6.2 Συγχρονισμός Απόδοση όταν η οπτική ανάδραση εφαρμοστεί στην κρυπτογραφία σε υψηλή ταχύτητα μετάδοσης...70

Transcript

1 Περιεχόμενα Εισαγωγή Αναπαράσταση, μετάδοση και κρυπτογράφηση της πληροφορίας Κρυπτογραφία με τη χρήση κλειδιών Κβαντική κρυπτογραφία Χαοτική κρυπτογραφία Κυματοδηγούμενα επικοινωνιακά συστήματα Συστατικά οπτικών δικτύων που χρησιμοποιούνται στη χαοτική κρυπτογραφία Οπτική ίνα Ενισχυτής Φωτοανιχνευτής Οπτικό φίλτρο Συμβολόμετρο (interferometer) Διαχωριστής δέσμης (beam splitter) Ημιαγωγικό laser Χαοτική κρυπτογραφία με ημιαγωγικά laser Διατάξεις παραγωγής χαοτικών σημάτων Πιστοποίηση της χαοτικής λειτουργίας ενός δυναμικού συστήματος Χαρακτηρισμός και αποτίμηση της χαοτικής συμπεριφοράς στα δυναμικά συστήματα Φάσματα ισχύος Χώρος φάσεων Προσέγγιση Lyapunov Διαγράμματα δικρανισμού ή Feigenbaum Μέθοδος Grassberger και Procaccia Πορείες προς το χάος Πορεία προς το χάος με διπλασιασμό περιόδου Πορεία προς το χάος με ημιπεριοδικότητα Πορεία προς το χάος με διαλλειπτόμενη λειτουργία Διαλλειπτότητα επαγόμενη από κρίση Συγχρονισμός ημιαγωγικών laser Τεχνικές κρυπτογράφησης/αποκρυπτογράφησης στα laser Σημαντικές απαιτήσεις & χαρακτηριστικά των ημιαγωγικών laser Δυναμική διατάξεων παραγωγής χαοτικών φερόντων που χρησιμοποιούν μονότροπα ημιαγωγικά laser Βασικά στοιχεία δυναμικής ενός laser Μη-γραμμικός μηχανισμός Ταξινόμηση των laser Παράμετροι και μεταβλητές Μετασχηματισμός εξισώσεων ρυθμού Οπτική Έγχυση Μη-γραμμική δυναμική Συγχρονισμός Απόδοση όταν η οπτική έγχυση εφαρμοστεί στην κρυπτογραφία με υψηλή ταχύτητα μετάδοσης Οπτική Ανάδραση Μη-γραμμική δυναμική /126

2 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας 6.2 Συγχρονισμός Απόδοση όταν η οπτική ανάδραση εφαρμοστεί στην κρυπτογραφία σε υψηλή ταχύτητα μετάδοσης Οπτοηλεκτρονική ανάδραση Μη-γραμμική δυναμική Συγχρονισμός Απόδοση όταν η οπτοηλεκτρονική ανάδραση εφαρμοστεί στην κρυπτογραφία με υψηλή ταχύτητα μετάδοσης Σύγκριση διατάξεων έγχυσης, οπτικής & οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης Συμπεράσματα Προοπτικές...85 Παραρτήματα...87 Παράρτημα Α : Χρήσιμα στοιχεία θεωρίας σημάτων...89 Παράρτημα Β : Αλφαβητικό Ευρετήριο...96 Παράρτημα Γ : Συντομογραφίες Παράρτημα Δ : Matlab Παράρτημα Ε : Βιβλιογραφία /126 Στέα Ελένη Μαρία 809

3 Εισαγωγή Στον ολοένα εξελισσόμενο και ανταγωνιστικό κλάδο της διακίνησης πληροφορίας και των τηλεπικοινωνιών, καινούρια πεδία έρευνας ανοίγονται διαρκώς, ακολουθώντας τις απαιτήσεις για βελτιωμένες υπηρεσίες και καλύτερη ποιότητα ζωής. Ο τομέας των οπτικών επικοινωνιών αναπτύσσεται ραγδαία και ήδη απασχολεί ένα μεγάλο τμήμα της επιστημονικής και τεχνολογικής κοινότητας. Ήδη, τα τελευταία χρόνια, τα δίκτυα οπτικών ινών αποτελούν τον κύριο κορμό του κλάδου των τηλεπικοινωνιών στις περισσότερες αναπτυγμένες και αναπτυσσόμενες χώρες. Τα βασικά δομικά στοιχεία των συστημάτων αυτών είναι οι πομποί και οι δέκτες. Τα ημιαγώγιμα υλικά παίζουν μοναδικό και αναντικατάστατο ρόλο στην τεχνολογία κατασκευής τους και αποτελούν αντικείμενο συστηματικής και εκτεταμένης μελέτης τις τελευταίες δεκαετίες. Τα laser είναι ταλαντωτές που παράγουν το σύμφωνο φως εκπομπής, το οποίο παίζει το ρόλο του φέροντος σήματος στις οπτικές επικοινωνίες. Mεταφέρει, δηλαδή, τα χρήσιμα δεδομένα σε κάθε άκρο του οπτικού δικτύου επικοινωνίας. Σήμερα, τα laser αποτελούν τον κορμό των οπτικών επικοινωνιών, χάρη στη δυνατότητά τους να εκτελούν μεγάλης ισχύος εκπομπές στα επιθυμητά μήκη κύματος για διάδοση στις οπτικές ίνες δηλαδή στα 1,3 μm ή 1,55 μm. [PapadimitriouTsimoulasObaidatPomportsis2003] Η ικανότητά τους αυτή τα καθιστά ιδανικά για την παραγωγή οπτικών σημάτων που προορίζονται για διάδοση σε μεγάλες αποστάσεις. Παρόλο που η κατασκευή και η λειτουργία τους βασίζεται σε μηγραμμικά φαινόμενα, και γι' αυτό χαρακτηρίζονται ως μη-γραμμικοί ταλαντωτές, οι περισσότερες εφαρμογές απαιτούν τη μέγιστη υποβάθμιση αυτών των μη-γραμμικών φαινομένων και τη λειτουργία τους σε σταθερές συνθήκες. [Αργύρης2006] Κατά τη δεκαετία του 90, το ενδιαφέρον των επιστημόνων εστιάστηκε κυρίως στην εξάλειψη των μη-γραμμικών φαινομένων στα laser. Κύριος στόχος ήταν η χρήση τους ως σταθερές και αξιόπιστες πηγές σύμφωνου φωτός. Ωστόσο, όταν αποδείχτηκε ότι η μηγραμμική λειτουργία των laser μπορεί να είναι χαοτική, οι επιστήμονες παρακινήθηκαν να την εξερευνήσουν διεξοδικά αντί να την απορρίψουν. Ο λόγος αυτής της στροφής προς τη μελέτη της χαοτικής συμπεριφοράς των συστημάτων laser ημιαγωγών, ήταν το γεγονός ότι η δυναμική που παρουσιάζει ένα χαοτικό σύστημα, αν και ασταθής, αποτελεί πάντοτε λύση του συστήματος, δηλαδή, μπορεί το σύστημα να ταλαντώνεται με ασταθή τρόπο ως προς τις μεταβλητές του, όμως η ταλάντωση είναι ντετερμινιστική.[shorekane2005] Επιπλέον, είναι αδύνατο να προβλεφθούν μελλοντικές καταστάσεις του συστήματος σε μακροπρόθεσμη κλίμακα. Στις εφαρμογές χαοτικής κρυπτογραφίας, ένας χαοτικός πομπός και ένας δέκτης μπορούν να συγχρονιστούν με στόχο την τελική μετάδοση δεδομένων. Το φαινόμενο του χαοτικού συγχρονισμού είναι άμεση συνέπεια της ντετερμινιστικής φύσης του συστήματος. Τα laser ημιαγωγών που λειτουργούν σε χαοτική περιοχή παράγουν ταλαντώσεις υψηλής φασματικής διάστασης με ένα φασματικό εύρος έως και μερικές δεκάδες GHz. Έτσι αποτελούν ιδανικά μέσα κρυπτογράφησης δεδομένων που απαιτούν υψηλό ρυθμό μετάδοσης. Επιπλέον, η πλήρης συμβατότητά τους με την υπάρχουσα οπτική τεχνολογία, παρέχει ευχρηστία στην ανάπτυξη οπτικών επικοινωνιακών συστημάτων χαοτικής κρυπτογραφίας. [LarsonLiuTsimring2006] 3/126

4 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Η εργασία αυτή, μελετά μια μέθοδο κωδικοποίησης και αποστολής πληροφορίας μεταξύ πομπών και δεκτών που συνδέονται με δίκτυο οπτικών ινών. Η κωδικοποίηση, γίνεται χρησιμοποιώντας χαοτικά σήματα, που παράγονται από laser ημιαγωγών, με τρόπο ώστε να είναι αδύνατη η αποκωδικοποίηση, αν κάποιος υποκλοπέας παρεμβληθεί στη μετάδοση. Η περιγραφή της μεθόδου και των διατάξεων laser που εμπλέκονται στη διαδικασία απαιτεί κάποιες γνώσεις από τη θεωρία του χάους και την επεξεργασία σημάτων. Για το λόγο αυτό, τα τρία πρώτα κεφάλαια αναφέρονται γενικά στη θεωρία του χάους, τη χαοτική κρυπτογραφία και τη λειτουργία των διατάξεων laser που χρησιμοποιούνται ως χαοτικές γεννήτριες. Το τέταρτο κεφάλαιο, περιέχει τη μαθηματική περιγραφή των εξισώσεων ρυθμού των laser και όλες τις παραμέτρους από τις οποίες εξαρτάται η δυναμική τους. Τα κεφάλαια 5, 6 και 7 αναφέρονται στη δυναμική, το συγχρονισμό και την απόδοση των διατάξεων οπτικής έγχυσης, οπτικής ανάδρασης και οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης αντίστοιχα, όταν χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με τα κρυπτογραφικά σχήματα ACM,CMS και CSK. Στο κεφάλαιο 8 γίνεται η σύγκριση των διατάξεων, ενώ τα κεφάλαια 9 και 10 αναφέρονται στα συμπεράσματα και τις προοπτικές της χρήσης χαοτικών φερόντων στην κρυπτογραφία. 4/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

5 1 Αναπαράσταση, μετάδοση και κρυπτογράφηση της πληροφορίας Η ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών έθεσε τα θεμέλια για πολλά επιστημονικά, εμπορικά και βιομηχανικά επιτεύγματα. Πλέον, οι υπολογιστές βρίσκουν εφαρμογή σχεδόν σε κάθε τομέα: από την παρακολούθηση των διαστημικών σκαφών, μέχρι την εκπαίδευση και την επεξεργασία εμπορικών δεδομένων. Σε καθένα από αυτούς τους τομείς, οι υπολογιστές, χρησιμοποιούνται για τους ίδιους γενικούς σκοπούς: την αποθήκευση, τον έλεγχο, την επεξεργασία και τη διακίνηση οποιουδήποτε είδους δεδομένων ή πληροφορίας. Τα δεδομένα ενός χρήστη, μπορούν να μεταδοθούν σε άλλους μέσω ενός δικτύου όπως αυτό του σχήματος 1.1 αφού μετατραπούν σε κάποια μορφή σημάτων. Στα δίκτυα οπτικών ινών χρησιμοποιούνται ηλεκτρομαγνητικά σήματα στην οπτική περιοχή συχνοτήτων ή στις πολύ κοντινές περιοχές της. Πριν από τη μετάδοσή τους, τα δεδομένα, υπόκεινται σε επεξεργασία από τα διάφορα επίπεδα οργάνωσης των υπολογιστών του δικτύου. Στο ανώτερο επίπεδο, δηλαδή το επίπεδο εφαρμογών, ο χρήστης αλληλεπιδρά με τον υπολογιστή, εκτελώντας προγράμματα (ακολουθίες εντολών) μέσω των οποίων εισάγει, επεξεργάζεται και αποθηκεύει δεδομένα στον υπολογιστή. Τα δεδομένα αλλά και τα ίδια τα προγράμματα μπορούν να αλλάζουν και να τροποποιούνται από το χρήστη, χωρίς να χρειάζεται, συνήθως, να γίνονται αλλαγές στα χαμηλότερα επίπεδα. Πιο κάτω, υπάρχει το λειτουργικό σύστημα, το οποίο, έχει το ρόλο του ενδιάμεσου επικοινωνίας των προγραμμάτων με το υλικό, παρέχοντας τις λειτουργίες που χρειάζονται για την εκμετάλλευση των πόρων του υπολογιστή, την επικοινωνία πολλών προγραμμάτων, τη δρομολόγηση εργασιών στον επεξεργαστή και άλλες εργασίες. Στο χαμηλότερο επίπεδο υπάρχει το υλικό του υπολογιστή, δηλαδή οι επεξεργαστές, τα τρανζίστορ, οι δίαυλοι και τα διάφορα στοιχεία που είναι απαραίτητα για τη λειτουργία του. Στο επίπεδο των εφαρμογών ο χρήστης δίνει δεδομένα χρησιμοποιώντας φυσική γλώσσα και τα προγράμματα είναι γραμμένα σε γλώσσες υψηλού επιπέδου. Το λειτουργικό σύστημα λαμβάνει εντολές από αυτά με κλήσεις συστήματος και εκτελώντας τις κατάλληλες κλήσεις πυρήνα δίνει εντολές για την εκτέλεση ενεργειών με το υλικό του υπολογιστή (π.χ. μετά από μια κλήση πυρήνα δίνεται οδηγία για εκτύπωση μέσω του driver του εκτυπωτή ή εντολή για αποστολή ενός πακέτου μέσω δικτύου). Περισσότερα για τα λειτουργικά συστήματα υπάρχουν στο [Stallings2003b], ενώ για την οργάνωση και τη λειτουργία του υλικού του υπολογιστή, υπάρχουν στα: [Stallings2003a], [Mano1992], [WesteEshraghian1996] και [BrownVranesic2000]. Στο επίπεδο του υλικού, η διακίνηση της πληροφορίας γίνεται μέσω ηλεκτρικών σημάτων. Αυτά, είναι ακολουθίες από bits που εναλλάσσονται. Κάθε bit είναι ένα λογικό 0 ή 1 και αντιστοιχεί σε μια χαμηλή ή υψηλή τάση ρεύματος αντίστοιχα. Για το λόγο αυτό, όλα τα δεδομένα που δίνουν οι χρήστες στο επίπεδο εφαρμογών μετατρέπονται σε ακολουθίες άσσων και μηδενικών. Έτσι, κάθε αριθμός μετατρέπεται σε αριθμό μηχανής εκφρασμένο στο δυαδικό σύστημα, [ΑκρίβηςΔουγαλής2006] κάθε χαρακτήρας σε αριθμό και στη συνέχεια σε ακολουθία από 0 και 1 σύμφωνα με πρότυπα όπως το ASCII, [KernighanRitchie2005] για κάθε εικόνα συγκεντρώνονται στοιχεία για τα pixels, τη φωτει5/126

6 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας νότητα ή άλλα χαρακτηριστικά και μετατρέπονται και αυτά σε δυαδικούς αριθμούς ώστε όλα τα είδη δεδομένων να μπορούν να παριστάνονται με ηλεκτρικές τάσεις στο επίπεδο του υλικού. Όταν χρειάζεται να μεταφερθούν δεδομένα μέσω ενός δικτύου, τα σήματα είτε παραμένουν ηλεκτρικά είτε αλλάζουν σε μορφή που να υποστηρίζει το δίκτυο π.χ. σε οπτικά αν πρόκειται για μεταφορά μέσω δικτύου οπτικών ινών. Η μελέτη της διακίνησης των δεδομένων στο επίπεδο αυτό δεν ασχολείται με το είδος της πληροφορίας που μεταφέρεται ούτε με τη μετατροπή της αλλά μόνο με τη σειρά των bits, ό,τι και αν παριστάνουν αυτά. Αυτό συμβαίνει επειδή και η επικοινωνία μεταξύ υπολογιστών χρησιμοποιεί επίπεδα, τα οποία υλοποιούνται σε μια δομή στοίβας στον πυρήνα του κάθε λειτουργικού. Κάθε υπολογιστής, μπορεί να μην υλοποιεί όλα τα επίπεδα και η στοίβα δεν ακολουθείται κατά γράμμα (εξαρτάται από τον πυρήνα, τα προγράμματα, το λειτουργικό σύστημα, το μοντέλο που χρησιμοποιείται π. χ. OSI ή TCP/IP κ. α.), ωστόσο, σε γενικές γραμμές η επικοινωνία επιτυγχάνεται με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα 1.1 όπου το επίπεδο Ν παρέχει την υποδομή για την υλοποίηση του επιπέδου Ν+1 και χρησιμοποιεί την υποδομή του επιπέδου Ν-1.[Stallings2003] Σε κάθε επίπεδο, χρησιμοποιούνται διαφορετικά πρωτόκολλα, καθένα από τα οποία χρησιμοποιεί μια κεφαλίδα για να δηλώνει την ταυτότητά του. Κατά την αποστολή ενός μηνύματος, τα πρωτόκολλα των ανωτέρων επιπέδων ενσωματώνονται στα αμέσως κατώτερα πρωτόκολλα με ενθυλάκωση, ενώ κατά τη λήψη ενός πακέτου συμβαίνει η αντίστροφη διαδικασία. Λεπτομέρειες υπάρχουν στα: [Stallings2003] και [Tanenbaum2003]. Σχήμα 1.1: Επικοινωνία υπολογιστών σε δίκτυο με χρήση επιπέδων Αποτέλεσμα της χρήσης των επιπέδων είναι ότι το μόνο πράγμα για το οποίο πρέπει να φροντίσει το επίπεδο του υλικού, είναι ο τρόπος μετάδοσης ώστε να ελαχιστοποιηθούν τα σφάλματα μετάδοσης και τα bit 0 και 1 του αποστολέα, να φτάνουν ως bit 0 και 1 και στον παραλήπτη. Δεν έχει καμιά σημασία αν τα bit αυτά θα είναι αποσπάσματα τραγουδιών, εικόνων ή κειμένου γιατί αυτά είναι θέματα των ανωτέρων επιπέδων. Στο επί6/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

7 πεδο του υλικού, όλες οι περιγραφές γίνονται με όρους σημάτων, βασικές έννοιες για τα οποία υπάρχουν στο παράρτημα Α. Κατά την επικοινωνία δύο χρηστών μέσω ενός επικοινωνιακού συστήματος, πολλές φορές χρειάζεται να μεταφερθούν ευαίσθητα προσωπικά δεδομένα όπως για παράδειγμα αριθμοί πιστωτικών καρτών, κωδικοί ασφαλείας κ.α. Είναι σημαντικό να υπάρχει ασφάλεια κατά την ανταλλαγή μηνυμάτων και να παρέχεται η δυνατότητα επαλήθευσης της ταυτότητας του καθενός. Για το λόγο αυτό είναι απαραίτητο να υπάρχει ένας μηχανισμός που να διασφαλίζει την ιδιωτικότητα ενός μηνύματος δηλαδή να κρατά την πληροφορία κρυφή από οποιοδήποτε άτομο δεν είναι αποδέκτης του, ακόμη κι αν έχει πρόσβαση στα μεταδιδόμενα δεδομένα. Ο μηχανισμός αυτός είναι το αντικείμενο της κρυπτογραφίας. Η κρυπτογράφηση/αποκρυπτογράφηση των δεδομένων είναι μια διαδικασία μέσω της οποίας τα δεδομένα μετατρέπονται σε μη-αναγνωρίσιμη μορφή για κάθε μη-εξουσιοδοτημένο παραλήπτη τους. Καθώς η περιοχή έρευνας που σχετίζεται με την κρυπτογραφία (δηλαδή την κρυπτογράφηση και την αποκρυπτογράφηση) εξελίσσεται διαρκώς, οι διαχωριστικές γραμμές του τι είναι πραγματικά κρυπτογραφία και τι όχι καθίστανται όλο και πιο δυσδιάκριτες. Ένας ορισμός της κρυπτογραφίας είναι ο εξής: Κρυπτογραφία είναι ένας μετασχηματισμός χαρακτήρα προς χαρακτήρα ή bit προς bit ο οποίος δεν ασχολείται με τη γλωσσική δομή του μηνύματος. [Tanenbaum2003] Ένας πιο γενικός ορισμός που περιλαμβάνει και νεότερες τεχνικές κρυπτογράφησης/αποκρυπτογράφησης είναι: Ως κρυπτογραφία μπορεί να οριστεί ο επιστημονικός κλάδος που ασχολείται με τη μετατροπή των πληροφοριών με στόχο τη διαφύλαξη του απορρήτου τους. [ΠομπόρτσηςΠαπαδημητρίου2003] Η κρυπτογράφηση των δεδομένων εκτελείται είτε στο επίπεδο εφαρμογών, όπου δημιουργούνται τα δεδομένα, είτε αφού αυτά τοποθετηθούν σε πακέτα στο τελευταίο επίπεδο (του φυσικού μέσου) για να διασχίσουν κωδικοποιημένα το δίκτυο μετάδοσης. Στην πρώτη περίπτωση, η διαδικασία συνίσταται από την αντιμετάθεση ή την αλλαγή των bits με τη βοήθεια αλγορίθμων και τυχαίων αριθμών που ονομάζονται κλειδιά. Αφού τα δεδομένα κρυπτογραφηθούν τοποθετούνται σε πακέτα των κατωτέρων επιπέδων με την ίδια διαδικασία που ακολουθείται και για τα μη-κρυπτογραφημένα δεδομένα. Στη δεύτερη περίπτωση, που είναι και το θέμα αυτής της εργασίας, το σήμα της πληροφορίας που προκύπτει από το τελευταίο στην ιεραρχία επίπεδο, μετατρέπεται στη μορφή που χρειάζεται για να μεταδοθεί πάνω από το μέσο μετάδοσης (π. χ. σε οπτικό σήμα όπου τα 0 και 1 παριστάνονται από παλμούς φωτός αντί για ηλεκτρικές τάσεις) και στη συνέχεια παραποιείται με τρόπο που μόνο ο εξουσιοδοτημένος παραλήπτης του να μπορεί να το ανασυνθέσει όταν το λάβει. Σε πολλές περιπτώσεις εφαρμογών είναι δυνατό να χρησιμοποιείται συνδυασμός μεθόδων κρυπτογραφίας. Το σήμα που μεταφέρει την πληροφορία αναφέρεται ως φέρον σήμα. 7/126

8 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας 1.1 Κρυπτογραφία με τη χρήση κλειδιών Τα συστήματα κρυπτογραφίας που χρησιμοποιούν κλειδιά είναι παραδοσιακά συστήματα κρυπτογραφίας που βασίζονται σε τεχνικές λογισμικού για τη διαφύλαξη της προσωπικής επικοινωνίας και της ασφάλειας των χρηστών τους. Χρησιμοποιούν μια κρυφή παράμετρο που ονομάζεται κλειδί και είναι πολύ πρακτικά για την ανταλλαγή πληροφορίας σε κάποιο μεγάλο δίκτυο, στο οποίο, ο κάθε χρήστης στέλνει και λαμβάνει δεδομένα από όλους. Το κλειδί είναι ένας μεγάλος αριθμός που πλέον μπορεί να έχει μήκος 256 ή 512 bits. Στα περισσότερα συστήματα, οι χρήστες χρησιμοποιούν ένα δημόσιο (γνωστό σε όλους) κλειδί και ένα ιδιωτικό κλειδί, το οποίο είναι γνωστό μόνο στον κάτοχό του και δε μεταφέρεται. Για να αποκρυπτογραφηθεί η πληροφορία από κάποιον τρίτο, αυτός θα πρέπει να μαντέψει το ιδιωτικό κλειδί κάτι που είναι πολύ δύσκολο ή και αδύνατο λόγω του πολύ μεγάλου μήκους του. Η τεχνική αυτή παρέχει ικανοποιητική αξιοπιστία. Ωστόσο έχει κάποια σοβαρά μειονεκτήματα. Αυτά είναι: Η ασφάλειά της βασίζεται στη θεωρία πληροφοριών του Shannon και κατά συνέπεια είναι μη ικανοποιητική. [Αργύρης2006] Απαιτείται να υπάρχει πάντα κάποιο μέσο επαλήθευσης των κλειδιών. Αν κάποιος υποκλοπέας καταφέρει να παρεμβληθεί στην επικοινωνία δύο συνδρομητών (επίθεση man in the middle [Tanenbaum2003], [ΠομπόρτσηςΠαπαδημητρίου2003]) και τους πείσει με κάποιο τρόπο να χρησιμοποιήσουν κάποιο δικό του κλειδί, αντί για το σωστό, τότε η μεταξύ τους επικοινωνία θα είναι πλήρως διαφανής σε αυτόν. Κατά τη διάρκεια μιας επίθεσης μπορεί να μεταβληθεί το πρόγραμμα κρυπτογράφησης ώστε να χρησιμοποιεί κλειδιά διαφορετικά από αυτά που έχουν οριστεί από τους νόμιμους χρήστες ή να καταγράψει όλα τα κλειδιά για μελλοντική χρήση, καταργώντας την ασφάλεια του συστήματος κρυπτογραφίας. [ΠομπόρτσηςΠαπαδημητρίου2003] 1.2 Κβαντική κρυπτογραφία Η μέθοδος κρυπτογράφησης βασίζεται στο φαινόμενο της πόλωσης του φωτός και στη χρήση μετασχηματισμών bit προς bit για ενίσχυση της προστασίας απορρήτου. Η τυχαία ακολουθία bit διαδίδεται μέσω ενός κβαντικού καναλιού και κάθε προσπάθεια υποκλοπής της επηρεάζει την αποστολή, με αποτέλεσμα την εμφάνιση μιας ακολουθίας λαθών κατά τη διάδοση. Οι χρήστες ανιχνεύουν αυτά τα λάθη με τη μετάδοση μιας κοινής ακολουθίας από bits επαλήθευσης. Αν εντοπιστούν σφάλματα, τότε, οι χρήστες γνωρίζουν ότι το κανάλι τους δέχεται υποκλοπή. Η τεχνική αυτή, είναι ισχυρή και η ασφάλεια της επικοινωνίας είναι εγγυημένη σε μεγάλο βαθμό σύμφωνα με τις αρχές της κβαντομηχανικής. Εντούτοις, παρουσιάζει κάποια 8/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

9 μειονεκτήματα: Απαιτεί περίπλοκο εξοπλισμό και το κόστος της είναι προς το παρόν απαγορευτικό. [Tanenbaum2003] Κρυπτογραφεί μόνο το κλειδί και όχι την πληροφορία στο φυσικό επίπεδο. Επομένως θα πρέπει να γίνεται συχνά επαλήθευση ταυτότητας για να διασφαλίζεται στατικά πάντα η προσωπική επικοινωνία. [DonatiMirasso2002], [Αργύρης 2006] Μέχρι στιγμής, εμφανίζει χαμηλούς ρυθμούς ανταλλαγής δεδομένων (μέχρι μερικές δεκάδες khz) [Αργύρης2006] Έχει ικανότητα μετάδοσης δεδομένων σε μικρές σχετικά αποστάσεις (περίπου 60 km) [Tanenbaum2003] Εμφανίζει ασυμβατότητα με κάποια στοιχεία του οπτικού δικτύου που χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε μεγάλου μήκους ζεύξεις όπως οι οπτικοί ενισχυτές. [Αργύρης2006] 1.3 Χαοτική κρυπτογραφία Μια νέα, αρκετά απλή στην υλοποίηση μέθοδος για την αύξηση της ασφάλειας των επικοινωνιακών συστημάτων είναι η χαοτική κρυπτογραφία. Στη μέθοδο αυτή, η προς μετάδοση πληροφορία κωδικοποιείται στο φυσικό επίπεδο και προστίθεται σε ένα χαοτικό φέρον σήμα. Τα χαοτικά ή μη-γραμμικά φέροντα είναι σήματα που η χρονοσειρά τους μοιάζει στη μορφή με σήμα θορύβου, δηλαδή έχει φαινομενικά τυχαία μορφή. Σε αντίθεση με τα σήματα θορύβου που προκύπτουν ως αποτέλεσμα τυχαίων διαδικασιών, τα χαοτικά σήματα είναι αποτελέσματα απόλυτα ντετερμινιστικών διαδικασιών, δηλαδή διαδικασιών στις οποίες το μέλλον καθορίζεται πλήρως από το παρόν. Αυτό πρακτικά σημαίνει, ότι αν και είναι αδύνατη η αποκρυπτογράφηση ενός ληφθέντος χαοτικού σήματος σε μια δεδομένη στιγμή, είναι δυνατή η παραγωγή ενός ίδιου σήματος από ένα ίδιο σύστημα που λειτουργεί στις ίδιες συνθήκες με το σήμα που παρήγαγε το ληφθέν σήμα. Σε αυτή την ιδιότητα των χαοτικών σημάτων, βασίζεται η χαοτική κρυπτογραφία. Η διαδικασία που ακολουθείται για την απόκρυψη της πληροφορίας σε μη-γραμμικά φέροντα έχει ως εξής: Μια γεννήτρια χάους, δηλαδή ένας χαοτικός ταλαντωτής, παράγει μια χαοτική κυματομορφή. Η κυματομορφή αυτή, έχει παρόμοια χαρακτηριστικά με μια χρονοσειρά θορύβου και μεγάλο εύρος φάσματος. Το μήνυμα που πρόκειται να μεταδοθεί κωδικοποιείται στο πεδίο του χρόνου της κυματομορφής, περισσότερα για το οποίο υπάρχουν στο παράρτημα Α, με κάποια διαδικασία κρυπτογράφησης. Ένας ιδανικός χαοτικός ταλαντωτής στο άκρο του δέκτη συντονίζεται με τον πομπό και αναπαράγει την ίδια χαοτική κυματομορφή. Η αποκωδικοποίηση του σήματος γίνεται εφικτή, από τη σύγκριση της λαμβανόμενης κυματομορφής με την κυματομορφή που αναπαράγεται στο άκρο του 9/126

10 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας δέκτη. Σχήμα 1.3.1: Χαοτική κρυπτογράφηση Στο σχήμα 1.3.1, ο πομπός και ο δέκτης είναι ιδανικοί χαοτικοί ταλαντωτές οδηγούμενοι από το ίδιο σήμα. Ο πομπός παράγει ένα χαοτικό σήμα (κυματομορφή) στο οποίο προστίθεται το σήμα με την πληροφορία. Το σήμα που συνδυάζει χάος και πληροφορία διαδίδεται μέχρι το άκρο του δέκτη. Ο δέκτης παράγει ένα ίδιο χαοτικό σήμα και το συγκρίνει με το σήμα που συνδυάζει χάος και πληροφορία. Από τη σύγκριση των δύο σημάτων μπορεί να απομονώσει την πληροφορία και να αποκρυπτογραφήσει το μήνυμα. Ως χαοτικές γεννήτριες μπορούν να χρησιμοποιηθούν διατάξεις laser που λειτουργούν στη μη-γραμμική περιοχή τους και κυρίως laser ημιαγωγών καθώς τα ημιαγώγιμα υλικά εμφανίζουν, υπό κατάλληλες συνθήκες, ισχυρά μη-γραμμική (χαοτική) συμπεριφορά. Τα βασικά πλεονεκτήματα της μεθόδου της χαοτικής κρυπτογραφίας είναι ότι: Μπορεί να εφαρμοστεί στα υπάρχοντα οπτικά δίκτυα, με την υπάρχουσα υποδομή. [DonatiMirasso2002] Προσφέρει υψηλού επιπέδου ασφάλεια. Δε μειώνει την ταχύτητα επικοινωνίας. [DonatiMirasso2002] Βρίσκεται σε πλήρη αλληλουχία με τις ήδη εφαρμοσμένες και χρησιμοποιούμενες τεχνικές κωδικοποίησης. [Αργύρης2006] 10/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

11 2 Κυματοδηγούμενα επικοινωνιακά συστήματα Ένα σύστημα επικοινωνίας, όπως αυτό του σχήματος 2.1 έχει ως στόχο την ανταλλαγή δεδομένων μεταξύ δύο πλευρών. Σχήμα 2.1: Επικοινωνιακό σύστημα Πηγή Είναι μία συσκευή που παράγει τα δεδομένα που θα μεταδοθούν (π.χ. ένας υπολογιστής) Πομπός Συνήθως τα δεδομένα που παράγονται από ένα σύστημα πηγής δεν μεταδίδονται απ' ευθείας στη μορφή που έχουν παραχθεί. Ο πομπός μεταλλάζει και κωδικοποιεί την πληροφορία με τέτοιο τρόπο ώστε να παράγει ηλεκτρομαγνητικά σήματα. Έτσι, αυτά μπορούν να μεταδοθούν με κάποιο σύστημα μετάδοσης όπως είναι ένα τηλεφωνικό δίκτυο ή ένα δίκτυο οπτικών ινών. Σύστημα Μετάδοσης Είναι μια μονή γραμμή μετάδοσης ή κάποιο πιο πολύπλοκο δίκτυο, που συνδέει την πηγή με τον προορισμό. Δέκτης Ο δέκτης δέχεται σήματα από το σύστημα μετάδοσης και τα μετατρέπει σε κάποια μορφή που να είναι κατανοητή από τη συσκευή προορισμού. Για παράδειγμα λαμβάνει κάποιο ηλεκτρομαγνητικό σήμα από ένα δίκτυο και το μετατρέπει σε μία σειρά από bits. Είναι απαραίτητο να υπάρχει κάποια μορφή συγχρονισμού ανάμεσα στον πομπό και το δέκτη. Έτσι, ο δέκτης θα μπορεί να διακρίνει την αρχή και το τέλος ενός σήματος. Προορισμός Είναι μια συσκευή που λαμβάνει δεδομένα από το δέκτη. Ένα οπτικό σύστημα επικοινωνίας, είναι μια ειδική περίπτωση του προηγούμενου συστήματος, στην οποία τα ηλεκτρομαγνητικά σήματα που μεταδίδονται από το σύστημα μετάδοσης είναι σήματα φωτεινής ακτινοβολίας. Όταν το σύστημα χρησιμοποιεί ως μέσο μετάδοσης ένα καλώδιο ή έναν κυματοδηγό (οπτική ίνα), λέγεται κυματοδηγούμενο. Η γενική δομή ενός κυματοδηγούμενου οπτικού συστήματος επικοινωνίας [Μήλιου2006] φαίνεται στο σχήμα 2.2: 11/126

12 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Σχήμα 2.2: Οπτικό επικοινωνιακό σύστημα Οπτικός Πομπός Ο ρόλος των οπτικών πομπών είναι να μετατρέπουν το ηλεκτρικό σήμα εισόδου σε οπτικό σήμα και να το στέλνουν στο εσωτερικό της οπτικής ίνας που χρησιμοποιείται ως τηλεπικοινωνιακό κανάλι. Κύρια συνιστώσα του οπτικού πομπού είναι η Οπτική Πηγή. Τα συστήματα επικοινωνίας οπτικών ινών χρησιμοποιούν ως οπτικές πηγές ημιαγωγούς, όπως για παράδειγμα φωτοδιόδους (LED) και laser ημιαγωγών που όταν διαρρέονται από ρεύμα εκπέμπουν φωτεινή ακτινοβολία. Ο διαμορφωτής είναι μια συσκευή που αλλάζει κάποια χαρακτηριστικά του οπτικού σήματος, σύμφωνα με την ηλεκτρική είσοδο, ώστε το σήμα να μεταφέρει πληροφορία. Στοιχεία του σήματος που μπορούν να υποστούν διαμόρφωση είναι το πλάτος, η συχνότητα και η φάση. Ο ζεύκτης καναλιών είναι μια συσκευή με θύρες εισόδου και εξόδου που χρησιμοποιείται όταν υπάρχει ανάγκη να συνδυαστούν σήματα εισόδου και να διαμοιραστούν σε θύρες εξόδου. Τηλεπικοινωνιακό κανάλι Είναι ένα καλώδιο οπτικής ίνας μέσω του οποίου μεταδίδονται τα οπτικά σήματα που φέρουν την πληροφορία. Οπτικός Δέκτης Ένας οπτικός δέκτης μετατρέπει το λαμβανόμενο οπτικό σήμα στο τέλος της εξόδου της οπτικής ίνας σε ηλεκτρικό σήμα. Αποτελείται από ένα ζεύκτη, ένα φωτοανιχνευτή και έναν αποδιαμορφωτή. Ο ζεύκτης εστιάζει το λαμβανόμενο οπτικό σήμα πάνω στο φωτοανιχνευτή. Ως φωτοανιχνευτές χρησιμοποιούνται φωτοδίοδοι ημιαγωγών λόγω της συμβατότητάς τους με το σύστημα. 2.1 Συστατικά οπτικών δικτύων που χρησιμοποιούνται στη χαοτική κρυπτογραφία Η χαοτική κρυπτογραφία, δε χρειάζεται κάποια ξεχωριστή υποδομή και μπορεί να εφαρμοστεί στα υπάρχοντα οπτικά δίκτυα. Παρακάτω παρουσιάζονται συνοπτικά μερικά 12/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

13 συστατικά των οπτικών δικτύων που χρησιμοποιούνται σε τεχνικές χαοτικής κρυπτογραφίας. Στις ενότητες που ακολουθούν θα γίνεται συχνή αναφορά σε αυτά Οπτική ίνα Είναι το τηλεπικοινωνιακό μέσο μέσα στο οποίο διαδίδεται το φως. Κατασκευάζεται από SiO2 και σχεδιάζεται με τρόπο που να μεταφέρει φως από το ένα άκρο του επικοινωνιακού συστήματος στο άλλο. [Μήλιου2006] Αποτελείται από ένα προστατευτικό εξωτερικό περίβλημα (jacket) κάτω από το οποίο μπορεί να υπάρχουν μερικά επιπλέον στρώματα προστατευτικού υλικού (buffers) και από το μανδύα και τον πυρήνα που κατασκευάζονται από γυαλί. Ο δείκτης διάθλασης του μανδύα είναι πάντοτε μικρότερος του δείκτη διάθλασης του πυρήνα ώστε να μπορεί να γίνει η διάδοση με χρήση του φαινομένου της ολικής ανάκλασης στην επιφάνεια διαχωρισμού πυρήνα και μανδύα. Περισσότερες λεπτομέρειες υπάρχουν στα: [Μήλιου2006], [Agrawal1997] και [Green1997]. Σχήμα : Εσωτερικό καλωδίου οπτικής ίνας Ενισχυτής Οι ενισχυτές είναι συσκευές που ενισχύουν το προσπίπτον φως μέσω της εξαναγκασμένης εκπομπής. Χρησιμοποιείται ο ίδιος μηχανισμός που απαντάται στα laser γιατί στην ουσία κάθε ενισχυτής είναι ένα laser χωρίς ανάδραση. Κύριο χαρακτηριστικό τους είναι η οπτική απολαβή που πραγματοποιείται όταν ο ενισχυτής υφίσταται οπτική ή ηλεκτρονική άντληση για να πετύχει αναστροφή πληθυσμού. Υπάρχουν διάφοροι τύποι ενισχυτών. Μια χαρακτηριστική διάταξη είναι αυτή του σχήματος : 13/126

14 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Σχήμα : Μια διάταξη ενισχυτή Φωτοανιχνευτής Ο φωτοανιχνευτής είναι μια ημιαγωγική συσκευή που απορροφά το φως όπως φαίνεται στο σχήμα Αν η ενέργεια hv των φωτονίων που προσπίπτουν υπερβεί το ενεργειακό χάσμα ένα ζεύγος ηλεκτρονίου-οπής δημιουργείται για κάθε φωτόνιο που απορροφάται από τον ημιαγωγό. Υπό την επίδραση της εφαρμοζόμενης τάσης, τα ηλεκτρόνια και οι οπές σαρώνονται στα άκρα του ημιαγωγού έχοντας ως αποτέλεσμα τη ροή ηλεκτρικού ρεύματος. Το φωτόρρευμα είναι ανάλογο προς την προσπίπτουσα οπτική ισχύ. [Agrawal1997] Σχήμα : Φωτοανιχνευτής 14/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

15 2.1.4 Οπτικό φίλτρο Είναι μια διάταξη που αποκόβει συγκεκριμένα μήκη κύματος (συχνότητες) αφήνοντας επιλεκτικά τη διέλευση κάποιων άλλων. Υπάρχουν διάφορες διατάξεις για τα φίλτρα και κατασκευάζονται από διαφορετικά υλικά. Ανάλογα με τον τρόπο επιλογής συχνοτήτων διέλευσης χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: I. χαμηλοδιαβατά ή χαμηλοπερατά ή κατωδιαβατά ή κατωπερατά ή low-pass (LP): φίλτρα που αποκόβουν πολύ υψηλές συχνότητες και επιτρέπουν τη διέλευση συχνοτήτων που είναι χαμηλότερες από κάποιο κατώφλι. II. υψιπερατά ή ανωδιαβατά ή ανωπερατά ή high-pass (HP): φίλτρα που αποκόβουν πολύ χαμηλές συχνότητες και επιτρέπουν τη διέλευση μόνο συχνοτήτων που είναι υψηλότερες από κάποιο κατώφλι. III. ζωνοπερατά ή ζωνοδιαβατά ή band-pass (BP): φίλτρα που επιτρέπουν τη διέλευση συχνοτήτων που είναι χαμηλότερες από ένα κατώφλι Α και υψηλότερες από ένα κατώφλι Β με Α>Β. Μπορούν να κατασκευαστούν από συνδυασμό υψιπερατών και κατωδιαβατών φίλτρων Συμβολόμετρο (interferometer) Το συμβολόμετρο είναι ένα ευαίσθητο όργανο που λειτουργεί με πολύ μεγάλη ακρίβεια. Η λειτουργία του συνοψίζεται ως εξής: Μια δέσμη φωτός διαχωρίζεται με τη βοήθεια ενός ημιδιαφανούς κατόπτρου σε δύο επιμέρους δέσμες. Αυτές, μετά την αντανάκλασή τους σε δύο άλλα κάτοπτρα, επιστρέφουν στο ημιδιαφανές κάτοπτρο που τώρα λειτουργεί ως συνθέτης και συμβάλλουν δίνοντας ως αποτέλεσμα κροσσούς συμβολής που έχουν μορφή ομόκεντρων κύκλων, καμπύλης γραμμής κ. α. ανάλογα με το ζητούμενο. Σχήμα : Συμβολόμετρο Mach Zehnder Πηγή: 15/126

16 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Διαχωριστής δέσμης (beam splitter) Το ημιδιαφανές κάτοπτρο που χρησιμοποιείται στα συμβολόμετρα άλλοτε διαχωρίζει δέσμες φωτός σε επιμέρους δέσμες και άλλοτε συνθέτει μια δέσμη από δύο άλλες. Παρά το διπλό του ρόλο έχει επικρατήσει να λέγεται διαχωριστής δέσμης ή beam splitter. Σχήμα : Διαχωριστής δέσμης φωτός Ημιαγωγικό laser Τα laser ημιαγωγών είναι διατάξεις που ύστερα από διέγερση των ατόμων του υλικού τους με ηλεκτρικό ρεύμα μπορούν να εκπέμπουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα σε συχνότητες κοντά στην υπέρυθρη περιοχή. Κατασκευάζονται από ημιαγώγιμα υλικά όπως τα GaAs, AlGaAs και άλλα. Στις οπτικές επικοινωνίες, τα ημιαγωγικά laser, είναι τα στοιχεία που παράγουν τα φέροντα κύματα (οπτικές πηγές) και μεταφέρουν τα δεδομένα των χρηστών σε κάθε άκρο του δικτύου επικοινωνίας. [Agrawal1997a] Τοποθετούνται στους πομπούς, τους δέκτες και σε ορισμένες περιπτώσεις σε ενισχυτές, φίλτρα ή αναμεταδότες. Στην περίπτωση των πομπών και των δεκτών, πολύπλοκα κυκλώματα οδήγησης ελέγχουν την ισχύ των εκπεμπόμενων ή των ληφθέντων σημάτων και κάποιες λεπτομέρειες χρονι16/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

17 σμού. Τα laser ημιαγωγών μπορεί να έχουν διάφορες δομές. Ωστόσο τα βασικά συστατικά είναι πάντοτε τα ίδια: κάτοπτρα, το ενεργό υλικό του laser και η οπτική κοιλότητά του. Μερικές γνωστές διατάξεις είναι οι: ομοιοδομής, διπλής ετεροδομής και εκπομπής επιφάνειας. Στο σχήμα φαίνεται η πιο διαδεδομένη διάταξη ενός laser ημιαγωγού, η διάταξη διπλής ετεροδομής. Σχήμα : Διάταξη laser διπλής ετεροδομής Η επίτευξη και η αναγνώριση της χαοτικής λειτουργίας σε ένα laser ημιαγωγού γίνεται με συνδυασμό διαφόρων τεχνικών. Καταρχήν, χρησιμοποιούνται οι κβαντομηχανικές ιδιότητες του ημιαγώγιμου υλικού του laser για τη διατύπωση μιας εξίσωσης περιγραφής της συμπεριφοράς του συστήματος, η λεγόμενη εξίσωση ρυθμού του laser. Στη συνέχεια, εισάγεται στο σύστημα μια εξωτερική διαταραχή με τεχνικές που αναλύονται στα επόμενα κεφάλαια. Η εισαγόμενη διαταραχή αναγκάζει το σύστημα σταδιακά να αλλάξει την εκπομπή του από ελεύθερη σε χαοτική. Η εξίσωση ρυθμού διαμορφώνεται εκ νέου για να συμπεριλάβει το αποτέλεσμα της εισόδου της διαταραχής. Η διαδικασία αυτή δεν εγγυάται πάντα ότι το laser θα λειτουργήσει χαοτικά. Η χαοτική λειτουργία συμβαίνει σε ειδικές περιοχές συχνοτήτων για κάθε laser που ονομάζονται παράθυρα χαοτικής λειτουργίας. Για να ελεγχθεί η ύπαρξη ενός χαοτικού παραθύρου και να πιστοποιηθεί η χαοτική εκπομπή, ακολουθούνται διάφορες μαθηματικές και πειραματικές τεχνικές που θα συζητηθούν παρακάτω. 17/126

18 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας 3 Χαοτική κρυπτογραφία με ημιαγωγικά laser Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η χαοτική λειτουργία ενός laser επιτυγχάνεται με την εισαγωγή μιας εξωτερικής διαταραχής που μεταβάλλει την εξίσωση ρυθμού του laser. Στη συνέχεια, η ύπαρξη του χάους πιστοποιείται με διάφορες αριθμητικές και πειραματικές μεθόδους. Οι εξισώσεις ρυθμού, διέπουν την αλληλεπίδραση ηλεκτρονίων και φωτονίων στο ενεργό υλικό του laser και περιγράφουν τα λειτουργικά χαρακτηριστικά των ημιαγωγικών laser. [Agrawal1997] Πηγάζουν από τις εξισώσεις του Maxwell και αποτελούν μια κβαντομηχανική προσέγγιση των φυσικών φαινομένων που μεταβάλλουν τους πληθυσμούς ηλεκτρονίων και φωτονίων στην ενεργή περιοχή του laser. Στη χαοτική κρυπτογραφία, εκτός από την επίτευξη της χαοτικής λειτουργίας, είναι απαραίτητη και η επίτευξη συγχρονισμού ανάμεσα στον πομπό και το δέκτη, δηλαδή η αναπαραγωγή του ίδιου χαοτικού σήματος και από τους δύο. Επιπλέον, χρειάζεται να εφαρμοσθούν κάποιες τεχνικές απόκρυψης του σήματος των δεδομένων μέσα στο χαοτικό. Τέλος, πρέπει να ληφθούν μέτρα κατά του θορύβου. Η έξοδος ενός laser ημιαγωγού παρουσιάζει διακυμάνσεις στην έντασή του τη φάση του και τη συχνότητά του ακόμη και όταν το laser είναι πολωμένο σε σταθερό ρεύμα με αμελητέες διακυμάνσεις. [Agrawal1997] Οι δύο βασικότεροι μηχανισμοί θορύβου είναι η αυθόρμητη εκπομπή (η οποία χρησιμοποιείται στις χαοτικές γεννήτριες και διαταράσσεται για να μεταβεί το laser σε κατάσταση μη-γραμμικής λειτουργίας) και η επανασύνδεση ηλεκτρονίων-οπών. Ο θόρυβος των laser σε συνδυασμό με το θόρυβο στο τηλεπικοινωνιακό κανάλι είναι ένας από τους παράγοντες που μπορεί να επηρεάσουν το συγχρονισμό ανάμεσα στον πομπό και το δέκτη. Δύο βασικά μέτρα της επίδρασης του θορύβου σε ένα σύστημα είναι ο λόγος σήματος προς θόρυβο (Signal to Noise Ratio ή SNR) και το φάσμα σχετικής έντασης θορύβου (Relative Intensity Noise ή RIN). 3.1 Διατάξεις παραγωγής χαοτικών σημάτων Για να επιτευχθεί οπτική χαοτική επικοινωνία ανάμεσα σε έναν πομπό και ένα δέκτη με τη χρήση μονότροπων ημιαγώγιμων διατάξεων laser, θα πρέπει να υπάρχει κάποιος μηχανισμός που να προκαλεί διαταραχή κατά το στάδιο αποκατάστασης της ισορροπίας τους, διεγείροντας έτσι τη μη-γραμμική λειτουργία τους. Υπάρχουν τρεις τύποι διατάξεων που χρησιμοποιούνται για αυτό το σκοπό: τα συστήματα έγχυσης, τα συστήματα οπτικής ανάδρασης και τα συστήματα οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης. Παρόλο που και τα τρία εισάγουν χαοτικές καταστάσεις, το καθένα έχει διαφορετική δυναμική. [LarsonLiuTsimring2006] Για το λόγο αυτό, μοντελοποιούνται και συγχρονίζονται διαφορετικά και απαιτούν διαφορετικές μεθόδους για τη μαθηματική και πειραματική μελέτη τους. Στην οπτική ανάδραση, χρησιμοποιείται μια εξωτερική κοιλότητα. Στο ένα άκρο της τοποθετείται ένα ημιαγωγικό laser και στο άλλο άκρο της ένα κάτοπτρο υψηλής ανακλαστι18/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

19 κότητας. Στην ουσία δηλαδή, χρησιμοποιούνται δύο συζευγμένες οπτικές κοιλότητες: το ημιαγωγικό laser, με τυπική διάσταση μήκους μερικών εκατοντάδων µικροµέτρων και μια εξωτερική κοιλότητα η οποία μπορεί να έχει μήκος από λίγα χιλιοστά έως πολλά μέτρα. [Petermann1988], [KakiuchidaOhtsubo1994], [LiuOhtsubo1997]. Επειδή η εξωτερική κοιλότητα θα υποστηρίζει δικούς της τρόπους ταλάντωσης, το πεδίο που παράγεται στον ημιαγωγό επηρεάζεται όταν εισέλθει στην εξωτερική κοιλότητα. Έτσι, όταν επιστρέφει στην κοιλότητα του laser προκαλεί διαταραχή στα δυναμικά χαρακτηριστικά του ημιαγωγού. Η τελική έξοδος από το σύστημα οπτικής ανάδρασης μπορεί να είναι ισχυρά χαοτική. Αυτό εξαρτάται από την ισχύ της ανάδρασης [HohlGavrielides1998] και από τις συνθήκες επιβολής των τρόπων ταλάντωσης της εξωτερικής κοιλότητας στη δυναμική του ηµιαγωγικού laser. Η μέθοδος οπτικής ανάδρασης, χαρακτηρίζεται και ως «σύμφωνη» ανάδραση, αφού ο χρόνος συμφωνίας των laser που χρησιμοποιούνται είναι αρκετά μεγαλύτερος από το χρόνο κυκλικής διαδρομής της εξωτερικής κοιλότητας. Η οπτική φάση του ηλεκτρικού πεδίου επομένως παίζει σημαντικό ρόλο γιατί εισάγει φαινόμενα θετικής και καταστροφικής συμβολής. Σχήμα 3.1.1: Οπτική ανάδραση Στην οπτοηλεκτρονική ανάδραση, το οπτικό πεδίο που παράγεται από το laser μετατρέπεται σε ηλεκτρικό με τη χρήση ενός φωτοδέκτη και στη συνέχεια εφαρμόζεται ως ηλεκτρική διαμόρφωση στο laser. Η ισχύς της ανάδρασης μπορεί εύκολα να ελεγχθεί με τη χρήση ηλεκτρικών ενισχυτών ή εξασθενητών. Μια εναλλακτική πρόταση που έχει εμφανισθεί και υλοποιηθεί είναι η εφαρμογή της ηλεκτροπτικής ανάδρασης σε έναν ηλεκτρο-οπτικό διαμορφωτή Mach Zehnder, ο οποίος παίζει και το ρόλο του μη-γραµµικού μέσου στη θέση του ηµιαγωγικού laser. [LargerLeeGoedgebuerElfleinErneux2001] 19/126

20 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Σχήμα 3.1.2: Οπτοηλεκτρονική ανάδραση Στην οπτική έγχυση, η οπτική ισχύς από ένα εξωτερικό laser εισάγεται από τη μια επιφάνεια του ηµιαγωγικού laser με αποτέλεσμα το εξωτερικό πεδίο να διαταράσσει τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κοιλότητας του ημιαγωγού και να την εξαναγκάζει να λειτουργήσει υπό συνθήκες σε χαοτική περιοχή. Σχήμα 3.1.3: Οπτική έγχυση Και οι τρεις περιπτώσεις δημιουργίας οπτικών σημάτων που αναφέρθηκαν μπορούν υπό κατάλληλες συνθήκες να αναπτύξουν χαοτικά φέροντα με πολύ μεγάλο φασματικό εύρος (σε πολλές περιπτώσεις μεγαλύτερο και από 10 Ghz). Η πολυπλοκότητα των φερόντων αυτών είναι πολύ μεγάλη και για το λόγο αυτό, οι διατάξεις έγχυσης, οπτικής και οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης θεωρούνται ιδανικές για την ανάπτυξη υψίρρυθµων ασφαλών συστημάτων οπτικών επικοινωνιών. [Αργύρης2006] 3.2 Πιστοποίηση της χαοτικής λειτουργίας ενός δυναμικού συστήματος Η ύπαρξη χαοτικής λειτουργίας σε ένα laser ημιαγωγού μπορεί να πιστοποιηθεί με γενικές μεθόδους αποτίμησης της χαοτικής συμπεριφοράς σε μη-γραμμικά συστήματα. Για την εφαρμογή τους κάθε διάταξη laser πρέπει να περιγράφεται ως δυναμικό σύστημα από τις εξισώσεις ρυθμού του. Ένα δυναμικό σύστημα είναι ένα σύνολο από συναρτήσεις (κανόνες, εξισώσεις) που καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο αλλάζουν κάποιες μεταβλητές στη διάρκεια του χρόνου. [Clayton2002] Κάθε δυναμικό σύστημα προσδιορίζεται από μεταβλητές και παραμέτρους. 20/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

21 Οι μεταβλητές μπορεί να είναι είτε συνεχείς είτε διακριτές. Οι τιμές των μεταβλητών μπορεί να αλλάζουν κατά τη διάρκεια του χρόνου ενώ οι τιμές των παραμέτρων παραμένουν σταθερές. Μια κατάσταση ενός δυναμικού συστήματος καθορίζεται από τις τιμές που έχουν οι μεταβλητές του σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. Για να γίνει η αποτίμηση της συμπεριφοράς ενός δυναμικού συστήματος στη διάρκεια του χρόνου, χρειάζονται οι τιμές των παραμέτρων, οι συναρτήσεις και οι αρχικές συνθήκες ή αλλιώς η αρχική κατάσταση του συστήματος. Τα δυναμικά συστήματα μπορούν να είναι γραμμικά ή μη-γραμμικά. Το χάος μπορεί να εμφανιστεί στα μη-γραμμικά συστήματα. Αν και υπάρχουν μέθοδοι που προσδιορίζουν αν η συμπεριφορά ενός συστήματος είναι χαοτική ή μη χαοτική, οι επιστήμονες δεν έχουν συμφωνήσει σε έναν καθολικό ορισμό του τι είναι χάος σε ένα σύστημα, καθώς η έννοια είναι αρκετά ευρεία. Ωστόσο, όλοι μπορούν να συμφωνήσουν με βεβαιότητα στο τι δεν είναι χάος. Η Θεωρία του Χάους μελετά τη συμπεριφορά μη-γραμμικών δυναμικών συστημάτων, τα οποία χαρακτηρίζονται κυρίως από ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες και μη-περιοδικότητα. Στα συστήματα, αυτά, παρατηρείται μια φαινομενικά τυχαία συμπεριφορά, παρ όλο που είναι αιτιοκρατικά ή ντετερμινιστικά, δηλαδή είναι καλώς ορισμένοι οι νόμοι εξέλιξής τους, δεν περιέχουν τυχαίες παραμέτρους και το μέλλον ορίζεται πλήρως από το παρόν. Μια συνάρτηση είναι μη-γραμμική όταν δεν μπορεί να γραφεί στη μορφή y=αx β, που παριστάνει μια ευθεία γραμμή. Σε αντίθετη περίπτωση η συνάρτηση είναι γραμμική. Κάθε σύστημα, είτε γραμμικό είτε όχι, μπορεί να αυξάνει απεριόριστα με το χρόνο. Για παράδειγμα, μια εξίσωση της μορφής: x n 1 =r x n, στην οποία ορίζονται x1=16 και r=1.5, έχει εκθετική αύξηση όπως φαίνεται στο σχήμα 3.2.1: Σχήμα 3.2.1: Εκθετική αύξηση των τιμών του συστήματος τις τιμές x n 1 για τις αντίστοιχες τιμές x n. x n 1=r x n. Ο κατακόρυφος άξονας έχει 21/126

22 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Υπάρχουν εξισώσεις όπως αυτή της λογιστικής απεικόνισης που μπορούν να περιορίσουν την απεριόριστη αύξηση ενός συστήματος. Στο προηγούμενο παράδειγμα, με εφαρμογή της λογιστικής απεικόνισης το μοντέλο γίνεται: x n 1 =rx n [1 x n ]. Η μελέτη του νέου συστήματος είναι ένα καλό παράδειγμα εμφάνισης χαοτικής λειτουργίας. Σχήμα 3.2.2: Η λογιστική απεικόνιση xn περιορίζεται στο διάστημα [0,1] σε αντίθεση με την ακολουθία xn που αυξάνει εκθετικά. [Clayton2002] Η λογιστική απεικόνιση έχει μόνο μια παράμετρο, την παράμετρο r. Αν η παράμετρος αυτή υφίσταται μεταβολή, θα μεταβάλλεται και η γραφική παράσταση της τιμής της λογιστικής απεικόνισης στη διάρκεια του χρόνου. Από τη γραφική παράσταση των καταστάσεών της στη διάρκεια του χρόνου για διάφορες τιμές της παραμέτρου r προκύπτουν συμπεράσματα για τη συμπεριφορά της ακολουθίας x n 1. Στο σχήμα για r=3.2, η συνάρτηση ταλαντώνεται μεταξύ δύο σημείων και στο σχήμα για r=3.54 ταλαντώνεται μεταξύ τεσσάρων σημείων. Αυτή η συμπεριφορά ονομάζεται πορεία με διπλασιασμό περιόδου. Στο σχήμα φαίνεται ένας ελκυστής Nσημείων για r=3.99. Το σύστημα πλέον λειτουργεί χαοτικά. Σχήμα 3.2.3: Ελκυστής δύο σημείων της ακολουθίας x για r=3.2 [Clayton2002] 22/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

23 Σχήμα 3.2.4: Ελκυστής τεσσάρων σημείων της x για r=3.54 [Clayton2002] Σχήμα 3.2.5: Ελκυστής Ν σημείων της x για r=3.99 [Clayton2002] Είναι εμφανές ότι το σύστημα σταδιακά οδηγήθηκε σε χαοτική συμπεριφορά και ότι μικρές αυξήσεις της παραμέτρου r ήταν αρκετές για να προκαλέσουν μεγάλες αλλαγές 23/126

24 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας στην εξέλιξη του συστήματος. Ένα μη-γραμμικό δυναμικό σύστημα μπορεί, σε γενικές γραμμές, να παρουσιάζει μια ή περισσότερες από τις παρακάτω συμπεριφορές: 1 να καταλήγει σε ηρεμία (ακινησία) 2 να επεκτείνεται συνεχώς (μόνο για μη φραγμένα συστήματα) ή όπως αλλιώς λέγεται να συμβαίνει μια "έκρηξη" 3 να εκτελεί περιοδική κίνηση ή ημιπεριοδική κίνηση 4 να εκτελεί χαοτική κίνηση Για τη μελέτη της τέταρτης περίπτωσης απαιτείται η γνώση των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την εξέλιξη κάθε συστήματος στο χρόνο, των αρχικών συνθηκών κάθε συστήματος και των τιμών των παραμέτρων και των σταθερών για κάθε δυναμικό σύστημα που μελετάται Χαρακτηρισμός και αποτίμηση της χαοτικής συμπεριφοράς στα δυναμικά συστήματα Ένα σημαντικό ζήτημα κατά τη μελέτη μη-γραμμικών δυναμικών συστημάτων είναι να μπορεί να διαπιστωθεί πότε η συμπεριφορά τους είναι χαοτική και πότε μοιάζει με χαοτική. Για να γίνει αυτή η διαπίστωση, χρειάζονται ορισμένα κριτήρια είτε ποιοτικά είτε ποσοτικά. Τέτοια κριτήρια είναι το φάσμα ισχύος, ο χώρος φάσεων, οι εκθέτες Liapunov, η μέθοδος Grassberger και Procaccia και τα διαγράμματα δικρανισμού. Στη συνέχεια αναλύεται το καθένα από αυτά Φάσματα ισχύος Φάσμα ισχύος είναι ο λογάριθμος του κανονικοποιημένου μετασχηματισμού Fourier1 της χρονοσειράς του σήματος που δίνει μια εποπτική αίσθηση των συχνοτήτων του σήματος. Όταν ένα σύστημα μεταβαίνει σε χαοτική συμπεριφορά το φάσμα ισχύος του μετατρέπεται από διακριτό σε περίπου συνεχές. Ωστόσο, η μεταβολή αυτή δεν αρκεί για να πιστοποιήσει τη χαοτική συμπεριφορά καθώς συνεχές φάσμα έχει επίσης ο θόρυβος αλλά και τα δυναμικά συστήματα πολλών βαθμών ελευθερίας2 και γι αυτό η μέθοδος δεν χρησιμοποιείται από μόνη της. 1 2 Οι μετασχηματισμοί Fourier υπάρχουν στο παράρτημα Α Βαθμοί ελευθερίας ενός συστήματος είναι ο ελάχιστος αριθμός καταστατικών μεταβλητών που χρειάζονται για την περιγραφή του 24/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

25 Σχήμα : Φάσματα ισχύος περιοδικού και μη περιοδικού σήματος [Σταυρινίδης2006] Χώρος φάσεων Οι τιμές των μεταβλητών ενός συστήματος καθορίζουν την κατάστασή του και ο ελάχιστος αριθμός καταστατικών μεταβλητών που απαιτούνται για την περιγραφή του καθορίζει τους βαθμούς ελευθερίας του. Στο φασικό χώρο, κάθε σημείο παριστάνει μια στιγμιαία κατάσταση του δυναμικού συστήματος που αντιπροσωπεύει. Μια τροχιά είναι η διαδοχή των καταστάσεων από τις οποίες περνά το σύστημα καθώς εξελίσσεται χρονικά. Σύμφωνα με την αρχή της αιτιοκρατίας οι τροχιές δυναμικών συστημάτων δεν τέμνονται. Ένας ελκυστής είναι ένα σημείο/περιοχή/γεωμετρικός τόπος του φασικού χώρου ή μια ανοιχτή αλλά περιορισμένη χωρικά καμπύλη από την οποία διέρχονται οι περισσότερες τροχιές. Οι ιδιότητες του ελκυστή καθορίζονται από τις δυναμικές ιδιότητες του συστήματος. Μια περιοχή του φασικού χώρου που περιέχει το σύνολο των αρχικών συνθηκών ενός συστήματος που ορίζουν τροχιές προς τον ίδιο ελκυστή ονομάζεται λεκάνη έλξης του συγκεκριμένου ελκυστή. Τα μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα που εμφανίζουν διάσταση μεγαλύτερη ή ίση του τρία έχουν τη δυνατότητα να παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά υπό συνθήκες. Όταν τα συστήματα, αυτά, παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά: 25/126

26 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας οι τροχιές τους στο φασικό χώρο δεν τέμνονται, οι τροχιές περιορίζονται σε μια περιοχή του χώρου φάσεων, παρατηρείται τοπική εκθετική απόκλιση μεταξύ δύο γειτονικών τροχιών. Σχήμα : Ο ελκυστής Rossler είναι ένα παράδειγμα ελκυστή. Η μορφή του μεταβάλλεται αν αλλάξει η τιμή μιας παραμέτρου τ. Στα γραφήματα απεικονίζεται ο ελκυστής για μεταβολές αυτής της παραμέτρου τ. [Σταυρινίδης2006] Προσέγγιση Lyapunov Οι εκθέτες Lyaponov λ (Lyapunov exponents), αποτελούν το μέτρο της εκθετικής απόκλισης των αρχικά γειτονικών τροχιών ενός ελκυστή στο χώρο των φάσεων. Αν η μελέτη της εξέλιξης ενός χαοτικού δυναμικού συστήματος, περιοριστεί σε μία μόνο διάσταση και θεωρηθεί ότι αρχικά η τροχιά στο χώρο των φάσεων βρίσκεται στον υπερκύβο i0, τότε το πλήθος Ν των μονοδιάστατων υπερκύβων στο χώρο των φάσεων, από τους οποίους η τροχιά έχει πιθανότητα να περάσει μετά από χρόνο t δίνεται από τη σχέση: N=eλt ( ) Αν ο εκθέτης λ είναι αρνητικός αριθμός, τότε ελαφρά διαχωρισμένες τροχιές συγκλίνουν και η εξέλιξη του συστήματος δεν οδηγεί σε χαοτική συμπεριφορά. Αντίθετα αν ο εκθέτης λ είναι θετικός αριθμός, τότε οι γειτονικές τροχιές αποκλίνουν και η εξέλιξη του συ26/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

27 στήματος είναι ευαίσθητη στις αρχικές συνθήκες. Έτσι, το σύστημα οδηγείται σε χαοτική συμπεριφορά. Με τον τρόπο αυτό, οι εκθέτες Lyapunov μετρούν τη δυνατότητα πρόβλεψης των μελλοντικών καταστάσεων ενός δυναμικού συστήματος. Αυτό σημαίνει, ότι ενώ η αρχική κατάσταση του συστήματος μπορεί να είναι γνωστή με πολύ μεγάλη ακρίβεια, η δυνατότητα πρόβλεψης επόμενων καταστάσεων μειώνεται δραστικά λόγω της ιδιότητας της εκθετικής απόκλισης και βεβαίως ισοδυναμεί με την απώλεια πληροφορίας σχετικά με την εξέλιξη του συστήματος. Το πλήθος των εκθετών Lyaponov ενός συστήματος συμπίπτει με το πλήθος των βαθμών ελευθερίας του. Η πρόβλεψη μελλοντικών καταστάσεων με τη μέτρηση της εκθετικής απόκλισης των τροχιών από μια τροχιά αναφοράς φαίνεται στο σχήμα Επειδή όλες οι τροχιές καταλήγουν στην ίδια περιοχή (έλκονται από τον ίδιο ελκυστή) επιλέγεται τυχαία μία από αυτές ως τροχιά αναφοράς και υπολογίζεται η απόκλιση των υπολοίπων από αυτή. Ανά πάσα στιγμή είναι δυνατό να αλλάξει η τροχιά αναφοράς, αν το σύστημα εξισώσεων γίνει εξαιρετικά πολύπλοκο ή για κάποιο λόγο η τροχιά αναφοράς αποδειχθεί ακατάλληλη. Σχήμα : Μέτρηση της εκθετικής απόκλισης των τροχιών ενός ελκυστή από μια τροχιά αναφοράς. [Αργύρης2006] 27/126

28 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Διαγράμματα δικρανισμού ή Feigenbaum Το διάγραμμα δικρανισμού είναι μια οπτική απεικόνιση των αλλαγών του συστήματος συναρτήσει των αλλαγών των παραμέτρων του έτσι ώστε να διαπιστωθεί αν το σύστημα μεταβαίνει σταδιακά σε χαοτική λειτουργία. Χρησιμοποιείται στην περίπτωση της πορείας προς το χάος με διπλασιασμό περιόδου που θα αναφερθεί στη συνέχεια. Σχήμα : Τυπικό διάγραμμα δικρανισμού μιας συνάρτησης x που εξαρτάται από μια παράμετρο α. [Σταυρινίδης2006] Μέθοδος Grassberger και Procaccia Ο αλγόριθμος των Grassberger και Procaccia χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της διάστασης συσχετισμού μιας μετρικής μ, από ένα δοθέν σύνολο σημείων που ακολουθούν τυχαία κατανομή σύμφωνα με τη μ. Αν υπάρχουν Ν σημεία x 1, x2,...,x N, σε κάποιο χώρο, στον οποίο ορίζονται οι αποστάσεις xi x j για κάθε ζεύγος σημείων που μπορεί να σχηματιστεί από τα x 1, x2,...,x N, τότε για οποιοδήποτε θετικό αριθμό r, το άθροισμα των συ σχετίσεων (correlation sum) C r ορίζεται ως το κλάσμα των ζευγών που η απόστασή τους είναι μικρότερη από r: 28/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

29 Ĉ r = 2 θ r x i x j N N 1 i j ( ) όπου θ(x) είναι η βηματική συνάρτηση Heaviside. Από το παραπάνω άθροισμα μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα συσχετισμού: C r = dμ x dμ y θ r x y ( ) Τόσο το C r όσο και το C r, φθίνουν μονότονα προς το 0 καθώς r 0. Αν D ισχύει ότι C r ~r, τότε ο αριθμός D ονομάζεται διάσταση συσχετισμού της μετρικής μ. C r Η διάσταση D ορίζεται ως: D=lim log. log r r 0 [ ] Η ονομασία αλγόριθμος Grassberger και Procaccia χρησιμοποιείται γενικά για κάθε αλγόριθμο που κάνει εκτίμηση της διάστασης D (και γενικότερα του C(r)) από τη συμπεριφορά του Ĉ(r) και για μικρή τιμή του r. Κυρίως βρίσκει εφαρμογή στις περιπτώσεις που τα δεδομένα εισόδου του έχουν τη μορφή χρονοσειράς. Είναι φανερό ότι πρόκειται για ένα πρόβλημα που μπορεί να λυθεί μόνο προσεγγιστικά. Ο απλούστερος τρόπος για προσεγγιστικό υπολογισμό της διάστασης D, είναι απεικονίζοντας τις τιμές του C(r) σε σχέση με τις τιμές του αριθμού r σε log-log διάγραμμα. Για μικρές τιμές του r, η καμπύλη παρουσιάζει γραμμική συμπεριφορά, σχήμα Το γραμμικό τμήμα του διαγράμματος χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του D, της διάστασης συσχετισμού. Σχήμα : Απλή εκτίμηση διάστασης συσχετισμού χρονοσειράς. (Πηγή: Ο αλγόριθμος Grassberger και Procaccia βρίσκει κυρίως εφαρμογή στη μέτρηση 29/126

30 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας των φρακταλικών διαστάσεων των ελκυστών στα χαοτικά δυναμικά συστήματα. Επιτρέπει το διαχωρισμό των στοχαστικών χρονοσειρών από τις ντετερμινιστικές χαοτικές χρονοσειρές Πορείες προς το χάος Προτού ένα σύστημα μεταβεί σε χαοτική κατάσταση ακολουθεί κάποια πορεία προς το χάος, δηλαδή, κάποιες ποιοτικές μεταβολές συμπεριφοράς. Έχουν παρατηρηθεί τέσσερα είδη πορείας προς το χάος: πορεία με διπλασιασμό περιόδου, πορεία με ημιπεριοδικότητα, πορεία με διαλλειπτότητα και πορεία με διαλλειπτότητα επαγόμενη από κρίση. Στην περίπτωση των χαοτικών επικοινωνιών με laser ημιαγωγών έχουν παρατηρηθεί οι τρεις πρώτες μόνο πορείες προς το χάος. Από την παρατήρηση της πορείας προς το χάος ενός laser μπορεί να πιστοποιηθεί η χαοτική λειτουργία του Πορεία προς το χάος με διπλασιασμό περιόδου Ο πρώτος τρόπος μετάβασης στο χάος είναι αυτός του διπλασιασμού περιόδου (period doubling). Είναι ο συχνότερα απαντώμενος τρόπος μετάβασης ενός δυναμικού συστήματος σε χαοτική συμπεριφορά. Κατά την ανάπτυξη αυτής της μετάβασης, λαμβάνουν χώρα μια σειρά διαδοχικών δικρανισμών που οδηγούν σε διπλασιασμούς στην περίοδο του δυναμικού συστήματος. Οι δικρανισμοί αυτοί προκαλούνται από τη μεταβολή κάποιας από τις παραμέτρους του συστήματος και εμφανίζονται σε ολοένα και μικρότερα διαστήματα μεταβολής της παραμέτρου αυτής. Μετά από μια σειρά άπειρων διαδοχικών διπλασιασμών της περιόδου το σύστημα καταλήγει σε χαοτική λειτουργία, μια και η περίοδός του φτάνει να παίρνει άπειρη τιμή. Η κατάσταση άπειρης περιόδου είναι χαοτική κατάσταση. Η ανίχνευση μιας τέτοιας πορείας μπορεί να γίνει είτε από το φασικό διάγραμμα, όπου κλειστές τροχιές διπλασιάζονται, είτε από το διάγραμμα Fourier, όπου παρατηρούνται αιχμές σε κάθε διπλασιασμό περιόδου στο μέσο της απόστασης δύο προηγούμενων αιχμών συχνοτήτων, είτε από τις τομές Poincare3. [Σταυρινίδης2007] Πορεία προς το χάος με ημιπεριοδικότητα Οι τομές Poincare περιορίζουν το φασικό χώρο σε ένα μικρότερο τμήμα του ώστε να είναι ευκολότερη η μελέτη των φαινομένων (συνήθως χρησιμοποιούνται όταν πρέπει να περιοριστούν οι διαστάσεις του φασικού χώρου π.χ. για φασικό χώρο τριών διαστάσεων) 30/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

31 Ο δεύτερος τρόπος μετάβασης από την περιοδικότητα στο χάος είναι αυτός της ημιπεριοδικότητας (quasi-periodicity). Η πορεία αυτή προς το χάος είναι αποτέλεσμα του δικρανισμού του Hopf (Hopf bifurcation). Δικρανισμός του Hopf ονομάζεται η μετάβαση ενός συστήματος από μια σταθερή κατάσταση σε μια κατάσταση ταλάντωσης. [KaneShore2005] Συνήθως, αρκούν τρεις δικρανισμοί του Hopf για να καταστήσουν εξαιρετικά ασταθή την κατάσταση ενός συστήματος και να το οδηγήσουν σε χαοτική συμπεριφορά Πορεία προς το χάος με διαλλειπτόμενη λειτουργία Ο τρίτος τρόπος μετάβασης στο χάος είναι η διαλλειπτόμενη συμπεριφορά (intermittent behavior). Υπάρχουν τρεις κατηγορίες μετάβασης στο χάος με διαλλειπτότητα: Διαλλειπτόμενη λειτουργία τύπου Ι: οφείλεται σε δικρανισμό κόμβου-σάγματος (saddle-node bifurcation) Διαλλειπτόμενη λειτουργία τύπου ΙΙ: οφείλεται σε δικρανισμό του Hopf (Hopf bifurcation). Διαλλειπτόμενη λειτουργία τύπου ΙΙΙ: οφείλεται σε αντίστροφο διπλασιασμό περιόδου (inverse period doubling). Στην πορεία προς το χάος αυτού του είδους, το σύστημα βρίσκεται αρχικά σε περιοδική κατάσταση. Μεταβάλλοντας μια παράμετρο του συστήματος, την παράμετρο δικρανισμού, παρατηρείται διακοπή της περιοδικής ταλάντωσης από ακανόνιστες χαοτικές εκσπάσεις. [Σταυρινίδης2007] Διαλλειπτότητα επαγόμενη από κρίση Στην τελευταία πορεία προς το χάος, κρίσεις μεταξύ ελκυστών προκαλούν απότομη ποιοτική αλλαγή της δομής τους. Η κρίση ενός χαοτικού ελκυστή συμβαίνει όταν αυτός συγκρούεται με κάποια ασταθή τροχιά στο χώρο φάσεων και προκαλεί διαλλειπτόμενη λειτουργία. Ανάλογα με τη μεταβολή που υφίσταται ο χαοτικός ελκυστής, οι κρίσεις κατατάσσονται στις εξής κατηγορίες [Σταυρινίδης2007] Οριακή κρίση (boundary crisis): στην περίπτωση αυτή, ο χαοτικός ελκυστής ξαφνικά καταστρέφεται γιατί συγκρούεται με κάποια περιοδική τροχιά στα όρια της λεκάνης 31/126

32 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας έλξης της. Εσωτερική κρίση (internal crisis): ο χαοτικός ελκυστής αλλάζει ξαφνικά μέγεθος στον αντίστοιχο χώρο φάσεων. Κρίση συγχώνευσης ελκυστών (attractor merging crisis): δύο ελκυστές συγκρούονται στο όριο της λεκάνης έλξης που τους χωρίζει και συγχωνεύονται σε έναν. 3.3 Συγχρονισμός ημιαγωγικών laser Όπως έχει ήδη αναφερθεί, τα laser ημιαγωγών είναι μη-γραμμικοί οπτικοί ταλαντωτές. Στις χαοτικές επικοινωνίες λειτουργούν σε εκείνες τις δυναμικές περιοχές, στις οποίες, η έξοδος παρουσιάζει έναν ισχυρά ασταθή χαρακτήρα με τα μη-γραμμικά φαινόμενα να κυριαρχούν. [Petermann1988] Η χαοτική κρυπτογραφία επιτυγχάνεται με τη χρήση των χαοτικών φερόντων όχι μόνο ως μέσων μεταφοράς δεδομένων υψηλού ρυθμού αλλά και ως μέσων απόκρυψης των δεδομένων. [ColetRoy1994] Η βασική ιδέα αυτής της προσέγγισης, στηρίζεται στο γεγονός ότι δύο ξεχωριστά ημιαγωγικά laser που λειτουργούν στη μη-γραμμική περιοχή μπορούν υπό ορισμένες συνθήκες να συγχρονιστούν, δηλαδή το ένα να αναπαράγει τη χρονική εξέλιξη του άλλου είτε ως προς την οπτική ισχύ [PecoraCarroll1990] είτε ως προς το μήκος κύματος [LargerGoedgebuerDelorme1998], είτε ως προς κάποιο άλλο φυσικό μέγεθος. Στη διαδικασία του συγχρονισμού των laser εμπλέκονται διάφορα φαινόμενα [KaneShore2003] όπως: 1 απόλυτα ιδανικές ταλαντώσεις σε συζευγμένα συστήματα (πλήρης συγχρονισμός) 2 κλείδωμα συχνοτήτων (δηλαδή συγχρονισμός συχνοτήτων) 3 κλείδωμα φάσης ανάμεσα στα δύο συστήματα ενώ παράλληλα τα πλάτη τους παραμένουν ασυσχέτιστα (συγχρονισμός φάσης) 4 η έξοδος του ενός συστήματος συσχετίζεται με την έξοδο του άλλου συστήματος αλλά με κάποια χρονική καθυστέρηση. 5 οι έξοδοι των δύο συστημάτων σχετίζονται με κάποιο λειτουργικό τρόπο (γενικός συγχρονισμός) Στα συστήματα που έχουν μελετηθεί πειραματικά δεν παρατηρείται πλήρης συγχρονισμός λόγω της ασυμφωνίας ορισμένων παραμέτρων. Έχουν προταθεί διάφορες μετρικές για τον υπολογισμό του βαθμού του συγχρονισμού των συστημάτων. Με την εκμετάλλευση του φαινομένου του συγχρονισμού στα laser και την επιπρόσθετη χρήση ειδικών τεχνικών κωδικοποίησης της πληροφορίας (CSK, CMS, ACM 32/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

33 κ.α.), είναι δυνατός ο συνδυασμός σημάτων πληροφορίας και χαοτικών σημάτων όπως απαιτεί η χαοτική κρυπτογραφία. Ταυτόχρονα, είναι δυνατή η μετάδοση των σημάτων αυτών σε μεγάλες αποστάσεις με υψηλή ταχύτητα γιατί υπάρχει η ανάλογη υποδομή στα οπτικά δίκτυα. 3.4 Τεχνικές κρυπτογράφησης/αποκρυπτογράφησης στα laser Υπάρχουν διάφορες τεχνικές κρυπτογράφησης/αποκρυπτογράφησης που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο επίπεδο του υλικού. Οι τρεις βασικές τεχνικές κρυπτογράφησης/αποκρυπτογράφησης που μπορούν να συνδυαστούν με την παραγωγή χαοτικών φερόντων από laser ημιαγωγών είναι οι τεχνικές CMS, CSK και ACM οι οποίες θα αναλυθούν στη συνέχεια. Σχήμα 3.4.1: Κρυπτογραφικά σχήματα [LarsonLiuTsimring2006] Όπως φαίνεται στο σχήμα 3.4.1, μετά τη χαοτική γεννήτρια απαιτείται ένα σχήμα κρυπτογραφίας που να κωδικοποιεί μηνύματα μέσα στη χαοτική κυματομορφή. Οι χαοτικές οπτικές επικοινωνίες έχουν την ειδική απαίτηση του συγχρονισμού, που δεν υπάρχει στις συμβατικές οπτικές επικοινωνίες. Γι' αυτό χρησιμοποιούνται ξεχωριστά κρυπτογραφικά σχήματα από τα συνηθισμένα. Τα κρυπτογραφικά σχήματα που χρησιμοποιούνται στις οπτικές χαοτικές επικοινωνίες, κατηγοριοποιούνται σε τρεις μεγάλες ομάδες: 33/126

34 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας χαοτική απόκρυψη (chaos masking) CMS [LiuChenTang2002], [KanakidisArgyrisSyvridis2003], [KocarevHalleEckertChua1992], [Αργύρης2006], [LarsonLiuTsimring2006] χαοτική μετατόπιση σταθμών (chaos shift-keying) CSK [ParlitzChuaKocarevHalleShang1992], [LiuChenTang2002], [KanakidisArgyrisSyvridis2003], [Αργύρης2006], [LarsonLiuTsimring2006], [MirassoMuletMasoller2002] χαοτική διαμόρφωση (chaos modulation) CM ή χαοτική διαμόρφωση πλάτους ACM (amplitude chaos modulation) [LiuChenTang2002], [KanakidisArgyrisSyvridis2003], [Αργύρης2006], [LarsonLiuTsimring2006], [WuChua1993], [HalleWuItohChua1993], [ItohMurakamiChua1994], [Sanchez-DiazMirassoColetGarcia-Fernandez1999] Στη χαοτική απόκρυψη, σχήμα 3.41, ένα μήνυμα κωδικοποιείται στη χαοτική κυματομορφή αμέσως μόλις το χαοτικό σήμα εξέλθει από το δυναμικό σύστημα του πομπού. Έτσι, ο χαοτικός πομπός είναι ανεξάρτητος από το μήνυμα και οδηγείται μόνο από τη δική του δυναμική. Αντίθετα, ο δέκτης, οδηγείται όχι μόνο από τη χαοτική κυματομορφή του πομπού, αλλά και από το σήμα του κωδικοποιημένου μηνύματος. Εξαιτίας αυτής της διαφοράς στις καθοδηγήτριες δυνάμεις, ο πομπός και ο δέκτης δεν μπορούν να επιτύχουν απόλυτο συγχρονισμό. Για το λόγο αυτό, πρέπει το κάθε μήνυμα να έχει μικρή διάρκεια που θα κρατήσει το ποσοστό λαθών συγχρονισμού χαμηλό. [KocarevParlitz1995], [ParlitzKocarevStojanovskiPreckel1996] Στη χαοτική μετατόπιση σταθμών, σχήμα 3.4.1, μια ειδική παράμετρος του πομπού διαμορφώνεται από τα δυαδικά bits του μηνύματος. Ως αποτέλεσμα, τα δυαδικά 1 και τα δυαδικά 0 αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικές χαοτικές καταστάσεις. Ο δέκτης μπορεί να εντοπίσει το μήνυμα αλλάζοντας την κατάστασή του κάθε φορά. Καθώς ο δέκτης αλλάζει ανάμεσα στις δύο καταστάσεις, δεν μπορεί να είναι διαρκώς συντονισμένος με τον πομπό. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να υπάρχουν λάθη συγχρονισμού που άλλοτε κυμαίνονται σε χαμηλά επίπεδα και άλλοτε σε υψηλά. Ο ρυθμός μετάδοσης του διαμορφωμένου μηνύματος περιορίζεται σημαντικά όταν ακολουθείται η τεχνική της χαοτικής μετατόπισης σταθμών. Ο περιορισμός οφείλεται σε αυτή την αστάθεια του συγχρονισμού. Η χαοτική διαμόρφωση, που φαίνεται στο σχήμα 3.4.1, προσπερνά κάθε περιορισμό του πλάτους και του ρυθμού μετάδοσης του μηνύματος που ενυπάρχουν στις άλλες δύο μεθόδους κρυπτογραφίας. Στη χαοτική διαμόρφωση, όταν ένα μήνυμα κωδικοποιείται στον πομπό και αποστέλλεται στο δέκτη, επηρεάζει με έγχυση και τη δυναμική του πομπού με αποτέλεσμα δέκτης και πομπός να οδηγούνται από την ίδια δύναμη. Ως συνέπεια αυτού του γεγονότος, όταν όλες οι παράμετροι των δυναμικών συστημάτων του πομπού και του δέκτη είναι ίσες, μπορεί να υπάρξει απόλυτος συγχρονισμός σε όλη τη διάρκεια των μεταδόσεων. [KocarevParlitz1995], [ParlitzKocarevStojanovskiPreckel1996] Έτσι, τα μηνύματα μπορούν να έχουν μεγάλο πλάτος και να μεταδίδονται με γρήγορους ρυθμούς. Μια εναλλακτική λύση στα προβλήματα που παρουσιάζουν οι τεχνικές της χαοτικής απόκρυψης και της χαοτικής μετατόπισης σταθμών είναι το μήνυμα να κωδικοποιηθεί στο χαοτικό φέρον με κάποια διαφορετική διαδικασία παραδείγματος χάρη με πολλαπλασιασμό των δύο σημάτων. Στην περίπτωση αυτή, ο δέκτης συγκρίνει το σήμα που παράγει με το σήμα που λαμβάνει και ανακτά το σήμα του μηνύματος διαχωρίζοντας τα σήματα ή αφαιρώντας το χαοτικό. 34/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

35 Ανάλογα με τις εφαρμογές του οπτικού επικοινωνιακού συστήματος, μπορούν να χρησιμοποιηθούν διαφορετικά σχήματα κωδικοποίησης/αποκωδικοποίησης. Για τη βελτιστοποίηση της ποιότητας της επικοινωνίας είναι απαραίτητο να ελαχιστοποιούνται τα λάθη συγχρονισμού. Η απόδοση ενός σχήματος κρυπτογραφίας είναι συνάρτηση της ποιότητας συγχρονισμού, του ρυθμού εμφάνισης εσφαλμένων bit (BER) και του λόγου σήματος προς θόρυβο (SNR). 3.5 Σημαντικές απαιτήσεις & χαρακτηριστικά των ημιαγωγικών laser Ενώ μπορούμε να παράγουμε χαοτικά σήματα τόσο με laser ημιαγωγών όσο και με laser ίνας πρόσμιξης [DachseltSchwarz2001] το ενδιαφέρον επικεντρώνεται κυρίως στα laser ημιαγωγών. Ο λόγος είναι ότι τα laser ημιαγωγών ικανοποιούν καλύτερα ορισμένες απαιτήσεις της χαοτικής κρυπτογραφίας, είναι ευρύτατα διαδεδομένα και κυριαρχούν στις οπτικές επικοινωνίες. [LarsonLiuTsimring2006] Μερικά σημαντικά χαρακτηριστικά και απαιτήσεις που πρέπει να ικανοποιούνται από τα laser ημιαγωγών είναι τα επόμενα: 1 Είναι ιδιαίτερα σημαντική η καλή ποιότητα και σταθερότητα του συντονισμού ανάμεσα στον πομπό και στο δέκτη, κατά τη διάρκεια μετάδοσης ενός κωδικοποιημένου μηνύματος. Η διαφύλαξη των μηνυμάτων είναι πρωτεύουσας σημασίας για τα συστήματα επικοινωνίας. Οι δύο βασικότεροι παράγοντες που επηρεάζουν την ασφαλή διακίνηση της πληροφορίας είναι: η μη-γραμμική δυναμική συμπεριφορά του συστήματος στον πομπό και στο δέκτη και το σχήμα κρυπτογράφησης που χρησιμοποιείται. Ο συνδυασμός αυτών των δύο παραγόντων καθορίζει την επιτυχία των μεταδόσεων και κατά συνέπεια την ασφάλεια του επικοινωνιακού συστήματος. Καθώς, κάθε τύπος συστήματος χαρακτηρίζεται από διαφορετική δυναμική συμπεριφορά, θα έχει διαφορετική απόδοση από τους άλλους τύπους συστημάτων για οποιοδήποτε κρυπτογραφικό σχήμα εφαρμόζεται. [ΤangChenHwangLiu2002] Επομένως, θα πρέπει να γίνεται μελέτη της απόδοσης για όλους τους συνδυασμούς συστημάτωνκρυπτογραφικών σχημάτων. 2 Εξίσου σημαντική είναι η απεικόνιση των χαοτικών καταστάσεων και η επίτευξη υψηλών ρυθμών μετάδοσης. Οι χαοτικές καταστάσεις μπορούν να υπάρξουν σε πολλά μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα. Για τις οπτικές επικοινωνίες υπάρχουν δύο κατηγορίες συσκευών μη-γραμμικής δυναμικής που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παραγωγή χαοτικών κυματομορφών: τα laser ίνας πρόσμιξης (fiber lasers) και τα laser ημιαγωγών (semiconductor lasers). Ωστόσο, οι εφαρμογές επικεντρώνονται στα laser ημιαγωγών που μπορούν να υποστηρίζουν υψηλούς ρυθμούς μετάδοσης, έχουν κυριαρχήσει στα συστήματα οπτικών επικοινωνιών και η δυναμική τους είναι δυνατό να απεικονίζεται γραφικά. [LarsonLiuTsimring2006], [KaneShore2005] 3 Άλλα χαρακτηριστικά ενός συστήματος που χρειάζονται μελέτη και προσοχή είναι η ευαισθησία φάσης και συχνότητάς του, διάφορες καθυστερήσεις που μπορεί να υπεισέρχονται, η πολυπλοκότητα κατασκευής του, η απόδοσή του και η αντοχή του στο θόρυβο. [LarsonLiuTsimring2006] Τα laser ημιαγωγών είναι ιδιαίτερα ευαίσθητα, 35/126

36 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας χάρη στην εσωτερική ενεργή κοιλότητα συντονισμού τους, την ασυνήθιστα υψηλή ικανότητα να εμφανίζουν τερτέρισμα και την ικανότητά τους να ταλαντώνονται με χαλαρό διάστημα επανασύνδεσης4. Για το λόγο αυτό προτιμώνται από τα άλλα είδη laser. 4 Ένα ακόμη θέμα που χρειάζεται προσοχή, είναι η περιοχή συχνοτήτων στην οποία θα λειτουργεί ένα σύστημα. Θεωρητικές και πειραματικές εργασίες στον έλεγχο και το συγχρονισμό μη-γραμμικών δυναμικών συστημάτων έχουν αποδείξει ότι συστήματα χαοτικών επικοινωνιών μπορούν να λειτουργήσουν τόσο στις ραδιοφωνικές όσο και στις οπτικές περιοχές συχνοτήτων. [DonatiMirasso2002] 5 Τέλος, είναι σημαντικό, να χρησιμοποιούνται τεχνολογίες που να είναι συμβατές με τα υπάρχοντα συστήματα οπτικών επικοινωνιών και τεχνικές κρυπτογράφησης που βρίσκονται σε πλήρη αλληλουχία με τις ήδη υπάρχουσες και χρησιμοποιούμενες μεθόδους κωδικοποίησης, όπως η κωδικοποίηση λογισμικού. [Αργύρης 2006] Η καινοτομία της χρήσης laser ημιαγωγών στην χαοτική κρυπτογραφία, προκύπτει από το γεγονός ότι η κρυπτογραφία εφαρμόζεται σε φυσικό επίπεδο και μάλιστα σε συστήματα με υποδομή όμοια με αυτή των συμβατικών οπτικών συστημάτων. 4 Διάστημα επανασύνδεσης είναι ο χρόνος που χρειάζεται ένα διεγερμένο ηλεκτρόνιο ώσπου να επανασυνδεθεί σε μια οπή. Η επανασύνδεση ηλεκτρονίων οπών είναι μια από τις πηγές θορύβου στα laser. 36/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

37 4 Δυναμική διατάξεων παραγωγής χαοτικών φερόντων που χρησιμοποιούν μονότροπα ημιαγωγικά laser Στις προηγούμενες ενότητες αναφέρθηκαν οι συσκευές που απαρτίζουν ένα οπτικό επικοινωνιακό σύστημα, οι διατάξεις laser που λειτουργούν ως χαοτικές γεννήτριες μέσα σε αυτό, οι μέθοδοι με τις οποίες ανιχνεύεται η χαοτική συμπεριφορά των διατάξεων και οι τεχνικές με τις οποίες κρυπτογραφούνται τα σήματα. Στις επόμενες ενότητες, μελετώνται οι τρεις διατάξεις παραγωγής χαοτικών φερόντων (laser οπτικής έγχυσης, laser οπτικής ανάδρασης και laser οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης) ως προς τη δυναμική τους, τη δυνατότητα συγχρονισμού και τη δυνατότητα υποστήριξης διάφορων κρυπτογραφικών σχημάτων. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούνται θεωρητικές μελέτες και τα αποτελέσματα των πειραμάτων διαφόρων ερευνητών. Η ενότητα αυτή παρέχει το υπόβαθρο για την κατανόηση των αριθμητικών σχέσεων και των φυσικών ποσοτήτων που εμπλέκονται στη μελέτη της δυναμικής, του συγχρονισμού και της κρυπτογράφησης σε κάθε διαφορετική διάταξη laser. Στις ενότητες που ακολουθούν χρησιμοποιούνται τα ίδια μεγέθη και συμβολισμοί με την ενότητα αυτή χωρίς να ορίζονται για δεύτερη φορά. 4.1 Βασικά στοιχεία δυναμικής ενός laser Η δυναμική ενός laser κυριαρχείται από το συνδυασμό τριών φυσικών ποσοτήτων: του πεδίου Ε στο εσωτερικό της ενεργής περιοχής του laser (κοιλότητα συντονισμού), της πόλωσης P του υλικού και της πυκνότητας Ν της κοιλότητας σε κατάσταση πληθυσμιακής αντιστροφής, δηλαδή σε κατάσταση που υπάρχουν περισσότερα διεγερμένα άτομα από μη διεγερμένα. [LarsonLiuTsimring2006] Οι τιμές των P και N προσδιορίζονται σε κβαντομηχανικό επίπεδο. Καθένα από τα μεγέθη αυτά, έχει το δικό του χαρακτηριστικό χρόνο χαλάρωσης: το πεδίο Ε έχει το χρόνο ζωής φωτονίων τc, που είναι γνωστός και ως χρόνος εξασθένισης της κοιλότητας, η πόλωση P έχει το χρόνο χαλάρωσης της φάσης Τ2 και η πυκνότητα Ν έχει το χρόνο χαλάρωσης πληθυσμού Τ1. Η δυναμική ενός laser στη διάρκεια του χρόνου, περιγράφεται μαθηματικά από διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης των τριών ποσοτήτων Ε, P και Ν, με χαρακτηριστικούς χρόνους χαλάρωσης τc, Τ2 και Τ1 αντίστοιχα. Σε ένα μονότροπο laser οι εξισώσεις αυτές έχουν την ακόλουθη γενική μορφή: de =F E,P,N, με σταθερά χαλάρωσης τ c dt (4.1.1) 37/126

38 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας dp =G E,P,N, με σταθερά χαλάρωσης T 2 dt (4.1.2) dn =H E, P, N, με σταθερά χαλάρωσης T1 dt (4.1.3) Όπου οι εξισώσεις F,G και H είναι συναρτήσεις των Ε, P και N που είναι χαρακτηριστικά μεγέθη για κάθε laser. Για ένα πολύτροπο laser το συνολικό πεδίο στο εσωτερικό της κοιλότητας είναι συνδυασμός όλων των τρόπων ταλάντωσης. Τα πεδία όλων των τρόπων μπορούν να συζευκτούν αλλά το καθένα τους πρέπει να περιγραφεί από μια διαφορετική εξίσωση. Έτσι, η δυναμική ενός πολύτροπου laser χρειάζεται περισσότερες από τρεις διαφορικές εξισώσεις για να περιγραφεί στη γενική μορφή της. deq =F...Eq...,P,N, με σταθερά χαλάρωσης τ c dt (4.1.4) dp =G...Eq..., P,N, με σταθερά χαλάρωσης T2 dt (4.1.5) dn =H...Eq...,P,N, με σταθερά χαλάρωσης T 1 dt (4.1.6) όπου q είναι ο δείκτης του τρόπου του laser που παίρνει τόσες διαφορετικές τιμές, όσοι είναι και οι τρόποι του laser. Για την ύπαρξη μιας σύνθετης μη-γραμμικής δυναμικής όπως είναι η χαοτική δυναμική σε ένα σύστημα πρέπει να ικανοποιούνται δύο συνθήκες: 1. να υπάρχει ένας φυσικός μη-γραμμικός μηχανισμός που να επιτρέπει την περιγραφή του συστήματος με συζευγμένες διαφορικές εξισώσεις [LarsonLiuTsimring2006] και 2. το μη-γραμμικό σύστημα να έχει περισσότερες από δύο διαστάσεις, γιατί μαθηματικά τα συστήματα μίας και δύο διαστάσεων δεν μπορούν να εμφανίσουν χαοτική δυναμική. [LarsonLiuTsimring2006] /126 Μη-γραμμικός μηχανισμός Στέα Ελένη Μαρία 809

39 Ο βασικός μη-γραμμικός μηχανισμός υπάρχει στα laser από κατασκευής και οφείλεται στη φύση του ενεργού υλικού τους. Στο ενεργό υλικό των laser επιβάλλεται πληθυσμιακή αντιστροφή πάνω από ένα κατώφλι και όταν τα laser ταλαντώνονται πάνω από το κατώφλι αυτό, η λειτουργία τους είναι μη-γραμμική. 4.3 Ταξινόμηση των laser Τα laser ταξινομούνται σε τρεις κατηγορίες την κλάση Α, την κλάση Β και την κλάση C. Τα laser ημιαγωγών ανήκουν στην κλάση C. Κλάση Α Κλάση Β Κλάση C 4.4 Τα laser για τα οποία ισχύει τc >> T1, T2 Τα laser για τα οποία ισχύει τc, T1 >> T2 Τα laser για τα οποία ισχύει τc T1 T2 Παράμετροι και μεταβλητές Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τις μεταβλητές και τις παραμέτρους που χρησιμοποιούνται στις ενότητες που ακολουθούν και στα επόμενα κεφάλαια: Μέγεθος Περιγραφή nc x res ω = b i g N,S ω Η επιδεκτικότητα που χαρακτηρίζει την απόκριση του ενεργού υλικού του laser που ταλαντώνεται με συχνότητα ω. x ' res ω Το πραγματικό μέρος του x res ω. x ' 'res ω Το φανταστικό μέρος του n Ε,N ή n O δείκτης διάθλασης του ενεργού υλικού. g Ε,Ν Συνάρτηση που δίνει το οπτικό κέρδος (optical gain) ενός laser. x res ω. 39/126

40 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας 2ω n/ N x 'res b= =, c g/ N x ' 'res όπου g: g E, N Παράγοντας αντικαθοδήγησης (antiguidance) που συνήθως αντιμετωπίζεται ως σταθερά. Ονομάζεται επίσης παράγοντας ενίσχυσης του φασματικού εύρους γραμμής (linewidth enhancement factor). P t = 0 x res E t Εξίσωση πόλωσης. Στην περίπτωση των laser κλάσης C η εξίσωση αυτή δε χρειάζεται για να περιγραφεί η δυναμική τους και παραλείπεται, επειδή η πόλωση του ενεργού υλικού ορίζεται πλήρως από το πεδίο του laser, E. N Πυκνότητα των φορέων του μέσου του laser. ê Μοναδιαίο διάνυσμα για το πεδίο του τρόπου ενός laser. ω0 Συχνότητα laser σε κατάσταση ελεύθερης ταλάντωσης. Α t Πλάτος του πεδίου του laser σε κατάσταση ελεύθερης ταλάντωσης. Ε t =êα t e iω t 0 S t = 2n2 0 2 A t ω0 Πεδίο στο εσωτερικό της κοιλότητας του laser. Πυκνότητα φωτονίων στο εσωτερικό της κοιλότητας του laser. γ c=τ 1 c Ρυθμός εξασθένισης φωτονίων ή ρυθμός εξασθένισης της κοιλότητας. c g N, S = g S,N n Παράγοντας κέρδους g συναρτήσει των S και N. 40/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

41 γ da Γ = c A i ω0 ω c A 1 ib ga Fsp dt dn = J γ N 2 0 n g A 2 s dt ed ω0 Ζεύγος διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη δυναμική ενός μονότροπου ημιαγωγικού laser κλάσης C. ωc Συχνότητα του διαμήκους τρόπου στην κοιλότητα του laser. Γ Περιοριστικός παράγοντας που σχετίζεται με την επικάλυψη κατά τη διάδοση του πεδίου ενός τρόπου του laser με αυτό του ενεργού υλικού του laser. J Η πυκνότητα των φορέων έγχυσης. e Φορτίο ηλεκτρονίων. d Η πυκνότητα του ενεργού στρώματος του laser. γ s=τ 1 s Ο ρυθμός αυθόρμητης εξασθένισης του φορέα. Fsp =Fr ifi Πηγή θορύβου κατά την αυθόρμητη εκπομπή. R sp Ρυθμός αυθόρμητης εκπομπής για έναν τρόπο. gth = Παράμετρος του ενεργού υλικού. Είναι το κατώφλι πάνω από το οποίο το ένα laser που βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση ελεύθερης εκπομπής αποκτά σύνθετη δυναμική. γc Γ ds = γ c S ΓgS 2 S0 SFs, dt dn J = γ s N g S dt ed Ζεύγος διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη δυναμική ενός laser πάνω από το κατώφλι που δίνει η παράμετρος gth. 41/126

42 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Fs Στοχαστικός θόρυβος που προέρχεται από τον Fsp. S0 Η πυκνότητα φωτονίων τη στιγμή που το laser αλλάζει δυναμική. g=gth gn N N th gp S S0 Παράμετρος του υλικού που εξαρτάται από την πυκνότητα φωτονίων και την πυκνότητα των φορέων. gn Παράμετρος διαφορικής απολαβής που δείχνει το βαθμό εξάρτησης της παραμέτρου g από την πυκνότητα των φορέων. gp Μη-γραμμική παράμετρος του ενεργού υλικού που δείχνει κατά πόσο η ενεργή περιοχή έχει κορεστεί από τη μεγάλη συγκέντρωση φωτονίων. γ n =gn S0 Διαφορικός ρυθμός χαλάρωσης των φορέων. γ p = Γgp S0 Μη-γραμμικός ρυθμός χαλάρωσης των φορέων. γ r =γ s γ n γ p Συνολικός ρυθμός χαλάρωσης. Ωr =2πfr = γ c γ n γ s γ p Γωνιακή συχνότητα χαλάρωσης του συντονισμού. fr Συχνότητα σμού. Α0 Πλάτος του πεδίου πάνω από το κατώφλι lasing. Ν0 Πυκνότητα των φορέων πάνω από το κατώφλι lasing. 42/126 Στέα Ελένη Μαρία 809 χαλάρωσης του συντονι-

43 η 4.5 Ρυθμός σύζευξης έγχυσης. Μετασχηματισμός εξισώσεων ρυθμού Επειδή το πλάτος του πεδίου Α είναι μιγαδικός αριθμός, το ζεύγος των εξισώσεων ρυθμού: γ da Γ = c A i ω0 ωc A 1 ib ga Fsp dt n dn J = γ s N 0 g A 2 dt ed ω0 μπορεί να μετασχηματιστεί σε τρεις πραγματικές εξισώσεις με μορφή που να κάνει πιο εμφανή την εξάρτηση από τις δυναμικές παραμέτρους της ενότητας 4.4. Αυτός ο μετασχηματισμός γίνεται εφικτός διαχωρίζοντας το μέτρο και τη φάση από το πλάτος του πεδίου και με τον ορισμό κανονικοποιημένων αδιάστατων δυναμικών μεταβλητών που μετρούν με κάποιες αποκλίσεις τις τιμές των πραγματικών παραμέτρων του laser. Από την ενότητα αυτή και μέχρι το τέλος της εργασίας ο συμβολισμός ~ πάνω από το γράμμα μιας παραμέτρου θα δηλώνει την κανονικοποιημένη τιμή της παραμέτρου. Για παράδειγμα J θα είναι η κανονικοποιημένη παράμετρος J. Το πλάτος του πεδίου Α μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση του μέτρου και της φάσης του ως: A= A eiφ = A0 1 α eiφ (4.5.1) Η πυκνότητα των φορέων μπορεί να εκφραστεί ως: N=N0 1 n (4.5.2) Έτσι, έχουμε τρεις πραγματικές μεταβλητές: α= A A 0 / A 0 φ n= N N 0 /N0 Οι εξισώσεις ρυθμού μπορούν να μετασχηματιστούν στις επόμενες τρεις πραγματικές εξισώσεις: 43/126

44 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας [ ] dα 1 γ c γ n = n γ p 2α α 2 1 α Fα dt 2 γ s J [ ] (4.5.3) F dφ b γ c γ n = n γ p 2α α 2 φ dt 2 γ s J 1 α (4.5.4) γs γp d n = γ s n γ J 2α α 1 α n 1 α n γ s J 2α α dt γc (4.5.5) Οι πηγές θορύβου κάθε σχέσης συνδέονται με την Fsp ως: Fα = Fr cosφ Fi sinφ / A 0, Fφ = Fr sinφ Fi cosφ / A 0. ds = γ c S ΓgS 2 S0 S Fs, dt Ομοίως οι εξισώσεις dn J μπορούν και αυτές να μετα= γ s N g S dt ed S=S 0 1 s και παίρνοσχηματιστούν εκφράζοντας την πυκνότητα φωτονίων S ως: ντας: s = S S0 / S 0. Προκύπτουν έτσι δύο νέες εξισώσεις: d s γ c γ n = n s 1 γ p s s 1 F s dt J γ s (4.5.6) γs γp d n γ n n 1 = γ s n γ s J s 1 s sjs dt γc (4.5.7) όπου F s=2 1 s Fα και s =2α α 2. Οι μετασχηματισμοί των εξισώσεων ρυθμού στα κεφάλαια 5, 6 και 7 βασίζονται ακριβώς στην ίδια διαδικασία και στη χρήση των παραμέτρων που προαναφέρθηκαν. 44/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

45 5 5.1 Οπτική Έγχυση Μη-γραμμική δυναμική Σχήμα 5.1.1: Οπτική Έγχυση (ΚΔΛ = Κύρια Δίοδος Λέιζερ, ΔΔΛ = Δευτερεύουσα Δίοδος Λέιζερ) Στο σχήμα φαίνεται ένα μονότροπο ημιαγωγικό laser που δέχεται οπτική έγχυση από ένα κύριο laser. Αναπαριστά με απλοποιημένο τρόπο τη διαδικασία με την οποία η εξωτερική διαταραχή, δηλαδή η δέσμη από το κύριο laser, αλλάζει τη δυναμική του δευτερεύοντος laser. Οι χρησιμοποιούμενες διατάξεις οπτικής έγχυσης, είναι στην πραγματικότητα αρκετά πιο σύνθετες όπως αυτή του σχήματος [AnnovazziLodiDonatiScire1996] που περιλαμβάνει επιπλέον έναν απομονωτή και ένα φωτοανιχνευτή. Ωστόσο, το απλοποιημένο σχήμα είναι αρκετό για την εξήγηση της αλλαγής στη δυναμική του δευτερεύοντος laser. Σχήμα 5.1.2: Πειραματική διάταξη για συγχρονισμό με laser οπτικής έγχυσης [Annovazzi-LodiDonatiScire1996] Στο σχήμα το πλάτος του πεδίου έγχυσης, αποτελείται από μιγαδικό πλάτος Α i 45/126

46 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας σε γωνιακή συχνότητα ωi. Η συχνότητα ωi αποσυντονίζεται από τη συχνότητα της δευτερεύουσας διόδου laser Ω=ωi. - ω0. Όπως έχει ήδη αναφερθεί στο μέρος Α οι εξισώσεις ρυθμού είναι συνάρτηση του πεδίου Ε του laser έτσι είναι επόμενο ότι αν στο πεδίο προστεθεί και το πεδίο έγχυσης, οι εξισώσεις θα διαφέρουν από τις εξισώσεις ρυθμού του μεμονωμένου μονότροπου laser του κεφαλαίου 4. Η δυναμική του laser που υφίσταται οπτική έγχυση θα περιγράφεται τώρα από νέες εξισώσεις ρυθμών: γ da Γ = c A i ω0 ωc A 1 ib ga Fsp η Ai e iωt dt n2 dn J = γ s N 0 g A 2 dt ed ћ ω0 (5.1.1) (5.1.2) Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να μετασχηματιστούν στις επόμενες τρεις εξισώσεις (σύμφωνα με όσα έχουν αναφερθεί στο κεφάλαιο 4): [ ] dα 1 γ c γ n = n γ p 2α α 2 1 α Fα ξγ c cos 2πft φ dt 2 γ s J (5.1.3) Fφ ξγ c dφ b γ c γ n 2 = n γ p 2α α sin 2πft φ dt 2 γ s J 1 α 1 α (5.1.4) γs γp d n 2 2 = γ s n γ J 2α α 2 1 α 2 n 1 α n γ s J 2α α dt γc (5.1.5) [ όπου το ] ξ =η Α / γ c A 0 i είναι η κανονικοποιημένη παράμετρος έγχυσης. Από το μετασχηματισμό των εξισώσεων, προκύπτει το συμπέρασμα ότι το laser έγχυσης είναι ένα μη-αυτόνομο σύστημα τριών διαστάσεων, αφού είναι συνάρτηση τριών συζευγμένων μεταβλητών: των α, n και φ. Επειδή η φάση είναι μία από αυτές τις μεταβλητές, το σύστημα παρουσιάζει ευαισθησία φάσης (phase-sensitive). 46/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

47 Σχήμα 5.1.3: (α) Ελκυστής, (β) Φάσμα, (γ) Οπτικό πεδίο (δ) Ένταση συστήματος οπτικής έγχυσης [LarsonLiuTsimring2006] Εάν η μια παράμετρος των εξισώσεων μεταβληθεί όσο οι άλλες παραμείνουν σταθερές, τότε, το laser έγχυσης ακολουθεί μια πορεία με διπλασιασμό περιόδου προς το χάος. [SimpsonLiuGavrielidesKovanisAlsing1995] Το σχήμα [LarsonLiuTsimring 2006] βασίζεται σε αριθμητικούς υπολογισμούς και δείχνει τον ελκυστή και την εξέλιξη του χαοτικού συστήματος. 5.2 Συγχρονισμός Όπως έχει αναφερθεί, ένα μονότροπο laser που αφήνεται να λειτουργεί σε ελεύθερη κατάσταση, δεν έχει καμιά σύνθετη δυναμική εάν δεν εφαρμοστεί σε αυτό μια εξωτερική διαταραχή. 47/126

48 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Σχήμα 5.2.1: Συγχρονισμός με διάταξη οπτικής έγχυσης (ΚΛΔ: Κύρια Διάταξη Λέιζερ, ΔΛΠ: Διάταξη Λέιζερ Πομπού, ΔΛΔ: Διάταξη Λέιζερ Δέκτη, BS: Beam Splitter (διαχωριστής), ΟΑ: Οπτικός Απομονωτής.) Στο σχήμα 5.2.1, απεικονίζεται το σύστημα που χρησιμοποιείται για το συγχρονισμό μέσω οπτικής έγχυσης. Η οπτική έξοδος του κυρίου laser, διαχωρίζεται σε δύο τμήματα. Το πρώτο τμήμα, που σημειώνεται ως Ei(t) εγχύεται στον πομπό, ενώ το δεύτερο που σημειώνεται ως Ei(t)eiθ εγχύεται στον αποδέκτη μαζί με την έξοδο του πομπού. Η φάση θ υπάρχει επειδή το οπτικό πεδίο του πομπού συναντά το πεδίο έγχυσης του κύριου laser δύο φορές. Η πρώτη φορά, είναι τη στιγμή που ο πομπός δέχεται την έξοδο του κυρίου laser ως πεδίο έγχυσης για να οδηγηθεί σε κάποια χαοτική κατάσταση λειτουργίας, ενώ η δεύτερη, είναι όταν η έξοδος του πομπού συνδυάζεται με την έξοδο της κύριας διόδου laser για να διαδοθεί μέχρι το laser του δέκτη. Το οπτικό πεδίο, όπως και το πεδίο που δημιουργείται στην κοιλότητα συντονισμού του πομπού και κατά συνέπεια το μεταδιδόμενο οπτικό πεδίο, μπορεί να μην έχει την ίδια οπτική φάση και στα δύο αυτά σημεία συνάντησης. Η σχετική διαφορά ανάμεσα στις δύο φάσεις συμβολίζεται με θ στον όρο Ei(t)eiθ. Σύμφωνα με το σχήμα 5.2.1, ο πομπός μπορεί να μοντελοποιηθεί από ένα συζευγμένο ζεύγος εξισώσεων, χρησιμοποιώντας το μιγαδικό πλάτος του πεδίου στο εσωτερικό της κοιλότητας A Π και την πυκνότητα των φορέων του μέσου ΝΠ [LiuChenTang2000], [ChenLiu2000]: γ cπ Π daπ Π Π Π Γ Π Π Π = A i ω0 ωc A 1 ib g A Fsp nei t dt 2 2 (5.2.1) 2 dn Π = J γ NΠ 2 0 n g AΠ 2 s dt ed ћ ω0 (5.2.2) 48/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

49 Στις εξισώσεις και 5.2.2, ο εκθέτης Π χρησιμοποιείται για να δηλώσει τον πομπό, ενώ ο εκθέτης Δ για να δηλώσει το δέκτη. Ο δέκτης, που δέχεται το σήμα οδήγησης s t =αα Τ τ Εi t eiθ περιγράφεται από τις εξισώσεις και 5.2.4: Δ daδ = γ c A Δ i ωπ ωδ ΑΔ Γ 1 ibδ gαδ FΔ η s t = 0 c sp dt 2 2 γδ Γ = c αη AΔ i ωπ0 ωδc ΑΔ 1 ibδ gaδ FΔsp ηei t eiθ αη ΑΠ Α Δ 2 2 (5.2.3) και 2 dn Δ =J γ N Δ 2 0 n g AΔ 2 s dt ed ћ ω0 (5.2.4) Με βάση την αρχή συγχρονισμού που έχει προταθεί από τους Kocarev και Parlitz [KocarevParlitz1995] για να υπάρξει μια λύση τέλειου συγχρονισμού, δηλαδή να ισχύει Π Δ A Π=Α Δ, θα πρέπει να ισχύει: θ=0, Δω c ωc ωc =0 και τα δύο laser να είναι πανοδ Π μοιότυπα, εκτός αν γ c =γ c 2nα. [ChenLiu2000] Η απαίτηση για μηδενική φάση θ αναγνωρίζεται ως ευαισθησία φάσης του χαοτικού συγχρονισμού των δύο laser. Ο αποσυντονισμός της σταθερής κατάστασης στην οποία τα laser του πομπού και του δέκτη εκπέμπουν ελεύθερα μπορεί να ληφθεί, με χρήση της παραμέτρου γ c ως εξής: ωπ0 ωδ0 =Δωc bπ γ Πc bδ γ Δc /2 (5.2.5) Π Δ Π Π Δ Δ Όταν Δωc =0, ισχύει η ισότητα ω0 ω0 = b γ c b γ c /2. Επειδή τα Α Π t και Α Δ t είναι και τα δύο μιγαδικά πλάτη στη συχνότητα ελεύθερης ταλάντωσης του πομπού, ο απόλυτος συγχρονισμός με A Π=Α Δ απαιτεί: η γρήγορα μεταβαλλόμενη οπτική φάση, η αργά μεταβαλλόμενη φάση και το πλάτος στην έξοδο του δέκτη να είναι συγχρονισμένα με τα αντίστοιχα μεγέθη του πομπού. Στο σχήμα φαίνεται η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε από τους Annovazzi-Lodi, Donati και Scirè [Annovazzi-LodiDonatiScire1996] για τη μελέτη του συγχρονισμού σε ένα αμιγώς οπτικό σύστημα. Από τη μελέτη του συστήματος προέκυψε ως συμπέρασμα ότι η ποιότητα του συγχρονισμού στην περίπτωση της οπτικής έγχυσης είναι συνάρτηση της απόκλισης των τροχιών των ελκυστών που σχηματίζονται από τις τιμές των παραμέτρων του πομπού και του δέκτη. Το κλειδί για τον καλό συγχρονισμό είναι η επιλογή τέτοιων τιμών για τις παραμέτρους ώστε: 1. Οι τροχιές τον ελκυστών να μη βρίσκονται πολύ κοντά η μία στην άλλη ώστε ο θόρυβος να μην καταστρέφει το συγχρονισμό. (Ο θόρυβος αλλάζει τη θέση των σημείων στα διαγράμματα δικρανισμού και μπορεί να αλλάξει ακόμη και τη δομή του 49/126

50 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας ίδιου του χώρου φάσεων επηρεάζοντας διάφορους ελκυστές [KaneShore2005]) 2. Οι τροχιές των ελκυστών να μην αποκλίνουν πάρα πολύ, διαφορετικά κάποιος ωτακουστής θα μπορεί να καταγράψει πιστά το σήμα και ίσως μπορέσει να εντοπίσει κάποια σύμβολα από τη μορφή των κυματομορφών χωρίς απαραίτητα να γνωρίζει τις τιμές των παραμέτρων. Σχήμα 5.2.2: Πειραματική διάταξη για τη μελέτη του συγχρονισμού με laser έγχυσης Ύστερα από πειραματικό και θεωρητικό υπολογισμό του φάσματος ισχύος ενός συστήματος οπτικής έγχυσης [LarsonLiuTsimring2006] προέκυψαν ορισμένα συμπεράσματα για το συγχρονισμό του. 50/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

51 Σχήμα 5.2.3: Πειραματικά αποτελέσματα από μελέτη του συγχρονισμού σε συστήματα οπτικής έγχυσης [LarsonLiuTsimring2006] Η ισχύς της οπτικής έγχυσης από το κύριο laser στον πομπό ρυθμίστηκε με τέτοιο τρόπο που ο πομπός να λειτουργεί σε χαοτική κατάσταση. Το φάσμα ισχύος που προέκυψε πειραματικά από τον πομπό οπτικής έγχυσης [LarsonLiuTsimring2006] φαίνεται στο σχήμα 5.2.3a. Ο δέκτης είναι συγχρονισμένος με τον πομπό όταν η σχετική διαφορά των δύο οπτικών φάσεων θ ισούται με 0. Αφού επέλθει ο συγχρονισμός, η απόκλιση του συντονισμού μεταξύ των ελεύθερων συχνοτήτων είναι περίπου 32.6±0.9GHz, όσο δηλαδή χρειάζεται για να ικανοποιείται η εξίσωση Tο φάσμα ισχύος του δέκτη που φαίνεται στο σχήμα b μοιάζει πολύ με το φάσμα του πομπού. Το φάσμα ισχύος του σήματος του καναλιού προέρχεται από την πρόσθεση των σημάτων του κύριου και του δευτερεύοντος laser και φαίνεται στο σχήμα c. Η ποιότητα του συγχρονισμού στο πείραμα, που επιτυγχάνεται με θ=0, φαίνεται στο σχήμα d, στο διάγραμμα συσχετίσεων των εντάσεων των κυματομορφών πομπού και δέκτη. Η ποιότητα του συγχρονισμού βρέθηκε να είναι ρ 0,89, ύστερα από σχετική μετρήση. Μετρήθηκε, επίσης, η συσχέτιση του σήματος του καναλιού με την κυματομορφή του δέκτη και βρέθηκε να είναι περίπου ρ 0,67, όπως φαίνεται στο σχήμα e. Από τη σύγκριση των διαγραμμάτων των συσχετίσεων στα σχήματα d και e είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι ο δέκτης είναι συγχρονισμένος με τον πομπό αλλά όχι και με το σήμα του καναλιού. Η επαλήθευση του συγχρονισμού τόσο για τη γρήγορα μεταβαλλόμενη οπτική φάση όσο και για την αργά μεταβαλλόμενη φάση της χαοτικής κυματομορφής βασίζεται στη συμβολή (ή υπέρθεση) κυμάτων. Αν τα δύο laser θεωρηθούν ως σύμφωνες πηγές 5, τότε σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο η συμβολή των σημάτων τους θα είναι είτε ενισχυτική είτε κατα5 σύμφωνες ονομάζονται οι πηγές που εκπέμπουν προς την ίδια κατεύθυνση και με την ίδια φάση ή με σταθερή διαφορά φάσης 51/126

52 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας στροφική. Αν ο ρυθμός με τον οποίο εξαλείφεται η συμβολή είναι μεγαλύτερος από 5, διαπιστώθηκε πειραματικά ότι υπάρχει συγχρονισμός και στις δύο φάσεις, καθώς επίσης και στα πλάτη των πεδίων. [ChenLiu2005] Αυτό, σύμφωνα με τη θεωρία, σημαίνει ότι έχει επιτευχθεί χαοτικός συγχρονισμός και το συνολικό οπτικό πεδίο του δέκτη είναι συγχρονισμένο με αυτό του πομπού. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, ο συγχρονισμός των συστημάτων οπτικής έγχυσης εξαρτάται έντονα από τη σχετική διαφορά της οπτικής φάσης θ. Αν επομένως η διαφορά θ πάρει μια διαφορετική τιμή από τη μηδενική ενώ όλα τα υπόλοιπα μεγέθη παραμένουν σταθερά, ο δέκτης θα αποσυντονιστεί σχεδόν αμέσως από τον πομπό. Συμπερασματικά,ο απόλυτος συγχρονισμός μεταξύ πομπού και δέκτη επιτυγχάνεται με τον ταυτόχρονο συγχρονισμό της γρήγορα μεταβαλλόμενης οπτικής φάσης, της αργά μεταβαλλόμενης φάσης και της έντασης της χαοτικής κυματομορφής υπό την προϋπόθεση ότι τα laser του πομπού και του δέκτη λειτουργούν με κλείδωμα συχνοτήτων. Ο συγχρονισμός του συστήματος, είναι ιδιαίτερα ευαίσθητος στις αλλαγές της σχετικής διαφοράς φάσης θ ανάμεσα στο κύριο και το δευτερεύον laser. Μικρές αποκλίσεις της διαφοράς φάσης από την τιμή 0 μπορούν να αποσυντονίσουν πλήρως το σύστημα. Η ευαισθησία, αυτή, στη διαφορά φάσης, οφείλεται στο γεγονός ότι ο δέκτης χρειάζεται δύο σήματα οδήγησης για να επιτύχει συγχρονισμό. Το ένα είναι η έξοδος του πομπού και το άλλο η έξοδος της κύριας διόδου laser. 5.3 Απόδοση όταν η οπτική έγχυση εφαρμοστεί στην κρυπτογραφία με υψηλή ταχύτητα μετάδοσης Σχήμα 5.3.1: Σύστημα Οπτικής Έγχυσης Σύμφωνα με το σχήμα 5.3.1[LarsonLiuTsimring2006], ένας πομπός μπορεί να μοντελοποιηθεί από το επόμενο ζεύγος εξισώσεων χρησιμοποιώντας το μιγαδικό πλάτος του πεδίου στο εσωτερικό της κοιλότητας συντονισμού και την πυκνότητα των φορέων του μέσου από τις εξισώσεις: Π daπ = γ c ηα AΠ i ω ω AΠ Γ 1 ib Π g AΠ FΠ 0 c sp dt 2 2 Π iωt η{α Α t A i e [1 m ACM t ]} 2 dn Π = J[1 mcsk t ] γ N Π 2 0 n g AΠ 2 s dt ed ћ ω0 52/126 Στέα Ελένη Μαρία 809 (5.3.1) (5.3.2)

53 ενώ ο δέκτης μπορεί να μοντελοποιηθεί από τις εξισώσεις: γδ Δ daδ Δ Γ Δ Δ Δ = c A i ω0 ω c Α 1 ib gα F sp ηs t dt 2 2 (5.3.3) και 2 dn Δ =J γ N Δ 2 0 n g AΔ 2 s dt ed ћ ω0 (5.3.4) Σε αυτό το μοντέλο, Αie-iΩt είναι το πεδίο της οπτικής έγχυσης, όπου Ω=2πf είναι η συχνότητα αποσυντονισμού, n είναι ο ρυθμός έγχυσης του οπτικού πεδίου στο laser και η μεταβλητή α καθορίζει το πόσο ισχυρή είναι η σύζευξη ανάμεσα στο δέκτη και στον ποπ iωt μπό. Το σήμα του πομπού είναι της μορφής s t =αα t Α i e [1 m t ] για τα κρυπτογραφικά σχήματα ACM και CSK, ενώ στην περίπτωση της κωδικοποίησης Π iωt CSK έχει τη μορφή: s t =αα t Α i e. Οι δείκτες του μηνύματος m(t) δείχνουν το κρυπτογραφικό σχήμα που χρησιμοποιείται. Κάθε φορά που χρησιμοποιείται ένα συγκεκριμένο κρυπτογραφικό σχήμα, τα μηνύματα m(t) που έχουν δείκτη άλλου κρυπτογραφικού σχήματος θεωρούνται ίσα με το 0. Όπως φαίνεται από το μαθηματικό μοντέλο, όταν εφαρμόζεται η κρυπτογραφική τεχνική CMS, το κρυπτογραφημένο μήνυμα m(t) εγχύεται στον αποδέκτη αλλά όχι στον πομπό. Όταν εφαρμόζεται η τεχνική CSK, μόνο το laser του πομπού και όχι του αποδέκτη διαμορφώνεται ανάλογα με το κρυπτογραφημένο μήνυμα. Από τις προηγούμενες εξισώσεις ρυθμού για διαφορετικά κρυπτογραφικά σχήματα, φαίνεται ότι ο πομπός και ο δέκτης δεν μπορούν ποτέ να είναι μαθηματικά πανομοιότυποι όταν ένα μήνυμα κωδικοποιείται με τα σχήματα CMS και CSK. Μπορούν να είναι πανομοιότυποι μόνο όταν χρησιμοποιείται η τεχνική ASK και επιπλέον είναι ρυθμισμένες σωστά όλες οι παράμετροι συγχρονισμού τους. Ένα γενικό χαρακτηριστικό που έχουν οι χαοτικές επικοινωνίες που βασίζονται στο συγχρονισμό, είναι ότι το ανακτημένο μήνυμα αλλοιώνεται από το θόρυβο του καναλιού και τα λάθη συγχρονισμού. Για αυτό το λόγο, η απόδοση της ανάκτησης ενός μηνύματος καθορίζεται από την ποιότητα του συγχρονισμού, η οποία εξαρτάται από το θόρυβο στο σύστημα και την κρυπτογραφική μέθοδο που χρησιμοποιείται. Ένας τρόπος να μετρηθεί η απόδοση του συστήματος, είναι εξετάζοντας το ανακτημένο μήνυμα στο πεδίο του χρόνου για κάθε κρυπτογραφική μέθοδο ώστε να προκύψει μια πρώτη εικόνα της παραγωγής εσφαλμένων bits. Από μελέτη των Liu J., Chen H. και Tang S. [LiuChenTang2002] προέκυψε ότι η ανάκτηση μηνυμάτων με τη μέθοδο CSK σε ρυθμό μετάδοσης κοντά στα 10 Gb/s είναι σχεδόν αδύνατη. Αυτό, συμβαίνει επειδή η CSK κωδικοποίηση μηνυμάτων προκαλεί απότομες διακοπές του συγχρονισμού με αποτέλεσμα η αποκρυπτογράφηση του μηνύματος να εξαρτάται από το χρονικό διάστημα που χρειάζεται ώσπου να επανέλθει ο συγχρονισμός. Σε ρυθμούς μετάδοσης των 10 Gb/s η επαναφο53/126

54 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας ρά του συγχρονισμού είναι αδύνατο να συμβεί στη χρονική διάρκεια ενός bit και έτσι είναι αναπόφευκτη η απώλεια πληροφορίας. Η μέθοδος θα μπορούσε να βρει εφαρμογή αποκλειστικά σε πολύ χαμηλούς ρυθμούς μετάδοσης, όπου ο χρόνος ανάκτησης του συγχρονισμού είναι μικρότερος της διάρκειας ενός bit. Από τη μελέτη των ανακτημένων μηνυμάτων που προέκυψαν από τη μέθοδο CMS, πάλι στο πεδίο του χρόνου, διαπιστώθηκε ότι τα σφάλματα προέρχονται επειδή δεν μπορεί να ισχύσει η μαθηματική συνθήκη για τον απόλυτο συγχρονισμό μεταξύ πομπού και δέκτη. Καθώς τα κωδικοποιημένα μηνύματα είναι μικρά σε σχέση με την έξοδο του πομπού, λειτουργούν μόνο ως διαταραχές του συγχρονισμού. Έτσι, όταν ανακτηθούν έχουν κάποιες ομοιότητες με τα πρότυπα μηνύματα του πομπού. Αν χρησιμοποιηθεί ένα κατωδιαβατό φίλτρο, η ομοιότητα είναι ακόμη μεγαλύτερη. [LarsonLiuTsimring2006] Σε ταχύτητες των 2,5 Gb/s, η χρήση φίλτρων βελτιώνει σημαντικά τα αποτελέσματα και επιτρέπει τη μετάδοση σε μεγαλύτερες αποστάσεις της τάξεως των 150 km. [BogrisKanakidisArgyrisSyvridis2005] Η μέθοδος ACM έχει την καλύτερη απόδοση από τις τρεις μεθόδους καθώς είναι η μόνη που δεν καταστρέφει τον απόλυτο μαθηματικό συγχρονισμό ανάμεσα στο δέκτη και στον πομπό. Τα λάθη στα bits οφείλονται μόνο σε σφάλματα συγχρονισμού που μπορεί να προκύψουν από το θόρυβο στο κανάλι, καθώς και το θόρυβο στα ίδια τα laser. Μια ξαφνική απόκλιση ή απώλεια του συγχρονισμού που προκαλεί αλλοίωση στα bits των μηνυμάτων είναι πάντα αποτέλεσμα του ποσοστού του παρόντος θορύβου. Η απόδοση του συστήματος, μετριέται με το ρυθμό εμφάνισης εσφαλμένων bit (BER) ως συνάρτηση του λόγου σήματος προς θόρυβο (SNR) του καναλιού. Αν ο θόρυβος του laser δε ληφθεί υπόψιν, οι μέθοδοι CMS και CSK έχουν παρόμοια απόδοση. Η απόδοση της τεχνικής CSK σπάνια επηρεάζεται από το θόρυβο του laser καθώς υπάρχουν ισχυρότεροι παράγοντες (π.χ. η καταπάτηση της μαθηματικής ομοιότητας του συγχρονισμού) που επηρεάζουν πολύ ισχυρότερα το συγχρονισμό. Όσον αφορά την απόδοση του σχήματος ACM, ένας ρυθμός BER χαμηλότερος του 10 μπορεί να επιτευχθεί για SNR μεγαλύτερο από 60 db υπό την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχει θόρυβος από το laser. Ωστόσο, αν παρουσιαστεί θόρυβος από το laser, η απόδοση του συστήματος γρήγορα χειροτερεύει καθώς ο θόρυβος αυξάνεται. [LiuChenTang2002], [LarsonLiuTsimring2006]. -5 Στα σύγχρονα οπτικά δίκτυα που δε χρησιμοποιούν χαοτικά φέροντα οι ρυθμοί BER είναι της τάξης του Για το λόγο αυτό η κρυπτογραφία με οπτική έγχυση επιδέχεται μελέτης και βελτίωσης. Πρόσφατες έρευνες, έδειξαν ότι η κρυπτογραφία με οπτική έγχυση σε ρυθμούς των 1 και 5 Gb/s είναι δυνατή με τα σχήματα ACM και CMS και ότι η απόδοσή της βελτιώνεται όταν αυξάνεται η ισχύς της έγχυσης. Επιπλέον, παρατηρήθηκε ότι τα laser έγχυσης παρουσιάζουν μια ανοχή της τάξης του ±10 στις διακυμάνσεις που προέρχονται από αποσυντονισμό της συχνότητας και από τους φορείς του laser. [ArgyrisSyvridis2004] Επιπλέον, η μέθοδος είναι αρκετά απλή στην υλοποίηση καθώς χρησιμοποιεί μόνο δύο laser και μπορεί να λειτουργήσει με χαλαρότερες απαιτήσεις σε ότι αφορά την απόλυτη ταύτιση των παραμέτρων και τη σταθερότητα. [AnnovazziLodiDonatiScire1996] 54/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

55 6 Οπτική Ανάδραση 6.1 Μη-γραμμική δυναμική Η οπτική ανάδραση είναι αναπόφευκτη διαδικασία σε όλες τις εφαρμογές των laser. Μπορεί να προκληθεί από διάφορες συσκευές του οπτικού δικτύου που βρίσκονται στην περιοχή εκπομπής των laser, για παράδειγμα, τα τοιχώματα της οπτικής ίνας μπορεί να προκαλέσουν οπτική ανάδραση ανακλώντας ένα τμήμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει ένα laser. Σχήμα 6.1.1: Οπτική Ανάδραση (ΔΛ = Δίοδος Λέιζερ) Αριστερά: Διάταξη μονής διάβασης, Δεξιά: Διάταξη πολλαπλών διαβάσεων. Στο σχήμα φαίνονται δύο πιθανές διατάξεις που χρησιμοποιούνται για την επίτευξη οπτικής ανάδρασης με καθυστέρηση σε ένα μονότροπο ημιαγωγικό laser. Στη διάταξη μονής-διάβασης, ο βρόχος ανάδρασης αποτελείται από έναν οπτικό απομονωτή, έτσι ώστε ένα τμήμα της εξόδου του laser να ανατροφοδοτεί το laser σε μια μόνο χρονική μονάδα καθυστέρησης τ, που καθορίζεται από το μήκος του βρόχου ανάδρασης. Στη διάταξη πολλαπλών-διαβάσεων, η οποία, τις περισσότερες φορές, χρησιμοποιεί ένα κάτοπτρο που ανακλά μερικώς την έξοδο του laser πίσω στο laser, ένα μικρό τμήμα της εξόδου του laser εξακολουθεί να επιστρέφει στο laser κάθε τ χρονικές μονάδες καθυστέρησης, καθώς το κάτοπτρο σχηματίζει με το εξωτερικό κάτοπτρο του laser μια εξωτερική κοιλότητα. Το ζεύγος εξισώσεων που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη δυναμική του μονότροπου laser που δέχεται οπτική ανάδραση [LarsonLiuTsimring2006]: γ da Γ = c A i ω0 ωc A 1 ib ga Fsp αη A t τ eiθ dt 2 2 (6.1.1) και 2 dn = J γ N 2 0 n g A 2 s dt ed ћ ω0 (6.1.2) όπου α είναι το τμήμα της εξόδου του laser που αποστέλλεται πίσω στο laser, n είναι ο 55/126

56 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας ρυθμός με τον οποίο το πεδίο του laser εγχύεται πίσω στην κοιλότητα, τ είναι ο χρόνος καθυστέρησης της ανάδρασης και θ η διαφορά φάσης ανάμεσα στο πεδίο της ανάδρασης και το πεδίο της κοιλότητας τη στιγμή της έγχυσης του σήματος ανάδρασης. Η εξίσωση του πεδίου (σχέση 6.1.1) είναι ανάλογη της εξίσωσης Lang-Kobayashi: d 1 E t e jω t={iωn n G n Γ }E t e jω t κ E t τ ejω t τ (6.1.3) dt 2 Αυτό σημαίνει, ότι η εξίσωση ισχύει μόνο για τη διάταξη μονής-διάβασης καθώς δεν προσμετρά τις πολλαπλές ανακλάσεις που συμβαίνουν ανάμεσα στα κάτοπτρα της εξωτερικής κοιλότητας. Το αποτέλεσμα είναι να δημιουργούνται σφάλματα στην περίπτωση που το μοντέλο χρησιμοποιείται για την περιγραφή της διάταξης πολλαπλών-διαβάσεων Από τις εξισώσεις και διαπιστώνεται ότι η ύπαρξη της παραμέτρου της καθυστέρησης προσθέτει ακόμη περισσότερες διαστάσεις στο σύστημα σε σχέση με την περίπτωση του συστήματος της οπτικής έγχυσης και επομένως, η δυναμική του θα είναι ακόμη πιο περίπλοκη. Οι συζευγμένες εξισώσεις που προκύπτουν από το μετασχηματισμό και είναι οι επόμενες (σύμφωνα με το κεφάλαιο 4): dα 1 γ c γ n = n γ p 2α α 2 1 α Fα ξγ c [1 α t τ ]cos[φ t τ φ t θ] (6.1.4) dt 2 γ s J [ ] 1 α t τ dφ b γ c γ n = n γ p 2α α 2 F φ ξγ c sin [φ t τ φ t θ] dt 2 γ s J 1 α t (6.1.5) γs γp d n 2 2 = γ s n γ J 2α α 2 1 α 2 n 1 α n γ s J 2α α dt γc (6.1.6) [ ] όπου το ξ =α /γ c είναι η κανονικοποιημένη παράμετρος ανάδρασης που μετρά την ισχύ της ανάδρασης. Οι παράμετροι των εξισώσεων υπάρχουν στο κεφάλαιο 4. Από τις εξισώσεις είναι εμφανές ότι η δυναμική στα συστήματα οπτικής ανάδρασης καθορίζεται από τις μεταβλητές α, φ και n όπως και στα συστήματα οπτικής έγχυσης. Επειδή, όμως, οι δύο από τις τρεις εξισώσεις που καθορίζουν τη δυναμική είναι διαφορικές εξισώσεις καθυστέρησης, τα συστήματα οπτικής ανάδρασης έχουν μια επιπλέον διάσταση από τα συστήματα οπτικής έγχυσης. Στις μεταβλητές του συστήματος συμπεριλαμβάνεται και ο χρόνος καθυστέρησης γιατί το σύστημα εξελίσσεται στο διάστημα τ. Όπως συμβαίνει και με τα συστήματα οπτικής έγχυσης, η δυναμική είναι συνάρτηση της οπτικής φάσης θ, επομένως, και τα συστήματα οπτικής ανάδρασης είναι συστήματα ευαίσθητα σε μεταβολές φάσης. Η δυναμική ενός μονότροπου laser ημιαγωγού, καθορίζεται από πέντε εσωτερικές παραμέτρους του τις: γc, γs, γn, γp και b, καθώς και από τρεις λειτουργικές παραμέτρους: την πυκνότητα του ρεύματος έγχυσης J, την παράμετρο ξ της οπτικής ανάδρασης, και 56/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

57 το χρόνο καθυστέρησης τ. Οι λειτουργικές παράμετροι, μπορούν να αλλάξουν εξωτερικά έτσι ώστε να ελεγχθεί η δυναμική ενός laser τη στιγμή της λειτουργίας του. Ένα ημιαγωγικό laser οπτικής ανάδρασης έχει πολύ πιο σύνθετη δυναμική από ένα σύστημα οπτικής έγχυσης καθώς έχει περισσότερες διαστάσεις. Οι επιπλέον διαστάσεις οφείλονται στο χρόνο καθυστέρησης της ανάδρασης και σε έναν επιπλέον παράγοντα που σχετίζεται με τη φάση θ. Ο παράγοντας αυτός, ερμηνεύει τις μικροσκοπικές μεταβολές του μήκους της ανάδρασης σε σχέση με το μήκος κύματος του laser. Έτσι, η δυναμική του συστήματος εξαρτάται από την ανάδραση σε δύο επίπεδα: το πρώτο, είναι σε μακροσκοπικό επίπεδο που περιγράφεται από την αυστηρά καθορισμένη τιμή της οπτικής φάσης θ και το δεύτερο, είναι σε μικροσκοπικό επίπεδο στο οποίο ο χρόνος καθυστέρησης έχει σταθερή τιμή αλλά η οπτική φάση θ μεταβάλλεται σε ένα διάστημα εύρους 2π. Τα σχήματα a και b δείχνουν τα διαγράμματα δικρανισμού για την κάθε περίπτωση. Σχήμα 6.1.2: Διαγράμματα δικρανισμού για το σύστημα οπτικής ανάδρασης [LarsonLiuTsimring2006] Πέρα από την αύξηση των διαστάσεων και την ευαισθησία φάσης η δυναμική ενός ημιαγωγικού laser οπτικής ανάδρασης περιπλέκεται και από άλλους παράγοντες. Κατά βάση, υπάρχουν δύο είδη χαοτικής δυναμικής για το σύστημα. Το πρώτο είδος, είναι οι χαμηλής συχνότητας διακυμάνσεις που συνήθως παρατηρούνται κοντά στο κατώφλι του laser [MorkTromborgChristiansen1998], [FischerTartwijkLevineElsaesser GoebelLenstra1996], [KaoWangChen1994], [LarsonLiuTsimring2006] αλλά μπορεί να παρατηρηθούν και σε υψηλά επίπεδα έγχυσης [PanShiGray1997], [LarsonLiuTsimring 2006]. Το δεύτερο είδος, είναι το χάος ευρείας περιοχής. Οι διακυμάνσεις χαμηλών συχνοτήτων (low-frequency fluctuations ή LFFs) χαρακτηρίζονται από ξαφνικές απώλειες ισχύος από το laser, της τάξεως των megahertz. Οι δυναμικές καταστάσεις στην περιοχή των διαταραχών LFF ακολουθούν μια διαλλειπτόμενη πορεία προς το χάος [Sano1994]. Το χάος ευρείας περιοχής χαρακτηρίζεται από συνεχείς κυματομορφές ευρείας περιοχής. Οι δυναμικές καταστάσεις, σε αυτή την περιοχή, χαρακτηρίζονται από υψηλής συχνότη διακυμάνσεις αχές της τάξεως των gigahertz. Σε αυτή την περιοχή συχνοτήτων, το σύστημα μπορεί να ακολουθεί είτε μια πορεία προς το χάος με διπλασιασμό περιόδου, είτε μια πορεία με ημιπεριοδικότητα. Πιο συχνή περίπτωση, είναι η πορεία προς το χάος με διπλασιασμό περιόδου. [Ohtsubo2002] 57/126

58 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Το χάος από διακυμάνσεις χαμηλών συχνοτήτων (LFF) δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στην περίπτωση των χαοτικών επικοινωνιών υψηλών ρυθμών μετάδοσης. Έτσι, συνήθως, λαμβάνονται υπόψιν μόνο εκείνες οι δυναμικές καταστάσεις που οφείλονται στο χάος ευρείας περιοχής. [Ohtsubo2002] Επιπλέον, παρατηρήθηκε ότι από τον υπολογισμό του φάσματος ισχύος για μικρό εύρος ανάδρασης, υπάρχουν δύο ελκυστές για κάθε κατάσταση της εξωτερικής κοιλότητας. Μια ερμηνεία που δόθηκε για την ύπαρξη του δεύτερου ελκυστή είναι ότι πρόκειται για έναν ακόμη δικρανισμό του Hopf που είναι αποτέλεσμα της ύπαρξης αστάθειας και στην εξωτερική κοιλότητα. [MorkTromborgMark1992] Σχήμα 6.1.3: Αριθμητικά υπολογισμένα στοιχεία για laser οπτικής ανάδρασης [LarsonLiuTsimring2006] Το σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα αριθμητικού υπολογισμού των δυναμικών καταστάσεων ενός ημιαγωγικού laser με οπτική ανάδραση μονής διάβασης. [LarsonLiuTsimring2006] Φαίνεται ότι η δυναμική του laser στις υψηλές συχνότητες ακολουθεί είτε πορεία προς το χάος με διπλασιασμό περιόδου είτε πορεία με ημιπεριοδικότητα όταν μεταβληθεί η τιμή μιας λειτουργικής παραμέτρου ενώ όλες οι άλλες παράμετροι διατηρούνται σταθερές. Το σχήμα [LarsonLiuTsimring2006] δείχνει τον αριθμητικά υπολογισμένο ελκυστή, το οπτικό φάσμα, το οπτικό πεδίο και την οπτική ένταση, μιας αντιπροσωπευτικής χαοτικής κατάστασης του συστήματος οπτικής ανάδρασης. 58/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

59 Σχήμα 6.1.4: Χαοτικός ελκυστής, φάσμα και ένταση συστήματος οπτικής ανάδρασης [LarsonLiuTsimring2006] 6.2 Συγχρονισμός Σχήμα 6.2.1: Συγχρονισμός με laser οπτικής ανάδρασης (ΔΛΠ: Δίοδος Λέιζερ Πομπού, ΟΑ: Οπτικός Απομονωτής, ΔΛΔ: Δίοδος Λέιζερ Δέκτη) Για τα συστήματα οπτικής ανάδρασης, υπάρχουν δύο διαφορετικά είδη διατάξεων που μπορεί να χρησιμοποιηθούν: οι διατάξεις ανοιχτού βρόχου (ή οπτικής έγχυσης) και οι διατάξεις κλειστού βρόχου (ή συμμετρικά συστήματα). Σε ένα σύστημα κλειστού βρόχου και ο πομπός και ο δέκτης έχουν και οι δύο εξωτερική κοιλότητα. Αντίθετα, σε ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου, ο δέκτης αποτελείται μόνο από το ημιαγωγικό laser. Τα συστήματα κλει59/126

60 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας στού και ανοιχτού βρόχου περιγράφονται από τις ίδιες εξισώσεις ρυθμού με τη διαφορά ότι στην περίπτωση του ανοιχτού βρόχου μηδενίζεται μία από τις παραμέτρους. Κάθε σύστημα κλειστού βρόχου μπορεί να αναχθεί σε σύστημα ανοιχτού βρόχου ύστερα από μηδενισμό αυτής της παραμέτρου. [Ohtsubo2002], [HeilMuletFischer MirassoPeilColetElsasser2002], [VincentePerezMirasso2002] Η διάταξη που χρειάζεται για την επίτευξη συγχρονισμού σε συστήματα οπτικής ανάδρασης, παρουσιάζεται στο σχήμα Γίνεται η παραδοχή ότι ο δέκτης χρησιμοποιεί ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου. Υποθέτοντας ότι οι παράμετροι του laser στον πομπό και το δέκτη είναι ταυτόσημες, όπως απαιτεί η θεωρία του χαοτικού συγχρονισμού, ο πομπός, διαμορφώνεται από την οπτική ανάδραση. Η ισχύς της ανάδρασης εξαρτάται από την παράμετρο απ. Ο πομπός μπορεί να προσομοιωθεί από τις εξισώσεις και 6.2.2: γ cπ Π daπ Π Γ Π Π Π Π iθ = A i ω0 ωc A 1 ib g A Fsp α ηα t τ e dt 2 2 (6.2.1) 1 και 2 dn Π = J γ NΠ 2 0 n g AΠ 2 s dt ed ћ ω0 (6.2.2) Ο δέκτης, που οδηγείται από το σήμα α Δ ΑΠ t T με αδ να είναι η ισχύς της σύζευξης, μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις και 6.2.4: Δ daδ = γ c AΔ i ω ω AΔ Γ 1 ib g AΔ FΔ α Δ η ΑΠ t τ eiθ 0 c sp dt 2 2 (6.2.3) 2 και 2 dn Δ =J γ N Δ 2 0 n g AΔ 2 s dt ed ћ ω0 (6.2.4) Οι παράμετροι εξηγούνται στο κεφάλαιο 4. Επειδή θ1 είναι η διαφορά ανάμεσα στη γρήγορα μεταβαλλόμενη οπτική φάση του πεδίου της εσωτερικής κοιλότητας του πομπού και την οπτική φάση του σήματος ανάδρασης, από το χρόνο καθυστέρησης του βρόχου ανάδρασης προκύπτει ότι: θ1=ω0 τ. Με παρόμοιο τρόπο προκύπτει ότι: θ2=ω0 Τ=ω0 τ Δ t, όπου Δ t T τ. Με βάση την αρχή του χαοτικού συγχρονισμού, η ύπαρξη τέλειου συγχρονισμού απαιτείται οι εξισώσεις ρυθμού του πομπού και του δέκτη να είναι πανομοιότυπες. Έτσι, ο δέκτης πρέπει να συγχρονιστεί με τον πομπό με χρονική καθυστέρηση Α Δ t =ΑΠ t Δ t eiω Δ t. 0 Πρακτικά, ο όρος που δείχνει τη φασική καθυστέρηση (θ1) μπορεί να κυμαίνεται από 0 ως 2π ακόμη και όταν η ανάδραση έχει σταθερό χρόνο καθυστέρησης. Αυτό, συμβαίνει 60/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

61 επειδή η οπτική συχνότητα μεταβάλλεται τόσο γρήγορα που ακόμη και μια μικρή παρέκκλιση από το καθορισμένο μήκος του βρόχου ανάδρασης μπορεί να αλλάξει σημαντικά την τιμή της φάσης. Ωστόσο, μια τόσο μικρή ανακρίβεια στο μήκος του βρόχου, δεν επηρεάζει σημαντικά τη δυναμική του πομπού αν η φάση δε ληφθεί υπόψιν. Πέρα από αυτό το γεγονός, ο δέκτης έχει ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου, δηλαδή, χωρίς ανάδραση. Έτσι, θα μπορέσει να συγχρονιστεί γιατί απλώς θα προσαρμόζει μόνος του το χρόνο καθυστέρησης σε οποιαδήποτε τιμή που οφείλεται σε παρέκκλιση του μήκους του βρόχου του πομπού. Το συμπέρασμα είναι ότι η συνθήκη συγχρονισμού δεν είναι ευαίσθητη στις οπτικές φάσεις θ1 και θ2, ενώ η δυναμική του πομπού παρουσιάζει ευαισθησία στη φάση θ1. Όταν Α Δ t =ΑΠ t Δ t eiω Δ t, όλες οι οπτικές κυματομορφές του πομπού και του δέκτη είναι συγχρονισμένες εκτός από την περίπτωση που ο συγχρονισμός μπορεί να αναμένεται ή να καθυστερήσει. Επειδή τέτοιες περιπτώσεις θα αναλυθούν διεξοδικά στο κεφάλαιο της οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης, σε αυτή την ενότητα δε θα γίνει περεταίρω αναφορά σε αυτές. 0 Η διαδικασία του συγχρονισμού στην περίπτωση της διάταξης κλειστού βρόχου δε διαφέρει ουσιαστικά από αυτή που περιγράφηκε. Πειραματικά παρατηρήθηκε ότι με χρήση διάταξης κλειστού βρόχου στο δέκτη η ποιότητα του συγχρονισμού είναι ελαφρώς καλύτερη. [MirassoFischerPeilLarger2003] Από πειραματική αλλά και θεωρητική μελέτη μιας διάταξης οπτικής ανάδρασης, όπως αυτής του σχήματος εντοπίστηκαν δύο είδη σύγχρονων χαοτικών φαινομένων [Ohtsubo2002], [LiuDavisTakiguchiAidaSaitoLiu2003]. Το πρώτο είναι η ύπαρξη τέλειου χαοτικού συγχρονισμού που διέπεται από τις αρχές του τέλειου συγχρονισμού των Kocarev και Parlitz, που έχουν αναφερθεί σε προηγούμενες ενότητες, και το δεύτερο, ορίζεται ως χαοτικά οδηγούμενη ταλάντωση [Ohtsubo2002]. Η διάκριση αυτών των δύο φαινομένων, έχει σχέση με την ισχύ της σύζευξης του πομπού και του δέκτη, τη συχνότητα αποσυντονισμού ανάμεσά τους και το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί ώσπου ο δέκτης να συγχρονιστεί με την έξοδο του πομπού. Η διαφορά των δύο χαοτικών φαινομένων μπορεί να προσδιοριστεί σε σχέση με την ισχύ της σύζευξης. Ο τέλειος χαοτικός συγχρονισμός ορίζεται όταν α Π=α Δ. Ωστόσο, πειραματικά διαπιστώθηκε πως αν και με την αύξηση της τιμής του α ο συγχρονισμός χάνεται σταδιακά, εμφανίζεται εκ νέου συγχρονισμός (χαοτικά οδηγούμενη ταλάντωση) όταν α Δ =10α Π. Για να διαπιστωθεί κατά πόσο αλλάζει η ποιότητα του συγχρονισμού σε σχέση με την ισχύ σύζευξης, χρησιμοποιείται συνήθως ο συντελεστής συσχέτισης ρ. [LarsonLiuTsimring2006] Επειδή η διάταξη που μελετάται είναι σύστημα ανάδρασης, θα πρέπει να υπάρχει μια χρονική διαφορά Δt ανάμεσα στη χαοτική κυματομορφή του πομπού και τη χαοτική κυματομορφή του δέκτη όταν έχει επέλθει τέλειος χαοτικός συγχρονισμός. Από μετρήσεις διαπιστώθηκε ότι στον τέλειο συγχρονισμό, υπάρχει εξάρτηση από το χρόνο καθυστέρησης της ανάδρασης, όπως προβλέπεται από τη χαοτική θεωρία. Ωστόσο, στη χαοτικά οδηγούμενη ταλάντωση, ο χρόνος καθυστέρησης δεν έχει καμιά επίδραση. Αυτό σημαίνει ότι στο δεύτερο τύπο του συγχρονισμού, ο δέκτης αντιγράφει την έξοδο του πομπού τη στιγμή ακριβώς που λαμβάνει το σήμα. 61/126

62 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Η διαφορά ανάμεσα στα δύο σύγχρονα φαινόμενα μπορεί επίσης να παρατηρηθεί από την ανοχή τους στον αποσυντονισμό που μπορεί να προκύψει ανάμεσα στις συχνότητες της ελεύθερης εκπομπής στον πομπό και στο δέκτη. Η πειραματική μελέτη και αυτής της περίπτωσης έδειξε ότι ο χαοτικός συγχρονισμός έχει πολύ μειωμένες ανοχές στη συχνότητα αποσυντονισμού ενώ η χαοτικά οδηγούμενη ταλάντωση, έχει πολύ μεγαλύτερη σταθερότητα. Με τη χρήση του συντελεστή συσχέτισης για τις μετρήσεις, διαπιστώθηκε πειραματικά ότι ο χαοτικός συγχρονισμός μειώνεται δραματικά όταν η συχνότητα αποσυντονισμού αποκλίνει από το 0. Αυτό είναι επόμενο, καθώς το φαινόμενο ικανοποιεί τις αρχές της θεωρίας του χάους και μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες επιφέρουν μεγάλες αλλαγές στην εξέλιξη του συστήματος. Στην περίπτωση της χαοτικά οδηγούμενης ταλάντωσης η επίτευξη καλής ποιότητας συγχρονισμού δε σχετίζεται με το μηδενισμό της συχνότητας αποσυντονισμού. Αντίθετα, ταυτίζεται με το δέκτη, στον οποίο εγχύονται τα σήματα του πομπού, όταν ο πομπός λειτουργεί σε κατάσταση ελεύθερης εκπομπής. Το τελικό συμπέρασμα από τα προηγούμενα, είναι ότι ο χαοτικός συγχρονισμός συμβαίνει όταν α Π=α Δ, η συχνότητα αποσυντονισμού είναι πολύ κοντά στο μηδέν και ο δέκτης αλλάζει τη χρονική στιγμή του συγχρονισμού του ανάλογα με το μήκος της εξωτερικής κοιλότητας του πομπού. Αντίθετα, η χαοτικά οδηγούμενη ταλάντωση, απαιτεί ισχυρή σύζευξη (μεγάλη τιμή της α), δεν είναι τόσο ευαίσθητη στη συχνότητα αποσυντονισμού και είναι απρόσβλητη από αλλαγές του μήκους της ανάδρασης. Γι' αυτό μόνο η πρώτη περίπτωση ικανοποιεί τα κριτήρια του τέλειου χαοτικού συγχρονισμού. 6.3 Απόδοση όταν η οπτική ανάδραση εφαρμοστεί στην κρυπτογραφία σε υψηλή ταχύτητα μετάδοσης Σχήμα 6.3.1: Σύστημα οπτικής ανάδρασης Όταν χρησιμοποιείται η οπτική ανάδραση στην χαοτική κρυπτογραφία, σύμφωνα με το σχήμα 6.3.1, ο πομπός μπορεί να προσομοιωθεί [LiuChenLiuDavisAida2001] από το ακόλουθο ζεύγος εξισώσεων6: Π daπ = γ c AΠ i ω ω AΠ Γ 1 ib Π g AΠ F Π 0 c sp dt 2 2 Π η {α Α t τ A iωt ie (6.3.1) m ACM t τ } και 6 όταν χρησιμοποιείται κάποιο συγκεκριμένο σχήμα, τα μεγέθη που έχουν δείκτη με ονομασία άλλου σχήματος μηδενίζονται 62/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

63 2 dn Π = J[1 mcsk t ] γ N Π 2 0 n g AΠ 2 s dt ed ћ ω0 (6.3.2) Ο δέκτης που οδηγείται από το σήμα s(t) μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις και 6.3.4: γ Δc Δ daδ Δ Γ Δ Δ Δ = A i ω0 ω c Α 1 ib gα F sp ηs t Τ dt 2 2 (6.3.3) 2 dn Δ =J γ N Δ 2 0 n g AΔ 2 s dt ed ћ ω0 (6.3.4) όπου τ είναι ο χρόνος καθυστέρησης της ανάδρασης και n είναι ο ρυθμός έγχυσης. Επειδή για να υπάρξει τέλειος συγχρονισμός θα πρέπει α Π=α Δ χρησιμοποιείται παντού η παράμετρος α για όλες τις ποσότητες. Το σήμα του πομπού είναι της μορφής s t =αα Π t m t για τα σχήματα ACΜ και CMS, ενώ στην περίπτωση του σχήματος CSK έχει τη μορφή s t =αα Π t. Όταν εφαρμόζεται το σχήμα CMS, το κωδικοποιημένο μήνυμα m(t) αποστέλλεται στο δέκτη, αλλά όχι και πίσω στον πομπό. Όταν εφαρμόζεται το σχήμα CSK, μόνο το laser του πομπού διαμορφώνεται με το σήμα του μηνύματος. Από τις εξισώσεις ρυθμού προκύπτει το συμπέρασμα ότι μόνο στην περίπτωση που χρησιμοποιείται η τεχνική ACM μπορεί μαθηματικά να υπάρξει τέλειος συγχρονισμός κατά την παρουσία ενός μηνύματος, υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι υπάρχει αντιστοιχία μία προς μία στις παραμέτρους πομπού και δέκτη. Η απόδοση του συστήματος σε επικοινωνίες των 10 Gb/s εξετάστηκε αρχικά μελετώντας το ανακτημένο μήνυμα στο πεδίο του χρόνου [LiuChenTang2002]. Προέκυψε ότι η αποκάλυψη του κρυπτογραφημένου μηνύματος είναι αδύνατη με τη μέθοδο CSK επειδή ο χρόνος επανεγκαθίδρυσης του συγχρονισμού σε περίπτωση κατάρρευσής του είναι μεγαλύτερος από τη διάρκεια του bit όπως και στην περίπτωση της οπτικής έγχυσης αφού υπάρχει η καθυστέρηση της ανάδρασης. Η απόδοση μπορεί να βελτιωθεί σε χαμηλούς ρυθμούς μετάδοσης όπου η χρονική διάρκεια μετάδοσης ενός bit είναι μεγαλύτερη από τη χρονική διάρκεια επαναφοράς του συγχρονισμού. Η απόδοση της τεχνικής CMS στο σύστημα οπτικής ανάδρασης είναι παρόμοια με την απόδοση στα συστήματα οπτικής έγχυσης. Κάθε διαταραχή που οφείλεται στον τρόπο κωδικοποίησης του μηνύματος, προκαλεί λάθη συγχρονισμού που φαίνονται μόνο στον αποδέκτη των μηνυμάτων. Η απόδοση βελτιώνεται σημαντικά με τη χρήση κατωδιαβατών φίλτρων. Η απόδοση της τεχνικής ACM, είναι η καλύτερη μεταξύ των τριών κρυπτογραφικών σχημάτων, καθώς η ACM δεν καταπατά τις μαθηματικές αρχές που διέπουν το συγχρονισμό. Τα λανθασμένα bits στην ACM οφείλονται κυρίως στο θόρυβο των laser και του κανα63/126

64 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας λιού. Παρατηρήθηκαν περισσότερα σφάλματα από όσα στην περίπτωση της οπτικής έγχυσης. Η απόδοση του συστήματος μετρώντας το ρυθμό εμφάνισης εσφαλμένων bit (ΒΕR) είναι συνάρτηση του λόγου σήματος προς θόρυβο (SNR) και για τα συστήματα οπτικής ανάδρασης. Παρατηρήθηκε ότι δεν είναι δυνατή η αναγνώριση μηνυμάτων σε υψηλούς ρυθμούς με την τεχνική CSK. Η απόδοση της τεχνικής CMS είναι παρόμοια με την απόδοση σε συστήματα οπτικής έγχυσης και σπάνια επηρεάζεται από το θόρυβο του laser, καθώς άλλα στοιχεία προκαλούν ρήξη του συγχρονισμού τις περισσότερες φορές. Όσον αφορά την απόδοση της ACM, παρατηρήθηκε ότι για SNR 120 db είναι αδύνατο ο BER να πέσει κάτω από Αυτό οφείλεται στους απότομους αποσυγχρονισμούς που συμβαίνουν ακόμη και σε κανάλια με πολύ χαμηλές τιμές θορύβου. Παρουσία θορύβου από το laser, ο BER είναι μεγαλύτερος από 10-1 και μάλιστα αυξάνεται όσο αυξάνεται ο θόρυβος στο laser. Σε άλλες έρευνες που πραγματοποιήθηκαν, διαπιστώθηκε ότι μπορεί να υπάρξει κάποια βελτίωση στα αποτελέσματα εάν χρησιμοποιηθούν συστήματα κλειστού βρόχου. [KaneShore2005] Ωστόσο, η ικανότητα των συστημάτων οπτικής ανάδρασης να συναγωνιστούν σε επιδόσεις τα συστήματα οπτικής έγχυσης και οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης τίθεται υπό αμφισβήτηση και αποτελεί πρόκληση για το μέλλον. 64/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

65 7 Οπτοηλεκτρονική ανάδραση 7.1 Μη-γραμμική δυναμική Σχήμα : Οπτοηλεκτρονική Ανάδραση (ΔΛ = Δίοδος Λέιζερ, Ε = Ενισχυτής, ΦΑ = Φωτοανιχνευτής) Ένα ημιαγωγικό laser που χρησιμοποιεί οπτοηλεκτρονική ανάδραση φαίνεται στο σχήμα Στη διάταξη αυτή, χρησιμοποιείται ένας συνδυασμός ενισχυτή και φωτοανιχνευτή για να μετατρέπει την οπτική έξοδο του laser σε ηλεκτρικό σήμα το οποίο αποστέλλεται πίσω στο laser και προστίθεται στο ρεύμα έγχυσης. Καθώς ο φωτοανιχνευτής ανταποκρίνεται μόνο στην ένταση της εξόδου του laser, το σήμα ανάδρασης θα περιέχει την πληροφορία των μεταβολών της έντασης του laser. Η ένταση, είναι ανάλογη της πυκνότητας των φωτονίων στην κοιλότητα του laser άρα η φάση του πεδίου του laser δεν είναι μέρος της δυναμικής του συστήματος. Η δυναμική ενός συστήματος οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις που σχετίζονται με την πυκνότητα φωτονίων και φορέων στο laser. ds = γ c S Γ g S 2 S0 SFs dt (7.1.1) dn J = [ 1 ξy t τ ] γ s Ν gs dt ed (7.1.2) t y t = dηf t η S η /S0 (7.1.3) Οι παράμετροι των εξισώσεων εξηγούνται στο κεφάλαιο 4. Η f(t) είναι η κανονικοποιημένη απόκριση της οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης στην οποία οφείλεται το πεπερασμένο εύρος ζώνης του φωτοανιχνευτή, του ενισχυτή και τα ηλεκτρικά παρασιτικά φαινόμενα του laser. Στην ιδανική περίπτωση, όπου ο βρόχος ανάδρασης έχει άπειρο εύρος, τότε ισχύει f t =δ t και y t =S t /S0 7. Όταν η f(t) δεν ισούται ακριβώς με τη δ, όπως είναι αναμενόμενο σε κάθε ρεαλιστική περίπτωση, τότε, το σύστη7 δ(t)=συνάρτηση Δέλτα-Dirac βλ. παράρτημα 65/126

66 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας μα χαρακτηρίζεται από συζευγμένες διαφορικές εξισώσεις καθυστέρησης. Οι συζευγμένες εξισώσεις μπορούν να μετασχηματιστούν στις εξισώσεις : d s γ c γ n = n s 1 γ p s s 1 F s dt J γ s (7.1.4) γ γ d n y t τ γ s n γ γ n n 1 =γ s ξ 1 J s s p J s 1 s sjs dt γc (7.1.5) t y t = dη f t η [1 s η ] (7.1.6) Καθώς υπάρχουν μόνο δύο δυναμικές μεταβλητές s και n, καθεμιά από τις οποίες είναι πραγματική φυσική ποσότητα, το σύστημα είναι αυτόνομο και η διάστασή του μπορεί να αλλάξει με την αύξηση του χρόνου καθυστέρησης. Έτσι, μπορεί να αποκτήσει χαοτική δυναμική. Η δυναμική αυτού του συστήματος δεν παρουσιάζει ευαισθησία στη φάση. Η δυναμική ενός μονότροπου ημιαγωγικού laser με οπτοηλεκτρονική ανάδραση καθορίζεται και πάλι από τις πέντε εγγενείς παραμέτρους γ c, γ s, γ n, γ p και b. Η παράμετρος b δεν επιδρά άμεσα στη δυναμική της διάταξης, αλλά έμμεσα, λόγω διακυμάνσεων που οφείλονται στο θόρυβο. Όπως και στην οπτική ανάδραση, η δυναμική μπορεί να ελεγχθεί με τη βοήθεια των τριών λειτουργικών παραμέτρων: J, ξ και τ, οι τιμές των οποίων μπορούν να μεταβληθούν εξωτερικά. Επιπλέον, η συνάρτηση απόκρισης, f(t), του βρόχου ανάδρασης, συμβάλλει στη δυναμική του συστήματος. [TangLiu2001a] Ο ρόλος της, εξαρτάται από τη μορφή της. Στην ιδανική περίπτωση που το εύρος της θα είναι τέτοιο που να προσεγγίζει τη συνάρτηση δ-dirac, δεν επηρεάζει καθόλου τη δυναμική του συστήματος. Στην άλλη ακραία περίπτωση που η f θα έχει τη μορφή ενός πολύ περιορισμένου εύρους ζωνοπερατού φίλτρου, η χαοτική δυναμική περιορίζεται στο ελάχιστο. Αριθμητικές και πειραματικές έρευνες έδειξαν ότι ένα πρακτικά ευρύ ζωνοδιαβατό φίλτρο αλλά βέβαια όχι τόσο ευρύ που να προσεγγίζει τη συνάρτηση δ, έχει την ικανότητα να αλλάξει τη συχνότητα των παλμών αλλά όχι τη γενικότερη δυναμική του συστήματος οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης. [TangLiu2001a] Το σχήμα δείχνει ένα αριθμητικό παράδειγμα απεικόνισης των δυναμικών καταστάσεων ενός μονότροπου ημιαγωγικού laser θετικής οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης. Η δυναμική του διαφέρει πάρα πολύ από τη δυναμική ενός συστήματος οπτικής έγχυσης και ενός συστήματος οπτικής ανάδρασης. Η αστάθεια που εισάγεται από την οπτοηλεκτρονική ανάδραση κάνει το laser να πάλλεται και να μεταβαίνει από μια κανονική κατάσταση σε κατάσταση χαοτικής λειτουργίας μέσα από μια πορεία με ημιπεριοδικότητα. Διαπιστώθηκε ότι τα πυκνώματα και τα αραιώματα μπορούν να συσχετιστούν πολύ καλά με τις κορυφές του σήματος: και τα δύο είναι σταθερά στην περιοδική κατάσταση, και τα δύο μεταβάλλονται ημιπεριοδικά κατά τη μετάβαση στη χαοτική λειτουργία, και τα δύο μεταβάλλονται με τον ίδιο χαρακτηριστικό τρόπο κατά τη χαοτική λειτουργία. 66/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

67 Σχήμα 7.1.2: Δυναμικές καταστάσεις συστήματος οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης [LarsonLiuTsimring2006] Το σχήμα απεικονίζει έναν ελκυστή που υπολογίστηκε αριθμητικά [LarsonLiuTsimring2006] το οπτικό φάσμα, το οπτικό πεδίο και την οπτική ένταση μιας αντιπροσωπευτικής χαοτικής κατάστασης για καθορισμένες τιμές των λειτουργικών παραμέτρων ενός συστήματος οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης. Πειραματικές μετρήσεις σε στιγμιαίες κυματομορφές και φάσματα ισχύος διαφορετικών χαοτικών καταστάσεων, σε InGaAsP μονότροπα DFB laser οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης φαίνονται στο σχήμα Εξαιτίας του θορύβου του laser, τα διαγράμματα των πειραματικών μετρήσεων διαφέρουν κατά πολύ από αυτά που υπολογίστηκαν αριθμητικά. Σχήμα 7.1.3: Ελκυστής, φάσμα και ένταση συστήματος οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης [LarsonLiuTsimring2006] 67/126

68 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Σχήμα 7.1.4: Πειραματικές μετρήσεις συστήματος οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης [LarsonLiuTsimring2006] 7.2 Συγχρονισμός Σχήμα 7.2.1: Συγχρονισμός με οπτοηλεκτρονική ανάδραση (ΦΑ=φωτοανιχνευτής, ΔΛ=Δίοδος Laser, E=ενισχυτής) 68/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

69 Το σχήμα δείχνει δύο μονοκατευθυντικά συζευγμένα laser στα οποία εφαρμόζεται οπτοηλεκτρονική ανάδραση με καθυστέρηση. Η δυναμική τους περιγράφεται από τις εξισώσεις ρυθμού των S και Ν. Το laser του πομπού μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις : ds Π = γ c SΠ Γ g SΠ 2 S0 SΠ FΠs dt (7.2.1) dn Π J = [1 ξyπ t τ ] γ s NΠ gsπ dt ed (7.2.2) t y Π t = dηfπ t η SΠ η / S0 (7.2.3) και του δέκτη από τις εξισώσεις : dsδ = γ c SΔ Γ g SΔ 2 S0 SΔ FΔs dt (7.2.4) dn Δ J = [1 cξyπ Δ t τ 1 c ξ y Δ t τ ] γ s NΔ gsδ dt ed (7.2.5) t ΠΔ y t = dηf Π Δ t η SΔ η /S0 (7.2.6) t Δ y t = dηfδ t τ SΔ n /S0 (7.2.7) Ο δέκτης έχει ένα βρόχο οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης με χρόνο καθυστέρησης τ οδηγούμενo από το σήμα της ανάδρασης SΠ(t-τ), η έξοδος του laser του πομπού SΠ γίνεται χαοτική. Μέρος τη εξόδου του laser του πομπού συνδέεται μονοκατευθυντικά στο laser του δέκτη. Το συνολικό σήμα που οδηγεί το laser του δέκτη είναι csπ(t-t)+(1-c)sδ(t-t), όπου Τ είναι ο χρόνος μετάδοσης και τ ο χρόνος καθυστέρησης της οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης. Ο παράγοντας c παίρνει τιμές στο [0,1]. Όταν c<1, ο δέκτης έχει κλειστού τύπου βρόχο ανάδρασης, ενώ όταν c=1 είναι ανοιχτού βρόχου. Κατά τη διάρκεια χαοτικού συγχρονισμού ο δέκτης αναγκάζεται να αναπαράγει την έξοδο του πομπού ως: SΔ(t-T) = SΠ(t-T), που ισοδυναμεί με SΔ(t) = SΠ(t-T+τ). Έτσι, υπάρχει μια χρονική ολίσθηση μεταξύ των εξόδων των laser του πομπού και του δέκτη. 69/126

70 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας Όταν Τ > τ ο δέκτης συγχρονίζεται με τον πομπό με χρόνο καθυστέρησης Τ τ, (συγχρονισμός με καθυστέρηση ή retarded) διαφορετικά με χρόνο τ-τ (συγχρονισμός με αναμονή ή anticipated). Πειραματικά έχουν μελετηθεί οι καθυστερήσεις τόσο για την περίπτωση που ο δέκτης έχει ανάδραση κλειστού βρόχου όσο και για την περίπτωση ανοιχτού [LarsonLiuTsimring2006] και στις δυο περιπτώσεις η ολίσθηση του χαοτικού συγχρονισμού ήταν ακριβώς Δt = Τ-τ. Αυτό, ταιριάζει με τα θεωρητικά αναμενόμενα αποτελέσματα [LarsonLiuTsimring2006]. Η χρονική αυτή ολίσθηση, είναι ως επί το πλείστον μια απόδειξη ότι το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση χαοτικού συγχρονισμού και βοηθά στη διάκριση του φαινόμενου από άλλα φαινόμενα όπως διαμόρφωση, ενίσχυση, χαοτικά οδηγούμενη ταλάντωση κ.α. που έχουν χρονική ολίσθηση που σχετίζεται μόνο με τον παράγοντα Τ. Συγχρονισμός με αναμονή και συγχρονισμός με καθυστέρηση είναι φαινόμενα που εμφανίζονται σύμφωνα με τις γενικές αρχές που διέπουν το χαοτικό συγχρονισμό με χρονικές ολισθήσεις σε μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα ανάδρασης με καθυστέρηση. Από άλλες πειραματικές μελέτες έχει διαπιστωθεί, ότι οι διατάξεις οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης έχουν γενικά καλό συγχρονισμό και μεγάλο φάσμα ισχύος. Η διάταξη ανοιχτού βρόχου όμως έχει πολύ καλύτερες αποδόσεις από τη διάταξη κλειστού βρόχου. [MirassoFischerPeilLarger2003] 7.3 Απόδοση όταν η οπτοηλεκτρονική ανάδραση εφαρμοστεί στην κρυπτογραφία με υψηλή ταχύτητα μετάδοσης Σχήμα 7.3.1: Σύστημα οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης Για τη μελέτη της απόδοσης του συστήματος οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης με διαφορετικά κρυπτογραφικά σχήματα, χρησιμοποιείται η διάταξη του σχήματος Ο πομπός μπορεί να περιγραφεί από τις συζευγμένες εξισώσεις ως συνάρτηση των πυκνοτήτων των φωτονίων (S) και των φορέων (N) [LiuChenTang2000]8: dsπ = γ c SΠ Γ g SΠ 2 S0 SΠ FΠs dt 8 (7.3.1) ισχύει ό,τι ακριβώς και για τους τύπους στην οπτική έγχυση και την οπτική ανάδραση: όταν χρησιμοποιείται κάποιο συγκεκριμένο σχήμα, όποια μεγέθη έχουν δείκτη με ονομασία άλλου σχήματος μηδενίζονται 70/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

71 [1 mcsk t ] dn Π =J [1 ξyπ t τ ] γ s NΠ gsπ dt ed (7.3.2) t y Π t = dηfπ t η [SΠ η m ΑCM η ]/S0 (7.3.3) ενώ ο δέκτης μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις : dsδ = γ c SΔ Γ g SΔ 2 S0 SΔ FΔs dt (7.3.4) dn Δ J = [1 ξyπ Δ t τ ] γ s NΔ gsδ dt ed (7.3.5) t y ΠΔ t = dη f Π Δ t η s η /S0 (7.3.6) Το σήμα του πομπού είναι της μορφής s t =SΠ t m t για τα σχήματα ACM και CMS, ενώ για το σχήμα CSK έχει τη μορφή s t =SΠ t. Ο πομπός και ο δέκτης, μπορούν να επιτύχουν απόλυτο, μαθηματικό συγχρονισμό μόνο όταν ένα μήνυμα κωδικοποιείται με την τεχνική ACM και, φυσικά, οι παράμετροι έχουν τις κατάλληλες τιμές. Για να ληφθούν τα συμπεράσματα αυτής της ενότητας έγινε η παραδοχή ότι οι συναρτήσεις f πομπού και δέκτη είναι ίσες με τη συνάρτηση Δέλτα-Dirac. Ο έλεγχος της απόδοσης του συστήματος οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης σε επικοινωνίες των 10 Gb/s έγινε, αρχικά, με την εξέταση του ανακτημένου μηνύματος στο πεδίο του χρόνου. [LiuChenTang2002] Καθώς ο χρόνος επανασυγχρονισμού σε περίπτωση προηγούμενης ρήξης του είναι μεγαλύτερος της διάρκειας του ενός bit, δεν ήταν δυνατή η αποκάλυψη των μηνυμάτων με τη μέθοδο CSK. Η απόδοση της CSK μπορεί να βελτιωθεί μόνο σε χαμηλότερους ρυθμούς μετάδοσης. Στην τεχνική CMS, η καταπάτηση των μαθηματικών αρχών που διέπουν το συγχρονισμό, προκαλεί καθυστερήσεις και χρονικά λάθη. Οι περισσότερες αποκλήσεις στα ανακτώμενα μηνύματα οφείλονται σε τέτοια λάθη. Παρατηρήθηκε ότι τα μηνύματα είχαν πολλές απότομες κορυφώσεις. Παρόλο που η χρήση χαμηλοδιαβατών φίλτρων μπορεί να βελτιώσει κάπως την κατάσταση, πολλοί επιστήμονες θεωρούν ότι δεν αξίζει η προσπάθεια. Και εδώ, η απόδοση της μεθόδου ACM είναι η καλύτερη ανάμεσα στις τρεις. Τα λάθη στην περίπτωση της ACM κωδικοποίηση οφείλονται σε αποκλίσεις εξαιτίας του θορύβου στο laser και στο τηλεπικοινωνιακό κανάλι. Το σημαντικό είναι ότι με την ACM δεν παρατηρήθηκε καμιά ρήξη του συγχρονισμού. Η μέτρηση της απόδοσης του συστήματος με τον BER ως συνάρτηση του SNR αποκάλυψε ότι με υψίρρυθμα χαοτικά φέροντα δεν είναι δυνατή η ανάκτηση των μηνυ71/126

72 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας μάτων για τα κρυπτογραφικά σχήματα CSK και CMS. Αντίθετα, η ACM μπορεί να έχει BER χαμηλότερο του 10 5 αν ο SNR είναι μεγαλύτερος από 38 db. Συνεπώς, η απόδοση του συστήματος οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης είναι καλύτερη από την απόδοση των συστημάτων έγχυσης και οπτικής ανάδρασης. Στα σύγχρονα συστήματα επικοινωνιών ο BER έχει τιμές κοντά στο 10 9, επομένως τιμές κοντά στο 10 5 δεν είναι ενθαρρυντικές. Ο BER μπορεί να κυμανθεί σε ακόμη χαμηλότερα επίπεδα εάν μειωθεί ο χρόνος μετάδοσης. Σε χαμηλότερους ρυθμούς έχει επιτευχθεί η μείωση του BER σε επίπεδα της τάξης του 10-7 και ακόμη χαμηλότερα αν χρησιμοποιηθούν κατωδιαβατά φίλτρα. [Αργύρης 2006], [ArgyrisSyvridis LargerAnnovazzi-LodiColetFischerGarcia-OjalvoMirassoPesqueraShore2005] Επιπλέον, έχει διαπιστωθεί πειραματικά, ότι είναι δυνατή η κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση μηνυμάτων στα 2,5 και στα 5 Gb/s για αποστάσεις 150 και 200 km αντίστοιχα. [SyvridisArgyrisBogris2006] 72/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

73 8 Σύγκριση διατάξεων έγχυσης, οπτικής & οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης Από την προηγούμενη ανάλυση, παρατηρήθηκαν πολλές ομοιότητες και διαφορές ανάμεσα στις τρεις διατάξεις. Διαπιστώθηκε ότι σε υψηλούς ρυθμούς μετάδοσης της τάξης των 10 Gb/s την καλύτερη απόδοση παρουσία μηνυμάτων έχει η διάταξη οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης σε συνδυασμό με το κρυπτογραφικό σχήμα ACM. Ο πίνακας που ακολουθεί δείχνει συγκεντρωτικά και συγκριτικά ορισμένα χαρακτηριστικά των laser έγχυσης, οπτικής ανάδρασης και οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης: Χαρακτηριστικά Λέιζερ Έγχυσης Λέιζερ Οπτικής Ανάδρασης Λέιζερ Οπτοηλεκτρονικής Ανάδρασης ευαισθησία φάσης - χρονική ολίσθηση στα σήματα πομπού-δέκτη - κλείδωμα φάσης και συχνότητας - δημιουργία καθυστέρησης με τη χρήση βρόγχου ανάδρασης - διπλασιασμός περιόδου διπλασιασμός περιόδου, ημιπεριοδικότητα, διαλλειπτότητα ημιπεριοδικότητα πολυπλοκότητα κατασκευής - αυτονομία - μονή μονή μονή λειτουργικές παράμετροι που καθορίζουν τη δυναμική σταθερές παράμετροι χαοτικός συγχρονισμός χαοτικός συγχρονισμός, χαοτικά οδηγούμενη ταλάντωση χαοτικός συγχρονισμός με καθυστέρηση, χαοτικός συγχρονισμός με αναμονή 3-10 GHz 3 GHz 3 GHz - - (με σχήμα ACM) διαδρομή προς το χάος κατευθυντικότητα είδη χαοτικής δυναμικής χαοτικό εύρος καλύτερη απόδοση στα 10 Gb/s 73/126

74 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας 9 Συμπεράσματα Στις χαοτικές επικοινωνίες που μελετήθηκαν η κρυπτογράφηση γίνεται στο φυσικό επίπεδο εφαρμόζοντας τις αρχές που προβλέπει η χαοτική θεωρία. Σε πρώτη προσέγγιση, η μέθοδος δείχνει ιδιαίτερα ασφαλής και με την κατάλληλη επιλογή σχημάτων κωδικοποίησης και διατάξεων μπορεί να μειωθεί σημαντικά ο αριθμός των σφαλμάτων. Ωστόσο, παρατηρήθηκε ότι σε υψηλούς ρυθμούς μετάδοσης μόνο η επίδοση της διάταξης οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης σε συνδυασμό με το κρυπτογραφικό σχήμα ACM είναι ενθαρρυντική. Τα αποτελέσματα από την εφαρμογή άλλων κρυπτογραφικών σχημάτων και ειδικά της τεχνικής CMS σε υψίρρυθμες μεταδόσεις αποδείχτηκαν απογοητευτικά. Καλύτερα, όμως, αποτελέσματα επιτεύχθηκαν πειραματικά [Αργύρης2006] σε χαμηλότερους ρυθμούς μετάδοσης, στα 2,5 Gbps. Τα προς διάδοση σήματα που παράγονται από τον πομπό είναι χαοτικά φέροντα με κρυμμένη την πληροφορία, επομένως, ένας ωτακουστής, δε θα μπορούσε να υποκλέψει έστω και μέρος της πληροφορίας, με απλή παρεμβολή, καθώς θα διάβαζε ένα εντελώς ασυσχέτιστο σήμα. Σε περίπτωση που ο ωτακουστής διέθετε ένα δικό του δέκτη, τότε, θα έπρεπε να έχει πανομοιότυπες εσωτερικές παραμέτρους και να χρησιμοποιείται με συγκεκριμένες τιμές για τις λειτουργικές παραμέτρους. Ειδικά το πρώτο σκέλος είναι σχεδόν αδύνατον να επιτευχθεί, αφού ακόμη και οι βιομηχανίες αδυνατούν να προσφέρουν κατά παραγγελία εντελώς όμοια ημιαγωγικά laser, εκτός και αν αυτά είναι διπλανά chip από το ίδιο ολοκληρωμένο πλακίδιο (wafer). Το «κλειδί» λοιπόν της μεθόδου βρίσκεται στα κατασκευαστικά χαρακτηριστικά του πομπού. Αλλά ακόμη και αν τα χαρακτηριστικά αυτά γίνονταν με κάποιο τρόπο γνωστά, θα ήταν πολύ δύσκολο να κατασκευαστεί ένα πανομοιότυπο chip. Από τα προηγούμενα, καθίσταται εμφανές ότι η μέθοδος παρέχει πολύ υψηλή ασφάλεια. Το γεγονός αυτό, σε συνδυασμό με το πλεονέκτημα ότι μπορεί να εφαρμοστεί στα υπάρχοντα οπτικά δίκτυα χωρίς ιδιαίτερες αλλαγές στην υποδομή τους δείχνει ότι είναι μια πολλά υποσχόμενη μέθοδος. Τα παρατηρούμενα προβλήματα συγχρονισμού ανάμεσα σε δύο όμοια laser μπορούν να περιοριστούν σε ένα σημαντικό βαθμό με τη χρήση κατωδιαβατών φίλτρων. [LarsonLiuTsimring2006] Ωστόσο, παραμένει ανοιχτό ζήτημα η δυνατότητα συγχρονισμού ανάμεσα σε δύο laser όταν υπάρχουν αποκλίσεις στα ενδογενή χαρακτηριστικά τους. Δεν είναι προς το παρόν γνωστά τα προβλήματα ασφαλείας που θα μπορούσε να δημιουργήσει μια τέτοια προσέγγιση, είναι όμως πιθανό ότι θα μπορούσαν να περιοριστούν συνδυάζοντας τη χαοτική κρυπτογραφία με την κρυπτογραφία κλειδιών στο ανώτερο επίπεδο επικοινωνίας υπολογιστών. 74/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

75 10 Προοπτικές Παρά τα διάφορα προβλήματα της χαοτικής κρυπτογράφησης, τα πλεονεκτήματά της φαίνονται να υπερισχύουν και να υπάρχουν καλές προοπτικές ανάπτυξης της μεθόδου. Η εύρεση και χρήση ζευγών πομπού-δέκτη με μικρότερες διαφορές στις εσωτερικές παραμέτρους θα βελτιώσει την κατάσταση και θα επιτρέψει τη λειτουργία σε υψηλούς ρυθμούς. Μια σημαντική πρόταση είναι ο συνδυασμός των μεθόδων με την τεχνική WDM που εφαρμόζεται στα σύγχρονα οπτικά δίκτυα, ώστε να χρησιμοποιείται η υπάρχουσα υποδομή. Ήδη η Ευρωπαϊκή Ένωση χρηματοδοτεί σχετικά προγράμματα όπως το IST-PICASSO που μελετούν την ολοκλήρωση πομπού και δέκτη. Μεγάλες προκλήσεις αποτελούν η ανάπτυξη των κατάλληλων μαθηματικών εργαλείων για τη μελέτη διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν συστήματα με πολλές διαστάσεις, η εύρεση των φυσικών μηχανισμών που διέπουν τον αναμενόμενο συγχρονισμό και το συγχρονισμό με καθυστέρηση και η επίτευξη μικρότερου ρυθμού BER σε υψηλότερες ταχύτητες μετάδοσης. [KaneShore2005] Αντικείμενο έρευνας παραμένει η δυνατότητα συγχρονισμού όταν υπάρχουν αποκλίσεις στα ενδογενή χαρακτηριστικά πομπών και δεκτών και τα προβλήματα ασφαλείας που είναι δυνατό να δημιουργηθούν από μια τέτοια προσέγγιση. Αυτό είναι και το σημείο στο οποίο η μέθοδος της χαοτικής κρυπτογραφίας θα κριθεί, συγκρινόμενη με τις υπάρχουσες μορφές κρυπτογραφίας. 75/126

76 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας 76/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

77 Παραρτήματα 77/126

78 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας 78/126 Στέα Ελένη Μαρία 809

79 Παράρτημα Α : Χρήσιμα στοιχεία θεωρίας σημάτων Ένα κύμα είναι η διάδοση μιας διαταραχής σε ένα μέσο και η κυματομορφή είναι η απεικόνιση της μορφής του σε διάφορες χρονικές στιγμές. Ένα σήμα, είναι ένα πρότυπο μεταβολής που αναπαριστά κάποια μορφή πληροφορίας και καθώς εξελίσσεται στο χρόνο δημιουργεί μια χρονική κυματομορφή. Ένα μονοδιάστατο σήμα συνεχούς χρόνου είναι ένα σήμα που μπορεί να παρασταθεί ως συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής, ακόμη και αν δεν υπάρχει τρόπος να καθοριστεί κάποιος τύπος που να περιγράφει ακριβώς αυτή τη συνάρτηση. Για παράδειγμα, η κυματομορφή του σήματος στο σχήμα 1, δύσκολα θα περιγραφόταν από κάποια συνάρτηση. Ωστόσο, είναι εμφανές ότι σε κάθε χρονική στιγμή t το σήμα έχει μια τιμή x και έτσι μπορεί να θεωρηθεί ότι η γραφική παράσταση είναι μια συνάρτηση x(t) που περιγράφει το σήμα. Δειγματοληψία είναι μια διαδικασία μέσω της οποίας σε τακτά και ισόχρονα διαστήματα λαμβάνονται τιμές από ένα σήμα συνεχούς χρόνου, ώστε να προκύψει μια διακριτού χρόνου αναπαράσταση του σήματος. Ένα σήμα διακριτού χρόνου, που προκύπτει από μια δειγματοληψία ενός σήματος συνεχούς χρόνου, είναι μια ακολουθία αριθμών που μπορεί να παρασταθεί ως συνάρτηση μιας μεταβλητής δείκτη που παίρνει μόνο διακριτές τιμές: x [n]=x nts n είναι ο αριθμός των δειγμάτων, δηλαδή το πλήθος των όρων της ακολουθίας, και T s, η περίοδος δειγματοληψίας. Η δειγματοληψία είναι απαραίτητη διαδικασία όταν πρέπει να μελετηθούν συνεχή σήματα στον υπολογιστή. Ο λόγος είναι ότι τα προγράμματα ενός ψηφιακού υπολογιστή μπορούν να επεξεργαστούν μόνο σήματα διακριτού χρόνου. [ΜcClellanSchaferYoder2006] Ένα σύστημα είναι μια φυσική ή λογική διάταξη, που δέχεται σήματα στην είσοδο και τα μετασχηματίζει σε άλλα σήματα ή σε άλλες αναπαραστάσεις των αρχικών στην έξοδο. Ένα μονοδιάστατο σύστημα, δηλαδή ένα σύστημα με μία είσοδο και μία έξοδο, συμβολίζεται με Τ. Για παράδειγμα, ένα σήμα που δέχεται στην είσοδο ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t) και παράγει στην έξοδο ένα σήμα συνεχούς χρόνου y(t) θα συμβολίζεται ως: y t =T {x t } Ένα περιοδικό σήμα ικανοποιεί τη συνθήκη: x t T 0 =x t, t που σημαίνει ότι το σήμα επαναλαμβάνει τις τιμές του κάθε T 0 sec. Το χρονικό διάστημα 79/126

80 Δυναμική, Συγχρονισμός & Απόδοση Ημιαγωγικών Διατάξεων Παραγωγής Υψίρρυθμων Χαοτικών Φερόντων σε Οπτικά Συστήματα Κρυπτογραφίας ονομάζεται περίοδος του σήματος x t. Αν το Τ 0 είναι ο μικρότερος χρόνος επανάληψης του σήματος, τότε ονομάζεται θεμελιώδης περίοδος. Τα περιοδικά σήματα, μπορούν να κατασκευαστούν προσθέτοντας δύο ή περισσότερα συνημιτονοειδή κύματα που έχουν αρμονικά σχετιζόμενες συχνότητες, δηλαδή, όλες οι συχνότητές τους είναι ακέραια πολλαπλάσια μιας συχνότητας f0. Τα υπόλοιπα σήματα λέγονται μη-περιοδικά. T0 Ένα τυχαίο σήμα συνεχούς χρόνου. Αν και σε κάθε χρονική στιγμή t το σήμα έχει μια τιμή x, είναι σχεδόν αδύνατο να διατυπωθεί κάποια μαθηματική συνάρτηση x(t) για την περιγραφή του. Σχημα 1: Τυχαίο σήμα Ημιτονοειδή / συνημιτονοειδή και μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνημιτονοειδές [ΜcClellanSchaferYoder2006] είναι ένα σήμα της μορφής: x t =A cos ω0 t φ όπου: A ονομάζεται πλάτος του σήματος. Το πλάτος, είναι ένας παράγοντας κλίμακας που καθορίζει πόσο μεγάλο είναι το συνημιτονοειδές σήμα. Επειδή η συνάρτηση ταλαντώνεται μεταξύ του -1 και του 1, το σήμα ταλαντώνεται μεταξύ των τιμών Α και Α. ω0 ονομάζεται γωνιακή συχνότητα. Το όρισμα της γωνίας ενός συνημιτόνου μετριέται σε ακτίνια (rad) που είναι αδιάστατο μέγεθος. Έτσι, θα πρέπει και το ω0 t να είναι αδιάστατο. Ορίζουμε ως μονάδα μέτρησης της ω0 το ένα rad/sec, αφού ο χρόνος ω t έχει μονάδα το sec. Για τον ίδιο λόγο, η κυκλική συχνότητα f = 2π, έχει μονάδα 0 το φ 80/126 sec 1. Ισχύει: Τ ο= 2π =1 ω0 f0 0. ονομάζεται διαφορά φάσης του σήματος. Επειδή το όρισμα της γωνίας του συνημιτόνου μετριέται σε rad, θα πρέπει και η διαφορά φάσης του σήματος να μετριέται σε rad. Η διαφορά φάσης σχετίζεται με την έννοια της χρονικής ολίσθησης του σήματος. Η χρονική ολίσθηση δείχνει αν ένα σήμα καθυστερεί ή προηγείται της χρονικής στιγμής που ορίζουμε ως 0. Δείχνει δηλαδή, αν το σήμα ξεκινά πριν ή μετά την αρχή των μετρήσεων. Η διαφορά φάσης καθορίζει το πόσο πολύ απομακρύνεται η μέγιστη Στέα Ελένη Μαρία 809