ΑΣΚΗΣΗ 4 ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΑΠΟ ΑΠΛΗ ΣΧΙΣΜΗ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 4 ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΑΠΟ ΑΠΛΗ ΣΧΙΣΜΗ 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή μελετάται η περίθλαση δέσμης φωτός ενός laser He-Ne από απλή σχισμή. Στο πρώτο μέρος της άσκησης προσδιορίζεται το πλάτος της σχισμής από την απεικόνιση της συμβολής. Στο δεύτερο μέρος προσδιορίζεται η κατανομή της έντασης του διαγράμματος περίθλασης από την ίδια σχισμή. Συγκεκριμένα μελετώνται οι θέσεις των κορυφών και τα ελάχιστα μετακινώντας καταλλήλως μια φωτοδίοδο. ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ Περίθλαση, ενισχυτική συμβολή, αναιρετική συμβολή, απλή σχισμή, μήκος κύματος ακτινοβολίας, φωτοκυττάρο- φωτοδιόδος, Laser, ενίσχυση-ενισχυτής, φωτοβολταϊκό φαινόμενο 2 Θεωρία Το φαινόμενο της περίθλασης οφείλεται στη συμβολή των κυμάτων ενός πολύ μεγάλου αριθμού (ή συνεχούς κατανομής) σύμφωνων πηγών. Η διάδοση του φωτός γύρω από εμπόδια ή γενικά η εκτροπή του από την ευθύγραμμη διάδοση οφείλεται στην περίθλαση. Η περίθλαση παρατηρείται όταν αντικείμενο, διαστάσεων συγκρίσιμων με το μήκος κύματος, βρεθεί στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. 2.1 Περίθλαση από μία σχισμή Όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.1 παρακάτω, όταν φωτεινό κύμα, με μήκος κύματος λ, προσπέσει σε σχισμή πλάτους b λ και μήκους b (κάθετο στη σελίδα), τότε στο πέτασμα απέναντι από τη σχισμή θα παρατηρήσουμε εναλλασόμενους φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς κατά μήκος του x (όπως αυτοί που φαίνονται στο κάτω μέρος του Σχήματος 4.2). Αυτό το κυματικό φαινόμενο που είναι γνωστό ως "περίθλαση", έρχεται σε πλήρη αντίθεση με τη καθημερινή μας εμπειρία όπου όταν το φως διέρχεται από μια σχισμή, σχηματίζει απλά μια φωτεινή κηλίδα, σε ευθεία ακριβώς απέναντι από τη σχισμή. Αυτό γίνεται επειδή στην καθημερινότητά μας, οι σχισμές είναι της τάξης των μερικών mm ή cm ενώ το μήκος κύματος του ορατού φωτός είναι κοντά στα 600 nm δηλαδή μη συγκρίσιμου μεγέθους με τη σχισμή και έτσι τα κυματικά φαινόμενα δεν είναι σε ισχύ. 1

2 x x = 0 Σχήμα 4.1: Η απεικόνιση της συμβολής επάνω σε ένα πέτασμα που βρίσκεται πολύ μακριά από το επίπεδο της σχισμής. Όταν λοιπόν το πλάτος της σχισμής είναι συγκρίσιμου μεγέθους με το λ, τότε λαμβάνει χώρα το κυματικό φαινόμενο της "περίθλασης" κατά την οποία, σύμφωνα με τη αρχή του Huygens, διαφορετικά σημεία της σχισμής δρουν ως δευτερογενείς πηγές φωτός. Τα εκπεμπόμενα κύματα από τις δευτερογενείς πηγές συμβάλλουν και σχηματίζουν τους κροσσούς. Αποδεικνύεται ότι το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου του ηλεκτρομαγνητικού κύματος επάνω στο πέτασμα ισούται με: Ε = Ε sin πb λ sinθ πb λ sinθ (1) όπου E είναι το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου του προσπίπτοντος κύματος επάνω στη σχισμή και θ είναι η γωνία πρόσπτωσης (η οποία παίρνει μικρές τιμές όταν η απόσταση D είναι μεγάλη σε σχέση με τις τιμές του x ). Η ένταση I του φωτός (αλλά και οποιουδήποτε κύματος) ορίζεται ως η προσπίπτουσα ισχύς ανά μονάδα επιφανείας και είναι η ποσότητα που αντιλαμβάνεται ως φωτεινότητα το μάτι (ενώ το μήκος κύματος το αντιλαμβάνεται ως το χρώμα). Η ένταση εξαρτάται τετραγωνικά από το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου και επομένως μπορούμε να γράψουμε μια παρόμοια σχέση με την (1) για την ένταση: sin πb Ι = Ι λ sinθ (2) πb λ sinθ όπου Ι είναι η ένταση του προσπίπτοντος κύματος επάνω στη σχισμή. 2.2 Προσδιορισμός του πλάτους της σχισμής Από το σχήμα 4.1 βλέπουμε ότι για μικρές γωνίες μπορούμε να γράψουμε προσεγγιστικά ότι sinθ tanθ = x/d 2

3 οπότε η (2) γίνεται sin πb Ι Ι λd x πb λd x = Ι sinu u (3) όπου u = πbx/λd. Η γραφική παράσταση της εξίσωσης (3) παρουσιάζεται στο Σχήμα 4.2. Παρατηρήστε ότι το u είναι ευθέως ανάλογο του x αφού τα b, λ και D είναι σταθερές. Έτσι όταν μεταβάλλεται το x τότε μεταβάλλεται ανάλογα και το u. Επομένως κοιτώντας την απλούστερη έκφραση της Εξ. (3) στα δεξιά, μπορούμε να ερμηνεύσουμε ποιοτικά την μορφή της γραφικής παράστασης στο Σχήμα 4.2. Για παράδειγμα, λόγω του όρου 1/u, η γραφική παράσταση φθίνει όσο απομακρυνόμαστε από το x = 0 ( u = 0 ). Επίσης λόγω του τετραγώνου, η γραφική παράσταση παίρνει μόνο θετικές τιμές. Τέλος λόγω του όρου sinu, υπάρχει και μια ταλαντωτική συμπεριφορά με τοπικά μέγιστα όπου sinu = ±1 και τοπικά ελάχιστα όπου sinu = 0 εκτός από την ειδική περίπτωση u = 0 όπου από τον κανόνα του L' Hospital παίρνουμε sin0/0 1. Η συνθήκη μηδενισμού sinu = 0 ισχύει εκεί όπου u = nπ με n = ±1, ±2, ±3 (το n = 0 εξαιρείται όπως προαναφέρθηκε). Έτσι τα μηδενικά της έντασης, που στη ουσία είναι οι σκοτεινοί κροσσοί, εμφανίζονται στα σημεία εκείνα όπου δηλαδή εκεί όπου u = nπ => πbx λd = nπ (4) x = n λd b (5) με n = ±1, ±2, ±3 Π.χ. στο Σχήμα 4.2 φαίνεται το μηδενικό n = 1 στα αριστερά της κεντρικής κορυφής σε απόσταση x από αυτή. Λέμε ότι σε αυτή την περίπτωση έχουμε "καταστροφική συμβολή". Απεναντίας τα μέγιστα, δηλαδή οι φωτεινοί κροσσοί εμφανίζονται στα σημεία με συντεταγμένη x = (n + 1) λd b (6) π.χ. στο Σχήμα 4.2 φαίνεται το μέγιστο n = 1 στα δεξιά της κεντρικής κορυφής σε απόσταση x από αυτή. Λέμε ότι σε αυτή την περίπτωση έχουμε "ενισχυτική συμβολή" 3

4 x = 0 x x x Σχήμα 4.2: Ποιοτικό διάγραμμα της έντασης συναρτήσει της μετατόπισης κατά την περίθλαση από απλή σχισμή. 2.3 To LASER Η λέξη laser είναι ακρωνύμιο του «Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation» (ενίσχυση φωτός με εξαναγκασμένη εκπομπή ακτινοβολίας). Η ακτινοβολία laser χαρακτηρίζεται από ένα υψηλό βαθμό: Μονοχρωματικότητας, δηλαδή φως με συγκεκριμένο μήκος κύματος-χρώματος Συμφωνίας Κατευθυντικότητας Λαμπρότητας Το πρώτο laser κατασκευάστηκε το 1960, από τότε όμως τα laser βρήκαν εφαρμογή στις θετικές επιστήμες, στην βιομηχανία, στην ιατρική, και στην ηλεκτρονική. Στην παρούσα άσκηση το μήκος κύματος ακτινοβολίας του Laser είναι λ = 632,8 nm. 3 Πειραματική διάταξη Στο Σχήμα 4.3 παρουσιάζεται η πειραματική διάταξη της άσκησης. Επάνω σε μια οπτική τράπεζα τοποθετείται ένα laser He-Ne στα 2.5 cm και δυο οπτικοί φακοί με εστιακές αποστάσεις f = 20 mm και f = 100 mm. Ο πρώτος φακός τοποθετείται πλησίον του laser και ο δεύτερος σε κατάλληλη απόσταση ώστε να έχουμε καλή εστίαση της δέσμης, η οποία προσπίπτει στο κέντρο της χάρτινης οθόνης ή του φωτοκυττάρου. Η χάρτινη οθόνη ή το φωτοκύτταρο είναι τοποθετημένα στο απέναντι άκρο της τράπεζας. Το διάφραγμα της απλής σχισμής τοποθετείται πλησίον στον δεύτερο φακό επάνω στην τράπεζα. Η σχισμή που πρόκειται να μελετηθεί πρέπει να βρίσκεται στο κέντρο και κάθετα στην δέσμη του φωτός. Με τη βοήθεια ενός κοχλία, το πλάτος της σχισμής b μπορεί να λάβει διάφορες τιμές (δεν αναγράφονται επάνω στη σχισμή). Περιστρέψτε τον κοχλία σε μια τυχαία τιμή. 4

5 Διαδικασία προθέρμανσης: Πριν από τις μετρήσεις ο ενισχυτής και η πηγή του laser πρέπει να είναι ανοιχτά για 15 λεπτά, έτσι ώστε να σταθεροποιηθούν οι εντάσεις τους. Προσοχή: Απαγορεύεται να κατευθύνετε την δέσμη του laser στα μάτια σας είτε στα μάτια κάποιου συνάδελφου. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται ώστε να μη συμβεί αυτό και από ισχυρή ανάκλαση της δέσμης από ιδιαίτερα στιλπνή επιφάνεια ή καθρέπτη. Σχήμα 4.3: Σχηματική αναπαράσταση διάταξης για τη μελέτη της περίθλασης από απλή σχισμή. Σχήμα 4.4: Διάγραμμα της έντασης συναρτήσει της μετατόπισης κατά την περίθλαση από απλή σχισμή με διαφορετική ενίσχυση. 4 Πειραματική διαδικασία 4.1 Μέρος 1: Προσδιορισμός του πλάτους της σχισμής Στο πρώτο μέρος της άσκησης προσδιορίζεται το πλάτος της σχισμής από την απεικόνιση της συμβολής επάνω σε ένα χιλιοστομετρικό χαρτί που βρίσκεται τοποθετημένο επάνω σε μια χάρτινη οθόνη (το πέτασμα). Θα πρέπει να παρατηρούμε ένα έντονο φωτεινό κροσσό στο κέντρο ο οποίος αντιστοιχεί στο n = 0 στο Σχήμα 4.2 (κεντρικό μέγιστο) και μια σειρά από εναλλασσόμενους φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς εκατέρωθεν του κεντρικού, διατεταγμένους σε μια ευθεία (όπως 5

6 αυτοί στο κάτω μέρος του Σχήματος 4.2). Κρατώντας όσο μπορούμε σταθερή την οθόνη, σημειώνουμε με ένα μολύβι τους πρώτους τρεις σκοτεινούς κροσσούς δεξιά από τον κεντρικό κροσσό (δηλαδή οι n = 1, 2, 3) και αντίστοιχα τους πρώτους τρεις σκοτεινούς κροσσούς αριστερά από τον κεντρικό κροσσό (δηλαδή οι n = 1, 2, 3). Επίσης μετράμε την απόσταση D από την απλή σχισμή μέχρι την απεικόνιση της συμβολής (Σχ. 4.1). Αφού αφαιρέσουμε το χιλιοστομετρικό χαρτί από την οθόνη, μετρούμε επάνω σε αυτό την απόσταση x αυτών των σκοτεινών κροσσών που σημειώσαμε από το κεντρικό μέγιστο. Θεωρητικά τα x για αρνητικά n είναι ίσα με τα αντίστοιχα x για θετικά n όμως στην πράξη πάντα υπάρχουν μικροδιαφορές λόγω π.χ. μη κατάλληλης ευθυγράμμισης του laser με την σχισμή και έτσι παίρνουμε τον μέσο όρο των δυο τιμών (απόλυτες τιμές). Π.χ. εάν σε μια μέτρηση πάρουμε x = 1.1 cm και x = 1.3 cm, τότε η σωστή απόσταση είναι η μέση τιμή x των απόλυτων τιμών τους x = x + x 2 = 1.2 cm (7) 4.2 ΜΕΡΟΣ 2: H κατανομή της έντασης του διαγράμματος περίθλασης Στο δεύτερο μέρος προσδιορίζεται η κατανομή της έντασης του διαγράμματος περίθλασης από την ίδια σχισμή, δηλαδή απεικονίζεται στην ουσία η γραφική παράσταση του Σχήματος 4.2. Το φωτοκύτταρο συνδέεται με την είσοδο του ενισχυτή και παράλληλα σε αυτό τοποθετούμε αντίσταση ίση με 2.2 kω. Η έξοδος του ενισχυτή συνδέεται με ένα πολύμετρο που καταγράφονται οι τιμές της τάσης. Η άσκηση διαθέτει μικρομοτέρ το οποίο μετακινεί το φωτοκύτταρο με σταθερή ταχύτητα ώστε να μεταβάλλεται γραμμικά το x. Ρυθμίσεις στον ενισχυτή: R = 10 Ω, Amplification=10, 10 ή 10, Time constant= 0 sec. Το offset έχει ρυθμιστεί από τους υπευθύνους του εργαστηρίου και δεν το μεταβάλλουμε. 5 Εργαστηριακή Αναφορά Στο κομμάτι της θεωρίας απαντήστε μόνο τις παρακάτω ερωτήσεις: (1) Εξηγείστε την έννοια φωτεινή ένταση στο σύστημα SI. (2) Τι είναι το μονοχρωματικό φως; (3) Περιγράψτε το φαινόμενο της ενισχυτικής και καταστροφικής συμβολής κυμάτων. (4) Περιγράψτε συνοπτικά το φαινόμενο της περίθλασης. Ποιος είναι ο ρόλος της σχισμής; Σχεδιάστε ποιοτικά τη γραφική παράσταση f(u) = sin u/u και εξηγήστε τα βασικά χαρακτηριστικά της. (5) Στο προηγούμενο ερώτημα θέστε u = πbx/λd και εξηγήστε τι είναι το κάθε ένα σύμβολο. Ακολούθως, εξηγήσετε για ποιες τιμές του x περιμένετε να μηδενίζεται η συνάρτηση f. (6) Πάρτε τρεις τυχαίες τιμές για το b στα μερικές δεκάδες μικρά, για το D μια δεκαδική τιμή στα 1-2 μέτρα και βρείτε ένα τρόπο να υπολογίσετε το λ. (7) Πάρτε τρεις τυχαίες τιμές για το λ στα μερικές εκατοντάδες νανόμετρα, για το D μια δεκαδική τιμή στα 1-2 μέτρα και βρείτε ένα τρόπο να υπολογίσετε το b. (8) Ποια ακριβώς είναι η λειτουργία του φωτοκυττάρου και του ενισχυτή; 6

7 Ζητούνται τα ακόλουθα στο κεφάλαιο «αποτελέσματα»: 5.1 Μέρος 1 (1) Να γίνει η γραφική παράσταση x = f(n) όπου x είναι οι μέσες τιμές που μετρήσατε επάνω στο χιλιοστομετρικό χαρτί, και n = 1, 2, 3 και από την κλίση της γραφικής παράστασης να προσδιοριστεί το πλάτος της σχισμής. (2) Στο Σχήμα 4.1 πάρτε ως x τα τρία x της προηγούμενης ερώτησης και υπολογίστε με την βοήθεια της τριγωνομετρίας την ακριβή τιμή του sinθ για κάθε n χωρίς προσέγγιση. Η τιμή αυτή να συγκριθεί με την προσεγγιστική τιμή x /D (σε πίνακα με υπολογισμό του σχετικού % σφάλματος). 5.2 Μέρος 2 (3) Επάνω στις γραφικές παραστάσεις που λάβατε με το καταγραφικό, σημειώστε τις πιο σημαντικές παραμέτρους. (4) Έστω ότι το Ι που εμφανίζεται στην Εξίσωση 3 είναι ίσο με 10 W/m. Σε χαρτί μιλιμετρέ σχεδιάστε τα εξής δυο πρόχειρα διαγράμματα: (α) Την ένταση Ι συναρτήσει του x που προβλέπει αυτή η εξίσωση μεταξύ των ελαχίστων n = ±3 χρησιμοποιώντας όμως τα D και b που μετρήσατε. (β) Την ένταση Ι συναρτήσει του x όπως και στο (α) αλλά τώρα δείξτε το τμήμα αυτό της γραφικής παράστασης από το ελάχιστο n = +1 έως και το n = +5 (μόνο θετικά x). "Πρόχειρα" σημαίνει ότι πρέπει να τοποθετήσετε στις ακριβείς τους θέσεις μόνο τα μέγιστα και τα ελάχιστα και απλά να σχεδιάσετε καμπύλες μεταξύ αυτών, σύμφωνα με την Σχήμα 4.2. (5) Με τη βοήθεια των δυο πρόχειρων διαγραμμάτων σας του βήματος 3 παραπάνω, σχολιάστε εάν η απεικόνιση της συμβολής που καταγράψατε στο εργαστήριο στο Μέρος 1, είναι η αναμενόμενη. (6) Συγκρίνετε τα δυο πρόχειρα διαγράμματα του βήματος 3 παραπάνω με το διάγραμμα της έντασης της ακτινοβολίας για τη μέγιστη ενίσχυση που λάβατε στο εργαστήριο στο Μέρος 2. Συγκεκριμένα από τον Πίνακα 2 των μετρήσεών σας για τη μεγαλύτερη ενίσχυση, πάρτε τις τιμές της τάσης V στα μέγιστα x από n = 1 έως n = 4 που καταγράψατε, υπολογίστε τους διαδοχικούς λόγους V /V και συγκρίνετε τους με τους αντίστοιχους λόγους που προβλέπει η γραφική παράστασης του βήματος 4(β) παραπάνω (μπορεί να χρειαστεί να αφαιρέσετε το επίπεδο του θορύβου από την πειραματική γραφική παράσταση ώστε τα ελάχιστα να βρίσκονται επάνω στον άξονα x). (7) Από αυτή τη σύγκριση περιγράψτε τις διαφορές και ομοιότητες μεταξύ των τριών πειραματικών καμπυλών (για τις τρεις ενισχύσεις) και σχολιάστε ποια είναι η πιο προτιμητέα. Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά ενός διαγράμματος περίθλασης; (8) Πως θα αλλάξει ποιοτικά τα πρώτα από τα δυο διαγράμματα του βήματος 3 παραπάνω εάν το φως της ακτινοβολίας άλλαζε από κόκκινο σε πράσινο; (9) Αναφέρατε τα απόλυτα σφάλματα και τυχόν συστηματικά σφάλματα (σε αριθμούς και μονάδες) που εμφανίζονται στις μετρήσεις σας. 7

8 6 Βιβλιογραφία [1] R. A. Serway, Physics for Scientists and Engineers, Volume 1, Saunders College Publishing, [2] H. D. Young, Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α, Κεφ. 38, εκδόσεις Παπαζήση, Αθήνα, [3] 8