Kristina Svarevičiūtė

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Kristina Svarevičiūtė"

Transcript

1 ISSN LITERATŪRA (3) Lietuvos didžiojo kunigaikščio Algirdo graikiškas laiškas Bizantijos epistolografijos kontekste Kristina Svarevičiūtė Vilniaus universiteto Klasikinės filologijos katedros asistentė 1371 m. Lietuvos didysis kunigaikštis Algirdas laišką Konstantinopolio patriarchui Filotėjui dėl metropolito Aleksijaus elgesio ir naujo metropolito Lietuvos Rusiai skyrimo parašė graikiškai. Šis laiškas įtrauktas į Acta patriarchatus Constantinopolitani 1 (toliau Acta), jo vertimas į lietuvių kalbą pirmą kartą išspausdintas 1981 m. Niujorke išleistoje A. Budreckio studijoje, skirtoje kunigaikščiui Algirdui 2, tačiau istorikas jį vertė iš rusų kalbos 3, vertimas nėra sklandus ir aiškus, o Marcelino Ročkos iš graikų kalbos į lietuvių kalbą išverstas laiškas pirmą kartą publikuotas tik po mokslininko mirties 1996 m. kartu su straipsniu ir komentarais 4 yra visuotinai 1 Acta patriarchatu Constantinopolitani MCCCXV MCCCCII, ed. Franciscus Miklosich, Iosephus Müller, Vindobodae: 1860, t Algirdas M. Budreckis, Algirdas: senovės Lietuvos valstybininkas, jo veikla ir laikai, New York: LŠST Simo Kudirkos šaulių kuopa, 1981, Versta iš: Памятники древнерускаго каноническаго права. Русская историческая библиотека. т. 4, ч. 1. Приложение, СПб.1880, ; p. 175 A. Budreckis pateikia ir rusišką tekstą, surinktą lotyniškaisiais rašmenimis. 4 Pirmą kartą M. Ročkos straipsnis paskelbtas iš jo rankraštinio palikimo, saugomo Vilniaus universiteto Rankraščių skyriuje: Marcelinas Ročka, Algirdo laiškas Konstantinopolio patriarchui, Metraščiai ir kunigaikščių laiškai (Senoji Lietuvos literatūra, kn. 4), Vilnius: Lietuvių literatūros ir tautosakos institutas, pripažįstamas, juo remiasi Lietuvos istorikai. A. Budreckį Algirdo laiškas domino tik kaip istorinis šaltinis, filologo M. Ročkos straipsnyje ne tik išsamiai apžvelgtos istorinės laiško parašymo aplinkybės, bet aptartas ir laiško stilius, kalba, kai kurios leksikos ypatybės. Pastaraisiais metais Lietuvos didžiojo kunigaikščio Algirdo laiškas ir M. Ročkos komentarai gana dažnai patenka į filologų, tiriančių senąją Lietuvos literatūrą ir raštiją, akiratį. Daug dėmesio jam skirta Albino Jovaišo senosios Lietuvos literatūros studijoje 5, jis nelieka nepastebėtas Tomo Veteikio, tyrusio graikiškąją LDK kūrybą 6, 1996, Šis straipsnis perspausdintas: Marcelinas Ročka, Rinktiniai raštai, sudarė ir parengė Mikas Vaicekauskas (Senoji Lietuvos literatūra, kn. 11), Vilnius: Lietuvių literatūros ir tautosakos institutas, 2002, 11 18; Kaip teko pastebėti, visi tyrėjai remiasi pirmąja publikacija, nors antrojoje publikacijoje išsamiau pateikti bibliografiniai duomenys yra informatyvesni. Šiuo metu M. Ročkos rankraščiai, skirti Algirdo laiškui, saugomi VU Rankraščių skyriaus F. 186 penkiose bylose: 223 (I straipsnio redakcija), 224 (II redakcija), 225 (III redakcija), 226 (skirtingų redakcijų fragmentai), 227 (medžiaga straipsniui). 5 Eugenija Ulčinaitė, Albinas Jovaišas, Lietuvių literatūros istorija: XIII XVIII amžius, Vilnius: Lietuvių literatūros ir tautosakos institutas, 2003, Tomas Veteikis, Graikų kalbos studijos ir graikiškoji kūryba Lietuvoje XVI XVII amžiuje (daktaro disertacija), Vilnius, 2004,

2 bei Dovilės Keršienės LDK epistolografijos darbuose 7. Vėliausia M. Ročkos cituojama literatūra datuojama 1972 m., archyvo bylose yra panaudotų užrašams 1971 m. stalo kalendoriaus lapelių, todėl galima manyti, kad straipsnis buvo rašomas 1972 m. Tačiau publikacijos tekstas, mokslininko užrašuose paliktos pastabos ir dvejonės verčia dar kartą kelti tuos pačius klausimus, plačiau apsvarstyti vieną ar kitą jo teiginį žiūrint iš kitos laiko perspektyvos. Visų pirma tai susiję su laiško santykiu su to meto Bizantijos laiškų tradicija, kurį M. Ročka įvardija gana glaustai, pažymėdamas skirtumus: Matyti tik labai tolimas Algirdo laiško ryšys su vadinamuoju XIV a. pirmos pusės Bizantijos humanizmu. [ ] Tačiau Lietuvos kunigaikščio laiškas dėl savo paprastumo, dalykiškumo yra savitas ir skirtingas nuo bizantinės-humanistinės epistolografijos, kuriai būdingos kaip tik priešingos ypatybės: dirbtinumas, nuasmeninimas, sakytum sąmoningas realybės ir konkretumo atsisakymas. 8 Rankraštiniame palikime ši teksto dalis yra tik antroje redakcijoje (su prierašu, pieštuku, prie 7 Dovilė Keršienė, Epistolografija Lietuvos Didžiojoje Kunigaikštystėje XIV XVI amžiuje: Nuo Ars dictaminis iki literatūrinio laiško (daktaro disertacija), Vilnius: Vilniaus universitetas ir Lietuvių literatūros ir tautosakos institutas, 2010, 99; Dovilė Keršienė, Viduramžių epistolografijos tradicija Europoje: Ars Dictaminis genezė, raida, turinys, Senoji Lietuvos literatūra, kn. 30, Vilnius: Lietuvių literatūros ir tautosakos institutas, 2010, M. Ročka, 201. Straipsnyje Bizantijos epistolografijos ypatybės pristatomos citata ir duodama nuoroda į Вопросы философии, 1972, No 4, c , tačiau čia įsivėlusi klaida perkelta iš antros straipsnio redakcijos. Iš tikrųjų M. Ročka remiasi I. P. Medvedevo straipsniu, spausdintu žurnale Вопросы истории 1972, No 4, , kurio autoriaus daryta lietuviška santrauka saugoma byloje Nr ko? ) ir skirtingų redakcijų fragmentuose kaip atskiras, niekur nepriskirtas tekstas, jo nėra pirmoje ir trečioje redakcijose. Matome, kad M. Ročka dvejojo dėl šio teiginio, laikė I. P. Medvedevo straipsnio, apžvelgiančio XIV XV amžių Bizantijos dvasinio-kultūrinio gyvenimo aspektus, lietuvišką santrauką, kuria ir rėmėsi rašydamas komentarus. Šios santraukos paraštėje mokslininkas pažymėjo: Gal tik bendriausiais bruožais dėl to, kad šis laiškas priklauso epistolografijai Algirdo laišką galima sieti su vadinamu Bizantijos humanizmu. 9 Remdamasi Ročkos pastabomis, laiško savitumą ir išskirtinumą Bizantijos epistolografijos kontekste pabrėžia ir Dovilė Keršienė 10. Šis laiškas savitas ir išskirtinis visų pirma tuo, kad yra vienintelis graikiškos LDK kunigaikščio korespondencijos faktas, tačiau ar jis tikrai toks išskirtinis gausios Bizantijos epistolografijos kontekste? Ar apskritai jį galima lyginti su Bizantijos humanistine epistolografija? Norint atsakyti į šiuos klausimus, reikėtų kiek išsamiau pažvelgti į pačią Bizantijos epistolografiją. Kadangi tema plati, apima ilgą laikotarpį (IV XV amžius), skaičiuojama tūkstančiai laiškų ir daugybė garsių autorių, trumpai apžvelgsime Bizantijos laiškų tradiciją remdamiesi šios srities žinovų Herberto Hungerio 11 ir Nikolajo Tomadakio 12 darbais. 9 M. Ročka, Vilniaus universiteto Rankraščių skyrius, F. 186, byla Nr Dovilė Keršienė, Epistolografija Lietuvos Didžiojoje Kunigaikštystėje XIV XVI amžiuje: Nuo Ars dictaminis iki literatūrinio laiško (daktaro disertacija), Herbert Hunger, Βυζαντινή Λογοτεχνία. Ἡ λό- ό- για κοσμικὴ γραμματεία τῶν Βυζαντινῶν. Τόμος Α, Αθήνα: ΜΙΕΤ, 1991, pirmas leidimas Νικόαλου Β. Τωμαδάκη, Βυζαντινή ἐπιστολογραφία ἤτοι εἰσαγωγή εἰς τήν βυζαντινήν φιλολογίαν, Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Π. Πουρναρά, 1993, τρίτη έκδοση. 90

3 1. Laiško teorija Bizantijoje Bizantijos laiškų rašytojams buvo žinoma vėlyvosios antikos laiškų rašymo teorija. Nemažai svarstymų apie laiško prigimtį ir stilių yra pačių epistolografų Filostrato (II III a.), Grigaliaus Nazianziečio (IV a.), Libanijaus (IV a.), Fotijaus (IX a.), Michailo Pselo (XI a.), Nikito Choniačio (XIV a.), Dimitrio Kidonio (XIV a.) ir kt. darbuose. Tačiau, kitaip nei lotyniškoje Europoje, kur nuo XI a. plinta laiškų rašymo vadovai 13, Bizantijoje laiškų rašymo teorijai nebuvo daug dėmesio skiriama net retorikos vadovėliuose, kur ji visų pirma buvo pratybų dalimi. Grigalius Korintietis (XII XIII a.), pasisakęs prieš daugžodžiavimą ir dirbtinumą, pirmasis atskyrė epistolografiją nuo grynosios retorikos, siedamas ją su filosofija ir naratyviniu tekstu. Tik filosofo Josifo Rakendičio pirmosios XIV a. pusės retorikos vadovėlyje pirmą kartą parašytas epistolografijos skyrius. Bizantijos laiškų rašytojas, vadovaudamasis negausiomis taisyklėmis, sekė pavyzdiniais laiškais, taip pat galėjo pasirinkti sektiną pavyzdį. Fotijus, lygindamas antikos ir Bizantijos autorių laiškus, kaip stiliaus meistrus vertina antikos autorius, tačiau pabrėžia, kad, be stiliaus kategorijos, ypač svarbus etinis laiško aspektas ir čia didžiausiais autoritetais laiko Bazilijų, Grigalių Nazianzietį ir Izidorių Pelusietį (IV V a.). Laiškų pavyzdžių rinkiniai (epistoliarijai) buvo naudojami visais Bizantijos amžiais, jie buvo perrašinėjami, renkami ir formuojami savi. Epistoliarijai su laiškais, rašytais atikos dialektu, naudojami turkų valdymo laikotarpiu iki pat 1832 m. Dėl ypač sudėtingos 13 Dovilė Keršienė, Viduramžių epistolografijos tradicija Europoje: Ars Dictaminis genezė, raida, turinys, laiškų pradžios su titulais ir pareigybėmis buvo įprasti ir laiškų pradžios rinkiniai, ši tradicija taip pat išlaikyta visą turkų valdymo laikotarpį, kai buvo kuriami tiek aukšto stiliaus, tiek šnekamosios kalbos laiškų pradžios pavyzdžių rinkiniai. Niekas iš didžiųjų Bizantijos epistolografų nei ankstyvuoju, nei vėlyvuoju laikotarpiu nerašė fiktyvių laiškų, tačiau jie egzistavo, įtraukti į epistoliarijus buvo naudojami mokymo tikslais Laiškų rūšys Ir antikos, ir Bizantijos laikais nebuvo bendros nuomonės, kaip skirstyti laiškus 15. Pseudo Demetrijo (apie I a. pr. Kr. I a. po Kr.) kanceliarijos raštininkams skirtame darbe Τύποι ἐπιστολικοί laiškai skirstomi į 21 rūšį, pseudo Proklas (apie IV VI a.) Οἱ ἐπιστολιμαῖοι χαρακτῆρες pateikia 41 rūšies laiškų pavyzdžių 16. Bizantiečiai laiškus skirstė į dar daugiau rūšių, tai patvirtina gydytojo, filosofo Bazilijaus (XVIII a.) epitoliarijus ir Nikodemo Agioričio ( ) Κῆπον Xαρίτων, paremtas rankraštine tradicija ir apibendrinantis bizantiečių patirtį 17. Priskirti laišką kuriai nors laiškų rūšiai nėra lengva dėl kartais esamų minimalių 14 Hunger, , Τωμαδάκη, 81 82, Τωμαδάκη, Pseudo Proklo ir pseudo Libanijaus Οἱ ἐπιστολιμαῖοι χαρακτῆρες yra to paties kūrinio du variantai. Hungerio nuomone, pseudo Proklo laiškų skirstymas aiškesnis ir natūralesnis; Hunger, Τωμαδάκη, 123; XVII a. po gana ilgo sąstingio vėl atgimsta laiškų rašymo tradicija ir dedami naujojo graikiško laiško pamatai, tačiau šis atgimimas neatsiejamas nuo antikos ir Bizantijos epistolografijos palikimo, pastarosios įtaka ypač juntama XVII a. Plačiau: Γρηγόριος Σταυρόπουλος. Νεοελληνική επιστολογραφία 17 ος 18 ος αιώνας (Διατριβή επί διδακτορία), Θεσσαλονίκη,

4 skirtumų. Hungeris pasiūlė laiškus skirstyti pagal parašymo tikslą ir būdą, taip jis išskyrė keturias grupes 18. Pirma grupė: dalykiniai laiškai, rašomi praktiniais tikslais, adresuoti tarnyboms ar pareigūnams, jie nėra skirti viešinti, tačiau gali būti paskelbiami vėliau, autoriui mirus. Antra grupė: grynai asmeniniai laiškai, rašomi praktiniais tikslais, skirti tik vienam asmeniui. Šio tipo laiškai paprastai geriausiai perteikia realybę ir yra mažiausiai paveikti retorikos taisyklių. Tai, kad bizantiečiai skyrė asmeninius laiškus nuo literatūrinių asmeninių laiškų, patvirtina ir vieno iš iškiliausių tam tikro laikmečio rašytojo Michailo Pselo pastabos. Trečia grupė: literatūriniai laiškai, rašomi be jokio skubaus reikalo, skirti ne vienam skaitytojui (klausytojui), o ateityje viešinti laiškų rinkinyje. Šios grupės Hungeris skiria keturis pogrupius: didaktinius laiškus (dauguma tokių išlikusių laiškų yra teologinio pobūdžio), dedikacinius laiškus, mėgdžiojančius laiškus, stereotipinius laiškus. Ketvirta grupė: literatūriniai asmeniniai laiškai, rašomi praktiniais tikslais, skirti ne tik adresatui, bet ir kitiems skaitytojams. Ne visada šios grupės laiškus lengva atskirti nuo grynai literatūrinių trečios grupės laiškų. Tomadakis visų pirma skiria laiškus į asmeninius, neskirtus viešinti, ir viešus. Pastarųjų stilius yra aukštas, jie puošiami citatomis, mitologinėmis detalėmis, juose daug žodžių žaismo ir įvairių meninių priemonių. Pagal turinį laiškus skirsto į politinius, teologinius ir retorinius. Mokslininkas pabrėžia, kad nuo laiškų reikia skirti raštus, t. y. tarnybų konkrečiu tikslu siunčiamus dokumentus, pavyzdžiui, to- 18 Hunger, kius: imperatorių raštai, rašyti imperatorių notarų, patriarchų notarų rašyti raštai ir kt. Mokslininko nuomone, šie raštai yra įdomūs kalbiniu požiūriu, kartais turi ir literatūrinę vertę, tačiau jie rašyti pagal formuliarus ir perteikia standartizuotą biurokratinę tradiciją, nes parašyti aukštu stiliumi, pradedami teologine įžanga, kuri retai kada būna originali, tačiau neatspindi jausmų ir asmeninės pozicijos Laiško struktūra Bizantijos, kaip ir lotyniškos Europos laiškams, būdinga konkreti struktūra 20. Tam tikros laiškų dalys buvo privalomos, kai kurios aptinkamos ne visuose laiškuose. Bizantijos laiškas turi adresanto ir adresato pristatymą (ἐπιγραφὴ), pasveikinimą, įžangą, pasakojimą ir pabaigą. Laiško pradžia jau ankstyvojoje Bizantijoje keičiasi ir, skirtingai nei antikoje, pirmasis įvardijamas adresatas, o antrasis adresantas 21. Pasveikinime pagal rūmų etiketą aukštinamas adresatas, o rašytojas savo asmenį sumenkina. Labai dažnai vartojamas visiems priimtinas, ankstyvuoju laikotarpiu susiformavęs gana abstraktus pasveikinimas, vengiantis tiesioginio adresato pasveikinimo, pvz.: ἡ σὴ φιλανθρωπία, ἡ σὴ ἐνδοξότης, τὸ σὸν ὕψος 22, o kreipinys tokiu atveju gali būti įtraukiamas į įžangą. Palinkėjimai (dažniausiai linkima sveikatos) rašomi laiško pradžioje, laiško pabaigoje, kur προσκυνῶ dažnai derinamas su προσαγορεύω, tačiau kartais ap- 19 Τωμαδάκη, Laiškui įvardyti vartojamas žodis ἐπιστολὴ, o raštui γράμμα. 20 Lotyniško viduramžių laiško struktūra išsamiai aptariama Dovilės Keršienės straipsnyje, Hunger, Ten pat,

5 tinkami ir laiško viduryje. Be palinkėjimo, laiško pabaigoje dažnas ir palaiminimo prašymas bei prašymas neužmiršti rašytojo. Bizantijos viduriniaisiais ir vėlyvaisiais amžiais vyrauja lakoniškas atsisveikinimas ἔρρωσο 23. Viena iš svarbiausių laiško dalių yra įžanga, kuri priklausomai nuo laiško turinio gali būti teologinio, filosofinio ar retorinio pobūdžio. Iš rašytojų darbų matoma jų nuostata dėl įžangos šiai ypač reikšmingai retorikos atžvilgiu daliai buvo skiriama labai daug dėmesio. Jos svarbą patvirtina ir laiškų rinkiniai, kuriuose laiškai perrašyti tik iki dėstymo dalies, nutraukiami iškart po įžangos, bei laiškai, kurie po įžangos užbaigiami keliais sakiniais Stilius ir temos Nuo pirmųjų imperijos gyvavimo amžių retorika vis aktyviau skverbėsi į literatūros erdvę ir įsivyravo išsilavinusių Bizantijos sluoksnių raštijoje. Laiškai taip pat turėjo atitikti retorikos reikalavimus, visi dalyvaujantys šiame žaidime, turėjo laikytis žaidimo taisyklių 25. Dėl mėgdžiojimo ir sekimo geriausiais laiškų rašytojais atsirado toks reiškinys, kai literatūriniai, o kartais ir asmeniniai literatūriniai laiškai buvo unifikuojami ir tapo monotoniškais. Tačiau tik paklusęs šioms taisyklėms rašytojas galėjo tikėtis sulaukti sėkmės ir pripažinimo. Nuo ankstyvosios Bizantijos iki Paleologų valdymo metų laiško vaidmuo visuomenėje buvo ypač svarbus, laiškai buvo skaitomi balsiai, egzistavo filologiniai būreliai, kuriuose buvo skaitomi literatūriniai laiš- 23 Ten pat, 327, Τωμαδάκη Hunger, Ten pat, 315. kai ir garsinami geriausi jų rašytojai aukštosios kultūros sluoksniuose. Viso šio laikotarpio metu buvo stengiamasi mėgdžioti garsiausius, klasikinius ir pavyzdinius pripažintų laiškų meistrų darbus ir stengtis varžytis dėl grožio ir elegancijos. Adresatams ir adresantams viešas laiškų skaitymas buvo labai svarbus, kaip ir pats varžymasis, viduriniosios Bizantijos laikotarpiu jis buvo vadinamas θέατρον ir manoma, kad kompensavo bent dalį antikinio teatro funkcijų 26. Nors visi bizantiečių aukštos kultūros produktai buvo veikiami retorikos ir mėgdžiojimo principų, būta ir tokių asmeninių laiškų, kuriuose net ir išsilavinę autoriai nekreipė dėmesio į formą 27, juose daugiau ir šnekamosios kalbos elementų. Tačiau tokie laiškai išsilavinusių bizantiečių nebuvo vertinami, nebuvo saugomi, dažniausiai juos tiesiog išmesdavo. Bizantijos laiškai yra apibūdinami kaip nutolę nuo realybės, nuasmeninti, nes jie neturėjo būti realios asmenybės atspindžiu, buvo siekiama tobulybė, adresatas rašytoją turėjo matyti pačiomis gražiausiomis spalvomis, o tasai nepamiršdavo pastarojo išliaupsinti 28. Tai, ką mes dabar vadiname meilikavimu ir padlaižiavimu, Bizantijoje buvo neatsiejamas etiketo reiškinys 29. Kadangi laiškai yra ir vienas iš politikos bei diplomatijos įrankių, neramiais laikas baimė, kad laiškas gali patekti į priešininkų rankas ir būti panaudotas prieš siuntėją, taip pat skatino neaiškumo ir painumo siekiamybę. Tokius laiškus rašė ir pareigūnai, kurių nereikia laikyti tik biurokratinio aparato atstovais, jiems nebuvo svetima aukš- 26 Ten pat, Ten pat, Ten pat, Τωμαδάκη,

6 toji kultūra ir filologinės studijos. Ypač daug tokių laiškų pavyzdžių galime rasti paskutiniais Bizantijos amžiais 30. Dėl tos pačios priežasties nemažai daliai Bizantijos epistolikos būdingas ir anonimiškumas. Bizantijos epistoliką slegia tradicija, ir ne tik kalbos, bet aukšto stiliaus, subalansuoto ir išpuošto vaizdiniais ir meninėmis priemonėmis. Remiantis tam tikromis taisyklėmis audžiamas nėriniuotas, elegantiškas, kruopštaus darbo meno kūrinys 31. Nors teoriniuose darbuose dažnai minimas saikingumas ir pabrėžiama, kad turi būti vengiama perdėtų puošmenų, ne visada to paisoma 32. To meto realybė vis dėlto veikė laiškų rašytojus, jos atspindžių laiškuose taip pat yra. Kartais rašytojas prisimindavo kokį įvykį, liaudies patarlę ar posakį (kai kurie jų vartojami iki šių dienų), komentuodavo paprotį, aptinkama ir šnekamosios kalbos elementų 33. Gana dažnai laiškuose aptinkama gamtos aprašymų, jos grožis ir žadinami jausmai, ypač dažnai vaizduojamas pavasaris, remiamasi antikos tradicija. Yra daug graikų autorių citatų, jos dažnos pradedančių autorių laiškuose. Tragikų, komikų ir retorių žodžiai vartojami nenurodant jų autorių, nemažai dėmesio skiriama graikų mitologijai. Teologinio pobūdžio citatos naudojamos ne tik teologinės tematikos laiškuose, bet ir rašant etiniais, moraliniais tikslais bei palaikančiuose, guodžiančiuose ar užjaučiančiuose laiškuose 34. Viena iš dažniausiai besikartojančių temų yra drau- 30 Ten pat, Τen pat, Hunger, Τen pat, 126, Τωμαδάκη, 131. gystės tema, taip pat rašoma apie žmogaus likimą ir gyvenimo pokyčius dažniausiai į blogąją pusę. Apibendrindami galime teigti, kad Bizantijos epistolikai būdingos bendros nuostatos dėl kompozicijos, kalbos ir stiliaus, tačiau ne visuose laiškuose jos pasireiškia iki galo ir vienodai, o priklauso tai visų pirma nuo laiško rūšies: kas privaloma vienos rūšies laiškui, tas nėra privaloma kitos, gali būti išreikšta silpniau, o gali to elemento ir visai nebūti. Lygindami Algirdo laišką su Bizantijos laiškais turime jį lyginti su tos pačios rūšies laiškais ir neieškoti tų elementų, kurie šiai rūšiai nėra privalomi. 2. Algirdo laiško rūšis ir ypatybės Laiškams įvardyti Bizantijoje buvo vartojami žodžiai: ἐπιστολὴ, γράμμα ir γραφή, πιττάκιον, χάρτης arba χαρτίον, taip pat aptinkama ir forma ἀντιπιττάκιον, t. y. atsakymas į πιττάκιον 35. Tὸ πιττάκιον tikriausiai kilęs iš πίττα = πίσσα (derva), kuria buvo antspauduojamas laiškas. Konstantinopolyje oficiali skundų dėžė buvo vadinama πιττάκης. Josifas Vrienijas (XV a.) skiria paprastą πιττάκιον stilių (πιττακικῷ χαρακτῆρι) ir labiau išieškotą epistolinį stilių (ἐπιστολιμαίῳ) 36. Lietuvos didžiojo kunigaikščio Algirdo laiško adresanto ir adresato pristatymas (ἐπιγραφὴ) skelbia: Πιττάκιον τοῦ ῥηγὸς τῶν Λητβῶν, τοῦ Ἀλγέρδου, πρὸς τὸν παναγιώτατον ἡμῶν δεσπότὴν (sic), τὸν οἰκουμενικὸν 35 Hunger, 307; Τωμαδάκη,, 24, šiame darbe pateikiamas susirašinėjimo terminų žodynas. 36 Hunger, 307; Τωμαδάκη,

7 παριάρχην 37. A. Jovaišas pateikia jo lietuvišką vertimą pagal rusišką vertimą: Lietuvos kunigaikščio Algirdo raštas [pitakijus] mūsų švenčiausiam vyskupui, visuotiniam patriarchui 38, laišką vadindamas raštu ir išlaikydamas skliausteliuose ir graikišką terminą. Kreipinys πρὸς τὸν δεσπότὴν yra įprastas kreipiantis į vyskupą 39. M. Ročkos vertime šio sakinio nėra, nes jis neišlaikytas vokiškame leidinyje 40, kuriame publikuotu graikišku šaltiniu naudojosi mokslininkas. Taigi Algirdo laiškas rašytas konkrečiu tikslu, jis įvardijamas kaip πιττάκιον, kurio stilius yra paprastesnis už ἐπιστολὴ stilių, jo kalba paprasta ir atspindi to meto šnekamosios kalbos elementus, nėra citatų ir įmantrių retorikos priemonių. Vadovaudamiesi Hungerio pasiūlytu laiškų skirstymu pagal rūšį, jį priskirtume pirmai grupei dalykiniams laiškams, rašomiems praktiniais tikslais, adresuotiems tarnyboms ar pareigūnams, neskirtiems viešinti, tačiau galbūt paskelbtiems vėliau, autoriui mirus. Pagal Tomadakio skirstymą šis laiškas patektų ne į laiškų, o į raštų grupę. Kalbėdami apie bizantinę-humanistinę epistolografiją, mokslininkai visų pirma turi omenyje literatūrinį laišką, kuriame geriausiai atsiskleidžia prieš tai aptartos savybės, o Algirdo laiško literatūriniu pavadinti negalima. Tačiau jam nėra svetimi Bizantijos dalykinio laiško bruožai, taip pat ir struktūros požiūriu. 37 Acta, Eugenija Ulčinaitė, Albinas Jovaišas, 47, mokslininkas remiasi Budreckio pateiktu tekstu. Pats A. Budreckis adresanto ir adresato pristatymą verčia: Lietuvos kunigaikščio Algirdo kreipimasis į mūsų visų švenčiausią šventiką ir visuotinį patriarchą, Επιτομή Λεξικού Κριαρά, gr/greeklang/medievial_greek/kriaras/index.html 40 Mitteilungen der Litauischen Literarischen Gesellschaft, Heidelberg, 1907, Bd.5 Heft 29, D. Keršienė, paminėdama, kad laiškas rašytas pagal Viduramžių dalykinio laiško kanonus 41, išskiria pasveikinimo formulę: Nuo lietuvių karaliaus Algirdo pasveikinimas patriarchui (Ἀπὸ τὸν βασιλέα Λητβῶν, τὸν Ἄλγερδον, εἰς τὸν πατριάρχην προσκύνημα). Laiškas, kaip ir Bizantijos laiškai, pradedamas adresanto ir adresato pristatymu, paskui eina pasveikinimas, dėstymas ir, kitaip nei įprasta ir laukta, laiške nėra atsisveikinimo, jis baigiamas reikalavimu. Lietuvos didžiojo kunigaikščio Algirdo laiško pasveikinime išlaikytas antikoje įprastas eiliškumas: adresantas adresatas. Lotyniškoje viduramžių epistolikoje pasveikinimą sudarė trys kompozicinės dalys: titulasapostrofa (kartais vadinama inscripcio), rašyta naudininko forma, siuntėjo prisistatymas (kartais vadinama intitulatio), rašytas vardininko forma, pasveikinimo formulė (siaurai taip pat vadinama salutatio). Titulo-apostrofos ir siuntėjo prisistatymo vieta priklausė nuo koresponduojančių hie rarchinio rango 42. Įdomu, kad Lietuvos didžiojo kunigaikščio Algirdo prisistatyme vartojama forma τοῦ ῥηγὸς τῶν Λητβῶν, o pasveikinime dar kartą pakartojus siuntėjo vardą vartojama kito žodžio forma τὸν βασιλέα Λητβῶν, kuri vėliau aptinkama antrą kartą: ὁ βασιλεὺς, ὁ Ἄλγερδος. Abu daiktavardžiai yra sinonimai, tačiau pirmąjį būtų tiksliau versti daiktavardžiu kunigaikštis. Iš kitų Acta dokumentų matome, kad Rusios kunigaikščiai, kaip ir šia- 41 Dovilė Keršienė, Epistolografija Lietuvos Didžiojoje Kunigaikštystėje XIV XVI amžiuje: Nuo Ars dictaminis iki literatūrinio laiško (daktaro disertacija), Rūta Čapaitė, Vytauto laiškai kaip viduramžių epistolinio žanro pavyzdys, Metraščiai ir kunigaikščių laiškai (Senoji Lietuvos literatūra, kn.4), Vilnius: Lietuvių literatūros ir tautosakos institutas, 1996,

8 me Algirdo laiške, visada vadinami ῥήξ/ ῥήγας 43, pvz.: εὐγενέστατε μέγα ῥὴξ Σμολενίσκου 44, εὐγενέστατε μέγα ῥῆγα τοῦ Τιφερίου Μιχαήλ 45, ῥῆγες τῆς Ῥωσίας, μεγάλου ῥηγὸς πάσης Ῥωσίας 46, οἱ ῥηγάδες τῆς Ῥωσίας 47. Lenkijos karalius vadinamas κράλης 48, pvz.: ὁ κράλης τῆς Λαχίας, ὁ Καζίμοιρος 49, ὁ βασιλεύς 50 forma aptinkama, tačiau kalbant ne apie mūsų gretimus kraštus. Ὁ ῥήξ/ῥήγας, ὁ κράλης, ὁ βασιλεύς, nors ir yra sinonimai, laiškuose vartojami gana griežtai. Kalbant apie Lietuvos didįjį kunigaikštį dažniausiai, kaip ir Rusios žemių atveju, vartojama forma ῥήξ/ῥήγας, pvz.: τῷ δὲ πυρσολάτρῃ ῥηγὶ τῶν Λιτβῶν 51, ὁ μέγας ῥὴξ τῶν πυρσολατρῶν 52, ὁ μέγας ῥήγας Λητβῶν 53. Tačiau, kaip matome, galimi ir kiti variantai, dar vienas iki šiol neminėtas yra αὐθέντης, pvz.: τὸν αὐθέντην Λιτβῶν 54, šis žodis aptinkamas viduramžių graikiškuose tekstuose, atspindinčiuose šnekamąją kalbą, juo gali būti įvardytas valdovas, hegemonas ir kt. 55 Galbūt variantai šiuo atveju aptinkami dėl nedažnos ir nenusistovėjusios vartosenos. 43 Laiškuose ir dokumentuose vartojamos abi sing. nom. formos bei variantinės kai kurių kitų linksnių formos, dažniau vartotos daiktavardžio ὁ ῥήξ formos. 44 Acta, t.1, Ten pat, Ten pat, Ten pat, Κριαράς žodynas nurodo, kad taip buvo vadinami Rytų Europos karaliai. 49 Acta, t.1, Κριαράς žodynas nurodo, kad viduramžiais buvo vartotos dvi formos: ὁ βασιλεύς ir ὁ βασιλέας. 51 Acta, t. 2, Ten pat, Acta, t.1, Acta, t. 2, 1361 m. dokumentas Πρᾶξις τῆς Ῥωσίας καὶ τοῦ μητροπολίτου Λιτβῶν, 425, 430, Κριαράς. Algirdo vardas graikiškuose tekstuose minimas retai, iki jo paties laiško jis buvo rašomas vienaip: ἀσεβεῖ Οὐργέλδῳ 56, τῷ Οὐργέλδῳ 57 rašybą galima paaiškinti slaviška įtaka, tikriausiai taip jis buvo rašomas stačiatikių slavų, su kuriais patriarchas turėjo glaudesnius ryšius ir kurių laiškuose buvo minimas Lietuvos didžiojo kunigaikščio vardas. Tačiau po 1371 m. Algirdo laiško patriarcho laiške metropolitui Aleksijui jau aptinkama tokia forma, kokią kunigaikštis pavartojo pats: τοῦ μεγάλου ῥηγὸς τῶν Λιτβῶν, τοῦ Ἄλγερδου (sic) 58. Metropolitui patriarchas perrašo beveik visą Algirdo laišką, beveik nieko nekeisdamas, tik sujungdamas kelis sakinius į vieną, išmesdamas jungtukus, nevardija visų užgrobtų pilių, tik pamini, kad kunigaikščio laiške jos visos išvardytos 59. Ortografinių ir morfologinių pakeitimų taip pat nedaug, o tai patvirtina, kad Konstantinopoliui buvo visiškai priimtina kalba ir stilius. Perrašant tekstą aptinkama tik viena vietovardžio klaida: Ivanas iš Novosilio pavadintas Ivanu iš Naugardo, matyt, raštininkas pažiūrėjo į prieš tai minėtą Naugardą ir todėl antrą kartą parašė šią formą. Apibendrindamas savo pastebėjimus M. Ročka teigia: Stilius paprastas, primena kasdieninę kalbą, taip pat Gedimino laiškų kalbą ir nepanašus į pilnus retorikos raštus valdovų tų kraštų, kurie turėjo senesnes rašto tradicijas. Pagonio Algirdo laiške, žinoma, nėra biblinių elementų. [...] Graikų kalba nauja ir su kai kuriais lotyniškais politinio bei karinio pobūdžio terminais Acta, t.1, Ten pat, Ten pat, Ten pat, ; M. Ročka mini, kad patriarchas pateikia laiško ištraukų, M. Ročka,

9 Turbūt visi tyrėjai pritaria hipotezei, kad Algirdo laišką graikiškai užrašė stačiatikis vienuolis, mokėjęs graikų kalbą. Tai dar vienas faktas, leidžiantis pagrįsti paprastos graikų kalbos vartojimą. Be to, negalima neatsižvelgti ir į laikmetį 1371 m. vėlyvosios Bizantijos laikotarpis, kai šnekamosios kalbos elementai vis labiau skverbiasi į rašto kalbą, ir tai skatina vadinamojo viduriniojo graikų kalbos stiliaus formavimąsi ankstyvojo turkų valdymo laikotarpio raštijoje, vartoto administracinėms reikmėms, kur teksto struktūra ir leksika atspindėjo naujosios graikų kalbos bruožus, o ortografija ir morfologija koinė normas Kelios pastabos dėl vertimo Rankraštinis M. Ročkos palikimas, keturi laiško vertimo variantai leidžia stebėti darbo procesą ir autoriaus dvejones, kurios publikacijoje neatsispindi. Į tai atsižvelgus, norėtųsi atkreipti dėmesį ir patikslinti keletą vertimo (publikacijos varianto) vietų. Didesnę Lietuvos didžiojo kunigaikščio Algirdo laiško dalį sudaro priesaikos, duotos bučiuojant kryžių, laužymo aprašymas. Rusios žemėse nuo senų laikų kryžiaus bučiavimas buvo taikomas asmeninių sutarčių, priesaikos teisme, kolektyvinių miestelėnų ir kunigaikščių sutarčių ir kt. atvejais 62. Iš pradžių buvęs kaip lygiaverčių pusių sutarties užtvirtinimas, kryžiaus bu- 61 Geoffrey Horrocks, Greek: A History of the Language and its Speakers, Longman Pub Group, 1997, Tokia kalba buvo pripažįstama kaip standartas ir buvo priimtina net sultonui ir venecijiečiams, vartojama kaip diplomatijos kalba. 62 Petr S. Stepanovic, Отношения правителя и знати в Северо-Восточной Руси, Editions de l EHESS/Cahier du monde russe, 2005/1, Vol. 46, čiavimas, kaip pavaldinių priesaika didžiajam kunigaikščiui, pirmą kartą paminėtas būtent Algirdo laiške. Metraštyje kryžiaus bučiavimas, kaip priesaika Maskvos kunigaikščiui, taip pat pirmą kartą paminėtas 1371 m. Manoma, kad tai antrojoje XIV a. pusėje atsiradęs reiškinys, išskirtinai susijęs su Maskvos ir Lietuvos santykiais kovoje dėl Rusios žemių 63. Tokiu būdu priesaika buvo duodama ir Lietuvos didžiajam kunigaikščiui, ir Maskvos kunigaikščiui. Kryžiaus bučiavimas buvo sutvirtinamas raštu ir laidavimu. Maskvos atveju, kaip patvirtina formuliarai, kryžių bučiuoti buvo galima ir už šeimos narius 64. Manyčiau, laiško vertime dėl aiškumo ir siekiant išvengti interpretacijų galima konkrečiau įvardyti sutarties pobūdį. Pateikiame originalo ir vertimo citatą su pabraukta tikslinama vieta: I. [...] καὶ τοῦ σταυροῦ τὸ φίλημα, ὅπερ εἶχον πρὸς μὲ, οὐ κατέθηκαν, οὔτε τὰ ὁρκωμοτικὰ ἀπέπεμψαν πρός με [ ] [...] nei priesaikos, kurią jie man buvo davę, bučiuodami kryžių, nesilaikė, nei sutarties nenutraukė 65. Pirmame M. Ročkos vertimo variante buvo pateikti du veiksmažodžiai: nutraukė ir grąžino 66. Siūlomas vertimas: priesaikos rašto man negrąžino. 63 Ten pat, Ten pat, 279, 282. Kryžiaus bučiavimo raštų korpusą sudaro 14 priesaikos dokumentų Maskvos kunigaikščiui, 8 dokumentus lydi garantijos raštai, už prisiekiančiuosius laiduojama didelėmis sumomis. Pirmas raštas datuojamas 1474 m., o paskutinis 1582 m. Formuliaras, kuriame yra kryžiaus bučiavimo rašto pavyzdžių, datuojamas m. 65 M. Ročka, Vilniaus universiteto Rankraščių skyrius, F. 186, byla Nr

10 Bei analogiškas atvejis: [...] καὶ τοῦ σταυροῦ τὸ φίλημα οὐ κατέθηκαν, οὔτε τὰ ὁρκωμοτικὰ ἀπέπεμψαν[...] [...] ir nesilaikė kryžiaus bučiavimo nei sutartį nutraukė 67. Siūlomas vertimas: priesaikos rašto negrąžino. Daiktavardis τὰ ὁρκωμοτικὰ reiškia priesaikos dokumentus, t. y. neatsiuntė/negrąžino priesaikos rašto. Palyginti pateiksime citatą iš Lietuvos metraščių trumpojo sąvado (Vytautas paima Smolenską antrą kartą): Tais pačiais metais didysis kunigaikštis Vytautas paėmė kaip išpirką už taiką Pskovo miestuką Koložą, o Pskovo kryžiaus raštą atsiuntė į Naugardą ir stovėjo prie Voronočio 2 dienas, ir nuėjo valsčius nusiaubę. Pskoviečiai skundė Naugardui Vytautą dėl lietuvių įsiveržimo 68. Komentaruose pateikiamas ir kryžiaus rašto paaiškinimas: raštas, kurį surašant buvo bučiuojamas kryžius, kaip priesaikos ženklas 69. Su priesaikos aprašymu susijusi ir kita pastaba: II.1. ὁ Ἰωάννης τοῦ Βαζεμίσκου ἐφίλησε σταυρὸν, καὶ ἔφυγε καὶ τοὺς ἐγγυητὰς ἐξέδωκε [...] Ivanas iš Viazmos prisiekė kryžiumi ir pabėgo ir įkaitus išdavė [...] ὁ Ναγούμπνικος ὁ Βασίλειος ἐφίλησεν εἰς τὸν ἐπίσκοπον, καὶ ὁ ἐπίσκοπος ἐγένετο ἐγγυητὴς τούτου καὶ ἐκεῖνος ἐξέδωκε τὸν ἐπίσκοπον εἰς τὴν ἐγγυὴν καὶ ἔφυγε [...] 67 M. Ročka, Lietuvos metraščių trumpasis sąvadas, vertė ir paaiškinimus rašė Albinas Jovaišas, Metraščiai ir kunigaikščių laiškai (Senoji Lietuvos literatūra, kn.4), Ten pat, M. Ročka, 204. Vasilijus Nagubnikas prisiekė vyskupui ir vyskupas buvo jo užstatas, o anas išdavė vyskupą kaip laidą ir pabėgo [...] 71 Pateikiamos dvi citatos, kuriose gausu tos pačios šaknies žodžių, kurie skirtingai verčiami. Ὁ ἐγγυητὴς laiduotojas, τοὺς ἐγγυητὰς pl. acc. laiduotojus, ἡ ἐγγύη laidas, užstatas, sng. acc. τὴν ἐγγυὴν laidą, užstatą. Pirmuoju atveju įsivėlusi klaida, vietoje įkaitus išdavė siūlyčiau laiduotojus išdavė. Antrą vietą siūlyčiau versti laisviau, nesistengiant žodžio perteikti ta pačia kalbos dalimi: Vasilijus Nagubnikas prisiekė vyskupui ir už jį laidavo, o anas išdavė už jį laidavusį vyskupą ir pabėgo. Šiame sakinyje taip pat kelia klausimų ir daiktavardžio Nagubnik vertimas. M. Ročkos užrašuose dviejose vietose prie šio žodžio yra išnaša: gubos savininkas. Guba žemės plotas, kurį gali suarti per dieną valstietis žagre 72. I. Meindofas pažymi, kad tai galbūt pareigybės pavadinimas 73, А. Budreckis jį verčia lenininkas 74. Jei paliekame vertime slavišką variantą pridėdami lietuvišką galūnę, manyčiau, nereikėtų daiktavardžio rašyti didžiąja raide, geriau jį paimti į kabutes. III. ὁ Ἰωάννης τοῦ Κοζελήσκου [ ] ἐκεῖνος τὴν μάναν καὶ τοὺς ἀδελφοὺς καὶ τὴν γυναῖκα καὶ τὰ παιδία ἀφεὶς ἔφυγε [...] Kozelsko [kunigaikštis] Ivanas [...] tačiau jis, pasiėmęs motiną, brolius, žmoną ir vaikus, pabėgo [...] Ten pat, Vilniaus universiteto Rankraščių skyrius F. 186 byla Nr. 227, Nr И. Мейендорф, История Церкви и восточнохристианская мистика, Сост.общ. ред. И.В. Мамаладзе, М: Институт ДИ-ДИК, 2000, Budreckis, Marcelinas Ročka,

11 Šioje vietoje įsivėlusi klaida: participium aoristi ἀφεὶς (ἀφίημι) palikęs, o ne pasiėmęs. Kito veiksmažodžio pasirinkimas gali būti aiškinamas tuo, kad prieš tai pavaizduotoje analogiškoje situacijoje kunigaikštis, prisiekęs su šeima, su ja visa ir pabėgo. A Letter in Greek of Grand Duke of Lithuania Algirdas in the Context of Byzantine epistolography Kristina Svarevičiūtė Summary In 1371, Grand Duke of Lithuania Algirdas wrote to Patriarch Philotheus of Constantinople a letter in Greek. Translated from Greek into Lithuanian by Marcelinas Ročka, the letter was first published only after the scientist s death, in 1996; by then, there had been translations of the letter from Russian. Describing the style of the letter, the scientist emphasized only a very distant link of Algirdas letter with the so-called Byzantine humanism of the first half of the 14th century. This article aims at determining whether this letter is indeed exceptional in the context of abundant Byzantine epistolography and whether it can be overall compared to Byzantine letters. The article starts with a concise review of the tradition of Byzantine letter: its structure, types, style and topics. After having determined the type of the Greek letter of Grand Duke of Lithuania Algirdas, this letter is compared to Byzantine letters of analogous type by examining its composition and stylistic features. In this section, the most attention is given to the greeting in the letter: in the translation of M. Ročka the first sentence is missing; here it is presented and all the components of the greeting are discussed. The orthography of the duke s name and the lexical variation of his title in Greek texts is analysed, considering the usage of lexemes ὁ ῥήξ/ῥήγας, ὁ κράλης, ὁ βασιλεύς, ὁ αὐθέντης, in accordance with Acta patriarchatus Constantinopolitani MCCCXV MCCCCII, ed. Franciscus Miklosich, Iosephus Müller, Vindobodae: Such comparison allows to affirm that the Greek letter of Grand Duke of Lithuania Algirdas meets the requirements of the late Byzantine business correspondence both concerning its structure and its stylistic features. In the end, after having discussed the features of an oath that is given to the duke when kissing the cross and that is described in the letter, as well as having familiarized with the manuscripts of M. Ročka, some comments on the translation are presented and different translation of several points is suggested. Gauta: Priimta publikuoti Autorės adresas: Klasikinės filologijos katedra Vilniaus universitetas Universiteto g. 5 LT Vilnius El. paštas: kristina.svareviciute@flf.vu.lt 99

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ :ΤΥΠΟΙ ΑΕΡΟΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΕΥΘΥΜΙΑ ΟΥ ΣΩΣΑΝΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

PNEUMATIKA - vožtuvai

PNEUMATIKA - vožtuvai Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009 1 Integriniai diodai Integrinių diodų pn sandūros sudaromos formuojant dvipolių integrinių grandynų tranzistorius. Dažniausiai integriniuose grandynuose kaip diodai naudojami tranzistoriniai dariniai.

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorinis darbas Nr. 2

Laboratorinis darbas Nr. 2 M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių

Διαβάστε περισσότερα

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

Laißkas moteriai alkoholikei

Laißkas moteriai alkoholikei Laißkas moteriai alkoholikei Margaret Lee Runbeck / Autori teis s priklauso The Hearst Corporation Jeigu aß b çiau tavo kaimyn ir matyçiau, kaip tu narsiai ir beviltißkai kovoji su savo negalia, ir kreipçiausi

Διαβάστε περισσότερα

APRAŠO DALIŲ TVARKYMAS

APRAŠO DALIŲ TVARKYMAS 1 TURINYS Psl. 1. Kodėl svarbus darbo aprašo turinys ir išvaizda? 2 DUOMENŲ ATRANKA 2. Kur, kokiu pavadinimu ir kokius duomenis saugoti? 4 3. Ką pateikti, o ko neminėti apraše? 8 4. Kaip rengti aprašą,

Διαβάστε περισσότερα

Alkoholio vartojimo problema šeimoje:

Alkoholio vartojimo problema šeimoje: Alkoholio vartojimo problema šeimoje: apie visuomenę ir visuomenei - 1 - - 2 - - 3 - Kontekstas Įsivaizduokite, kad grįžtate iš mokyklos į namus ir su nerimu galvojate apie tai, ką ten surasite. Įsivaizduokite,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθηγητής Γ. ΧΡΥΣΟΛΟΥΡΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθηγητής Γ. ΧΡΥΣΟΛΟΥΡΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ / ΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθηγητής Γ. ΧΡΥΣΟΛΟΥΡΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...

Διαβάστε περισσότερα

Homomorphism of Intuitionistic Fuzzy Groups

Homomorphism of Intuitionistic Fuzzy Groups International Mathematical Forum, Vol. 6, 20, no. 64, 369-378 Homomorphism o Intuitionistic Fuzz Groups P. K. Sharma Department o Mathematics, D..V. College Jalandhar Cit, Punjab, India pksharma@davjalandhar.com

Διαβάστε περισσότερα

Νέος Αναπτυξιακός Νόµος - Επενδυτικός Νόµος 3299/2004

Νέος Αναπτυξιακός Νόµος - Επενδυτικός Νόµος 3299/2004 Νέος Αναπτυξιακός Νόµος - Επενδυτικός Νόµος 3299/2004 Business Unit: CON No of Pages: 10 Authors: AR Use: External Info Date: 17/09/2007 Τηλ.: 210 6545340, Fax: 210 6545342 email: info@abele.gr - www.abele.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΔΣΑΠΣΤΥΙΑΚΧΝ ΠΟΤΓΧΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΔΣΑΠΣΤΥΙΑΚΧΝ ΠΟΤΓΧΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΔΣΑΠΣΤΥΙΑΚΧΝ ΠΟΤΓΧΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΙΣΟΔΛΙΓΑ ΓΙΑ ΣΟ ΓΔΝΙΚΟ ΚΑΣΑΣΗΜΑ ΚΡΑΣΗΗ ΓΡΔΒΔΝΧΝ ΜΔ ΣΗ ΒΟΗΘΔΙΑ PHP MYSQL Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Υξήζηνπ

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

Pyrrolo[2,3-d:5,4-d']bisthiazoles: Alternate Synthetic Routes and a Comparative Study to Analogous Fused-ring Bithiophenes

Pyrrolo[2,3-d:5,4-d']bisthiazoles: Alternate Synthetic Routes and a Comparative Study to Analogous Fused-ring Bithiophenes SUPPORTING INFORMATION Pyrrolo[2,3-d:5,4-d']bisthiazoles: Alternate Synthetic Routes and a Comparative Study to Analogous Fused-ring Bithiophenes Eric J. Uzelac, Casey B. McCausland, and Seth C. Rasmussen*

Διαβάστε περισσότερα

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Rinktiniai informacijos saugos skyriai 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Paskaitos tikslai Šioje temoje nagrinėjami klausimai: Perstatų šifrai Keitinių šifrai Vienos

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Alice Munro slogutis

Alice Munro slogutis ŠIAURĖS ATĖNAI ISSN 1392-7760 2016 m. spalio 21 d. Nr. 20 (1252) Kaina 0,95 Eur Kuo susiję Wagneris, arijų religija ir meno religija Dalia Staponkutė: rankraščiai nedega, kai atsisako emigracijos į skaitmenis

Διαβάστε περισσότερα

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013 Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering

Διαβάστε περισσότερα

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka WMB 71032 PTM Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató utomatická pračka Používateľská príručka Dokumentu Nr 2820522945_LT / 06-07-12.(16:34) 1 Svarbūs

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Write your name here Surname Other names Edexcel GE entre Number andidate Number Greek dvanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Thursday 16 May 2013 Morning Time: 2 hours 45 minutes

Διαβάστε περισσότερα

INTERPRETACIJOS PROBLEMOS

INTERPRETACIJOS PROBLEMOS ISSN 0258 0802. LITERATŪRA 2010 52 (3) PLUTARCHO ALEKSANDRAS: INTERPRETACIJOS PROBLEMOS Nijolė Juchnevičienė Vilniaus universiteto Klasikinės filologijos katedros docentė Ἥ τε γὰρ τύχη ταῖς ἐπιβολαῖς ὑπείκουσα

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARIOJI TEORIJA

ELEMENTARIOJI TEORIJA ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και έγγραφα που απαιτούνται για την εγγραφή στο ΓΕΜΗ

Στοιχεία και έγγραφα που απαιτούνται για την εγγραφή στο ΓΕΜΗ Στοιχεία και έγγραφα που απαιτούνται για την εγγραφή στο ΓΕΜΗ Σύμφωνα με την αριθμ. Κ1-941 οικ./27.4.12 και την Κ1-1484/12.6.2012 του Υπουργείου Ανάπτυξης & Ανταγωνιστικότητας πρέπει να γίνει εγγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch: HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying

Διαβάστε περισσότερα

Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos

Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Rimantas DEKSNYS, Robertas STANIULIS Elektros sistemų katedra Kauno technologijos universitetas

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Το franchising ( δικαιόχρηση ) ως µέθοδος ανάπτυξης των επιχειρήσεων λιανικού εµπορίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΟΥ

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΟΥ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΟΥ Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Επιστήμη και Τεχνολογία Τροφίμων και Διατροφή του Ανθρώπου» Κατεύθυνση: «Διατροφή, Δημόσια

Διαβάστε περισσότερα

Stiklo pluošto laikikliai - gali būti sprendimas langams/durims tvirtinti šiltinimo sluoksnyje

Stiklo pluošto laikikliai - gali būti sprendimas langams/durims tvirtinti šiltinimo sluoksnyje Stiklo pluošto laikikliai - gali būti sprendimas langams/durims tvirtinti šiltinimo sluoksnyje Lango vieta angoje Reguliuojami stiklo pluošto laikikliai Sukurta mūsų, pagaminta mūsų Geram rezultatui

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Τομέας Περιβαλλοντικής Υδραυλικής και Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής (III) Εργαστήριο Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE SCHOOL of

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės

Διαβάστε περισσότερα

Formal Semantics. 1 Type Logic

Formal Semantics. 1 Type Logic Formal Semantics Principle of Compositionality The meaning of a sentence is determined by the meanings of its parts and the way they are put together. 1 Type Logic Types (a measure on expressions) The

Διαβάστε περισσότερα

Παραμύθια τησ Χαλιμϊσ, τομ. A Σελύδα 1

Παραμύθια τησ Χαλιμϊσ, τομ. A Σελύδα 1 Παραμύθια τησ Χαλιμϊσ, τομ. A Σελύδα 1 Παραμύθια τησ Χαλιμϊσ, τομ. A Σελύδα 2 Dervish Abu Bekr, «Παραμύθια τησ Χαλιμϊσ, τομ. Α» Ιούνιοσ 2013 Φωτo εξωφύλλου: Βαςιλεύα Αςπαςύα Μαςούρα Επιμϋλεια ϋκδοςησ:

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

Intel x86 architektūros procesoriai. Kompiuterių diagnostika

Intel x86 architektūros procesoriai. Kompiuterių diagnostika Intel x86 architektūros procesoriai Kompiuterių diagnostika Turinys Paskaitoje bus apžvelgta: AK architektūra ir procesoriaus vieta joje Procesoriaus sandara Procesorių istorija Dabartiniai procesoriai

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ. Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο. την απόκτηση του διπλώματος

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ. Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο. την απόκτηση του διπλώματος ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο την απόκτηση του διπλώματος «Οργάνωση και Διοίκηση Βιομηχανικών Συστημάτων με εξειδίκευση στα Συστήματα Εφοδιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµετρική ιερεύνηση των Ελλειµµάτων της Ελληνικής Οικονοµίας

Οικονοµετρική ιερεύνηση των Ελλειµµάτων της Ελληνικής Οικονοµίας Οικονοµετρική ιερεύνηση των Ελλειµµάτων της Ελληνικής Οικονοµίας του Παντελίδη Παναγιώτη ιδακτορική ιατριβή η οποία υποβλήθηκε στο Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής του Πανεπιστηµίου Μακεδονίας Οικονοµικών

Διαβάστε περισσότερα

APRAŠOMOJI STATISTIKA

APRAŠOMOJI STATISTIKA STATISTIKA FILOLOGAMS 4 paskaita APRAŠOMOJI STATISTIKA Pagrindinės sąvokos Statistika keliareikšmė sąvoka. Skirtinos bent jau šios ryškios bei kartu skirtingos reikšmės: a) tokia duomenų apie valstybę,

Διαβάστε περισσότερα

5 klasė. - užduotys apie varniuką.

5 klasė. - užduotys apie varniuką. 5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides

Διαβάστε περισσότερα

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia 1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακή διατριβή. Ανδρέας Παπαευσταθίου

Μεταπτυχιακή διατριβή. Ανδρέας Παπαευσταθίου Σχολή Γεωτεχνικών Επιστημών και Διαχείρισης Περιβάλλοντος Μεταπτυχιακή διατριβή Κτίρια σχεδόν μηδενικής ενεργειακής κατανάλωσης :Αξιολόγηση συστημάτων θέρμανσης -ψύξης και ΑΠΕ σε οικιστικά κτίρια στην

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της

Διαβάστε περισσότερα

Mokslo pažanga ir dvasingumas

Mokslo pažanga ir dvasingumas Mokslo pažanga ir dvasingumas X Lietuvių tauta ir pasaulis Mokslo pažanga ir dvasingumas Mokslo pažanga ir dvasingumas x Lietuvių tauta ir pasaulis Vilnius, 2011 UDK 215(474.5)(063) Mo-65 Leidinys parengtas

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

FACE VALUE: THE POWER OF IMAGES AT APHRODISIAS

FACE VALUE: THE POWER OF IMAGES AT APHRODISIAS FACE VALUE: THE POWER OF IMAGES AT APHRODISIAS H O W D I G I T A L R E S O U R C E S C A N T R A N S F O R M O U R U N D E R S T A N D I N G O F P A L A E O G R A P H Y KEY QUESTIONS: What elements of

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ της ΥΓΕΙΑΣ» ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ: ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΙΔΙΩΤΙΚΟΥ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΙΟΥΔΑΚΗ ΜΑΓΔΑΛΗΝΗ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ της ΥΓΕΙΑΣ» ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ: ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΙΔΙΩΤΙΚΟΥ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΙΟΥΔΑΚΗ ΜΑΓΔΑΛΗΝΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ της ΥΓΕΙΑΣ» ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ: ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΙΔΙΩΤΙΚΟΥ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΙΟΥΔΑΚΗ ΜΑΓΔΑΛΗΝΗ Διπλωματική

Διαβάστε περισσότερα

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: Discrete-time systems and computer control by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

Assalamu `alaikum wr. wb.

Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. LUMP SUM Lump sum lump sum lump sum. lump sum fixed price lump sum lump

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometry 1.TRIGONOMETRIC RATIOS

Trigonometry 1.TRIGONOMETRIC RATIOS Trigonometry.TRIGONOMETRIC RATIOS. If a ray OP makes an angle with the positive direction of X-axis then y x i) Sin ii) cos r r iii) tan x y (x 0) iv) cot y x (y 0) y P v) sec x r (x 0) vi) cosec y r (y

Διαβάστε περισσότερα

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d. Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a

Διαβάστε περισσότερα

Mean bond enthalpy Standard enthalpy of formation Bond N H N N N N H O O O

Mean bond enthalpy Standard enthalpy of formation Bond N H N N N N H O O O Q1. (a) Explain the meaning of the terms mean bond enthalpy and standard enthalpy of formation. Mean bond enthalpy... Standard enthalpy of formation... (5) (b) Some mean bond enthalpies are given below.

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 29. Adjectival Participle

Chapter 29. Adjectival Participle Chapter 29 Adjectival Participle Overview (29.3-5) Definition: Verbal adjective Function: they may function adverbially or adjectivally Forms: No new forms because adverbial and adjectival participles

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras. Giedrė Beconytė. Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams

Vilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras. Giedrė Beconytė. Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams Vilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras Giedrė Beconytė DUOMENŲ BAZIŲ PROJEKTAVIMAS Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams Vilnius 2012 Aprobuota VU Gamtos mokslų

Διαβάστε περισσότερα

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΒΙΩΣΙΜΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΠΙΕΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Διαβάστε περισσότερα

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

Strain gauge and rosettes

Strain gauge and rosettes Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΝΟΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΝΟΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Σχολή Ανθρωπιστικών & Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης ΤΙΤΛΟΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΝΟΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΕΙΡΗΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

Οι βιοµηχανίες τροφίµων είναι οι αποδέκτες των α υλών και των συστατικών για την επεξεργασία των τροφίµων πρέπει δηλ. να γίνεται προσεκτική επιλογή

Οι βιοµηχανίες τροφίµων είναι οι αποδέκτες των α υλών και των συστατικών για την επεξεργασία των τροφίµων πρέπει δηλ. να γίνεται προσεκτική επιλογή 1. Τα τελευταία χρόνια έχει παρατηρηθεί αύξηση στις τροφοµεγενείς λοιµώξεις που διαπιστώνεται µέσω των στατιστικών καταγραφών από την Ευρωπαϊκή Ένωση, τις ΗΠΑ (CDC, FDA) και από την WHO.Η αύξηση του αριθµού

Διαβάστε περισσότερα

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

Pašvaistė 2009 / 5. Kultūros gyvenimo žurnalas jaunimui

Pašvaistė 2009 / 5. Kultūros gyvenimo žurnalas jaunimui Pašvaistė Kultūros gyvenimo žurnalas jaunimui 2009 / 5 Donaldas Kajokas apie gyvenimą ir kūrybą Vidas Poškus apie sgrafitus ir grafičius Tomas Taškauskas apie karalienę Jadvygą Daiva Tamošaitytė apie muziką

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΛΕΜΕΣΟΣ 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas 09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)

Διαβάστε περισσότερα

The Simply Typed Lambda Calculus

The Simply Typed Lambda Calculus Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Στατιστικά Κειμένου Text Statistics Γιάννης Τζίτζικας άλ ιάλεξη :

Διαβάστε περισσότερα

1 TIES ES IR PLOK TUMOS

1 TIES ES IR PLOK TUMOS G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu

Διαβάστε περισσότερα

þÿ¼ ½ ±Â : ÁÌ» Â Ä Å ÃÄ ²µ þÿä Å ÃÇ»¹º Í Á³ Å

þÿ¼ ½ ±Â : ÁÌ» Â Ä Å ÃÄ ²µ þÿä Å ÃÇ»¹º Í Á³ Å Neapolis University HEPHAESTUS Repository School of Economic Sciences and Business http://hephaestus.nup.ac.cy Master Degree Thesis 2015 þÿ ½»Åà Äɽ µ½½ ¹Î½ Ä Â þÿ±¾¹»ì³ à  º±¹ Ä Â þÿ±à ĵ»µÃ¼±Ä¹ºÌÄ Ä±Â

Διαβάστε περισσότερα

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė) EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Plato vs Zeno or the Problem of Ontological Status of Existences in Parmenides

Plato vs Zeno or the Problem of Ontological Status of Existences in Parmenides Gauta 2015 06 19 Skirmantas Jankauskas Vilniaus universitetas Platonas vs Zenonas, arba esinių ontiškumo problema Parmenide Plato vs Zeno or the Problem of Ontological Status of Existences in Parmenides

Διαβάστε περισσότερα

Dynamic types, Lambda calculus machines Section and Practice Problems Apr 21 22, 2016

Dynamic types, Lambda calculus machines Section and Practice Problems Apr 21 22, 2016 Harvard School of Engineering and Applied Sciences CS 152: Programming Languages Dynamic types, Lambda calculus machines Apr 21 22, 2016 1 Dynamic types and contracts (a) To make sure you understand the

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΑΤΗΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΠΡΟΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Srednicki Chapter 55

Srednicki Chapter 55 Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third

Διαβάστε περισσότερα