HMY012 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων

Transcript

1 HMY01 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων Υπεύθυνος ιδασκαλίας: ρ Ν. Πολυδωρίδης. ιαλέξεις: Τρίτη και Παρασκευή 3:00 4:30 µµ στο ΧΩ Ιστοσελίδα µαθήµατος: Σύστηµα Αξιολόγησης 1. Τελική γραπτή εξέταση: 50% ίωρη εξέταση στο τέλος του εξαµήνου.. Ενδιάµεση Εξέταση: 30% Γραπτή άσκηση το Σεπτέµβρη. Ωριαία γραπτή εξέταση τον Οκτώβρη. Γραπτή άσκηση το Νοέµβρη. 3. Γραπτές ασκήσεις κατανόησης: 0% Για τυχών απορίες και περισσότερη βοήθεια επισκέπτεστε 1. Βιβλιοθήκη Πανεπιστηµίου Κύπρου,. ρ Ν. Πολυδωρίδη στο γραφείο 40, Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Green Park, ευτέρα :30 3:30 µµ, Βοηθήµατα: Nilsson J. W., Riedel S. A., Electric Circuits, (Prentice-Hall, 000, ISBN ), Dorf R. C., Introduction to Electric Circuits, (Wiley, 1993, ISBN ), Σηµειώσεις που θα βρίσκονται στην ιστοσελίδα του µαθήµατος, Τα υπόλοιπα βιβλία της βιβλιοθήκης µε τίτλο Electric Circuit Analysis, To Internet 1

2 Στόχοι του µαθήµατος Περιγραφή της σηµασίας της ηλεκτρολογίας και ειδικότερα της θεωρίας κυκλωµάτων στη σύγχρονη τεχνολογία. Κατανόηση των βασικών αρχών των ηλεκτρικών κυκλωµάτων συνεχούς και εναλλασσόµενης τάσης. Εισαγωγή των µεθόδων ανάλυσης των ηλεκτρονικών κυκλωµάτων. Εισαγωγή στην ανάλυση για τα ηµιτονοειδή κυκλώµατα RLC. ιδακτέα ύλη του µαθήµατος ΜΕΡΟΣ Α: Βασικές αρχές της Ηλεκτρολογίας 1 Ορισµοί ηλεκτρικών στοιχείων και µονάδες µετρήσεως. Παραγωγή ηλεκτρικού ρεύµατος. 3 Ιδανικές και πρακτικές πηγές τάσης και έντασης. 4 Όργανα µετρήσεως ηλεκτρικής τάσης και έντασης. 5 Αντίσταση και πυκνωτής σε κυκλώµατα συνεχούς τάσης. 6 Νόµος του Ohm. 7 Συνδεσµολογία αντιστάσεων και πυκνωτών. 8 Νόµοι του Kirchhoff. 9 ιαιρέτης τάσεως και εντάσεως και γέφυρα Wheatstone. 10 Νόµος της επαγωγής και αυτεπαγωγή. Γραπτή άσκηση 1 ΜΕΡΟΣ Β: Ανάλυση δικτύων και κόµβων 1 Ανάλυση δικτύων για κυκλώµατα µε πηγές τάσης και αντιστάσεις. Κοµβική ανάλυση για κυκλώµατα µε πηγές έντασης και αντιστάσεις. 3 Ανάλυση κυκλωµάτων µε πηγές τάσης, έντασης και αντιστάσεις σε διάφορες συνδεσµολογίες. 4 Θεώρηµα του Thevenin. 5 Μετατροπή πηγών. 6 Θεώρηµα του Norton. Γραπτή άσκηση Ενδιάµεση γραπτή εξέταση

3 ΜΕΡΟΣ Γ: Κυκλώµατα Εναλλασσόµενης τάσης. 1 Χρονικά αρµονικές πηγές τάσης. Πυκνωτές και πηνία σε AC (alternating current) κυκλώµατα. 3 Ηλεκτρική εµπέδηση και αγωγιµότητα. 4 Ηµιτονοειδή διέγερση RL και RC κυκλωµάτων. 5 Ανάλυση AC κυκλωµάτων στον τοµέα συχνοτήτων. 6 Ανάλυση κυκλωµάτων RC και RL χωρίς πηγές. 7 Κυκλώµατα RLC και συντονισµός. Τελική γραπτή εξέταση Που θα σας χρησιµεύσει το µάθηµα αυτό; Το µάθηµα αυτό θα σας δώσει τα απαραίτητα εφόδια έτσι ώστε στο µέλλον να µπορείτε από µόνοι σας να διαβάσετε βιβλία και συγγράµµατα ηλεκτρικής µηχανικής και να τα αφοµοιώσετε. Εάν και βασικές, οι γνώσεις αυτές θα αποτελέσουν την πλατφόρµα εισαγωγής στην ηλεκτρολογία και τις συναφής θετικές επιστήµες αφού πλέων τα πραγµατικά προβλήµατα αιχµής και οι τοµείς ερευνητικής δραστηριότητας (νανοτεχνολογία, βιο-ιατρική, εναλλακτικές πηγές ενέργειας, κτλ) είναι σχεδόν ανεξαιρέτως προβλήµατα που εµπλέκουν διάφορους πολυτεχνικούς κλάδους καθώς και αυτούς των θετικών επιστηµών. Το µάθηµα είναι σχεδιασµένο µε τρόπο που να αναδεικνύει τα κοινά σηµεία στις θεµελιώδης αρχές των κλάδων της ηλεκτρολογίας και µηχανολογίας. Μεθοδολογία του µαθήµατος Στόχος κάθε άσκησης είναι η κατανόηση του κυκλώµατος και η έκφραση του µε την βοήθεια µιας µαθηµατικής εξίσωσης: ενός αριθµητικού µοντέλου το οποίο συναρτά κάποια δεδοµένα (input) π.χ. πηγές, µαζί µε κάποια αποτελέσµατα (output) π.χ. τάση, ένταση, ισχύ, σύµφωνα µε τα στοιχεία του κυκλώµατος, π.χ. αντιστάσεις, πυκνωτές, πηνία. Από την µαθηµατική εξίσωση αυτή µπορούµε να διεξάγουµε συµπεράσµατα για το κύκλωµα ή ακόµα και να το απλοποιήσουµε έτσι όπως κάθε αλγεβρική εξίσωση. 3

4 Η θεωρία κυκλωµάτων είναι µια ειδική περίπτωση της θεωρίας ηλεκτροµαγνητικών πεδίων, η οποία θα καλυφθεί αργότερα στη σειρά µαθηµάτων σας. Σε γενικές γραµµές οι ηλεκτροµαγνητικές εξισώσεις του Maxwell µπορούν να αποδοθούν σε δύο µορφές. Την ηλεκτρο-µαγνητοστατική ή ΗΜ θεωρεία µικρών συχνοτήτων και τη µορφή ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων. Σε αυτό το µάθηµα θα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε την πρώτη κατηγορία, όπου στα πεδία παρατηρείται το φαινόµενο της διάχυσης αντί της κυµατικής διάδοσης που ισχύει στη δεύτερη, µέσα στους αγωγούς. 4

5 Εισαγωγικές έννοιες Τι ορίζουµε ηλεκτρικό κύκλωµα; Συνδεσµολογία ηλεκτρικών στοιχείων στην οποία υπάρχει κίνηση ηλεκτρικού φορτίου (ενεργό κύκλωµα). Παραδείγµατα : Άλλα είδη κυκλωµάτων είναι τα τηλεπικοινωνιακά κυκλώµατα, µε καλώδια ή χωρίς (wireless), υδραυλικά κυκλώµατα ύδρευσης και άρδευσης, κτλ. Παραγωγή, µεταφορά και κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας: Ίσως το πιο ευαίσθητο, πάντα επίκαιρο θέµα της διεθνούς πολιτικής και οικονοµικής σκηνής. Καθορίζει το βιοτικό και πνευµατικό επίπεδο των χωρών, την υγεία, την ασφάλεια, την οικονοµία και τις διεθνής ισορροπίες. [Καύσιµα αργό πετρέλαιο] [Αιολική ενέργεια] [Χηµικές αντιδράσεις ηλεκτρόλυσης] [Πυρηνική ενέργεια] [Ηλιακή ενέργεια] [Φωτοβολταϊκά] [Φυσικό αέριο] [Μικρο-κυψελίδες (fuel cells)] Ηλεκτρική Ενέργεια [Μηχανικός εξοπλισµός εργοστασίων] [Θέρµανση] [Φωτισµός] [Ηλεκτρικές και ηλεκτρονικές συσκευές πλατιάς κατανάλωσης] Παραγωγή και κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας. Το βέλος στα δεξιά δείχνει ότι η κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας στους τοµείς του διαγράµµατος αυξάνεται στις εφαρµογές από κάτω προς τα πάνω. Γιατί; Τι ακριβώς πλερώνουµε µε τον λογαριασµό της ΑΗΚ; Ηλεκτρική ισχύς σε [W], κατανάλωση ισχύς σε [W/h], κόστος κατανάλωσης ισχύς σε [ W/h] Λογαριασµός = (Μονάδες κατανάλωσης).( τιµή ανά µονάδα ~ 0.04). 5

6 Λόγω της αυξανόµενης χρήσης ηλεκτρικών συσκευών η µέση κατανάλωση ισχύς στις οικιστικές µονάδες ανέρχεται σε µερικές χιλιάδες ετησίως. Γι αυτό και πρακτικά η κατανάλωση µετρείται σε [KW/h] Quiz: Αποδώστε σε W τις ποσότητες 1nW, 1µW, 1mW, 1KW, 1MW, 1GW, 1TW. Quiz: Η εναλλασσόµενη ηλεκτρική τάση πού φτάνει στις οικιστικές µονάδες της Κύπρου είναι 40V στα 50Hz. Μπορείτε να εντοπίσετε το σήµα αυτό στο φάσµα ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας; (Ταχύτητα φωτός στο κενό c 0 ~ m/s) Ορισµοί ηλεκτρικών στοιχείων και µονάδες µετρήσεως. ηµιουργία ηλεκτρικού πεδίου: Ο χώρος όπου ένα ηλεκτρικό φορτίο q [C] δέχεται µία δύναµη F [N] λέγεται ηλεκτρικό πεδίο. Η ανυσµατική ένταση του ηλεκτρικού πεδίου E [N/C ή V/m] είναι ανάλογη της δύναµης F ( x, y, z) = E( x, y, z) q Οι χώροι που αναπτύσσονται τα ηλεκτρικά πεδία λέγονται αγωγοί ηλεκτρικού ρεύµατος, γιατί η ενδοµοριακή διάταξη των υλικών τους επιτρέπει µε σχετική ευκολία την απόσπαση ηλεκτρονίων από τους πυρήνες, δηλαδή µπορούν να φορτιστούν (π.χ. µέταλλα όπως ο χαλκός και ο χρυσός). Το δυναµικό ηλεκτρικού πεδίου φ είναι ένα µονόµετρο µέγεθος που εκφράζει το έργο που χρειάζεται να καταβληθεί για την µετακίνηση ενός µοναδιαίου φορτίου εντός ηλεκτρικού πεδίου. Το δυναµικό ορίζεται µόνο εντός ηλεκτρικού πεδίου Ε. Περισσότερο θα ασχοληθούµε µε την συζυγή έννοια της διαφοράς δυναµικού ή ηλεκτρικής τάσης µεταξύ δύο σηµείων V [V], που κατά συνέπεια ορίζουµε ως το έργο που καταναλώνεται για την µετακίνηση φορτίου από το ένα σηµείο στο άλλο, πάντα εντός του εύρους του Ε. Το όργανο µέτρησης ηλεκτρικής τάσης λέγεται βολτόµετρο. Όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήµα η διαφορά δυναµικού από το (α) στο (β) δίνεται από τη σχέση 1 β V = ϕ( α) ϕ( β ) = F ds α q και είναι ανεξάρτητη της πορείας του φορτίου q. Προσέξτε επίσης ότι η δύναµη F έχει την κατεύθυνση του οµογενές ηλεκτρικού πεδίου Ε. 6

7 β ds q F α E Quiz: Πόσο είναι το δυναµικό του υπεδάφους και γιατί είναι χρήσιµο; Το ηλεκτρικό δυναµικό είναι ένα µονόµετρο πεδίο, παράγωγο του ανυσµατικού πεδίου της έντασης ηλεκτρικού πεδίου. Συγκεκριµένα, για χαµηλές συχνότητες τα δύο πεδία συνδέονται µε την εξίσωση E = ϕ Quiz: Από το δυναµικό πεδίο και µόνο υπολογίζεται η ένταση του πεδίου µε τον πιο πάνω τύπο. Από την ένταση ηλεκτρικού πεδίου όµως (µόνο) δεν µπορούµε να υπολογίσουµε το δυναµικό. Γιατί; Η διαφορά δυναµικού ορίζεται επίσης ως η ενέργεια w [J] ανά µονάδα φορτίου η οποία καταναλώνεται για να µεταφερθεί το φορτίο q από ένα σηµείο σε άλλο εντός του πεδίου, δηλαδή dw V = dq Νόµος του Coulomb: Όπως είναι αναµενόµενο, σε κάθε φορτίο p που βρίσκεται µέσα σε διηλεκτρικό υλικό, ασκείται δύναµη από κάθε άλλο φορτίο q της οποίας το µέγεθος δίνεται από το νόµο του Coulomb 1 p q Fp = eˆ pq = F q 4πε 0 r Όπου είναι η δύναµη που ασκείται στο φορτίο p, r είναι η απόσταση F p µεταξύ των φορτίων, ê pq είναι το µοναδιαίο άνυσµα στη διεύθυνση της r και µε φορά από το p προς το q, και η δύναµη που ασκείται στο φορτίο q. Η 1 = 7 4πε0 10 c 0 σταθερά ( ) [ Nm F q / C ] ή [Vm/C]. 7

8 Quiz: είξετε ότι οι δύο δυνάµεις ποιο πάνω έχουν αντίθετη φορά. Πότε η δύναµη που ασκείται στο p είναι ελκτική και πότε απωθητική; Πως, πού και γιατί παράγεται το ηλεκτρικό ρεύµα; Το ηλεκτρικό ρεύµα, όπως άλλωστε και το σχετικό πεδίο αναπτύσσεται µέσα σε ηλεκτρικά-αγώγιµα υλικά. Απλοί αγωγοί: ηλεκτρικά καλώδια, στοιχεία κυκλωµάτων κτλ. (µοντελοποιούνται εύκολα) Σύνθετοι αγωγοί: ανθρώπινο σώµα, µίγµατα υλικών, υπέδαφος (δύσκολα µοντελοποιούνται) Quiz: ώστε παραδείγµατα ΗΜ πεδίων που αναπτύσσονται στο ανθρώπινο σώµα. Ηλεκτρικό ρεύµα καλούµε την µετακίνηση φορτίων εντός αγωγών. Προσοχή το ρεύµα είναι επακόλουθο της κίνησης των φορτίων και όχι απλά της ύπαρξης τους! Η ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος I [A] δίνεται από τη σχέση dq I = dt και το όργανο µέτρησης της είναι το αµπερόµετρο. Για να υπάρξει κίνηση φορτίων σε αγωγούς πρέπει να υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο και δυναµικό! Ας υποθέσουµε ότι αυτό παρέχεται από µια πηγή συνεχούς τάσης, π.χ. µπαταρία που εφαρµόζει στα άκρα της σταθερή διαφορά δυναµικού V. Τα φορτία που κινούνται δεν είναι τίποτα άλλο από τα ηλεκτρόνια που έλκονται από το θετικό πόλο της πηγής. Η ηλεκτροκινητήρια δύναµη V είναι αυτή που δίνει την απαιτούµενη ενέργεια τα ηλεκτρόνια των µορίων του αγωγού για να αποδράσουν από τους µοριακούς δεσµούς. Συµβάσεις προσήµων: Η φορά της κίνησης των ηλεκτρονίων είναι η πραγµατική φορά του ηλεκτρικού ρεύµατος, δηλαδή από ( ) ( ). Συµβατικά όµως θα υποθέτουµε πάντα ότι το ρεύµα κινείται µε θετική κατεύθυνση ( ) ( ) π.χ. από το θετικό προς τον αρνητικό πόλο της πηγής τάσης ή σύµφωνα µε την ένδειξη του τόξου στην περίπτωση πηγής έντασης. Με αυτό τον τρόπο το ρεύµα που διαπερνά ένα ηλεκτρικό στοιχείο, π.χ. αντίσταση, δίνει πολικότητα στην τάση του στοιχείου. Συγκεκριµένα, το άκρο του στοιχείου στο οποίο 8

9 εισέρχεται το ρεύµα θεωρείται θετικής πολικότητας και το άλλο αρνητικής. Οι συµβάσεις αυτές των προσήµων δίνουν τις έννοιες της κατανάλωσης και της παραγωγής ισχύος όπως θα δούµε πιο κάτω. Παραδείγµατα εντάσεως ρεύµατος: Φωτιστικό ~0.5A, εκκίνηση αυτοκινήτου ~ 70A, κεραυνός ~0 KA. dw dq Συνδυάζοντας τις σχέσεις V = και I = φτάνουµε στην εξίσωση που dq dt συσχετίζει την ισχύ P και την ενέργεια w όπως P = V I = dw dt V - I 1 Η ισχύς είναι µια ποσότητα που µεταφέρεται στα άκρα ενός δέκτη, π.χ. µηχανής, χρησιµοποιώντας ένα ζεύγος τερµατικών (1,). Γι αυτό πρέπει να είµαστε σε θέση να πούµε, από τους υπολογισµούς µας, εάν η ισχύς προσδίδεται στο σύστηµα (π.χ. ηλεκτρικό κύκλωµα ή µηχανή) µέσω του ζευγαριού των τερµατικών ή εξάγεται από αυτό (π.χ. γεννήτρια). Αυτό προέρχεται από τη σωστή εφαρµογή της σύµβασης προσήµων. Σύµβαση προσήµων: I 1 V - I 1 V - P = V I (Παραδίδεται) P = V I (Εξάγεται) 9

10 I - 1 V I - 1 V P = V I (Εξάγεται) P = V I (Παραδίδεται) Θετική ισχύ είναι πάντα παραδιδόµενη. Όταν η κατεύθυνση του ρεύµατος I είναι από το θετικό τερµατικό ή προς το αρνητικό τότε η ισχύ είναι θετική. Ερωτήσεις κατανόησης 1) Οι µονάδες µέτρησης της ηλεκτροκινητήριας δύναµης ηλεκτρικού πεδίου είναι N/C και V/m. Αιτιολογήστε. ) Η διαφορά δυναµικού στο ίδιο σηµείο είναι µηδέν. Αιτιολογήστε. 3) Αν το φορτίο σε ένα αγωγό περιγράφεται από την εξίσωση q ( t) = sin(t 1), υπολογίστε τη συνάρτηση που δίνει την ένταση i (t). 4) Αν η ένταση ρεύµατος σε ένα αγωγό περιγράφεται από την εξίσωση i ( t) = 3t, υπολογίστε τη συνάρτηση που δίνει το φορτίο q (t), εάν γνωρίζεται ότι q ( 1) =. 5) ώστε εναλλακτικές µονάδες για V, A και W. 6) Αν το δυναµικό πεδίο σε τρισδιάστατο µεταλλικό αγωγό Χ δίνεται από την εξίσωση ϕ( x, y, z) = x y cos( z) (a) Υπολογίστε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε. (b) Ποιο το µέγεθος της δύναµης F που ασκείται πάνω σε φορτίο q=10µc που βρίσκεται στο σηµείο (1,1,π/) ; (c) Ποια είναι η διαφορά δυναµικού µεταξύ των σηµείων (0,0,0) και (1,1,π) εντός του Χ; 7) Υποθέστε ότι µια πτώση τάσης 0V εµφανίζεται από το τερµατικό στο τερµατικό 1 και ότι ένα ρεύµα 4 Α εισάγεται στο τερµατικό (a) ιευκρινίστε τις τιµές του V και του I για την αναφορά πολικότητας. 10

11 (b) ιευκρινίστε εάν στο κύκλωµα παραδίδεται ή από το κύκλωµα εξάγεται ισχύ. (c) Υπολογίστε την ισχύ. 8) Μια γραµµή µετάδοσης υψηλής τάσης µεταξύ της Λευκωσίας και Λεµεσού λειτουργεί στα 800 ΚV και µεταφέρει 1800 Α, όπως παρουσιάζεται πιο κάτω. Υπολογίστε την ισχύ (σε MW) στο τέλος της γραµµής στη Λεµεσό και δηλώστε την κατεύθυνση της ροής της. Πως δικαιολογείτε την απάντηση. Ι=1.8 ka Nicosia Limassol kv - 11