Συγκριτική ανάλυση υψίρρυθμων συστημάτων οπτικών επικοινωνιών βασισμένων σε χαοτικά φέροντα

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Συγκριτική ανάλυση υψίρρυθμων συστημάτων οπτικών επικοινωνιών βασισμένων σε χαοτικά φέροντα Επιμέλεια εργασίας: Παπαδοπούλου Φωτεινή Επιβλέπουσα καθηγήτρια: κ. Μήλιου Αμαλία ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ

2 Ευχαριστίες Θα ήθελα ιδιαίτερα να ευχαριστήσω την κ. Μήλιου Αμαλία, Επίκουρη Καθηγήτρια του Τμήματος Πληροφορικής, για την άριστη συνεργασία, τη συνεχή επίβλεψη και την καθοδήγηση της. Οι συμβουλές και η πολύτιμη συμπαράστασή της ήταν καθοριστικές, καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της συγκεκριμένης εργασίας. Θα ήθελα, επίσης, να ευχαριστήσω τον κ. Αντωνιάδη Ιωάννη, Διδάσκοντα ΠΔ του Τμήματος Πληροφορικής για την πολύτιμη βοήθεια του. Η συμβολή του και οι παρατηρήσεις του ήταν καταλυτικές στην επίλυση των πειραματικών προβλημάτων. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου, Ελευθέριο και Δωροθέα, τον αδερφό μου Θεοδόση και τον Γιάννη για την αμέριστη, ψυχική και ψυχολογική υποστήριξή τους που πάντα είναι απαραίτητη στις εύκολες και στις δύσκολες στιγμές και επιλογές της ζωής μου.

3 Πρόλογος Η παρούσα διπλωματική εργασία είναι μια μελέτη η οποία συγκρίνει υψίρρυθμα συστήματα οπτικών επικοινωνιών τα οποία βασίζονται σε χαοτικά φέροντα. Τα συστήματα που μελετώνται είναι laser που υπόκεινται σε οπτική ανάδραση, σε οπτοηλεκτρονική ανάδραση και σε οπτική έγχυση. Συγκεκριμένα, η εργασία χωρίζεται σε δύο ενότητες: τη θεωρητική και την πειραματική ανάλυση. Στη θεωρητική ανάλυση μελετάται το μαθηματικό μοντέλο, οι συνθήκες συγχρονισμού, οι μέθοδοι κρυπτογράφησης και διατυπώνεται η συμπερασματική ανάλυση για κάθε σύστημα ξεχωριστά. Στο τέλος της θεωρητικής ανάλυσης παρουσιάζεται η συγκριτική ανάλυση των τριών συστημάτων. Στην πειραματική ανάλυση προσομοιώνονται τα συστήματα της οπτοηλεκτρονικής και οπτικής ανάδρασης. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα κατά την παραγωγή χαοτικού μήκους κύματος και κατά την παραγωγή χαοτικής κυματομορφής στην ένταση. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν αφορούν τη διατήρηση της ασφάλειας και της ευρωστίας στα προαναφερθέντα χαοτικά συστημάτα. 3

4 Αφιερώνεται στους γονείς μου Ελευθέριο και Δωροθέα, στον αδερφό μου Θεοδόση και στο Γιάννη. 4

5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Θεωρητική ανάλυση Εισαγωγή Οπτική ανάδραση Εξισώσεις ρυθμών Συγχρονισμός Μέθοδοι κρυπτογράφησης CMS (Chaotic Masking) CSK(Chaos-Shift Keying) CM (Chaos Modulation) Σύστημα οπτικής ανάδρασης με κρυπτογράφηση πληροφορίας Συμπερασματική ανάλυση οπτικής ανάδρασης Οπτοηλεκτρονική ανάδραση Οπτοηλεκτρονική ανάδραση με ημιαγωγικό laser Εξισώσεις ρυθμών Συγχρονισμός Μέθοδοι κρυπτογράφησης Σύστημα οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης με κρυπτογράφηση πληροφορίας Οπτοηλεκτρονική ανάδραση με διαμορφωτή Mach-Zehnder Οπτοηλεκτρονικός γεννήτορας χαοτικού μήκους κύματος Μέθοδος κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης Συμπερασματική ανάλυση οπτο-ηλεκτρονικής ανάδρασης Οπτική έγχυση Εξισώσεις ρυθμών Δυναμική συμπεριφορά Συγχρονισμός Σύστημα οπτικής έγχυσης με κρυπτογράφηση πληροφορίας Συμπερασματική ανάλυση οπτικής έγχυσης Συγκριτική ανάλυση οπτικής ανάδρασης, οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης και οπτικής έγχυσης ΕΝΟΤΗΤΑ : Πειραματική ανάλυση Προσομοίωση Παραγωγή χαοτικού μήκους κύματος Παραγωγή χαοτικής κυματομορφής στην ένταση... 7 Αναφορές

6 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Θεωρητική ανάλυση 1. Εισαγωγή Τα ημιαγωγικά laser είναι μη γραμμικές διατάξεις οι οποίες στην έξοδό τους στην πλειοψηφία των εφαρμογών παράγουν φως σταθερού μήκους κύματος. Τα ημιαγωγικά laser προσφέρονται για πολλές εφαρμογές, καθώς είναι μικρού μεγέθους και μαζικής παραγωγής. Ωστόσο, είναι εξαιρετικά ευαίσθητα στην οπτική ανάδραση. Μια μικρή ποσότητα οπτικής ανάδρασης διαταράσσει την κανονική έξοδο του laser και διεγείρει τη μη γραμμική δυναμική του. Ως άμεση συνέπεια το laser, κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, εμφανίζει χαοτική συμπεριφορά. Το χάος βρίσκει εφαρμογή στις οπτικές επικοινωνίες και συγκεκριμένα στην οπτική κρυπτογραφία με χαοτικά φέροντα, δηλαδή στη χρήση του οπτικού φέροντος όχι μόνο ως μέσου μεταφοράς δεδομένων, αλλά και ως μέσου απόκρυψης των δεδομένων. Στα lasers ημιαγωγών, η λειτουργία σε χαοτική περιοχή μπορεί να επιτευχθεί εφαρμόζοντας οπτική ανάδραση, οπτο-ηλεκτρονική ανάδραση ή οπτική έγχυση. Η χαοτική συμπεριφορά που προκύπτει εμφανίζεται είτε στο πλάτος είτε στη συχνότητα του σήματος. Η κρυπτογραφία δεδομένων σε χαοτικά επικοινωνιακά συστήματα αποτελεί εναλλακτική των κλασσικών μεθόδων κρυπτογράφησης που βασίζονται σε υπολογιστικούς αλγορίθμους. Η χαοτική κρυπτογραφία γίνεται στο φυσικό επίπεδο κι όχι στο επίπεδο εφαρμογών κι εκμεταλλεύεται τη ντετερμινιστική φύση του χάους. Ταυτόχρονα, δείχνει μια ισχυρή εξάρτηση ακόμα κι από μικρές αποκλίσεις των αρχικών παραμέτρων του συστήματος [1]. Η χαοτική κρυπτογραφία βασίζεται σε ένα ζευγάρι συστημάτων το οποίο παράγει την ίδια χαοτική κυματομορφή, δηλαδή το πρώτο σύστημα κρύβει την πληροφορία στον πομπό και το δεύτερο ανακτά τα δεδομένα στο δέκτη. Το στοιχείο κλειδί για την επιτυχία της μετάδοσης της κωδικοποιημένης πληροφορίας είναι ο συγχρονισμός των δύο συστημάτων. Συγχρονισμός επιτυγχάνεται όταν το σήμα εξόδου του πομπού μπορεί να αναπαραχθεί από το δέκτη. Όταν τα laser συγχρονιστούν μεταξύ τους, τότε η πληροφορία κωδικοποιείται στην έξοδο του πομπού και μεταφέρεται στο δέκτη. Ο δέκτης που έχει συγχρονιστεί στον πομπό παράγει το χαοτικό σήμα χωρίς την κωδικοποιημένη 6

7 πληροφορία. Η αποκωδικοποίηση επιτυγχάνεται με την αφαίρεση της εξόδου του δέκτη (μόνο χαοτικό φέρον) από αυτήν του πομπού (χαοτικό φέρον + πληροφορία). Αυτή η αρχή λειτουργίας απεικονίζεται στην εικόνα 1 []. Εικόνα 1: Αρχή λειτουργίας του χαοτικού οπτικού συστήματος κρυπτογραφίας[] Τα ημιαγωγικά laser παράγουν χαοτικά φέροντα μεγάλης διάστασης με αποτέλεσμα η κρυπτογράφηση των δεδομένων να πραγματοποιείται με ασφάλεια χωρίς δυνατότητα υποκλοπής. Το πλάτος του σήματος των δεδομένων πρέπει να είναι πολύ μικρότερο από αυτό του χαοτικού φέροντος, ώστε η υποκλοπή τους να είναι αδύνατη με μεθόδους φιλτραρίσματος, ενώ μέθοδοι συσχέτισης ή φασματικής ανάλυσης δεδομένων να αποτυγχάνουν. 7

8 . Οπτική ανάδραση Ο ευκολότερος τρόπος για να παραχθεί χάος είναι με την προσθήκη ενός καθρέπτη στην έξοδο ενός laser. Αυτή η διάταξη ονομάζεται laser εξωτερικής κοιλότητας (ECSL: External Cavity Semiconductor Laser) [3]. Εικόνα :Διάταξη οπτικής διάταξης [4] Το laser ημιαγωγού (SL:Semiconductor Laser) έχει δύο εσωτερικές επιφάνειες ανάκλασης, r 1 και r, κι αντλείται από πηγή ρεύματος χαμηλού θορύβου. O εσωτερικός χρόνος κυκλικής διαδρομής του φωτός μέσα στο laser είναι ο τ in. To φως που εκπέμπεται από το laser ανακλάται από έναν απομακρυσμένο καθρέπτη με ανακλαστική επιφάνεια r 3 και επανεγχέεται στο SL με μια χρονική καθυστέρηση τ. Το ECSL είναι ένα σύστημα καθυστέρησης με ευρύ σύνολο εσωτερικών χρόνων που εμφανίζει ισχυρή μη γραμμικότητα, εξαιτίας της ισχυρής σύζευξης πλάτους και φάσης του οπτικού πεδίου SL. Ένα τέτοιο σύστημα παρουσιάζει άπειρο αριθμό πιθανών βαθμών ελευθερίας και υψηλών διαστάσεων χαοτική δυναμική. Συγκεκριμένα, η συμπεριφορά ενός laser ημιαγωγών με οπτική ανάδραση εξαρτάται από τον τύπο του laser, τις ενδογενείς παραμέτρους του και τις λειτουργικές συνθήκες που περιγράφουν το σύστημα. 8

9 Οι αστάθειες που εμφανίζει το laser κατατάσσονται σε πέντε περιοχές για αυξανόμενο ποσοστό ανάδρασης [3]: 1. Περιοχή I: Το ποσοστό ανάδρασης είναι πολύ μικρό (<0.01%) και υπάρχει μόνο ένας τρόπος εξωτερικής κοιλότητας.. Περιοχή II: Το ποσοστό ανάδρασης είναι ακόμη μικρό (<0.1%), ωστόσο το laser παρουσιάζει περιοδικές μεταπτώσεις μεταξύ πολλών τρόπων εξωτερικής κοιλότητας, λόγω θορύβου. Το ποσοστό των μεταπτώσεων μειώνεται για αυξανόμενη ανάδραση. 3. Περιοχή III: Το ποσοστό ανάδρασης είναι περίπου 0.1%. Το laser λειτουργεί μόνο σε έναν κυρίαρχο τρόπο που είναι ο τρόπος με το ελάχιστο εύρος γραμμής. 4. Περιοχή IV: Το ποσοστό ανάδρασης είναι στο 1%. Το εύρος γραμμής του laser διαπλατύνεται έντονα. Εμφανίζεται το φαινόμενο της σύμφωνης κατάρρευσης. 5. Περιοχή V: Το ποσοστό ανάδρασης είναι πολύ υψηλό (>10%). Η εσωτερική κοιλότητα του laser και η εξωτερική κοιλότητα συμπεριφέρνονται ως μια και το laser εμφανίζει μονότροπη λειτουργία. Ακόμη μία δυναμική περιοχή είναι η περιοχή των «διακυμάνσεων χαμηλών συχνοτήτων» (low-frequency fluctuations:lff), που συνήθως συμβαίνει για ρεύμα έγχυσης κοντά στο ρεύμα κατωφλίου του laser χωρίς οπτική ανάδραση. Μία LFF περιοχή χαρακτηρίζεται από απότομες μεταπτώσεις της μέσης ισχύος του laser, που ακολουθούνται από προοδευτική επαναφορά της ισχύος. Οι ισχυρές μεταπτώσεις συχνά συμβαίνουν σε ακανόνιστο χρόνο, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, το χρονικό διάστημα είναι σταθερό και για αυτό η περιοχή ονομάζεται περιοδική LFF..1 Εξισώσεις ρυθμών Οι εξισώσεις ρυθμών που διέπουν τα laser ημιαγωγών με οπτική ανάδραση είναι οι εξισώσεις των Lang-Kobayashi [4] και είναι οι εξής: 9

10 da( e dt i ( A( t ) e 1 1 i (1 ia) g( N, A ) A( e p i ( t ) e i F ( (.1) dn ( J dn( g(, ) A ( dt q n (.) N( No g(, ) gn (.3) 1 A ( Η εξίσωση (.1) υπολογίζει το ρυθμό μεταβολής του μιγαδικού πλάτους του αργά μεταβαλλόμενου ηλεκτρικού πεδίου Ε(=Α(e iφ(. Η μεταβλητή Α( είναι το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου και φ( είναι η αργά μεταβαλλόμενη φάση. Το ηλεκτρικό πεδίο κανονικοποιείται με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε E( A (. Η εξίσωση (.) υπολογίζει το ρυθμό μεταβολής της πυκνότητας των φορέων Ν( του ημιαγωγού και η εξίσωση (.3) εκφράζει την οπτική ενίσχυση, όπου g n [s -1 ] είναι ο συντελεστής διαφορικής ενίσχυσης. Η παράμετρος α είναι ο συντελεστής ενίσχυσης γραμμής, ο οποίος παράγει τη σύζευξη μεταξύ του πλάτους και της φάσης του ηλεκτρικού πεδίου. Αυτή η σύζευξη προκαλείται εξαιτίας του γεγονότος ότι αλλαγή στο πλάτος παράγει αλλαγή στον αριθμό των φορέων και κατ επέκταση αλλαγή στο δείκτη διάθλασης και για αυτό αλλαγή στη φάση του ηλεκτρικού πεδίου. Η παράμετρος τ p είναι ο χρόνος ζωής των φωτονίων, ενώ η παράμετρος γ c =1/τ p αναπαριστά τις συνολικές απώλειες φωτονίων ανά μονάδα χρόνου. Το τ n είναι ο χρόνος ζωής των φορέων, ενώ η παράμετρος γ s =1/τ n αναπαριστά τις συνολικές απώλειες των φορέων ανά μονάδα χρόνου. Το κ είναι η αδιάστατη παράμετρος οπτικής ανάδρασης και ισούται με κ=γτ in. Το γ είναι η παράμετρος της οπτικής ανάδρασης και ισούται με γ= bη, όπου b είναι το κλάσμα της εξόδου του laser που τροφοδοτείται πίσω στο laser και η είναι το ποσοστό έγχυσης της εξόδου του πομπού πίσω στην κοιλότητα του laser. Ο όρος κ εκφράζει την ισχύ που ανακλάται από την εξωτερική κοιλότητα σε σχέση με την ισχύ που ανακλάται από την επιφάνεια του κατόπτρου του laser. Το τ in είναι ο χρόνος κυκλικής διαδρομής μέσα στην κοιλότητα του laser, ενώ το τ είναι ο χρόνος κυκλικής διαδρομής στην εξωτερική κοιλότητα. 10

11 Το Ν ο είναι η πυκνότητα των φορέων στο σημείο διαφάνειας, ε είναι ο μη γραμμικός συντελεστής κόρου της ενίσχυσης, J είναι το ρεύμα πόλωσης του laser, q είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου, ω είναι η κυκλική συχνότητα εκπομπής του laser και F είναι η πηγή θορύβου Langevin, δηλαδή ο θόρυβος αυθόρμητης εκπομπής. Η ποσότητα ωτ ονομάζεται συσσώρευση φάσης στην εξωτερική κοιλότητα ή ανάδραση φάσης. Μια συγκεκριμένη τιμή της ωτ συνεπάγεται ακριβή τοποθέτηση του εξωτερικού καθρέπτη. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι οι τρεις μεταβλητές Α, φ και Ν δεν είναι ανεξάρτητες και για αυτό το λόγο παράγονται χαοτικές λύσεις. Επιπρόσθετα, η παρουσία καθυστέρησης δημιουργεί άπειρο αριθμό βαθμών ελευθερίας και ενδεχομένως δυναμική υψηλής διάστασης. Αυτό το μοντέλο αγνοεί τις πολλαπλές ανακλάσεις του εξωτερικού καθρέπτη και είναι έγκυρο μόνο για «αδύναμη μέχρι μέτρια» ανάδραση (κ<<1). Από την εξίσωση (.1) είναι εύκολο να καθορίσουμε τις εξισώσεις του πλάτους και της φάσης του ηλεκτρικού πεδίου: da 1 g( N, A dt ( d a g( N, A dt ( 1 ) A( ( t ) cos[ ( ( t )] p 1 ( t ) ) ( sin[ ( ( t )] p ( (.4) (.5). Συγχρονισμός Ο συγχρονισμός των χαοτικών ημιαγωγικών laser είναι το στοιχείο κλειδί για τα όλο-οπτικά επικοινωνιακά συστήματα. Η κλασσική μέθοδος συγχρονισμού που εφαρμόζεται σε ένα χαοτικό σύστημα αποτελείται από δύο laser ημιαγωγών, πομπού (master laser) και δέκτη (slave laser), όπου το laser-δέκτης παράγει το ίδιο χαοτικό σήμα με αυτό του laser-πομπού, όταν το laser-πομπός εγχύσει το χαοτικό σήμα της εξόδου του στο laser-δέκτη (εικόνα 3) [4]. 11

12 Εικόνα 3:Κλασική μέθοδος συγχρονισμού [4] H χαοτική έξοδος του πομπού χρησιμοποιείται ως φέρον πάνω στο οποίο κωδικοποιείται το μήνυμα [5]. Η αποκωδικοποίηση βασίζεται στο γεγονός ότι τα συζευγμένα χαοτικά συστήματα του πομπού και του δέκτη μπορούν να συγχρονίσουν την έξοδο τους, κάτω από τις κατάλληλες συνθήκες. Για την αποκωδικοποίηση του μηνύματος, το σήμα μετάδοσης συζευγνύεται σε αυτό του δέκτη, ο οποίος παράγει στην έξοδο του το ίδιο σήμα χωρίς το κωδικοποιημένο μήνυμα. Στη συνέχεια, το μήνυμα ανακτάται, αφαιρώντας την έξοδο του δέκτη από την έξοδο του πομπού. Γενικά, συγχρονισμός σημαίνει ότι η μη κανονική έξοδος του πομπού μπορεί να αναπαραχθεί από το δέκτη. Όταν τα δύο laser λειτουργούν χωριστά για παράδειγμα χωρίς σύζευξη μεταξύ τους, παρουσιάζουν διαφορετική χαοτική συμπεριφορά. Ακόμα και για ταυτόσημες αρχικές συνθήκες κάποια μικρή διαφορά ενισχύεται από τη χαοτική δυναμική, εξαιτίας της παρουσίας του αυθόρμητου θορύβου εκπομπής. Οι διαφορές μεταξύ του αρχικού μηνύματος και του αποκωδικοποιημένου μηνύματος προέρχονται από την έλλειψη τέλειου συγχρονισμού μεταξύ του πομπού και του δέκτη, ειδικά, λόγω του θορύβου αυθόρμητης εκπομπής στα laser και των μη γραμμικών φαινόμενων στην ίνα. Χωρίς να λαμβάνονται αυτά τα φαινόμενα υπόψη, τα δύο laser συγχρονίζονται πολύ καλά. Ο Locquet et al. [6] έχει αποδείξει ότι όταν το laser-πομπός και το laser-δέκτης είναι laser εξωτερικής κοιλότητας, τότε προκύπτουν δύο διαφορετικά σχήματα συγχρονισμού. Όταν και τα δύο laser έχουν την ίδια ποσότητα οπτικής ανάδρασης (δηλαδή όταν το μήκος της εξωτερικής κοιλότητας είναι το ίδιο και στα δύο lasers), η ένταση του laser-δέκτη Ι s (, συγχρονίζεται με την ένταση που εγχέεται από το laser-πομπό, I m (t-τ c ), όπου τ c είναι ο χρόνος διάδοσης από το laser πομπό προς το laser δέκτη. Όταν τα δύο laser έχουν την ίδια ποσότητα οπτικής έγχυσης (δηλαδή, όταν το ποσοστό ανάδρασης του πομπού είναι ίσο με το άθροισμα του ποσοστού 1

13 ανάδρασης του δέκτη και του ποσοστού οπτικής έγχυσης), προκύπτει ο συγχρονισμός του Ι s ( με I m (t-τ c +τ), όπου τ είναι ο χρόνος κυκλικής διαδρομής της εξωτερικής κοιλότητας (που είναι ο ίδιος και για τα δύο laser). Συγχρονισμός με χρόνο διάδοσης τ c αντιστοιχεί σε συγχρονισμό του οπτικού πεδίου του δέκτη με το πεδίο έγχυσης (ισόχρονος συγχρονισμός), ενώ συγχρονισμός με χρόνο διάδοσης τ c - τ αντιστοιχεί στην περίπτωση, όπου το πεδίο του laser-δέκτη προσδοκά το πεδίο έγχυσης σε προσδοκώμενο χρόνο ίσο με τ (προσδοκώμενος συγχρονισμός). Δηλαδή στον προσδοκώμενο συγχρονισμό, πρώτα παράγονται οι λύσεις για το δέκτη και μετά από χρόνο τ παράγονται και οι λύσεις του πομπού. Σύμφωνα με τους δύο παραπάνω τύπους συγχρονισμού σε ένα αμιγώς οπτικό χαοτικό σύστημα πομπού-δέκτη εμφανίζονται δύο αρχιτεκτονικές. Η πρώτη είναι η αρχιτεκτονική κλειστού βρόχου που βασίζεται στον προσδοκώμενο συγχρονισμό (εικόνα 4) [6]. Εικόνα 4:Αρχιτεκτονικής κλειστού βρόχου [6] Το laser-δέκτης είναι ένα laser εξωτερικής κοιλότητας που υπόκειται σε οπτική ανάδραση από τη δική του εξωτερική κοιλότητα και σε οπτική έγχυση από το laserπομπό. 13

14 Εικόνα 5: Αρχιτεκτονική ανοιχτού βρόχου [6] Η δεύτερη αρχιτεκτονική είναι του ανοιχτού βρόχου (εικόνα 5), όπου το laserδέκτης υπόκειται μόνο σε οπτική έγχυση από το laser-πομπό και βασίζεται στον ισόχρονο συγχρονισμό. Η αρχιτεκτονική κλειστού βρόχου εμφανίζει καλύτερη ποιότητα συγχρονισμού και επομένως καλύτερη ποιότητα στη μετάδοση των δεδομένων σε σχέση με αυτή του ανοιχτού βρόχου. Ωστόσο, για να επιτευχθεί τέλειος συγχρονισμός απαιτείται ακριβές ταίριασμα των μηκών των εξωτερικών κοιλοτήτων, καθώς και των υπόλοιπων παραμέτρων του πομπού και του δέκτη. Σε αντίθεση, η αρχιτεκτονική ανοιχτού βρόχου είναι πιο εύκολα υλοποιήσιμη, καθώς απουσιάζει η εξωτερική κοιλότητα του δέκτη και επομένως δεν απαιτείται η σημαντική παράμετρος του ταιριάσματος των μηκών των εξωτερικών κοιλοτήτων πομπού και δέκτη..3 Μέθοδοι κρυπτογράφησης Σε ένα επικοινωνιακό χαοτικό σύστημα που βασίζεται στην οπτική ανάδραση χρησιμοποιούνται τρεις μέθοδοι κρυπτογράφησης [1]: 1. η χαοτική απόκρυψη CMS (Chaos Masking),. η χαοτική μετατόπιση σταθμών CSK (Chaotic Shift-Keying), 3. η χαοτική διαμόρφωση CM (Chaos Modulation). Οι τρεις μέθοδοι διαφέρουν στον τρόπο με τον οποίο κωδικοποιείται το μήνυμα μέσα στο χαοτικό φέρον, αν και η διαδικασία αποκωδικοποίησης είναι ίδια και για 14

15 τις τρεις μεθόδους, καθώς βασίζεται στην αφαίρεση της εξόδου του δέκτη από το λαμβανόμενο σήμα..3.1 CMS (Chaotic Masking) Στη μέθοδο CMS, το μήνυμα m( προστίθεται στη χαοτική έξοδο του πομπού X e (. Έτσι, το άθροισμα s(=x e (+m( διαδίδεται μέσω της ίνας και εγχέεται στο δέκτη (εικόνα 6) [4]. Εικόνα 6: CMS μέθοδος [4] Ο βαθμός της ασφάλειας αυτής της μεθόδου εξαρτάται από το αν οι ιδιότητες του χαοτικού φέροντος (δηλαδή το μεγάλο φάσμα του και η εμφάνιση των χρονικών σειρών του που μοιάζουν με θόρυβο) χρησιμοποιηθούν σωστά. Συγκεκριμένα, το πλάτος του μηνύματος m( πρέπει να είναι μικρό σε σχέση με αυτό της εξόδου του πομπού X e (. Με αυτόν τον τρόπο, θα είναι δύσκολη η απομόνωση του μηνύματος με ανάλυση των χρονικών σειρών ή του φάσματος του μεταδιδόμενου σήματος (X e (+m(). Εφόσον, ένα μήνυμα m μικρού πλάτους προστίθεται σε χαοτικό φέρον μεγαλύτερου πλάτους με χαοτικές διακυμάνσεις που μοιάζουν με αυτές του θορύβου, η παρατήρηση των χρονικών σειρών δύσκολα δίνει κάποια πληροφορία για το μήνυμα. Επιπλέον, το γεγονός ότι το φάσμα του μηνύματος περιέχεται σε αυτό του φέροντος, δηλαδή ότι οι διακυμάνσεις του μηνύματος πραγματοποιούνται σε συχνότητες παρόμοιες με αυτές του φέροντος, σημαίνει, πρώτον, ότι το μήνυμα κρύβεται σε ένα χρονικό επίπεδο και δεύτερον ότι είναι δύσκολο να εξαχθεί το μήνυμα μέσω φασματικού φιλτραρίσματος και φασματικής ανάλυσης. Η ανάκτηση του μηνύματος m( πραγματοποιείται, λόγω της ικανότητας συγχρονισμού των χαοτικών συστημάτων. Αυτό σημαίνει ότι συγχρονισμός επιτυγχάνεται, ακόμα κι αν μικρές διαταραχές εφαρμόζονται στο σήμα σύζευξης ή 15

16 στη δομή των χαοτικών συστημάτων. Το μήνυμα μπορεί να θεωρηθεί ως μια μικρή διαταραχή, η οποία ωστόσο δεν επηρεάζει σημαντικά τη διαδικασία του συγχρονισμού. Για αυτό, το χάος που παράγεται από το δέκτη X r ( ακολουθεί τη φυσική τάση να συγχρονιστεί με το χαοτικό σήμα X e ( μόνο και το μήνυμα ανακτάται αφαιρώντας το X r ( από το X e (. Φυσικά, ο συγχρονισμός δεν είναι τέλειος όταν η διαταραχή είναι μεγάλη και όσο μικρότερη είναι τόσο καλύτερη ποιότητα συγχρονισμού προκύπτει. Αφού το φάσμα του μηνύματος πρέπει να περιέχεται μέσα στο φάσμα του χαοτικού φέροντος, η έκταση του χαοτικού φάσματος θέτει τις μέγιστες τιμές ταχύτητας (bit rate) που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να διασφαλίσουν το απόρρητο της επικοινωνίας..3. CSK(Chaos-Shift Keying) Στη μέθοδο CSK (εικόνα 7) [4], η παράμετρος p του συστήματος του πομπού μπορεί να πάρει δύο τιμές p 0 ή p 1 ανάλογα με την τιμή του δυαδικού σήματος πληροφορίας. Η τιμή της παραμέτρου p στο δέκτη, που είναι αντιγραφή του πομπού, τίθεται σε p 0. Εικόνα 7: CSK μέθοδος [4] Ανάλογα με την τιμή του δυαδικού μηνύματος, ο δέκτης συγχρονίζεται ή όχι στο πομπό. Για αυτό, το μήνυμα μπορεί να ανακτηθεί μέσω της ανάλυσης του λάθους συγχρονισμού e(, που είναι η διαφορά μεταξύ της χαοτικής εξόδου του πομπού X e ( και της χαοτικής εξόδου του δέκτη X r (. Αυτό το είδος της επικοινωνίας παρέχει υψηλή ασφάλεια αν οι χαοτικοί ελκυστές που αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιμές του p είναι δύσκολο να διακριθούν. Η ταχύτητα του 16

17 μηνύματος περιορίζεται από το χρόνο συγχρονισμού, για παράδειγμα το χρόνο που χρειάζεται ο δέκτης για να συγχρονιστεί με τον πομπό, όταν η τιμή της παραμέτρου p του πομπού είναι p 0. Είναι ευκολονόητο, ότι η διάρκεια ενός bit πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το χρόνο συγχρονισμού του δέκτη. Με αυτόν τον τρόπο ο χρόνος συγχρονισμού περιορίζει την ταχύτητα του μηνύματος..3.3 CM (Chaos Modulation) Η μέθοδος CM βασίζεται στο γεγονός ότι η πληροφορία m( συμμετέχει άμεσα στη δυναμική του χαοτικού πομπού. Πιο συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει ότι το m( εμφανίζεται μέσα στις εξισώσεις ρυθμών του χαοτικού πομπού. Στη συνέχεια, το σήμα μεταδίδεται στο δέκτη και προσπαθεί να τον οδηγήσει στο συγχρονισμό. Επισημαίνεται, επομένως, ότι στη μέθοδο CM, το μήνυμα επηρεάζει τη δυναμική του πομπού και στη συνέχεια επηρεάζει και τη δυναμική του δέκτη. Η μέθοδος CM εμφανίζει δύο περαιτέρω σχήματα κρυπτογράφησης. Το πρώτο σχήμα είναι το ACM (Additive Chaos Modulation), στο οποίο το 1 και το 0 αναπαρίστανται το καθένα από ένα τετραγωνικό παλμό της ίδιας φάσης, αλλά διαφορετικής συχνότητας. Το δεύτερο σχήμα είναι το MCM (Multiplicative Chaos Modulation) στο οποίο το 1 και το 0 αναπαρίστανται το καθένα από ένα τετραγωνικό παλμό της ίδιας συχνότητας, αλλά διαφορετικής φάσης. Η μέθοδος CM διαφέρει από τη μέθοδο CMS (Chaotic Masking), ενώ η μέθοδος CSK (Chaos-Shift Keying) είναι μια ειδική περίπτωση της μεθόδου CM. Αφού το μήνυμα συμμετέχει άμεσα στη δυναμική του συστήματος, είναι λογικό ότι η απόκρυψη είναι πιο αποτελεσματική..4 Σύστημα οπτικής ανάδρασης με κρυπτογράφηση πληροφορίας Στη διαμόρφωση της εικόνας 8 απεικονίζεται ένα σύστημα προσδοκώμενου συγχρονισμού, στο οποίο η χαοτική κυματομορφή παράγεται με οπτική ανάδραση. Στο σύστημα παρατίθενται και συγκρίνονται τα τρία συστήματα κρυπτογράφησης πληροφορίας (CSK, CMS, ACM). Το σύστημα αποτελείται από το laser-πομπό (SL T ) και από το laser-δέκτη (SL R ), ενώ το μήνυμα που κωδικοποιείται με τα τρία 17

18 18 σχήματα κρυπτογράφησης είναι της μορφής m(. Το μήνυμα έχει ως δείκτη (για παράδειγμα m ACM ) το σχήμα κωδικοποίησης που χρησιμοποιείται κάθε φορά. Όταν χρησιμοποιείται ένα συγκεκριμένο σχήμα, ο δείκτης του μηνύματος για τα άλλα δύο σχήματα είναι μηδενικός και το μήνυμα δεν λαμβάνεται υπόψη. Οι εκθέτες Τ και R υποδηλώνουν ποσότητες του πομπού και του δέκτη, αντίστοιχα. Εικόνα 8: Σύστημα οπτικής ανάδρασης [7] Ο πομπός SL T μοντελοποιείται με τις ακόλουθες εξισώσεις σύζευξης: F e e t m t ba e t A A N g ia dt e t da i t i ACM T t i T p t i T ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( [ ) ( 1 ), ( ) (1 1 ) ( (.6) ) ( ), ( ) ( )] ( [1 ) ( t A g t dn q t m I dt t dn T n T CSK T (.7) Ενώ ο δέκτης SL R, που οδηγείται από το μεταδιδόμενο σήμα s(, περιγράφεται από τις εξισώσεις: F e e t s e t A A N g ia dt e t da i t i t i R p t i R ) ( c ) ( ) ( )] τ ( [ ) ( 1 ), ( ) (1 1 ) ( (.8) ) ( ), ( ) ( ) ( t A g t dn q I dt t dn R n R R (.9) Το τ είναι ο χρόνος καθυστέρησης, η είναι το ποσοστό έγχυσης και τ c είναι ο χρόνος διάδοσης του σήματος από τον πομπό στο δέκτη. Το μεταδιδόμενο σήμα έχει τη μορφή s(=bα T (+m( για τα σχήματα ACM και CMS, και τη μορφή s(= bα T ( για το CSK σχήμα. Το μήνυμα στην περίπτωση του σχήματος CSK

19 βρίσκεται στη χαοτική κυματομορφή που παράγει ο πομπός Α T (. Σύμφωνα με την εικόνα 8, όταν εφαρμόζεται το CMS σχήμα, το κωδικοποιημένο μήνυμα προστίθεται στη χαοτική κυματομορφή που παράγει ο πομπός και μεταδίδεται στο δέκτη, αλλά δεν ανατροφοδοτείται πίσω στον πομπό. Ως αποτέλεσμα, όταν λαμβάνει χώρα η αποκωδικοποίηση, το μήνυμα δεν ανακτάται σωστά, εξαιτίας λαθών συγχρονισμού τα οποία προκύπτουν από την ασυμμετρία που εμφανίζουν πλέον ο πομπός κι ο δέκτης με την παρουσία του μηνύματος. Όταν εφαρμόζεται το CSK σχήμα, μόνο το laser του πομπού κι όχι του δέκτη διαμορφώνεται ηλεκτρικά με το κωδικοποιημένο μήνυμα, όπως φαίνεται και στις εξισώσεις (.6) και (.8). Ως αποτέλεσμα, κατά τη διάρκεια της αποκωδικοποίησης παρατηρούνται, επίσης, λάθη στο ανακτημένο μήνυμα, γεγονός που υποδεικνύει την έλλειψη συγχρονισμού, λόγω της ασυμμετρίας πομπού και δέκτη που οφείλεται στην παρουσία του μηνύματος. Συγκρίνοντας τις παραπάνω διαφορικές εξισώσεις παρατηρείται ότι ο πομπός και ο δέκτης μπορούν να γίνουν μαθηματικά ταυτόσημοι με την παρουσία ενός μηνύματος, μόνο όταν εφαρμόζεται το ACM σχήμα και οι παράμετροι τους ταιριάζουν. Συμπερασματικά, η απόδοση του ACM στην οπτική ανάδραση είναι η καλύτερη ανάμεσα στα τρία σχήματα κρυπτογράφησης, επειδή το μήνυμα που κωδικοποιείται με αυτό το σχήμα δεν επηρεάζει τη μαθηματική συμμετρία ανάμεσα στον πομπό και στο δέκτη..5 Συμπερασματική ανάλυση οπτικής ανάδρασης Ένα σύστημα laser ημιαγωγών εξωτερικής κοιλότητας που υπόκειται σε οπτική ανάδραση είναι ένα σύστημα καθυστέρησης με ευρύ σύνολο εσωτερικών χρόνων που εμφανίζει ισχυρή μη γραμμικότητα. Ένα τέτοιο σύστημα παρουσιάζει άπειρο αριθμό πιθανών βαθμών ελευθερίας. Έτσι η δυναμική του μπορεί να γίνει χαοτική. Αυτό το γεγονός είναι απαραίτητο για την εξασφάλιση του απορρήτου στην επικοινωνία. Είναι γνωστό ότι όσο υψηλότερη είναι η πολυπλοκότητα του φέροντος, τόσο δυσκολότερη είναι η αποκωδικοποίηση του μηνύματος χωρίς τον κατάλληλο δέκτη, εξαιτίας των υψηλών συχνοτήτων που συμπεριλαμβάνονται και του μεγάλου αριθμού των βαθμών ελευθερίας του χαοτικού φέροντος. Τα χαοτικά 19

20 φέροντα παρέχουν στα lasers ένα ευρύ φάσμα (τυπικά στην περιοχή του GHz) στο οποίο να μπορεί να κρυφτεί το μήνυμα [3]. Οι ιδιότητες των σημάτων φέροντος κι ο τρόπος που κωδικοποιείται το μήνυμα είναι τέτοιες που με μια διαδικασία φιλτραρίσματος δεν είναι πιθανόν να εξαχθεί το μήνυμα. Επίσης, συσχετισμοί και ανάλυση συχνότητας αποτυγχάνουν. Επιπλέον, ένα σύστημα laser που υπόκειται σε οπτική ανάδραση εμφανίζει πλήρη συμβατότητα με τη δομή των συμβατικών οπτικών δικτύων. Οι εργαστηριακές μελέτες και οι έρευνες που αφορούν ένα τέτοιο σύστημα οπτικής ανάδρασης μπορούν να πραγματοποιηθούν χρησιμοποιώντας τη συμβατική οπτική τεχνολογία. Κατ επέκταση, μπορεί να εφαρμοστεί σε διάφορες πλατφόρμες επικοινωνίας, για παράδειγμα σε ασύρματα δίκτυα. Ένα σύστημα laser που υπόκειται σε οπτική ανάδραση μπορεί να λειτουργήσει σε θεωρητικό επίπεδο σε υψηλούς ρυθμούς μετάδοσης δεδομένων (έως 10 Gbits/s), ενώ πρακτικά έχει επιτευχθεί μετάδοση μέχρι 1 Gbit/s με ευοίωνες προοπτικές για αύξηση του στο μέλλον []. Οι δύο αρχιτεκτονικές ανοιχτού και κλειστού βρόχου εκθέτουν ελκυστικά χαρακτηριστικά για τη χρήση του χάους στα επικοινωνιακά συστήματα. Όταν κωδικοποιούμε ένα σήμα, και τα δύο σχήματα παρουσιάζουν υψηλή διάκριση σήματος /φέροντος και διακύμανση συχνότητας που εκτείνεται σε GHz []. Το σχήμα κλειστού βρόχου είναι συμπαγές, εμφανίζει καλύτερο συγχρονισμό και φιλτράρισμα διάβασης του χάους, ενώ το σχήμα ανοιχτού βρόχου εμφανίζει υψηλότερη μηχανική ευρωστία, καθώς και απλή και φθηνή σχεδίαση. Η μέθοδος της οπτικής ανάδρασης υποστηρίζει και τα τρία σχήματα κωδικοποίησης που προτείνονται, δηλαδή τη χαοτική απόκρυψη (CMS), τη χαοτική μετατόπιση σταθμών (CSK) και τη χαοτική διαμόρφωση (CM). Ανάμεσα στα τρία, την καλύτερη απόδοση την εμφανίζει η χαοτική διαμόρφωση (CM). Η οπτική ανάδραση δεν εφαρμόζεται μόνο στα αναλογικά σήματα, αλλά και στα ψηφιακά σήματα τα οποία κωδικοποιούνται και αποκωδικοποιούνται, κατά παρόμοιο τρόπο, επιτυχώς. Η οπτική ανάδραση σε γενικές γραμμές και κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες επιφέρει ένα ισχυρό και φασματικά ευρύ χαοτικό φέρον, το οποίο μπορεί να καλύψει τις φασματικές συνιστώσες των δεδομένων. Το βασικότερο μειονέκτημα της οπτικής ανάδρασης είναι το υψηλό κόστος κατασκευής. Καθώς σε ένα σύστημα laser ημιαγωγών εξωτερικής κοιλότητας με 0

21 οπτική ανάδραση όλα τα στοιχεία που περιέχει είναι οπτικά, το κόστος ενός τέτοιου συστήματος είναι πολύ υψηλό για την υλοποίηση του σε απλές εφαρμογές. Το σχετικά υψηλό επίπεδο κβαντικού θορύβου αυθόρμητης εκπομπής στη δίοδο του laser μπορεί να εμποδίσει την παρατήρηση ή ακόμα την ύπαρξη των πολύπλοκων και λεπτών ελκυστών που εμφανίζουν χαοτικές ιδιότητες. Όταν το ρεύμα έγχυσης βρίσκεται κοντά στο ρεύμα πόλωσης του απομονωμένου laser (χωρίς ανάδραση), το laser λειτουργεί στο σύστημα Διακυμάνσεων Χαμηλής Συχνότητας (LFF:Low Frequency Fluctuations) [3]. Το σύστημα χαρακτηρίζεται από ξαφνικές μεταπτώσεις ισχύος που ακολουθούνται από αργή επαναφορά της οπτικής ισχύος. Το σύστημα δεν είναι κατάλληλο για επικοινωνιακά συστήματα χάους, αφού οι πληροφορίες μπορεί να χαθούν κατά τη διάρκεια των μεταπτώσεων. Για αυτό, είναι καλύτερο η λειτουργία του συστήματος να πραγματοποιείται σε υψηλότερα ρεύματα έγχυσης στην περιοχή κατάρρευσης συμφωνίας. Η δυναμική συμπεριφορά εξαρτάται από τη φάση της κοιλότητας της καθυστερημένης οπτικής ανάδρασης. Αυτό υπονοεί υψηλές απαιτήσεις στη μηχανική ευρωστία που ωστόσο μπορούν να πραγματοποιηθούν. Οι διαφορές μεταξύ του αρχικού μηνύματος και του αποκωδικοποιημένου μηνύματος προέρχονται από την έλλειψη τέλειου συγχρονισμού μεταξύ του πομπού και του δέκτη, ειδικά, λόγω του θορύβου αυθόρμητης εκπομπής στα laser και των μη γραμμικών φαινόμενων στην ίνα που εμφανίζονται με μορφή γρήγορων διακυμάνσεων, γύρω από την κυματομορφή του μηνύματος. Η ανάπτυξη ενός χαοτικού πομπού δεν είναι εντελώς ανεξάρτητη από τα χαρακτηριστικά της εκάστοτε κωδικοποιημένης πληροφορίας. Οι απαιτήσεις ποικίλουν για διαφορετικούς ρυθμούς ή για διαφορετικά πλάτη πληροφορίας. Για να επιτευχθεί σωστή μετάδοση της πληροφορίας μέσω οπτικής ανάδρασης πρέπει η κρυπτογραφημένη πληροφορία να βρίσκεται εντός του χαοτικού φέροντος, να μην είναι φασματικά ευδιάκριτη και να χαρακτηρίζεται από μικρή τιμή BER []. 1

22 3. Οπτοηλεκτρονική ανάδραση Η δεύτερη μέθοδος παραγωγής χάους είναι η οπτοηλεκτρονική ανάδραση. Στην οπτοηλεκτρονική ανάδραση, το οπτικό πεδίο που παράγεται από το laser μετατρέπεται σε ηλεκτρικό με τη χρήση ενός γρήγορου φωτοανιχνευτή και κατόπιν εφαρμόζεται ως ηλεκτρική διαμόρφωση στο laser μέσω μιας μη γραμμικής συνάρτησης f[j F ] (εικόνα 9) [8]. Η ισχύς της ανάδρασης μπορεί εύκολα να ελεγχθεί με τη χρήση ηλεκτρικών ενισχυτών ή εξασθενητών. Εικόνα 9: Οπτοηλεκτρονική ανάδραση με ημιαγωγικό laser [8] Μια εναλλακτική πρόταση που έχει εμφανιστεί και υλοποιηθεί είναι η εφαρμογή της ηλεκτροοπτικής ανάδρασης σε έναν ηλεκτροοπτικό διαμορφωτή Mach-Zehnder (εικόνα 10) [8]. Η ανατροφοδότηση δεν πραγματοποιείται πλέον στο laser, αλλά στο διαμορφωτή Mach-Zehnder, ο οποίος λειτουργεί ως μη γραμμικό μέσο του συστήματος. Εικόνα 10: Ηλεκτρο-οπτική ανάδραση με Mach-Zehnder [8]

23 3.1 Οπτοηλεκτρονική ανάδραση με ημιαγωγικό laser Η οπτοηλεκτρονική ανάδραση πραγματοποιείται όταν ένα ημιαγωγικό laser υπόκειται σε ανάδραση μέσω ενός οπτοηλεκτρονικού βρόχου, ο οποίος οδηγεί την οπτική έξοδο του laser πίσω στο laser. Συγκεκριμένα, το οπτικό πεδίο που παράγεται από το ημιαγωγικό laser (SL) λαμβάνεται από το φωτοανιχνευτή (PD), ο οποίος το μετατρέπει σε ηλεκτρικό J T ( (εικόνα 11) [9]. Στη συνέχεια το ηλεκτρικό πεδίο μετατρέπεται μέσω μιας μη γραμμικής συνάρτησης σε ρεύμα J F (=f(j Τ (t-τ)), όπου τ είναι ο χρόνος καθυστέρησης. Τελικά, το ρεύμα (J F () προστίθεται στο εξωτερικό ρεύμα τροφοδοσίας J και τροφοδοτείται ξανά στο laser. Εικόνα 11:Χαοτικός πομπός laser που υπόκειται σε οπτοηλεκτρονική ανάδραση [9] Εξισώσεις ρυθμών Πιο συγκεκριμένα, σύμφωνα με την εικόνα 11 [9], το ημιαγωγικό laser τροφοδοτείται από ρεύμα J ο και παράγει μονότροπη ακτινοβολία οπτικής συχνότητας ω ο η οποία έχει μιγαδικό συντελεστή πλάτους ίσο με Α(. Η οπτική έξοδος του laser λαμβάνεται από το φωτοανιχνευτή ο οποίος παράγει ρεύμα J T ( ανάλογο με A (. Η μη γραμμική συνάρτηση της έντασης f(j T () στο βρόχο της ηλεκτρονικής ανάδρασης από το φωτοανιχνευτή πίσω στο ημιαγωγικό laser διαμορφώνει το ρεύμα ανάδρασης J F (= f(j T (t-τ)), όπου τ είναι ο χρόνος καθυστέρησης που σχετίζεται με το βρόχο της ηλεκτρονικής ανάδρασης. Οι δυναμικές εξισώσεις για Α( και N( είναι οι εξής [9]: 3

24 da( c A( i( ) A( dt (1 i ) g ( N, A ) A( F (3.1) dn( J dt J o o J qd F ( n s N( f (J( t ) n sn( qd g( N, A g( N, A ) A( ) A( (3.) H εξίσωση (3.1) εκφράζει το ρυθμό μεταβολή του μιγαδικού πλάτους του αργά μεταβαλλόμενου ηλεκτρικού πεδίου E(=A(e iφ(. Η μεταβλητή Α( είναι το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου και φ( η αργά μεταβαλλόμενη φάση. H εξίσωση (3.) υπολογίζει το ρυθμό μεταβολή της πυκνότητας των φορέων Ν( του ημιαγωγού. Το γ c είναι η συνολική απώλεια φωτονίων στη μονάδα του χρόνου. Η απώλεια των φωτονίων οφείλεται είτε σε εσωτερικές απώλειες του laser, είτε σε εξωτερικές απώλειες, όταν αυτό συζευγνύεται με άλλο laser. Η συνολική απώλεια των φωτονίων ισούται με 1/τ p, όπου τ p είναι ο χρόνος ζωής των φωτονίων. Το γ s είναι η συνολική αυθόρμητη απώλεια των φορέων και ισούται με 1/τ n, όπου τ n είναι ο χρόνος ζωής των φορέων. Η παράμετρος α είναι ο συντελεστής ενίσχυσης γραμμής. Κάθε laser εμφανίζει σταθερή τιμή του α, μόνο όμως, υπό συγκεκριμένες συνθήκες λειτουργίας. Θετική τιμή του α συνεπάγεται ότι ο δείκτης διάθλασης του μέσου ενίσχυσης μειώνεται, όταν η ενίσχυση αυξάνεται. Για ένα laser με τιμή α, η μη γραμμικότητα στην οπτική ενίσχυση οδηγεί σε μη γραμμικότητα στο δείκτη διάθλασης. Οποιαδήποτε μη γραμμικότητα της ενίσχυσης που επηρεάζει το πλάτος της έντασης του laser, επηρεάζει, επίσης, τη φάση και τη συχνότητα του laser. Η τιμή του α επηρεάζει τη δυναμική του laser στην οπτοηλεκτρονική ανάδραση, μόνο, όταν συμμετέχει κι η φάση στη δυναμική του laser. Το ω ο είναι η κυκλική συχνότητα εκπομπής του laser απουσία οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης, ω είναι η συχνότητα του laser, Γ είναι ο συντελεστής περιορισμού, τ είναι ο χρόνος καθυστέρησης στον οπτοηλεκτρονικό βρόχο, d είναι το πάχος του 4

25 ενεργού στρώματος του laser, n είναι ο δείκτης διάθλασης του ημιαγωγικού μέσου, q είναι το ηλεκτρικό φορτίο και F είναι η πηγή αυθόρμητης εκπομπής, δηλαδή του θορύβου. Όπου g(n(, A ( ) είναι ο συντελεστής οπτικής ενίσχυσης. Η απώλεια φωτονίων εξισορροπείται με αύξηση της πυκνότητας των φωτονίων, έτσι ώστε το laser να συνεχίζει να ταλαντώνεται. Η αύξηση της πυκνότητας των φωτονίων πραγματοποιείται μέσω της οπτικής ενίσχυσης του μέσου του laser. Αναλυτικότερα, όταν ένα laser ημιαγωγών λειτουργεί σε σταθερή κατάσταση, η ενίσχυση του και η πυκνότητα των φορέων του διατηρούν διαρκώς τις τιμές κατωφλίου g o και N o, αντίστοιχα, ενώ η πυκνότητα φωτονίων έχει μια σταθερή τιμή S o. Κάτω από οποιαδήποτε δυναμική διαταραχή, η ενίσχυση μπορεί να αποκλίνει από την τιμή κατωφλίου, λόγω των αποκλίσεων στις πυκνότητες των φορέων και των φωτονίων. Η εξάρτηση του συντελεστή ενίσχυσης από τις πυκνότητες των φωτονίων και των φορέων εκφράζεται ως εξής: g N, S) g g ( N N ) g ( S S ) (3.3) ( o n o p o όπου g n είναι ο συντελεστής διαφορικής ενίσχυσης που χαρακτηρίζει την εξάρτηση της ενίσχυσης από την πυκνότητα των φορέων και g p είναι ο συντελεστής μη γραμμικής ενίσχυσης που χαρακτηρίζει το φαινόμενο της συμπίεσης της ενίσχυσης, λόγω του κορεσμού της ενίσχυσης από φωτόνια. Και οι δύο τιμές των g n και g p παραμένουν σταθερές ακόμα και για μεγάλες μεταβολές της πυκνότητας των φορέων και της πυκνότητας των φωτονίων για ένα συγκεκριμένο laser. Με βάση το συντελεστή διαφορικής ενίσχυσης g n και το συντελεστή μη γραμμικής ενίσχυσης g p προσδιορίζονται ο διαφορικός ρυθμός ηρεμίας των φορέων γ n και ο μη γραμμικός ρυθμός ηρεμίας των φωτονίων γ p ως εξής: γ n = g n S o, γ p= -Γg p S o (3.4) Επειδή, τα g n και g p έχουν σταθερές τιμές, τα γ n και γ p μεταβάλλονται γραμμικά με την ισχύ του laser. Αγνοώντας το θόρυβο, η φάση του οπτικού πεδίου καθορίζεται από το Ν( και το A ( και επομένως δεν είναι μια ανεξάρτητη δυναμική μεταβλητή. Ως 5

26 αποτέλεσμα, οι χαοτικές ταλαντώσεις δεν μπορούν να εμφανιστούν χωρίς ανάδραση, επειδή το χάος δεν μπορεί να εμφανιστεί σε ένα σύστημα δύο κανονικών διαφορικών εξισώσεων. Η χρονική καθυστέρηση προσθέτει θεωρητικά άπειρο βαθμό ελευθερίας, αν και πρακτικά ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας εξαρτάται από το μέγεθος της χρονικής καθυστέρησης σε σύγκριση με τους ενδογενείς χαρακτηριστικούς χρόνους του laser. Η εξίσωση (3.1) είναι μια μιγαδική διαφορική εξίσωση, καθώς το Α είναι μια μιγαδική ποσότητα συναρτήσει της έντασης και της φάσης του ηλεκτρικού πεδίου. Ωστόσο, η δυναμική της οπτικής φάσης του συστήματος δεν μας ενδιαφέρει, καθώς αφαιρείται με τη χρήση του φωτοανιχνευτή στο οπτοηλεκτρονικό κύκλωμα. Επομένως, το πεδίο της φάσης μπορεί να απαλειφτεί από τις εξισώσεις ρυθμών μετατρέποντας τις εξισώσεις (3.1) και (3.) σε πραγματικές διαφορικές εξισώσεις συναρτήσει της πυκνότητας φωτονίων. Το πλάτος γράφεται ως εξής: A( i ( t ) I( e (3.5) και η πυκνότητα των φωτονίων είναι ίση με: o n S( I( (3.6) Αγνοώντας την αυθόρμητη εκπομπή, οι εξισώσεις ρυθμών (3.1) και (3.) διαμορφώνονται συναρτήσει του S( ως εξής: ds( cs( g( N(, S( ) S( dt (3.7) dn( Jo J F ( sn( g( N(, S( ) S( dt qd (3.8) Οι εξισώσεις ρυθμών (3.7), (3.8) μπορούν να μετατραπούν σε αδιάστατη μορφή έχοντας ως βάση τις αδιάστατες ποσότητες s(, n( και J, οι οποίες προσδιορίζονται ως εξής: S( So (1 s( ) (3.8) 6

27 N( No (1 n( ) (3.9) γ s Ν ο (J+J F ()=(J o +J F ()/qd - γ s Ν ο (3.10) Οι εξισώσεις ρυθμών για ένα ημιαγωγικό laser που υπόκειται σε οπτοηλεκτρονική ανάδραση παίρνουν τελικά, την παρακάτω μορφή: ds( c (1 s( ) g( n(, s( )(1 s( ) (3.11) dt dn( So s ( J J F ( ) sn( g( n(, s( ) (1 s( ) (3.1) dt N S o /N o =Jγ s /g o (3.13) o Η ενίσχυση μπορεί να γίνει αδιάστατη με βάση την αδιάστατη ποσότητα g =g/g o και μετατρέπεται στην παρακάτω σχέση: n p g( n, s) 1 n s (3.14) J s c Η συχνότητα ταλάντωσης ηρεμίας του laser είναι: f R c n s p (3.15) Με τη βοήθεια της συχνότητας ηρεμίας μπορεί να διαμορφωθεί ο αδιάστατος χρόνος, ο οποίος τελικά δίνεται από τη σχέση: τ tf R (3.16) Και τελικά οι εξισώσεις ρυθμών για ένα ημιαγωγικό laser που υπόκειται σε οπτοηλεκτρονική ανάδραση παίρνουν την παρακάτω μορφή: ds(τ ) 1 c ( g( n(τ ), s(τ )) 1)(1 s(τ )) (3.17) dτ f R 7

28 dn(τ ) dτ 1 f R ( J J (τ )) n(τ ) g( n(τ ), s(τ )) J (1 s(τ )) (3.18) S F s s Υπάρχουν δύο μορφές για τη συνάρτηση J F ( τ ) η οποία εισάγει μη γραμμικότητα στον οπτοηλεκτρονικό βρόχο. Η πρώτη μορφή εισάγει γραμμική ανάδραση: J F ( τ )=ξ(j+1)[s( τ -τ )+1] (3.19) τ = f R τ (3.0) όπου τ είναι ο χρόνος καθυστέρησης μέσα στον οπτοηλεκτρονικό βρόχο και τ είναι ο αδιάστατος χρόνος καθυστέρησης. Η δεύτερη μορφή προκύπτει από τη γραφική συνάρτηση της εικόνας 1 [9]. Εικόνα 1: Η γραφική συνάρτηση ως μη γραμμικό στοιχείο του ηλεκτροοπτικού βρόχου. Α=0.5, Β=0.5 [9] Η μορφή της είναι η εξής: 8

29 s( ) B, J F (τ)= s( ) B, A s 0 A B 0 s A B s (3.1) Αυτή η μορφή δίνει το ρεύμα μη γραμμικής ανάδρασης με τρεις παραμέτρους Α, Β, και ξ, όπου ξ είναι μια μιγαδική μεταβλητή (ξ=ξ 1 +iξ, με ξ 1, (0,1)), η οποία αναπαριστά την ισχύ της ανάδρασης. Στην εικόνα 1, η θετική παράμετρος ξ 1 αντιστοιχεί στην κλίση της συνάρτησης, η παράμετρος Α αντιστοιχεί στην ευθεία γραμμή και η παράμετρος Β αντιστοιχεί στην τιμή του ελάχιστου της συνάρτησης Συγχρονισμός Στην οπτοηλεκτρονική ανάδραση, ένα laser ημιαγωγών παρουσιάζει χαοτική δυναμική κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες. Η πληροφορία προς μετάδοση, κωδικοποιείται στη χαοτική κυματομορφή που παράγεται από ένα τέτοιο laser, το οποίο λειτουργεί ως πομπός. Το μήνυμα αποκωδικοποιείται στο τέλος της μετάδοσης, μέσω του συγχρονισμού της δυναμικής του laser που λειτουργεί ως δέκτης με τη χαοτική δυναμική του πομπού [10]. Η εικόνα 13 [10] απεικονίζει τη διαμόρφωση ενός μονοκατευθυντικού συστήματος σύζευξης, το οποίο αποτελείται από: τον πομπό (SL T ) που είναι ένα laser ημιαγωγών που υπόκειται σε οπτοηλεκτρονική ανάδραση με χρόνο καθυστέρησης τ T, το δέκτη (SL R ) που έχει το δικό του βρόχο ανάδρασης με χρόνο καθυστέρησης τ R, αλλά λαμβάνει το σήμα από τον πομπό μόλις συγχρονιστούν. Το σήμα διαδίδεται από τον πομπό στο δέκτη σε χρόνο διάδοσης τ c. 9

30 Εικόνα 13:Σχήμα συγχρονισμού ενός συστήματος laser που υπόκεινται σε οπτοηλεκτρονική ανάδραση [10] Το οπτικό πεδίο που παράγεται από το laser-πομπό SL T μετατρέπεται σε ηλεκτρικό με τη χρήση ενός γρήγορου φωτοανιχνευτή PD, στη συνέχεια ενισχύεται από έναν ενισχυτή Α και κατόπιν εφαρμόζεται ως ηλεκτρική διαμόρφωση στο laser, επιφέροντας καθυστερημένη θετική ανάδραση. Ο χρόνος καθυστέρησης μπορεί να μεταβληθεί, αλλάζοντας την απόσταση μεταξύ του laser και του φωτοανιχνευτή. Το laser-δέκτη SL R υπόκειται σε καθυστερημένη οπτοηλεκτρονική ανάδραση και παράγει τη δική του χαοτική κυματομορφή. Ένα μέρος της χαοτικής εξόδου του πομπού ανιχνεύεται, ενισχύεται και συζευγνύεται στο δέκτη, έτσι ώστε να επιτευχθεί συγχρονισμός. Ο συντελεστής σύζευξης c, που έχει τιμή στην περιοχή 0<c<1, καθορίζει το ποσοστό της συνολικής ανάδρασης στο δέκτη που προέρχεται από τον πομπό, ενώ ο παράγοντας 1-c αντιστοιχεί στο ποσοστό της ανάδρασης στο δέκτη που προέρχεται από το δέκτη. Όταν c=1, δεν υπάρχει σήμα ανάδρασης στο δέκτη και το σύστημα πομπού και δέκτη ονομάζεται σύστημα ανοιχτού βρόχου. Όταν c=0, ο δέκτης αποσυνδέεται από τον πομπό και παρουσιάζει τη δική του δυναμική από τη δική του ανάδραση. Όταν ο πομπός και ο δέκτης είναι παρόμοιοι, υπάρχει μια περιοχή στην οποία οι δυναμικές μεταβλητές των δύο συστημάτων είναι ίσες στο χρόνο κι επομένως αποτελούν λύση για το συζευγμένο σύστημα. Για να επιτευχθεί συγχρονισμός, οι παράμετροι των laser πρέπει να ταιριάζουν, δηλαδή τα laser πρέπει να έχουν κοντινά χαρακτηριστικά και να έχουν συντονιστεί στις συνθήκες λειτουργίας του συστήματος. 30

31 3.1.3 Μέθοδοι κρυπτογράφησης Τα πιο σημαντικά σχήματα κωδικοποίησης, όπως έχει αναφερθεί και στην ενότητα.3 είναι τα εξής: 1. η χαοτική απόκρυψη CMS (Chaos Masking),. η χαοτική μετατόπιση σταθμών CSK (Chaotic Shift-Keying), 3. η χαοτική διαμόρφωση-cm (Chaos Modulation). Η μέθοδος CM βασίζεται στο γεγονός ότι η πληροφορία m( συμμετέχει άμεσα στη δυναμική του χαοτικού πομπού. Πιο συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει ότι το m( εμφανίζεται μέσα στις εξισώσεις ρυθμών του χαοτικού πομπού. Μια κατηγορία της μεθόδου CM είναι η πρόσθετη χαοτική διαμόρφωση (ACM: Additive Chaos Modulation), σύμφωνα με την οποία το μήνυμα προστίθεται στις εξισώσεις ρυθμών του χαοτικού πομπού. Στην οπτο-ηλεκτρονική ανάδραση είναι πιθανό να χρησιμοποιείται, είτε κλειστός βρόχος δέκτη ή ανοιχτός βρόχος δέκτη. Η εικόνα 14 [10] δείχνει τη γενική σχηματική διαμόρφωση για ένα τέτοιο σύστημα χρησιμοποιώντας το σχήμα ACM. Το οπτικό πεδίο που παράγεται από το laser-πομπό SL T μετατρέπεται σε ηλεκτρικό με τη χρήση ενός γρήγορου φωτοανιχνευτή PD, στη συνέχεια ενισχύεται από έναν ενισχυτή Α και κατόπιν εφαρμόζεται ως ηλεκτρική διαμόρφωση στο laser, επιφέροντας καθυστερημένη θετική ανάδραση. Ο χρόνος καθυστέρησης μπορεί να μεταβληθεί, αλλάζοντας την απόσταση μεταξύ του laser και του φωτοανιχνευτή. Το σήμα που παράγει ο SL T είναι της μορφής S T. Ένα μέρος της χαοτικής εξόδου του πομπού ανιχνεύεται, ενισχύεται και συζευγνύεται στο δέκτη, έτσι ώστε να επιτευχθεί συγχρονισμός. Το laser-δέκτη SL R υπόκειται σε καθυστερημένη οπτοηλεκτρονική ανάδραση. Το σήμα που παράγεται από τον SL R είναι της μορφής S R. Ο δέκτης είναι κλειστού βρόχου, όταν 0<c<1 και ανοιχτού βρόχου, όταν c=1. Στην ACM διαμόρφωση, ο διαχωριστής ακτίνας, BS, που δέχεται το μήνυμα m στο σύστημα και διαιρεί την έξοδο του πομπού σε ακτίνες ανάδρασης και μετάδοσης έχει αναλογία ανάκλασης R προς μετάδοση T, R/T=α/(1-α). 31

32 Εικόνα 14:Σχηματική διαμόρφωση για ένα χαοτικό σύστημα με ACM σχήμα κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης [10] Για να διατηρηθεί η μαθηματική συμμετρία στις εξισώσεις ρυθμών του πομπού και του δέκτη για προσδοκώμενο συγχρονισμό, ο συντελεστής α που καθορίζει αυτήν την αναλογία δεν μπορεί να επιλεχθεί αυθαίρετα, αλλά καθορίζεται από την τιμή του συντελεστή σύζευξης c που επιλέγεται για το δέκτη. Αυτή η συμμετρία 1 a διατηρείται για a κι έτσι c 1. 1 c a Για ανοιχτό βρόχο με c=1 ισχύει α=1/ και χρησιμοποιείται ένας 50/50 διαχωριστής ακτίνας για να διαχωρίσει την ακτίνα του πομπού και το μήνυμα εισόδου εξίσου στα δύο μονοπάτια. Για έναν κλειστό βρόχο με c<1 βρίσκουμε ότι α>1/ κι άρα η έξοδος του πομπού και το μήνυμα εισόδου διαιρούνται άνισα στα δύο μονοπάτια. Με ένα δέκτη κλειστού βρόχου, ο χρόνος καθυστέρησης για το βρόχο δέκτη τ R πρέπει να ταυτίζεται με αυτό του βρόχου του πομπού τ Τ. Ακόμα και με το c μεγάλο στο 0.8, η ποιότητα συγχρονισμού πέφτει γρήγορα όταν οι δύο χρόνοι δεν ταυτίζονται και με μικρό ποσοστό σφάλματος μεταξύ των δύο χρονικών καθυστερήσεων. Αυτό το ζήτημα δεν υφίσταται σε ένα δέκτη ανοιχτού βρόχου. Έτσι μπορεί να αποτραπεί ένας ωτακουστής και η ασφάλεια του συστήματος αυξάνεται με μια απλή στρατηγική: Αρχικά, η ανάκλαση του διαχωριστή δέσμης BS στο βρόχο του πομπού επιλέγεται να είναι μεγαλύτερη από 50%, έτσι ώστε ο συντελεστής α να έχει τιμή 3

33 μεγαλύτερη από 1/. Με αυτόν τον τρόπο, η ανάκτηση του μηνύματος μέσω του προσδοκώμενου συγχρονισμού είναι πιθανή, μόνο όταν επιλέγεται προσεχτικά ένας δέκτης κλειστού βρόχου με μια ακριβώς προσδιορισμένη τιμή για το συντελεστή σύζευξης c και χρόνο καθυστερημένης ανάδρασης που να ταιριάζει με αυτό του βρόχου του πομπού. Ο ισόχρονος συγχρονισμός συμβαίνει πειραματικά, μόνο για c>0.4, ενώ η σταθερότητα και η αύξηση της ποιότητας του συγχρονισμού αυξάνουν για αυξανόμενη τιμή του c. Για αυτό, όταν εφαρμόζεται αυτή η στρατηγική, επιλέγεται μια τιμή του α ελαφρώς μεγαλύτερη του 1/, έτσι ώστε η ανταποκρινόμενη τιμή για το c να είναι αρκετά μεγάλη, αλλά παρόλα αυτά μικρότερη από 1, για να διασφαλιστεί καλός συγχρονισμός και ποιότητα στην ανάκτηση του μηνύματος με λίγα λάθη. Ο ανοιχτός βρόχος με c=1 έχει υψηλό συγχρονισμό και ποιότητα. Για αυτό, όταν όλες οι άλλες συνθήκες λειτουργίας παραμένουν σταθερές και εφαρμόζεται το σχήμα ACM, το χαοτικό σύστημα με δέκτη ανοιχτού βρόχου έχει καλύτερη απόδοση με χαμηλότερο ρυθμό σφαλμάτων (BER) συγκρινόμενο με αυτό του κλειστού βρόχου. Συμπερασματικά, λοιπόν, θα πρέπει να επιλέγεται το σύστημα δέκτη ανοιχτού βρόχου αντί του κλειστού, αν η πρόσθετη ασφάλεια δεν απαιτείται. Γενικά, σε ένα χαοτικό σύστημα που χρησιμοποιεί ημιαγωγικά lasers με οπτοηλεκτρονική ανάδραση, η μετάδοση μεταξύ του πομπού και του δέκτη μπορεί να είναι οπτική, ηλεκτρική ή ασύρματη ανάλογα με τον εξοπλισμό του συστήματος. Για ένα τέτοιο σύστημα είναι εφικτή η χαοτική επικοινωνία στα.5gb/s με αξιόπιστη ανάκτηση του μηνύματος Σύστημα οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης με κρυπτογράφηση πληροφορίας Στη διαμόρφωση της εικόνας 15 [7] απεικονίζεται ένα σύστημα προσδοκώμενου συγχρονισμού, στο οποίο η χαοτική κυματομορφή παράγεται με οπτοηλεκτρονική ανάδραση. Στο σύστημα παρατίθενται και συγκρίνονται τα τρία συστήματα κρυπτογράφησης πληροφορίας (CSK, CMS, ACM). Το σύστημα αποτελείται από το laser-πομπό (SL T ) και από το laser-δέκτη (SL R ), ενώ το μήνυμα που κωδικοποιείται με τα τρία σχήματα κρυπτογράφησης είναι της μορφής m(. Στις εξισώσεις, το μήνυμα έχει ως δείκτη (για παράδειγμα m ACM ) το σχήμα που χρησιμοποιείται κάθε φορά. Όταν χρησιμοποιείται ένα συγκεκριμένο σχήμα, ο δείκτης του μηνύματος για τα άλλα δύο σχήματα είναι μηδενικός και το μήνυμα δεν 33

34 λαμβάνεται υπόψη. Οι εκθέτες Τ και R υποδηλώνουν ποσότητες του πομπού και του δέκτη, αντίστοιχα. Εικόνα 15: Σύστημα οπτοηλεκτρονικής ανάδρασης [7] Ο πομπός μοντελοποιείται με τις ακόλουθες εξισώσεις σύζευξης με όρους της πυκνότητας των φωτονίων S Τ και της πυκνότητας φορέων Ν Τ του πομπού[7]: ds dt dn dt T T T T S gs F (3.) c J [1 m qd t CSK ( t )] [1 T y ( t )] s gs T (3.3) T T T y ( d f ( t )[ S ( ) m ( )] / S (3.4) Όπου, η είναι το ποσοστό έγχυσης από τον πομπό στο δέκτη και ξ είναι το ποσοστό έγχυσης του σήματος εξόδου του πομπού πίσω στον οπτοηλεκτρονικό βρόχο. Ο δέκτης SL R οδηγείται από το μεταδιδόμενο σήμα s( και περιγράφεται από τις εξισώσεις με όρους της πυκνότητας των φωτονίων S R και της πυκνότητας φορέων Ν R του δέκτη [17]: ACM o ds dt dn dt R R R R S gs F (3.5) J qd c T R R [ 1 y ( t c )] s gs (3.6) t R R y ( d f ( t ) s( ) / S (3.7) o Το μεταδιδόμενο σήμα έχει τη μορφή s(=s T (+m( για τα σχήματα ACM και CMS, και τη μορφή s(=s T ( για το CSK σχήμα. Το μήνυμα στο τελευταίο σχήμα έχει κωδικοποιηθεί μέσα στη χαοτική κυματομορφή του πομπού. 34

35 Συγκρίνοντας τις παραπάνω διαφορικές εξισώσεις παρατηρείται ότι ο πομπός και ο δέκτης μπορούν να γίνουν μαθηματικά ταυτόσημοι με την παρουσία μηνύματος, μόνο όταν εφαρμόζεται το ACM σχήμα και οι παράμετροι τους ταιριάζουν, όπως και στην περίπτωση της οπτικής ανάδρασης. Η απόδοση του ACM στην οπτοηλεκτρονική ανάδραση εξακολουθεί να είναι η καλύτερη ανάμεσα στα τρία σχήματα κρυπτογράφησης, επειδή το μήνυμα που κωδικοποιείται με αυτό το σχήμα δεν επηρεάζει τη μαθηματική συμμετρία πομπού και δέκτη. 3. Οπτοηλεκτρονική ανάδραση με διαμορφωτή Mach-Zehnder Ο πιο ορθός τρόπος για τη διαμόρφωση ηλεκτρο-οπτικά μιας οπτικής συμβολής είναι με την επιλογή ενός στοιχείου, ευρέως γνωστού στις οπτικές επικοινωνίες, του συμβολόμετρου Mach-Zehnder [11]. Αυτή η συσκευή λειτουργεί μη γραμμικά, αφού η εφαρμοζόμενη τάση τυπικά κωδικοποιεί τα bits 0 και 1 μέσω της εναλλαγής καταστροφικής και ενισχυτικής συμβολής. Η τάση πόλωσης του συμβολόμετρου είναι V b, ωστόσο το συμβολόμετρο λειτουργεί με χαμηλή τάση V π, δηλαδή μερικά Volts για τα ολοκληρωμένα οπτικά στοιχεία. Η λειτουργία του σε μεγαλύτερη τάση οδηγεί σε υψηλότερη μη γραμμικότητα κι επομένως σε υψηλής πολυπλοκότητας δυναμική για το χρονικά καθυστερημένο σύστημα. Στην εικόνα 16 [1] απεικονίζεται η διάταξη παραγωγής χάους για την κωδικοποίηση-αποκωδικοποίηση οπτικής πληροφορίας υψίρρυθμων συστημάτων με τη χρήση συμβολόμετρου Mach-Zehnder. Η καινοτομία αυτής της διάταξης σε σχέση με προηγούμενες προσπάθειες είναι ότι το μήνυμα προστίθεται οπτικά στο χαοτικό φέρον στην έξοδο του συμβολόμετρου. Το μήνυμα m( κωδικοποιείται μέσα στο χάος που παράγεται στον πομπό. Το κωδικοποιημένο σήμα μεταδίδεται στο δέκτη, ο οποίος το αποκωδικοποιεί. 35

36 Εικόνα 16: Χαοτική κρυπτογράφηση με ηλεκτρο-οπτικό διαμορφωτή Mach-Zehnder (ΕΟΜ) [13] Ο πομπός μοντελοποιείται από ένα laser (SL Τ ) που οδηγείται ηλεκτρικά από ένα βρόχο ανάδρασης και λειτουργεί γραμμικά. Ο εκθέτης Τ υποδηλώνει ότι πρόκειται για στοιχεία του πομπού. Η ένταση I( του SL Τ διαμορφώνεται γύρω από μια μέση τιμή έντασης I o μέσω της τάσης διαμόρφωσης s(: I(=I o +i(, όπου i( Τ =α Τ s( είναι η οπτική διακύμανση της έντασης και α Τ =di/ds είναι η εφαπτομένη της καμπύλης της έντασης με την τάση του SL Τ. Ο βρόχος ανάδρασης μοντελοποιείται από ένα φωτοανιχνευτή PD Τ 1, έναν ενισχυτή (ενίσχυση τάσης g Τ 1 ), τον ηλεκτροοπτικό διαμορφωτή Mach-Zehnder (ΕΟΜ Τ ) ο οποίος τροφοδοτείται από την CW (Continuous Wave) πηγή S Τ (ισχύς P), μια γραμμή καθυστέρησης με χρόνο τ Τ και ένα φωτοανιχνευτή PD Τ (ενίσχυση τάσης g Τ ). Η έξοδος του ΕΟΜ Τ σε ένταση είναι μια μη γραμμική συνάρτηση F(x)=cos (x+φ), όπου η κανονικοποιημένη μεταβλητή x=πv/v π αντιστοιχεί στην ηλεκτροοπτική διαφορά του οπτικού μονοπατιού και Φ= πv b /V π είναι μια αρχική τιμή μετατόπισης της φάσης που καθορίζεται από την τάση πόλωσης του διαμορφωτή V b. Το BPF Τ (Bandpass Filter) λειτουργεί ως ένα διαπερατό φίλτρο ζώνης με εύρος ζώνης Δf=f 1 -f με μια υψηλή και με μία χαμηλή συχνότητα αποκοπής f 1 και f, με 36

37 χρονικές σταθερές τ Τ 1 =1/πf 1 και τ Τ =1/πf, αντίστοιχα. Το μήνυμα m( εγχέεται στο βρόχο ανάδρασης με τέτοιο τρόπο, ώστε η τάση διαμόρφωσης s( να είναι το άθροισμα του m( με το χαοτικό σήμα c( που προέρχεται από την έξοδο του BPF Τ : s(=m(+c(, με m(<<c(. Η σχέση της τάσης εισόδου ν( και της τάσης εξόδου c( του BPF είναι [13]: T 1 T d 1 v( 1 c( c t T 1 ( ) T c ( t ) dt dt (3.8) Το c( είναι επίσης κι η τάση εξόδου του φωτοανιχνευτή PD Τ και σχετίζεται με την ένταση του PD Τ ως εξής: όπου x(t - τ) g1i(t - τ)/v T T T c( g P F[x(t - τ )] (3.9) π Από τις παραπάνω εξισώσεις (3.8) και (3.9) προκύπτει ότι οι χαοτικές διακυμάνσεις στην ένταση του SL εκφράζονται από την παρακάτω κανονικοποιημένη μορφή: T d 1 T T x( x( x( dt F[ x( t )] h( T (3.30) dt Όπου x( είναι κανονικοποιημένη μεταβλητή που σχετίζεται με το i( Τ, x(=πg Τ 1 i( Τ /V π, β Τ λ =πρ Τ αg Τ 1 g Τ τ Τ /V π (τ Τ 1 +τ Τ ) είναι η κανονικοποιημένη παράμετρος δικρανισμού, μ Τ =τ Τ 1 τ Τ /(τ Τ 1 +τ Τ ) και θ=τ Τ 1 +τ Τ. Το μήνυμα m( ενσωματώνεται στο x( μέσω της συνάρτησης h(: T T d 1 h( ag1 m( m( m( dt T V dt (3.31) Παρατηρείται πως υψηλή τιμή των ενισχύσεων συνεπάγεται υψηλή τιμή της παραμέτρου δικρανισμού β λ αποφέροντας χαοτική λύση. Ο δέκτης μοντελοποιείται με ακριβώς τα ίδια στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν στον πομπό, εκτός από το γεγονός ότι ο βρόχος της ανάδρασης είναι ανοιχτός. Ο 37

38 εκθέτης R στα στοιχεία υποδηλώνει ότι είναι στοιχεία του δέκτη. Ο φωτοανιχνευτής PD R 1 τροφοδοτείται από την έξοδο του πομπού Δi( (Δ είναι ο παράγοντας εξασθένησης λόγω των απωλειών της ίνας κατά τη μετάδοση από τον πομπό στο δέκτη) και λειτουργεί με ενίσχυση g R 1, τέτοια ώστε Δg R 1 = g Τ 1, αποφέροντας σήμα V R (=g T 1 i( το οποίο τροφοδοτεί την είσοδο του διαμορφωτή ΕΟΜ R. Η έξοδος του διαμορφωτή έχει χρόνο καθυστέρησης τ T =τ R και ανιχνεύεται R από τον φωτοανιχνευτή PD αποφέροντας τάση στην είσοδο του R R R g P F[x(t - τ )] με Ρ T =Ρ R. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με αυτήν του πομπού, διαπιστώνεται ότι το laser SL R στο δέκτη εμφανίζει χαοτικές διακυμάνσεις στην ένταση i R ( οι οποίες ακολουθούν την εξίσωση: R d 1 R R y( y( y( dt F[ x( t )] R (3.3) dt Όπου y(=πδg R 1 i( R /V π, β R λ =πδρ R α R g R 1 g R /V π, μ R =τ R 1 τ R /(τ R 1 +τ R )=μ Τ και θ R =τ R 1 +τ R =θ. Θεωρώντας ότι β R λ =β Τ λ, η εξίσωση (3.3) του δέκτη έχει την ίδια μορφή με την εξίσωση (3.30) του πομπού όταν δεν κωδικοποιείται μήνυμα, δηλαδή m=0. Η λειτουργία του δέκτη σε αυτήν την περίπτωση είναι μόνο να δεχθεί το χάος του πομπού. Στη συνέχεια, το αντιγράφει, οδηγώντας το σύστημα σε συγχρονισμό (x(-y(=0). Σε αντίθεση, όταν κωδικοποιείται μήνυμα (m 0) ο χαοτικός συγχρονισμός χάνεται, αφού x(-y(=m(. Για αυτό το μήνυμα μπορεί να ανακτηθεί με την αφαίρεση της έντασης του δέκτη i R ( από την ένταση του πομπού i T (. Η αφαίρεση πραγματοποιείται ηλεκτρικά στην έξοδο του δέκτη. 3.3 Οπτοηλεκτρονικός γεννήτορας χαοτικού μήκους κύματος Όταν μια σταθερή εξωτερική διαταραχή εφαρμόζεται σε ένα ημιαγωγικό laser, επιφέρει επιπρόσθετους βαθμούς ελευθερίας και κατ επέκταση αύξηση της δυναμικής διάστασης του laser η οποία συνεπάγεται χαοτική συμπεριφορά του laser. Η χαοτική συμπεριφορά που προκύπτει εμφανίζεται είτε στο πλάτος (ένταση) είτε στη συχνότητα (μήκος κύματος). 38

39 Η προσέγγιση στην οποία το χάος εμφανίζεται στο μήκος κύματος παρουσιάζει υψηλή ακρίβεια και υψηλή αξιοπιστία στον έλεγχο του χάους κι επομένως στη διαδικασία κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης του μηνύματος. Ο γεννήτορας μιας δέσμης χαοτικού μήκους κύματος για την κρυπτογράφηση πληροφορίας απεικονίζεται στην εικόνα 17 [14]. Αποτελείται από ένα ηλεκτρικά συντονισμένο DBR laser με βρόχο ανάδρασης μέσω μιας γραμμής καθυστέρησης και από ένα μη γραμμικό στοιχείο το οποίο έχει την ιδιαιτερότητα να παρουσιάζει τη μη γραμμικότητα του στο μήκος κύματος. Κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, αποδεικνύεται ότι το μήκος κύματος που παράγεται από το laser κυμαίνεται χαοτικά γύρω από ένα κεντρικό μήκος κύματος λ ο. Εικόνα 17: Χαοτικός γεννήτορας που λειτουργεί ως πομπός [14] Αναλυτικότερα, ο χαοτικός ταλαντωτής της εικόνας 17 [14] αποτελείται από ένα συντονισμένο laser του οποίου το κεντρικό μήκος κύματος τίθεται στο λ ο μέσω ενός dc ρεύματος τροφοδοσίας Ι. Το μήκος κύματος μπορεί να συντονίζεται γύρω από το λ ο με τη βοήθεια του ρεύματος i, το οποίο παράγεται με υπέρθεση του στο ρεύμα τροφοδοσίας Ι. Στη συνέχεια, το μήκος κύματος λ που εκπέμπεται είναι ανάλογο με το i: λ=λ ο +Δλ με Δλ=Si, όπου S είναι ο ρυθμός συντονισμού του laser. Η οπτική ισχύς P o είναι ανεξάρτητη από το μήκος κύματος και ρυθμίζεται μέσω ενός ρεύματος έγχυσης Ι 1. Στη συνέχεια το μήκος κύματος που εκπέμπεται κατευθύνεται στο μη γραμμικό στοιχείο, το οποίο διαμορφώνεται, ουσιαστικά, μέσω μιας διπλοδιαθλαστικής επιφάνειας ΒΡ (Birefringent Plate) μεταξύ δύο διασταυρούμενων πολωτών Ρ 1 και 39

40 Ρ. Η διπλοδιαθλαστική επιφάνεια αποτελείται από ένα υλικό το οποίο έχει δύο δείκτες διάθλασης. Το μη πολωμένο φως που διαδίδεται μέσω του υλικού της διπλοδιαθλαστικής επιφάνειας χωρίζεται σε δύο ορθογώνιες δέσμες φωτός, οι οποίες ονομάζονται κανονική (ordinary) και έκτακτη (extraordinary), με ταχύτητες v και v// και δείκτες διάθλασης n o και n e, αντίστοιχα. Η διαφορά του οπτικού μονοπατιού (OPD: Optical Path Difference) D του ΒΡ ισούται με D=(n e -n o )l, με το l να είναι το μήκος της διπλοδιαθλαστικής επιφάνειας. Το φάσμα της πυκνότητας του φωτός στην έξοδο του Ρ είναι μια μη γραμμική (NL: Nonlinear) συνάρτηση F NL μήκους κύματος λ, που εκφράζεται ως [14]: F NL D sin (3.33) Ο φωτοανιχνευτής PD, που έπεται της διπλοδιαθλαστικής επιφάνειας, μετατρέπει γραμμικά την οπτική ισχύ σε ρεύμα με συντελεστή μετατροπής Κ. Στη συνέχεια εισάγεται μια γραμμή καθυστέρησης με στόχο να παράγει χρόνο καθυστέρησης τ μεγαλύτερο από το χρόνο απόκρισης μ του βρόχου. Το μήκος κύματος του συστήματος που παράγεται στην έξοδο καθορίζεται από τη διαφορική εξίσωση [14]: d D ( t ) ( sin ( t ) (3.34) dt Με β λ =ΚΡ ο S και Φ ο =πd/λ ο, όπου λ( είναι η απόκλιση του μήκους κύματος από το κεντρικό μήκος κύματος λ ο, β λ είναι η παράμετρος δικρανισμού σε μονάδες λ, D είναι η διαφορά του οπτικού μονοπατιού της διπλοδιαθλαστικής επιφάνειας, λ ο είναι το κεντρικό μήκος κύματος του laser, μ είναι η χρονική σταθερά του βρόχου ανάδρασης, Κ είναι ο συντελεστής μετατροπής, Ρ ο είναι η οπτική ισχύς του laser και S είναι ο ρυθμός συντονισμού του laser. 40

41 3.3.1 Μέθοδος κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης Η μέθοδος κρυπτογράφησης υπερθέτει ηλεκτρικά το σήμα πληροφορίας στο χαοτικό σήμα που διαδίδεται μέσα στο βρόχο ανάδρασης (εικόνα 17). Ουσιαστικά, η πληροφορία εγχέεται μέσα στο βρόχο του χαοτικού ταλαντωτή και συμμετέχει άμεσα στη χαοτική δυναμική της εξίσωσης (3.33). Έστω m( το σήμα που πρέπει να κρυπτογραφηθεί και β λ είναι η παράμετρος δικρανισμού του γεννήτορα της εικόνας 17, ο οποίος λειτουργεί στη χαοτική περιοχή. Η κρυπτογράφηση του m( στο χαοτικό φέρον πραγματοποιείται υπερθέτοντας ηλεκτρικά το m( στο ρεύμα έγχυσης i( το οποίο παράγεται από το βρόχο ανάδρασης. Το μήκος κύματος λ e ( που εκπέμπεται είναι χαοτικό και εκφράζεται ως: i ( m( ( ( ) ( S t (3.35) e c s Δηλαδή, το μήκος κύματος που εκπέμπεται είναι το άθροισμα του χαοτικού μήκους κύματος ( και του μήκους κύματος στο οποίο έχει κρυπτογραφηθεί το σήμα πληροφορίας (. c s Το χαοτικό μέρος ( του μεταδιδόμενου μήκους κύματος απορρέει από το c ρεύμα ανάδρασης i( κι ακολουθεί τη δυναμική εξίσωση: di D i( ( sin ( ) e t (3.36) dt S Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση, όπου i(=λ c (/S, η εξίσωση μετατρέπεται σε: d c D c ( ( sin ( t ) ( t ) c s (3.37) dt Το στοιχείο κλειδί είναι ότι το πλάτος του μηνύματος είναι πολύ πιο μικρό από τις διακυμάνσεις του χάους. Για να επιτευχθεί η διαδικασία της αποκωδικοποίησης, ο γεννήτορας χαοτικού σήματος του δέκτη πρέπει να αναγνωρίσει τις πιθανές 41

42 χαοτικές τροχιές του πομπού. Για αυτό το λόγο, ο γεννήτορας του χάους στο δέκτη πρέπει να είναι ταυτόσημος με αυτόν του πομπού και πρέπει να λειτουργεί σε αρχικές συνθήκες παρόμοιες με αυτές του πομπού. Στη συνέχεια, ο δέκτης πρέπει να παράγει χάος στο μήκος κύματος το οποίο συγχρονίζεται με το χάος που παράγει ο πομπός. Ωστόσο, καθώς ο δέκτης είναι ένας ανεξάρτητος γεννήτορας χάους, ο συγχρονισμός χάνεται γρήγορα εξαιτίας των παρακάτω λόγων: 1. οι αρχικές συνθήκες δεν μπορούν να είναι ακριβώς ίδιες μεταξύ του πομπού και του δέκτη (για παράδειγμα, εξαιτίας του καναλικού θορύβου),. οι συσκευές που διαμορφώνουν το χαοτικό γεννήτορα στο δέκτη δεν μπορούν να αντιγράψουν τέλεια τις συσκευές που διαμορφώνουν το χαοτικό γεννήτορα στον πομπό για τεχνολογικούς λόγους. Η αρχή της λειτουργίας του συστήματος κωδικοποίησης-αποκωδικοποίησης απεικονίζεται στην εικόνα 18 [14]. Εικόνα 18: Αρχή λειτουργίας συστήματος κρυπτογράφησης [14] 4