2-Advanced Engineering Mathematics By : Ervin Kreyszig

Transcript

1 مهندسی رياضيات مس ايل م ورد بح ث در درس عمومی رياض يات مھندس ی: پ يش ني از مع ادالت ديفرانس يل و رياض يات - سريھا و انتگرالھا و تبديلھای فوريه o ss Igs & Tsos - معادالت با مشتقات جزيی P D Eqos - متغيرھای مختلط و کاربردھا Cop Vs & Appos کتاب اصلی: -Add Egg Mhs B : E Ksg - رياضيات مھندسی دکتر عبدالله شيدفر -Add Egg Mhs B : C.R W Los C.B - متغيرھای مختلط و کاربرد آنھا ترجمه کتاب : Cop Vs d Appos B : R V. Chh Js W. Bo Rog. Vh استاد: جناب ا قای دکتر احمد باقری

2 تابع متناوب: R p P > p كوچکترين دوره تناوب يا پريود می باشد. برای بعضی توابع کوچکترين دوره تناوب معنی ندارد. P : p α βg : p g : p P P يا دوره تناوب تابع α βg عددی است که بر و قابل قسمت است. P os os os osω osω p ωp p ω PL ھر تابع متناوبی را می توان بصورت سری مثلثاتی زير بنويسيم:

3 ... s s s... os os os s os : o دادعا و هيروف یرس لااب یرس و و...و و و و بيارض...و ت باث.دنتسھ بيارض هبساحم یارب رد ار لبق هطبار نيفرط زا و هدرک برضos رد نآ نيفر ط هلصاف -LL.مينک یم یريگلارگتنا d d os s os os :ميراد d os os d os d os s

4 d d os os.. d بيارض هبساحم یارب نينچمھ رد ار هطبار نيفرط نيفر ط زا و هدر ک بر ض s هلصاف رد نآ -LL :مينک یم یريگلارگتنا d d s s os s :ميراد d s s d s d s os

5 s d s d.. ضرايب و ضرايب اويلر و سری مربوطه سری فوريه ناميده می شود. ضرايب فوريه را در ص ورتی م ی ت وان بدس ت آورد ک ه ت ابع پيوس ته ي ا پيوس ته قطع ه ای باشد.چون عبارت فوريه بر طبق حد بدست می آيد بنابراين عبارت فوريه ھنوز تساوی نيست. شرط کافی برای برقراری عالمت تساوی: os s قضيه : اگر تابع متناوب با دوره تناوب L باشد و در ھر نقطه حد چپ و راست برابر باشند عالمت " " در سری فوريه به عالمت "" تبديل می شود. يا اينکه تابع متناوب با دوره تناوب L پيوسته قطعه ای و حد چپ و راست موجود باشند عالمت " " در سری فوريه به عالمت "" تبديل می شود. مثال- سری فوريه تابع زير را بدست آوريد: < < < <

6 os os s s s s os os d d d d d d -لاثم os [ ] os os os os s os os os d d d d d Cos os s

7 سری فوريه توابع زوج و فرد: - : تابع زوج- os os d os d -- : تابع فرد- s s d حاصلضرب دو تابع زوج زوج است. حاصلضرب دو تابع فرد زوج است. حاصلضرب يک تابع فرد و يک تابع زوج فرد است. مثال- سری فوريه تابع os را بدست آوريد.

8 os os os با دوره تناوب / os os / با دوره تناوب بسط يا گسترش زوج و فرد توابع غير متناوب: فرض بر اين است که تابع در فاصله تعريف شده است. می خواھيم س ری فوري ه ای بنويسيم که مقدار آن در اين فاصله با مقدار تابع مذکور يکی باشد. گسترش زوج ھنگامی است که تابع مربوط به فاصله که تابع در فاصله زوج باشد. گسترش فرد ھنگامی است که تابع مربوط به فاصله تابع در فاصله فرد باشد. طوری در نظر گرفته شود طوری در نظر گرفته شود ک ه بسط به تابع زوج:

9 ... ; os d p ; os * < < :درف عبات هب طسب... s ; s * < < d -لاثم.ديروآ تسدب ار ريز بوانتم ريغ عبات یسونيسک و یسونيس هيروف یاھيرس < < < < / /

10 :یسونيس هيروف یرس d d d s os s os / / s s s s 8 s os s os < < ; s s 8 :یسونيسک هيروف یرس d os

11 / / d d os s os s os os os os d d d 8 / /

12 os os os :مود هسلج -لاثم یددع یاھ یرس عومجم ندروآ تسدب رد هيروف یرس دربراک -<< d os s os d d s os s s

13 ... s... s s s /9 /7 /5 / -لاثم - d s os s os d

14 os s os s d os... os... os os os : :

15 تمرين: با استفاده از بسط فوريه تابع متناوب مجموع سريھای ذيل را بدست آوريد < < < < :/ /5/7... : / 5 / 7/ //7 /9... : /5/7 / / /7... قضيه: می توان با استفاده از مشتقگيری از جمالت يک سری فوريه سری فوريه مشتق يک تابع را بدست آورد. قضيه: می توان با استفاده از انتگرالگيری از جمالت يک سری فوريه در ھر فاصله دلخواه سری فوريه انتگرال يک تابع در آن فاصله را بدست آورد. مثال- سری فوريه کسينوسی تابع از مشتقگيری سری فوريه تابع S << os را بدست آوريد. را بدست آورده و سپس با استفاده

16 osd s osd s d s os d os s < < 8 s os < < < < مثال- با استفاده از سری فوريه را پيدا کنيد. و انتگرالگيری سری فوريه ت ابع s s s... os os os... d d 6 برای يافتن داريم:

17 :هناگود هيروف یرس عبات هک تسنيا رب ضرف بوانت هرود اب و بوانتم ريغتم ود هب تبسن :تسا d d s os s os نوچ دنتسھ بوانتم زين هب تبسن.تسا بوانتم s os s os d dd os os dd s os dd os s

18 dd d s s عبات هناگود هيروف یرس :زا تسترابع ] s s os s s os os os [ s os s os d C :تلاح راھچ : os os os os os os dd

19 : s os s s os dd : os s s os s dd : s s d s s dd d

20 ; < < < < مثال- سری فوريه تابع را بدست آوريد. حالت چھارم: d s s dd s s انتگرال مشتق - X os s os osd s os

21 انتگرال مشتق - X s os s os s d os s os انتگرال فوريه: اگر روی ھر فاصله متناھی پيوسته قطعه ای و دارای مشتق چپ و راست باشد و داشته باش يم در اينصورت انتگرال فوريه موجود است و داريم: [ os s ] d os d s d < به ضرايب فوق ضرايب اويلر می گوييم.

22 -لاثم عبات هيروف لارگتنا > <.ديروآ تسدب ار d d.تسا دوجوم لارگتنا نياربانب s os s os s s os s s os os d d d d d تروص :هيروف لارگتنا و یرس طلتخم os s ± ± s os

23 :تشون ناوت یم بوانتم عبات کي هيروف یرس رد ريداقم نيا نداد رارق اب s os d d d s os d d d :تشون ناوت یم روطنيمھ... ; ± ± ± d

24 :روطنيمھ... ; ± ± ± d -لاثم ار نآ ی قيقح ه يروف لار گتنا ا جنآ زا و هدروآ ت سدب ار ر يز عبا ت ه يروف لار گتنا طلت خم ترو ص.ديروآ تسدب > < d d s

25 d s s os s d s s : d d s s d d d d :هيروف ليدبت یا هکت هتسويپ نيعم هلصاف کي رد هک یعبات رھ.تسا هيروف ليدبت یاراد دشاب ريذپلارگتنا و < عبات سوکعم هيروف ليدبت و هيروف ليدبت < :زا تسترابع

26 { } d ~ { } d ~ ~ -لاثم هيروف ليدبت ; >.دينک اديپ ار d d d d نوچ:

27 عبات هيروف یسونيسک ليدبت :نآ سوکعم و { } { } os ~ os ~ d d عبات هيروف یسونيس ليدبت :نآ سوکعم و { } { } s ~ s ~ d s s d s s.دنتسھ یطخ یسونيسک و یسونيس هيروف ليدبت و هيروف ليدبت -لاثم.دينک اديپ ار ريز عبات هيروف یسونيس و یسونيسک تلايدبت > < < ; ; d s os ~

28 ~ os s d s قضيه: : { } { } { } d d { } { } { } و ھمينطور: قضيه: s { } { } s { } { }

29 s d < > مثال- تبديل فوريه تابع محاسبه کنيد. را يافته و با استفاده از آن را { } ~ d s ; d { } : ~ s d d < > s s : d d s d : قضيه پيچش Cooo Tho

30 فرض کنيد و g در يک فاصله پيوسته تکه ای متناھی و انتگرالپذير باشند داريم: { * g} { } { g}. > > os d os d os d os d > > مثال- انتگرال فوريه تابع زير را بيابيد: s os

31 s d s d os s s d s d تمرين: برابر L- است. s < < ثابت کنيد حاصل جمع سری نشان دھي د ھ ر ت ابع را م ی ت وان بص ورت حاص ل جم ع ي ک ت ابع ف رد وي ک ت ابع زوج نوشت: نشان دھيد ضرايب بسط سری نم ايی فوري ه ي ک ت ابع زوج اع داد حقيق ی و ي ک ت ابع ف رد اعداد موھومی است. بعالوه تمرينات کتاب

32 جلسه سوم:... معادالت با مشتقات جزيی: معادله ای که تابع و مشتقات آن در آن وجود داشته باشند ھمگن می گويند. مرتبه معادله به باالترين درجه مشتق موجود در آن معادله می گويند. معادله خطی معادله ای است که توان تابع و مشتقات آن يک و کمتر از يک باشند. قضيه: در يک معادله ھمگن خطی با جوابھای و ترکيب خطی جوابھا نيز يک جواب است: : spos فرم کلی معادالت خطی مرتبه دو عبارتست از: A B C D E ABCDE توابعی از و اند. معادله فوق در صورتی ھمگن است که داشته باشيم: AC B > < Po Ep Hpo معادله موج يک بعدی معادله حرارت يک بعدی معادله الپالس دو بعدی معادله الپالس سه بعدی

33 تاکيد درس روی سه معادله اول می باشد. مثال ھايی از معادالت با مشتقات جزيی: معادله پواسان دو بعدی : : : : 5: 6: 7: 8: g g os g s g حل مساله موج در فضای يک بعدی يا نخ مرتعش Sg Vg نخی بطول L با دو انتھای ثابت از وضع تعادل خارج ساخته و ارتعاشات آن را مطا لعه می کنيم: نخ کشسان است و جرم نخ در واحد طول ثاب ت و ني روی کش ش کوچ ک اس ت. ارتع اش بص ورت عرضی و در يک صفحه و در امتداد قائم انجام می شود و نخ حرکت افقی ندارد. طول ھر نقطه از نخ را با و زمان حرکت را با نشان م ی دھ يم. U ک ه ت ابعی از ط ول نقطه و زمان است نشاندھنده ارتفاع يک نقطه از ن خ اس ت. دو نقط ه ب ا فاص له از ھ م را در نظر می گيريم: محل شکل

34 T os β T osα T T sβ sα T نيروی محرکه در امتداد قائم بر اثر کشش نيروی وزن P T s β T sα P نيروی محرکه نخ که سبب حرکت می شود با توجه به قانون دوم نيوتن می توان نوشت: T β s T s α P ρ با تقسيم طرفين بر T خواھيم داشت:

35 : T T P T T P T T p ρ ρ α β ρ α β رب ميسقت اب T ρ نتفرگ رظن رد و ρ T :ميراد ρ P رگا و خن هيلوا تيعقوم g طاقن رد خن نوچ نينچمھ و دشاب خن هيلوا تعرس Lو :تشون ناوت یم تسا تباث g :مينک یم لح ار هلاسم نيا لاح > < < g

36 :مينک یم هدافتسا یبرض شور اي اھريغتم کيکفت شور زا لح یارب && && && && && :ميريگ یم رظن رد تلاح هس : یھيدب ريغ باوج sh sh osh : : ± > o µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ یھيدب ريغ باوج :دشاب یم موس تلاح رد باوج اھنت سپ

37 s os s s s s s os : s B A B p p p B p B A p B p A p p λ λ λ λ λ < && && && A B B B λ λ s s os :تشون ناوت یم s s os λ λ s عبات یسونيس طسب :نياربانب d s

38 :نينچمھ و s g g λ یسونيس طسب عبات g :نياربانب d g d g s s λ λ :لاثم L لو ط ه ب یخن طسو عا فترا ه ب ار م يا هتخا س شيا ھر و هدر ب لاا ب. ر ب ینا کم ر ييغت ه لداعم.ديروآ تسدب ارنآ هطقن رھ رد خن نيا نامز بسح < < < < تسا رفص شاعترا هيلوا تعرس

39 s os s 8 s 8 s d λ :سرد همادا :ميدرگ یم ريز تاصخشم هب یعبات لابندب شاعترا هلئسم یارب q p V V V.دشاب یم یدايز یاھباوج یاراد هلئسم :تسا رظن دم باوج کي یلو ] [ p q p q q p p :نياربانب V p p q V p p q V p p q ] [ ] [ && && &&

40 & V q p p V q&& && p & p V && && V با استفاده از دو معادله فوق ميتوان نوشت: اگر در نظر بگيريم که: V V بنابراين می توان نوشت: چون q& && p & p داريم شرط اول در صورت مسئله ذکر شده : V [ q p] p V اگر در نظر بگيريم [ q p] p داريم شرط دوم g در صورت مسئله ذکر شده : V [ q& p& ] p& g V اگر در نظر بگيريم g g g [ q& p& ] p& بنابراين برای V داريم : V V < < >

41 V V g V V :ميريگ یم رظن رد ريز عبات تروصب ار باوج s V :لوا هطبار رد نداد رارق اب λ λ s && d s λ && spos p s os * λ λ V λ λ s * s os *s V

42 *s g V λ d s * d g s * [ λ & -لاثم V نييعت لاثم نيا رد فدھ دشاب یم > < < V V V V V V V

43 V V V V V V V زا تسترابع باوج : V s s && os s d & & s os V s s os s s d V

44 V V s s d s s os :مراھچ هسلج :جوم هلئسم ربملااد لح > < < ريغتم رييغت

45 ] [ ] [ : d h h ψ ψ یراذگياج اب * * ψ ψ ψ ψ ψ هطبار ود عمج اب * :ميراد هطبار ود قيرفت اب * :ميراد ψ :نياربانب ] [ ] [ ] [ α α :رخآ هطبار حيضوت

46 : α α α ینعي L بوا نت هرود ا ب در ف یعبات نو چ و ت سا هل صاف رد هد ش ف يرعت درف شرتسگ دياب عبات نيا تسا :ميراد ینعي دشاب [ ] * * :دروآ تسدب ناوت یم زين هيروف یرس تروصب ار هلئسم نيا باوج d s s os λ دنتسھ یکي مھ اب باوج ود رھ هک ميھد یم ناشن لاح : s s s os s os λ [ ] s s * * درف شرتسگ

47 :امرگ هلئسم < < q p رد و دو ش ی م ما جنا ه ليم لو ط رد ترار ح لا قتنا ت سا ت باث نآ تماخ ض و ت سا ن گمھ ه ليم ت سا هد ش شو پ قيا ع یبنا ج حوط س رد ه ليم و ميراد ن ترار ح لا قتنا نآ حط س. ه جرد ترار ح ب يترت ه ب ه ليم ر س ود یا ھ ترار ح ه جرد و ه ليم ه يلوا p qو د شاب ت قونآ دوب دھاوخ تسرد هدش هتشون تلاداعم. هک ميريگ یم رظن رد یروط ار V و VL ینعي دنشاب رفص ربارب : p p q نياربانب : < < p p q

48 s p p q لاثم لح هحفص باتک 97 : یھانتم ان لوط اب هليم کي یارب ترارح لاقتنا هلئسم لح : < < & & زا لقتسم : ق ق غ : µ µ µ > د باي ی م شياز فا ز ين ترار ح هجرد نامز شيازفا اب ینعي. ه لداعم ن يا رد ترار ح ه ک یيا جنآ زا ني نچ ما سجا صاو خ هب هجوت اب نوچ تسين لوبق لباق نياربانب درادن شيازفا رد یتيدودحم چيھ تسا ماجنا لباق ريغ یا هلئسم. : < &

49 ] s os [ s os d d d d d s os ] s os [ ] s os [ -لاثم >

50 s os s os s s os s os d d d

51 : مجنپ هسلج یدعب ود یاضف رد جوم هلئسم : Q H Q H K K K g > < < < < && && &&

52 H H H H H H Q Q :هک تسا باوج یاراد یتقو s... ± ± ± Q Q Q Q H تسا باوج یاراد یتقو :هک Q Q H H Q Q Q H H HQ HQ QH

53 Q s ± ± ±... && با فرض λ && λ osλ osλ osλ sλ sλ s s s λ s s و را با يد طوری پيدا کنيم که در شرايط دوگانه صدق کنند.

54 d d g g d d s s s s s s s s λ λ 6هحفص -6لاثم رفص هيلوا تعرس رفص هيلوا تعرس s s

55 s s s s s s s s d d d d 6 λ.دومن لح ار یدعب هس جوم و امرگ و یدعب ود یامرگ لئاسم ناوت یم هسورپ نيا زا هد افتسا اب

56 :یبطق تاصتخم رد سلاپلا هلداعم * هلد اعم رد نداد رارق اب :ميراد یزاس هداس اب و * s os

57 :ميراد یلصا هلد اعم رد ندادرارق اب :یا هناوتسا تاصتخم رد سلاپلا هلد اعم هلداعم :یورک تاصتخم رد سلاپلا s o os s s s os نيرمت ناونعب : o

58 :ميھد یم ناشن لاثم کي اب ار سلاپلا هلداعم لح شور V V V V V V V V V V V V os os os

59 V V V V V V V V os s s os q q p V V V V V q بيرض رد دريگ یم رارق : d V s s s

60 B A s s B A V B A V s d B A B A V os s s os d B A هبساحم زا سپ A B V اجنآ زا و هدش صخشم.ديآ یم تسدب :ردناژل هلداعم یعيبط ددع ردناژل هلداعم

61 odd M M M p : :!!!!...!!!!!! p p p p p p رد ردناژل عباوت هلابند دماعت تيصاخ d p p تشون ناوت یم : p رد نيفرط برض اب p هلصاف رد یريگلارگتنا و ميراد : d p

62 d p لسب هلداعم : تروصب هلداعم رھ تسا یقيقح ددع هبترم زا لسب هلداعم ما یاھباوج یطخ لقتسم : Γ! J Γ! J Γ d α α تسا اماگ عبات.! Γ Γ Γ α α α رگا دشاب یحيحص ددع باوج ود و J J - :ميراد و هدوب یطخ هتسباو J J...!!! 6 6 J

63 ...!!!!!! J V تلاح رد ني کت هطقن کي رفص و تسا یمتيراگل هلمج کي یاراد لسب هلداعم مود باوج تسا نآ α α α α α J { } رگا α ه لداعم یاھباوج زا هاوخلد هلابند کي J د شاب { } J α هل صاف رد R تباث ددع رھ ات رفص عبات هب تبسن نزو دندماعتم. R J R d J J α α α تشون مرفص هبترم لسب عباوت زا یرس کي تروصب ناوت یم ار یعبات رھ : J α R d J J R α α R d J J R α α

64 : هرک کي رد سلاپلا هلئسم لح s s s و تسا ليسن اتپ هلئسم هب.درادن یگتسب s s s s s s s s d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d

65 d d d d os s s d d d d d d d d در معادله دوم: معادله لژاندر P چند جمله ای درجه ام لژاندر p os معادله اويلر برای داخل کره : اگر مخالف صفر باشد يعنی در مرکز کره بی نھايت است و اين غير قابل قبول است. p os

66 os os os d P g R g p R g p R هرک جراخ یارب : رگا ینعي دشاب رفص فلاخم.تسا لوبق لباق ريغ نيا و تسا تياھن یب تياھن یب رد os os d P g R p R R R p

67 حل مسئله ارتعاش يک ناحيه دايروی : ارتعاش روی محيط دايره نداريم ارتعاش اوليه وسرعت اوليه ارتعاش معلوم است ارتعاش بصورت شعاعیازمرکز تا محيطانجام می شود چون تابع ارتعاش بستگی به ندارد g R && && && بسل مرتبه صفرم s

68 ds d s ds d ds d ds d d ds ds d d d مرفص هبترم لسب - باوج J s : R R J R J s J R یاھ هشير ربارب دياب J دشاب... R α s os s os R J R R J α λ λ λ λ α λ λ α &&

69 R d R J g RJ g R J R d R J J R R J α α α α λ α α α سلاپلا و هيروف تلايدبت کمک هب یئزج تاقتشم اب تلاداعم لئاسم لح : { } s... s s s d s { } os... os d { } { } s s { } { }

70 اعداد مختلط : R I os s os s os s os s { } ; < ε N ε تعريف ھمسايگی : ε نقطه کرانه ای نقطه خارجی نقطه داخلی مجموعه D را مجموعه باز می نامند ھرگاه تمام آن نقاط داخلی باشد. مجموعه D را مجموعه بسته می نامند ھرگاه شامل نقاط مرزی خود باشد. مجموعه D را مجموعه ساده می نامند ھرگاه مرز خود را قطع نکند. مجموعه D را مجموعه ھمبند می نامند ھرگاه بتوان دو نقطه از آن را با بک خط شکسته به ھم وصل کرد و کليه نقاط اين خط شکسته واقع در مجموعه باشد.

71 تابع مختلط اگر D يک مجموعه باز و ھمبند باشد و D ازای ھر Z دو W وجود نداشته باشد W را تابعی از Z می ناميم. آنگاه اگر به ε > δ > g g g g < δ تعريف حد درتوابع مختلط : g < ε تعريف مشتق : تابع W در نقطه مشتق باشد. در صورتی تحليلی است که تابع در ي ک ھمس ايگی از دارای تابع W در صورتی تام است که در کليه نقاط صفحه Z تحليلی باشد.

72 قضيه : شرايط معادالت کشی ريمان اگر تابع در نقطه دارای مشتق باشد آنگاه : قضيه : اگر در معادالت کشی ريمان صدق کند و در يک ھمسايگی از پيوسته و با مشتقات جزئی پيوسته باشد آنگاه ' موجود و برابر است با : معادالت کشی ريمن در مختصات قطبی : مثالھای صفحه 59 تابع ھمساز : ت ابع پيوس ته را ت ابع ھمس از نامن د ھرگ اه مش تقات جزئ ی اول و دوم پيوس ته ب وده و در معادله الپالس صدق کند. اگر تابعی تحليلی در نقطه Z باشد آنگاه و توابعی ھمساز ھستند.

73 رگا دشاب یليلحت زاسمھ جودزم ار.ميمان یم -لاثم : h h h h

74 :ربملااد شور زا نيرمت کي لح دنشاب رفص یا هنارک طيارش و یناث فرط یتسياب ربملااد شور رد ضرف 8 8 و ميروآ یم تسدب هلداعم طيارش زا ار :

75 g g g T h T Z ZT ψ ψ ψ ψ ψ d d T T ψ d d g ψ ψ ψ

76 [ ] [ ] [ ] [ ] تسا درف عبات عبات جوز تسا [ ] [ ] بوانتم عبات بوانتم عبات نوچ بوانتم اذل تسا درف و * مينک یم نآ نيشناج ار درف شرتسگ. نوچ بوانتم اذل تسا جوز و * یم نآ نيشناج ار جوز شرتسگ مينک. d s s * d os 8 os * [ ] [ ] * * * *

77 : ربملااد شور زا رگيد نيرمت کي لح ضرف و ميروآ یم تسدب هلداعم طيارش زا ار : g

78 g g T h T Z ZT ψ ψ ψ ψ ψ d d T T ψ d d g لبق لاثم رارکت d s s * d os os * [ ] [ ] * * * * هحفص 5 هلئسم دوش لح 9

79 هحفص 5 هلئسم 9 : s > < < d 6 * d d d s 6 6 s s 6 6 s * 6 s s 6 s 6 6 s s 6 6 s s 6 6 s

80 s 6 s 6 6 s 6 6 s یئزج شور & & p p s s s s && && &&

81 6 s s && s os s s 6 s d & & s && ± && E B A p p s s os s s s E E E B A s s os

82 A B os s s s A : : sh s تمرين : - اگر تابع زير ھمساز است مزدوج ھمساز آنرا بدست آوريد : اگر مزدوج ھمساز از حوزه D باشد آنگاه يک مزدوج ھمساز در D است و بالعکس. چون در D تحليلی است اگر و فقط اگر - در D تحليلی باشد. تمرين : - نشان دھيد اگر در حوزه ای يک مزدوج ھمساز و يک مزدوج ھمساز باشد آنگاه و بايد توابع ثابتی باشند. تمرين : - با توجه به معادله الپالس در مختصات قطبی نش ان دھي د ک ه ت ابع Log در ح وزه << و < ھمس از اس ت. س پس ي ک مزدوج ھمساز را پيدا کنيد. جواب :

83 توابع مقدماتی os s تابع نمايی d d s s os توابع مثلثاتی os s os s s os s s osh os sh os os osh s sh sh مثال os osh s توابع ھذلولی گون

84 osh sh os sh osh s sh sh s sh os osh osh s osh os sh sh osh os sh s os osh s sh osh osh sh sh sh sh osh osh osh sh osh osh sh sh یمتيراگل عبات g og og طلتخم دادعا هلابند و اھ تشاگن os sh osh s sh sh s sh os osh osh s osh os sh sh g s os s os ρ ρ

85 به ازای ھر عدد مختلط يعنی تحت تبديل نقطه نمی تواند تصوير ھيچ نقطه ای در صفحه برد تابع نمايی تمام صفحه مختلط است به استثنای مبدا. از آنجايی که می توان نوشت: باش د ي ا s s os os [ os s ] os s درواقع يک تابع چند مقداری يا تابع متناوب با دوره تناوب يک عدد موھومی محض α α تم رين : ف رض کني د ت ابع کنيد چرا توابع در ي ک ح وزه D تحليل ی باش د.بي ان U V os[ ] s[ ] U است. V درD ھمسازند و چرا در واقع يک مزدوج ھمساز تابع لگاريتمی

86 og og Θ og og Θ ± ± K نگاشت بوسيله توابع مقدماتی ابتدا سه مثال حل می شود: - انتقال ناحيه به اندازه يک واحد به سمت راست

87 g g ρ ρ ρ نيربانب هزادنا هب طقف.دھد یم نارود نياربانب.تسا یقيقح روحم هب تبسن یا هيحان رھ هتفاي ساکعنا یطخ عباوت.دباي یم لاقتنا صاخ رادرب کي تحت طقف هيحان ليدبت نيا قبط β ρ β β B B

88 B اگر طبق اين تبديل ناحيه ابتدا حول مبدا به اندازه βدوران g B يافته و سپس يک انبس اط ي ا انقباض با ضريب B انجام می شود. برابر يک باشد اين تبديل فقط يک دوران است و اگر B و ھم تغيير مقياس را شامل می شود. باشد اين تبديل ھم دوران بنابراين اين تبديل يک دوران و يک انبساط يا انقباض و سپس يک انتقال می باشد. B مثال با تبديل ناحيه مستطيلی زير Z Z - دوران به اندازه وانبساطی با ضريب - انتقال با بردار

89 تابع اين تبديل يک تناظر يک به يک بين نقاط نا صفر برقرار می کند.. Z Z g gz g g Z. انعکاس نسبت به دايره g g g يعنی نقاط خارج دايره صفر داخل دايره بر روی نقاط نا صفر داخل آن نگاشته می شود و نقاط بر روی نقاط خارج آن نگاشته می شود. و البته ھر نقطه روی دايره بر روی خود ھمان دايره می باشد. اولين تبديل فقط يک انعکاس نسبت به محور حقيقی است. نا

90 تبديل نقطه صفر نقطه بی نھايت و تبديل نقطه بی نھايت نقطه صفر می باشد. يعنی در اين تبديل آرگومان قرينه و قدرمطلق اندازه معکوس می شود. يا به عبارت ديگر اين تبديل يک انعکاس دايره ای نسبت به دايره واح د و ي ک انعک اس آين ه ای نسبت به خط افق انجام می دھد.

91 هرياد d یراذگياج اب d d ديآ یم دوجوب تلاح راھچ :

92 - d رام ريغ هرياد کي هب تاصتخم ادبم رب رام ريغ هرياد رھ تاصتخم ادبم رب - d رام ريغ طخ کي هب تاصتخم ادبم رب هدنرذگ هرياد رھ تاصتخم ادبم رب - d رام هرياد کي هب تاصتخم ادبم رب رام ريغ تسار طخ رھ ادبم رب - d ادبم رب رام تسار طخ کي هب ادبم رب رام تسار طخ رھ.دوش یم هتشاگن :لاثم d d d V روحم رب ادبم رد هک یا هرياد.تسا سامم عاعش زکرم

93 دايره ای که در مبدا بر محور U مماس می شود. شعاع مرکز

94 > > > تصوير نيم صفحه ناحيه < يا مثال : تبديل ناحيه نيم صفحه > جواب تحت تبديل را بدست آوريد. >

95 < < < < < > مثال : تصوير نوار نيم متناھی جواب تحت تبديل را بدست آوريد. < < مثال : نشان دھيد تصوير تصوير چيست تحت تبديل داخل يک دايره است و اگر > > مثال : نشان دھيد تصوير نيم صفحه تحت تبديل داخل يک دايره است. > > مثال : تصوير ربع صفحه را تحت تبديل بدست آوريد. < < مثال : نشان دھيد تبديل تصوير نوار نيم متناھی دايره و خط را به دايره و خط تبديل می کند و پس از آن ρ ρ os را بدست آوريد تبديل خطی کسری

96 d d یرسک طخ ليدبت ليدبت سويبوم یطخ ود ليدبت یطخ ليدبت I I R Z Q P W d d d d d d d d. طرش d.دشاب دوجوم دياب یطخ ود ليدبت W d Z W d Z d D C B A

97 زيامتم و ضورفم هطقن هس هک تسا دوجوم یرسک یطخ ليدبت کي طقف ار زيامتم و صخشم هطقن هس یور رب بيترت هب یم.دراگن رگا دشاب تياھن یب هب ار و تروص رد اھرسک نتشادرب زا دعب سپس و ليدبت جرخم.ميھد رارق سيدمھ تشاگن هگن تباث ار هيواز هک یتشاگن.دوش یم هديمان سيدمھ دراد تھج ظفح اب رد سيدمھ تشاگن

98 دشاب کينومراھ یعبات رگا دشاب سيدمھ ليدبت ینعي هلداعم رد ینعي دشاب زين زاسمھ و تسا زاسمھ زين نآ ريوصت دنک قدص سلاپلا دنک یم قدص سلاپلا رد ینعي تشاگن ρ ρ

99 طخ یلولذھ طخ یلولذھ ρ ρ تشاگن تسا سيدمھ هرياد یعاعش طخ یعاعش طوطخ و هرياد ود نيب هيحان s ' os s os d d ρ ρ d d ρ Rg Zo

100

101 ليدبت s sh os osh s sh os osh s s os s sh os osh s < < یاھ نوناک

102

103 s osh osh sh ossh

104 نگاشت os

105 os s Z sz نگاشت sh sh Z W sh s sz W نگاشت لگاريتم يک تابع متناوب است. در ساير نقاط شرط ھای کشی ريمان صدق می کند و فقط اين تابع روی خط تحليلی نيست. انتگرالگيری از توابع مختلط I d انتگرالگيری روی خط:

106

107 I d d I d OA d AB d OA: AB: I d d 8 d d I I OABO I I علت اين مساله تحليلی بودن تابع روی مرز و داخل مرز می باشد. مثال d d d d d

108 d d مثال مثال دايره d d d d d d ' قضيه انتگرال کشی ھرگاه بر ناحيه ای ھم بند و ساده تحليلی و مسير بسته مثلثاتی C واقع در ناحيه انتگرال برابر صفر است پيوسته باشد آنگاه به ازای ھر d ھمچنين ھرگاه در ناحيه ای به جز يک سری نقاط خاص تحليلی باشد می توان نوشت d d d

109 البته اين قضيه را به اينصورت نيز می توان بيان نمود:

110 d d يعنی می توان بين دو نقطه دو مسير تعريف نمود و گفت: چون يک مسير بسته را تشکيل می دھند : d d d d d

111 قضيه سه فرمول انتگرال کشی d در اين قضيه در مرزC تحليلی است. C مسيری در جھت مثلثاتی مثال B d

112 d d راھچ هيضق یشک لارگتنا لومرف I d d os s s os s s os s os os os...! '

113 ! os! I d هدش هداد ناشن یا هرياد ريسم ود یور یاھ لارگتنا نييعت تسا بولطم : d I d d d I

114 I d راه يگر استفاده از قضيه انتگرال کشی d I 9 d I 9 5 قضيه مانده ھا :

115 ... اگر آنگاه می توان نوشت : بر مرز C تحليلی ودر درون آن به جز در نقاط تحليلی باشد Rs... d سری لوران : Rs: s s s s ds ds d مثال d

116 لوح روليت طسب زا هدافتسا اب لاثم d دشاب هداس بطق رگا : h g h g ' لاثم!

117 دو عبارت ديگر در صفر تحليلی اند يعنی فقط سری تيلور دارند و ضرايب با توان منفی آنھا صفر است Rs Rs Rs برای دو عبارت ديگر نيز چنين توضيحی وجود دارد. اگر قطب ساده نباشد قطب از درجه N باشد برای بدست آوردن مانده ابتدا در ضرب کرده و -N بار مشتق می گيريم و بعد N! - در ضرب کرده و بعد قرار می دھيم. d d مثال N در مانده را می خواھيم Rs '!

118 چگونگی تشخيص مرتبه قطب مخرج و مشتق ھای تابع تا N در نمی شود قطب از مرتبه N ام است. مثال تابع در نقطه صفر دارای قطب مرتبه اول است. صفر می شوند مشتق N ام در صفر s s d مخرج در صفر صفر است و مشتق اول مخرج در صفر صفر نيست بنابراين s قطب از مرتبه اول است. Rs s s d d? s تمرين : قطب از درجه ابتدا در ضرب کرده و يکبار مشتق گرفته و قرار می دھيم.

119 لاثم 6 d d d d d d d I < < os s d d

120 s os d I لاثم os 7 os d d d d و رفص لوا هبترم بطق ود : رد ار Z یاجب و هدرک برض ميھد یم رارق

121 را در Z ضرب کرده و بجای Z صفر می گذاريم 7 5 : مثال d s < < g d g چند جمله ای باشند و درجه مخرج الاقل برابر درجه صورت بعالوه دو باشد و مخرج ريشه حقيقی نداشته باشد. نيم دايره ای در نظر می گيريم که تمام قطب ھای باالی سر صفحه داخل آن باشند.

122 R R g d d Rs d R s g باالی محور حقيقی R را به بی نھايت ميل می دھيم باالی محور حقيقی Z در نيم صفحه فوقانی است مثال چون تابع زوج است

123 s os s os o: d d d X روحم یلااب رد قوف هشير راھچ زا هشير ود.دنراد رارق اھ Rs R d d s

124 اتگرال ھای نوع بعدی g osαd g sαd? α > وشرايط نوع انتگرال ھای قبلی g α d Rs g α Z باالی محور X ھا اگر α منفی باشد با يک تغيير متغير می توان مساله را حل کرد α sα os α osα s مثال os d d ± ± Rs 6

125 s os 6 6 R d d d s s 6 os 8 d d نيرمت s os d d هحفص یاھ نيرمت 88و8و8 ليچرچ باتک

126 جلسه آخر ارايه چند تمرين d? s قطب از درجه دو است چون مخرج و مشتق اول مخرج در صفر صفر است. s os os os s بنابراين بايد در ضرب کرده و يکبار مشتق بگيريم : ' s os s ' s s مثال

127 d I I d d d d d

128 I d d I I ds d I ds osh os d d d d

129 لاثم p p d p p p d p p d < < os

130 : os Rs pos d p p p p p d p p p p p p p p pos sp p p d < < < >

131 s Rs Rs ' ' I o d d I

132 > 8 s 5 s os os 5 os os d d d d d

133 os s os os os 9 8 os 5 5 os 6 os 8 6 d d d d d d d d d d d α α