ШИНЖЛЭХ УХААН ТЕХНОЛОГИЙН ИХ СУРГУУЛЬ U.MT101-МАТЕМАТИК I ХИЧЭЭЛИЙН СЕМИНАРЫН ЗӨВЛӨМЖ он

Transcript

1 ШИНЖЛЭХ УХААН ТЕХНОЛОГИЙН ИХ СУРГУУЛЬ ХЭРЭГЛЭЭНИЙ ШИНЖЛЭХ УХААНЫ СУРГУУЛЬ U.MT-МАТЕМАТИК ХИЧЭЭЛИЙН СЕМИНАРЫН ЗӨВЛӨМЖ 5 он

2 . КОМПЛЕКС ТОО, ТҮҮН ДЭЭР ХИЙХ ҮЙЛДЛҮҮД

3 Жишээ. A i( + i) + (7 i) +i илэрхийллийг хялбарчил. Бодолт: i + i + 7 i i + 7 i 5 i A +i +i +i 5 i i 5i 5i +i i 5

4 Жишээ. z + i тоог тригонометрийн хэлбэрт бич. Бодолт: z p x + y + y π arctg x 6 π π z r(cos π + i sin π) (cos + i sin ) 6 6 ϕ arctg

5 Жишээ. Жишээ.-ын z тооны 4 зэргийг ол. Бодолт: z n rn (cos πn + sin πn) томъёог ашиглавал π π z 4 ( + i)4 [(cos + i sin )]4 6 6 π π π π z 4 4(cos 4 + i sin 4 ) 6(cos + i sin ) 6 6 6( + i) i

6 iπ Жишээ.4 z ch + бич. алгебрийн хэлбэрт ez + ez Бодолт: Гиперболлог функц chz томъёогоор тодорхойлогдоно. Иймд iπ iπ π π e(+ ) + e(+ ) e e i + e e i π π π π e[e(cos + i sin )] + e[e(cos( ) + i sin( ))] e( + i) + e( i) (e e)i ish iπ ch +

7 Жишээ.5 z 4(cos + i sin ), z 6(cos 6 + i sin 6 ) өгөгдсөн бол z z, z г ол. z Бодолт: z z 4 6[cos( +6 )+i sin( +6 )] 4(cos 9 +i sin 9 ) уг тоог стандарт хэлбэрт бичвэл z z 4( + i ) + 4i болно. z 4 [cos( 6 )+i sin( 6 )] [cos( )+i sin( )] z 6 [cos sin ] i! i

8 . МАТРИЦ, ТҮҮН ДЭЭР ХИЙХ ҮЙЛДЛҮҮД

9 Жишээ. A 4, B бол A+B? Бодолт: A+B Жишээ. A 5 бол 7A? Бодолт: 7A

10 Жишээ. 4 A B бол 4A+B? Бодолт:

11 Жишээ.4 A матриц мөр, 5 баганатай, B матриц 5 мөр, баганатай бол AB матриц нь мөр, багатай байна.

12 Жишээ.5 A 5, B 4 6 бол AB? Бодолт: ABij элементийг олохын тулд A матрицын i мөр, B матрицын j р баганыг ашиглана.

13 Жишээ.6 A , B бол AB матрицын -р мөрийг ол. Бодолт:

14 Жишээ.7 A B бол A B? Бодолт: 7 ( ) 7 5 A B 4 8 ( ) 9 ( () ) ( ) ( () ( () ) ( ) ( ()

15 Жишээ.8 A хөрвүүл T Бодолт: A байна. 5 матрицыг

16 . ТОДОРХОЙЛОГЧ ТҮҮНИЙ ЧАНАРУУД, ТОДОРХОЙЛОГЧ БОДОХ АРГА

17 Жишээ. 7 4 тодорхойлогчийг бод. Бодолт Жишээ. 7 4 тодорхойлогчийг гурвалжингийн дүрмээр бод. Бодолт () 7 () 4 () 4

18 7 Жишээ ыг ол. тодорхойлогчийн A - Бодолт: р мөр р баганыг дарвал M 9 9 A ()+ M ()+ 9 9

19 Жишээ.4 тодорхойлогчийг р мөрөөр задалж бод. 4 7 Бодолт: aa + aa + aa 4 7 () + () () + () () + (9) + () 6

20 4 Жишээ.5 4 р эрэмбийн 4 5 тодорхойлогчийг р мөрөөр задалж бод. Бодолт: Тодорхойлолт ёсоор aa + aa + aa + a44a4

21 A A A A (9)

22 Жишээ.6 A 4 матрицын тодорхойлогчийг алгебрийн гүйцээлт ашиглан бод. Бодолт: Тодорхойлогчийг хамгийн олон агуулсан мөр юмуу баганаар нь задлаж бодох нь хялбар байдаг тул мөрийг сонгоё. deta aa + aa + aa + a4a4 A + (4) A + A + A4 4 ()+M + ()+M

23 Жишээ чанарыг ашиглан бод. тодорхойлогчийн Бодолт. Дараах хялбар хувиргалт хийж тодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт шилжүүлье.. баганы бүх элементийг -оор үржүүлж, аар баганы харгалзах элемент дээр нэмнэ.. Эхний хувиргалт хийгдсэн тодорхойлогчийн баганы бүх элементийг (-4)-өөр үржүүлж, -аар баганы харгалзах элемент дээр нэмнэ aa 7 4 7

24 4. УРВУУ МАТРИЦ, МАТРИЦАН ТЭГШИТГЭЛ, МАТРИЦЫН РАНГ a a a a A a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

25 Жишээ 4. A a b c d бол A ол. Бодолт: A ad bc A adja A ad cb d b c a Жишээ 4. A бол A ол. Бодолт: A A

26 Жишээ 4. A бол A -г ол. Бодолт: 4 A ()+ A ()+ A ()+ A ()+ A ()+ A 4 A ()+ A ()+ A ()+ 8 A ()+ A A A 8 A A A A 4 A A A

27 4 Жишээ 4.4 A матрицын урвуу 7 матрицыг ол. Бодолт: A 99 6 учир A оршино. adja Тэгвэл T " 7 5 adja A #T

28 5. ШУГАМАН ТЭГШИТГЭЛИЙН СИСТЕМ a a a am a a am an an amn b b... bm a a ar ar arr an an arn b b... br...

29 Жишээ 5. x + x x 6 4x 5x + x 9 систем тэгшитгэлийг урвуу матрицын аргаар бод. x +x Бодолт: 6 x A 4 5, B 9 ба X x A B x байна. 4A (5) + +() 4 () (5) тул систем нийцтэй ба шийдийг урвуу матрицын аргаар бодъё. 4 5 A ()+ A ()+ 4 5 A ()+ 9 A ()+ A ()+ A ()+ A ()+ A () A ()+ 4 5

30 A X A 7 6 B (9) (9) (9) + 6 6

31 x + x + 5x 9 x x + x Жишээ 5. x 6x x 5 Крамерийн дүрмээр бод. систем тэгшитгэлийг Бодолт: 4 A () () () () 9 (9 ) 4 x 4 48, 4 4 x 4 7, 4 4 x

32 Жишээ 5. x + x + 5x 9 x x + x x 6x x 5 систем тэгшитгэлийг урвуу матрицын аргаар бод. 5 A 6 4 4, 9 B 5 A 9 A A 8 A A A 9 A 4 байна. A 6 A A 8 6 Тэгвэл X A B Эндээс x, x, x

33 x x x x + x + 5x Жишээ 5.4 x + 4x + 6x x + + 4x тэгшитгэлийг бод. систем Бодолт: M + M M + M M + M 5 M + M 4 5 M + M r(a) r(a ) r n. Иймд өгөгдсөн шийдтэй. систем x x x 5x + x x тэгшитгэл цор ганц 8 x, x, x 5 5

34 x + x x + x4 + x5 x + x + x + 6x4 + 4x5 Жишээ 5.5 x + x + x + 4x4 + 6x5 8 систем тэгшитгэлийг бод. Бодолт: M ()+M M ()+M 4 M ()+M 4 5 x +x x +x4 +x5 x +x +x4 x5 x 4x4 x5 5 x x + x x4 x5 + x x + x4 x5 + x 4x4 + x5 + 5

35 Иймд x 4, x 5 хувьсагчдыг нь чөлөөт хувьсагч болгон авч x, x, x хувьсагчдыг x 4, x 5 -аар нь илэрхийлье. x 4x 4 + x x (4x 4 + x 5 + 5) + x 4 x 5 + 4x 4 + x x (4x 4 + x 5 + 8) + (4x 4 + x 5 + 5) x 4 x 5 + x 4 x 5 X x x x x 4 x x 4+ x 5+ Энд x 4, x 5 нь дурын тогтмол тоо гэж үзнэ. 8 5

36 x + x x + 5x4 5 4x x + x + x4 систем Жишээ 5.6 x 5x + 4x x4 тэгшитгэлийг бод. Бодолт: M ()+M r(a) 6 r(a ) M ()+M M ()+M тул өгөгдсөн систем тэгшитгэл нь нийцгүй систем байна.

37 x + x x + x4 x x + x + x4 7 систем тэгшитгэлийг бод. Жишээ 5.7 x + x + x4 x 5x x x 4 Бодолт: M + M 7 M4 + M 5 7 M4 + M M, M M M4 + M Сүүлийн мөр (... )(a 6 ) тул систем нийцгүй.

38 x x + x + x4 x + x + 4x x4 систем тэгшитгэлийг бод. Жишээ 5.8 x + x + x M M 4 Бодолт: 4 M M M M x + x + 4x x4 5x 5x + x4 Эндээс 7x + x4 7 x t 5 6 x t Энэ системээс x t гэвэл болж дурын 5 x t x4 7t тооны хувьд систем төгсгөлгүй олон шийдтэй болно. M M t бодит

39 6. НЭГЭН ТӨРЛИЙН ШУГАМАН ТЭГШИТГЭЛИЙН СИСТЕМ, МАТРИЦЫН ХУВИЙН УТГА, ХУВИЙН ВЕКТОР a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n... a m x + a m x + + a mn x n

40 Жишээ 6. x + x + x + 4x4 x + x + x x4 НТШТС бод. 4 4 Бодолт: 4 9 x 5x + 4x4 x 4x 9x4 4 5 x x 4 x + 9 x4 x x4

41 Жишээ 6. 4 х/в-ыг ол. матрицын х/у ба Бодолт: λ A λe λ 4 λ (λ)(λ)(λ)4(λ)+(+λ) (λ )(λ )(λ + ) буюу λ, λ, λ

42 λ x x + x x x x + 4x 4x x x λ х/у-д харгалзах х/в-ыг олъё. { x + x x + x x + 4x + x x x x X (x ; x ; ) T x (; ; ) T x (; ; ) T. х/у-д харгалзах х/в-ыг олъё. { x x x x X (x ; x ; x ) T x (; ; ) T x (; ; ) T.

43 7. ВЕКТОР, ТҮҮН ДЭЭРХ ҮЙЛДЭЛ, ШУГАМАН ХАМААРАЛ, СУУРЬ ВЕКТОР

44 Жишээ 7. M(, 4, ) ба M(, 4, ) цэгүүд өгөгджээ. MM хэрчмийг λ харьцаагаар хуваах M цэгийн координатыг ол. Бодолт: Mx x + λx + () +λ + My Mz y + λy λ + z + λz + +λ + M (, 4, ). болно.

45 Жишээ 7. a, бол a b? b 9, a + b 4 Бодолт: ( a + b ) a b + a + b томъёог ашиглавал a b ( + 9) a b

46 Жишээ 7. M (5,, 4) цэгийн радиус векторын чиглүүлэгч косинусуудыг ол. Бодолт: Координатын эхээс эхлэлтэй OM (5,, 4) вектор үүсгэе. q OM 5 + () Чиглүүлэгч косинусуудыг олох томъёо ёсоор cos α 5 y z 4 cos β cos γ a a a x болно.

47 Жишээ 7.4 a (, 5, 8) ба b (,, 4) векторуудын нийлбэр ба ялгаварын модулийг ол. Бодолт: a + b ( + (), 5 +, 8 + (4)) (, 4, 4), a b (4, 6, ) тул a + b q + (4) a b q 4 + (6)

48 8. Векторуудын скаляр, вектор, холимог үржвэр

49 c Жишээ 8. a (,, 4), b (, 4, ), (,, 4) векторууд өгөгджээ. Тэгвэл пр a -г b +c ол. Бодолт: b + c ( + (), 4 +, + 4) (,, 6), b a пр b a a томъёо ёсоор a ( b + c ) (,, 4) (,, 6) p пр a b +c + () + 6 b + c

50 Жишээ 8. a p q ба b p + 4 q векторуудын скаляр үржвэрийг ол. Үүнд: π \ p, q) p q, ϕ, ϕ ( Бодолт: a b ( p q ) ( p + 4 q ) p p q p + p q 8 q q p + p q 8 q π + p q cos ϕ8 + cos 8 8 5

51 Жишээ 8. a (,, 4) ба b (,, ) векторуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт: \ a b a b cos ϕ, ϕ ( a, b) томъёог ашиглая. a q + () q b () ( a b ) () + () a b (7) 7 cos ϕ 6 4 a b 7 ϕ arccos( )

52 Жишээ 8.4 a (m,, 4) ба b (4, m, 7) векторууд өгөгджээ. m-ийн ямар утганд a ба b векторууд перпендикуляр байх вэ? Бодолт: Хэрэв a b бол a b байна. a b 4 m + m + 4 (7) 7m 8 m 4.

53 Жишээ 8.5 a 6 i + j k ба b i j + 6 k векторуудын вектор үржвэрийн модулийг ол. Бодолт: a 6 i j k i b j + k 4 i 4 j k 6 a b

54 π \ a, b) Жишээ 8.6 Хэрэв a b, ( 6 бол c a + b ба c a + b векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол. Бодолт: c c ( a + b ) ( a + b ) a a +9 b a + a b + b b \ + 8 b a + 8 b a sin( a, b) π 8 sin 8 4 6

55 Жишээ 8.7 a (5,, 5), b (4, 6, ) векторуудаар байгуулагдсан параллелограммын талбайг ол. Бодолт: ~a, ~b векторуудаар параллелограммын талбай байгуулагдсан S ~a ~b байна ~a ~b i j+ k ~i + 5~j 7~k ~ S ~a b

56 Жишээ 8.8 A(,, ); B(,, ); C(,, ); D(5,, 6) цэгүүд нэг хавтгай дээр оршихыг батал. Бодолт: Хэрэв A, B, C, D цэгүүд нэг хавтгай дээр оршиж байвал AB,AC,AD векторууд мөн нэг хавтгай дээр байх тул компланар систем үүсгэнэ. Иймд тэдгээрээр байгуулагдсан паралелопипедын эзлэхүүн -тэй тэнцэнэ. Өөрөөр хэлбэл AB,AC,AD векторуудын холимог үржвэр тэг байх болно. AB (, +, ()) (,, ) AC (, +, ()) (, 4, ) AD (5, +, 6 ()) (,, 4) (AB AC) AD болох тул A, B, C, D цэгүүд нэг хавтгай дээр оршино.

57 Жишээ 8.9 A(5, 4, 5), B(,, ), C(,, ), D(,, 6) дөрвөн цэг нэг хавтгайд орших уу? Бодолт: AB (, 6, 4) AC (6, 4, 4) AD (4, 7, ) AB (AC AD) холимог үржвэрийг бодъё. 6 4 AB (AC AD) Эндээс AB, AC, AD векторууд нэг хавтгайд оршихгүй. Иймд A, B, C, D цэгүүд нэг хавтгайд оршихгүй.

58 9. Хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэл, шулуунуудын харилцан байршил

59 Жишээ 9. OY тэнхлэгийг (; 7) цэгээр огтлон гарах OZ-тэй 45 өнцөг үүсгэх шулууны тэгшитгэлийг зохио. Бодолт: y kx + b-д b 7, k tg45 тул y x + 7 болно. Жишээ 9. Хэрэв шулуун нь A(; 4), B(5; 5) цэгүүдийг дайрч гардаг бол түүний өнцгийн коэффициент k ба OY -тэй огтлолцсон цэгийн координат b-г ол. Бодолт: y kx + b шулуун дээр A, B цэгүүд орших учир тус бүрийн координат нь тэгшитгэлийг хангана. 4 k + b 5 5k + b Энэ хоёр тэгшитгэлээс k, b болно.

60 Жишээ 9. A(; ), B(5; ) шулууны тэгшитгэл зохио. цэгийг дайрсан Бодолт: x ; x 5; y ; y -ийг y y x x y x -д орлуулбал y y x x 5 буюу x + 6y 7 болно. Жишээ 9.4 y x + 5, y x + 4 шулууны хоорондох өнцгийг ол. Бодолт: k, k тул tgϕ болно. k k, + kk ϕ arctg

61 Жишээ 9.5 x + 4y + 5, x + y шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт. A, B 4, A, B учир tgϕ ёсоор 6 tgϕ ; 5 ϕ arctg 5. AB BA AA BB Жишээ 9.6 x 4y + тэгшитгэлийг эгэл дүрсэд шилжүүл. Бодолт. µ C > тул ±5 ± µ 5 4 x 4y + x + y. 5 5

62 Жишээ 9.7 Координатын эхээс x + y шулуун хүртэлх зайг ол. Бодолт: (x, y) (, ) тул Ax + By + C 5 d A + B 5 5

63 Жишээ 9.8 Параллелограммын гурван орой A(; ),B(; 4),C(6; ) гэж өгөгдсөн бол дөрөв дэх орой болох D цэгийн координат, талуудын тэгшитгэл ба талбайг нь ол. Бодолт:Диагоналийн огтлолцлын цэгийг E гэвэл тэр нь AC хэрчмийг таллан хуваана E(;.5). B ба E цэгүүдийн координатыг мэдсэнээр D оройн координатыг D(; ) гэж олно. y x+ y x6 ; BC : ; y x+ y x6 AD : ; CD : AB :

64 буюу AB : y x 6 AD : 4y + x BC : 4y + x CD : y x + 4. Талбайг нь олохын тулд BC хэрчмийн уртыг олъё. BC (6 ) + ( 4) 5. A цэгээс BC шулуун хүртэлх зайгаар h өндрийг олно. 4 + () 8 6 h 4. Эндээс S ABCD h BC

65 Жишээ 9.9 4ABC-ын A(4; ) орой, BE өндрийн ба BD медианы тэгшитгэлүүд BE : xy+5, BD : x + y гэж өгсөн бол гурвалжны талуудын тэгшитгэлийг зохио. Бодолт: B оройн координатыг BE ба BD шулуунуудын огтолцлолоор олно. B: x y + 5 x + y x y AC талын тэгшитгэлийг зохиоё. AC BE гэдгийг ашиглан AC-ийн өнцгийн коэффициентийг олъё. буюу kac kbe kbe байна. Өнцгийн коэффициент kac ба A цэг нь өгөгдсөнөөр AC талын тэгшитгэлийг y ya kac (x xa) томъёогоор олно.

66 y (x 4) буюу AC : y + x D цэгийн координатыг BD медиан ба AC талуудын огтолцлолоор олно. { { x + y x 6 D : x + y y D нь AC хэрчмийг таллан хуваагч цэг учир C оройг C(8; 6) гэж олно. Одоо гурвалжны бүх оройн координат мэдэгдсэн учир хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг y y x x y y x x томъёогоор олно. y AB : x + буюу x + 7y 4 + y BC : 6 x + буюу y + 9x 6 8 +

67 . Огторгуй дахь хавтгайн тэгшитгэл,тэдгээрийн харилцан байршил,цэгээс хавтгай хүртэлх зай

68 Жишээ. A(; ; ) цэгийг дайрч, B(; ; ), C(; ; ) цэгүүдийг дайрсан шулуунд перпендикуляр байх α хавтгайн тэгшитгэлийг бич. Бодолт:BC вектор α хавтгайн нормаль вектор болно. ~ ~n {4; ; } BC A цэг болон ~n векторыг ашиглан хавтгайн тэгшитгэл бичвэл 4 (x ) + (y ) (z + ) болох ба хавтгайн тэгшитгэл α: гэж гарна. 4x y + z 4

69 Жишээ. M(; ; ) цэгийг дайрч x + y z + 4, x y + 5z хавтгайнуудад перпендикуляр байх α хавтгайн тэгшитгэл бич. Бодолт:Өгөгдсөн хоёр хавтгайн нормаль векторүүдийг n, n -ээр тэмдэглэвэл n {; ; }, n {; ; 5} болно.α хавтгай өгөгдсөн хоёр хавтгайд перпендикуляр гэдгээс α хавтгайн нормал вектор нь n, n векторуудын вектор үржвэр байна. ~n n n ; ; 5 5 {; ; } Эндээс ~n нормал вектортой, M(; ; ) цэгийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл α: (x ) (y ) (z + ) буюу α: байна. x y z + 4

70 Жишээ. Oy тэнхлэг ба M(; 4; ) цэгийг дайрсан α хавтгайн тэгшитгэл бич. Бодолт: Ax + By + Cz + D ерөнхий тэгшитгэлтэй хавтгай Oy тэнхлэгийг дайрна гэдгээс B D байх ёстой. Иймд Ax + Cz болно. Мөн M цэгийг дайрна гэдгээс A () + C буюу A C болно. Эндээс Cx + Cz буюу α : x + z гэж гарна.

71 Жишээ.4 M(; ; ) цэгийг дайрч Ox тэнхлэгийг a, Oz тэнхлэгийг c хэрчмээр огтлох α хавтгайн тэгшитгэл бич. Бодолт: Хавтгайн координатын хоёр тэнхлэгийг огтлох хэрчмийн хэмжээ өгөгдсөн тул α хавтгайн x y z тэгшитгэлийг + + хэлбэрээр хайх нь a b c хялбар юм. x y z + + b тэгшитгэлтэй хавтгай M цэгийг дайрах ёстой тул + + байна. Эндээс b болж α b хавтгайн тэгшитгэл x y z + + буюу 4x + y 6z + болно.

72 Жишээ.5 x y + z 8 хавтгайн A(; ; 4), B(; 7; ) цэгүүдээр хязгаарлагдсан хэрчмийг огтлох эсэхийг шалга. Бодолт: Өгөгдсөн тэгшитгэлийг эгэл хэлбэрт оруулж A, B цэгүүдийн хавтгайгаас хазайх хазайлтын олъё. тул хавтгайн эгэл µ p + () + тэгшитгэл x y + z 6 болно. δa () δb () Эндээс δa <, δb < байгаа болохоор A, B цэгүүд өгөгдсөн хавтгайн нэг талд тухайлбал координатын эх байгаа талд нь байрлаж байна. Иймд хавтгай AB хэрчмийг огтлохгүй.

73 Жишээ.6 Ox тэнхлэг дээр байгаа M цэгээс 4x + y 4y + хавтгай хүрэх зай бол M цэгийн координатуудыг ол. Бодолт: Өгөгдсөн хавтгайн эгэлчлэгч үржигдэхүүн µ эгэл тэгшитгэл нь x y + z юм. Ox 6 тэнхлэг дээр байрлах M цэгийн хувьд y z байх тул зөвхөн x-ийг олох хэрэгтэй. M (x; ; ) цэгээс өгөгдсөн хавтгай хүрэх зай гэдгээс x + буюу x 6 6 байна. Эндээс x ±. x үед 6 6 x, x үед x болж бодлогын нөхцөлд тохиорох M( ; ; ), M( ; ; ) гэсэн 4 4 хоёр цэг олдож байна.

74 АМЖИЛТ ХҮСЬЕ