Τεχνικές ανάλυσης κυκλωµάτων

Transcript

1 Τεχνικές ανάλυσης κυκλωµάτων Μέχρι τώρα έχουµε αναλύσει σχετικά απλά ωµικά κυκλώµατα µε την εφαρµογή των νόµων Kirchhoff σε συνδυασµό µε το νόµο του Ohm. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αυτήν την προσέγγιση για όλα τα κυκλώµατα, αλλά καθώς γίνονται δοµικά πιο περίπλοκα και περιλαµβάνουν όλο και περισσότερα στοιχεία, αυτή η άµεση µέθοδος γίνεται σύντοµα πολύ πιο πολύπλοκη. Εδώ εισάγουµε δύο ισχυρές τεχνικές για την ανάλυση των σύνθετων δοµών κυκλωµάτων: την κοµβική ανάλυση τάσης (nodal voltage analysis) και την ανάλυση ρεύµατος δικτύων (current mesh analysis). Αυτές οι τεχνικές δίνουν δύο συστηµατικές µεθόδους περιγραφής κυκλωµάτων µε τον ελάχιστο αριθµό ταυτόχρονων εξισώσεων. Μερικοί χρήσιµοι ορισµοί Κόµβος (Node): Ένα σηµείο στο οποίο ενώνονται δύο ή περισσότερα στοιχεία κυκλωµάτων. Ουσιαστικός κόµβος (Essential node): Ένας κόµβος όπου τρία ή περισσότερα στοιχεία κυκλωµάτων ενώνονται. Βρόχος (Loop): Ένα µονοπάτι του οποίου o τελευταίος κόµβος είναι ο ίδιος µε τον αρχικό κόµβο. Κλάδος (Branch): Ένα µονοπάτι που συνδέει δύο κόµβους. Ουσιαστικός κλάδος (Essential Branch) : Ένα µονοπάτι που συνδέει δύο ουσιαστικούς κόµβους χωρίς διάβαση µέσω ενός ουσιαστικού κόµβου. ίκτυο (Mesh): Ένας βρόγχος που δεν εσωκλείει οποιουσδήποτε άλλους βρόγχους. Μετατροπή πηγών: Πιο κάτω θα µιλήσουµε για δύο τεχνικές τις οποίες θα εφαρµόζουµε σε κυκλώµατα µε πηγές τάσης ή σε κυκλώµατα µε πηγές έντασης. Όταν έχουµε να αναλύσουµε ένα κύκλωµα που εµπεριέχει και τα δύο είδη πηγών, για αποφυγή λαθών και για την οµαλοποίηση της διαδικασίας επίλυσης, καλείστε όπως πρώτα µετατρέψετε όλες τις πηγές στο ίδιο είδος όπως απαιτεί η µέθοδος. Η µετατροπή γίνεται ως εξής Πηγή τάσης Ε µε σειριακή αντίσταση R γίνονται πηγή έντασης E I = στη κατεύθυνση της Ε µε την R παράλληλη στην Ι. Η µετατροπή R ισχύει και αντιστρόφως. 1

2 R E I R Κοµβική µέθοδος τάσης (Nodal Voltage Method) Ιδανική για κυκλώµατα µε πηγές έντασης. Μεθοδολογία: 1. Επιλέξτε τον κόµβο αναφοράς (Γείωση συνήθως ο κόµβος µε τους περισσότερους κλάδους) 2. Μετατρέψετε όλες τις πηγές σε πηγές έντασης. 3. Σηµαδέψτε τις τάσεις των υπόλοιπων κόµβων σε σχέση µε τη γείωση. 4. Εφαρµόστε το νόµο ρεύµατος του Kirchhoff (KCL) για όλους τους κόµβους εκτός της γείωσης, και µε το νόµο του Ohm µετατρέψετε τα ρεύµατα σε τάσεις των κόµβων. 5. Λύστε για τις τάσεις των κόµβων. 6. Βρείτε τις τάσεις και τα ρεύµατα των κλάδων (δευτερεύοντες άγνωστοι). Προσέξτε την εφαρµογή της µεθόδου στο πιο κάτω παράδειγµα. Υποθέστε το κύκλωµα που ζητούµε όλα τα ρεύµατα και όλες τις τάσεις. a 2Ω I 3 I 2 I 1 2Ω 4Ω 3Ω c 10 Α V 1 I 5 I 4 4Ω 2Ω d I 6 2

3 Όπου V 1 η τάση που φαίνεται στο σχήµα και οι τάσεις V 2 ως V 6 αναφέρονται στα άκρα των αντιστάσεων τις οποίες διαπερνά το ρεύµα µε τον αντίστοιχο δείκτη, π.χ. στα άκρα της 3Ω µετρούµε τη V 5 και η V 4 στα άκρα της 4Ω στο κάτω αριστερό κλάδο του κυκλώµατος. 1. Θέτουµε ως σηµείο αναφοράς το σηµείο d και θεωρούµε ότι το δυναµικό στο σηµείο αυτό είναι µηδέν, V d = 0. Στην πραγµατικότητα το δυναµικό µπορεί να µην είναι µηδέν, αλλά οποιαδήποτε σταθερά θα λειτουργήσει µε τον ίδιο τρόπο, απλώς το µηδέν απλουστεύει τους υπολογισµούς. 2. Για τον κόµβο a έχουµε τη σχέση εντάσεων I 1 + I2 + I3 = 0 λόγω του νόµου εντάσεων του Kirchhoff, την οποία γράφουµε σύµφωνα µε τον 1 1 νόµο του Ohm ως ακολούθως 10 + ( V a V ) + ( Va Vc ) = Σηµειώστε ότι έχουµε πάρει όλες τις διαφορές δυναµικού ως προς αυτό του κόµβου που ασχολούµαστε, π.χ. ( Va Vx, x =, c) έτσι ώστε να διατηρήσουµε την πολικότητα του ρεύµατος. Επίσης προσέξτε ότι το ρεύµα της πηγής που κατευθύνεται προς τον υπό εξέταση κόµβο λαµβάνεται αρνητικό. 3. Επαναλαµβάνοντας το (2), για τους κόµβους και c έχουµε ( V Va ) + ( V Vc ) + V = 0 από την I 3 + I4 + I5 = 0 και ( V c Va ) + ( Vc V ) + Vc = 0 από την I 2 + I3 + I6 = Απλοποιώντας τις πιο πάνω γράφουµε k εξισώσεις, όπου k = αριθµός των ουσιαστικών κόµβων πλην 1 (τον κόµβο αναφοράς!), εδώ k = Va + V + Vc = Va + V + Vc = Va + V + Vc = Τις οποίες µπορούµε να εκφράσουµε ως τον νόµο του Ohm επίσης µε τη µορφή πίνακα GV = I 3

4 V a V = Vc Και τα ζητούµενα απαντώνται µε V = G I ή µε αντικατάσταση. Αυτό που αποµένει είναι µερικές απλές πράξεις. Πριν όµως προχωρήσουµε στο επόµενο σηµείο είναι σηµαντικό να προσέξουµε λίγο το πιο πάνω σύστηµα πινάκων, δηλαδή τη λύση του προβλήµατος. Αυτό έχει πάντα τα εξής χαρακτηριστικά Είναι συµµετρικό Η διαγώνιος είναι θετική και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία αρνητικά. Όλοι οι όροι του πίνακα µπορούν να εισαχθούν στο σύστηµα µε µια απλή οπτική εξέταση του κυκλώµατος!!! ηλαδή τα στάδια (1)-(4) µπορούν να παραληφθούν. Συγκεκριµένα, οι όροι στη διαγώνιο είναι τα αθροίσµατα των αγωγιµοτήτων οι οποίες ενώνονται µε τον υπό εξέταση κόµβο. Οι άλλοι όροι είναι τα αρνητικά των αγωγιµοτήτων µεταξύ των κόµβων αναφοράς (γι αυτό και ο πίνακας είναι συµµετρικός), π.χ. το G 23 = G 32 είναι το αρνητικό της αγωγιµότητας που βρίσκεται µεταξύ των κόµβων και c. 5. Σύµφωνα µε το κύκλωµα V 1 = V a, V 2 = V a V c, V 3 = V a V, V 4 = V, V 5 = V V c, V 6 = V c, ενώ τα ρεύµατα είναι Ι 1 = 10Α, I 2 = V 2 /4, I 3 = V 3 /2, I 4 = V 4 /4, I 5 = V 5 /3 και I 6 = V 6 /2. Quiz: Σε ποια µέθοδο αριθµητικής ανάλυσης χρησιµοποιείται η πιο πάνω µέθοδος για την ανάλυση κυκλωµάτων µε εκατοντάδες ή και χιλιάδες αντιστάσεις; Ερωτήσεις κατανόησης 1) Επαναλάβετε το παράδειγµα µε σηµείο αναφοράς το c. 2) Βρείτε την τάση στα άκρα της αντίστασης 1Ω του πιο κάτω κυκλώµατος 4

5 1 Ω 2 Ω 3 Ω 4 Ω 1 ma 3) Υπολογίστε τα Ι 1 ως Ι 5 και τις τάσεις στα άκρα των αντιστάσεων δείχνοντας επίσης την πολικότητα τους. 8Ω I 2 2A I 4 I 1 I 3 I 5 8Ω 3 sin(2t) 2Ω 6Ω 3Ω 4) Γράψετε την εξίσωση πινάκων GV = I για το πιο κάτω κύκλωµα χωρίς να εφαρµόσετε τους νόµους του Kirchhoff. Ανάλυση κυκλώµατος ανά πλέγµα (Method of mesh analysis). Ιδανική για κυκλώµατα µε πηγές τάσης. Σε σύνθετα κυκλώµατα, οι νόµοι Kirchhoff οδηγούν γρήγορα σε έναν µεγάλο αριθµό αγνώστων. Το πρόβληµα βρίσκεται στο γεγονός ότι µερικές από αυτές τις εξισώσεις είναι γραµµικά εξαρτώµενες όπως φαίνεται στο πιο κάτω κύκλωµα. 5

6 Εδώ υπάρχουν 6 άγνωστα ρεύµατα. Από τον νόµο έντασης Στο A: I 4 = I 1 I 2, στο B: I 5 = I 2 I 3, στο C: I 6 = I 5 + I 3 και στο D: I 1 = I 4 + I 6. Εφαρµόζουµε το νόµο τάσης Kirchhoff Θετική κατεύθυνση: Στο βρόχο 1: Ε 1 = I 1 R 1 + I 4 R 4, στον 2: R 2 I 2 + R 5 I 5 =R 4 I 4 και στον βρόχο 3: (R 3 +R 6 )I 3 =R 5 I 5 παίρνοντας ως θετική φορά του ρεύµατος των βρόχων αυτή του ρολογιού. Οι δύο νόµοι του Kirchhoff µας δίνουν συνολικά 7 εξισώσεις για τους 6 αγνώστους. Το γεγονός αυτό δεν είναι ανησυχητικό ως προς την επίλυση του προβλήµατος, είναι όµως χαρακτηριστικό του βαθµού δυσκολίας στην επίλυση του. Quiz: Εάν στην ανάλυση κάποιου κυκλώµατος διαπιστώσουµε ότι υπάρχουν περισσότεροι άγνωστοι παρά εξισώσεις τι µπορούµε να συµπεράνουµε; Η µέθοδος που επιτυγχάνει την ανάλυση του κυκλώµατος χωρίς το πρόβληµα των περιττών εξισώσεων είναι η ανάλυση ρευµάτων πλέγµατος (mesh current loop analysis). Μεθοδολογία 1. Αντιπροσωπεύστε τα ρεύµατα ως ρεύµατα βρόγχων σε κάθε πλέγµα 2. Μετατρέψτε όλες τις πηγές σε πηγές τάσης. 3. Εφαρµόστε το νόµο τάσης Kirchhoff σε κάθε πλέγµα. 4. Λύστε το σύστηµα των εξισώσεων. Για την περίπτωση πιο πάνω έχουµε το ακόλουθο κύκλωµα: 6

7 Επιστρέφουµε τώρα σε µια παραλλαγή του προηγούµενου παραδείγµατος όπου µελετήσαµε τη κοµβική µέθοδο για να εφαρµόσουµε αυτή τη φορά τη µέθοδο πλέγµατος που είναι εξίσου απλή. a 2Ω I 3 I 2 I 1 2Ω 4Ω Ι β 10 V Ι α 3Ω c V 1 I 4 I 5 4Ω Ι γ 2Ω d I 6 1. Στο κύκλωµα εντοπίζουµε τρία δίκτυα: αυτό που είναι αριστερά και συµπεριλαµβάνει τους κόµβους a και d, το οποίο συµβολίζουµε ως ad, και τα άλλα δυο µικρότερα στα αριστερά ac και cd. Στο κάθε δίκτυο θεωρούµε ρεύµα µε δεξιόστροφη κατεύθυνση, δηλαδή Ι α στο ad, Ι β στο ac και Ι γ στο cd. Τα ρεύµατα δέχονται ελληνικούς δέκτες για να ξεχωρίζουν από τους κόµβους. 2. Από το νόµο τάσης του Kirchhoff στα τρία δίκτυα έχουµε 2 I 2 I I + 4 I I = από το V + V + V 10 για το ad, ( ) ( ) 10 α + α β α γ και παροµοίως 4 I 3 I I + 2 I I = για το ac, και β + ( β γ ) ( β α ) 0 ( I ) + 2I + 4( I I ) = 3 I = για το cd. Προσέξτε ότι σε κάθε γ β γ γ α δίκτυο η θετική φορά του ρεύµατος είναι πάντα η ίδια, έτσι για τις αντιστάσεις στις οποίες ρέουν περισσότερα από ένα ρεύµατα, θεωρούµε πάντα ότι η διαφορά των ρευµάτων αυτών είναι θετική στη φορά του ρεύµατος του δικτύου υπό εξέταση, π.χ. για την αντίσταση 3Ω έχουµε στο ac τον όρο I 3 I. 3 ( ) ενώ στο cd ( ) β I γ γ I β 7

8 3. Απλοποιώντας τις πιο πάνω εξισώσεις παίρνουµε το σύστηµα 8 I 2I 4I = 10 α 2I 4I α α β + 9I 3I β β γ 3I + 9I το οποίο µπορούµε να γράψουµε µε µορφή πίνακα ως RI = V σύµφωνα µε τον νόµο του Ohm ως Iα = I β Iγ 0 1 της οποίας η λύση υπολογίζεται ως I = R V η µε αντικατάσταση των µεταβλητών. Όπως και προηγουµένως το πρόβληµα σε αυτό το σηµείο θεωρείται (µε εξαίρεση τη γραπτή εξέταση!) αφού όλες οι τάσεις και τα ρεύµατα υπολογίζονται µε τα τρία ρεύµατα των δικτύων. Αξίζει όµως να προσέξουµε λίγο τον πίνακα R, ο οποίος έχει πάντα τα εξής χαρακτηριστικά: γ γ = 0 = 0 Είναι συµµετρικός, Έχει θετικούς όρους µόνο στη διαγώνιο, Όλοι οι όροι του πίνακα µπορούν να εισαχθούν στο σύστηµα µε µια απλή οπτική εξέταση του κυκλώµατος!!! Συγκεκριµένα, οι τιµές της διαγώνιου αντιστοιχούν στις ολικές αντιστάσεις των τριών βρόχων, ενώ οι υπόλοιπες είναι τα αρνητικά των αντιστάσεων που είναι κοινές µεταξύ των δικτύων, π.χ. R 12 = R 21 είναι η αρνητική αντίσταση των 2Ω στο πάνω αριστερό κλάδο του κυκλώµατος. 4. Κα τά συνέπεια, Ι 1 = I α, Ι 2 = I β, I 3 = I α I β, Ι 4 = I α I γ, Ι 5 = I γ I β και Ι 6 = Ι γ, ενώ V 1 = 2I , V 2 = 4I 2, V 3 = 2I 3 κτλ. Quiz: Μπορείτε να σχηµατίσετε το κύκλωµα όταν σας δοθεί η RI = V ; Ερωτήσεις κατανόησης 1) Χρησιµοποιήστε την ανάλυση ρευµάτων πλέγµατος για να καθορίσετε την ισχύ που συνδέεται µε κάθε πηγή τάσης στο κύκλωµα που παρουσιάζεται κατωτέρω. Υπολογίστε επίσης την τάση V 0 στα άκρα της αντίστασης 8 Ω. Στη συνέχεια επαναλάβετε το πρόβληµα µε αντίθετη τη φορά της πηγής τάσης των 20V. 8

9 2 Ω 6Ω 4Ω 40 V 8 Ω 6Ω 20 V V 0 2) Χρησιµοποιήστε την ανάλυση ρευµάτων πλέγµατος για να υπολογίσετε τα ρεύµατα και τις τάσεις στο κύκλωµα. Σχολιάστε τη µορφή των απαντήσεων. 2 V 3 V kω 1 kω 500 Ω 1 kω + sin(t) V 2t V - 3 kω + - 3) Υπολογίστε τα ρεύµατα των βρόχων του κυκλώµατος 3 Ω 4 Ω 1 Ω 5 mv + 6 Ω 2 Ω 5 ma - 1 Ω 9

10 4) Υπολογίστε τα ρεύµατ α Ι 1, Ι 2, Ι 3 και Ι 4 χωρίς να γράψετε τους νόµους του Kirchhoff στο πιο κάτω κύκλωµα. I 1 I Ω 2 ma 1V I 2 I 4 Ισοδύναµα κυκλώµατα Thevenin και Norton Θα εξετάσουµε τώρα µια άλλη πολύ χρήσιµη τεχνική για την ανάλυση των γραµµικών κυκλωµάτων. Αυτή είναι η µέθοδος ισοδύναµων κυκλωµάτων, δηλαδή µε την οποία ένα σύνθετο κύκλωµα απλοποιείται σε ένα απλό αλλά ισοδύναµο κύκλωµα. Η θεωρεία που επιτρέπει αυτή την µετατροπή είναι γνωστή µε τα θεωρήµατα των Thevenin και Norton. Θεώρηµα Thevenin Η ιδέα εδώ είναι ότι οποιαδήποτε δίκτυα µε δύο τελικά άκρα (two terminal network) που περιέχουν πηγές τάσης και ρεύµατος καθώς και άλλα γραµµικά στοιχεία κυκλωµάτων έχουν ακριβώς τα ίδια ηλεκτρικά χαρακτηριστικά µε ένα ισοδύναµο κύκλωµα που αποτελείται από µια ενιαία πηγή τάσης V TH σε σειρά µε µια ενιαία αντίσταση R TH. LINEAR CIRCUIT ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ a Η τάση Thevenin VTH είναι ίση µε την τάση του ανοικτού κυκλώµατος (open circuit) όπως την βλέπουµε στα άκρα του γραµµικού κυκλώµατος. V TH V TH = V open circuit R TH a 10

11 Η αντίσταση Thevenin δίδεται σε συνάρτηση µε την τάση του ανοικτού κυκλώµατος (open circuit voltage) και του ρεύµατος βραχυκυκλώµατος (short-circuit). Ένας άλλος τρόπος να εκφράσουµε την αντίσταση, που χρησιµοποιείται συχνά στην πράξη, είναι να θεωρηθεί ότι η R TH είναι ίση µε την αντίσταση όπως φαίνεται στα άκρα της εξόδου (output) µε όλες τις πηγές τάσης βραχυκυκλωµένες και τις πηγές ρεύµατος ανοικτές. R TH = V open circuit I short circuit Υποθέστε ότι ζητείται να βρεθεί το ισοδύναµο κύκλωµα Thevenin στα άκρα της R L στο πιο κάτω κύκλωµα. R 1 RL R 2 V 1 V 2 R 3 εδοµένα: Οι αντιστάσεις R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, R 3 = 3Ω, V 1 = 1V, V 2 = 2V. ιαδικασία µετατροπής σε κύκλωµα Thevenin 1. Υποθέστε ότι το κύκλωµα είναι ανοικτό στα άκρα της R L. 2. Η τάση V είναι η τάση V η οποία δίνεται από TH R L VR L = VR 2 + VR 3 V 2 Έτσι λοιπόν αυτό που αποµένει για να υπολογιστεί η τάση Thevenin είναι να υπολογιστούν οι τάσεις στις αντιστάσεις R2 και R 3. Με το κύκλωµα ανοικτό όµως το µόνο ρεύµα που ρέει στο κύκλωµα είναι αυτό του αριστερού βρόχου, ο οποίος δεν είναι παρά ένας διαιρέτης τάσης. Έτσι από το 1V της πηγής τα 5/6 είναι στα άκρα της ολικής R 23 ενώ το υπόλοιπο 1/6 στα άκρα της R 1. Ο απλός αυτός υπολογισµός δίνει V R V = V. L = TH 3. Για να υπολογίσουµε την R TH υποθέτουµε ότι το κύκλωµα βραχυκυκλώνεται στα άκρα της R L και οι πηγές αγνοούνται. Αυτό µας δίνει µια διάταξη αντιστάσεων στην οποία η R 1 είναι παράλληλα µε τις 11

12 R 2 και R 3 που είναι σε σειρά. Υπολογίζοντας την ολική αντίσταση έχουµε RTH = Ω. 4. Το ισοδύ ναµο κύκλωµα Thevenin είναι R TH - + V TH R L I Ερωτήσεις κατανόησης 1) Ζητείται η V TH και η R TH στα αριστερά των σηµείων a και. 5 Ω 4 Ω a 25 V 20 Ω 3A 2) Στα τερµατικά a και ενώνεται (αντίσταση) 10Ω και η πηγή έντασης αντικαθίσταται µε πηγή τάσης 10V της ίδιας πολικότητας. Βρείτε µε τη βοήθεια µετασχ ηµατισµού Thevenin, την ισχύ κατανάλωσης (i) στην αντίσταση 10Ω, (ii) στην αντίσταση 20Ω, και (iii) στην αντίσταση 5Ω. 3) Υπολογίστε την τάση στα άκρα της αντίστασης R L, χρησιµοποιώντας διαδοχικές µετατροπές πηγών. 12

13 V 6 ΚΩ 3A 1 ΚΩ 2 ΚΩ R L Ισοδύναµο κύκλωµα Norton LINEAR CIRCUIT ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ Αποτελείται από µια ανεξάρτητη πηγή ρεύµατος παράλληλη µε την ισοδύναµη αντίσταση Norton. Μπορούµε να το βρούµε από ένα ισοδύναµο κύκλωµα Thevenin µε ένα µετασχηµατισµό πηγής (source transformation). Μετασχηµατισµός πηγής: Με βάση την τάση Thevenin η πηγή Norton VTH υπολογίζεται από I N =. Κατά συνέπεια το ρεύµα Norton είναι ίσο µε το RTH ρεύµα βραχυκυκλώµατος στα τερµατικά ενδιαφέροντος και η αντίσταση Norton είναι ίδια µε την αντίσταση Thevenin. Σε µερικές περιπτώσεις η εξεύρεση του Norton µέσω του Thevenin δεν είναι κατορθωτή, έτσι η ένταση Ι Ν µπορεί να βρεθεί µε ανάλυση εάν υποθέσουµε ότι τα δύο τερµατικά a και είναι βραχυκυκλωµένα. Επαλληλία (Superposition) a Ένα γραµµικό σύστηµα υπακούει την αρχή της επαλληλίας, που λέει ότι όποτε ένα γραµµικό σύστηµα είναι διεγερµένο (excited), ή οδηγηµένο (driven), από I N R N a 13

14 περισσότερες της µιας ανεξάρτητης πηγής ενέργειας, η συνολική απάντηση είναι το σύνολο των µεµονωµένων απαντήσεων (individual responses). Ερωτήσεις κατανόησης 1) Βρείτε το ισοδύναµο κύκλωµα Norton στο πιο κάτω ανοικτό κύκλωµα χρησιµοποιώντας µετατροπές πηγών και επαλληλία. 2 Ω 4 Ω 6 Ω 10 V 300 µα Ω - 2) Υπολογίστε το ρεύµα στην αντίσταση 2 Ω στο πιο κάτω 6 Ω 2 Ω 12 V 6 V Ω - - 3) Βρείτε τα I 1, I 2, I 3 και I 4 στο κύκλωµα χρησιµοποιώντας την αρχή της επαλληλίας. 14

15 6 Ω 2 Ω Ι V I 2 3 Ω 4 Ω I 4 12A Ι 3 Μέγιστη µεταφορά ισχύος R S V I L R L LLOAD ΦΟΡΤΙΟ Τι αντίσταση φορτίου θα έπρεπε να επιλέξουµε για να µεγιστοποιήσουµε την ισχύ στο φορτίο σε αυτό το κύκλωµα; Το ρεύµα µέσω του φορτίου είναι I L V = R + R Και γι αυτό η ισχύς του φορτίου είναι PL = VLI L = ILRL η οποία και µεγιστοποιείται όταν η R s είναι ίση µε το φορτίο, δηλαδή Σε αυτή την περίπτωση η µέγιστη ισχύς δίνεται ως 2 V Pmax = 4R L Ερώτηση κατανόησης: s L 2 R = R. s L 1) Αποδείξετε τον τύπο της µέγιστης ισχύς. 2) Επαναλάβατε την πιο πάνω ανάλυση για πραγµατική πηγή έντασης. 15