Matematika 1 3 dalis

Transcript

1 Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės.

2 Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A yra vektoriaus pradžia, o taškas B jo galas, tai vektorius žymimas AB Vektorius žymimas ir viena mažąja raide su rodykle viršuje, pvz., a Vektoriaus ilgiu arba moduliu vadinamas atkarpos AB ilgis. Žymima AB, a Jei taškai A ir B sutampa, tai vektorius vadinamas nuliniu. Jo ilgis yra nulis, o kryptis neapibrėžta. AA= o, o =0. 2

3 Vektoriai Vektoriai, turintys tą pačią kryptį ir vienodus ilgius vadinami lygiais. a= b Iš apibrėžimo išplaukia, kad erdvėje vektorius galima lygiagrečiai perkelti. Du nenuliniai vektoriai vadinami kolineariais, jei jie yra lygiagrečiai vienai tiesei. Nulinis vektorius yra laikomas kolineariu bet kuriam vektoriui. Vektorius, kurio kryptis yra priešinga vektoriaus krypčiai, ir kurio ilgis lygus vektoriaus ilgiui, vadinamas vektoriaus a priešinguoju vektoriumi ir žymimas a a a 3

4 Vektorių sudėtis Du nekolinearūs vektoriai apibrėžia lygiagretainį; jų suma yra vektorius, einantis to lygiagretainio įstrižaine. Ši taisyklė vadinama lygiagretainio (arba trikampio) taisykle. 4

5 Vektorių atimtis Dviejų vektorių skirtumu vadinama suma a b= a b 5

6 Vektorių sudeties savybės Komutatyvumas: a b= b a Asociatyvumas a b c= a b c a o= a a a = o 6

7 Vektoriaus daugyba iš skaičiaus a Jei k yra skaičius, o vektorius, tai sandauga yra vektorius, kurio ilgis a k a = k a, k a o kryptis sutampa su kryptimi, jei k > 0, ir priešinga jei k < 0. Jei k = 0, ši sandauga yra nulinis vektorius. a 7

8 Vektorių daugybos iš skaičiaus savybės Komutatyvumas: Asociatyvumas a= a a = a Distributyvumas a= a a, a b = a b 1 a= a, 1 a= a 8

9 Vektoriaus projekcija Taško A projekcija ašyje L vadinamas toks taškas A', kurio ši ašis kertasi su statmeniu, nuleistu iš A į ašį L. AB= a Vektoriaus projekcija ašyje L vadinamas atkarpos A'B' ilgis su pliuso ženklu, jei kampas φ tarp ašies ir vektoriaus yra smailusis, ir su minuso ženklu, jei kampas φ yra bukasis. Vektoriaus a projekcija ašyje žymima pr L a Stačiajame trikampyje matyti, kad pr L a= a cos 9

10 Vektorių projekcijų savybės Jei a= b, tai pr L a= pr L b, pr L a = pr L a, pr L a b = pr L a pr L b. 10

11 Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje vektoriaus projekcijos koordinačių ašyse Ox, Oy, Oz žymimos a x, a y, a z ir vadinamos vektoriaus koordinatėmis. Rašoma Vektoriaus koordinatės a= a x,a y,a z a a Vektoriaus sudaromas kampas su ašimi Ox žymimas α, su Oy β, su Oz ašimi γ, taigi pr Ox a=a x = a cos, pr Oy a=a y = a cos, pr Oz a=a z = a cos. Dydžiai cos α, cos β, cos γ apibrėžia vektoriaus kryptį ir vadinami krypties kosinusias. 11

12 Vektoriaus ilgis apskaičiuojamas pagal tokią formulę: Kadangi Vektoriaus koordinatės a = a x 2 a y 2 a z 2. tai cos = a x a, cos = a y a, cos = a z a, cos 2 cos 2 cos 2 =1. 12

13 Vektoriaus koordinatės Pritaikę projekcijų savybės gausime tokius teiginius: Jei du vektoriai yra lygūs, tai ir jų koordinatės yra lygios (ir atvirkščiai) Dauginant vektorių iš skaičiaus, iš to skaičiaus padauginamos vektoriaus koordinatės: a= a x, a y,a z = a x, a y, a z Sudedant du vektorius, sudedamos atitinkamos jų koordinatės: a b= a x, a y, a z b x, b y,b z = a x b x,a y b y, a z b z Atimant du vektorius, atimamos atitinkamos jų koordinatės: a b= a x, a y, a z b x, b y, b z = a x b x, a y b y, a z b z 13

14 Erdvės taško A koordinatės x 1, y 1, z 1 sutampa su vektoriaus koordinatėmis: Vektoriaus koordinatės OA= x 1, y 1, z 1. OA Šis vektorius vadinamas taško A spinduliu vektoriumi. Taško B(x 1, y 1, z 1 ) spindulys vektorius yra todėl vektorius AB OB= x 2, y 2, z 2, koordinatės apskaičiuojamos taip: AB= OB OA= x 2, y 2, z 2 x 1, y 1, z 1 = x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1. Taigi vektoriaus koordinatės gaunamos iš jo galo taško koordinačių atėmus pradžios taško koordinates. 14

15 Kolinearūs vektoriai a b Du nenuliniai vektoriai ir yra kolinearūs tada ir tik tada, kai yra toks skaičius k, su kuriuo galioja lygybė b=k a arba b x, b y,b z =k a x, a y, a z = k a x, k a y, k a z. Lygių vektorių atitinkamos koordinatės yra lygios, todėl gauname arba b x =ka x, b y =ka y, b z =ka z b x a x = b y a y = b z a z =k. Trys nenuliniai vektoriai vadinami komplanariais, jei jie yra lygiagrečiai vienai plokštumai. Jei vienas iš trijų yra nulinis, tai tie trys vektoriai laikomi komplanariais. 15

16 Vektoriaus išraiška Dekarto koordinačių sistemoje Plokštumoje bet kurį vektorių galima išreikšti tiesiniu dviejų nekolineariųjų vektorių darinių: c=x a y b. Erdvėje bet kurį vektorių galima išreikšti tiesiniu trijų nekomplanariųjų vektorių darinių: d = x a y b z c. Vienetiniai vektoriai, kurių kryptis sutampa su koordinačių ašių Ox, Oy, Oz kryptimi, vadinami koordinačių ašių ortais ir žymimi i j i, j, k Vektoriai ir nėra kolinearūs, o vektoriai nėra komplanarūs, todėl jais galima išreikšti bet kokį vektorių. i, j, k. 16

17 Vektoriaus išraiška Dekarto koordinačių sistemoje Pagal lygiagretainio taisyklę: a x i a y j= a. Erdvėje gauname a=a x i a y j a z k Remiantis šia išraiška, i= 1,0,0 ; j= 0,1,0 ; k= 0,0,1. a Vektoriaus ortu vadinamas toks vienetinis (jo ilgis lygus 1) vektorius a o, kurio kryptis sutampa su a kryptimi. Orto koordinatės yra jo krypties kosinusai: a o = cos, cos, cos. 17

18 Atkarpos dalijimas žinomu santykiu Jeigu žinomos atkarpos AB galų koordinatės A(x 1, y 1, z 1 ), B(x 2, y 2, z 2 ), o taškas C dalija atkarpą AB žinomu santykiu λ = AC / CB, tai taško C koordinatės x 1, y 0, z 0 apskaičiuojamos iš lygybės AC= CB arba x 0 x 1, y 0 y 1, z 0 z 1 = x 2 x 0, y 2 y 0, z 2 z 0. Kadangi lygių vektorių atitinkamos koordinatės yra lygios, tai x 0 = x 1 x 2 1, y 0= y 1 y 2 1, z 0= z 1 z

19 Skaliarinė vektorių sandauga Dviejų nenulinių vektorių skaliarinė sandauga vadinamas skaičius a b= a b cos ; čia φ kampas tarp vektorių (0 φ π). Jei bent vienas iš vektorių yra nulinis, tai skaliarinė sandauga lygi nuliui. 19

20 Komutatyvumas Skaliarinės sandaugos savybės a b= b a a b 0, jei 0 / 2 a b 0, jei /2 a b=0 ϕ=π/2, kai a, b 0. a 2 = a a= a a cos 0= a 2 Distributyvumas a b c= a c b c k a b= a k b =k a b 20

21 Vektoriaus proekcijos vektoriuje ir skaliarinės sandaugos ryšys Kadangi pr a b= b cos, tai a b= a b cos = a pr a b. Todėl pr a b= a b a. 21

22 Skaliarinės sandaugos koordinatinis pavidalas Dviejų vektorių skaliarinė sandauga lygi atitinkamų koordinačių sandaugų sumai: Įrodykime. a b=a x b x +a y b y +a z b z Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo gaunama formulė vektorių sudaromo kampo kosinusui apskaičiuoti: cos = a b a b = a x b x a y b y a z b z a 2 x a 2 2 y a z b 2 x b 2 y b. 2 z 22

23 Vektorinė vektorių sandauga Trys nenuliniai vektoriai vadinami komplanariais, jei jie yra lygiagrečiai vienai plokštumai. a b c c a b b Tarkime, kad vektoriai, ir nėra komplanarūs, ir vektorius nukreiptas aukštyn vektorių ir apibrėžiamos plokštumos atžvilgių. a b c a Sakysime, kad vektoriai, ir sudaro dešininį trejetą, jei vektoriaus mažesniojo posūkio iki vektoriaus b kryptis yra teigiama, t. y. prieš laikrodžio rodyklę. Jei mažesniojo posūkio kryptis yra neigiama (t. y. pagal laikrodžio rodyklę), tai vektorių trejetas vadinamas kairiniu. Pakeitus vieno vektoriaus kryptį priešinga, dešininis trejetas virsta kairiniu, ir atvirkščiai. 23

24 Vektorinė vektorių sandauga Dviejų nekolineariųjų vektorių ir vektorinė sandauga vadinamas vektorius, tenkinantis sąlygas: 1) vektoriaus modulis yra lygus a c= a b c b vektorių ir apibrėžiamo lygiagretainio plotui S: c = a b =S = a b sin (θ). c a b c a, c b, 2) vektorius statmenas vektoriams ir : t. y. jų apibrėžiamai plokštumai; a b c 3) vektoriai, ir sudaro dešininį trejetą; a b Jei vektoriai a ir b yra kolinearūs, tai vektorinė sandauga yra nulinis vektorius. 24

25 Vektorinės sandaugos savybės 1) 2) 3) 4) 5) 6) a b= b a, a b= o a o, b o a b, a a= o, a b c= a c b c, c a b = c a c b, a b = a b= a b. 25

26 Jei Vektorinės sandaugos koordinatinis pavidalas a= a x, a y, a z, b= bx, b y, b z, tai a b= a x i a y j a z k b x i b y j b z k = i j k a x a y a z b x b y b z 26

27 Mišrioji vektorių sandauga Trijų nekolineariųjų vektorių mišriąja sandauga vadinamas skaičius kuri žymėsime Jei vektoriai yra komplanarūs, tai mišrioji sandauga lygi nuliui. Mišriosios sandaugos modulis lygus gretasienio, kurį apibrėžia sandaugos vektoriai, tūriui. V G = a b c. ( a b) c= a ( b c), a b c arba ( a, b, c). Mišriąja sandauga galima apskaičiuoti ir piramidės tūrį - jis lygus šeštadaliui gretasienio tūrio: V P = 1 6 a b c. 27

28 Mišriosios sandaugos savybės 1) Sukeitus du gretimus dauginamuosius vietomis, pakinta sandaugos ženklas: a b c= b a c= b c a= c b a 2) Nenulinių vektorių mišrioji sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai sandaugos vektoriai yra komplanarūs. Mišriosios sandaugos koordinatinis pavidalas: a b c= a x a y a z b x b y b z c x c y c z 28