ץ DFS ק ש ת ו ת ע ץ ק ש ו ת ו ת ח ו צ ו ת (cross( : כ ל ה ק ש ת ו ת ה א ח ר ו ת ב : G ק ש ת ו ת ב י ן צ מ ת י ם ב א ו ת ו ע ץ DFS ל ל א י ח ס א ב ק ד מ ו ן צ א צ א, א ו ק ש ת ו ת ב י ן ע צ י DFS ש ו נ י ם
10 מ ן) ש י ס ו מ ן, פ ר מ ו ט צ י ה ) π) 0 ה ר צ א ה מ ס ' 3 שימוש בDFS מציאת רכיבים קשירים היטב: בגרף מכוון G= ( V, E) ( ר ק " ה ה י ט ב ק ש י ר ר כ י ב ה ג ד ר ה : מ כ ו ו ן ב ג ר ף ב ק י צ ו ר ) ש ל מ ק ס י מ ל י ת ק ב ' ה ו א ל- u ב- צ מ ת י ם C כ ך ש ל כ ל ז ו ג צ מ ת י ם י ש מ ס ל ו ל י ם מ כ ו ו נ י ם מ- v ל- ו מ- u C ב- u, v V v ד ו ג מ ה : ב ג ר ף מ כ ו ו ן א צ י ק ל י ( ח ס ר מ ע ג ל י ם מ כ ו ו נ י ם ) כ ל צ ו מ ת ה ו א ר ק " ה נ ג ד י ר י ח ס " ח ב ר ו ת " ב י ן צ מ ת י ם : u ח ב ר ש ל v א ם u ו v נ מ צ א י ם ב א ו ת ו ר ק " ה י ח ס ה ח ב ר ו ת ה ו א י ח ס ש ק י ל ו ת ( ר פ ל ק ס י ב י, ס י מ ט ר י, ט ר נ ס י ט י ב י ) מ כ א ן ש ה ו א מ ח ל ק א ת צ מ ת י ה ג ר ף ל ק ב ו צ ו ת ז ר ו ת ו מ ש ל י מ ו ת כ ל ק ב ו צ ה כ ז ו מ ש ר ה ר ק " ה ש ל ה ג ר ף ) C= VC, C =Φ i i j ה ג ד ר ה: נ נ י ח ש ה ר ק " ה ב- G ה ם,, C ה נ כ ת ב ל ע י ל Ck, מ ו ג ד ר ב א ו פ ן ה ב א G* = ( V*, E*) ג ר ף ה ר כ י ב י ם ק ש י ר י ם ה י ט ב ש ל G V = v v k * {,, } E* = {( v, v ) : i j C j C i ק ש ת ש י ו צ א ת מ צ ו מ ת ב- א ל צ ו מ ת ב- { י ש בE מ ט ר ת נ ו למצוא אלגוריתם י ע י ל ל מ צ י א ת ג ר ף הרק " ה של ג ר ף נ ת ו ן G ה ר ע י ו ן ה ו א ל ק ב ו ע ס ד ר ע ל ה צ מ ת י ם ש ל G כ ך ש כ א ש ר ס ד ר ה כ נ ס ת ה צ מ ת י ם ל מ ח ס נ י ת ר י ק ה ( ב ל ו ל א ת ה while ה ח י צ ו נ י ת ) נ ק ב ע ע ל פ י π, י ו ח ז ר ו כ ל ה ר ק " ה ש ל G ה ד י ו ן ל ה ל ן מ ת י י ח ס ל ג ר ף מ כ ו ו ן G=(V,E) כ ל ש ה ו ה ג ד ר ה: ה ג ר ף ההפכי של ג ר ף ה ק ש ת ו ת ב, G כ ל ו מ ר : ל T, ה ו א ה ג ר ף G G= ( V, E) G T T = ( V, E ) T G ו לG י ש א ו ת ם ר ק " ה ג ר ף ה ר ק " ה *G ה ו א א צ י ק ל י כ א ש ר T E = {( vu, ) : ( uv, ) E}: ה מ ת ק ב ל ע " י ה פ י כ ת כ י ו ו נ י ה ו כ ח ה: ב ש ל י ל ה א ם ק י י ם ב* G מ ע ג ל ה מ כ י ל ל פ ח ו ת ש נ י צ מ ת י ם ה מ י י צ ג י ם ש נ י ר ק " ה C ו
11 נ ס מ ן) ב כ ל) ה 'C ו C א ז ק י י ם מ ס ל ו ל מ כ ו ו ן ב י ן כ ל ז ו ג צ מ ת י ם ב, 'C ר ק " ה ס ת י ר ה ל ה נ ח ה ש ה ם ש נ י ר ק " ה ש ו נ י ם כ י ו ו ן ), ו ל כ ן C ו 'C מ ו כ ל י ם ב א ו ת ו ב כ ל ר י צ ת א ל ג ו ר י ת ם, DFS כ ל ר כ י ב ק ש י ר ה י ט ב, C, מ ו כ ל ב מ ל ו א ו ב א ח ד מ ע צ י DFS ש ה א ל ג ו ר י ת ם מ ח ז י ר ע " ס ל מ ה, 5 ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן מ C ש מ ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת י ה י ה א ב ק ד מ ו ן ב ע ץ הDFS ש ל כ ל ה צ מ ת י ם ה א ח ר י ם מ C כ נ כ ת ב ל ע י ל, ה פ ל ט ש ל ר י צ ת מ ש ת מ ש ה א ל ג ו ר י ת ם כ ע ת נ א פ י י ן ת ח ז י ר ר ק " ה י ח י ד ה ג ד ר ה : ר ק " ה C ג ד ו ל מ ר ק " ה 'C ב 'C ת ה י DFS ע ל ג ר ף G ת ל ו י ב פ ר מ ו ט צ י ה ש ל ה צ מ ת י ם ב V ב ה פ ר מ ו ט צ י ו ת המבטיחות שכל א י ט ר צ י ה ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם 'C ) C < א ם ק י י ם מ ס ל ו ל מ כ ו ו ן מ צ מ ת ב C ל צ מ ת π = π π (,, ) ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן ש ל ה ג ד ר ה: פ ר מ ו ט צ י ה ש ל V נ ג י ד ש ר ק " ה C מ ו פ י ע π ב C מ ו פ י ע ב π ל פ נ י ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן ש ל C' ל פ נ י ר ק " ה 'C א ם פ ר מ ו ט צ י ה π ש ל צ מ ת י V ת י ק ר א כ ש ר ה א ם ה י א מ ק י י מ ת א ת ה ת נ א י ה ב א : ר ק " ה, 'C, C א ם C<C' א ז C מ ו פ י ע π ב ד ו ג מ ה : א ם ה ג ר ף ה ו א מ ס ל ו ל מ כ ו ו ן ו ה פ ר מ ו ט צ י ה ה כ ש ר ה ה י ח י ד ה ה י א ה א ל ג ו ר י ת ם נ נ י ח ש ה ר צ נ ו א ל ג ו ר י ת ם ה ו א פ ר מ ו ט צ י ה ה מ כ י ל א ת ה צ מ ת י ם ש ל ר ק " ה ל פ נ י 'C ( ), א ז כ ל ר ק " ה מ כ י ל צ ו מ ת ב ו ד ד ) ר א ש ו ן, א ח ר ו ן ) (,,,,) DFS ע ל ג ר ף מ כ ו ו ן, כ ך ש ס ד ר ה צ מ ת י ם ב ב י צ ו ע : י ה י s C ה ר ק " ה ש ל, s ו י ה י ל כ ל ז ו ג כ ש ר ה π א ז כ ל ב י צ ו ע ש ל ל ו ל א ת הwhile ה ח י צ ו נ י ת מ ח ז י ר ע ץ י ח י ד ש ל G ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן ש ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ב ב י צ ו ע ש ל ל ו ל א ת הwhile ה ח י צ ו נ י ת, י ה י T ע ץ ה DFS ה מ ו ח ז ר ע " י ב י צ ו ע ה ל ו ל א ה מ ל מ ה 3 3 נ ו ב ע ש כ ל צ מ ת י C נ מ צ א י ם ב, T ל כ ן י ס פ י ק ל ה ו כ י ח ש א ף צ ו מ ת א ח ר ל א נ מ צ א ב T: מ א ח ר ו π פ ר מ ו ט צ י ה כ ש ר ה, כ ל צ ו מ ת u ב ר ה ש ג ה מ s ש א י נ ו ב C ש י י ך ל ר ק " ה ש מ ו פ י ע ל פ נ י, C ו ל כ ן ( ע " ס ל מ ה ) 3 3 ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ל פ נ י, s ו ל כ ן ( ע " ס ל מ ה ) 4 א י נ ו צ א צ א ש ל, s ו ל א מ ו פ י ע ב T מ ס ק נ ה כ ד י ל מ צ ו א א ת כ ל ה ר ק " ה ש ל ג ר ף, G מ ס פ י ק ל מ צ א פ ר מ ו ט צ י ה כשירה של צ מ ת י G ו ל ה ר י ץ ע ל י ה DFS
12 ק י י ם) כ י) ר א ו) ז מ ן) ה א ל ג ו ר י ת ם ש נ צ י ג מ ש ת מ ש ב G T כ ד י ל מ צ א פ ר מ ו ט צ י ה כ ש ר ה ש ל ה ג ר ף ה ה פ כ י DFS ס מ ך ט ע נ ה 3 מ ו ר כ ב מ א ו ת ם ר ק " ה ש ל G ה א ל ג ו ר י ת ם מ ת ב ס ס ע ל ה ל מ ה ה ב א ה : ה ו צ א DFS ש ה ו ר ץ נ נ י ח ע ל G ל כ ל צ ו מ ת u נ ג ד י ר f[u] u מ ה מ ח ס נ י ת ה י א פ ר מ ו ט צ י ה כ ש ר ה ש ל א ש ע ל, ה ס י ו ם ש ל ) u כ ז מ ן ב ו ה פ ר מ ו ט צ י ה π ה מ ת ק ב ל ת ע ל י ד י ס י ד ו ר ה צ מ ת י ם ל פ י ס ד ר יורד של f[u] T G T ל G ו ל G י ש א ו ת ם ר ק " ה א ך ה ס ד ר ב י נ י הם מ ת ה פ ך ל כ ן צ ר י ך ל ה ו כ י ח כ י א ם ב מ ת ק י י ם ש 'C C > א ז ה צ מ ת ה ר א ש ו ן מ C מ ו פ י ע ב π ל פ נ י ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן מ 'C י ה י ו s ו 's ה צ מ ת י ם ה ר א ש ו נ י ם מ C',C ש ה ו כ נ ס ו ל מ ח ס נ י ת ב ה ת א מ ה G 's ה ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת א ח ר י s כ ל ו מ ר ש, f[s] > f[s'] י ה י ב s מ ס ל ו ל כ ל ש ה ו מ P ל 's ש ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת נ ב ד י ל ב י ן ש נ י מ ק ר י ם : מ ס ל ו ל כ ז ה כ י 'C ) C > י ה י x ע ל פ י ה ג ד ר ת, π צ ל כ י ה צ ו מ ת ב P ה ר א ש ו ן x=s א ז כ א ש ר s ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת כ ל ש א ר ה צ מ ת י ם ב P ה י ו ל ב נ י ם ו ל כ ן 's ה ו כ נ ס ו ה ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת ל פ נ י ש s ה ו צ א מ מ נ ה ( ב ד ו מ ה ל ה ו כ ח ה ש ל ל מ ה ) 5 א י נ נ ו x ז ה ב מ ק ר ה x s s ב C ה צ ו מ ת ה ו א ש ה ו כ נ ס מ C ה ר א ש ו ן x ו ל מ ח ס נ י ת, ה ו כ נ ס ל פ נ י ) s, ו ל כ ן א י ן מ ס ל ו ל מ כ ו ו ן מ x ל, s בעוד שיש מ ס ל ו ל מכוון של צ מ ת י ם ל ב נ י ם מ x ל 's ו ח ו מ ר צ י ו ר ) מ כ א ן ש ל פ נ י ש s ה ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת ) 's ה ו כ נ ס ו ה ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת ל פ נ י ש s ה ו כ נ ס ל מ ח ס נ י ת ( ק ל צ מ ת י ם ל ב נ י ם C s x P s' C'
13 ס י ב ו כ י ו ת) ש י מ ו ל מ ה) ט ע נ ה) 3 ה א ל ג ו ר י ת ם ה מ ש ת מ ע מ ה נ כ ת ב ל ע י ל ה ו א : Strogly_Coected_Compoets(G): א ל ג ו ר י ת ם ל מ צ י א ת ר כ י ב י ם ק ש י ר י ם ה י ט ב () Call DFS(G) to compute f[u] for all u i V () Compute G T (3) Call DFS( G T ) o the vertices ordered i decreasig order of f[u] (as computed i ()) (4) output the vertices i each DFS tree geerated i (3) ז מ ן ר י צ ה ) DFS ( + E) ז מ ן ה ר י צ ה ה ו א OV ל ב ש ל צ ו ר ך ש ל ב )3 ) צ ר י ך ל ש מ ו ר א ת צ מ ת י G ב ס ד ר י ו ר ד ש ל ע ר כ י נ כ ו נ ו ת f [ u] ב ז מ ן ש ה ם מ ח ו ש ב י ם ת ה י π הפרמוטציה של הצמתים שנקבעת ע " י ס ד ר יורד של f[v] מ ל מ ה 5 3 נ ו ב ע ש π ה י א ע ב ו ר כ ש ר ה T ו ל כ ן, G ה ר כ י ב י ם ה ק ש י ר י ם ש ל ג ר ף א ת ל ב נ ו ת כ ד י מ צ ו מ ת ב C i ל צ ו מ ת ב ה א ל ג ו ר י ת ם ה ר כ י ב י ם א ת מ ח ז י ר ש ל ה ק ש י ר י ם, ) 4 3 T G ) 3 G ה ק ש ת ו ת ע ל ל ע ב ו ר א פ ש ר ש ל G ה ר ק " ה ש ל, G C j ק ש ת ל ה ו ס י ף, E* ל ( v, v ) i j ק ש ת י ש ו א ם ש ה ם מ כ ו ו נ ת
14 א ם: 4 הרצאה מס ' 3 אלטרנטיבית מ צ י א ת צ מ ת י ה פ ר ד ה ו ר כ י ב י ם א י פ ר י ק י ם ה ה ר צ א ה ע ו ס ק ת ב א פ ל י ק צ י ה נ ו ס פ ת ש ל, DFS ה פ ע ם ל ג ר פ י ם ל א מ כ ו ו נ י ם ל א ו ר ך כ ל ה ה ר צ א ה נ נ י ח ש G=(V,E) ה ו א ג ר ף ל א מ כ ו ו ן ו ק ש י ר נ פ ת ח ב מ ס פ ר ה ג ד ר ו ת צ ו מ ת ה פ ר ד ה vertex) (separatig : י ה י G=(V,E) ג ר ף נ ת ו ן v V ה ו א צ ו מ ת ה פ ר ד ה א ם ק י י מ י ם צ מ ת י ם u,w כ ך ש כ ל מ ס ל ו ל מ u לw ע ו ב ר ב v ג ר ף פ ר י ק : ג ר ף ה מ כ י ל צ ו מ ת ה פ ר ד ה U, ת ת ה ג ר ף ה מ ו ש ר ה ע " י, G(U) U V ת ת ג ר ף מ ו ש ר ה : ת ה י מ ו ג ד ר ע " י : GU = ( UE, '), where E' = {( xy, ) : xy, U,( xy, ) E} ר כ י ב א י פ ר י ק compoet) :(irreducible ר כ י ב א י פ ר י ק ש ל G ה ו א ת ת ג ר ף מ ו ש ר ה G(U) ש ה ו א א י פ ר י ק, א ב ל כ ל ת ת ג ר ף מ ו ש ר ה ה מ כ י ל א ו ת ו ה ו א פ ר י ק ה ג ד ר ה : י ה י T=(V,E) ע ץ מ כ ו ו ן ו י ה י T(v) v V ה ו א ת ת ה ע ץ ש ל T ה מ ו ש ר ה ע ל י ד י v ו כ ל צ א צ א י ו ש ל v ב T ו ש י מ ל ב ש v ה ו א ה ש ר ש ש ל T(v) ה ג ד ר ה : י ה י T ע ץ DFS ש ל G=(V,E) ו u V ק ש ת (v,w) E ע ו ק פ ת א ת u א ם v ה ו א צ א צ א א מ י ת י ש ל u וw ה ו א א ב ק ד מ ו ן א מ י ת י ש ל u ב ע ץ T ( ש י מ ו ל ב ש ק ש ת ע ו ק פ ת ה י א ב ה כ ר ח ק ש ת א ח ו ר י ת ) : י ה י T ע ץ DFS ש ל G ע ם ש ו ר ש s צ מ ת u ה ו א צ מ ת ה פ ר ד ה ב G א ם ם מ ת ק י י ם א ח ד מ ה ת נ א י ם ה ב א י ם : u=s ו י ש ל ו י ו ת ר מבן אחד u s, ו י ש ל u ב ן v כ ך ש ל א ק י י מ ת ק ש ת ה י ו צ א ת מ צ ו מ ת ב( T(v ו ע ו ק פ ת א ת u ב מ ק ר ה ז ה לv s מ פ ר י ד ב י ן u ה ו כ ח ה : : מ א ח ר ו ב ע ץ DFS א י ן ק ש ת ו ת ח ו צ ו ת, כ ל מ ס ל ו ל ב י ן ש נ י ב נ י ם ש ו נ י ם ש ל s ח י י ב ל ע ב ו ר ד ר ך s : א ם לs י ש ר ק ב ן א ח ד, ה ר י ק י י ם מ ס ל ו ל ב י ן כ ל ש נ י צ מ ת י ם ה ש ו נ י ם מ s ה מ ש ת מ ש ר ק ב ק ש ת ו ת ע ץ ו א י נ ו ע ו ב ר ד ר ך s ל א ק י י מ ת ק ש ת א ח ו ר י ת מ צ ו מ ת ב( T(v ה ע ו ק פ ת א ת, u כ ל מ ס ל ו ל מ v ל s ח י י ב ל ע ב ו ר ד ר ך )u u ה י נ ו ה צ ו מ ת ה ר א ש ו ן ב מ ס ל ו ל כ ז ה ש א י נ נ ו ש י י ך ל( T(v ) : א ם ל כ ל ב ן v ש ל u ק י י מ ת ק ש ת א ח ו ר י ת כ נ " ל, ה ר י ש נ י ת ן ל ה ג י ע מ כ ל צ מ ת {u a V }\ ל ש ר ש s ב ל י ל ע ב ו ר ד ר ך, u ו ל כ ן ב י ן כ ל ש נ י צ מ ת י ם י ש מ ס ל ו ל ש א י נ ו ע ו ב ר ד ר ך u ל כ ן u א י נ ו צ ו מ ת ה פ ר ד ה
15 ק י י מ ת] מ ו מ ל ץ) 5 כ ד י ל ב ד ו ק א ם ת נ א י ש ל ל מ ה 6 3 מ ת ק י י ם, מ ח ש ב י ם ל כ ל צ ו מ ת u א ת L(u), ה lowpoit ש ל, u ה מ ו ג ד ר ל ה ל ן : L( u) mi{ kv :[ v= u] OR [ there is a back edge from a vertex i Tu to v]} ל מ ה : 7 7 י ה י u צ מ ת ש א י נ ו ש ר ש ו י ה י v ב ן ש ל u א ז י : ק ש ת ה י ו צ א ת מ צ ו מ ת ב T(v) ו ע ו ק פ ת א ת ] u א ם ם [ (u ] )L (v < )k ה ו כ ח ה: נ נ י ח ש ק י י מ ת ק ש ת ( x, y) ה י ו צ א ת מ צ ו מ ת x ב T(v) ו ע ו ק פ ת א ת u א ז ק ד מ ו ן ש ל u מ ה ג ד ר ת L(u) מ ק ב ל י ם : ) ( ku Lu )k (y < מ צ ד ש נ י, א ם (u )L (v < )k א ז ק י י מ ת ק ש ת מ צ מ ת ב T(v) ל צ מ ת y כ ך ש מ א ח ר ו ה ק ש ת ה י א ק ש ת א ח ו ר י ת, y ב ה כ ר ח א ב ק ד מ ו ן ש ל u y ה ו א א ב ky < ku ל מ ה : 8 8 א ם u א י נ נ ו ה ש ר ש, s א ז ]u צ ו מ ת ה פ ר ד ה ] [ ק י י ם ב ן v ש ל u כ ך ש ] Lv () ku () ה ו כ ח ה : מ ל מ ה, 7 3 ה ת נ א י ב צ ד ש מ א ל אומר שלא ק י י מ ת ק ש ת ה י ו צ א ת מ T(v) ו ע ו ק פ ת א ת v) ל s צ מ ת ה פ ר ד ה ( ה מ פ ר י ד ב י ן u ע " ס ל מ ה ( 6 3 ס ע י ף ) ז ה ש ק ו ל ל כ ך ש u ל כ ל צ מ ת u מ ת ק י י ם ה ש ו ו י ו ן : Lu = mi { ku } { kv : ( uv, ) is a back edge} { Lv : vis a child of ui T} ת ק צ י ר ה ו כ ח ה : ע ל פ י ה ה ג ד ר ה ש ל L(u) ה ח ס ר י ם ( ל ו ו ד א ש א ת ם י ו ד ע י ם ל ה ש ל י ם א ת ה פ ר ט י ם
16 6 L(v), v ה א ב ש ל p[v] א ל ג ו ר י ת ם ל מ צ י א ת צ מ ת י ה פ ר ד ה ע " י DFS ק ל ט : ג ר ף ל א מ כ ו ו ן ו ק ש י ר G=(V,E) ו צ ו מ ת s פ ל ט : ע ץ DFS ש ל G ע ם ש ו ר ש, s ו צ מ ת י ה ה פ ר ד ה ש ל G ה א ל ג ו ר י ת ם מ ש ת מ ש ב מ ש ת נ י ם ה ב א י ם : -k[v] ז מ ן ה ג י ל ו י ש ל, v ע ר ך ה lowpoit ש ל v for all v i V k[v] := 0, p[v] := il, L(v):= for all e i E mark e "ew" STACK:= {s}, i:=, k[s]:=, L[s]:= ; While STACK u:= head(stack) if there is a edge e=(u,v) marked "ew" mark e "used" if k[v]=0 i:=i+, k[v]:=i, L(v):=i, p[v]:=u, push(stack,v) else \* k[v]>0, ie (u,v) is back-edge (a) L[u]:= mi{l[u],k[v]} else \* all edges leavig u are "used" if (u s) if ( p[u] s & L[u] k[p[u]] ) mark p[u] as separatig vertex if ( p[u]=s & s has a "ew" edge ) mark s as separatig vertex (b) L[p[u]] := mi{l[p[u]],l[u]} pop(stack)
17 ה) ז מ ן) 7 ל מ ה 0: 0 ה א ל ג ו ר י ת ם ל ע י ל מ ו צ א א ת צ מ ת י ה ה פ ר ד ה ש ל G ת ק צ י ר ה ו כ ח ה: מ ו כ י ח י ם ב א י נ ד ו ק צ י ה ע ל מ ס פ ר פ ע ו ל ו ת ה מ ח ס נ י ת א ת ה ט ע נ ה ה ב א ה : ה ע ד כ ו נ י ם ב ש ו ר ו ת (a) (b), מ ב ט י ח י ם ש ל כ ל צ ו מ ת, u כ א ש ר u מ ו צ א מ ה מ ח ס נ י ת ה ע ר ך L(u) ש ח ו ש ב ע ל י ד י ה א ל ג ו ר י ת ם ה ו א (u lowpoit( ה ו כ ח ת צ ע ד ה א י נ ד ו ק צ י ה מ ש ת מ ש ת בלמה 9 3 מ כ א ן נ ו ב ע ( ע ל ס מ ך ל מ ה 6) 3 ) ו ל מ ה ) 8 3 ש צ מ ת מ ס ו מ ן כvertex separatig א ם ם ה ו א צ ו מ ת ה פ ר ד ה ג ר ף ה ר כ י ב י ם ה א י פ ר י ק י ם ש ל G: H = ( X, E ') מ ו ג ד ר ע ל י ד י : X = { u: u is a separatig vertex} { C: C is a irreducible compoet} E' = {( uc, ) : u C} H א י נ ו י כ ו ל ל ה כ י ל צ מ ת י ה פ ר ד ה ט ע נ ה : H ה ו א ע ץ ל א מ כ ו ו ן ת ק צ י ר ה ה ו כ ח ה : ע ל ס מ ך ז ה ש מ ע ג ל ב כ ע ת נ צ י ג א ל ג ו ר י ת ם ה מ ח ז י ר ר כ י ב י ם א י פ ר י ק י ם ב ז מ ן O(V) ע ל י ד י ש י מ ו ש ב פ ל ט ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם ל מ צ י א ת צ מ ת י ה פ ר ד ה ה א ל ג ו ר י ת ם ס ו ר ק א ת ע ץ הDFS ש ה ו ח ז ר, ו מ כ נ י ס ל מ ח ס נ י ת כ ל צ מ ת ש מ ת ג ל ה ( ב ד ו מ ה ל ) DFS כ א ש ר ה א ל ג ו ר י ת ם מ ת ק ד ם ל צ מ ת v ב ע ץ, ה ו א ב ו ד ק א ם מ ת ק י י ם א ח ד ה ת נ א י ם ע ל פ י ה ם p(v) ה ו א צ ו מ ת ה פ ר ד ה, ו א ם p(v) צ מ ת ה פ ר ד ה ה ו א מסמן את v כ א ש ר ה א ל ג ו ר י ת ם נ ס ו ג מ צ ו מ ת מ ס ו מ ן v ה ו א : א מ ו צ י א מ ה מ ח ס נ י ת א ת v ו כ ל ה צ מ ת י ם ש מ ע ל י ו ; ב ר ו ש ם ר כ י ב א י פ ר י ק ה מ כ י ל א ת p(v) ו א ת כ ל ה צ מ ת י ם ש ה ו צ א ו מ ה מ ח ס נ י ת א ל ג ו ר י ת ם ל ר כ י ב י ם א י פ ר י ק י ם ק ל ט : ע ץ מ כ ו ו ן T ע ם ש ר ש s א, ש ה ו ע ץ DFS ה ג י ל ו י ש ל ) u ו[ L[u lowpoit ש ל u ו( ש ה ו ח ז ר פ ל ט : ה ר כ י ב י ם ה א י פ ר י ק י ם ש ל G ש ל, G ו ל כ ל צ ו מ ת u ה ע ר כ י ם k[u] ע " י ה א ל ג ו ר י ת ם ל מ צ י א ת צ מ ת י ה פ ר ד ה ה א ל ג ו ר י ת ם ( ב ע מ ו ד ה ב א ) מ ש ת מ ש ב מ ח ס נ י ת STK ל צ ו ר ך ב נ י ת ה ר כ י ב י ם ה א י פ ר י ק י ם p[u] ה ו א ה א ב ש ל u בT צ מ ת v מ ס ו מ ן special א ם p[v] ה ו א צ מ ת ה מ פ ר י ד א ת v ו כ ל צ א צ א י ו בT מ ש א ר צ מ ת י ה ג ר ף
18 8 mark all vertices of T "ew" STK :={s}, u:=s, while STK if u has a "ew" child v mark v "used"; push(stk, v) if u s & L[v] k[u] mark v "special" if u=s ad s has aother "ew" child mark v "special" u:=v else \* all childre of u are used if u s if u is marked "special" Let C be u ad all the vertices above u i STK; Remove C from STK ad declare C {p[u]} a irreducible compoet u:=p[u] else \* u=s declare all the vertices i STK irreducible compoet, ad remove them from STK כ ד י ל ה ח ז י ר א ת גרף הרכיבים ה א י פ ר י ק י ם, H נ י ת ן ל ח ש ב ( ב ז מ ן ל י נ א ר י) א ת ה ק ש ת ו ת ב H מ ר ש י מ ת ה צ מ ת י ם ב ר כ י ב י ם ה א י פ ר י ק י ם
19 כ ל ל) כ ל ל) 9 ה ר צ א ה מ ס ' 4 X ע צ י ם פ ו ר ש י ם מ י נ י מ א ל י ם Trees) (Miimum Spaig ג ר ף מ מ ו ש ק ל graph) (weighted ה ו א ג ר ף ש ב ו ל כ ל ק ש ת e י ש מ ש ק ל כ ז כ ו ר, ע ץ פ ו ר ש ש ל ג ר ף ל א מ כ ו ו ן ו ק ש י ר G=(V,E) ה ו א ת ת ג ר ף ש ל w( e) G ש ה ו א ע ץ ה מ כ י ל א ת כ ל צ מ ת י G מ ש ק ל ש ל ע ץ פ ו ר ש ש ל ג ר ף מ מ ו ש ק ל ה ו א ס כ ו ם מ ש ק ל י ק ש ת ו ת י ו : wt = we e T ב ע י ת ע פ " מ : ק ל ט : ג ר ף מ מ ו ש ק ל, פ ש ו ט, ל א מ כ ו ו ן ו ק ש י ר G=(V,E) פ ל ט : ע ץ פ ו ר ש ש ל G ב ע ל מ ש ק ל מ י נ י מ א ל י א פ ש ר י א ל ג ו ר י ת ם ג נ ר י ל מ צ י א ת ע פ " מ =G ה ו א חלוקה של ( V, ה ג ד ר ה : ח ת ך (cut) ב ג ר ף (E V ל ש ת י ק ב ו צ ו ת ז ר ו ת ו ל א ר י ק ו ת ו- י ה י V\X ו ה ק צ ה ה ש נ י ב X ש ק צ ה א ח ד ש ל ה ן ב E ק ש ת ו ת ה ח ת ך ה ן ה ק ש ת ו ת ב V \ X ל ה ל ן ש נ י ק ש ר י ם ב ס י ס י י ם ב י ן ע צ י ם פ ו ר ש י ם, מ ע ג ל י ם ו ח ת כ י ם, ע ל י ה ם מ ס ת מ ך ה א ל ג ו ר י ת ם : T מ ע ג ל ( פ ש ו ט ) י ח י ד T ל ש נ י ת ת י ע צ י ם, ש צ ו מ ת י הם מ ה ו ו י ם ח ל ו ק ה ש ל צ מ ת י G ע ץ פ ו ר ש ש ל T ) ) ה ו ס פ ת ק ש ת ל T ת י צ ו ר ב ) ) ה ס ר ת ק ש ת e מ T מ ח ל ק ת א ת ה ג ר ף ק ש ת ו ת ה ח ת ך ה מ ו ג ד ר ע ל י ד י ח ל ו ק ה ז ו מ כ י ל ו ת א ת e ו א י נ ן מ כ י ל ו ת ק ש ת א ח ר ת ש ל T ה ו כ ח ה : ת ר ג י ל פ ש ו ט ל ב י ת כ ע ת נ צ י ג א ל ג ו ר י ת ם ג נ ר י ל ע פ " מ ה א ל ג ו ר י ת ם בונה את ה ע פ " מ ב כ ל פ ע ו ל ה מ ו ס י פ י ם ק ש ת " ק ל ה " לT א ד ו ם ) כ ח ו ל ) א ו פ ו ס ל י ם ק ש ת T על י ד י ס ד ר ה ש ל פ ע ו ל ו ת : " כ ב ד ה " מ ל ה י ו ת ב T
20 האלגוריתם הגנרי לעפ " מ Geeric MST Algorithm 0 ה כ ל ל ה א ד ו ם ( ל ק ש ת ו ת כ ב ד ו ת (: C ת נ א י : ב G ק י י ם מ ע ג ל ח ס ר ק ש ת ו ת א ד ו מ ו ת, צ ב ו ע ה ל א ק ש ת ה י א וe ב ע ל ת C מ ש ק ל מ ק ס י מ א ל י ( מ ב י ן ה ק ש ת ו ת ה ל א צ ב ו ע ו ת ) ב e פ ע ו ל ה : א ת צ ב ע ב א ד ו ם ה כ ל ל ה כ ח ו ל ( ל ק ש ת ו ת ק ל ו ת ) : D G ת נ א י : ח ת ך ב ק י י ם ח ס ר ק ש ת ו ת כ ח ו ל ו ת, צ ב ו ע ה ל א ק ש ת ה י א וe ב ע ל ת D מ ש ק ל מ י נ י מ א ל י ( מ ב י ן ה ק ש ת ו ת ה ל א צ ב ו ע ו ת ) ב e פ ע ו ל ה : א ת צ ב ע ב כ ח ו ל ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י : ק ש ת ב ח ר כ ל ש ה י ע ל י ה נ י ת ן ל ה פ ע י ל ה כ ל ל א ת ה כ ל ל א ו ה א ד ו ם ה כ ח ו ל, ו ה פ ע ל ע צ ו ר ז ה כ ל ל כ ז ו ק ש ת בG א י ן כ א ש ר ל מ ה 4: 4 ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י מ ס ת י י ם ל א ח ר E צ ע ד י ם, כ א ש ר כ ל ה ק ש ת ו ת צ ב ו ע ו ת ה ו כ ח ה: מ א ח ר ו ב כ ל צ ע ד נ צ ב ע ת ק ש ת, ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם ל א ח ר ל כ ל ה י ו ת ר ל ה ו כ י ח ש ב ס י ו ם ה א ל ג ו ר י ת ם כ ל ה ק ש ת ו ת צ ב ו ע ו ת, נ ו כ י ח כ י כ ל ז מ ן ש י ש ב ג ר ף ק ש ת צ ב ו ע ה, נ י ת ן ל צ ב ו ע ק ש ת ע ל פ י א ח ד ה כ ל ל י ם =e ה י א ק ש ת ל א צ ב ו ע ה נ נ י ח כ י (,) u v נ ב ח י ן ב י ן מ ק ר י ם : E צ ע ד י ם כ ד י ק י י ם מ ס ל ו ל כ ח ו ל ב י ן u ל v י ה י C ה מ ע ג ל ה נ ו צ ר ע ל י ד י ה ו ס פ ת e ל מ ס ל ו ל א ת e ע ל פ י ה כ ל ל ה א ד ו ם ל א ק י י ם מ ס ל ו ל כ ח ו ל מ u ל v ה ח ת ך ה מ ו ג ד ר ע ל י ד י X ת ה י V \ X ו X א ח ת מ ק ש ת ו ת י ו ע ל פ י ה כ ל ל ה כ ח ו ל ל א נ י ת ן ל צ ב ו ע ק ב ו צ ת הצמתים שיש א ל י ה ם מ ס ל ו ל כ ח ו ל מ u מ כ י ל א ת e ו א י ן ב ו ק ש ת ו ת כ ח ו ל ו ת ל כ ן נ י ת ן ל צ ב ו ע א ת כ ע ת נוכיח שכאשר ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת ח י י ב ו ת ל ה י ו ת ע פ " מ ה ג ד ר ה : ג ר ף G ש ח ל ק מ ק ש ת ו ת י ו כ ח ו ל ו ת ו ח ל ק א ח ר א ד ו מ ו ת מ ק י י ם א ת שמורת ה צ ב ע א ם ם ק י י ם בG ע פ " מ ש מ כ י ל א ת כ ל ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת ו א ף אחת מ ה ק ש ת ו ת ה א ד ו מ ו ת
21 מ א ח ר) כ י) ש ק ש ת ו ת י ו) ל מ ה) ל מ ה) G ל מ ה 3: 4 ב כ ל ב י צ ו ע ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י ע ל ג ר ף ל א מ כ ו ו ן מ מ ו ש ק ל ו ק ש י ר מ ל כ ת ח י ל ה א י נ ן צ ב ו ע ו ת ), ה ג ר ף G מ ק י י ם א ת ש מ ו ר ת ה צ ב ע ה ו כ ח ה : ב א י נ ד ו ק צ י ה על מספר ה ק ש ת ו ת ש ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י צ ב ע ב ס י ס : כ א ש ר א ף ק ש ת ל א צ ב ו ע ה כ ל ע פ " מ מ ק י י ם א ת ש מ ו ר ת ה צ ב ע ( ב א ו פ ן ר י ק ) צ ע ד : נוכיח שאם ה ט ע נ ה נ כ ו נ ה ל א ח ר צ ב י ע ת -k ק ש ת ו ת, ה י א נ כ ו נ ה ג ם ל א ח ר צ ב י ע ת ה ק ש ת ה k י ה י T ה ע פ " מ ה מ ק י י ם א ת ש מ ו ר ת ה צ ב ע ל א ח ר צ ע ד -k ם א ב צ ע ד ה k צ ו ב ע י ם ב א ד ו ם ק ש ת ש א י נ ה ש י י כ ת ל T א ו צ ו ב ע י ם ב כ ח ו ל ק ש ת ה ש י י כת לT ה ר י ש T מ ק י י ם א ת ש מ ו ר ת ה צ ב ע ג ם ל א ח ר ה צ ע ד ה k א ח ר ת י ש ש נ י מ ק ר י ם א פ ש ר י י ם : =e שאינה שייכת לT נ ק ר א ל ח ת ך ע ל י ו מ ק ר ה א : ב צ ע ד ה k צ ב ע נ ו ב כ ח ו ל ק ש ת (,) u v ה ו פ ע ל ה כ ל ל ה כ ח ו ל ) X =D ( XV, \ נ ס ת כ ל ע ל ה מ ס ל ו ל ב ע ץ T ש מ ח ב ר ב י ן ה צ מ ת י ם e ' ו,u ה מ ס ל ו ל ח י י ב ל ה כ י ל ק ש ת v e ' ש ח ו צ ה א ת, D ו ל כ ן א י נ ה כ ח ו ל ה ג ם א י נ ה א ד ו מ ה ) e' T ' e כ ל ו מ ר א י נ ה צ ב ו ע ה מ כ א ן ש ) ( we' we ע " פ ה כ ל ל ה כ ח ו ל e ' נ ש מ י ט א ת ) D ה י א ק ש ת ל א צ ב ו ע ה ב ע ל ת מ ש ק ל מ י נ י מ א ל י ב e נ ק ב ל ת ת ג ר ף ח ד ש T ' wt ( ') = wt we ( ') + we wt ו נ ו ס י ף א ת e ל- T ש ג ם ה ו א ע ץ ( ק ש י ר ו מ כ י ל - ק ש ת ו ת ), ו מ ת ק י י ם ' T ל כ ן ה כ ח ו ל ו ת כ נ ד ר ש ( ש י מ ו ל ב ש ל מ ע ש ה ח י י ב ל ה ת ק י י ם ה ו א ע פ " מ, ו ה ו א מ כ י ל א ת כ ל ה ק ש ת ו ת, wt = wt ( ') = ) we we' ו ל כ ן ג ם מ ק ר ה ב:, C =e ב א ד ו ם ע ל י ד י ה פ ע ל ת ה כ ל ל ה א ד ו ם ע ל מ ע ג ל ב צ ע ד ה k צ ב ע נ ו ק ש ת (,) u v ו e T ב מ ק ר ה ז ה ה ש מ ט ת מ ח ל ק ת א ת T מ e T ל ש נ י ע צ י ם ז ר י ם T T ו, ) 4 ( ( צ מ ת י ע צ י ם א ל ו מ ה ו ו י ם ח ל ו ק ה ש ל צ מ ת י ה ג ר ף G ה ח ת ך D ה מ ו ג ד ר ע " י ח ל ו ק ה ז ו כ ו ל ל א ת ה ק ש ת e לT ו ל פ ח ו ת ק ש ת נ ו ס פ ת מ ה מ ע ג ל, C ש ת ק ר א 'e ה ק ש ת 'e א י נ ה ש י י כ ת )) 4 ), ו ל כ ן מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה א י נ ה כ ח ו ל ה ו-' e מ א ח ר ש י י כ ת ל מ ע ג ל C we' we ת ת ה ג ר ף 'T ה מ ת ק ב ל ע ל י ו ה ו פ ע ל ה כ ל ל ה א ד ו ם, ה י א ג ם ל א א ד ו מ ה ל כ ן ) ( ) ( ע " י ה ש מ ט ת T ל 'e ו ה ו ס פ ת e wt ( ') = wt + we ( ') we wt א ת ה ש מ ו ר ה ה ו א ע ץ ( ל מ ה? ) ה ע ץ 'T מ ק י י ם, ו ל כ ן ') ( wt wt = מ ס ק נ ה: כ א ש ר ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י מ ס ת י י ם ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת מ ה ו ו ת ע פ " מ ו ב מ י ו ח ד 'T ה ו א ע פ " מ ה מ ק י י ם
22 הן ל א ה ו כ ח ה : ע ל פ י ל מ ה, 3 4 כ א ש ר ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת מ ו כ ל ו ת ב ע פ " מ א ם ל ה ש ל י מ ן נ י ת ן ה י ה ע פ " מ, מ ה ו ו ת ק ש ת ו ת ה ו ס פ ת י ד י ע ל ל ע פ " מ א ד ו מ ו ת ( ל מ ה? ) ב ס ת י ר ה ל כ ך ש ה ק ש ת ו ת ה א ד ו מ ו ת א י נ ו מ ו כ ל ו ת ב ע פ " מ ק ל ט : ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל Prim מ פ ע י ל י ם א ת ה כ ל ל ה כ ח ו ל ב ל ב ד ע ד ש מ ת ק ב ל ע פ " מ נ ו ס פ ו ת ה כ ל ל ה כ ח ו ל מ ו פ ע ל ע ל ה ח ת ך ב י ן צ מ ת י ה ע ץ ש ה ו ל ך ו נ ב נ ה ו ש א ר צ מ ת י ה ג ר ף ג ר ף ל א מ כ ו ו ן ק ש י ר מ מ ו ש ק ל G=(V,E) ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל Prim U : = { r} א ת ח ו ל כ ל ה ק ש ת ו ת א י נ ן צ ב ו ע ו ת ; כ ל ע ו ד U V ב צ ע : ה פ ע ל א ת ה כ ל ל ה כ ח ו ל ע ל ח ת ך מ י נ י מ א ל י ת ב ח ת ך ז ה כ ך ש- ( UV, \ U ) ש ה ן e= ( u, ו צ ב ע ב כ ח ו ל ק ש ת (v U: ; ב צ ע v} = U { u Uv, V \ U ב ה כ ר ח ט ע נ ה : ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל פ ר י ם מ ס ת י י ם כ א ש ר ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת ה ן ע פ " מ ה ו כ ח ה : כ א ש ר ה א ל ג ו ר י ת ם מ ס ת י י ם, ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת מ ה ו ו ת ע ץ פ ו ר ש )-V ק ש ת ו ת ה מ ק ש ר ו ת ב י ן כ ל ה צ מ ת י ם ב ) V ע " ס ל מ ה 3 4 ז ה ו ע ץ ה מ ו כ ל ב ע פ " מ, ו ל כ ן ה ו א ע פ " מ
23 ס י ב ו כ י ו ת :) 3 ה ר צ א ה מ ס ' 5 מ י מ ו ש ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל פ ר י ם ז מ ן ה א ת ח ו ל ת ל ו י ב מ י מ ו ש א ח ר י ו י ש ל ב צ ע -V א י ט ר צ י ו ת e= ( u, v) ל כ ל צ ו מ ת ל צ ו מ ת ב מ י נ י מ ל י ת ב ח ת ך v V \ U י ו ח ז ק מ פ ת ח ב כ ל א י ט ר צ י ה צ ר י ך ל ב ח ו ר ק ש ת ) U ( UV, \, לצבוע אותה ב כ ח ו ל, ו ל צ ר ף א ת v ל U ל צ ו ר ך ז ה : = ה מ ש ק ל המינימלי של קשת שמחברת א ת v key[ v], U ו א ם א י ן כ ז ו א ז key[ v ] = כ א ש ר key[ v] נ ש מ ו ר ה א ל ג ו ר י ת ם מ ש ת מ ש ב מ ש ת נ ה ק ש ת v מ- ( pv [ ], v) ב- U ל צ ו מ ת ש מ ש ק ל ה key[ v] Q= V \ U [ ], [ ] ל כ ל v V ב צ ע key v = p v = il [ ] Q : = V, key r : = 0 Q כ ל ע ו ד ה ו צ א מ- Q צ ו מ ת u כ ך ש (u key( מ י נ י מ א ל י ל כ ל ש כ ן v ש ל u ש מ ו פ י ע ב Q: u, w( א ז ) ( ] [ א ם v] v) < key[ ק ש ת ו ת ה ע פ " מ ה ן ה ק ש ת ו ת ל ש מ י ר ת ה צ מ ת י ם ש ע ד י י ן ל ל א צ ו ר פ ו ל ע ץ p[ v]: = u, key v : = w u, v {( pu, u) : u r} ס י ב ו כ י ו ת ה א ל ג ו ר י ת ם ת ל ו י ה ב מ י מ ו ש ש ל א ב מ י מ ו ש Q ב ע ז ר ת מ ע ר ך ש ל צ מ ת י V Q נ ר א ה ש נ י מ י מ ו ש י ם : ש ו מ ר י ם ל כ ל צ ו מ ת v ב מ ע ר ך א ת key(v) ו א ת p[v], ו ב י ט ה מ צ י י ן א ם v ש י י ך ל Q ב כ ל א י ט ר צ י ה : מ ו צ א י ם o v Q ( ס י ב ו כ י ו ת : ע ב ו ר ו key[v] מ י נ י מ א ל י, ו מ ו צ י א י ם א ו ת ו מ Q O( V ) ל א י ט ר צ י ה, O( V ) o ע ב ו ר כ ל ק ש ת כ ך ש (w,) v ס ך ה כ ל ) ]p ו[ w key[w] מ ע ד כ נ י ם א ת ע ר כ י, w Q Odv ( ()) ס י ב ו כ י ו ת כ ו ל ל ת ש ל מ י מ ו ש ב ע ז ר ת מ ע ר ך מ י מ ו ש Q ב ע ז ר ת ע ר י מ ה ל א י ט ר צ י ה, כ ל ו מ ר (E )O ב ס ך ה כ ל ) OV E OV ( + ) =
24 ה ק ט נ ת) ש ב ו, ס י ב ו כ י ו ת :) 4 נ ז כ י ר כ י ע ר י מ ה Heap ה י א ע ץ ב י נ א ר י מ א ו ז ן ( ה פ ר ש ב י ן ע ו מ ק ש נ י ע ל י ם ) ה מ פ ת ח מ כ ל ק ט ן ע ץ ת ת כ ל ב ש ו ר ש ה מ פ ת ח ו ת ו ב פ ר ט, ה ע ץ, ב ת ת ה מ פ ת ח א ת ש מ כ י ל ה צ ו מ ת ה מ י נ י מ א ל י י ו פ י ע ב ש ר ש ה פ ע ו ל ו ת ש ה א ל ג ו ר י ת ם נ ד ר ש ל ב צ ע ע ל ע ר י מ ה : ב נ י י ת ה ע ר י מ ה -( V )O צ ע ד י ם O( logv ה ו צ א ת א ב ר ע ם מ פ ת ח מ י נ י מ א ל י -( צ ע ד י ם ג Decrease Key O( logv ערכו של מפתח של א ב ר ב ע ר מ ה ) -( צ ע ד י ם o ב כ ל א י ט ר צ י ה מ ב ו צ ע ו ת ה פ ע ו ל ו ת ה ב א ו ת : v Q מ צ י א ת ל א י ט ר צ י ה ) ע ב ו ר ו key[v] מ י נ י מ א ל י ו ה ו צ א ת ו מQ ( ס י ב ו כ י ו ת : O(log V ) o ע ד כ ו ן ע ר כ י key[w] ו p[w] ע ב ו ר כ ל ק ש ת w Q כ ך ש (, v w) Odv ( log V) ל א י ט ר צ י ה, כ ל ו מ ר (V OE ( log ב ס ך ה כ ל ) ס י ב ו כ י ו ת כ ו ל ל ת ש ל מ י מ ו ש ב ע ז ר ת ע ר י מ ה : ) log ( log ) + ( log ) = ( + ) ( ה ע ר ה : ה מ י נ י מ ו ם ע ל ה ס י ב ו כ י ו ת א ת ע ו ד ל ש פ ר א פ ש ר OV OV V OE V OE V ב-( O( logv ו פ ע ו ל ת צ ע ד י ם ש י מ ו ש י ד י decreasekey ב ע ר י מ ו ת ( + log ) ו ל כ ן ה ס י ב ו כ י ו ת ה י א, ) Amortized Aalysis ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל ב-( O( O E V V Kruskal פ ' י ב ו נ א צ ' י צ ע ד י ם פ ע ו ל ת ב מ מ ו צ ע ה ו צ א ת י ד י ( ע ל מ י י ן א ת ה ק ש ת ו ת ב ס ד ר ל א י ו ר ד ל פ י מ ש ק ל =e ב צ ע : ע ב ו ר ע ל ה ר ש י מ ה ה מ מ ו י נ ת, ו ל כ ל ק ש ת (,) u v o א ם י ש מ ס ל ו ל כ ח ו ל מ u ל, v צ ב ע א ת e ב א ד ו ם, o א ח ר ת צ ב ע א ת e ב כ ח ו ל מ ש פ ט 5 Kruskal ק ש ת צ ב י ע ת כ ל ב א ל ג ו ר י ת ם ש ל ש ל ה א ד ו ם ה כ ל ל א ו ה כ ח ו ל ה כ ל ל פ י ע ל נ ע ש י ת ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י, ו ל כ ן ב ס ו ף ה א ל ג ו ר י ת ם ה ק ש ת ו ת ה כ ח ו ל ו ת מ ה ו ו ת ע פ " מ
25 פ ע ו ל ת) 5 ה ו כ ח ה v ל u מ כ ח ו ל מ ס ל ו ל י ש א ם צ ב ו ע ה ל א ק ש ת ה י א א ז e כ ח ו ל ו ת, ו ל כ ן צ ב י ע ת ה ב א ד ו ם נ ע ש י ת ע ל פ י ה כ ל ל ה א ד ו ם X u א ת נ ג ד י ר כ ז ה, מ ס ל ו ל א י ן א ם כ ק ב ו צ ת ה צ מ ת י ם י ח י ד ה ש י ש ב מ ע ג ל א ל י ה ם ש ש א ר מ ס ל ו ל ק ש ת ו ת י ו u מ כ ח ו ל ( u X u ) ה ק ש ת ו ד א י ש ה ח ת ך נ ו ב ע ז ו מ ה ג ד ר ה ( X, V \ X ) u u e ק ש ת פ י ה כ ל ל ה כ ח ו ל מאחר שבעת ב י צ ו ע ה צ ע ד e ה י א ק ל ה ב י ו ת ר ש א י נ ה צ ב ו ע ה ב ח ת ך ק ש ת ק ש ת ו ת מ כ י ל א י נ ו א ת ו מ כ י ל כ ח ו ל ו ת, ק ל ה ב י ו ת ר בגרף שאיננה צ ב ו ע ה, ה י א ל כ ן צ ב י ע ת ה ב כ ח ו ל נ ע ש י ת ע ל ( X, V \ X ) u u מ י מ ו ש ה א ל ג ו ר י ת ם ש ל ק ר ו ס ק ל מ י ו ן ה ק ש ת ו ת ב ת ח י ל ת ה א ל ג ו ר י ת ם ד ו ר ש ש ל (V OE ( log ל א ח ר מ כ ן ב כ ל צ ע ד י ש ל ק ב ו ע א ם י ש מ ס ל ו ל כ ח ו ל ב י ן u לv ל צ ו ר ך ב י צ ו ע צ ע ד ז ה נ ח ז י ק ב מ ב נ ה נ ת ו נ י ם א ת ה ק ב ו צ ו ת ה ז ר ו ת צ מ ת י ם ש נ מ צ א ו ת S v ק ב ו צ ה v צ ו מ ת ל כ ל נ י צ ו ר ה א ת ח ו ל ב ש ל ב כ ח ו ל ע ץ ב א ו ת ו ש מ כ י ל ה ר ק א ו ת ו ( י ש V ק ב ו צ ו ת כ א ל ו, O(V) ז מ ן א ת ח ו ל ) ב כ ל א י ט ר צ י ה י ב ו צ ע : S u = S v e= ( u, ב ד י ק ה ע ב ו ר ק צ ו ו ת ה ק ש ת (v א ם א ם ל א, י צ י ר ת ה ק ב ו צ ה S u S v פ ע ו ל ו ת א ל ו י ב ו צ ע ו ע ל י ד י מ ב נ ה נ ת ו נ י ם ה ת ו מ ך fid_set(v) מ ח ז י ר ה ה מ י י צ ג ת א ת ה ע ץ ש נ ו צ ר ע " י צ ב י ע ת e ב כ ח ו ל ב פ ע ו ל ו ת ה ב א ו ת : א ת ש ם ה ק ב ו צ ה ( ה י ח י ד ה ) ש מ כ י ל ה א ת v Uio(u,v) א י ח ו ד ה ק ב ו צ ו ת ש מ כ י ל ו ת א ת u, v ש נ י מ ב נ י נ ת ו נ י ם א פ ש ר י י ם ל מ י מ ו ש י ע י ל ש ל ה פ ע ו ל ו ת ה א ל ו : ב ה ת א מ ה מ ע ר ך ש ב ו ל י ד כ ל צ ו מ ת ר ש ו ם ש ם ה ק ב ו צ ה המכילה אותו, ו ל כ ל ק ב ו צ ה כ ז ו ר ש י מ ה מקושרת של ה צ מ ת י ם ה נ מ צ א י ם ב ה ב מ י מ ו ש ז ה כ ל פ ע ם ש מ א ח ד י ם ק ב ו צ ו ת, מצרפים את ה צ מ ת י ם ב ק ב ו צ ה ה ק ט נ ה י ו ת ר ל ק ב ו צ ה ה ג ד ו ל ה י ו ת ר מ י מ ו ש ז ה מ ב ט י ח ז מ ן ()O ל כ ל פ ע ו ל ת fid_set(v), ו ז מ ן כולל של (V O(Vlog ל ס ה " כ פ ע ו ל ו ת Uio(u,v) א י ח ו ד ד ו ר ש ת ז מ ן ק ב ו ע ל כ ל צ ר ו ף ש ל צ ו מ ת ל ק ב ו צ ה
26 ל מ ה? ) ) 6 ח ד ש ה, ו כ ל צ ו מ ת י ע ב ו ר ל כ ל ה י ו ת ר log V ה ק ב ו צ ה א ל י ה ה ו א ש י י ך ג ד ל ל פ ח ו ת פ י ש נ י י ם ) צ ר ו פ י ם כ א ל ו, מ ש ו ם ש ב כ ל פ ע ו ל ה ג ו ד ל י י צ ו ג כ ל ק ב ו צ ה ע " י ע ץ מ ו ש ר ש, כ א ש ר ה ש ו ר ש מ כ י ל א ת ש ם ה ק ב ו צ ה ב מ י מ ו ש ז ה Uio(u,v) נ ע ש ה ע ל י ד י ה ו ס פ ת ה ש ו ר ש ש ל ה ק ב ו צ ה ה ק ט נ ה י ו ת ר כ ב ן ש ל ה ש ו ר ש ש ל ה ק ב ו צ ה ה ג ד ו ל ה י ו ת ר מ ס פ ר צ מ ת י ע ץ ש נ ו צ ר ב פ ע ו ל ת א י ח ו ד כ ז ו ג ד ו ל ל פ ח ו ת פ י ש נ י י ם מ מ ס פ ר צ מ ת י ה ע ץ ה ק ט ן מ ב י ן ה ש נ י י ם מ כ א ן נ י ת ן ל ה ו כ י ח ב א י נ ד ו ק צ י ה ש ע מ ק ו ש ל ע ץ ה מ י י צ ג ק ב ו צ ה ב ע ל ת k צ מ ת י ם ה ו א ל כ ל ה י ו ת ר (log k פ ע ו ל ת fid_set(v) נ ע ש י ת ע ל י ד י " ה ל י כ ה " מ ה צ ו מ ת ל ש ו ר ש ה ע ץ מ י מ ו ש ז ה מ ב ט י ח ז מ ן ()O ל פ ע ו ל ת Uio(u,v), ו ז מ ן (V O(log ל פ ע ו ל ת O(log (V מ ש ו ם ש ע מ ק ו ש ל ה ע ץ כ א מ ו ר, fid_set(v) ש י מ ו ל ב ש ש נ י ה מ י מ ו ש י ם נ י ת נ י ם ל ב י צ ו ע ב ז מ ן (V O(Elog ל מ י ו ן ה ק ש ת ו ת מ ן ה ר א ו י ל צ י י ן ש י ש י צ ו ג ק ב ו צ ו ת ע ל י ד י ע צ י ם ה ע ו ב ד ש נ ק ב ע, ע ל י ד י ה ז מ ן ה ד ר ו ש מ ב נ ה נ ת ו נ י ם ה מ מ מ ש א ת ה פ ע ו ל ו ת Uio, Fid ת ו ך ב ז מ ן " כ מ ע ט ל י נ א ר י " ( ב מ ס פ ר ה פ ע ו ל ו ת ( אלגוריתמים למסלולים קלים בגרפים wuv (, ) ( u, v) G= ( V, י ה י (E ג ר ף פ ש ו ט, מ כ ו ו ן א ו ל א מ כ ו ו ן, ש ב ו ל כ ל ק ש ת מ ש ק ל p= ה מ ש ק ל ש ל מ ס ל ו ל,v0,,v vk ה ו א ס כ ו ם המשקלות של ק ש ת ו ת ה מ ס ל ו ל : k (, ) w p = wvi vi i= מ ס ל ו ל ק ל ל- v ב י ו ת ר מ- s ה ו א מ ס ל ו ל ל כ ל מ ס ל ו ל v ל- s מ- p* ה מ ק י י ם : ( *) w( p) לv, s מ p w p ב י ו ת ר : ק ל מ ס ל ו ל ק י י ם ת מ י ד ל א ש ק י י מ י ם א י ן ס ו ף מ ס ל ו ל י ם מ ס ל ו ל מ ס ל ו ל כ ל ל ש א י ן י י ת כ ן מ- s ל- v מ- s ל- v א י ן א ם G= ( V, ב- (E מ ע ג ל י ם ש א ף, ש ל י ל י י ם ( ש ס כ ו ם ל ח י ל ו פ י ן א ח ד מ ה ם א י נ ו ק ל ב י ו ת ר ה כ ל ל ה ו א : מ ש ק ל י ק ש ת ו ת י ה ם ש ל י ל י ) י י ת כ ן ש נ י ת נ י ם ל ה ג ע ה מ- s א ם ק י י ם מ ס ל ו ל v א ז י ל כ ל מ- s ש נ י ת ן ל ה ג ע ה מ s ק י י ם מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ s ל v ל- v ק ל מ מ נ ו, ו ל כ ן ל א ק י י ם מ ס ל ו ל ק ל ש מ כ י ל מעגל שלילי, א ז י ל כ ל מ ס ל ו ל p מ s ל v ק י י ם מ ס ל ו ל ב י ו ת ר מ- s dist ( s, ב מ ק ר ה ז ה כ א מ ו ר = ) v ל- v
27 7 ל כ ן ה ג ד ר ה מ ל א ה ש ל מ ר ח ק מ s ל v ה י א { } mi w p p is path from s to v if there is a shortest path from s to v dist ( s, v) = if there is o path from s to v if there is path but o shortest path from s to v :w י ה י E ת ת י מ ס ל ו ל י ם ש ל מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם =G ג ר ף מ מ ו ש ק ל ( מ כ ו ו ן א ו ל א ) ע ם פ ו נ ק צ י ת ה מ ש ק ל ( V, י ה י (E p = v, v,, v ij i i+ j, ו י ה י v מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ- ל- ת ת ה מ ס ל ו ל ב- p v k p= v, v,, vk p ij ל- מ- א ז ה ו א מסלול קל v i ב י ו ת ר מ- v j ל- v j v i ה ו כ ח ה p נ פ ר ק א ת ל ת ת י מ ס ל ו ל י ם p ij א ז י p p i ij p jk v vi vj vk = ( i ) + ( ij ) + ( jk ) w p w p w p w p נ נ י ח ב ש ל י ל ה כ י ק י י ם מ ס ל ו ל ' ( ij ') < w( pij ) א ז- w p נ י ת ן ל ה ג ד י ר מ ס ל ו ל כ ך ' p כ ך ש p p ' i ij p jk v vi vj vk, w p ס ת י ר ה ( ') < w( p) מ ס ל ו ל י ם ע ץ ג ר ף ש ל s י ח י ד מ מ ק ו ר ק ל י ם G=(V,E) ) ( ג ר ף ת ת ה ו א G' = V', E ' V ' V ו- E ' E V ' ו מ ת ק י י ם : ה ו א א ו ס ף ה צ מ ת י ם ש נ י ת נ י ם ל ה ג ע ה מ- s G ' ה ו א ע ץ מ ו ש ר ש ש ש ו ר ש ו s ל כ ל ה מ ס ל ו ל ה י ח י ד ב-' G מ- s ל- v v V ' ד ו ג מ ה : כ א ש ר ל כ ל ה ק ש ת ו ת א ו ת ו מ ש ק ל, ע ץ ה ו א מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר ב- G מ- s כ ך ש ש- כ ך ל- v BFS ה ו א ע ץ מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם ט ע נ ה : ק י י ם ע ץ מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם ב י ו ת ר מ s א ם ם א י ן מ ע ג ל ש ל י ל י נ ג י ש מ s ה ו כ ח ת ה ט ע נ ה : ת ר ג י ל ב ת ו ר ת ה ג ר פ י ם ס ו ג י א ל ג ו ר י ת מ י ם ל ב ע י י ת ה מ ס ל ו ל ה ק ל ה פ ל ט ה נ ד ר ש מ א ל ג ו ר י ת ם ל מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם ה י נ ו ב ד ר ך כ ל ל א ח ד מ ש ל ו ש ת ה ס ו ג י ם ה ב א י ם : מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר ב י ן ז ו ג צ מ ת י ם : " מ ק ו ר " ו- " ב ו ר "
28 s 8 ל כ ל מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם מ מ ק ו ר י ח י ד ב ה נ ת ן צ ו מ ת מ ק ו ר s מ צ א א ת ה מ ס ל ו ל י ם ה ק ל י ם ב י ו ת ר מ- ה ג ר ף ג י ר ס ה ה ג ר ף צ מ ת י s מ ה מ ר ח ק י ם א ת מ צ א ה ב ע י ה : ש ל מ צ ו מ צ מ ת מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם ב י ו ת ר ב י ן כ ל ז ו ג ו ת ה צ מ ת י ם צ מ ת י ל כ ל ב כ ל א ח ת מ ה ש א ל ו ת ה נ " ל מ ב ד י ל י ם ב י ן ש נ י מ ק ר י ם : ( א ) כ ל ה מ ש ק ל י ם א י ש ל י ל י י ם, ( ב ) י י ת כ נ ו ג ם מ ש ק ל י ם ש ל י ל י י ם ב ה מ ש ך נ נ י ח ש ג ר ף ה ק ל ט ה ו א ג ר ף מ כ ו ו ן ג ר ף ל א מ כ ו ו ן נ י ת ן ל י י צ ו ג ע ל י ד י ג ר ף מ כ ו ו ן ב ו ל כ ל ק ש ת ק י י מ ת ק ש ת א נ ט י- מ ק ב י ל ה ב ע ל ת א ו ת ו מ ש ק ל
29 מ כ א ן) 9 ה ר צ א ה מ ס ' 6 א ל ג ו ר י ת מ י ם ל מ צ י א ת מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ מ ק ו ר י ח י ד s s ו צ ו מ ת, :w E פ ו נ ' מ ש ק ל, =G ( V, ק ל ט : ג ר ף (E פ ל ט : ל כ ל א v V ה מ ר ח ק ( מ ש ק ל ה מ ס ל ו ל ה ק ל ב י ו ת ר) מ s ל v ש י ס ו מ ן,,s dist ( ל ע ת י ם v) נ ר צ ה ש ה א ל ג ו ר י ת ם י ח ז י ר ג ם ע ץ מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם ב י ו ת ר ב ח ל ק מהאלגוריתמים שנלמד מניחים שאין ב ג ר ף ה ק ל ט מעגלים שליליים נ ג י ש י ם מ s, ו מ כ א ן ש ל כ ל צ ו מ ת, v א ו ש ק י י ם מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ ק ב ע dist(s,v)= א ו ש, v ל s א ל ג ו ר י ת ם ג נ ר י ל מ ס ל ו ל י ם ק ל י ם ב י ו ת ר מ מ ק ו ר י ח י ד ח ס מ י ם ע ל י ו נ י ם ה ת ח ל ת י י ם ע ל א ר כ י ה מ ס ל ו ל י ם ב ש פ ר ח ס מ י ם א ל ו ע ל י ד י " ש י פ ו ר י ם מ ק ו מ י י ם ", ע ד ש ל א נ י ת ן ל ש פ ר ם ע ו ד ה נ כ ו נ ו ת ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י מ ת ב ס ס ת ע ל ת כ ו נ ו ת ש ל ה ח ס מ י ם ה ע ל י ו נ י ם ה נ ש מ ר ו ת ע ל י ד י ה ש י פ ו ר י ם ה מ ק ו מ י י ם ת כ ו נ ו ת א ל ו מ פ ו ר ט ו ת ב ה ג ד ר ה ה ב א ה, ה מ ת י י ח ס ת לגרף קלט : s ו צ ו מ ת מ ק ו ר =G ( V, E) פונקציית חסם עליון על מרחקים ( בקיצור פח " ע ) : d : V ל כ ל צ ו מ ת ה מ ק י י מ ת ש נ י ת נ א י ם : מ ת ק י י ם v V dist ( s, v) d v d ( s) 0 כ ע ת נ ג ד י ר א ת ה ש י פ ו ר י ם ה מ ק ו מ י י ם ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י : d(u)< ם א ה י א ק ש ת מ ק צ ר ת ב י ח ס לd (u,v) : ו ז ו ה י פ ו נ ק צ י ה ה ש ם ח ס ם ע ל י ו ן ) > + (, ) d v du wuv ש י פ ו ר מ ק ו מ י ע ל ק ש ת (u,v) : relaxatio ב ה י נ ת ן פ " ח ע, d ש י פ ו ר ק ש ת (u,v) ר, ש י י ק ר א ש י פ ו (d;u,v), ה ו א ה כ ל ל ה ב א : ע ל מ ק ו מ י א ם (u,v) ק ש ת מ ק צ ר ת ב י ח ס ל d ב צ ע ), ( + ) ( ) ( d v du wuv כ א ש ר d ב ר ו ר מ ה ה ק ש ר, נ כ ת ו ב ב ק י צ ו ר " ש י פ ו ר (u,v) " (u,v) כ א ש ר ב י ו ת ר, ק ל י ם מ ס ל ו ל י ם ע ץ ל ב נ ו ת כ ד י נ ב צ ע מ ק צ ר ת ק ש ת ה י א ב ש י פ ו ר (d;u,v) paret ( v) ג ם א ת ה פ ק ו ד ה u כ ע ת נ י ת ן נ י ס ו ח מ ד ו י ק ש ל ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י:
30 מ כ ך) 0 3 d: V R ק ב ע פ ח " ע א { } ( duv ;, ) ( u, v) ב כ ל ז מ ן ש ק י י מ ת ק ש ת מ ק צ ר ת ב י ח ס ל, d ב צ ע ש י פ ו ר ט ע נ ה : 6 6 ת ה י נ ת ו נ ה פ ח " ע, d ו י ה י C מ ע ג ל ( מ כ ו ו ן ) ה מ כ י ל צ ו מ ת u כ ך ש d(u)< א ם א י ן ב C ק ש ת מ ק צ ר ת ב י ח ס ל, d א ז C א י נ נ ו ה ו כ ח ה : י ה י C= ( u,, u, u = u ) 0 k k 0 ש ל י ל י מ ע ג ל מ ע ג ל ב G ר א ש י ת נ ש י ם ל ב ש d( u i ) < u i ב מ ע ג ל ( נ מ ק ו ) א ת א י ה ש ו ו י ו ן ש צ ר י ך ל ה ו כ י ח: ל כ ן נ י ת ן ל ס כ ו ם א ת א י ה ש ו ו י ו נ ו ת wu (, u) du du i i i i ל כ ל צ ו מ ת, ול ק ב ל k k wui ui [ dui dui ] (, ) = 0 i= i= d : V { } ל מ ה : 6 ת ה י d א נ ש א ר ת פ ח " ע ג ם א ח ר י ב י צ ו ע ש י פ ו ר פ ח " ע ע ב ו ר G ו s א ז ה ט ע נ ו ת ה ב א ו ת נ כ ו נ ו ת : ( duv ;, ) = dist ( s, ב א ם א י ן ק ש ת מ ק צ ר ת ב י ח ס ל, d א ז ל כ ל צ ו מ ת v מ ת ק י י ם (v ה ו כ ח ה א נ נ י ח ש ב ו צ ע ש י פ ו ר d v ), ; duv ): א ם (u,v) א י נ נ ה ק ש ת מ ק צ ר ת d(x) ל א ה ש ת נ ה ל א ף צ ו מ ת ו ל כ ן, x ה ע ד כ ו ן מ ה נ ח ת ה א י נ ד ו ק צ י ה מ ת ק י י ם d x א ח ר ת ר ק dist ( s, x) + (, ), d v du wuv ו ה ט ע נ ה נובעת מאי ה ש ו ו י ו נ ו ת ה ב א י ם : = + (, ) (, ) + (, ) (, ) d v d u w u v dist s u w u v dist s v d(v) ש ו נ ה ע " י ה ש ו ו י ו ן א י נ ו ב ע ה ש מ א ל י כ מ ו כ ן ברור שלאחר ה ש י פ ו ר צ ו מ ת ש ל כ ל צ " ל ב ש מ ה ה נ ח ה, d() u dist(, s u), d() s 0 v ו ה י מ נ י מ ש ו ם ש d י כ ו ל ה ר ק ל ק ט ו ן,s dist ( י ד ו ע ש- מ ת ק י י ם (v (v = d ( מ ה כ ת ו ב נ ו ב ע dist ( s, v) d v ב מ ס ג ר ת d ש ל כ ן פ ח " ע ), ז ה ו,s d ( (v dist ( נ נ י ח ב ש ל י ל ה ש ק י י ם צ ו מ ת מ ס פ י ק ל ה ו כ י ח ש (v,s, d ( (v > dist ( כ ל ו מ ר ק י י ם v), su P= ( u0 = י ה י,, uk ב- v) = v מ- s ל- v (v d ( מ ק ט ן ש א ו ר כ ו מ ס ל ו ל dist (, ) p s u p ה מ ס ל ו ל ע ל ה מ ר ח ק נ ס מ ן מ- s כ ך מ ס ל ו ל ל צ ו מ ת ש ז ה u ב מ ס ל ו ל מ ה נ ח ת ה ש ל י ל ה ), ( > ) ( d v dist s v כ ע ת p א ו ר ך מ ס ל ו ל מ s ל v
31 מ כ א ן ש ק י י ם ו ל כ ן ו ה ק ש ת dist s, s = d s = 0 p p (, ) < dist s v d v i כ י מ ט ע נ ה 0 6 נ ו ב ע ש א י ן מ ע ג ל ש ל י ל י ה מ כ י ל א ת s כ ך ש (, ) (, ) < dist s u d u p i i dist s u d u p i+ i+ > (, ) = (, ) + (, ) + (, ) d u dist s u dist s u w u u d u w u u i+ p i+ p i i i+ i i i+ ), ( ה י א ק ש ת מ ק צ ר ת ב י ח ס לd, ב נ י ג ו ד ל ה נ ח ה ui u i + 3 ה ע ר ה : ל מ ה 6 ת ק פ ה ג ם א ם ב ג ר ף G י ש מ ע ג ל י ם ש ל י ל י י ם מימושים שונים של ה א ל ג ו ר י ת ם ה ג נ ר י נ ב ד ל י ם ב ס ד ר הביצוע של שיפורים מ ק ו מ י י ם ה ר א ש ו ן ש נ ל מ ד מ ר ש ה ק ש ת ו ת ב ע ל ו ת מ ש ק ל ש ל י ל י : אלגוריתם בלמן- פורד =G מ מ ו ש ק ל, ל ל א מ ע ג ל י ם ש ל י ל י י ם, ו צ ו מ ת ( V, ק ל ט : ג ר ף מ כ ו ו ן (E dist ( s, v) = d ( v) פ ל ט : ל כ ל צ ו מ ת - v ה א ל ג ו ר י ת ם: paret( v) il, d ( v) א ת ח ו ל : ל כ ל {s v V }\ א ת ח ל ; d ( s) 0 ע ד ע ב ו ר ל כ ל ק ש ת ה מ י מ ו ש s V V u, v i = ב צ ע ) ( ב צ ע ש י פ ו ר ( duv ;, ) OV + OVE = OVE זמן ריצה ה ו כ ח ת נ כ ו נ ו ת נ ס ת מ ך ע ל ש ת י ה ל מ ו ת ה ב א ו ת : k ה מ כ י ל k ל מ ה : 6 ל כ ל צ ו מ ת, v א ם ק י י ם מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ- s ל- v ק ש ת ו ת א ז ל א ח ר = dist ( s, v) א י ט ר צ י ו ת d v 0 s k = 0 ה ו כ ח ה k ע ב ו ר ע ל ב א י נ ' ה נ ח ת א ת מ ק י י ם ר ק ה א י נ ד ו ק צ י ה ל א ח ר ו א כ ן = 0 = dist ( s, s) d s א י ט ר צ י ו ת ( ב ז כ ו ת ה א ת ח ו ל ) מ ת ק י י מ ת ה ט ע נ ה -
32 כ ז כ ו ר) כ י) 3 צ ע ד : נ נ י ח נ כ ו נ ו ת ע ב ו ר ו נ ו כ י ח ע ב ו ר k v י ה י k + v ל- s ת ה י + k ה מ כ י ל ( u, ה ק ש ת (v ק ש ת ו ת ה א ח ר ו נ ה, ב מ ס ל ו ל + k ה כ ל ו מ ר צ ו מ ת המקיים שיש מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ- k כ ע ת ה נ " ל ( u, v) ב י ו ת ר ), ה א י ט ר צ י ה ה ן מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר מ ה נ ח ת ו ל כ ן מ- s ל- u ה א י נ ד ו ק צ י ה ל א ח ר ה ק ש ת ו ת ל- ה ק ו ד מ ו ת ת ת מסלול של מ ס ל ו ל ק ל ב י ו ת ר ה ו א מ ס ל ו ל ק ל מ ת ק י י ם k א י ט ר צ י ה = dist ( s, u) d u ה- + k ש י פ ו ר ב י צ ע נ ו ( u, v) ה ק ש ת ו ת ) כ ל ע ל כ ז ה ש י פ ו ר ב י צ ע נ ו ב ז מ ן ל א ח ר + (, ) = (, ) + (, ) = (, ) d v d u w u v dist s u w u v dist s v ב י צ ו ע ז ה מ ת ק ב ל כ י (u,v) הקשת ה א ח ר ו נ ה ב מ ס ל ו ל ה ק ל ב י ו ת ר מ s ל v הנחת האינדוקציה ע ל u) dist(, s כי בוצע ש י פ ו ר (v (,u : 3 6 ל מ ה מ ס ל ו ל ק ל ה ו כ ח ה א י ן א ם ב- G א ם ב י ו ת ר מ- s מ ע ג ל י ם מ ע ג ל י ם א י ן ש ל י ל י י ם נ ג י ש י ם מ- s, s מ ה נ ג י ש v צ ו מ ת ל כ ל א ז ל- v ש ל י ל י י ם מ ע ג ל י ם מ כ י ל ל כ ל ה י ו ת ר ה מ כ י ל ל כ ל ה י ו ת ר ק ל מ ס ל ו ל ק י י ם א ז V ב י ו ת ר ק ש ת ו ת מ ע ג ל י ם ל ל א ( ה ו כ י ח ו ), V ו מ ס ל ו ל ק ש ת ו ת ( כ י כ ל צ ו מ ת מ ו פ י ע ב ו ל כ ל ה י ו ת ר פ ע ם א ח ת ) ק י י ם ל ל א מנכונות שתי ה ל מ ו ת ה נ " ל נ ו ב ע ת נ כ ו נ ו ת האלגוריתם של ב ל מ ן פ ו ר ד : מ ל מ ה 3 6 נ ו ב ע כ י ה נ ג י ש צ ו מ ת ל כ ל 6 מ ס פ י ק ו ת s מ ב י ו ת ר ק ל מ ס ל ו ל ק י י ם מ- s ה י ו ת ר ל כ ל ה מ כ י ל V V א י ט ר צ י ו ת ב כ ד י ל מ צ ו א כ ל מ ס ל ו ל כ ז ה ק ש ת ו ת, ו מ ל מ ה
%Initialization: Layer(0):={s}; i:=0; %Iterations: While there is an edge (u,v) s.t. u Layer( i)& v. i:=i+1;
1 אל ג ו ר י ת מ י ם 1 ח ו ב ר ת ה ר צ א ו ת ט י ו ט ה, א ב י ב 2 0 0 3 שלמה מורן החוברת מכילה תקצירי הרצאות של הדס שכנאי בסמסטר חרף 6 0 0 2 7- ספי, בתוספת מספר הרצאות של ושלי מסמסטר חורף 2 1 0 2-3 1 0
Διαβάστε περισσότερααὐτόν φέρω αὐτόν τὸ φῶς τὸ φῶς αὐτόν τὸ φῶς ὁ λόγος ὁ κόσμος δι αὐτοῦ ἐγένετο, καὶ ὁ κόσμος αὐτὸν οὐκ ἔγνω αὐτόν
ἐγένετο ἄνθρωπος, ἀπεσταλμένος παρὰ θεοῦ, ὄνομα αὐτῷ Ἰωάννης οὗτος ἦλθεν εἰς μαρτυρίαν ἵνα μαρτυρήσῃ περὶ τοῦ φωτός, ἵνα πάντες πιστεύσωσιν δι αὐτοῦ. οὐκ ἦν ἐκεῖνος τὸ φῶς, ἀλλ ἵνα μαρτυρήσῃ περὶ τοῦ φωτός.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Επανάληψη για πρόοδο
Αλγόριθμοι Επανάληψη για πρόοδο Προτεινόμενη βιβλιογραφία: S. Dasgupta, C.H. Papadimitriou, ad U.V. Vazirai «Αλγόριθμοι» Κλειδάριθμος 2009 Κεφάλαια 0,3,4,5. http://www.cs.berkeley.edu/~vazirai/algorithms/chap0.pdf
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Minimum Spanning Trees 2. Αλγόριθμος Prim 3. Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Minimum Spanning Tree Πρόβλημα: Για δοσμένο συνεκτικό, μη προσανατολισμένο,
Διαβάστε περισσότεραChristmas Day I (abc) (rcl)
Luke 2:1-14, (15-20) 1 Εγε'νετο δὲ ε ν ται^ς η με'ραις ε κει'ναις ε ξη^λθεν δο' γμα παρὰ Και'σαρος Αυ γου' στου α πογρα' φεσθαι πα^σαν τὴν οι κουμε'νην. 2 αυ«τη α πογραφὴ πρω' τη ε γε'νετο η γεμονευ' οντος
Διαβάστε περισσότεραLXX w/ Logos Morphology
א דנ י י הו ה א ת ה ה ח ל ות ל ה רא ות Deut 3:24 א ת ע ב ד א ת ג דל ו א ת י ד ה ח ז ק ה א ש ר מ י א ל ב ש מ י ם וב א רץ א ש ר י ע ש ה כ מ ע ש י ו כ ג ב ו רת Deut 9:26 ו א ת פ ל ל א ל י הו ה ו א מ ר א דנ
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 12: Αλγόριθμοι Γραφημάτων/Συντομότατα μονοπάτια/αλγόριθμος Bellman-Ford/Αλγόριθμος Dijkstra/Floyd-Warshall Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 11: Minimum Spanning Trees Αλγόριθμος Prim Αλγόριθμος Kruskal Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραἈβαδδών א ב ד ון Rev 9:11 ἀββα א ב א Mk 14:36 Rom 8:15 Gal 4:6. Ἅβελ ה ב ל Matt 23:35 Lk 11:51 Heb 11:4 Heb 12:24. Ἀβιὰ א ב י ה Matt 1:7 Lk 1:5
Tabelle der lexikalischen Semitismen Einträge in [ ] bedeuten: semitische Verwendung des Wortes nur in aufgelisteten Stellen Table of Lexical Semitisms Entries in [ ] mean: Semitic usage of word only in
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων Ενότητα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Γράφοι Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραMatthew Mark Luke Greek Reconstruction Hebrew Reconstruction
Passover: Preparations for Eating Passover Lamb (Matt. 26:17-19; Mark 14:12-16; Luke 22:7-13) 1 1 ו יּ ב א י(ם 1 26:17 τῇ δὲ πρώτῃ 14:12 καὶ τῇ πρώτῃ ἡμέρᾳ 22:7 ἦλθεν δὲ ἡ ἡμέρα ἦλθεν δὲ ἡ ἡμέρα on the
Διαβάστε περισσότεραCalling and Training Disciples: How to Pray complex: Lord s Prayer 1
Calling and Training Disciples: How to Pray complex: Lord s Prayer 1 Matt Mark Luke Greek Reconstruction Hebrew Reconstruction 1 ו י ה י בּ ה י'ת' 1 11:1 καὶ ἐγένετο ἐν τῷ εἶναι αὐτὸν καὶ ἐγένετο ἐν τῷ
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS) 2. Τοπολογική Ταξινόμηση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Depth-First Search Πρώτα σε Βάθος διερεύνηση (Depth-First Search) είναι
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur
פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת
Διαβάστε περισσότεραThe Catholic University of America Biblical Studies Comprehensive Examination
The Catholic University of America Biblical Studies Comprehensive Examination Day One: You may use the Hebrew Bible, Septuagint, and Greek New Testament. You may not use any translation of any kind. You
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10γ: Αλγόριθμοι Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS)- Τοπολογική Ταξινόμηση Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραחברה ותעסוקה. παρέα και απασχόληση
יוונית παρέα και απασχόληση γνωριµία πώς σας λένε; µε λένε... τί κάνετε; καλά, ευχαριστώ, κι εσείς; δόξα το θεό! γνωρίστε τον κύριο / την κυρία χάρηκα που σας γνωρίσα αίροµαι που σας βλέπω ותעסוקה היכרות
Διαβάστε περισσότερα21 7 Holy_bible_ !! :
21 7 Holy_bible_1 ( 21 7..!! : ( Let us go early into the vineyards; let us see if the vine has flowered, [if] the blossoms have appeared, if the pomegranates have blossomed; there will I give thee my
Διαβάστε περισσότεραMatthew Mark Luke Luke Greek Reconstruction Hebrew Reconstruction. καὶ εὐαγγελιζόμενος τὴν βασιλείαν τοῦ θεοῦ
Calling and Training Disciples: "Mission of the Twelve" complex: Sending the Twelve: Commissioning 1 1 9:35 καὶ περιῆγεν 6:6b καὶ περιῆγεν [8:1 καὶ ἐγένετο ἐν τῷ καθεξῆς καὶ αὐτὸς διώδευεν And / was going
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Συντομότατα μονοπάτια 2. Αλγόριθμος Bellman-Ford 3. Αλγόριθμος Dijkstra 4. Floyd-Warshall Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Single-Source Shortest Path Πρόβλημα:
Διαβάστε περισσότερα.40 FLA. ST. U. L. REV. 601, (2013)
שינויים טכניים צפויים בגרסת המאמר המודפסת כתב העת משפטים האם שופטים מצייתים לחוק? א ו ר ן גזל- אייל*, חיים אזולאי ו א י ת י ה מ ר ** מ ב ו א... 2 ר ק ע ת י א ו ר ט י... 4 ח ו ס ר צ י ו ת ש ל ב ע ל י מ
Διαβάστε περισσότεραЗатерянные в толпе. Библейские персонажи Брейгелей. Материалы к лекции Анны Шмаиной-Великановой и Дильшат Харман
при поддержке Затерянные в толпе Библейские персонажи Брейгелей Материалы к лекции Анны Шмаиной-Великановой и Дильшат Харман Москва октябрь 2014 г. проект «Эшколот» www.eshkolot.ru Затерянные в толпе Текст
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 6 Μαΐου 2015 1 / 42 Εύρεση Ελάχιστου Μονοπατιού
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Depth-First Search
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Depth-First Search Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Depth-First Search A B D E C Depth-First Search 1 Outline and Reading
Διαβάστε περισσότεραMatthew Mark Luke Greek Reconstruction Hebrew Reconstruction
Calling and Training Disciples: Four Types of Hearers complex: Four Soils parable (Matt. 13:1-9; Mark 4:1-9; Luke 8:4-8) 1 1 13:1 ἐν τῇ ἡμέρᾳ ἐκείνῃ καὶ ἐγένετο ἐν τῇ ἡμέρᾳ ἐκείνῃ 1 ו י ה י בּ יּ)ם ה הוּא
Διαβάστε περισσότεραTexts for Scriptural Reasoning
Texts for Scriptural Reasoning 7. Prayer The Scriptural Reasoning Society 1 Psalm 44 1 1 For the Leader; a Psalm of the sons of Korah. Maschil. 2 O God, we have heard with our ears, our fathers have told
Διαβάστε περισσότεραהתעתיק מלועזית לעברית הקדמה
התעתיק מלועזית לעברית כללי התעתיק מלועזית לעברית נדונו מחדש במליאת האקדמיה ללשון העברית בישיבותיה בשנים תשס"ד תשס"ז. הכללים אושרו סופית בישיבת מליאת האקדמיה בד' בסיוון תשס"ז, 21 במאי 2007 )ישיבה רצז(.
Διαβάστε περισσότεραRahlfs LXX Vulgate Codex Leningradensis
1 Kings 21:1-10,(11-14),15-21a (Proper 6 c rcl) 21:1 Καὶ α μπελὼν ει ς η ν τω,^ Ναβουθαι τω,^ Ιεζραηλι'τη, παρὰ τω,^ α«λω, Αχααβ βασιλε'ως Σαμαρει'ας. 21:2 καὶ ε λα' λησεν Αχααβ πρὸς Ναβουθαι λε'γων Δο'
Διαβάστε περισσότεραשאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R
תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 016 - I. ΜΗΛΗΣ AΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΦΩΝ ΙΙΙ Minimum Spanning Trees ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 016 - Ι. ΜΗΛΗΣ 14 - GRAPHS III - MSTs 1 Trees Ένας γράφος T = (V,
Διαβάστε περισσότεραGenesis 9:8-17 Psalm 25: Peter 3:18-22 Mark 1:9-15
1 First Sunday of Lent (B) or 1LentB Genesis 9:8-17 Psalm 25:1-10 1 Peter 3:18-22 Mark 1:9-15 Genesis 9:8 God said to Noah and to his sons with him, 9 "I am now setting up my covenant with you, with your
Διαβάστε περισσότεραבסל A רמת התועלת היא: ) - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות. P x P y. U y P y A: 10>6 B: 9>7 A: 5>3 B: 4>3 C: 3=3 C: 8=8 תנאי שני : מגבלת התקציב
תנאי ראשון - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות 1) MRS = = שיווי המשקל של הצרכן - מציאת הסל האופטימלי = (, בסל רמת התועלת היא: ) = התועלת השולית של השקעת שקל (תועלת שולית של הכסף) שווה בין המוצרים
Διαβάστε περισσότερα2 Kings 2:1-12 Psalm 50:1-6 2 Corinthians 4:3-6 Mark 9:2-9
1 Transfiguration (B) 2 Kings 2:1-12 Psalm 50:1-6 2 Corinthians 4:3-6 Mark 9:2-9 2 Kings 2:1 Now the LORD was going to take Elijah up to heaven in a windstorm, and Elijah and Elisha were leaving Gilgal.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2017 - I. ΜΗΛΗΣ AΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΦΩΝ Ι ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΗ 1 Graphs Ανά ζεύγη (pairwise) σχέσεις μεταξύ των στοιχείων ενός συνόλου 2 Graphs Εφαρμογές Χάρτες,
Διαβάστε περισσότερα3-9 - a < x < a, a < x < a
1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές Δεδομένων Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού
Διαβάστε περισσότεραאלגוריתמים סמסטר א' תשע"ב מרצים: פרופ' עמוס פיאט ופרופ' מיכה שריר. מתרגלים: שי ורדי ואדם שפר.
אלגוריתמים סמסטר א' תשע"ב מרצים: פרופ' עמוס פיאט ופרופ' מיכה שריר. מתרגלים: שי ורדי ואדם שפר. תוכן הקורס מבוא: גרפים: הגדרות וייצוג גרפים במחשב. שימושים לגרפים. עצים, יערות ותכונותיהם הבסיסיות חזרה. גרפי
Διαβάστε περισσότεραActs 16: 6-12a and Διῆλθον δὲ τὴν Φρυγίαν καὶ Γαλατικὴν χώραν κωλυθέντες ὑπὸ τοῦ ἁγίου πνεύματος λαλῆσαι τὸν λόγον ἐν τῇ Ἀσίᾳ
Christ Church October 18 th 2015 Fr Nicholas King SJ Isaiah 35: 3-6, 3 ח ז ק ו י ד י ם ר פ ות וב ר כ י ם כ ש ל ות א מ צ ו 4 א מ ר ו ל נ מ ה רי ל ב ח ז ק ו אל ת יר א ו ה נ ה א ל היכ ם נ ק ם י ב וא ג מ ול
Διαβάστε περισσότεραמבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #8-9
מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #89 מציאת מסלולים קצרים הבעיה: נתון גרף ממשוקל רוצים למצוא את המסלול הקצר בין זוג קודקודים עיקרון הרלקסציה של קשת: בדיקה האם ניתן לשפר מסלול מ s ל v ע"י מעבר דרך קודקוד u:?
Διαβάστε περισσότεραMatthew Mark Luke Acts Greek Reconstruction Hebrew Reconstruction. 7 ל ת ל מ יד יו οὓς ἤθελεν αὐτός τοὺς μαθητὰς αὐτοῦ τοὺς μαθητὰς αὐτοῦ
Calling and Training Disciples: Mission of the Twelve complex: Choosing the Twelve 1 1 3:13 καὶ 6:12 Ἐγένετο δὲ ἐν ταῖς ἡμέραις ταύταις And it happened / And / in / the / days / these 2 ἀναβαίνει εἰς τὸ
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα)
Ενότητα 10 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές)
Διαβάστε περισσότερα1 st Sunday in Lent (C) Deuteronomy 26:1-11 Psalm 91:1-2, 9-16 Romans 10:8b-13 Luke 4:1-13
1 1 st Sunday in Lent (C) Deuteronomy 26:1-11 Psalm 91:1-2, 9-16 Romans 10:8b-13 Luke 4:1-13 Deuteronomy 26:1 Once you have entered the land the LORD your God is giving you as an inheritance, and you take
Διαβάστε περισσότεραאוגרים: Registers מונים: Counters
תרגול מס פר 5 6, מעגלי ם ספרתיים נבנה מעגלים עם זיכרון. נכיר 3 סוגי רכיבים: דלגלגים: FlipFlops אוגרים: Registers מונים: Counters Flip Flops נכיר 4 סוגים: SR-FF T-FF D-FF JK-FF כל FF מהווה יחידת זיכרון
Διαβάστε περισσότερα1 Samuel 2:18-20, 26 Psalm 148 Colossians 3:12-17 Luke 2:41-52 Mark 1:1-20 N (Psalm 91:9-12) N2
1 First Sunday of Christmas (C) 1 Samuel 2:18-20, 26 Psalm 148 Colossians 3:12-17 Luke 2:41-52 Mark 1:1-20 N (Psalm 91:9-12) N2 1 Samuel 2:18 Samuel was ministering before the LORD, a boy clothed with
Διαβάστε περισσότεραר ץ תּוֹצ יא צ מ ח הּ וּכ ג נּ ה ז רוּע יה ת צ מ יח כּ ן א ד נ י י הו ה י צ מ יח צ ד ק ה וּת ה לּ ה נ ג ד כּ ל ה גּוֹי ם
1 First Sunday after Christmas (B) or 1ChristmasB Isaiah 61:10-62:3 Psalm 148 Galatians 4:4-7 Luke 2:22-40 Isaiah 61:10 I surely rejoice in the LORD; my heart is joyful because of my God, because he has
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διάλεξη 9: Εισαγωγή στους Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διαβάστε περισσότερα1 Samuel 3:1-10, (11-20) Psalm 139:1-6, Corinthians 6:12-20 John 1:43-51
1 Second Sunday after Epiphany (B) or 2EpiphanyB 1 Samuel 3:1-10, (11-20) Psalm 139:1-6, 13-18 1 Corinthians 6:12-20 John 1:43-51 1 Samuel 3:1 Now the boy Samuel was serving the LORD under Eli. The LORD's
Διαβάστε περισσότεραLXX From the Greek iuxta Hebraeos MT
Psalm 145 (Lxx 144) 144:1 Αι»νεσις τὠ^ Δαυιδ. Υψω' σω σε, ο θεο' ς μου ο βασιλευ' ς μου, καὶ ευ λογη' σω τὸ ο»νομα' σου ει ς τὸν αι ω^ να καὶ ει ς τὸν αι ω^ να του^ αι ω^ νος. 144:2 καθ ε κα' στην η με'ραν
Διαβάστε περισσότεραActs 2:1-21 or Ezekiel 37:1-14 Psalm 104:24-34, 35b Romans 8:22-27 or Acts 2:1-21 John 15:26-27; 16:4b-15
1 Penetecost (B) or PentecostB Acts 2:1-21 or Ezekiel 37:1-14 Psalm 104:24-34, 35b Romans 8:22-27 or Acts 2:1-21 John 15:26-27; 16:4b-15 Acts 2:1 When Pentecost Day arrived, they were all together in one
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 26 Ιουνίου 201 1 / Απληστοι (Greedy) Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότερα2 Kings 2:1-12 Psalm 50:1-6 2 Corinthians 4:3-6 Mark 9:2-9 Matthew 16:24-17:8 Psalm 41:7-10 N2
1 Transfiguration Sunday (B) 2 Kings 2:1-12 Psalm 50:1-6 2 Corinthians 4:3-6 Mark 9:2-9 Matthew 16:24-17:8 Psalm 41:7-10 N2 2 Kings 2:1 Now when the LORD was about to take Elijah up to heaven by a whirlwind,
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 3 Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Dijkstra Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 3 Dijkstra
Διαβάστε περισσότεραיסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Μαΐου 201 1 / Απληστοι (Greedy) Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότεραחורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'
מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων. Γραφήματα. Αναπαράσταση Γραφημάτων 3. Διερεύνηση σε Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γράφημα Ορισμός: Ένα γράφημα G είναι το διατεταγμένο ζεύγος
Διαβάστε περισσότεραSongs of the Ascents
Psalms Of Ascent Psalms of Ascent To see how the content of this workbook should look when printed, In a PDF-reader select VIEW on the top menu, and then Page Display by selecting a Two Page view or scrolling
Διαβάστε περισσότεραIsaiah 43:1-7 Psalm 29 Acts 8:14-17 Luke 3:15-17, 21-22
1 Baptism of the Lord (C) Isaiah 43:1-7 Psalm 9 Acts 8:14-17 Luke 3:15-17, 1- Isaiah 43:1 But now, says the LORD-- the one who created you, Jacob, the one who formed you, Israel: Don't fear, for I have
Διαβάστε περισσότεραZephaniah 3:14-20 Isaiah 12:2-6 Philippians 4:4-7 Luke 3:7-18
1 3 rd Sunday of Advent (C) Zephaniah 3:14-20 Isaiah 12:2-6 Philippians 4:4-7 Luke 3:7-18 Zephaniah 3:14 Rejoice, Daughter Zion! Shout, Israel! Rejoice and exult with all your heart, Daughter Jerusalem.
Διαβάστε περισσότεραJeremiah 31:31-34 Psalm 51:1-12 or Psalm 119:9-16 Hebrews 5:5-10 John 12: Fifth Sunday of Lent (B)
1 Fifth Sunday of Lent (B) Jeremiah 31:31-34 Psalm 51:1-12 or Psalm 119:9-16 Hebrews 5:5-10 John 12:20-33 Jeremiah 31:31 The time is coming, declares the LORD, when I will make a new covenant with the
Διαβάστε περισσότεραתנועת כוכבי הלכת על כיפת השמים תנועת כוכבי הלכת בשמים נובעת משלוש סיבות: סיבוב כדור הארץ סביב צירו (תנועה יומית) הקפת כדור הארץ את השמש הקפת כוכבי הלכת את השמש תנועה קדומנית מוגדרת כ תנועה של כוכב הלכת
Διαβάστε περισσότεραJoshua 3:7-17 Psalm 107:1-7, // Micah 3:5-12 Psalm 43 // 1 Thessalonians 2:9-13 Matthew 23:1-12
Twenty Second Sunday after Pentecost (A) or 22PentecostA Joshua 3:7-17 Psalm 107:1-7, 33-37 // Micah 3:5-12 Psalm 43 // 1 Thessalonians 2:9-13 Matthew 23:1-12 Joshua 3:7 The LORD said to Joshua, "Today
Διαβάστε περισσότεραIsaiah 62:6-12 Psalm 97 Titus 3:4-7 Luke 2:(1-7), 8-20
1 Christmas Day (B) I Isaiah 62:6-12 Psalm 97 Titus 3:4-7 Luke 2:(1-7), 8-20 Isaiah 62:6 Upon your walls, Jerusalem, I have appointed sentinels. Continually, all day and all night, they won't keep silent.
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 13
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Directed Graphs
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Directed Graphs Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Directed Graphs BOS ORD JFK SFO LAX DFW MIA Directed Graphs 1 Outline and
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 5: Μείωσε και Βασίλευε. Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 5: Μείωσε και Βασίλευε Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραIsaiah 11:1-10 Psalm 72:1-7, Romans 15:4-13 Matthew 3:1-12
Second Sunday of Advent (C) Isaiah 11:1-10 Psalm 72:1-7, 18-19 Romans 15:4-13 Matthew 3:1-12 Isaiah 11:1 There shall come forth a shoot from the stump of Jesse, and a branch from his roots shall bear fruit.
Διαβάστε περισσότεραبن اػضاص ظبئؼ ص ئ ١ بطا ظ االػضاص غ ١ غ ج ص ف ا زغج ا جؼ ١ ١ خ. Holy_bible_1 ا شج بن اػضاص ظبئؼ ا زغج ا جؼ ١ ١ خ ا غص ظا صذ ١ خ ال ٠ ىغ ا ١ ص ا ١ ذ ١١
بن اػضاص ظبئؼ ص ئ ١ ػضص 1 اال ي االصذبح 18 ا ا ؼضص 9 ا ا ؼضص 11 ا ؼضص 5 ا ا ؼضص 19 ا ؼضص ا ؼضص 17 30 ظ االػضاصغ ١ غ ج ص ف ا زغج ا جؼ ١ ١ خ Holy_bible_1 ا شج بن اػضاص ظبئؼ ا زغج ا جؼ ١ ١ خ ا غص ظا صذ ١
Διαβάστε περισσότεραMatthew Mark Luke Greek Reconstruction Hebrew Reconstruction
Calling and Training Disciples: Cost of Entering the Kingdom of Heaven complex: Rich Man Declines the Kingdom of Heaven 1 1 19:16 καὶ ἰδοὺ 10:17 καὶ 18:18 καὶ [καὶ 1 And / behold And And And 2 ἐκπορευομένου
Διαβάστε περισσότεραל א מּ ים ו ע ל י ך י ז ר ח י הו ה וּכ בוֹ דוֹ ע ל י ך י ר א ה שׂ א י ס ב יב ע ינ י ך וּר א י כּ לּ ם נ ק בּ צוּ ב אוּ ל ך בּ נ י ך מ ר חוֹק י ב אוּ וּב נ ת
1 Epiphany (C) Isaiah 60:1-6 Psalm 72:1-7, 10-14 Ephesians :1-12 Matthew 2:1-12 Isaiah 60:1 Arise! Shine! Your light has come; the LORD's glory has shone upon you. 2 Though darkness covers the earth and
Διαβάστε περισσότεραActs 2:1-21 or Numbers 11:24-30 Psalm 104:24-34, 35b 1 Corinthians 12:3b-13 or Acts 2:1-21 John 20:19-23 or John 7:37-39
1 Pentecost (A) Acts 2:1-21 or Numbers 11:24-30 Psalm 104:24-34, 35b 1 Corinthians 12:3b-13 or Acts 2:1-21 John 20:19-23 or John 7:37-39 Acts 2:1 When the day of Pentecost arrived, they were all together
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 26 - I. ΜΗΛΗΣ NP-complete προβλήματα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II Tree of reductions (partial) Cook s Th. Π NP SAT 3-SAT
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Αλγορίθμων - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1
Σχεδίαση Αλγορίθμων Μείωσε και Βασίλευε http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/ad auth gounaris/courses/ad Σχεδίαση Αλγορίθμων - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Μείωσε και Βασίλευε 1. Μειώνουμε
Διαβάστε περισσότεραExodus 20:1-17 Psalm 19 1 Corinthians 1:18-25 John 2:13-22
1 Third Sunday of Lent (B) or 3LentB Exodus 20:1-17 Psalm 19 1 Corinthians 1:18-25 John 2:13-22 Exodus 20:1 Then God spoke all these words: 2 I am the LORD your God who brought you out of Egypt, out of
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου,
Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Γράφοι - ορισµοί και υλοποίηση Τοπολογική Ταξινόµηση ιάσχιση Γράφων ΕΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 26 - Γράφοι Ηπιο
Διαβάστε περισσότεραTwentieth Sunday after Pentecost (A) or 20 th Sunday after Pentecost (A)
1 Twentieth Sunday after Pentecost (A) or 20 th Sunday after Pentecost (A) Exodus 33:12-23 Psalm 99 // Isaiah 45:1-7 Psalm 96:1-9, (10-13) // 1 Thessalonians 1:1-10 Matthew 22:15-22 Exodus 33:12 Moses
Διαβάστε περισσότεραPush versus Pull. Introductory Quotation. / MRP תד"ח Just in Time (JIT) TOC/OPT
ש יט ו ת לנ י ה ו ל ה י י צ ו ר ג יש ות ל ה ול כת מ ו צר ד רך מתקנ י ה י י צ ו ר תכנון דרישות חומרים תד"ח (Materials Requirement Planning MRP) אספקה בדיוק בזמן Time-JIT).(Just in MRP נחשבת מערכת דוחפת
Διαβάστε περισσότεραHoly_bible_1
Holy_bible_ 9 3 : http://holy-bible-.com/articles/display/0248 8tc Some mss of the LXX lack vv. 2-3. Net Bible 9 9 9 9 72 Now David was the son of that Ephrathite, of Bethlehem Juda, before mentioned,
Διαβάστε περισσότεραI. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx
דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה
Διαβάστε περισσότεραSCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)
Διαβάστε περισσότεραSeventh Sunday of Easter (A) *Acts 1:6-14 Psalm 68:1-10, Peter 4:12-14; 5:6-11 John 17:1-11
1 Seventh Sunday of Easter (A) *Acts 1:6-14 Psalm 68:1-10, 32-35 1 Peter 4:12-14; 5:6-11 John 17:1-11 Acts 1:6 So when they had come together, they asked him, "Lord, will you at this time restore the kingdom
Διαβάστε περισσότεραו ע תּ ה יוֹשׁ ב י רוּשׁ ל ם ו א ישׁ י הוּד ה שׁ פ טוּ נ א בּ ינ י וּב ין כּ ר מ י 4 מ ה לּ ע שׂוֹת עוֹד ל כ ר מ י ו ל א ע שׂ ית י
1 Thirteenth Sunday of Pentecost (C) or Twentieth Sunday Ordinary (C) Isaiah 5:1-7 Psalm 80:1-2, 8-19 (or) Jeremiah 23:23-29 Psalm 82 Hebrews 11:29-12:2 Luke 12:49-56 Isaiah 5:1 Let me sing for my beloved
Διαβάστε περισσότεραמבחן מועד ב' בהצלחה! אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: ודאו כי כל עמודי הבחינה נמצאים בידכם.
7.8.2017 מבחן מועד ב' תאריך הבחינה: שמות המרצים: מר בועז ארד פרופ' עמוס ביימל מר יהונתן כהן דר' עדן כלמטץ' גב' מיכל שמש אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: שם הקורס: תכנון אלגוריתמים מספר הקורס: 202-1-2041
Διαβάστε περισσότερα1. Mose. Kapitel 1 א ת ה ש מ י ם ו א ת ה אר ץ. Bibel. 1 εν αρχη εποιησεν ο θεος τον ουρανον και την γην
Bibel 1. Mose Kapitel 1 ב ר אש ית ב ר א א לה ים 1 א ת ה ש מ י ם ו א ת ה אר ץ 1 εν αρχη εποιησεν ο θεος τον ουρανον και την γην 1 Am Anfang schuf ELOHIM (Joh.1,1 gr. theos) die Himmel und die Erde ו ה אר
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 3 Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Prim-Kruskal Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 3 Prim-Kruskal
Διαβάστε περισσότεραIsaiah 40:21-31 Psalm 147:1-11, 20c 1 Corinthians 9:16-23 Mark 1:29-39
1 Fifth Sunday after Epiphany (B) Isaiah 40:21-31 Psalm 147:1-11, 20c 1 Corinthians 9:16-23 Mark 1:29-39 Isaiah 40:21 Don't you know? Haven't you heard? Wasn't it announced to you from the beginning? Haven't
Διαβάστε περισσότεραEzekiel 34:11-16, Psalm 100 // Ezekiel 34:11-16, Psalm 95:1-7a // Ephesians 1:15-23 Matthew 25:31-46
1 Christ the King (A) or Reign of Christ (A) Ezekiel 34:11-16, 20-24 Psalm 100 // Ezekiel 34:11-16, 20-24 Psalm 95:1-7a // Ephesians 1:15-23 Matthew 25:31-46 Ezekiel 34:11 The LORD God proclaims: I myself
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές δεδομένων. Ενότητα 10η: Γράφοι Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Ενότητα 10η: Γράφοι Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητα 10 Γράφοι ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Γράφοι (ή Γραφήματα) Ένας γράφος
Διαβάστε περισσότεραו יּ ס פ וּ בּ נ י י שׂ ר א ל ל ע שׂוֹת ה ר ע בּ ע ינ י י הו ה ו א הוּד מ ת
1 Twenty Fourth Sunday after Pentecost (A) Judges 4:1-7 Psalm 123 // Zephaniah 1:7, 12-18 Psalm 90:1-8, (9-11), 12 // 1 Thessalonians 5:1-11 Matthew 25:14-30 Judges 4:1 After Ehud had died, the Israelites
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Eλάχιστα μονοπάτια
Αλγόριθμοι Eλάχιστα μονοπάτια Μάρθα Σιδέρη Προτεινόμενη βιβλιογραφία: S. Dasgupta, C.H. Papadimitriou, and U.V. Vazirani «Αλγόριθμοι» Κλειδάριθμος 009 Κεφάλαιο. http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/chap.pdf
Διαβάστε περισσότεραו יּ שׁ ב י ע ק ב בּ א ר ץ מ גוּר י א ב יו בּ א ר ץ כּ נ ע ן 2 א לּ ה תּ ל דוֹת י ע ק ב יוֹס ף
Tenth Sunday after Pentecost (A) Genesis 37:1-4, 12-28 or Psalm 105: 1-6, 16-22, 45b // 1 Kings 19:9-18 Psalm 85:8-13 // Romans 10:5-15 Matthew 14:22-33 Genesis 37:1 Jacob lived in the land of Canaan where
Διαβάστε περισσότεραו יּ ע ן א יּוֹב א ת י הו ה ו יּ אמ ר ) 2 י ד ע תּ ( [י ד ע תּ י] כּ י כ ל תּוּכ ל ו ל א י בּ צ ר מ מּ ך מ ז מּ ה 3 מי א שׁ א ל ך ו הוֹד יע נ י ו א פ ר פ
מּ 1 23 rd Sunday after Pentecost (B) Job 42:1-6, 10-17 Psalm 34:1-8, (19-22) // Jeremiah 31:7-9 Psalm 126 Hebrews 7:23-28 Mark 10:46-52 Job 42:1 Job answered the LORD: 2 I know you can do anything; no
Διαβάστε περισσότεραTrials, Sickness, and Suffering
ספר תהילים סו 66 Tehillim / Psalms ספר תהילים סו 66 Tehillim / Psalms MATSATI.COM Ministry http://www.matsati.com Trials, Sickness, and Suffering א ל מ נ צּ ח שׁ יר מ ז מוֹר ה ר יעוּ In this week s study from
Διαβάστε περισσότεραSecond Sunday Advent (B) Isaiah 40:1-11 Psalm 85:1-2, Peter 3:8-15a Mark 1:1-8
Second Sunday Advent (B) Isaiah 40:1-11 Psalm 85:1-2, 8-13 2 Peter 3:8-15a Mark 1:1-8 CEB Isaiah 40:1 Comfort, comfort my people! says your God. 2 Speak compassionately to Jerusalem, and proclaim to her
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γράφων Αλγόριθμοι BFS, Prim, Dijkstra, Bellman-Ford
Θεωρία ράφων λγόριθμοι BFS, Prim, Dijkstra, Bellman-Ford Θεωρία γράφων Υπογράφοι και spanning trees Ένας γράφος G =(V,E ) είναι υπογράφος (subgraph) ενός γράφου G=(V,E) αν V ' V και E' E Ένας υπογράφος
Διαβάστε περισσότερα1 Samuel 15:34-16:13 Psalm 20 Ezekiel 17:22-24 Psalm 92:1-4, Corinthians 5:6-10, (11-13), Mark 4:26-34
1 Fourth Sunday after Pentecost (B) or 4PentecostB 1 Samuel 15:34-16:13 Psalm 20 Ezekiel 17:22-24 Psalm 92:1-4, 12-15 2 Corinthians 5:6-10, (11-13), 14-17 Mark 4:26-34 1 Samuel 15:34 Then Samuel went to
Διαβάστε περισσότερα*Acts 16:16-34 Psalm 97 Revelation 22:12-14, 16-17, John 17:20-26
1 Seventh Sunday of Easter (C) *Acts 16:16-34 Psalm 97 Revelation 22:12-14, 16-17, 20-21 John 17:20-26 Acts 16:16 As we were going to the place of prayer, we were met by a slave girl who had a spirit of
Διαβάστε περισσότεραתרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME
הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות תרגילים הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות באמצעות Q תרגיל 1 מעגל העובר דרך הקודקודים ו- של המקבילית ו- חותך את האלכסונים שלה בנקודות (ראה ציור) מונחות על,,, הוכח כי
Διαβάστε περισσότεραI Enmity in Attic Forensic oratory as heuristic lens: Lysias 1,4, Against Teisis, Demosthenes 54
Private enmity as social status in Biblical Law SBL Chicago, Nov 19, 2012 Klaus Peter Adam / Lutheran School of Theology at Chicago I Enmity in Attic Forensic oratory as heuristic lens: Lysias 1,4, Against
Διαβάστε περισσότερα