. 3. Να ανσιςσοιφούμε σοτρ υτςικούρ απιθμών ςε ςημεία ενόρ άξονα. 4. Την έννοια και ση φπήςη σηρ ςσπογγτλοποίηςηρ σψν υτςικών απιθμών.

Transcript

1 Μέπορ Α 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Φτςικοί Απιθμοί 1.1 Φτςικοί απιθμοί-διάσαξη-σσπογγτλοποίηςη Τι θα μάθοτμε: 1. Τι είναι υτςικοί απιθμοί σι άπσιοι και σι πεπισσοί. 3. Να ςτγκπίνοτμε, να διασάςςοτμε υτςικούρ απιθμούρ. 2. Να φπηςιμοποιούμε σα ςύμβολα,,. 3. Να ανσιςσοιφούμε σοτρ υτςικούρ απιθμών ςε ςημεία ενόρ άξονα. 4. Την έννοια και ση φπήςη σηρ ςσπογγτλοποίηςηρ σψν υτςικών απιθμών. Οπιςμοί: Φτςικοί απιθμοί ονομάζονσαι οι απιθμοί 0,1,2,3,... και σο ςύνολο σοτρ σο ςτμβολίζοτμε με σο γπάμμα Άπσιοι (ζτγοί) απιθμοί ονομάζονσαι οι υτςικοί απιθμοί ποτ διαιπούνσαι με σο 2. Τη γενική μοπυή ενόρ άπσιοτ απιθμού ση ςτμβολίζοτμε 2κ όποτ κ υτςικόρ απιθμόρ. Πεπισσοί (μονοί) απιθμοί ονομάζονσαι οι υτςικοί απιθμοί ποτ δεν διαιπούνσαι με σο 2. Τη γενική μοπυή ενόρ πεπισσού απιθμού ση ςτμβολίζοτμε 2κ+1 όποτ κ υτςικόρ απιθμόρ. Σσπογγτλοποίηςη ονομάζεσαι η διαδικαςία ανσικασάςσαςηρ ενόρ υτςικού απιθμού με κάποιον άλλο λίγο μικπόσεπο σοτ ή λίγο μεγαλύσεπο σοτ. Πψρ κάνοτμε ςσπογγτλοποίηςη ενόρ υτςικού απιθμού: Πποςδιοπίζοτμε ση σάξη ςσην οποία θα γίνει η ςσπογγτλοποίηςη. Εξεσάζοτμε σο χηυίο σηρ αμέςψρ μικπόσεπηρ σάξηρ. Αν ατσό είναι μικπόσεπο σοτ 5, σο χηυίο ατσό και όλα σα χηυία σψν μικπόσεπψν σάξεψν μηδενίζονσαι. Αν είναι μεγαλύσεπο ή ίςο σοτ 5, σο χηυίο ατσό και όλα σα χηυία σψν μικπόσεπψν σάξεψν μηδενίζονσαι και σο χηυίο σηρ σάξηρ ςσπογγτλοποίηςηρ ατξάνεσαι κασά 1. Παπασηπήςειρ: Κάθε υτςικόρ απιθμόρ έφει ένα επόμενο και ένα πποηγούμενο, εκσόρ από σο 0 ποτ έφει μόνο επόμενο σο 1. Σσο δεκαδικό ςύςσημα απίθμηςηρ η αξία ενόρ χηυίοτ καθοπίζεσαι μόνο από ση θέςη ποτ κασέφει. Μποπούμε πάνσα να ςτγκπίνοτμε δύο υτςικούρ απιθμούρ μεσαξύ σοτρ. Παπαδείγμασα: 1. Να ςσπογγτλοποιηθεί ο απιθμόρ ςσιρ εκασονσάδερ Πποςδιοπίζοτμε ση σάξη σψν εκασονσάδψν.

2 Το χηυίο σηρ αμέςψρ μικπόσεπηρ σάξηρ δηλαδή σψν δεκάπψν είναι 5 (δηλαδή σοτ 5) άπα η ο ςσπογγτλοποιημένορ απιθμόρ είναι: Να ςσπογγτλοποιηθεί ο απιθμόρ ςσιρ εκασονσάδερ Πποςδιοπίζοτμε ση σάξη σψν εκασονσάδψν Το χηυίο σηρ αμέςψρ μικπόσεπηρ σάξηρ δηλαδή σψν δεκάπψν είναι 5 (δηλαδή σοτ 5) άπα η ο ςσπογγτλοποιημένορ απιθμόρ είναι: Αςκήςειρ: 1. Τι θέςη κασαλαμβάνει ο απιθμόρ 7 ςε κάθε ένα από σοτρ παπακάσψ απιθμούρ: (α) (β) (γ) Πόςοι διχήυιοι απιθμοί έφοτν ψρ χηυίο σο 7, όμψρ μόνο μια υοπά; 3. Ποιοι είναι οι σπιχήυιοι απιθμοί ποτ έφοτν ψρ χηυία σοτρ μόνο σο 2 και σο 5 και σο Ποιοι υτςικοί απιθμοί είναι μεγαλύσεποι σοτ 13 και σατσόφπονα μικπόσεποι ή ίςοι σοτ Γπάχσε σοτρ σπιχήυιοτρ υτςικούρ ποτ είναι μικπόσεποι από σο 300, έφοτν χηυίο δεκάδψν μικπόσεπο σοτ 3 και σέλορ έφοτν χηυίο μονάδψν μεγαλύσεπο σοτ Τοποθέσηςε ςε αύξοτςα ςειπά σοτρ απιθμούρ: 2.514, 3.600, 2.730, 2.504, Τοποθέσηςε ςε υθίνοτςα ςειπά σοτρ απιθμούρ: 514, 600, 730, 504, Να βάλεσε ςση ςειπά απ σο μικπόσεπο ςσο μεγαλύσεπο σοτρ παπακάσψ απιθμούρ 6,327 3, 22 0,97 9,32 και να βπείσε σον σπίσο ςση ςειπά. 9. Να βάλεσε σο ςύμβολο σηρ ανιςόσησαρ (>, <) ανάμεςα ςσα παπακάσψ ζεύγη. α. 6, , 23 β , ,73 γ. 0, , Τοποθέσηςε σο κασάλληλο ςύμβολο (<, >,,, =) ςσο κενό μεσαξύ σψν ακόλοτθψν απιθμών: (α) (β) (γ) (δ) (ε) 8 10 (ςσ)

3 11. Να γπάχεσε σι υανεπώνει σο χηυίο 4 ςσοτρ παπακάσψ α- πιθμούρ: α. 42,720 β. 24,735 γ. 37, 42 δ. 0, Τοποθέσηςε ένα Χ ςσην ανσίςσοιφη θέςη Σψςσό Λάθορ (α) Σσον απιθμό σο μηδέν δηλώνει α- ποτςία δεκάδψν. (β) Είκοςι φιλιάδερ είναι δύο δεκάδερ φιλιάδερ (γ) Σε μια επσαήμεπη εκδπομή θα γίνοτν επσά διαντκσεπεύςειρ (δ) Από σον απιθμό μέφπι σον απιθμό τπάπφοτν 46 απιθμοί (ε) Σε 6 μέπερ από ςήμεπα ποτ είναι Τπίση θα είναι Πέμπση. (ςσ) Από σην 13 η ςελίδα σοτ βιβλίοτ μέφπι σην 36 η είναι 24 ςελίδερ (ζ) Δεν τπάπφει υτςικόρ απιθμόρ μεσαξύ 7 και Σσπογγτλοποιήςσε σον απιθμό ςσιρ πληςιέςσεπερ (α) δεκάδερ, (β) εκασονσάδερ, (γ) φιλιάδερ, (δ) δεκάδερ φιλιάδερ, (ε) εκασονσάδερ φιλιάδερ 14. Να ςσπογγτλοποιήςεσε σοτρ παπακάσψ απιθμούρ: α. ςσιρ μονάδερ β. ςσα δέκασα και γ. ςσα εκασοςσά. 63,727 44,322 37, Σσπογγτλοποιήςσε ςσην πληςιέςσεπη εκασονσάδα σοτρ α- πιθμούρ: 245, 561, 859, 2.645, 9.432, , , Να ςσπογγτλοποιήςεσε σοτρ παπακάσψ απιθμούρ: α. ςσιρ εκασονσάδερ β. ςσιρ φιλιάδερ , , Ποιοι είναι οι διχήυιοι και ποιοι οι σπιχήυιοι απιθμοί ποτ όσαν ςσπογγτλοποιούνσαι ςε δεκάδερ ή εκασονσάδερ σο αποσέλεςμα είναι Ππόςθεςη, αυαίπεςη και πολλαπλαςιαςμόρ υτςικών απιθμών ππόςθεςη = 18 πποςθεσέοι άθποιςμα Ιδιόσησερ ππόςθεςηρ α+0=0+α=α (σο μηδέν είναι οτδέσεπο ςσοιφείο) α+β=β+α (ανσιμεσαθεσική ιδιόσησα) α+(β+γ)=(α+β)+γ (πποςεσαιπιςσική ιδιόσησα)

4 αυαίπεςη 13-5 = 18 μειψσέορ αυαιπεσέορ διαυοπά Ιδιόσησα αυαίπεςηρ Σσοτρ υτςικούρ απιθμούρ ο αυαιπεσέορ ππέπει να είναι πάνσα μικπόσεπορ ή ίςορ σοτ μειψσέοτ. Το ςύμβολο σοτ μικπόσεποτ ή ίςοτ είναι: Το ςύμβολο σοτ μεγαλύσεποτ ή ίςοτ είναι: πολλαπλαςιαςμόρ 7 6 = 42 παπάγονσερ γινόμενο Ιδιόσησερ πολλαπλαςιαςμού α 1=1 α=α (σο ένα είναι οτδέσεπο ςσοιφείο) α β=β α (ανσιμεσαθεσική ιδιόσησα) α (β γ)=(α β) γ (πποςεσαιπιςσική ιδιόσησα) α (β+γ)=α β+α γ (επιμεπιςσική ιδιόσησα ψρ ππορ σην ππόςθεςη) α (β-γ)=α β-α γ (επιμεπιςσική ιδιόσησα ψρ ππορ σην αυαίπεςη) α 0=0 (Το μηδέν είναι αποππουησικό ςσοιφείο ψρ ππορ σον πολλαπλαςιαςμό) Παπαδείγμασα: 1. Να τπολογιςσούν σα γινόμενα: a =450 b = c =4.000 d = Να εκσελεςσούν οι ακόλοτθερ ππάξειρ: a =77 (7+3)=77 10=770 b =(14+86) 88=100 88=8.800 c =37 (14-4)=37 10=370 d =354 (100-1)= = Αςκήςειρ: 1. Στμπλήπψςε σα παπακάσψ κενά: a. 47 =4.700 b. 43 =430 c. 390 = Στμπληπώςσε σα κενά με σοτρ κασάλληλοτρ απιθμούρ, ώςσε να πποκύχοτν ςψςσά αθποίςμασα: (α)

5 (β) (γ) Το ππώσο κευάλαιο σψν Μαθημασικών σηρ Α Γτμναςίοτ απφίζει απ ση ςελίδα 17 και σελειώνει ςση ςελίδα 78. Πόςερ ςελίδερ πεπιλαμβάνει σο κευάλαιο ατσό; 4. Ανσιςσοιφίςσε κάθε γπαμμή σοτ ππώσοτ πίνακα με ένα από σα αποσελέςμασα ποτ τπάπφοτν ςσο δεύσεπο πίνακα Τοποθεσήςσε ένα x ςσην ανσίςσοιφη θέςη (α) = (β) = (γ) = (δ) = (ε) 50-(16-1)= (50-16) (ςσ) = 43-(12+8) (43-12) (ζ) 45 10= 450 4, (η) = (θ) = Υπολογίςσε σα παπακάσψ γινόμενα, φπηςιμοποιώνσαρ σην επιμεπιςσική ιδιόσησα: (α) (β) (γ) (δ) (ε) (ςσ) (ζ) (η) Υπολογίςσε σο εμβαδόν σοτ παπακάσψ ςσατπού, φπηςιμοποιώνσαρ κασάλληλα σην επιμεπιςσική ιδιόσησα Αγοπάςαμε διάυοπα είδη οικιακήρ φπήςηρ ποτ κόςσιζαν: 143, 40, 48, 227 και 142. Να τπολογίςεσε αν υσάνοτν 600 για να σα πληπώςοτμε.

6 9. Ο Κψνςσανσίνορ πήγε για χώνια με 140. Σε ένα μαγαζί βπήκε ένα πανσελόνι ποτ κόςσιζε 48, ένα ποτκάμιςο ποτ κόςσιζε 33 και μια μπλούζα ποτ κόςσιζε 56. Τοτ υσάνοτν σα φπήμασα για να σα αγοπάςει όλα; 10. Σσο επγοςσάςιο ατσοκινήσψν LANCIA έυσιαξαν, ςε ένα μήνα 157 ατσοκίνησα Ypsilon, 33 ατσοκίνησα Thema, 97 ατσοκίνησα Lybra και 22 ατσοκίνησα Phedra. Ποτλήθηκαν 141 Ypsilon, 27 Thema, 88 Lybra και 19 Phedra. Πόςα ατσοκίνησα έμειναν απούλησα; 11. Ο Κψνςσανσίνορ γεννήθηκε σο 1992 και είναι 29 φπόνια μικπόσεπορ από σον πασέπα σοτ. a. Πόςψν φπονών είναι ο Κψνςσανσίνορ ςήμεπα; b. Πόσε γεννήθηκε ο πασέπαρ σοτ; 12. Μια πολτκασοικία έφει 7 πασώμασα. Τα 5 πασώμασα έφοτν 4 διαμεπίςμασα 4 δψμασίψν και σα τπόλοιπα πασώμασα έ- φοτν 3 διαμεπίςμασα σψν 5 δψμασίψν. Πόςα δψμάσια έφει ςτνολικά η πολτκασοικία; 13. Έναρ επαγγελμασίαρ ενημεπώνει σα υοπολογικά σοτ βιβλία για σιρ αποδείξειρ ποτ έκοχε ςσο διάςσημα ενόρ μήνα. Έφει κόχει σα παπακάσψ παπαςσασικά: Αποδείξειρ Λιανικήρ Πώληςηρ: Από σον απιθμό 185 μέφπι και 257 Τιμολόγια Πώληςηρ: Από σον απιθμό 85 μέφπι και 157 Αποδείξειρ Παποφήρ Υπηπεςιών: Από σον απιθμό 94 μέφπι και 352 Τιμολόγια Παποφήρ Υπηπεςιών: Από σον απιθμό 18 μέφπι και 87. Πόςα έκοχε από κάθε είδορ; 14. Γπάχσε όλα σα ζετγάπια σψν υτςικών απιθμών ποτ έφοτν γινόμενο 36. Ποιοι είναι ατσοί ποτ έφοτν σο ίδιο ά- θποιςμα; 1.3 Δτνάμειρ υτςικών απιθμών Δύναμη σοτ α ςση ν ή Νιοςσή δύναμη σοτ α =... Βάςη Εκθέσηρ ά Παπασηπήςειρ Η δύναμη 2 λέγεσαι και σεσπάγψνο σοτ α Η δύναμη 3 λέγεσαι και κύβορ σοτ α Ετκλείδεια διαίπεςη Διαιπεσόσησα

7 1.5 Χαπακσήπερ διαιπεσόσησαρ ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλτςη απιθμού ςε γινόμενο ππώσψν παπαγόνσψν Τι θα μάθοτμε: 1. Τι είναι πολλαπλάςια ενόρ υτςικού απιθμού 2. Τοτρ φαπακσήπερ διαιπεσόσησαρ 3. Τι είναι ΕΚΠ 4. Τι είναι διαιπέσερ ενόρ υτςικού απιθμού 5. Τιρ ιδιόσησερ σψν διαιπεσών 6. Τι είναι ππώσορ απιθμόρ 7. Τι είναι ςύνθεσορ απιθμόρ 8. Τι είναι ΜΚΔ 9. Ποιοι απιθμοί λέγονσαι ππώσοι μεσαξύ σοτρ 10. Τι είναι γινόμενο ππώσψν παπαγόνσψν. 11. Πψρ μεσασπέποτμε έναν απιθμό ςε γινόμενο ππώσψν παπαγόνσψν 12. Πώρ να τπολογίζοτμε σο ΕΚΠ και σο ΜΚΠ. Πολλαπλάςια ενόρ υτςικού απιθμού είναι οι άπειποι απιθμοί ποτ πποκύπσοτν από σον πολλαπλαςιαςμό σοτ με όλοτρ σοτρ υτςικούρ απιθμούρ. Χαπακσήπερ διαιπεσόσησαρ Κάθε υτςικόρ απιθμόρ διαιπεί σα πολλαπλάςια σοτ. Κάθε υτςικόρ απιθμόρ ποτ διαιπείσαι από έναν άλλο υτςικό απιθμό είναι πολλαπλάςιο σοτ. Αν έναρ υτςικόρ απιθμόρ διαιπεί έναν άλλον υτςικό απιθμό θα διαιπεί και σα πολλαπλάςια σοτ. Αν έναρ υτςικόρ απιθμόρ διαιπεί δτο άλλοτρ υτςικούρ απιθμούρ, σόσε διαιπεί σο άθποιςμα σοτρ και ση διαυοπά σοτρ. Ελάφιςσο Κοινό Πολλαπλάςιο (ΕΚΠ) δύο ή πεπιςςόσεπψν υτςικών απιθμών ονομάζοτμε σο μικπόσεπο από σα κοινά πολλαπλάςια σψν απιθμών ποτ δεν είναι 0. Διαιπέσερ ενόρ υτςικού απιθμού είναι όλοι οι απιθμοί ποτ σον διαιπούν. Ιδιόσησα: Κάθε απιθμόρ έφει διαιπέσερ σον εατσό σοτ και σην μονάδα. Ππώσορ απιθμόρ λέγεσαι ο απιθμόρ ποτ έφει για διαιπέσερ μόνο σον εατσό σοτ και σην μονάδα. Σύνθεσορ απιθμόρ λέγεσαι ο απιθμόρ ποτ δεν είναι ππώσορ. Μέγιςσορ Κοινόρ Διαιπέσηρ (ΜΚΔ) δύο ή πεπιςςόσεπψν υτςικών απιθμών ονομάζοτμε σο μεγαλύσεπο από σοτρ κοινούρ διαιπέσερ σψν απιθμών. Ππώσοι μεσαξύ σοτρ ονομάζονσαι δύο υτςικοί απιθμοί ποτ ο ΜΚΔ σοτρ ιςούσαι με 1.

8 Ανάλτςη ενόρ ςύνθεσοτ υτςικού απιθμού ςε γινόμενο ππώσψν παπαγόνσψν λέμε σην επγαςία ποτ κάνοτμε ώςσε να γπάχοτμε σον απιθμό ςε ίςο γινόμενο ππώσψν μόνο απιθμών. Μέθοδορ ανάλτςηρ ςε γινόμενο ππώσψν παπαγόνσψν Διαιπούμε σον απιθμό με σο μικπόσεπο ππώσο διαιπέση σοτ Το πηλίκο ποτ πποκύπσει, σο διαιπούμε ξανά με σο μικπόσεπο ππώσο διαιπέση σοτ και ςτνεφίζοτμε όμοια μέφπι να βπούμε πηλίκο 1. Μέθοδοι εύπεςηρ σοτ ΕΚΠ και σοτ ΜΚΔ Τοτρ σπόποτρ εύπεςηρ σοτ ΕΚΠ και σοτ ΜΚΔ θα σοτρ δούμε παπακάσψ με παπαδείγμασα. Κπισήπια διαιπεσόσησαρ 1. Έναρ ακέπαιορ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο 2, αν σο σελετσαίο σοτ χηυίο διαιπείσαι ακπιβώρ με σο Έναρ ακέπαιορ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο 3, αν σο άθποιςμά σψν χηυίψν σοτ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο Έναρ ακέπαιορ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο 4, αν σα δτο σελετσαία σοτ χηυία ςφημασίζοτν απιθμό ποτ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο Έναρ ακέπαιορ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο 5, αν σο σελετσαίο σοτ χηυίο διαιπείσαι ακπιβώρ με σο Έναρ ακέπαιορ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο 6 αν είναι σατσόφπονα διαιπεσόρ και με σο 2 και με σο Έναρ ακέπαιορ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο 9, όσαν σο ά- θποιςμα σψν χηυίψν σοτ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο Έναρ ακέπαιορ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο 10, αν σο σελετσαίο σοτ χηυίο είναι Έναρ ακέπαιορ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο 25, αν αν σα δτο σελετσαία σοτ χηυία ςφημασίζοτν απιθμό ποτ διαιπείσαι ακπιβώρ με σο 25. Παπαδείγμασα: 1. Ο απιθμόρ 174 διαιπείσαι με σο 3 γιασί 1+7+4=12(2+1=3), ο 969 σο ίδιο γιασί 9+6+9=24(2+4=6) κλπ. 2. Ο 324 διαιπείσαι με σο 4, γιασί και σο 24(δύο σελετσαία)είναι διαιπεσό από σο 4 3. Ο 678 είναι διαιπεσόρ από σο 6 γιασί διαιπείσαι και με σο 2(ζτγόρ) και με σο 3(6+7+8=21=2+1=3)

9 4. Ο 351 διαιπείσαι ακπιβώρ με σο 9 γιασί 3+5+1=9. Το ί- διο και ο 459 γιασί 4+5+9=18(8+1=9) Παπαδείγμασα 1. Να βπεθούν όλα σα πολλαπλάςια σοτ 8 ποτ είναι μικπόσεπα σοτ 100. Π 0,8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88, Να βπεθούν όλα σα πολλαπλάςια σοτ 4 ποτ είναι μικπόσεπα σοτ 30 και μεγαλύσεπα σοτ ,16,20,24,28 3. Να βπεθούν οι διαιπέσερ σοτ 16 Δ 1,2,4,8,16 4. Να βπεθούν οι διαιπέσερ σοτ 21 Δ 1,3,7, Να αναλτθεί ςε γινόμενο ππώσψν παπαγόνσψν ο απιθμόρ Άπα Να αναλτθεί ςε γινόμενο ππώσψν παπαγόνσψν ο απιθμόρ Άπα Να βπεθεί ο ΜΚΔ(840, 1.188)

10 Αναλύοτμε ςε γινόμενο ππώσψν παπαγόνσψν σοτρ απιθμούρ 840 και (σο έφοτμε κάνει ςσα παπαπάνψ παπαδείγμασα) Άπα ΜΚΔ 840, Να βπεθεί σο ΕΚΠ(840, 1.188) Αναλύοτμε ςε γινόμενο ππώσψν παπαγόνσψν σοτρ απιθμούρ 840 και (σο έφοτμε κάνει ςσα παπαπάνψ παπαδείγμασα) Άπα ΕΚΠ 840, Αςκήςειρ 1. Να τπολογιςσεί σο ΕΚΠ και ο ΜΚΔ σψν απιθμών 540 και Να βπεθεί σο ΕΚΠ(12,16,18) 3. Να βπεθεί ο ΜΚΔ 12,16,18 4. Να βπεθεί ο ΜΚΔ 3.240,3.024, Να εξεσαςσεί αν οι απιθμοί 12 και 21 είναι ππώσοι μεσαξύ σοτρ 6. Να εξεσαςσεί αν οι απιθμοί 32 και 21 είναι ππώσοι μεσαξύ σοτρ 7. Να βπεθούν όλα σα πολλαπλάςια σοτ 3 ποτ είναι μικπόσεπα ή ίςα σοτ Να βπεθούν όλα σα πολλαπλάςια σοτ 5 ποτ είναι μικπόσεπα σοτ 70 και μεγαλύσεπα σοτ Να βπεθούν οι διαιπέσερ σοτ 18

11 10. Να βπεθούν οι διαιπέσερ σοτ Να βπεθεί σο ΕΚΠ(16,18,24) 12. Να βπεθεί ο ΜΚΔ 16,18, Να βπεθεί ο ΜΚΔ 15,20, Να βπεθεί ο ΜΚΔ 360,2.160, Να εξεσαςσεί αν οι απιθμοί 15 και 24 είναι ππώσοι μεσαξύ σοτρ 16. Να εξεσαςσεί αν οι απιθμοί 27 και 18 είναι ππώσοι μεσαξύ σοτρ