Συνδυασμοί αντιστάσεων και πηγών

Transcript

1 ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 3 Συνδυασμοί αντιστάσεων και πηγών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Σύνδεση σε σειρά. Παράλληλη σύνδεση Ισοδυναμία τριγώνου και αστέρα Διαιρέτης τάσης Διαιρέτης ρεύματος Πραγματικές πηγές. Ισοδυναμία πηγών τάσης και ρεύματος

2 Σύνδεση σε σειρά (Series connection) Έστω ότι έχουμε Ν αντιστάσεις, R 1, R 2,, R N, συνδεδεμένες σε σειρά, I το ρεύμα που τις διαρρέει και V 1 = I R 1, V 2 = I R 2, και V N = I R N η πτώσεις τάσης σε αυτές. Εφαρμόζοντας το νόμο τάσεων του Kirchhoff στο αρχικό κύκλωμα έχουμε: V s I R 1 I R 2 I R N = 0 V s ± I R 1 V 1 - R 2 V 2 - V Ṉ R N V s = I R 1 I R 2 I R N V s = I R 1 R 2 R N I V s = I R ΙΣ V s ± Συνεπώς η ισοδύναμη ή ολική αντίσταση, R ΙΣ (ή R T ), ισούται με το άθροισμα των επιμέρους αντιστάσεων: R ΙΣ = R 1 R 2 R N V ΙΣ - R ΙΣ 2

3 Σύνδεση πηγών τάσης σε σειρά Ν πηγές τάσης, V 1, V 2,, V N, που συνδέονται σε σειρά σε ένα κύκλωμα, μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με μία ισοδύναμη πηγή τάσης, V T (ή V ΙΣ ), με τιμή ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των τιμών των πηγών. V 1 ± V 3 V N - - V 2 ± I R V T = ±V 1 ±V 2 ± ± V N Προσοχή: στον υπολογισμό της ολικής τάσης V T πρέπει να λάβουμε υπόψη την πολικότητα των πηγών 3

4 Έστω ότι έχουμε Ν αντιστάσεις, R 1, R 2,, R N, συνδεδεμένες παράλληλα, V η κοινή τους τάση και I 1, I 2, και I N τα ρεύματα σε αυτές. Εφαρμόζοντας το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Α, έχουμε: I s = I 1 I 2 I N Αντικαθιστώντας τα ρεύματα σύμφωνα με το νόμο του Ohm, έχουμε: I s = V R 1 V R 2 V R N I s = V G 1 V G 2 V G 2 Παράλληλη σύνδεση (Parallel connection) I s I s = V G 1 G 2 G 2 I R I ΙΣ s = V G ΙΣ s V G ΙΣ Συνεπώς, στην παράλληλη σύνδεση, η ισοδύναμη - αγωγιμότητα G ΙΣ (ή G T ) ισούται με το άθροισμα των επιμέρους αγωγιμοτήτων G ΙΣ = G 1 G 2 G 2 4

5 Παράλληλη σύνδεση (... συνέχεια) Εκφράζοντας την ισοδύναμη αντίσταση R ΙΣ (ή R T ) συναρτήσει των αντιστάσεων, R 1, R 2,, R N, η προηγούμενη σχέση γίνεται: I R 1 s V - G 1 I 1 R 2 G 2 I 2 R N G N I N 1 = R ΙΣ R 1 R 2 R N Ένας χρήσιμος πρακτικός κανόνας: κατά τον υπολογισμό της ισοδύναμης (ή ολικής) αντίστασης οποιασδήποτε παράλληλης συνδεσμολογίας αντιστάσεων R 1, R 2,, R N, η ολική (ή ισοδύναμη) αντίσταση R ΙΣ (ή R T ) πρέπει να προκύπτει μικρότερη από τη μικρότερη από τις αντιστάσεις R 1, R 2,, R N.

6 Παράλληλη σύνδεση: ειδικές περιπτώσεις Στην περίπτωση που έχουμε δύο μόνο αντιστάσεις, R 1 και R 2, η ολική αντίσταση R ΙΣ (ή R T ) γράφεται και R ΙΣ = R 1 R 2 R 1 R 2 _ R 1 R 2 Στην περίπτωση που έχουμε Ν ίσες αντιστάσεις R η ολική αντίσταση R ΙΣ (ή R T ) γράφεται R ΙΣ = R N... _ R R R R......

7 Παράλληλη σύνδεση πηγών ρεύματος Ν πηγές ρεύματος, I 1, I 2,, I N, που συνδέονται παράλληλα σε ένα κύκλωμα, μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με μία ισοδύναμη πηγή ρεύματος, I ΙΣ (ή I T ), με τιμή ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των τιμών των πηγών. I 1 I 2 I 3 I Ν V - I ΙΣ R I ΙΣ = ±I 1 ±I 2 ± ± I N Προσοχή: στον υπολογισμό της ολικού ρεύματος I ΙΣ πρέπει να λάβουμε υπόψη την φορά της κάθε πηγής ρεύματος. I ΙΣ V I ΙΣ R - 7

8 Έλεγχος διασύνδεσης ιδανικών πηγών Η σύνδεση (α) επιτρέπεται. Κάθε πηγή παρέχει τάση στο ίδιο ζεύγος ακροδεκτών Α και Β. Αυτό απαιτεί κάθε πηγή να παρέχει την ίδια τάση με την ίδια πολικότητα, όπως και κάνουν. _ Α 10 V 10 V _ (α) Β Η σύνδεση (β) επιτρέπεται. Α 5 A Β Κάθε πηγή παρέχει ρεύμα μέσω του ίδιου ζεύγους ακροδεκτών Α και Β. Αυτό απαιτεί κάθε πηγή να παρέχει το ίδιο ρεύμα στην ίδια φορά, όπως πράγματι είναι. 5 A (συνεχίζεται... ) (β) 8

9 Έλεγχος διασύνδεσης ιδανικών πηγών (... συνέχεια) Η σύνδεση (γ) δεν επιτρέπεται. Α Κάθε πηγή παρέχει τάση στο ίδιο ζεύγος ακροδεκτών Α και Β. Αυτό απαιτεί κάθε πηγή να παρέχει την ίδια τάση με την ίδια πολικότητα, το οποίο δεν κάνουν. _ 10 V 5 V (γ) Β Η σύνδεση (δ) δεν επιτρέπεται. Α 2 A Β Κάθε πηγή παρέχει ρεύμα μέσω του ίδιου ζεύγους ακροδεκτών Α και Β. Αυτό απαιτεί κάθε πηγή να παρέχει το ίδιο ρεύμα στην ίδια φορά, πράγμα που δεν συμβαίνει εδώ. 5 A (συνεχίζεται... ) (δ) 9

10 Έλεγχος διασύνδεσης ιδανικών πηγών (... συνέχεια) Η σύνδεση (ε) επιτρέπεται. Η πηγή τάσης παρέχει τάση στο ζεύγος ακροδεκτών Α και Β. Η πηγή ρεύματος παρέχει ρεύμα μέσω του ίδιου ζεύγους ακροδεκτών. Επειδή μια ιδανική πηγή τάσης παρέχει την ίδια τάση ανεξάρτητα από το ρεύμα που τη διαρρέει και μια ιδανική πηγή ρεύματος παρέχει το ίδιο ρεύμα ανεξάρτητα από την τάση, η διπλανή διασύνδεση είναι επιτρεπόμενη. _ 5 A Α 10 V Β (ε) 10

11 Έλεγχος διασύνδεσης ιδανικών εξαρτημένων και ανεξάρτητων πηγών Η σύνδεση (α) δεν επιτρέπεται. Τόσο η ανεξάρτητη όσο και η εξαρτημένη πηγή παρέχουν τάση στο ίδιο ζεύγος ακροδεκτών Α και Β. Αυτό απαιτεί κάθε πηγή να παρέχει την ίδια τάση με την ίδια πολικότητα. Η ανεξάρτητη πηγή παρέχει 5 V, αλλά η εξαρτημένη πηγή παρέχει 15 V. _ Vx = 5 V (α) Α Β V s = 3 V X Η σύνδεση (β) επιτρέπεται. Η ανεξάρτητη πηγή τάσης παρέχει τάση στο ζεύγος ακροδεκτών Α και Β. Η εξαρτημένη πηγή ρεύματος παρέχει ρεύμα μέσω του ίδιου ζεύγους ακροδεκτών. Επειδή μια ιδανική πηγή τάσης παρέχει την ίδια τάση ανεξάρτητα από το ρεύμα που τη διαρρέει και μια ιδανική πηγή ρεύματος παρέχει το ίδιο ρεύμα ανεξάρτητα από την τάση, αυτή είναι μια επιτρεπόμενη διασύνδεση. (συνεχίζεται... ) _ (β) Α I s = 3 V X Vx = 5 V Β 11

12 Έλεγχος διασύνδεσης ιδανικών εξαρτημένων και ανεξάρτητων πηγών Η σύνδεση (γ) επιτρέπεται. Η ανεξάρτητη πηγή ρεύματος παρέχει ρεύμα μέσω του ζεύγους ακροδεκτών Α και Β. Η εξαρτημένη πηγή τάσης παρέχει τάση στο ίδιο ζεύγος ακροδεκτών. Επειδή μια ιδανική πηγή ρεύματος παρέχει την ίδια ρεύμα ανεξάρτητα από την τάση και μια ιδανική πηγή τάσης παρέχει την ίδια τάση ανεξάρτητα από το ρεύμα, αυτή είναι μια επιτρεπόμενη διασύνδεση. I x = 2 A (γ) Α Β V s = 4 I X Η σύνδεση (δ) δεν επιτρέπεται. Τόσο η ανεξάρτητη όσο και η εξαρτημένη πηγή παρέχουν ρεύμα μέσω του ίδιου ζεύγους ακροδεκτών Α και Β. Αυτό απαιτεί κάθε πηγή να παρέχει το ίδιο ρεύμα στην ίδια φορά. Η ανεξάρτητη πηγή παρέχει 2 Α, αλλά η εξαρτημένη πηγή παρέχει 6 Α στην αντίθετη κατεύθυνση. I x = 2 A (δ) Α Β I s = 3 I X 12

13 Παράδειγμα 3-1 (Πρόβλημα 2.5, σελ. 48, J.W. Nilsson & S.A. Riedel Electric Circuits ISBN X, Pearson) Για το κύκλωμα που φαίνεται, (α) ποια τιμή της V g απαιτείται ώστε να επιτρέπεται η σύνδεση; (b) Γι αυτή την τιμή της V g, βρείτε την ισχύ που σχετίζεται με την πηγή 8 Α. Λύση (α) Οι δύο πηγές τάσης είναι συνδεμένες παράλληλα στους κόμβους Α και Β. Αυτό απαιτεί να παρέχουν την ίδια τάση με την ίδια πολικότητα. Άρα, πρέπει V g = I b 4 Το ρεύμα I b είναι το ρεύμα στον κλάδο της πηγής 8 Α. Έτσι όπως είναι σημειωμένο στο κύκλωμα, είναι επομένως, V g = 8 Α 4 = 2 Α I b = 8 A I b 4 _ A B V g (συνεχίζεται... ) I b 13 8 A

14 Λύση (... συνέχεια) (β) Η ισχύς της πηγής ρεύματος 8 Α είναι P 8A = V I P 8A = V g 8 A P 8A = 2 V 8 A = 16 W δηλαδή, η πηγή 8 Α παράγει ισχύ 16 W. Αυτό φαίνεται καλύτερα αν ξανασχεδιάσουμε το κύκλωμα με τις πραγματικές πολικότητες των τάσεων των πηγών και τη φορά του ρεύματος. 14

15 Ειδικές περιπτώσεις συνδεσμολογίας αντιστάσεων Βραχυκύκλωμα Short Curcuit (SC) Το βραχυκύκλωμα μπορεί να θεωρηθεί ως ωμική αντίσταση μηδενικής τιμής ( R 0 ) ή άπειρης αγωγιμότητας (G ). Η τάση στα άκρα του βραχυκυκλώματος είναι πάντα μηδέν, V = 0 (γιατί;) Το ρεύμα I που διαρρέει το βραχυκύκλωμα μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή, που εξαρτάται από το υπόλοιπο κύκλωμα. (συνεχίζεται... ) 15

16 Ειδικές περιπτώσεις συνδεσμολογίας αντιστάσεων ( συνέχεια) Ανοικτό κύκλωμα (ή ανοικτοκύκλωμα) Open Circuit (OC) Το ανοικτοκύκλωμα μπορεί να θεωρηθεί ως ωμική αντίσταση μηδενικής αγωγιμότητας (G 0) ή άπειρης αντίστασης (R ). Το ρεύμα που διαρρέει το ανοικτοκύκλωμα είναι πάντα μηδέν, I = 0. Η τάση V στα άκρα ενός ανοικτού κυκλώματος μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή που εξαρτάται από το υπόλοιπο κύκλωμα. (συνεχίζεται... ) 16

17 Ειδικές περιπτώσεις συνδεσμολογίας αντιστάσεων ( συνέχεια) Μετασχηματισμός τριγώνου σε αστέρα ( -to-y) Delta-to-Wye transformations Οι συνδεσμολογίες Δ και Υ ή τριγώνου και αστέρα (στα ελληνικά) εμφανίζονται σε μια μεγάλη ποικιλία χρήσιμων κυκλωμάτων, όπως οι κινητήρες, οι γεννήτριες και οι γραμμές μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, όχι μόνο σε κυκλώματα ωμικών αντιστάσεων (που θα δούμε εδώ). Επομένως, ο μετασχηματισμός Δ σε Y είναι ένα χρήσιμο εργαλείο στην ανάλυση κυκλωμάτων (συνεχίζεται... ) 17

18 Ειδικές περιπτώσεις συνδεσμολογίας αντιστάσεων ( συνέχεια) Συνδεσμολογία τριγώνου ( ) Delta interconnection Η συνδεσμολογία των αντιστάσεωνr αβ, R βγ και R γα, που φαίνονται στο σχήμα δίπλα, ονομάζεται συνδεσμολογία Δέλτα (Δ) ή Τριγώνου διότι μοιάζει με το ελληνικό γράμμα Δ (ή με τρίγωνο). Η συνδεσμολογία Δ αναφέρεται και ως συνδεσμολογία πι ( ) (pi interconnection) διότι το Δ μπορεί να διαμορφωθεί σε ένα χωρίς να επηρεαστούν οι σχέσεις μεταξύ των αντιστάσεων. γ R γα α R βγ R αβ β (συνεχίζεται... ) 18

19 Ειδικές περιπτώσεις συνδεσμολογίας αντιστάσεων ( συνέχεια) Συνδεσμολογία αστέρα (Υ) Wye interconnection Η συνδεσμολογία των αντιστάσεωνr α, R β και R γ, που φαίνονται στο σχήμα δίπλα, ονομάζεται συνδεσμολογία Αστέρα (Υ) διότι έχει το σχήμα αστέρα ή συνδεσμολογία Wye, διότι μοιάζει με το γράμμα Y. Η συνδεσμολογία Υ αναφέρεται συχνά και ως συνδεσμολογία ταυ ( ) (tee interconnection) διότι το Υ μπορεί να διαμορφωθεί σε ένα Τ χωρίς να επηρεαστούν οι σχέσεις μεταξύ των αντιστάσεων. γ R γ R α (συνεχίζεται... ) α R β 19 β

20 Ειδικές περιπτώσεις συνδεσμολογίας αντιστάσεων ( συνέχεια) Ισοδυναμία τριγώνου-αστέρα ( -to-y) Delta-to-Wye equivalent circuits Τρεις αντιστάσεις σε συνδεσμολογία αστέρα μπορούν να αντικατασταθούν από μια ισοδύναμη συνδεσμολογία τριγώνου. Οι τιμές των αντιστάσεων του τριγώνου είναι: Ι α Ι α α α Ι γ V γα γ R γ R α R β V αβ β Ι β Ι γ V γα γ R γα R βγ V βγ Rαβ β V αβ Ι β V βγ R αβ = R α R β R β R γ R γ R α R γ R βγ = R α R β R β R γ R γ R α R α R γα = R α R β R β R γ R γ R α R β (συνεχίζεται... ) 20

21 Ειδικές περιπτώσεις συνδεσμολογίας αντιστάσεων ( συνέχεια) Ισοδυναμία τριγώνου-αστέρα ( -to-y) Delta-to-Wye equivalent circuits Τρεις αντιστάσεις σε συνδεσμολογία αστέρα μπορούν να αντικατασταθούν από μια ισοδύναμη συνδεσμολογία τριγώνου. Οι τιμές των αντιστάσεων του τριγώνου είναι: Ι α α α Ι α V γα γ R γα Rαβ β V αβ V γα R γ R α R β V αβ β Ι γ R βγ Ι β Ι γ γ Ι β V βγ V βγ R α = R αβ R γα R βγ R αβ R β = R R αβ R βγ R γα R αβ R βγ R γ = γα R γα R βγ R αβ R βγ R γα Αν οι αντιστάσεις του τριγώνου είναι ίσες: R Υ = R Δ 3 21

22 Παράδειγμα 3-2 (Παράδειγμα 3.1, σελ. 63, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Να βρεθεί η ισχύς που παρέχουν ή καταναλώνουν οι δύο πηγές ρεύματος του κυκλώματος (Σχήμα 3-14, σελ. 63, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Λύση I 2 α R 2 =5 Ω β I 1 I 3 Οι τρεις αντιστάσεις R 1, R 2 και R 3 σχηματίζουν τρίγωνο (ή πι). 1A R 1 =10 Ω R 3 =10 Ω 2A Μετατρέπουμε το τρίγωνο σε δέλτα (αστέρα) R αβ R γα 5 10 R α = = R αβ R βγ R γα = 2 Ω R β = R γ = R βγ R αβ R αβ R βγ R γα = R γα R βγ R αβ R βγ R γα = = 2 Ω = 4 Ω 1A γ α I α R α =2 Ω R γ =4 Ω I β κ I γ β R β =2 Ω 2A γ (συνεχίζεται... ) 22

23 Λύση (... συνέχεια) Για να βρούμε την ισχύ των πηγών πρέπει να υπολογίσουμε τις τάσεις. Από το νόμο του Ohm στις αντιστάσεις R α, R β και R γ του αστέρα, έχουμε: V ακ = Ι α R α = 1 Α V βκ = Ι β R β = 2 Α 2 Ω = 2 V 2 Ω = 4 V V κγ = Ι γ R γ = (I α I β ) R γ = 3 Α 4Ω = 12 V Επομένως, V αγ = V ακ V κγ = 2 12 = 14 V και V βγ = V βκ V κγ = 4 12 = 16 V Οπότε η ισχύς της πηγής ρεύματος 1 Α, είναι P 1A = V αγ 1Α = 14 V 1 A = 14 W και η ισχύς της πηγής ρεύματος 2 Α, είναι P 2A = V βγ 2Α = 16 V 2 A = 32 W 23

24 Διαιρέτης τάσης (Voltage divider) Συχνά, ιδιαίτερα σε ηλεκτρονικά κυκλώματα, είναι απαραίτητο να παρέχουμε περισσότερες από μια τάσεις από μια απλή πηγή τάσης τροφοδοσίας. Ένας τρόπος να το πετύχουμε αυτό είναι με ένα κύκλωμα διαιρέτη τάσης (voltage-divider circuit). Διαιρέτης τάσης είναι ένα κύκλωμα αντιστάσεων σε σειρά. Το κύκλωμα αναλύεται εφαρμόζοντας το νόμο του Ohm και το νόμο τάσεων του Kirchhoff αφού, πρώτα, εισάγουμε το ρεύμα I στο κύκλωμα. Από το νόμο των τάσεων του Kirchhoff βρίσκουμε το ρεύμα I V S = I R 1 I R 2 I = V S R 1 R 2 Με εφαρμογή του νόμου του Ohm, υπολογίζουμε τις τάσεις V 1 και V 2 στα άκρα των αντιστάσεων σε σειρά V 1 = I R 1 = R 1 R 1 R 2 V S και V 2 = R 2 R 1 R 2 V S 24

25 Διαιρέτης τάσης (... συνέχεια) Η γενική μορφή του διαιρέτη τάσης για Ν αντιστάσεις. V i = R i R 1 R 2 R N V ή V i = R i R T V 25

26 Παράδειγμα 3-3 Χρησιμοποιώντας τον τύπο του διαιρέτη τάσης, υπολογίστε την πτώση τάσης στα άκρα κάθε αντιστάτη στο κύκλωμα της παρακάτω εικόνας. Λύση R T = R 1 R 2 R 3 = = 1000 Ω επομένως V 1 = R 1 R T 100V = V V 1 = 10 V V 2 = R 2 R T 100V = V V 1 = 22 V V 3 = R 3 R T 100V = V V 1 = 68 V 26

27 Παράδειγμα 3-4 (Παράδειγμα 3.2, σελ. 72, J.W. Nilsson & S.A. Riedel Electric Circuits ISBN X, Pearson) Οι αντιστάσεις που χρησιμοποιούνται στο κύκλωμα διαιρέτη τάσης, που φαίνεται παρακάτω, έχουν ανοχή 10%. Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της τάσης V o. Λύση Από τον τύπο του διαιρέτη τάσης για τις δύο αντιστάσεις 25kΩ R1 V o = R 2 R 1 R 2 100V 100 V τη μέγιστη τιμή της V o έχουμε όταν η R 2 είναι 10% μεγαλύτερη από την ονομαστική της τιμή και η R 1 είναι 10% μικρότερη (γιατί;) 100kΩ R2 V o R 2 = 100 kω 10% 100 kω = 100 kω 10 kω = 110 kω R 1 = 25 kω 10% 25 kω = 25 kω 2.5 kω = 22.5 kω Συνεπώς, 110 kω V o max = 22.5 kω 110 kω 100V = V (συνεχίζεται... ) 27

28 Λύση (... συνέχεια) Την ελάχιστη τιμή της V o έχουμε όταν η R 2 είναι 10% μικρότερη από την ονομαστική της τιμή και η R 1 10% μεγαλύτερη, R 2 = 100 kω 10% 100 kω = 100 kω 10 kω = 90 kω R 1 = 25 kω 10% 25 kω = 25 kω 2.5 kω = 27.5 kω 25kΩ R1 Συνεπώς, V o min = 90 kω 27.5 kω 90 kω 100V = V 100 V 100kΩ R2 V o Χρησιμοποιώντας αντιστάσεις με ανοχή 10% σε αυτό το διαιρέτη τάσης, καταλαβαίνουμε ότι η τιμή της τάσης εξόδου V o θα είναι μεταξύ και V. 28

29 R 23 =200Ω Παράδειγμα 3-5 (Παράδειγμα 3.2, σελ. 66, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Στο κύκλωμα του σχήματος υπολογίστε όλες τις τάσεις και τα ρεύματα (Σχήμα 3-17, σελ. 66, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Λύση Απλοποιούμε το κύκλωμά μας αντικαθιστώντας τις δύο παράλληλες αντιστάσεις R 2 και R 3 με την ισοδύναμή τους R 2,3 : R 2,3 = R 2 R 3 R 2 R 3 = = 200 Ω Στο ισοδύναμο κύκλωμα μπορούμε να εφαρμόσουμε τη σχέση του διαιρέτη τάσης για να βρούμε τις δύο τάσεις του κυκλώματος: 10V ± I 1 R 1 =300Ω V 1 - I 1 V 1 = και R 1 R 1 R 2,3 10V = V 2 = V 3 = R 2,3 R 1 R 2,3 V = V V 1 = 6 V V V 2 = 4 V (συνεχίζεται... ) V 2 =V 3-29

30 Λύση (... συνέχεια) Τα ρεύματα στις αντιστάσεις υπολογίζονται από το νόμο του Ohm: I 1 = V 1 R 1 = 6 V 300 Ω = 0.02 V = 20 ma I 2 = V 2 R 2 = 4 V 300 Ω = V = ma I 3 = V 3 R 3 = 4 V 600 Ω = V = 6. 7 ma 30

31 Παράδειγμα 3-6 (Παράδειγμα 3.3, σελ. 67, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Στο κύκλωμα του σχήματος υπολογίστε τις τάσεις V x και V y (Σχήμα 3-19, σελ. 67, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Λύση Οι αντιστάσεις 5 Ω και 15 Ω, συνδεδεμένες σε σειρά, μπορούν να αντικατασταθούν με μία ισοδύναμη τιμής 20 Ω η οποία συνδέεται παράλληλα στην άλλη αντίσταση των 20 Ω. Οι δύο παράλληλες αντιστάσεις των 20 Ω μπορούν να αντικατασταθούν με μία ισοδύναμη αντίσταση τιμής 10 Ω. Η τάση στα άκρα της αντίστασης των 10 Ω είναι η ζητούμενη τάση V x. Από τον τύπο του διαιρέτη τάσης, έχουμε V x = 20V = V V x = 5 V I 1 10 Ω 5 Ω I I V ± V 20 Ω x V y 15 Ω Ω 10 Ω 20V ± 10 Ω V x - (συνεχίζεται... ) 20 Ω

32 Λύση (... συνέχεια) I 1 10 Ω 5 Ω Επανερχόμενοι στο αρχικό κύκλωμα, μπορούμε να υπολογίσουμε την ζητούμενη τάση V y εφαρμόζοντας πάλι τον τύπο του διαιρέτη τάσης στις εν σειρά αντιστάσεις των 5 και 15 Ω. V y = V x = V V y = V 20V ± 20 Ω V x - I I Ω V y - 15 Ω Γνωρίζοντας τις τάσεις, τα ρεύματα του κυκλώματος υπολογίζονται εύκολα από το νόμου του Ohm: I 2 = I 3 = V x 20 Ω = 5 20 V y 15 Ω = = 0.25 A = 250 ma = 0.25 A = 250 ma I 1 = I 2 I 3 = 0.25 A 0.25 A = 0.5 A = 500 ma 32

33 R 2 =600Ω R 1 =400Ω Παράδειγμα 3-7 (Παράδειγμα 3.6, σελ. 72, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Βρείτε την τάση μεταξύ των σημείων Α και Β στο κύκλωμα του σχήματος (Σχήμα 3-30, σελ. 72, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Λύση Μπορούμε να γράψουμε μια εξίσωση για τη ζητούμενη τάση V AB εφαρμόζοντας το νόμο τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο ΑΒΓΔΑ. V AB V 4 V 2 = 0 V AB = V 2 V 4 Μπορούμε να βρούμε τις τάσεις V 2 και V 4 εφαρμόζοντας τον τύπο του διαιρέτη τάσης στο ζευγάρι R 1, R 2 και R 3, R 4. Έχουμε και V 2 = R 2 R 1 R 2 10 V = V 4 = R 4 R 3 R 4 10 V = 600 Ω V = 10 = 6 V 400 Ω 600 Ω Ω 600 Ω 400 Ω 10V ± V = 10 = 4 V 1000 I 1 V 1 - A V 2 - Δ I 2 I 3 V 3 - V AB - V 4 - R 4 =400Ω R 3 =600Ω B Γ οπότε V AB = V 2 V 4 = 6 4 = 2 V 33

34 Διαιρέτης ρεύματος (Current divider) Το κύκλωμα διαιρέτη ρεύματος (current-divider circuit) αποτελείται από δύο αντιστάσεις συνδεμένες παράλληλα στα άκρα μιας πηγής ρεύματος. Ο διαιρέτης ρεύματος σχεδιάζεται ώστε να διαιρεί το ρεύμα I s μεταξύ των αντιστάσεων R 1 και R 2. Από το νόμο του Ohm για την αντίσταση έχουμε V = I 1 R 1 = I 2 R 2 V = I s R 1 R 2 R 1 R 2 Επομένως, και I 1 = R 2 R 1 R 2 I s I 2 = R 1 R 1 R 2 I s 34

35 κύκλωμα Διαιρέτης ρεύματος (... συνέχεια) Η γενική μορφή του διαιρέτη ρεύματος για Ν κλάδους αντιστάσεων. I I 1 I 2 I N V R 1 G 1 R 2 G 2 R N G N - I i = V G i = I G 1 G 2 G N G i Όμως, V = I R T = I G T = I G 1 G 2 G N Άρα, I i = G i G T I = G i G 1 G 2 G N I ή I i = R T R i I 35

36 R 2 =300Ω R 3 =600Ω Παράδειγμα 3-8 (Παράδειγμα 3.4, σελ. 70, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Στο κύκλωμα του σχήματος υπολογίστε όλες τις τάσεις και τα ρεύματα (Σχήμα 3-25, σελ. 70, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Λύση Η ολική αντίσταση του κυκλώματος είναι R ΟΛ = R 1 R 2,3 = R 1 R 2 R = 300 R 2 R = 500 Ω Tο ρεύμα που δίνει η πηγή είναι I 1 = V 10 V = = 0.02 Α = 20 ma R ΟΛ 500 Ω Επανερχόμενοι στο αρχικό κύκλωμα, εφαρμόζουμε τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος για να υπολογίσουμε τα άλλα δύο ρεύματα I 2 και I 3. I 2 = R 3 R 2 R 3 I 1 = 600 Ω 300 Ω 600 Ω 20 ma I 2 = V ± I 1 10V ± I 1 R 1 =300Ω V 1 - V 2-20 ma = ma (συνεχίζεται... ) I 2 I 3 V 3 - R ΟΛ =500Ω

37 Λύση (... συνέχεια) I 3 = R 2 R 2 R 3 I 1 = I 3 = Ω 300 Ω 600 Ω 20 ma = 6. 7 ma 20 ma Γνωρίζοντας τα ρεύματα, οι τάσεις βρίσκονται από το νόμο του Ohm στις αντιστάσεις V 1 = I 1 R 1 = (20 ma) (300 Ω) V 1 = 6 V V 2 = I 2 R 2 = (13.3 ma) (300 Ω) V 2 = 4 V V 3 = V 2 = 4 V 37

38 10 Ω 40 Ω 20 Ω 10 Ω 12 Ω Παράδειγμα 3-9 (Παράδειγμα 3.5, σελ. 71, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Υπολογίστε το ρεύμα που διαρρέει την κάθε αντίσταση των 10 Ω στο κύκλωμα του σχήματος (Σχήμα 3-27, σελ. 71, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) 2A I y Λύση Οι αντιστάσεις 10 και 40 Ω είναι συνδεδεμένες παράλληλα και μπορούν να αντικατασταθούν από μία ισοδύναμη αντίσταση = = = 8 Ω I x Η αντίσταση 8 Ω είναι σε σειρά με την αντίσταση των 12 Ω, οπότε μπορούν να αντικατασταθούν από μία αντίσταση ίση με 812 = 20 Ω. (συνεχίζεται... )

39 20 Ω 20 Ω 10 Ω Λύση (... συνέχεια) Μπορούμε να υπολογίσουμε το ζητούμενο ρεύμα I y, που διαρρέει τη μια αντίσταση 10 Ω, χρησιμοποιώντας τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος, I y = A = = 1 A 0.2 2A I 1 I 2 I y Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε και το ρεύμα I 2 I 2 = A = = 0.5 A Επανερχόμενοι στο αρχικό κύκλωμα, μπορούμε να υπολογίσουμε το ζητούμενο ρεύμα I x, που διαρρέει την άλλη αντίσταση των 10 Ω, εφαρμόζοντας πάλι τον τύπο του διαιρέτη μεταξύ των δύο αντιστάσεων 10 και 40 Ω I x = I 2 = A = 0. 4 A 39

40 Παράδειγμα 3-10 (Παράδειγμα 3.3, σελ. 73, J.W. Nilsson & S.A. Riedel Electric Circuits ISBN X, Pearson) Βρείτε την ισχύ που καταναλώνεται στην αντίσταση 6 Ω που φαίνεται στο κύκλωμα. Λύση Πρώτα, πρέπει να υπολογίσουμε το ρεύμα στην αντίσταση 6 Ω απλοποιώντας το κύκλωμα με βάση τους συνδυασμούς των αντιστάσεων. Το κύκλωμα απλοποιείται στο σχήμα από κάτω. Μπορούμε να βρούμε το ρεύμα I o χρησιμοποιώντας τον τύπο του διαιρέτη ρεύματος I o = = 8 A 16 4 I o είναι το ρεύμα στην αντίσταση 1.6 Ω στο αρχικό κύκλωμα. Μπορούμε, τώρα, να διαιρέσουμε το ρεύμα I o μεταξύ των αντιστάσεων 4 και 6 Ω. Το ρεύμα στην αντίσταση 6 Ω είναι I 6Ω = 4 8 = 3.2 A 6 4 και η ισχύς που καταναλώνεται σε αυτήν είναι 10 A 1.6Ω P 6Ω = I 2 R = = W 16Ω 4Ω 6Ω 40

41 R 2 =600Ω R 1 =400Ω Παράδειγμα 3-11 (Παράδειγμα 3.7, σελ. 73, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Βρείτε το ρεύμα I AB στο κύκλωμα του σχήματος (Σχήμα 3-31, σελ. 73, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Λύση I 1 Οι αντιστάσεις R 1 και R 3 συνδέονται παράλληλα. Η ισοδύναμη αντίσταση είναι: R 1,3 = R 1 R 3 = R 1 R 3 R 1 R 3 = = 240 Ω Επίσης, οι αντιστάσεις R 2 και R 4 συνδέονται παράλληλα, οπότε: R 2,4 = R 2 R 4 = R 2 R 4 R 2 R 4 = = 240 Ω 10V ± V 1 - A V 2 - Δ I 2 I 3 I AB V 3 - I 4 I 5 V 4 - R 4 =400Ω R 3 =600Ω B Γ Οι αντιστάσεις R 1,3 και R 2,4 είναι ίσες και είναι συνδεδεμένες εν σειρά, άρα η μισή από την τάση της πηγής αναπτύσσεται στην R 1,3 και η υπόλοιπη μισή στην R 2,4. V 1 = V 3 = V 1,3 = R 1,3 R 1,3 R 2,4 10 V = 240 Ω 240 Ω 240 Ω 10 V = 1 10 = 5 V 2 Συνεπώς, η τάση στα άκρα όλων των αντιστάσεων είναι η ίδια, ίση με 5 Volt. (συνεχίζεται... ) 41

42 R 2 =600Ω R 1 =400Ω Λύση (... συνέχεια) Τα ρεύματα που διαρρέουν τις αντιστάσεις υπολογίζονται από το νόμο του Οhm: I 2 = V 1 R 1 = I 4 = V 2 R 2 = 5 V = A = 12.5 ma 400 Ω 5 V = A = 8.3 ma 600 Ω Από το νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff για τον κόμβο Α, υπολογίζουμε το ζητούμενο ρεύμα I AB I 2 = I AB I 4 I AB = I 2 I 4 = 12.5 ma 8.3 ma I AB = 4. 2 ma 10V ± I 1 V 1 - A V 2 - Δ I 2 I 3 I AB V 3 - I 4 I 5 V 4 - R 4 =400Ω R 3 =600Ω B Γ 42

43 Η dc πηγή τάσης Η ιδανική πηγή τάσης Δεν έχει εσωτερική αντίσταση A A V AB (α) Χωρίς φορτίο B B (β) Με φορτίο R L Η τάση εξόδου V AB ισούται με την ονομαστική τιμή V S μιας ιδανικής πηγής τάσης V AB = V S 43

44 Η πραγματική πηγή τάσης Η dc πηγή τάσης (... συνέχεια) Έχει μη μηδενική εσωτερική αντίσταση R S A A V AB (α) Χωρίς φορτίο B B (β) Με φορτίο R L Η τάση εξόδου V AB μιας πραγματικής πηγής τάσης είναι μικρότερη από την ονομαστική της τιμή V S V AB = R L R S R L V S 44

45 Παράδειγμα 3-12 Υπολογίστε την τάση εξόδου V OUT της πηγής για τις ακόλουθες τιμές R L : 1.0 Ω, 10 Ω, 100Ω, 560Ω και 1.0 kω. Τι παρατηρείτε; Λύση V OUT = V AB = R L R S R L V S Για R L =1.0 Ω : V OUT = Για R L =R S =10 Ω : V OUT = Για R L =100 Ω : V OUT = Για R L =560 Ω : V OUT = Για R L =1000 Ω : V OUT = 1.0Ω 10Ω1.0Ω 10Ω 10Ω10Ω 100Ω 10Ω100Ω 560Ω 10Ω560Ω 1000Ω 10Ω1000Ω 100V = 9. 1 V 100V = 50 V 100V = 91 V 100V = 98 V 100V = 99 V Παρατηρούμε ότι όσο μεγαλύτερο είναι το φορτίο (R L ) σε σχέση με την εσωτερική αντίσταση (R S ) μιας πηγής τάσης τόσο η τάση εξόδου (V OUT ) πλησιάζει την ονομαστική της τιμή (V S ). 45

46 Το Θεώρημα της Μέγιστης Μεταφοράς Ισχύος Η ισχύς P L, που μεταφέρεται από μια πραγματική πηγή τάσης V S και εσωτερικής αντίστασης R S, σε ένα εξωτερικό φορτίο R L γίνεται μέγιστη όταν R L = R S. Πηγή Η μέγιστη ισχύς που μεταφέρεται (καταναλώνεται) στο φορτίο δίνεται από τη σχέση P L,max = V S 2 4 R L Θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος: Όταν R L = R S έχουμε P L,max = V S 2 4 R L 46

47 Παράδειγμα 3-13 (α) Προσδιορίστε την ισχύ που μεταφέρεται (καταναλώνεται) στο φορτίο R L για κάθε μια από τις ακόλουθες τιμές της αντίστασής του: 25 Ω, 50 Ω, 75 Ω, 100 Ω και 125 Ω (β) Σχεδιάστε ένα διάγραμμα που να δείχνει την ισχύ του φορτίου ως προς την αντίσταση του φορτίου Λύση (α) Από το νόμο του Ohm, το ρεύμα στο φορτίο είναι I = R S R L οπότε, η ισχύς που καταναλώνεται (μεταφέρεται από την πηγή) σε αυτό είναι P L = I 2 R L = V S R S R L V S 2 R L = R L R S R L 2 V S 2 Για R L = 25 Ω, έχουμε P L = = 0.25 W = 250 mw (συνεχίζεται...) 47

48 Λύση (... συνέχεια) Για R L = 50 Ω, έχουμε P L = = 0.32 W = 320 mw Για R L = 75 Ω, έχουμε P L = = W = 334 mw Για R L = 100 Ω, έχουμε P L = = W = 326 mw Για R L = 125 Ω, έχουμε P L = = W = 313 mw (β) Το διάγραμμα της ισχύος για τις διάφορες τιμές της αντίστασης φορτίου είναι 48

49 Η πηγή ρεύματος Η ιδανική πηγή ρεύματος Δεν έχει εσωτερική αντίσταση Το βέλος δείχνει τη διεύθυνση του ρεύματος της πηγής. A A I S I S I S R L B (α) Χωρίς φορτίο B (β) Με φορτίο R L Το ρεύμα που παράγει μια ιδανική πηγή ρεύματος στο φορτίο R L είναι σταθερό και ισούται με την ονομαστική τιμή της I S. 49

50 Η πραγματική πηγή ρεύματος Η πηγή ρεύματος (... συνέχεια) Έχει μη μηδενική εσωτερική αντίσταση R S I S R S I L R L Το ρεύμα I L με το οποίο τροφοδοτεί μια πραγματική πηγή ρεύματος το φορτίο R L είναι μικρότερο από την ονομαστική της τιμή I S. I L = R S R S R L I S 50

51 Παράδειγμα 3-14 Υπολογίστε το ρεύμα I L στο φορτίο για τις ακόλουθες τιμές R L : 100Ω, 560Ω και 1.0 kω. Τι παρατηρείτε; Λύση I L = R S R S R L I S Για R L =100 Ω : Ι L = Για R L =560 Ω : I L = Για R L =1 kω : I L = 10kΩ 10kΩ0.1kΩ 10kΩ 10kΩ0.56kΩ 10kΩ 10kΩ1kΩ 1A = A 1A A 1A A Παρατηρούμε ότι όσο μικρότερο είναι το φορτίο το φορτίο (R L ) σε σχέση με την εσωτερική αντίσταση (R S ) της πηγής ρεύματος, τόσο το ρεύμα εξόδου (φορτίου), I L, πλησιάζει την ονομαστική της τιμή (I S ). 51

52 Μετατροπή πηγής τάσης σε ισοδύναμη πηγή ρεύματος Ισοδύναμες ονομάζονται δύο πηγές όταν σε ένα οποιοδήποτε φορτίο R L, που συνδέουμε στην έξοδό τους, οι δύο πηγές παράγουν την ίδια τάση και το ίδιο ρεύμα. Πηγή τάσης Ισοδύναμη πηγή ρεύματος R S A A V S V S R S R S B B Μια πηγή τάσης, V S, διαιρεμένη με την εσωτερική αντίσταση της πηγής, R S, δίνει την ισοδύναμη πηγή ρεύματος I S = V S R S 52

53 Μετατροπή πηγής ρεύματος σε ισοδύναμη πηγή τάσης Μια πηγή ρεύματος, I S, πολλαπλασιασμένη με την εσωτερική αντίσταση της πηγής, R S, δίνει την ισοδύναμη πηγή τάσης, V S = I S R S Πηγή ρεύματος Ισοδύναμη πηγή τάσης A R S A I S R S I S I S VR R SS B B 53

54 Παράδειγμα 3-15 (Παράδειγμα 3.8, σελ. 83, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Να υπολογιστεί το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση 5 Ω στο κύκλωμα του σχήματος (Σχήμα 3-45, σελ. 83, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Λύση Η πηγή ρεύματος 1 A παράλληλα με την αντίσταση R 1 = 10 Ω μπορεί να αντικατασταθεί με μια πηγή τάσης V 1 = (1 A)(10 Ω) = 10 V σε σειρά με την ίδια αντίσταση R 1 = 10 Ω. 1A I 1 I 2 R 1 =10 Ω R 2 =5 Ω R 3 =10 Ω I 3 2A Επίσης, Η πηγή ρεύματος 2 A παράλληλα με την αντίσταση R 3 = 10 Ω μπορεί να αντικατασταθεί με μια πηγή τάσης I 2 R 2 =5 Ω V 2 = (2 A)(10 Ω) = 20 V σε σειρά με την ίδια αντίσταση R 3 = 10 Ω. Το ισοδύναμο κύκλωμα που προκύπτει φαίνεται δίπλα 10V R 1 =10 Ω R 3 =10 Ω ± ± 20V (συνεχίζεται... )

55 Λύση (... συνέχεια) Το ζητούμενο ρεύμα I 2 προκύπτει άμεσα από το νόμο τάσεων του Kirchhoff στο μοναδικό βρόχο του ισοδύναμου κυκλώματος: 10 I 2 10 I 2 5 I = 0 I = I 2 = 10 = 0. 4 A 25 55

56 Παράδειγμα 3-16 (Παράδειγμα 3.9, σελ. 84, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Βρείτε την τιμή της αντίστασης R 2 στο κύκλωμα του προηγούμενου παραδείγματος (Σχήμα 3-45, σελ. 83, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) για την οποία η ισχύς που καταναλώνει γίνεται μέγιστη; Λύση Στο προηγούμενο παράδειγμα, είδαμε ότι το αρχικό κύκλωμα (σχήμα α) απλοποιείται σε ένα ισοδύναμο κύκλωμα με δύο πηγές τάσης σε σειρά (σχήμα (β). 1A I 1 I 2 R 1 =10 Ω R 2 =5 2 = ; Ω R 3 =10 Ω I 3 2A Οι δύο πηγές τάσης μπορούν να αντικατασταθούν με μία ισοδύναμη πηγή 10 V και οι δύο αντιστάσεις (εκτός της R 2 ) μια ισοδύναμη αντίσταση R ΙΣ = 20 Ω (σχήμα γ) (α) R ΙΣ =20 Ω I 2 I 2 R 2 R=5 2 = Ω; -10V ± R 2 =; 10V R 1 =10 Ω R 3 =10 Ω ± ± 20V (γ) (συνεχίζεται... ) (β) 56

57 Λύση (... συνέχεια) Από το ισοδύναμο κύκλωμα, που αποτελείται από μία πηγή τάσης σε σειρά με μία αντίσταση 20 Ω, χρησιμοποιώντας το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος, μπορούμε να δούμε ότι η ισχύς στην R 2 μεγιστοποιείται για τιμή της R 2 = 20 Ω -10V ± R ΙΣ =20 Ω I 2 R 2 =; Η μέγιστη αυτή ισχύς, που καταναλώνεται στην R 2 είναι P 2,max = = 1.25 W 57

58 Παράδειγμα 3-17 (Παράδειγμα 3.10, σελ. 85, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων) Να υπολογιστούν τα ρεύματα I 1 και I 2 στο κύκλωμα του σχήματος (α) (Σχήμα 3-48, σελ. 85, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων). Λύση Μπορούμε να απλοποιήσουμε το κύκλωμα του σχήματος (α) αντικαθιστώντας την πηγή ρεύματος 1Α και την παράλληλη σε αυτήν αντίσταση R 1 = 15 Ω με μια ισοδύναμη πηγή τάσης 1 Α 15 Ω = 15 V σε σειρά με μια αντίσταση 15 Ω. Το ισοδύναμο κύκλωμα με τις δύο πηγές τάσης φαίνεται στο σχήμα (β) Στο κύκλωμα αυτό, μπορούμε να υπολογίσουμε το ρεύμα I 2 εφαρμόζοντας το νόμο των τάσεων του Kirchhoff. 15 I 2 15 I = 0 I 2 25 = 5 I 2 = 5 = 0. 2 A 25 Το ρεύμα I 1 υπολογίζουμε γυρίζοντας στο αρχικό κύκλωμα (α) και εφαρμόζοντας το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff I 1 I 2 = 1 A I = 1 I 1 = 0. 8 A (συνεχίζεται... ) 58

59 Λύση (... συνέχεια) Εναλλακτικά, μπορούμε να απλοποιήσουμε το κύκλωμα του σχήματος (α) αντικαθιστώντας την πηγή τάσης 10V και τη σε σειρά με αυτήν αντίσταση R 2 = 10 Ω με μια ισοδύναμη πηγή 10 V ρεύματος = 1 Α παράλληλα με μια αντίσταση 10 Ω. 10 Ω Το ισοδύναμο κύκλωμα με τις δύο πηγές ρεύματος φαίνεται στο σχήμα (γ) Στο κύκλωμα αυτό, οι δύο πηγές ρεύματος προστίθενται και μπορούμε να υπολογίσουμε το ρεύμα I 1 από τη σχέση του διαιρέτη τάσης I 1 = R 2 R 1 R 1 (2 A) = 0. 8 A Τέλος, το ρεύμα I 2 υπολογίζουμε, όπως πριν, γυρίζοντας στο αρχικό κύκλωμα (α) και εφαρμόζοντας το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff I 1 I 2 = 1 A 0.8 I 2 = 1 I 2 = 0. 2 A 59