Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.

Transcript

1 Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d.

2 ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a k + ) n n! n = ; = k k! k k!(n k)! =. n k Niutono binomo formulė. (a + b) n = a n n + a n n b + a n b n + + ab n + b n. n Trigonometrinės formulės. cos(x ± y) = cosxcosy sinxsiny, sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsiny; cos(x y) cos(x + y) sin(x + y) + sin(x y) cos(x + y) + cos(x y) sinxsiny =, sinxcosy =, cosxcosy = ; sin x + cos x =, cosx = cos x sin x, sinx = sinxcosx, sin x = cosx, cos x = + cosx ; cos x = + tg x, sin x = tg x tg x + tg, cosx = x + tg x, sinx = tg x + tg x. Asimptotiniai skleidiniai. Kai x, Ribos. Jei a >, tai ( + x) a a a = + x + x a + + x n + O(x n+ ); n e x = + x + x + x x n n! + O(xn+ ); ln( + x) = x x + x 3 n x + + ( )n 3 n + O(xn+ ); cosx = x + x 4 4 sinx = x x3 6 + x 5 arcsinx = x + 6 x x5 + + n x + + ( )n (n)! + O(xn+ ); n+ x + + ( )n (n + )! + O(xn+3 ); (n )!! (n)!!(n + ) xn+ + O(x n+3 ); arctg x = x x3 3 + x 5 n+ x + + ( )n 5 n + + O(xn+3 ); tgx = x + x x5 + O(x 7 ); a x = e xlna = + xlna + (xlna) + ; ln( + x) log a ( + x) = = x x lna lna +. x a, x xa x ; x a x + x a x ; e x x, ex x ; lnx x +, lnx x ; cosx,sinx neturi ribos, kai x ± ; arctg x x ± ±π. Funkciju palyginimas. Tegu k, a, b, ε >. Tada: jei x, tai ln k x x ε, x a x b (kai a < b), x k e εx ; jei x +, tai ln k (/x) x ε, x a x b (kai a < b), x k e ε/x. Išvestinių lentelė. (x a ) = ax a, (e x ) = e x, (lnx) = x ;

3 iii (cosx) = sinx, (sinx) = cosx, (tgx) = cos x, (ctgx) = sin x ; (arcsinx) = Ô, (arccos x x) = Ô, x (arctgx) = + x, (arcctg x) = + x. Pirma formulė teisinga su bet kokiais a, teigiamais ir neigiamais, sveikais ir trupmeniniais. Pavyzdžiui, c =, x =, (x ) = x, (x 3 ) = 3x ; x = x, x = x 3 ; ( x) = x, ( 3 x) = 3 3 x. Išvestiniu skaičiavimo taisyklės. (cu) = cu, (u ± v) = u ± v ; (uv) = u v + uv, u u v uv = v v ; f(u) = f (u)u. Integralų skaičiavimo taisyklės. cu = c u, (u ± v) = u ± v, f(x)dx = F(x) udv = uv vdu; f u(x) du(x) = F u(x) Integralų lentelė. x a dx = xa+ a +, dx x = lnx, e x dx = e x, dx cos x = tgx, dx sin x = ctgx, dx a x = a ln a + x a x sinxdx = cosx, dx Ô a x = arcsin x a, arba dx x a = a ln x a x + a. cosxdx = sinx; dx a + x = a arctg x a, Pirmoje formulėje a gali būti bet koks skaičius, nelygus (kai a =, taikoma antroji formulė): teigiamas ir neigiamas, sveikas ir trupmeninis. Pavyzdžiui, dx = x, dx x = x dx = x, x 3 = x = xdx = x, x dx = x3 3 ; xdx 3/ x, x = 3/ = x x, 3 dx x = x/ / = x. Paskutinėse formulėse a yra bet koks teigiamas skaičius. Įkėlimas į diferencialą. dx = c d(cx), dx = d(x + c), xa dx = a + dxa+, sinxdx = dcosx, cosxdx = dsinx, dx dx Ô x = darcsinx, x = dlnx, ex dx = de x ; dx + x = darctgx. Trečioje formulėje a gali būti bet koks skaičius, nelygus : teigiamas ir neigiamas, sveikas ir trupmeninis. Pavyzdžiui, xdx = dx, x dx = 3 dx3, dx x = d x, dx x 3 = d x, xdx = 3 dx3/, dx x = d x. Kintamojo keitiniai. p(x) dx integrale: u = x + a; (x + a) m

4 iv R(cos x, sin x)dx integrale: p(x) (x + a) dx integrale: u = x + a; + b R(x, m x + a)dx integrale: u = m x + a; R(tg x)dx integrale: u = tg x; u = cosx u = sinx u = tgx (jei R(cos, sin) = R(cos,sin)); (jei R( cos,sin) = R(cos,sin)); (jei R( cos, sin) = R(cos,sin)). Netiesioginiai integralai. jei f(x) const x a, kai x, tai Ê f(x)dx integralas konverguoja, kai a >, ir diverguoja, kai a ; jei f(x) const (x c) a, kai x c, tai Ê c f(x)dx integralas konverguoja, kai a <, ir diverguoja, kai a ; jei f(x) const Ê (c x) a, kai x c+, tai c f(x)dx integralas konverguoja, kai a <, ir diverguoja, kai a. Eilutės. jei a n conts È n a, kai n, tai n an eilutė konverguoja, kai a >, ir diverguoja, kai a ; jei n È a n c, kai n, tai n an eilutė konverguoja, kai c <, ir diverguoja, kai c > ; jei a È n+ c, kai n, tai n an eilutė konverguoja, kai c <, ir diverguoja, kai c >. a n Stirlingo formulė. n! πnn n e n, (n)!! = n (n + )! (n + )(n)! n!, (n + )!! = = (n)!! n. n! Daugiamatė analizė Diferencialas. Jei y = y(x,...,x m), tai d y = i dy = y x dx + + y x m dx m, y x (dx i ) y + dx i dx j, i i<j x i x j y(x + dx) y(x) + dy + d y. Sudėtinės funkcijos diferencijavimas. Jei y = y(x,...,x m), tai y t = y x y x m + + x t x m t. Ekstremumai. Jei a taške yra y = f(x) funkcijos ekstremumas, tai df(a) =, t.y. f (a) = = f (a) =. x x m Jei df(a) =, tai: jei d f(a) > su visais dx, tai a yra lokalaus minimumo taškas; jei d f(a) < su visais dx, tai a yra lokalaus maksimumo taškas; jei d f(a) > su vienu dx ir d f(a) < su kitu dx, tai a yra balno taškas; kitais atvejais reikalingas papildomas tyrimas.

5 v Silvestro kriterijus. Tegu ϕ(dx,dy) = a (dx) + a dxdy + a (dy) ir D = a a a a. Tada jei D > ir a >, tai ϕ(dx,dy) > su visais (dx,dy) (,); jei D > ir a <, tai ϕ(dx,dy) < su visais (dx,dy) (,); jei D <, tai ϕ(dx,dy) > su vienu (dx,dy) ir ϕ(dx,dy) < su kitu (dx,dy). Tegu ϕ(dx,dy,dz) = a (dx) + a (dy) + a 33 (dz) + a dxdy + a 3 dxdz + a 3 dy dz. ir D = a, D = a a a a, D 3 = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33. Tada jei D >, D > ir D 3 >, tai ϕ(dx,dy,dz) > su visais (dx,dy,dz) (,,); jei D <, D > ir D 3 <, tai ϕ(dx,dy,dz) < su visais (dx,dy,dz) (,,). Matricinė notacija. Jei x R m, tai x = (x,...,x m) = ¼ ½ x. x m x x m. Jei y : R m R, tai y = y (x,...,x m) = y x y, y = xm ¼ y x. y xm ½ = y y,..., x xm. Jei y = (y,...,y n) : R m R n, tai y = (y,...,y n) (x,...,x = m) ¼ y xm y x yn x yn xm ½. Paviršiai. Jei M yra k-matis paviršius R m erdvėje ir a M, tai tam tikra a aplinka M poerdvyje parametrizuojama lygtimis x = x (u,...,u k ),. x m = x m(u,...,u k ). Vektoriai (x,...,x m) (u), i =,...,k, u i tada sudaro liestinių taške x = x(u) poerdvio T xm bazę. Jei paviršius užrašytas lygtimis ϕ (x) = = ϕ m k (x) =, (.) tai vektoriai ϕ j (x), j =,...,m k, sudaro normalių poerdvio bazę taške x.

6 vi Sąlyginiai ekstremumai. Jei f : M R, o M užrašytas (.) lygtimis, tai sąlyginiai f funkcijos ekstremumai gali būti tik taškuose x, kuriuose f(x) yra M normalė x taške, t.y. f(x) = λ ϕ (x) + + λ m k ϕ m k (x) su tam tikrais λ,...,λ m k R. Kritiniai taškai randami išsprendus lygčių sistemą L (x) =, i =,...,m; x i ϕ j (x) =, j =,...,m k; čia L žymi Lagranžo funkcijas: L(x) = f(x) λ ϕ (x) λ m k ϕ m k (x). Jei a yra kritinis taškas ir L atitinkama Lagranžo funkcija (t.y. funkcija, su kuria L(a) = ), analizuojamos jos antrojo diferencialo d L(a,dx) reikšmės, atitinkančios dx T am, t.y. tokius dx = (dx,...,dx m), su kuriais ϕ j x (a)dx + + ϕ j x m (a)dx m =, j =,...,m k. Tada: jei d L(a) > su visais dx T am \ {}, tai a taške yra funkcijos sąlyginis minimumas; jei d L(a) < su visais dx T am \ {}, tai a taške yra funkcijos sąlyginis maksimumas; jei d L(a) > su vienu dx T xm ir d L < su kitu dx T xm, a yra sąlyginio balno taškas. Orientacijos. Jei a,...,a k yra bazinės paviršiaus liestinės kokiame nors taške, tai ξ = a a k a a k yra viena iš paviršiaus orientaciju tame taške (kita orientacija yra ξ). Daugialypiai integralai. Jei x yra k-matis, y l-matis kintamasis ir C R k+l, tai C f(x, y)dxdy = dx f(x, y)dy; A B(x) čia A = {x y (x,y) C}, B(x) = {y (x,y) C}. Jei x = x(u) yra difeomorfizmas tarp O ir O aibių ir A O, tai A f(x)dx = f x(u) J(u)du; A čia A = {u O x(u) x(u) A}, J(u) = det. u Polinės ir sferinės koordinatės. Jei r ir ϕ yra (x,y) taško polinės koordinatės, tai x = rcosϕ; y = rsinϕ; O = {(r,ϕ) r >, < ϕ < π}, ir dxdy = rdrdϕ. Jei r, θ ir ϕ yra (x, y, z) taško sferinės koordinatės, tai x = rcosθ cosϕ; y = rcosθ sinϕ; z = rsinθ; O = {(r,θ,ϕ) r >, π/ < θ < π/, < ϕ < π}, ir dxdydz = r cosθdrdθdϕ. Oilerio funkcijos. Apibrėžimas: su x, y > Γ(x) = t x e t dt, B(x,y) = ( t) x t y dt.

7 vii Pagrindinės savybės: Γ(n) = (n )!, Γ(x + ) = xγ(x), Γ(/) = π, Γ(x)Γ( x) = B(x,y) = B(y,x) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y). π sinπx ; Paviršiniai integralai. Jei M yra k-matis paviršius R m erdvėje, x = x(u), u U, jo parametrizacija, A M ir f : A R, tai čia σ k (A) = Kita formulė jakobianui skaičiuoti: dσ k (x), A f(x)dσ k (x) = f x(u) J(u)du; A A A = {u U x(u) A}, J(u) = (u) k (u), i (u) = x(u) u i. Õ J(u) = det(a ij (u)); čia a ij (u) = i (u) j (u). Atskiri atvejai: m =, k = : m = 3, k = : m = 3, k = : x = x(t); y = y(t); x = x(t); y = y(t); z = z(t); x = x(u,v); y = y(u,v); z = z(u,v); Õ J = x (t) + y (t); Õ J = x (t) + y (t) + z (t); Ô J = EG F, E = x u + y u + z u, G = x v + y v + z v,f = x u x v + y u y v + z u z v. Formų integravimas. Tegu M yra k-matis orientuotas paviršius R m erdvėje, x = x(u), u U, jo teigiama parametrizacija ir A M. Jei ω = f i...i (x)dx k i...dx ik, i < <i k tai A ω = A ω (u)du; čia ω (u) = i < <i k f i...i k x(u) x i (u) x i (u) u u k x ik (u) x ik (u) u u k. Srities krašto išorinė orientacija. Tegu O yra atviras R m poaibis, O jo krašto išorinė pusė ir x = x(u) kokia nors O parametrizacija. Tegu e,...,e m yra standartinė R m erdvės bazė, i (u) = x(u) u i ir n(u) išorinė krašto normalė x(u) taške, t.y. tokia normalė, kad x(u) + εn(u) O su pakankamai mažais ε. Jei su visais u n(u) (u) m (u) = c(u)e e m su tam tikru c(u) >, tai nagrinėjama parametrizacija teigiama.

8 viii

9 Turinys Formulės Pratarmė ii xiv I Vienmatė analizė Funkciju asimptotika 3. O ir o simboliai Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Asimptotiniu skleidiniu dalyba Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Elementariosios funkcijos Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Ribos 37. Pagrindinis ribų skaičiavimo metodas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Specialūs uždaviniu tipai Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai ix

10 x 3 Funkciju tyrimas 5 3. Grafikų eskizai Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Išvestinė Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Funkciju tyrimas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Neapibrėžtinis integralas Kintamojo keitimo metodas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Racionaliųjų funkciju integravimas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Iracionalios ir trigonometrinės funkcijos Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Dalinio integravimo metodas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Apibrėžtinis integralas Niutono-Leibnico formulė Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Netiesioginiai integralai Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai

11 5.3 Oilerio funkcijos Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Eilutės Neneigiamu skaičiu eilutės Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Laipsninės eilutės Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai xi II Daugiamatė analizė 95 7 Dalinės išvestinės Dalinės išvestinės ir diferencialas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Sudėtinės funkcijos diferencijavimas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Ekstremumai Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Dvilypiai integralai 5 8. Skaičiavimas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Integravimo tvarkos keitimas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai

12 xii 8.3 Plokščios aibės plotas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Trilypiai integralai Skaičiavimas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Integravimo tvarkos pakeitimas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Tūrių skaičiavimas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai III Analizė paviršiuose 33 Paviršiai 35. Neišreikštiniu funkciju diferencijavimas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Paviršiu liestinės ir normalės Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Sąlyginiai ekstremumai Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Polivektoriai, orientacijos Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai

13 xiii Kreiviniai ir paviršiniai integralai 37. Pirmos rūšies integralai Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Formų integravimas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Stokso formulė Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Kompleksinė analizė 49. Integravimas kreivėse Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Reziduumu skaičiavimas Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai Reziduumu teoremos taikymai Teorija Uždaviniai Sprendimai ir atsakymai

14 xiv

15 Pratarmė Šis uždavinynas skirtas Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto statistikos specialybės studentamas, kuriems matematinės analizės kursą skaitau būtent aš. Kursas skaitomas keturis semestrus, per kuriuos parašomi aštuoni kontroliniai darbai (kiekviename semestre po du). Kiekvieno kontrolinio darbo vertė taškai; taigi per semestrą už uždaviniu sprendimą galima užsidirbti 4 taškus. Užsidirbus dar 6 taškus per egzaminą, ir gaunamas tas dešimtukas, kurį aš įrašau į duomenu bazę. Uždavinynas suskirstytas į skyrius pagal temas; žemiau surašyta, kokiu skyriu uždaviniai gali būti per kiekvieną kontrolinį. semestras Funkcijų asimptotika, ribos Funkcijų tyrimas semestras Neapibrėžtinis integralas Apibrėžtinis integralas, eilutės 3 semestras Dalinės išvestinės Dvilypiai integralai, trilypiai integralai 4 semestras Paviršiai Kreiviniai ir paviršiniai integralai xv

16 xvi Kiekvienas skyrius suskirstytas į smulkesnius skyrelius, o kiekvieną skyrelį sudaro trys dalys, kurias pavadinau taip: Teorija, Uždaviniai ir Sprendimai ir atsakymai. Teorijos dalyje surašiau tai, ką paprastai šneku per pratybas, pristatydamas naują uždaviniu tipą. Uždavinių dalyje surašiau uždavinius. Dauguma jų paimti iš jau buvusiu kontroliniu darbų užduočiu prieš tokio uždavinio sąlygą nurodau skliausteliuose metus, kuriais jis buvo sprendžiamas. Žvaigždutė šalia uždavinio numerio rodo, kad jo sprendimas yra Sprendimų ir atsakymų dalyje. Paskutinėje dalyje surašiau visu uždaviniu atsakymus kartu su kai kurių uždaviniu sprendimais.

17 I dalis Vienmatė analizė

18

19 skyrius Funkciju asimptotika. O ir o simboliai.. Teorija Asimptotika, kai x. Tarkime, duota funkcija f(x) = x 3 3x +4x 7 ir man reikia suskaičiuoti jos reikšmę taške x =. Skaičiuoju taip: kai x =, todėl x 3 = 78; x = 44; x = ; x 3 = 3456; x 3 3x = 348; x 3 3x +4x = 3438; x 3 3x +4x 7 = Jei man reikėtu tik apytikslės funkcijos reikšmės, galėčiau parašyti, pavyzdžiui, taip: f() 34. Pastebiu, kad norėdamas gauti apytikslį atsakymą, galėjau neskaičiuoti paskutiniu dvieju dėmenu. Net jei būčiau suskaičiavęs tik pirmą dėmenį, santykinė atsakymo paklaida būtų tik 3%. 3

20 4 Aš mėgstu sakyti taip: kai x didelis, reiškinyje x 3 3x +4x 7 svarbiausias narys yra x 3, antras pagal svarbą narys 3x, trečias 4x ir mažiausiai svarbus narys 7. Skaičiuojant funkcijos reikšmę apytiksliai, užtenka suskaičiuoti kelis svarbiausius narius. Kitaip tariant, jei x didelis, tai f(x) x 3 ; f(x) x 3 3x ; f(x) x 3 3x +4x. Ženklas nėra matematinis ženklas, nes neaiški tiksli jo prasmė. Matematiniai aukščiau parašytu formulių analogai atrodo taip: kai x, tai f(x) = x 3 +O(x ); f(x) = x 3 3x +O(x); f(x) = x 3 3x +4x+O(). Simbolis O(x ) skaitomas O didysis nuo x. Matydamas užrašą f(x) = x 3 + O(x ) aš suprantu, kad f(x) yra x 3 plius dar kažkokie nariai, kurie tiek pat ar net mažiau svarbūs, nei x. Parašytos formulės vadinamos asimptotiniais f funkcijos skleidiniais, kai x. Tiksli jų reikšmė apibrėžta vadovėlyje, o per pratybas reikia išmokti dirbti su tokiomis formulėmis. Asimptotiniai skleidiniai, kai x. Iš išnagrinėto pavyzdžio matyti, kad narys tuo svarbesnis, kuo didesnis x laipsnis: x 3 svarbesnis už x, x svarbesnis už x ir pan. Deja, tai teisinga tik tada, kai x, t.y. kai mus domina apytikslė funkcijos reikšmė, atitinkanti didelį x. Kad tuo įtikinčiau, panagrinėsiu kitą pavyzdį. Tarkime, reikia suskaičiuoti apytikslę tos pačios funkcijos reikšmę taške x =.. Kai x =., x 3 =.33; x =.; x =.; todėl skaičiuojant apytiksliai reikėtu pradėti nuo antro galo: 7 = 7; 7+4x = 6.56;

21 5 7+4x 3x = ; 7+4x 3x +x 3 = Kitaip tariant, jei x mažas, svarbiausias narys yra 7, antras pagal svarbą narys 4x, trečias narys 3x ir mažiausiai svarbus narys x 3. Matematiškai tai užrašoma taip: kai x, tai f(x) = 7+O(x); f(x) = 7+4x+O(x ); f(x) = 7+4x 3x +O(x 3 ). Matydamas, pavyzdžiui, trečiąją formulę, aš suprantu, kad f(x) yra 7 + 4x plius dar kažkokie nariai, kurie yra tiek pat ar net mažiau svarbūs, neix. Tik šiuo atveju tiek pat ar net mažiau svarbūs už x reiškia su x ir didesniais laipsniais. o simbolis. Paaiškinau, ką reiškia O simbolis. Panašus į jį o simbolis (skaitome o mažasis ) skirtas žymėti tik mažiau svarbiems nariams. Pavyzdžiui, lygybė x 3 +o(x 3 ) reiškia x 3 plius dar kažkokie mažiau svarbūs nariai. Jei f yra ta pati funkcija, kaip anksčiau, galėčiau parašyti tokius asimptotinius skleidinius: kai x, o kai x, f(x) = x 3 +o(x 3 ); f(x) = x 3 3x +o(x ); f(x) = x 3 3x +4x+o(x); f(x) = 7+o(); f(x) = 7+4x+o(x); f(x) = 7+4x 3x +o(x ). Asimptotiniai skleidiniai, kai x c,. Tegu vėl f(x) = x 3 3x +4x 7, tačiau šį kartą reikia suskaičiuoti tos funkcijos reikšmę taške.5. Kai x =.5, x 3 =.5765; x =.5;

22 6 x =.5; todėl visi nariai yra vienodai svarbūs. Jei kokį nors narį praleisčiau, rezultato paklaida būtų labai didelė. Norint apytiksliai suskaičiuoti f(.5), reikia pertvarkyti nagrinėjamą reiškinį, įsivedant naują kintamąjį t = x, kuris jau bus mažas. Taigi pažymiu x = +t; tada Kai t =.5, todėl f(+t) = (+t) 3 3(+t) +4(+t) 7 = (+3t+3t +t 3 ) 3(+t+t )+4+4t 7 = +4t+3t +t 3. t =.5; t 3 =.5; +4t =.8; +4t+3t =.795; +4t+3t +t 3 = Matau, kad jau pirmas skaičius duoda pakankamai tikslu rezultatą. Taigi f(+t) +4t, kai t, arba f(x) +4(x ), kai x. Matematiškai rašome taip: kai x, f(x) = +O(x ); f(x) = +4(x )+O ( (x ) ) ; f(x) = +4(x )+3(x ) +O ( (x ) 3) ir pan. Tokios formulės vadinamos asimptotiniais skleidiniais taško aplinkoje. Pabrėšiu, kad formulėje reikia palikti (x ) laipsnius. Jei atlikčiau veiksmus ir gaučiau, pavyzdžiui, f(x) = 5+4x+O ( (x ) ), lygybė būtų teisinga, bet jos negalėčiau pavadinti asimptotiniu skleidiniu.

23 .. Uždaviniai Parašykite duotos funkcijos asimptotinius skleidinius duoto taško aplinkoje duotu tikslumu.. y = (x ) 6, O(x 3 ) tikslumu, kai x.. y = (x ) 6, o(x 3 ) tikslumu, kai x. 3. y = (x ) 6, O(x 3 ) tikslumu, kai x. 4. y = (x+) 4, O(x ) tikslumu, kai x. 5. y = (3 x) 5, o(x ) tikslumu, kai x. 6. y = (x+) 6, O(x 3 ) tikslumu, kai x. 7. y = (+x) 5 (3 x) 4, o(x 3 ) tikslumu, kai x. 8. y = (x ) 5 x(x+) 4, O(x 3 ) tikslumu, kai x. 9. y = (+x) 7 +( x) 7, o(x 3 ) tikslumu, kai x.. y = (x+x 3 ) 4, O(x 6 ) tikslumu, kai x.. y = (x ) 4 (x +) 3, O(x 8 ) tikslumu, kai x.. y = (x+x ) 4 (x x 4 ), O(x 6 ) tikslumu, kai x. 3. y = ( x+x 3 ) 4, O(x 4 ) tikslumu, kai x. 4. y = (x x+) 5, o(x 8 ) tikslumu, kai x. 5. y = (+x+x ) 3 ( x+x 3 ), O(x 4 ) tikslumu, kai x. 6. y = (x +)x 8, O ( (x+) 3) tikslumu, kai x. 7. y = (x+) 5, O ( (x ) ) tikslumu, kai x. 8. y = x 4 4x, o ( (x+) ) tikslumu, kai x. 9. (4) y = (x +) 3, o(x+) tikslumu, kai x...3 Sprendimai ir atsakymai. Iš Niutono binomo formulės ( ) 6 y = x 6 + x 5 ( )+ kai x. = x 6 6x 5 +5x 4 +O(x 3 ), ( ) 6 x 4 ( ) +O(x 3 ). pastaba. Jei būtų parašyta pilna Niutono binomo formulė y = x 6 6x 5 +5x 4 x 3 +5x 6x+ = x 6 6x 5 +5x 4 +O(x 3 ), klaidos nebūtu (duočiau visus 5 taškus), bet aš truputį susinervinčiau. Reikia mokytis rašyti tik tuos narius, kurie reikalingi. 7

24 8. pastaba. Jei iškart būtu parašytas atsakymas y = x 6 6x 5 +5x 4 +O(x 3 ), aš būčiau patenkintas, nes ir aš pats binominius koeficientus skaičiuoju mintyse. Bet, kaip jau minėjau, per kontrolinį tokių paprastų uždaviniu nebūna, ir tenka prirašyti daugiau popieriaus..3 pastaba. Jei būtų paliktas atsakymas arba y = x 6 6x 5 +5x 4 x 3 +5x 6x+ y = x 6 6x 5 +5x 4 +5x +O(x 3 ), aš būčiau nepatenkintas. Nors abi lygybės teisingos, bet aš manyčiau, kad žmogus nesuprato sąlygos. Pirmuoju atveju duočiau tašką (iš 5 galimų) už mokėjimą skaičiuoti binominius koeficientus. Ką daryčiau antruoju atveju, neįsivaizduoju. Tikiuosi, tokio atvejo nebus.. Kai x, ( ) 6 y = x 6 + x 5 ( )+ ( ) 6 x 4 ( ) + = x 6 6x 5 +5x 4 x 3 +o(x 3 )..4 pastaba. Jei būtų išspręsta taip: y = x 6 6x 5 +5x 4 x 3 +O(x ), ( ) 6 x 3 ( ) 3 +o(x 3 ) 3 klaidos nebūtu, ir aš, ko gero, parašyčiau visus 5 taškus. Bet man liktų neaišku, ar žmogus labai protingas (žino, kad liekana gali būti pažymėta ne tiko(x 3 ), bet iro(x ) simboliu), ar jis nėra garantuotas, ką reiškia o simbolis. Todėl kitus jo spręstus uždavinius vertinčiau griežčiau. 3. Kai x, y = ( +x) 6 ( ) ( ) 6 6 = ( ) 6 + ( ) 5 x+ ( ) 4 x +O(x 3 ) = 6x+5x +O(x 3 ).

25 .5 pastaba. Kai x, narys yra svarbesnis už x; todėl norint gauti teisingą atsakymą, reikėtu prieš taikant Niutono binomo formulę sukeisti abu narius vietomis. Teisingą atsakymą galima gauti ir sprendžiant šitaip: y = x 6 6x 5 +5x 4 x 3 +5x 6x+ = 6x+5x +O(x 3 ). Bet toks sprendimas man nelabai patinka, nes aš nemėgstu, kai rašomi nereikalingi nariai. 4. y = x 4 +8x 3 +O(x ), kai x. 5. y = 43 45x+7x +o(x ), kai x. 6. y = +x+6x +O(x 3 ), kai x. 7. Kai x, y = ( +5x+x +x 3 +o(x 3 ) )( 8 6x+6x 96x 3 +o(x 3 ) ) = 8+(45 6)x+(8 8+6)x = 8+89x 54x 366x 3 +o(x 3 ). +( )x 3 +o(x 3 ).6 pastaba. Kai dauginami du asimptotiniai reiškiniai, man norėtu si, kad žmogus iškart matytu, kuriuos dėmenis sudauginus gaunami nereikalingi nariai. Kai abiejuose skleidiniuose nėra tarpų, aš laikausi tokios tvarkos: iš pradžiu rašau pirmųjų (svarbiausiu ) narių abiejuose skliaustuose sandaugą; po to rašau (,)-sandaugos (t.y. nario iš pirmų skliaustu ir nario iš antrų skliaustu ) ir (,)-sandaugos sumą; po to rašau (3,)-sandaugos, (,)-sandaugos ir (,3)-sandaugos sumą ir t.t., kol pradeda gautis nebesvarbūs nariai. Jei skleidiniuose kažkokiu narių nėra, reikia būti atsargesniam. Pavyzdžiui, ( +x +O(x 6 ) )( x+x ) = x+(+)x x 3 +x 4 +O(x 6 ) 8. y = 3x 4 +O(x 3 ), kai x. = x+3x x 3 +x 4 +O(x 6 ). 9

26 9. y = +4x +o(x 3 ), kai x.. y = x 4 +O(x 6 ), kai x.. Kai x, y = ( x 4 4x 3 +O(x ) )( x 6 +O(x 4 ) ) = x 4x 9 +O(x 8 )..7 pastaba. Aš mėgstu, kai abiejuose daugikliuose parašoma lygiai tiek narių, kiek būtina gauti atsakymui. Bet kaip žinoti, kad pirmuose skliaustuose reikia asimptotikos iki O(x ), o antruose užtenka iki O(x 4 )? Aš tai nusprendžiu, paskaičiavęs kitu skliaustu svarbiausią narį. Pavyzdžiui, antruose skliaustuose svarbiausias narys yra x 6 ; todėl norint sandaugoje gauti O(x 8 ), pirmuose skliaustuose reikia asimptotikos iki O(x ). Jei būtų ne du, o daugiau daugikliu, reiktu skaičiuoti visu likusiu daugiklių svarbiausiu narių sandaugą. Pavyzdžiui, jei y = (x ) 4 (x +) 5 (x 3 +) 3 ir reikalinga tos funkcijos asimptotika iki O(x ) nario (kai x ), skaičiuojame taip: y = ( x 4 4x 3 +6x +O(x) )( x +5x 8 +O(x 7 ) )( x 9 +O(x 6 ) ) = ( x 4 4x 3 +x +O(x ) )( x 9 +O(x 6 ) ) = x 3 4x +x +O(x ).. y = x 5 +O(x 6 ), kai x. 3. Kai x, y = ( +( x+x 3 ) ) 4 = 6+4 8( x+x 3 )+6 4( x+x 3 ) +4 ( x+x 3 ) 3 +O(x 4 ) = 6+3( x+x 3 )+4 ( x +O(x 4 ) ) +8 ( x 3 +O(x 4 ) ) +O(x 4 ) = 6 3x+4x +(3 8)x 3 +O(x 4 ) = 6 3x+4x +4x 3 +O(x 4 ). 4. y = x 5x 9 +5x 8 +o(x 8 ), kai x. 5. y = +x 4x 3, kai x.

27 6. Pažymėjęs x = +t, gaunu kai t. Taigi kai x. y = ( ( +t) + ) ( +t) 8 = ( t+t )( 8t+8t +O(t 3 )) = +( 6)t+(+6+56)t +O(t 3 ) = 8t+73t +O(t 3 ), y = 8(x+)+73(x+) +O ( (x+) 3),.8 pastaba. Atsakymą galima parašyti ir taip: kai x, čia t = x+. Aš suprasiu. y = 8t+73t +O(t 3 ); 7. y = 3+8(x )+O ( (x ) ), kai x. 8. y = 6(x+)+(x+) +o ( (x+) ), kai x. 9. y = 7 54(x+)+o(x+), kai x.. Asimptotinių skleidinių dalyba.. Teorija Dalyba kampu. Kai funkcija, kurios asimptotinį skleidinį reikia rasti, yra f /f pavidalo, iš pradžiu randame f i funkciju asimptotinius skleidinius, o po to juos padaliname vieną iš kito. Asimptotiniai reiškiniai dalinami kampu. Pavyzdžiui, kai x, x +x +O(x 3 ) +x+o(x ) + x +O(x ) 5 4 x+o(x ) 5x +O(x ) 5x +O(x ) O(x ) Todėl x+x +O(x 3 ) +x+o(x ) = 5 4 x+o(x ).

28 : Iš pradžiu paaiškinsiu pačią dalybą. Pirmą dalmens narį parinkau taip, kad susiprastintu svarbiausias narys =. Parašęs tą narį, padauginu jį iš daliklio ir gaunu ( +x+o(x ) ) = + x+o(x ). Aišku, kad O(x ) = O(x ). Tikrai, O(x ) žymi kažkokį nežinomą reiškinį, kuriame, gal būt, yra nariai sux, x 3 ir aukštesniais laipsniais, bet tikrai nėra narių su žemesniais laipsniais. Padauginęs tokį reiškinį iš /, vėl gausiu tokio pat tipo reiškinį. Dabar atimu du asimptotinius reiškinius vieną iš kito: ( x+x +O(x 3 ) ) ( +x/+o(x ) ) = 5 x+o(x ). Jei yra reiškinys O(x ), nario x rašyti nebėra prasmės: tame nežinomame O(x ) gali būti koks nors su x, kuris susidėtu sux iš pirmųjų skliaustu ir vėl gaučiau O(x ) tipo reiškinį. Dėl tos pačios priežasties nėra prasmės palikti ir O(x 3 ) dėmenį: sudėjęs kažkokį reiškinį su x ir aukštesniais laipsniais su reiškiniu, kuriame yra x 3 ir aukštesni laipsniai, gaunu reiškinį, kuriame yra x ir aukštesni laipsniai. Antras dalmens narys parenkamas taip, kad susiprastintu pagrindinis liekanos narys: Po to tą narį dauginu iš daliklio: 5 4 x = 5 x. 5 4 x( +x+o(x ) ) = 5 x+o(x ). Tikslesnės išraiškos 5x 5 4 x + O(x 3 ) rašyti nėra prasmės, nes atėmus tą sandaugą iš liekanos 5 x+o(x ) vis tiek gausis O(x ). Po to atimu: ( 5 ) ( x+o(x ) 5 ) x+o(x ) = O(x ). Aišku, kad O(x ) nesusiprastina su O(x ): abu jie žymi tam tikrą nežinomą reiškinį su x ir aukštesniais laipsniais, bet nebūtinai tą patį. Todėl atėmus vėl gaunasi nežinomas reiškinys su x ir aukštesniais laipsniais. Galiausiai reikia padalinti O(x ) iš + x + O(x ). Čia aš mąstau taip: reikia parašyti tokį narį, kurį padauginus iš gautųsi nežinomas reiškinys su

29 x ir aukštesniais laipsniais. Aišku, kad tas reiškinys yra O(x ) = O(x ). Todėl trečias dalmens narys yra O(x ). Šis samprotavimas nėra labai griežtas, bet visada duoda teisingą rezultatą. Kaip griežtai pagrindžiamas gautas atsakymas, galite paskaityti vadovėlyje. Sprendžiant kontrolinio darbo uždavinius, to pagrindimo rašyti nereikia. 3 Du patarimai.. Prieš dalinant kampu būtina dėmenis surikiuoti pagal svarbą; kitaip galima gauti nesąmonę.. Jei f /f trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra aukštos eilės daugianariai, reiktų mokėti apskaičiuoti, kokio tikslumo turi būti jų asimptotiniai skleidiniai, kad gautume reikiamo tikslumo dalmens skleidinį. Kai x arba x, aš naudoju tokią dvieju žingsniu taisyklę: a) iškeliu iš skaitiklio ir vardiklio svarbiausią x laipsnį ir juos suprastinu; tada gaunasi x kg (x) g (x) pavidalo reiškinys su g () ir g () nelygiais nei, nei begalybei; b) jei man reikalingas tikslumas O(x l ), tai turiu naująją trupmeną išskleisti iki O(x l k ), o tam pakanka ir g, ir g išskleisti iki O(x l k ). Kaip ši taisyklė konkrečiai taikoma, matyti iš žemiau išspręstu uždaviniu... Uždaviniai Parašykite duotos funkcijos asimptotinius skleidinius duoto taško aplinkoje duotu tikslumu.. () y = x + x 3 +x+, o(x3 ) tikslumu, kai x.. () y = x 3 +x+, o(x3 ) tikslumu, kai x. 3. (4) y = (+x)7 +x, O(x3 ) tikslumu, kai x. 4. (4) y = +x x +, O(x3 ) tikslumu, kai x. 5. (4) y = (+x x4 ) 3, O(x 3 ) tikslumu, kai x. x 6. () y = x (x +) 5, O(x4 ) tikslumu, kai x. 7. (4) y = 3x+x3 ( x) 9, O(x4 ) tikslumu, kai x.

30 4 8. (4) y = ( 3 x + ) funkcijos, O(x) tikslumu, kai x. x 9. () y = (x )5, O() tikslumu, kai x. x 5 +x3. (4) y = x + x 4 x3, O() tikslumu, kai x.. y = +x x 4 x, o() tikslumu, kai x.. y = x 3. y = x+x, O(x) tikslumu, kai x. x(x+)(x+), O(x 4 ) tikslumu, kai x. 4. () y = +x3 +x, o(x 3 ) tikslumu, kai x. 5. (4) y = (x+) + x4, o(x) tikslumu, kai x. x 6. () y = (x+)8 x +, O(x3 ) tikslumu, kai x. x 8 7. () y = ( x) 5, O() tikslumu, kai x. 8. () y = +x3 +x+x 3, o(x 5 ) tikslumu, kai x. 9. (4) y = +x3 +x 5, o() tikslumu, kai x. x(x ). (4) y = (x )8, o() tikslumu, kai x. x 6 +. (4) y = (x +x+), o(/x) tikslumu, kai x. x+x 3 x 8. (4) y = (x ) 3 (x +), o(/x) tikslumu, kai x. ( x + ) 4, 3. (4) y = o(x ) tikslumu, kai x. x 4. () y = x 3, o( (x ) ) tikslumu, kai x. 5. (4) y = x +x, O ( (x+) 3) tikslumu, kai x. x+ 6. y = x x x4, o(x ) tikslumu, kai x. 7. () y = x x +, o( (x+) ) tikslumu, kai x.

31 5 8. () y = x 8, o( (x 3) ) tikslumu, kai x () y = x x+, o( (x+3) ) tikslumu, kai x (4) y = x +x, o(x ) tikslumu, kai x. 3. (4) y =, o() tikslumu, kai x. x ( 3. (4) y = x x ), o() tikslumu, kai x. 33. (4) y = x x 3, o( (x ) ) tikslumu, kai x...3 Sprendimai ir atsakymai. Surikiuoju dėmenis abiejuose operanduose pagal svarbą ir dalinu kampu: +x +x+x 3 +x +x 3 x+x 3x 3 +o(x 3 ) x +x x 3 x x +o(x 3 ) x x 3 +o(x 3 ) x +x 3 +o(x 3 ) 3x 3 +o(x 3 ) 3x 3 +o(x 3 ) o(x 3 ) Taigi y = x+x 3x 3 +o(x 3 ), kai x.. y = x+x x 3 +o(x 3 ), kai x. 3. y = x x +O(x 3 ), kai x. 4. y = +x x +O(x 3 ), kai x. 5. y = +4x+7x +O(x 3 ), kai x.

32 6 6. Pakanka gauti /(x + ) 5 funkcijos asimptotinį skleidinį iki O(x 6 ) ir padalinti jį iš x. Kadangi pastarosios trupmenos ir skaitiklis, ir vardiklis prasideda nuo nario su konstanta, vardiklį pakanka išskleisti iki O(x 6 ): Dabar dalinu kampu: (x +) 5 = (+x ) 5 = +5x +x 4 +O(x 6 ). +5x +x 4 +O(x 6 ) +5x +x 4 +O(x 6 ) 5x +5x 4 +O(x 6 ) 5x x 4 +O(x 6 ) 5x 5x 4 +O(x 6 ) 5x 4 +O(x 6 ) 5x 4 +O(x 6 ) O(x 6 ) Taigi todėl (x +) 5 = 5x +5x 4 +O(x 6 ); y = x 5+5x +O(x 4 ), kai x. 7. Pakanka gauti (3+x )/( x) 9 santykio asimptotinį skleidinį iki O(x 3 ) ir rezultatą padauginti iš x. Pastarojo reiškinio skaitiklis ir vardiklis prasideda nuo laisvojo nario; todėl vardiklį pakanka išskleisti iki O(x 3 ): kai x. Dalinu kampu: ( x) 9 = 9x+36x +O(x 3 ), 3 +x 9x+36x +O(x 3 ) 3 7x +8x +O(x 3 ) 3+7x+36x +O(x 3 ) 7x 7x +O(x 3 ) 7x 43x +O(x 3 ) 36x +O(x 3 ) 36x +O(x 3 ) O(x 3 )

33 7 Taigi todėl kai x. 3+x ( x) 9 = 3+7x+36x +O(x 3 ); y = 3x+7x +36x 3 +O(x 4 ), 8. Iš pradžių skliaustuose surikiuoju dėmenis pagal svarbą ir iškeliu pagrindinį narį: ( 3 x + ) ( = x x +3 x = ) ( x 3+ x ) ( = 3x+ x ). x x Dabar matyti, kad reikia gauti skliaustuose esančio reiškinio asimptotinį skleidinį iki O(x 3 ). Pirmi du dėmenys skliaustuose jau yra x laipsniai. Norėdamas gauti trečio dėmens asimptotinį skleidinį ikio(x 3 ), turiu išskleisti /( x) iki O(x ) ir tą skleidinį padauginti iš x. Nuo to ir pradedu. Dalinu kampu: Taigi x x +x+o(x ) x x +O(x ) O(x ) x = +x+o(x ); 3x+ x x = x+x +O(x 3 ), kai x. Iš čia ( 3x+ x ) ( = x+x +O(x 3 ) ) x = 4+4 ( x+x +O(x 3 ) ) + ( x+x +O(x 3 ) ) = 4 8x+4x +O(x 3 )+4x +O(x 3 ) = 4 8x+8x +O(x 3 )

34 8 ir, reiškia, y = x ( 4 8x+8x +O(x 3 ) ) = 4 x 8 x +8+O(x), kai x..9 pastaba. Kadangi 3 ir /( x) dėmenys vienodai svarbūs, galima buvo juos sudėti: ( y = x + 3x ) ( = x 3x ). x x x Po to padalinęs 3x iš x iki O(x ), gaučiau tą patį atsakymą. Galima sudėti ir visus tris dėmenis. Tačiau man gražiau, kai dalinami paprastesni reiškiniai. 9. y = x 3 +5x 9x +O(), kai x.. y = x 3 x x +O(), kai x.. y = x x +o(), kai x.. y = x ++O(x), kai x. 3. Kadangi x(x+)(x+) = x 3 +x +x, pakanka išskleisti paskutiniąsias dvi trupmenas iki O(x ) ir sandaugą padalinti iš x 3. Dalinu kampu: +x +O(x ) +O(x ) O(x ) Analogiškai Taigi +x +O(x ) +O(x ) O(x ) y = x 3( +O(x ) )( +O(x ) ) = x 3( +O(x ) ) = x 3 +O(x 4 ), kai x.

35 . pastaba. Galima vardiklyje reiškinį sudauginti ir dalinti iš x 3 +3x + x iki O(x 4 ). Rezultatas gautųsi tas pats ir netgi greičiau. Bet sprendžiant taip kitus tokio tipo uždavinius, gali iškilti problemu nustatant, kokio tikslumo asimptotinius skleidinius reikia gauti skaitiklyje ir vardiklyje Kadangi +x 3 +x = x3 + x + = x+x 3 +x, užtenka išskleisti trupmeną iki o(x 4 ) ir skleidinį padauginti iš x. Dalinu kampu: +x 3 +x +x x +x 3 +x 4 +o(x 4 ) x +x 3 x x 4 x 3 +x 4 x 3 +o(x 4 ) x 4 +o(x 4 ) x 4 +o(x 4 ) o(x 4 ) Taigi y = x ( x +x 3 +x 4 +o(x 4 ) ) = x x +x +x 3 +o(x 3 ), kai x. 5. Pirma trupmena (x+) = x (+x ) = x O() = O(x ) = o(x); todėl pakaks išskleisti tik antrąją trupmeną. Kadangi x 4 x = x3 x, pakanka gauti /( x ) trupmenos skleidinį iki o(x ) ir padauginti iš x 3.

36 Dalinu kampu: x x +x +x +o(x ) x x x x x +o(x ) o(x ) Taigi y = o(x) x 3( +x +x +o(x ) ) = o(x) x 3 x x+o(x) = x 3 x x+o(x), kai x. 6. y = x 6 +8x 5 +7x 4 +O(x 3 ), kai x. 7. y = x 3 5x 5x+O(), kai x. 8. y = x +x 4 +x 5 +o(x 5 ), kai x. 9. y = x +x+4+o(), kai x.. y = x 8x+8+o(), kai x.. y = x+3+4x +o(), kai x.. y = x+3+4x +o(x ), kai x. 3. y = x 4 4x 3 8x +o(x ), kai x. 4. Įstatęs x = +t, gaunu y = (+t) 3 = 8+t+6t +o(t ),

37 kai t. Dalinu kampu: Taigi kai t, t.y. kai x. 8+t+6t +o(t ) + 3t +3 4 t +o(t ) 3 t t +o(t ) 3t 3 4 t +o(t ) 3 t 9 4 t +o(t ) 3 t +o(t ) 3 t +o(t ) o(t ) 8+t+6t +o(t ) = t+ 3 6 t +o(t ), y = (x )+ 3 6 (x ) +o ( (x ) ), 5. Įstatęs x = + t, gaunu y = ( +t) +t +t+ = 3t+t +t Pakanka išskleisti trupmeną iki O(t ) ir padauginti iš t. Dalinu kampu: 3 t t 3 3t 3+t+O(t ) t t +O(t ) O(t ) = t 3 t t. Taigi t 3 t t = t( 3+t+O(t ) ) = 3t+t +O(t 3 ), kai t, t.y. y = 3(x+)+(x+) +O ( (x+) 3), kai x.

38 6. Pažymėjęs x = +t, gaunu kai t. Dalinu kampu: y = t +t (+t) 4 = t +t 4t 6t 4t 3 +t 4 = t t 3 6t 4t +t 3 = t + t 3+6t+4t +o(t ), 3+6t+4t +o(t ) +t t +o(t ) t t +o(t ) t 4 3 t +o(t ) t 4t +o(t ) 8 3 t +o(t ) 8 3 t +o(t ) o(t ) Taigi t + t 3+6t+4t +o(t ) = t + ( t 3 3 t+ 8 9 t +o(t )) = 3t t+o(t), kai t, t.y. y = 3(x ) (x )+o(x ), kai x. 7. y = (x+) 5 (x+) +o ( (x+) ), kai x. 8. y = 6(x 3)+35(x 3) +o ( (x 3) ), kai x y = 9 3(x+3) 4(x+3) +o ( (x+3) ), kai x y = (x )+ 5 (x ) +o ( (x ) ), kai x.

39 3 3. y = (x ) + +o(), kai x y = (x ) (x ) +3+o(), kai x. 33. y = 4(x ) 6(x ) +o ( (x ) ), kai x..3 Elementariosios funkcijos.3. Teorija Asimptotiniai skleidiniai aplinkoje. Spręsdami uždavinius, kuriuose yra ne tik polinomai, bet ir, pavyzdžiui, sinusas ar logaritmas, naudojamės tokiomis asimptotinėmis formulėmis: kai x, (+x) a = + ( ) a x+ ( a ) x + + ( a n ) x n +O(x n+ ); e x = +x+ x + x3 xn n! +O(xn+ ); ln(+x) = x x + x ( )n xn n +O(xn+ ); cosx = x + x4 xn + +( )n 4 (n)! +O(xn+ ); sinx = x x3 6 + x5 x n+ + +( )n (n+)! +O(xn+3 ); arcsinx = x+ 6 x x5 + + (n )!! (n)!!(n+) xn+ +O(x n+3 ); arctgx = x x3 3 + x5 xn+ + +( )n 5 n+ +O(xn+3 ). Simbolis ( a n) pirmoje formulėje žymi binominį koeficientą, kuris skaičiuojamas taip: ( ) a = a(a ) (a n+). n n! (Skaitiklyje yra n daugikliu ; pirmasis lygus a, o kiekvienas kitas vienetu mažesnis už prieš tai buvusį.) Skaičius a gali būti bet koks sveikas ir trupmeninis, teigiamas ir neigiamas. Pavyzdžiui, ( ) / = 3 3 3! = = 6 ;

40 4 ( ) = ! = ir pan. Simbolis!! arksinuso skleidinyje žymi dvigubą faktorialą. Jis apibrėžiamas taip: Pavyzdžiui, (n+)!! = (n+); (n)!! = 4 6 (n).!! = = 395; 8!! = = 384. Taikydami bet kurią iš parašytu formuliu, pasirenkame tiek narių, kiek reikia. Pavyzdžiui, jei reikia funkcijos arcsinx skleidinio iki O(x 9 ), rašome arcsinx = x+ 6 x x5 + 5 x7 +O(x 9 ). Per kontrolinį aš leidžiu naudotis formulėmis; taigi jų atsiminti nebūtina. Tačiau kai kurios jų taip dažnai naudojamos, kad įsimena pačios. Kartais prireikia funkcijos tg x asimptotikos, kai x. Ją galima gauti padalinus sinuso asimptotinį skleidinį iš kosinuso. Tačiau nenorint gaišti galima iš anksto tai padaryti ir gautą formulę prirašyti prie turimo formulių sąrašo. Pavyzdžiui, tgx = x+ x x5 +O(x 7 ), kai x. Aš nemėgstu duoti uždaviniu su a x arba log a x funkcijomis. Tačiau jei netyčia toks uždavinys pasitaikytu, jį nesunku suvesti į jau išnagrinėtus: a x = e xlna = +xlna+ (xlna) + ; log a (+x) = ln(+x) = (x + ) x. lna lna Asimptotiniai skleidiniai kitų tašku aplinkose. Aukščiau parašytas formules galima naudoti, tik kai x. Jei x c, aš pažymiu x = c+t, po to taikau formules, kurios f(x + t) funkcijos skaičiavimą suveda į f(t) skaičiavimą, ir galiausiai išskleidžiu f(t).

41 5 Štai formulės, kurias ką tik minėjau: x a = (c+t) a = c a (+t/c) a ; e x = e c+t = e c e t ; lnx = ln(c+t) = lnc+ln(+t/c); cosx = cos(c+t) = cosccost sincsint; sinx = sin(c+t) = sinccost+coscsint. Funkcijoms arcsin x ir arctg x tokiu formulių nėra, bet ir tokių uždaviniu, kur reikėtu suskaičiuoti, pavyzdžiui, arksinuso asimptotiką taško / aplinkoje, aš neduodu. Sudėtiniu funkciju asimptotika. Kai man reikia rasti sudėtinės funkcijos asimptotiką, aš taikau tokią taisyklę: į funkcijos asimptotinį skleidinį, kai x, vietoje x galima įrašyti bet kokį reiškinį, kuris artėja prie. Pakomentuosiu ją.. Artėjimas prie reiškia, grubiai šnekant, kad įstačius į reiškinį ribinį tašką, gaunamas. Pavyzdžiui, x+x, kai x, nes + =. Todėl į e x funkcijos asimptotinį skleidinį vietoje x galima įrašyti x + x ir gauti funkcijos e x+x asimptotinį skleidinį: kai x, e x+x = +(x+x )+ (x+x ) +O ( (x+x ) 3) = +x+x + x +O(x 3 ) +O(x 3 ) = +x+ 3x +O(x3 ). Kita vertus, x, kai x, nes =. Todėl negalima rašyti e x = +( x)+ ( x) +O ( ( x) 3) = 5 3x+ x +O(x3 ). (Tarp kitko, pirma lygybė čia netyčia gavosi teisinga, bet ji reiškia tik, kad e x = O().) Šį uždavinį reiktu spręsti taip: e x = e e x = e ( x+ x +O(x3 ) ).

42 6 Kadangi x, kai x (nes = ), tai į e x asimptotinį skleidinį vietoje x galėjau įrašyti x.. Jei svarbiausias įstatinėjamo reiškinio asimptotikos narys yra x k eilės, tai vietoje O(x n ) iškart galima rašyti O(x nk ). Pavyzdžiui, aukščiau išspręstuose pavyzdžiuose vietoje O ( (x+x ) 3) ir O( x 3 ) galima buvo iškart rašyti O(x 3 ) (antruoju atveju aš taip ir padariau). Likę atvejai šaknys. Jau moku rasti laipsninės funkcijos asimptotiką, kai x c,. O ką daryti, pavyzdžiui, jei mane domina funkcija y = x ir x? Šiuo atveju asimptotinio skleidinio sveikaisiais x laipsniais gauti neįmanoma: argumentui augant, funkcijos reikšmė taip pat didėja, bet lėčiau, negu lėčiausiai didėjantis sveikasis x laipsnis pats x. Pavyzdžiui, x =, kai x =, x =, kai x =, ir t.t. Kita vertus, x yra tokia paprasta funkcija, kad ieškoti apytiksliu formuliu jai skaičiuoti (kai x didelis) nėra reikalo. Tačiau jei pošaknyje būtų sudėtingesnis reiškinys, jau galima būtų šį tą nuveikti. Tegu, pavyzdžiui, man reikia funkcijos y = x+ asimptotikos, kai x. Iš pradžiu funkciją perrašau taip: y = x(+/x) = ( x + x) /. Kai x didelis, /x yra mažas; todėl galiu taikyti binomo asimptotinį skleidinį: ( + ) / = + x x 8 x +. Taigi, pavyzdžiui, y = ( x + x ) 8x +O(x 3 ) = x+ x / 8 x 3/ +O(x 5/ ), kai x. Taip pat ieškome laipsniniu funkciju asimptotikos, ir kai x. Tik šiuo atveju svarbiausias narys, kurį reikia iškelti prieš skliaustus, yra kitoks, nei x atveju. Pavyzdžiui, 3 x+x4 = 3 x(+x 3 ) /3 = 3 ( x + 3 x3 ) 9 x6 +O(x 9 ), kai x.

43 7 Likę atvejai logaritmas. Jei dominanti funkcija yra tiesiog y = ln x, nieko padaryti neįmanoma: kai x didėja, logaritmas taip pat didėja, bet lėčiau negu bet koks x laipsnis. Tikrai, jei x =, tai, pavyzdžiui, x = 5, o lnx = ln 3. Jei argumentas sudėtingesnis, galima šį tą nuveikti. Pavyzdžiui, ln(x +x+) = ln [ x (+x +x ) ] = lnx +ln(+x +x ) = lnx+(x +x ) (x +x ) +O(x 3 ) = lnx+x + x +O(x 3 ), kai x. Jei logaritmo argumentas artėja į, elgiamės taip pat, tik prieš skliaustus keliame kitą narį. Pavyzdžiui, ln(x +x) = lnx(+x) = lnx+ln(+x) kai x. = lnx+x x +O(x3 ), Likę atvejai eksponentė. Jei eksponentės argumentas artėja į, funkcijos reikšmės auga greičiau už bet kokį x laipsnį. Pavyzdžiui, jei x =, tai x 5 =, o e x Taigi neįmanoma gauti e x asimptotinio skleidinio x laipsniais. Jei eksponentės argumentas yra sudėtingesnė funkcija, darome taip: pakeičiame argumentą jo asimptotiniu skleidiniu, pritaikome pagrindinę eksponentės savybę (kad suma atvaizduojama į sandaugą) ir tuos daugiklius, kuriuose eksponentės argumentas artėja į, pakeičiame jų asimptotiniais skleidiniais. Pavyzdžiui, kai x. e x 4 +x + = e x (+x +x 4 ) / = e x (+ (x +x 4 )+O(x 4 )) = e x (+ x +O(x 4 )) = e x + +O(x ) = e x ee O(x ) = e x e(+o(x )),

44 8.3. Uždaviniai. y =, o(x ) tikslumu, kai x. +x x. y = ex e x, o(x 3 ) tikslumu, kai x. 3. y = sin5x sin3x, O(x 4 ) tikslumu, kai x. sinx 4. y = +x, O(x 3 ) tikslumu, kai x. x 5. y = 3 +x 3 x, o(x 3 ) tikslumu, kai x. 6. y = x e x, O(x ) tikslumu, kai x. 7. y = ln( x 3 ), o(x 6 ) tikslumu, kai x. 8. y = ln(+x+x 3 ), O(x 4 ) tikslumu, kai x. 9. y = cos x, O(x 6 ) tikslumu, kai x.. y = +x x, O(x 3 ) tikslumu, kai x.. y = e x x /, o(x ) tikslumu, kai x.. y = 3 cosx, o(x 4 ) tikslumu, kai x. 3. y = arctg 3 x, O(x 6 ) tikslumu, kai x. 4. y = 3 8 x, o(x ) tikslumu, kai x. 5. y = +x, O(x ) tikslumu, kai x. +x 6. y = ln(x +), O ( (x ) ) tikslumu, kai x. 7. () y = 3 x, O ( (x 8) 3) tikslumu, kai x () y = e x, O ( (x ) 3) tikslumu, kai x. 9. () y = ln(+x ), O ( (x ) 3) tikslumu, kai x.. () y = 4sin x, O ( (x π/3) 3) tikslumu, kai x π/3.. (4) y = cosx sinx, O ( (x π/8) 4) tikslumu, kai x π/8.. (4) y =, o(x π/6) tikslumu, kai x π/6. sinx 3. (4) y =, o(x+) tikslumu, kai x. 5+x 3 4. (4) y = 4 x 3 +8, o ( (x ) ) tikslumu, kai x. 5. y = +cosx, o(x 4 ) tikslumu, kai x. 6. y = arcsin(e x ), O(x 5 ) tikslumu, kai x.

45 9 7. y = e sinx, o((x π/4) ) tikslumu, kai x π/4. 8. y = ln 3+x +x, o(x3 ) tikslumu, kai x. 9. y = cos(sinx), o(x 4 ) tikslumu, kai x. 3. () y = ln ex +e x, O(x 6 ) tikslumu, kai x. sinx 3. () y = x, O(x6 ) tikslumu, kai x. 3. () y = 3, O(x 6 ) tikslumu, kai x. cosx +e x 33. () y =, O(x 3 ) tikslumu, kai x. 34. (4) y = 3 cosx, o(x 4 ) tikslumu, kai x. 35. (4) y = ln sinx x, O(x6 ) tikslumu, kai x. 36. (4) y = e sinx cosx, O(x 3 ) tikslumu, kai x. 37. (4) y = 3+ x, o(x ) tikslumu, kai x. x 38. (4) y = ln(+x), o(x ) tikslumu, kai x. 39. (4) y = e +x, O(x 3 ) tikslumu, kai x..3.3 Sprendimai ir atsakymai. Kai x, y = (+x) / ( x) / = x+ 3 8 x +o(x ) ( + x+ 3 8 x +o(x ) ) = x+o(x ).. pastaba. Kadangi x, kai x, į ( + x) / asimptotinį skleidinį galima įrašyti x vietoje x. Binominius koeficientus skaičiavau taip: ( ) / ( ) / = = ; = 3 = 3 8.

46 3. Kai x, y = 3. Kai x, ( +x+x /+x 3 /6+o(x 3 ) = x+ x3 6 +o(x3 ). ( x+x / x 3 /6+o(x 3 ) )) y = 5x 5x3 /6+O(x 5 ) 3x+9x 3 /+O(x 5 ) x x 3 /6+O(x 5 ) = x 49x3 /3+O(x 5 ) x x 3 /6+O(x 5 ) = 49x /3+O(x 4 ) x /6+O(x 4 ). (Pasirėmiau tuo, kad 5x ir 3x, kai x.) Dabar dalinu kampu: 49 3 x +O(x 4 ) x 6 +O(x4 ) x +O(x 4 ) 6x +O(x 4 ) 3 6x +O(x 4 ) 6x +O(x 4 ) O(x 4 ) Taigi kai x. y = 6x +O(x 4 ), 4. y = +x+ 5 x +O(x 3 ), kai x. 5. y = 3 x+ 8 8 x3 +o(x 3 ), kai x. 6. y = x + x +O(x3 ), kai x. 7. y = x 3 x 6 +o(x 6 ), kai x. 8. y = x x x3 +O(x 4 ), kai x.

47 3 9. y = x + x4 3 +O(x6 ), kai x.. y = + x 5 8 x +O(x 3 ), kai x.. y = +x+o(x ), kai x.. y = x 6 x4 7 +o(x4 ), kai x. 3. y = x 3 x 5 +O(x 7 ), kai x. 4. Kai x, y = 3 x/8 ( ( ) /3 = + ( x/8) + = ( x ) 4 + x 576 +o(x ) = x + x 88 +o(x ). 5. Pažymėjęs x = +t, gaunu ( /3 ) ) ( x/8) +o(x ) y = +t +(+t+t ) / = +t + / (+t+t /) /. Pirmo dėmens asimptotiką gaunu dalindamas kampu: +t + t t 4 +O(t ) t t +O(t ) O(t ) Be to, ( ) / (+t+t /) / = + (t+t )+O(t ) = t +O(t ).

48 3 Taigi kai t, t.y. kai x. y = t 4 +O(t )+ ( t +O(t ) ) = + y = + + t+o(t ), 4 + (x )+O ( (x ) ), 4 6. Pažymėjęs x = +t, gaunu kai t, t.y. y = ln(3+t+t ) = ln3+ln(+t/3+t /3) ( t ) = ln t +O(t ) 3 = ln3+ t 3 +O(t ), y = ln3+ 3 (x )+O( (x ) ), kai x. 7. y = (x 8)+ 7 (x 8) +O ( (x 8) 3), kai x y = e ( (x )+(x ) +O((x ) 3 ) ), kai x. 9. y = ln+(x )+O ( (x ) 3), kai x.. y = 3 3(x π/3) (x π/3) +O ( (x π/3) 3), kai x π/3.. y = (x π/8)+ 4 3 (x π/8)3 +O ( (x π/8) 4), kai x pi/8.. y = 3(x π/6)+o(x π/6), kai x π/6. 3. y = 3 (x+)+o(x+), kai x. 6

49 33 4. y = + 3 (x ) (x ) +o ( (x ) ), kai x. 5. Kai x, y = ( x /+x 4 /4+o(x 4 ) ) / = ( x /4+x 4 /48+o(x 4 ) ) / = ( ( ) / ( x + /4+x 4 /48+o(x 4 ) ) ( ) / ( x + /4+x 4 /48+o(x 4 ) ) +o(x )) 4 = ( + ( x /4+x 4 /48+o(x 4 ) ) x 8( 4 /6+o(x 4 ) ) ) +o(x 4 ) = ) ( x 8 + x o(x4 ). 6. Kai x, y = arcsin ( x+x /+x 3 /6+x 4 /4+O(x 5 ) ) = ( x+x /+x 3 /6+x 4 /4+O(x 5 ) ) + 6( x+x /+x 3 /6+x 4 /4+O(x 5 ) )3 +O(x 5 ) = ( x+x /+x 3 /6+x 4 /4+O(x 5 ) ) + 6( x 3 +3x 4 /+O(x 5 ) ) +O(x 5 ) = x+ x + x x4 4 +O(x5 ).. pastaba. Kubu pakėliau taip: ( x+x /+x 3 /6+x 4 /4+O(x 5 ) ) 3 = x 3( +x/+x /6+x 3 /4+O(x 4 ) ) 3 = x 3[ +3 ( x/+x /6+x 3 /4+O(x 4 ) ) +O(x ) ] = x 3( +3x/+O(x ) ) = x 3 + 3x4 +O(x5 ).

50 34 7. Pažymėjęs x = π/4+t, gaunu y = e sin(π/4+t) = e (cost+sint)/ = e (+t t /+o(t ))/ = e / e (t t /+o(t ))/ ( = e / + ( t t /+o(t ) ) + t t 4( /+o(t ) ) ) +o(t ) ( = e / + ( t t /+o(t ) ) + t 4( +o(t ) ) ) +o(t ) ( = e / + t kai t. Reiškia, y = e / [+ ( x π ) 4 kai x π/4. 8. Kai x, 9. Kai x, y = ln(3+x) ln(+x ) ) t +o(t ), + + ( x π ) (( +o x π ) )], = ln3+ln(+x/3) ln(+x ) = ln3+x/3 x /8+x 3 /8+o(x 3 ) ( x +o(x 3 ) ) = ln3+ x 3 9x 8 + x3 8 +o(x3 ). y = cos ( x x 3 /6+O(x 5 ) ) = ( x x 3 /6+O(x 5 ) ) ( + x x 3 /6+O(x 5 ) ) 4 +o(x 4 ) 4 = ( x x 4 /3+o(x 4 ) ) + ( x 4 +o(x 4 ) ) +o(x 4 ) 4 = x + 5x4 4 +o(x4 ). 3. y = x x4 +O(x6 ), kai x.

51 35 3. y = x 3 48 x4 +O(x 6 ), kai x. 3. y = + x 6 + x4 4 +O(x6 ), kai x. 33. y = x x +O(x 3 ), kai x. 34. y = x 6 x4 7 +o(x4 ), kai x. 35. y = x 6 + x4 36 +O(x6 ), kai x. 36. y = e ( +x+x +O(x 3 ) ), kai x. 37. y = x x +o(x ), kai x. 38. y = + x x +o(x ), kai x. 39. y = e ( + x +O(x3 ) ), kai x.

52 36

53 skyrius Ribos. Pagrindinis ribų skaičiavimo metodas.. Teorija Funkcijos riba. Funkcijos f(x) riba, kai x a, vadinamas toks skaičius b, kad f(x) b, kai x a. Tas faktas griežtai užrašomas viena iš tokiu formuliu : f(x) x a b; f(x) b, kai x a; limf(x) = b. x a Dar sakoma, kad f(x) artėja prie b, kai x a. Ribos skaičiavimo uždaviniai yra paprasčiausi asimptotinio skleidinio radimo uždaviniai. Tačiau teorijoje būtent ribos sąvoka yra pirminė. Pavyzdžiui, o simbolis apibrėžiamas taip: f(x) = o ( ϕ(x) ), jei f(x) = ϕ(x)g(x) su tam tikra funkcija g(x), kuri artėja prie. Pavyzdžiui, kai x, nes ir x+3x, kai x. x +3x 3 = o(x), x +3x 3 = x(x+3x ) Pagrindinė taisyklė. Paprasčiausiu atveju riba randama į funkcijos f(x) išraišką vietoje x įstačius a. Pavyzdžiui, x x+4 lim = +4 x 3x = 3 8.

54 38 Sudėtingesniais atvejais įstačius a gaunamas vadinamasis neapibrėžtumas /, /, arba. Pavyzdžiui, negalima rašyti sinx lim x x =, nes reiškinys / neapibrėžtas. Tokiais atvejais aš elgiuosi taip: ) randu pirmą f(x) funkcijos asimptotikos narį; ) suskaičiuoju jo ribą įstatydamas a vietoje x; 3) gautas skaičius ir yra atsakymas. Pavyzdžiui, sinx x = x+o(x) = +o(), x kai x. Svarbiausias asimptotikos narys yra ; jo riba, kai x, taip pat yra ; todėl sinx lim x x =. simbolis. Kad rašyti reikėtu mažiau, aš vartoju simbolį. Formulė f(x) ϕ(x) reiškia, kad ϕ(x) yra svarbiausias f(x) funkcijos asimptotikos narys, t.y. Pavyzdžiui, todėl f(x) = ϕ(x)+o ( ϕ(x) ). sinx = x+o(x); sinx x, kai x. Dauginant ir dalinant reiškinius, jų svarbiausi nariai, atitinkamai, sudauginami ir padalinami. Todėl galima rašyti sinx x x x =, kai x, ir tuo pasirėmus padaryti išvadą, kad riba lygi. Sudedant ar atimant reiškinius, svarbiausi nariai gali susiprastinti ir rezultato svarbiausias narys tada bus pirmas nesusiprastinęs asimptotikos narys. Pavyzdžiui, negalima rašyti sinx x,