4. Όρια ανάλυσης οπτικών οργάνων

Transcript

1 4. Όρια ανάυσης οπτικών οργάνων 29 Μαΐου Περίθαση Οι αρχές ειτουργίας των οπτικών οργάνων που περιγράψαμε μέχρι στιγμής βασίζονται στη γεωμετρική οπτική, δηαδή την περιγραφή του φωτός ως ακτίνες που διαδίδονται ευθύγραμμα σε ομοιογενή μέσα. Αυτή η περιγραφή είναι όμως προσεγγιστική. Στην πραγματικότητα το φως είναι κύμα και η ακριβέστερη μεέτη πρέπει να άβει υπόψη την κυματική φύση του φωτός προκειμένου να δώσει μία ακριβέστερη περιγραφή της ειτουργίας των οπτικών οργάνων. Το σημαντικότερο κυματικό φαινόμενο για τη ειτουργία των οπτικών οργάνων είναι η περίθαση, με την οποία θα ασχοηθούμε σ αυτήν την ενότητα. Η περίθαση εμφανίζεται όταν το φως περνά από οπές που έχουν διάμετρο της ίδιας τάξης μεγέθους με το μήκος κύματός του. Σ αυτήν την περίπτωση, τα κυματικά φαινόμενα δημιουργούν προβήματα στο σχηματισμό ευκρινών εικονών, ακόμα και σε οπτικά συστήματα στα οποία έχουν μηδενιστεί όα τα σφάματα φακών. Η περίθαση θέτει απόυτα όρια ανάυσης σε όα τα οπτικά όργανα, τα οποία δεν μπορούν να ξεπεραστούν. Εδώ θα μεετήσουμε τα όρια ανάυσης όγω περιθασης σε επτούς φακούς, στο μικροσκόπιο και στο τηεσκόπιο. Η πιο σημαντική περίπτωση περίθασης, σε ότι αφορά το σχεδιασμό οπτικών οργάνων, αφορά τη διάδοση του φωτός, προερχόμενο από μία πηγή, μέσα από ένα κυκικό διάφραγμα διαμέτρου D βέπε σχήμα 1. Αν τοποθετήσουμε ένα πέτασμα πίσω από το διάφραγμα θα παρατηρήσουμε ότι η κατανομή του φωτός δεν είναι ομοιογενής, αά εμφανίζονται ομόκεντροι κύκοι με διαφορετική ένταση του φωτός σε κάθε έναν από αυτούς βέπε σχήμα 2. Ας θεωρήσουμε ένα σημείο πάνω στο πέτασμα. OA είναι η ευθεία που ενώνει αυτό το σημείο με το κέντρο του διαφράγματος. Έστω θ η γωνία που σχηματίζει η ευθεία OA με τον οπτικό άξονα. Η ένταση του φωτός στο σημείο A εξαρτάται από τη γωνία θ και δίνεται από τη σχέση I(θ) = I o [Ai ( )] 2 πd sin θ, (1) όπου το μήκος κύματος του φωτός, D η διάμετρος του διαφράγματος και I o μια σταθερα. Η συνάρτηση Ai(x) καείται συνάρτηση Airy. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης Airy δίνεται στο σχήμα 3, ενώ η γραφική παράσταση της έντασης I ως συνάρτηση της γωνίας θ, εξίσωση (1) δίνεται στο σχήμα 4. Η ένταση του φωτός μηδενίζεται (οπότε βέπουμε σκοτεινό κύκο όπως στο σχήμα 2) για τις πd sin θ τιμές του x = όπου μηδενίζεται η συνάρτηση Airy: Ai(x) = 0. Όπως φαίνεται και στο σχήμα 3, η συνάρτηση Airy μηδενίζεται σε ποά σημεία, το πρώτο είναι περίπου στο x = ±3, 83, το δεύτερο στο x = ±7, 02, το τρίτο στο x = ±10, 17, κ.ο.κ. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει το πρώτο σημείο μηδενισμού της συνάρτησης Airy. Όπως βέπουμε στο σχήμα 4, το μεγαύτερο μέρος της συνοικής ενέργειας της ακτινοβοίας είναι συγκεντρωμένο στην περιοχή που αντιστοιχεί σε τιμές του x μέχρι το πρώτο σημείο μηδενισμού. Υποογισμός δείχνει ότι εκεί συγκεντρώνεται περίπου το 84% της συνοικής φωτεινής ισχύος. Οι τιμές του πd sin θ x = μεταξύ 0 και 3, 83 αντιστοιχούν στο φωτεινό δίσκο στο κέντρο του σχήματος 2. Αυτός ο δισκος καείται δίσκος του Airy. 1

2 Σχήμα 1: Περίθαση από ένα κυκικό διάφραγμα. Σχήμα 2: Φωτογραφία περίθασης από κυκικό διάφραγμα για πράσινο φως. Παρατηρείστε την ύπαρξη ενός ιδιαίτερα φωτεινού κεντρικού δίσκου και την ακόουθη ενααγή φωτεινών και σκοτεινών κύκων. Σχήμα 3: Γραφική παράσταση της συνάρτησης του Airy Ai(x).ι 2

3 Σχήμα 4: Γραφική παράσταση της έντασης της ακτινοβοίας I ως συνάρτηση της γωνίας θ. Παρατηρείστε ότι σχεδόν όη η ενέργεια αντιστοιχεί στην περιοχή μέχρι το πρώτο σημείο μηδενισμού. Από τη σχέση 3, 83 = πd sin θ/, βρίσκουμε ότι τα όρια του δίσκου του Airy αντιστοιχούν σε γωνία θ που ικανοποιεί τη σχέση sin θ = 1, 22 D. (2) Συνοψίζοντας, όταν το φως που προέρχεται από μία φωτεινή πηγή περνά μέσα από ένα διάφραγμα διαμέτρου D συγκεντρώνεται σχεδόν όο μέσα σε ένα δίσκο, ο οποίος προσδιορίζεται από την τιμή της γωνίας θ της εξίσωσης (2). Όπως φαίνεται από το σχήμα 1, αν το πέτασμα απέχει απόσταση ίση με b από το διάφραγμα, τότε η ακτίνα r του δίσκου του Airy είναι r = b tan θ. (3) Όταν το πέτασμα είναι μακριά από το διάφραγμα, τότε η γωνία θ είναι μικρή και tan θ sin θ, οπότε η εξίσωση (3) γράφεται r = 1, 22 (b/d), ή ισοδύναμα r = 1, 22, (4) f# όπου f# είναι ο αριθμός f του συστήματος. Παρατηρούμε ότι όσο μεγαώνει ο αριθμός f ενός οπτικού συστήματος, τόσο μικραίνει η ακτίνα του δισκου του Airy. 2 Όρια διακρισιμότητας 2.1 Κριτήρια διακρισιμότητας Η εμφάνιση του δίσκου του Airy όταν το φως περνά μέσα από διαφράγματα θέτει όρια στο κατά πόσο μπορεί να διακρίνει ένα οπτικό όργανο δύο διαφορετικές φωτεινές πηγές. Ας θεωρήσουμε ένα οπτικό σύστημα που χαρακτηρίζεται από διάφραγμα διαμέτρου D, όπως στο σχήμα 5, και ας θεωρήσουμε δύο φωτεινά σημεία του αντικειμένου A και B. Μέσω του οπτικού συστήματος, τα και απεικονίζονται στα σημεία A και B. Ωστόσο, όγω της ύπαρξης του διαφράγματος, το είδωο δεν αντιστοιχεί σε δύο σημεία, αά σε δύο δίσκους του Airy, έναν γύρω από το A και έναν γύρω από τοb. Αν οι δύο δίσκοι του Airy δεν τέμνονται, τότε τα δύο σημεία A και B είναι σαφώς διακρίσιμα. Στο αντίθετο όριο, όταν η απόσταση των A και είναι πού μικρότερη από την ακτίνα των δισκων Airy, δεν υπάρχει τρόπος να ξεχωρίσουν. Οπότε έμε ότι το οπτικό σύστημα δεν μπορεί να αναύσει 3

4 Σχήμα 5: Τα είδωα δύο ξεχωριστών σημείωνa και B αντιστοιχούν σε δύο δίσκους του Airy στην επιφάνεια προβοής του ειδώου. Σχήμα 6: Επικαυπτόμενοι κύκοι του Airy που αντιστοιχούν σε δύο ξεχωριστές φωτεινές πηγές. Φωτογραφία από h p:// 4

5 τη διαφορά των αρχικών σημείων και. Για να προσδιορίσουμε όμως ακριβώς, πότε δύο σημεία δεν μπορούν να διακριθούν πρέπει να εξετάσουμε την περιπτωση που οι κύκοι του Airy είναι μερικώς επικαυπτόμενοι, όπως στο σχήμα 6. Σ αυτήν την περίπτωση, μπορούμε σαφώς να πούμε ότι πρόκειται για δύο διαφορετικές πηγές. Ποιος είναι ο βαθμός επικάυψης που καθιστά απαγορευτική τη διάκριση μεταξύ των δύο φωτεινών πηγών; Η απάντηση είναι ότι δεν υπάρχει απόυτο κριτήριο, αά πρακτικοί κανόνες. Ο πιο παιός είναι ο κανόνας του Rayleigh. Κανόνας του Rayleigh: Δύο σημεία του ειδώου δεν μπορούν να διακριθούν αν το κέντρο του δίσκου του Airy του ενός βρίσκεται στο όριο του δίσκου του Rayleigh του άου. Αυτό σημαίνει ότι δύο σημεία και B του ειδώου δε διαχωρίζονται αν η απόστασή τους x είναι μικρότερη από την ακτίνα r του δίσκου του Airy, δηαδή το οπτικό όργανο δεν μπορεί να αναύσει αποστάσεις ειδώου μικρότερες από x = 1, 22b D (5) Ο κανόνας του Rayleigh είναι χρήσιμος αά όχι καθοικής εφαρμογής. Στο σχήμα 7 δίνεται η γραφική παράσταση της έντασης του φωτός στην οθόνη για δύο δίσκους Airy και για διαφορετικές τιμές της απόστασης x των κέντρων τους. Στα σχήματα 7.α και 7.β, όπου x > r είναι σαφές ότι μπορεί να διαχωριστούν τα δύο είδωα. Το διάγραμμα 7.γ αντιστοιχεί στον κανόνα του Rayleigh, όπου x = r. Παρατηρούμε ότι η ένταση ανάμεσα στα δύο σημεία δεν είναι σταθερή και παρουσιάζει ένα εάχιστο. Ένας καός φωτοανιχνευτής μπορεί να αντιηφθεί αυτή τη διαφορά και να μας επιτρέψει να συμπεράνουμε ότι το είδωο αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικές πηγές. Αυτή η συμπεριφορά συνεχίζεται και για μικρότερες τιμές του x (σχήμα 7.δ), μέχρι μία κρίσιμη τιμή x = 0, 78r (σχήμα 1.ε), όπου η ένταση εμφανίζει μόνο ένα μέγιστο και είναι πρακτικά αδύνατο να ξεχωρίσουμε αν βέπουμε είδωο από μία ή από δύο πηγές. Οδηγούμαστε οιπόν στο ακριβέστερο κριτήριο διακρισιμότητας (που οφείεται στον Sparrow). Κανόνας του Sparrow: Δύο σημεία του ειδώου δεν μπορούν να διακριθούν αν η ένταση της ακτινοβοίας στην ανάμεσα τους περιοχή δεν παρουσιάζει κάποιο εάχιστο. Με βάση τον κανόνα του Sparrow, ένα οπτικό όργανο δεν μπορεί νααναύσει αποστάσεις ειδώου μικρότερες από x = 0, 78r, δηαδή το όριο ανάυσης αντιστοιχεί σε x = 0, 95b D (6) Ο κανόνας του Sparrow είναι καύτερος όταν θέουμε να μιήσουμε για την ανάυση ειδώων από δύο πηγές που είναι πού πιο φωτεινές από το υπόβαθρο τους. Ο κανόνας του Rayleigh είναι πιο χρήσιμος όταν θέουμε να συζητήσουμε για τη διάκριση μεταξύ σημείων του αντικειμένου σε οπτικά όργανα που χρησιμοποιούνται για άμεση παρατήρηση μέσω του οφθαμού. 2.2 Λεπτός φακός Εφαρμόζουμε τον κανόνα του Rayleigh σε ένα επτό φακό εστιακής απόστασης f και διαμετρου D. Αν τοποθετήσουμε το αντικείμενο σε απόσταση s από το φακό, τότε το είδωο σχηματίζεται σε απόσταση b = s και έχει μεγέθυνση M = s /s. Η απόσταση εάχιστης ανάυσης x στο χώρο του ειδώου, αντιστοιχεί σε απόσταση εάχιστης ανάυσης x 0 = x/m στο χώρο του αντικειμένου, δηαδή x 0 = 1, 22s. (7) D 5

6 Σχήμα 7: Η ένταση I του φωτός στην οθόνη του σχήματος 5 για διαφορετικές τιμές της απόστασης x μεταξύ A και B. (α) x = 3r, (β) x = 1, 5r, (γ) x = r, (δ) x = 0, 9r, (δ) x = 0, 78r και (στ) x = 0, 5r, όπου r η ακτίνα του δισκου του Airy. Σχήμα 8: Διάγραμμα για τη μεέτη της ανάυσης ενός μικροσκοπίου. Η γωνία α υπό την οποία παρατηρείται ένα διάστημα μήκους x 0 σε απόσταση s είναι ίση με x o /s, οπότε η εάχιστη διακρίσιμη γωνία είναι ίση με α = 1, 22/D. Για τους φακούς του οφθαμού, το D αντιστοιχεί στη διάμετρο της κόρης του οφθαμού, δηαδή D = 0, 5cm. Θεωρώντας μέσο οπτικό μήκος κύματος = 500nm παίρνουμε ως εάχιστη διακρίσιμη γωνία α min = 1, nm 0, 5cm 1, rad (8) το οποίο δίνει σωστή εκτίμηση ως προς την τάξη μεγέθους. 2.3 Μικροσκόπιο Για να βρούμε τα όρια ανάυσης ενός μικροσκοπίου, θεωρούμε δύο σημεία του αντικειμένου O και A που απέχουν απόσταση x o, βέπε σχήμα 8. Το O βρίσκεται πάνω στον οπτικό άξονα. Έστω O και A τα είδωα των O και A μέσα από τον αντικειμενικό φακό αντίστοιχα και x η μεταξύ τους απόσταση. Αν P το ακρότατο σημείο του φακού, ορίζουμε ως θ τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία OP με τον οπτικό άξονα και ως θ τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία O P με τον οπτικό άξονα. Αν D είναι η διάμετρος του φακού, τότε με βάση το κριτήριο του Sparrow, η εάχιστη διακρισιμότητα του ειδώου αντιστοιχεί σε x = 0.95s /D. Η γωνία θ ικανοποιεί tan θ = D 2s. Καθώς ο 6

7 αντικειμενικός φακός ενός μικροσκοπίου είναι πού ισχυρός και το αντικείμενο τοποθετείται κοντά στην εστία του αντικειμενικού φακού, η απόσταση s είναι πού μεγαύτερη από την εστιακή απόσταση f o του αντικειμενικού. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία θ είναι μικρή, οπότε tan θ θ.το όριο ανάυσης του ειδώου γίνεται x = 0, 48 θ, (9) όπου χρησιμοποιήσαμε το κριτήριο του Sparrow. Ένα μικροσκόπιο κατασκευάζεται έτσι ώστε να ισχύει η εγόμενη συνθήκη του ημιτόνου x 0 sin θ = x sin θ, (10) έτσι ώστε το σημείο A να έχει ευκρινές είδωο, χωρίς σφάματα όγο αστιγματισμού. Για μικρό θ, sin θ θ, οπότε xθ = x 0 sin θ. Αντικαθιστώντας στην Εξ. (9) παίρνουμε την τιμή της εάχιστης απόστασης x 0 που μπορεί να διακρίνει ένα μικροσκόπιο x 0 = 0, 48 sin θ. (11) Προσοχή, σε αντίθεση με τη γωνία θ, η γωνία θ δεν είναι μικρή. Αν στην περιοχή μεταξύ αντικειμένου και αντικειμενικού φακού τοποθετηθεί ένα υγρό με δείκτη διάθασης n, τότε η συνθήκη του ημιτόνου γίνεται n x 0 sin θ = x sin θ, οπότε παίρνουμε x 0 = 0, 48 n sin θ, (12) και το μικροσκόπιο μπορεί να επιτύχει καύτερη ανάυση, δηαδή μικρότερο x 0. Στα περισσότερα μικροσκόπια, τοποθετείται ένα διαφανές άδι, μεταξύ αντικειμένου και αντικειμενικού φακού, προκειμένου να επιτευχθεί καύτερη ανάυση. Η ποσότητα n sin θ καείται συχνά αριθμητικό ανοιγμα (numerical aperture) του μικροσκοπίου, συμβοίζεται ως N A και είναι ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά που δίνει ο κατασκευαστής. Όσο μεγαύτερο είναι το αριθμητικό άνοιγμα, τόσο καύτερη ανάυση επιτυγχάνει το μικροσκόπιο. Το είδωο του τμήματος OA μέσα από το μικροσκόπιο σχηματίζεται σε απόσταση και έχει μήκος M x 0, όπου M η μεγέθυνση του μικροσκοπίου. Η γωνία υπό την οποία βέπει ο οφθαμός αυτό το είδωο είναι α = M x 0 /. Η εάχιστη οιπόν γωνία παρατήρησης ειδώου την οποία μπορεί να αναύσει ένα μικροσκόπιο είναι Για = 500nm και = 25cm παίρνουμε α = 0, 48M (NA). (13) α = 0, M NA. (14) Δεδομένου ότι αυτή η γωνία δεν μπορεί να είναι μεγαύτερη από την εάχιστη γωνία α min = rad που μπορεί να αναύσει ο οφθαμός, βρίσκουμε τη μέγιστη μεγέθυνση M max που μπορεί να επιτευχθεί με μικροσκόπιο θέτοντας α = α min στην Εξ. (14). Καταήγουμε ότι M max = 208NA. (15) Το μικροσκόπιο μπορεί να επιτύχει μεγαύτερες μεγεθύνσεις από M max, αά αυτές δεν είναι χρήσιμες γιατί δεν αποδίδουν τη επτομέρεια του αντικειμένου που μεετάμε. Μεγεθύνσεις μεγαύτερες από M max καούνται άδειες μεγεθύνσεις. Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι η τιμή M max = 208NA που βρήκαμε είναι πού συντηρητική εκτίμηση. Στην πράξη μπορεί να βετιωθεί κατά έναν παράγοντα του 4 5 έτσι ώστε τα καύτερα μικροσκόπια να έχουν μεγεθύνσεις M max 1000NA. 7

8 2.4 Τηεσκόπιο Σε ένα τηεσκόπιο το διάφραγμα αντιστοιχεί στον αντικειμενικό φακό. Η εάχιστη δυνατή γωνία παρατήρησης α μετά την είσοδο της ακτίνας στον αντικειμενικό φακό (βέπε κεφ. 3, σχήμα 16) προσδιορίζεται από το κριτήριο του Sparrow, α = 0, 95 D, (16) όπου D είναι η διάμετρος του αντικειμενικού φακού. Η παραπάνω σχέση ισχύει τόσο για διαθαστικά όσο και για ανακαστικά τηεσκόπια. Για το μεγαύτερο οπτικό τηεσκόπιο, D = 10, 4m. Για = 500nm η εάχιστη γωνία παρατήρησης είναι α = 4, rad. (17) Αν το τηεσκόπιο έχει γωνιακή μεγέθυνση γ, τότε η εάχιστη γωνία β υπό την οποία βέπει ο παρατηρητής είναι β = α γ = 0, 95 γ D. (18) Για παρατήρηση με το μάτι πρέπει να ισχύει β > α min = rad, οπότε βρίσκουμε ένα άνω όριο χρήσιμης μεγέθυνσης που μπορεί να επιτευχθεί σε τηεσκόπιο γ max = 3, 8D(cm), (19) όπου το D υποογιζεται σε cm. Δηαδή η μέγιστη μεγέθυνση του τηεσκοπίου είναι ανάογη της διαμέτρου του αντικειμενικού φακού. 3 Ερωτήσεις-Ασκήσεις 1. Δώστε έναν ορισμό του δίσκου του Airy, εξηγώντας και τις συνθήκες υπό τις οποίες εμφανίζεται. 2. Εξηγείστε το κριτηριο ανάυσης του Rayleigh, φέρνοντας και όποια διαγράμματα κρίνετε ότι χρειάζονται. 3. Εξηγείστε το κριτηριο ανάυσης του Sparrow, φέρνοντας και όποια διαγράμματα κρίνετε ότι χρειάζονται. 4. Γενικά, η διακριτική ικανότητα ενός οργάνου αυξάνεται ή μειώνεται όταν αυξάνει ο αριθμός f; 5. Στο φως ή στο σκοτάδι είναι μεγαύτερη η διακριτική ικανότητα του οφθαμού; Εξηγείστε. 6. Βρείτε την εάχιστη διακρίσιμη γωνία του οφθαμού χρησιμοποιώντας το κριτήριο του Sparrow και θεωρώντας = 560nm. 7. Τι καείται αριθμητικό άνοιγμα και η ποια η σχέση του με τη διακριτική ικανότητα ενός μικροσκοπίου; 8. Τί σημαίνει άδεια μεγέθυνση; 9. Σας δίνεται ένα τηεσκόπιο f/10 με f o = 80cm και f e = 2cm και ένα τηεσκόπιο f/6 με f o = 60cm και f e = 2cm. Ποιο από τα δύο είναι καύτερο για να διακρίνετε μακρινά αντικείμενα; 8

9 Άσκηση 1. Θεωρείστε ότι ο αντικειμενικός φακός μικροσκοποίου είναι ένας επιπεδόκυρτος επτός φακός με εστιακή απόσταση f και δείκτη διάθασης n = 1, 5. α) Βρείτε το μέγιστο αριθμητικό άνοιγμα που μπορεί να έχει το μικροσκόπιο, αν δεν έχουμε βάει κάποιο υγρό μεταξύ αντικειμένου και αντικειμενικού φακού. Επαναάβετε το ίδιο αν β) ο αντικειμενικός φακός είναι συμμετρικός, και γ) αν ο αντικειμενικός φακός αποτεείται από δύο συμμετρικούς φακούς που εφάπτονται. Άσκηση 2. Μικροσκόπιο έχει χαρακτηριστικά f e = 0, 8cm, l = 16cm και διάμετρο αντικειμενικού φακού D = 1, 2cm. Μεταξύ αντικειμενικού φακού και αντικειμένου τοποθετείται υγρό με δεικτη διάθασης n = 1, 6. α) Βρείτε το αριθμητικό άνοιγμα του μικροσκοπίου. β) Υποογίστε τη μέγιστη μεγέθυνση. γ) Τι εστιακής απόστασης προσοφθάμιο πρέπει να χρησιμοποιήσουμε, ώστε το μικροσκόπιο να επιτυγχάνει ακριβώς τη μέγιστη μεγέθυνση; Άσκηση 3. Τηεσκόπιο έχει χαρακτηριστικά f o = 40cm, f e = 2cm και D = 10cm. Βρείτε την εάχιστη γωνία παρατήρησης α που μπορει να αναύσει. Πόσο πρέπει να απέχουν δύο άνθρωποι σε απόσταση 100km ώστε να διακρίνονται με το τηεσκόπιο; Άσκηση 4. Η εάχιστη απόσταση που μπορεί να βρεθεί (ιδανικά) ένας κατασκοπευτικός δορυφόρος από τη Γη είναι 200km. Βρείτε τί διάμετρο πρέπει να έχει το τηεσκόπιο που τοποθετείται στο δορυφόρο ώστε να μπορεί να ξεχωρίζει πρόσωπα στην επιφάνεια της Γης. (Θεωρείστε = 550nm.) Άσκηση 5. Στην πραγματικότητα, οι κατασκοπευτικοί δορυφόροι βρίσκονται σε τροχιά απόστασης 6000km από την επιφάνεια της Γης (ώστε να έχει μεγαύτερο πεδίο παρατήρησης) και χρησιμοποιεί τηεσκόπια διαμέτρου D = 1m το πού. Πόσο πρέπει να απέχουν δυο αντικείμενα στην επιφανεια της Γης ώστε να μπορεί να τα διαχωρίσει; 9