Η φάση παίζει σπουδαίο ρόλο!

ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Μαθήµατα Οπτικής 5. Συµβολή Η φάση παίζει σπουδαίο ρόλο! Φαινόµενα συµβολής εµφανίζονται όταν συναντηθούν τουλάχιστο δύο κύµατα, και το αποτέλεσµα είναι η συνολική κύµανση να είναι διαφορετική από το άθροισµα των επιµέρους φωτεινών εντάσεων. Στο φαινόµενο αυτό καθοριστικό ρόλο παίζει η παράµετρος φάση του κύµατος, που είναι το εσωτερικό ρολόι κάθε κυµατικής διαταραχής. Το πόσο συγχρονισµένα είναι δύο κύµατα εκφράζεται από το αν µπορούµε να καθορίσουµε για µια ελεγχόµενη, σταθερή διαφορά µεταξύ των εσωτερικών τους ρολογιών. Αν αυτό είναι εφικτό, τότε τα δύο κύµατα που είναι συγχρονισµένα λέγονται σύµφωνα για να έχουµε συµβολή απαιτείται να βρεθούν ταυτόχρονα και στον ίδιο χώρο δύο σύµφωνα κύµατα. Ιστορικά, η µελέτη των φαινοµένων συµβολής αποτέλεσε πεδίο σύγκρουσης και λόγο αναθεώρησης των θεωρήσεών µας για το φως. Η για χρόνια επικρατούσα σωµατιδιακή θεωρία του Isaac Newton εξηγούσε µε πολύ απλό τρόπο τα φαινόµενα της Γεωµετρικής Οπτικής. Είναι χαρακτηριστικό ότι και ο ίδιος ο Newton είχε ανακαλύψει ένα φαινόµενο συµβολής, παρατηρώντας ότι αν φωτίσει από την επίπεδη πλευρά του ένα επιπεδόκυρτο φακό του οποίου η καµπύλη επιφάνεια εφάπτεται µε ένα επίπεδο γυαλί παρατηρούνται κυκλικές περιοδικές εναλλαγές φωτεινών και σκοτεινών κροσσών. Η πίστη του Newton στη σωµατιδιακή θεωρία ήταν τόσο δυνατή που, προσπαθώντας να εξηγήσει τους δακτυλίους του, επινόησε -χωρίς αυτό να αποδειχθεί- περιοδικές εναλλαγές στα σωµατίδιά του που εναλλακτικά εκπέµπουν φως. Η συνεισφορά του Thomas Young στην κατανόηση του φαινοµένου, µε το γνωστό πείραµα κατά το οποίο φως από δύο οπές συµβάλλει σε µια οθόνη απέναντι από αυτές, είναι αδιαµφισβήτητη. Η λυδία λίθος ήταν η διερεύνηση της παραµέτρου φάση, και κατά συνέπεια της έννοιας των σύµφωνων κυµάτων. Οι εντάσεις δύο πεδίων σε κάθε σηµείο του χώρου προστίθενται ανάλογα µε τη φάση τους. Μπορούµε να συναντήσουµε σε κάθε µορφή κύµατος, µε κατάλληλες προϋποθέσεις, φαινόµενα συµβολής. Αν ρίξουµε ταυτόχρονα δύο πετραδάκια στη θάλασσα θα παρατηρήσουµε ότι σε κάθε σηµείο που συναντώνται οι διαδιδόµενες επιφανειακές διαταραχές η συνάντησή τους παράγει ριπές όπου η διαταραχή µηδενίζεται ή διπλασιάζεται περιοδικά είναι οι κροσσοί συµβολής. Τα φαινόµενα συµβολής του φωτός στη φύση είναι πάρα πολλά: τα χρώµατα που εµφανίζονται τόσο στο εσωτερικό κέλυφος σε πολλά ιριδίζοντα κοχύλια όσο και στις κηλίδες λαδιού στο δρόµο µετά από βροχή οφείλονται σε πολλαπλή συµβολή φωτός από λεπτά υµένια. Αν παρατηρήσουµε ένα από τα νέα χαρτονοµίσµατα ( 50,

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ 100 και άνω) υπό γωνία, ο αριθµός της αξίας στην πίσω όψη αλλάζει χρώµα από µωβ σε λαδί ή καφέ. Σε ορισµένα άλλα ( 0) εµφανίζεται µια ιριδίζουσα λωρίδα, πάνω στην οποία απεικονίζεται η αξία και το σύµβολο του νοµίσµατος. Είναι κι αυτό µια από τις πολλές εφαρµογές της συµβολής στην καθηµερινή µας εµπειρία. Στο κεφάλαιο αυτό θα διερευνήσουµε θεωρητικά το φαινόµενο, και θα εξετάσουµε τα κύρια φαινόµενα που αναδεικνύουν το φαινόµενο και αρκετές από τις εφαρµογές στη φύση αλλά και στην οπτική τράπεζα. 5.1. Προσθέσεις Φωτός που ίνουν Σκότος Παρατηρούµε την περιοχή που συναντώνται τα δύο κύµατα επιφανείας. Στην περιοχή που τα δύο κύµατα συναντώνται, εµφανίζονται περιοχές όπου η διαταραχή παρουσιάζει επιπλέον διακυµάνσεις από αυτές που αντιστοιχούν στα δύο ανεξάρτητα κύµατα: µηδενίζεται ή διπλασιάζεται περιοδικά. Για να έχουµε συµβολή (interference) πρέπει να υπάρχει ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσότερων κυµάτων στην ίδια περιοχή ενός ελαστικού µέσου. Από µόνη της, αυτή η συνύπαρξη δεν αρκεί για να εµφανιστούν φαινόµενα συµβολής πρέπει να τηρούνται κάποιες προϋποθέσεις, τις οποίες θα εξετάσουµε. Σχήµα 5-1-1 : Φαινόµενα συµβολής σε κύµατα επιφανείας. Στο πείραµα των δύο οπών του Thomas Young, ( 5.), προκύπτουν από τη συνάντηση δύο φωτεινών κυµάτων περιοχές µε µηδενική φωτεινή ένταση και δίπλα τους περιοχές µε έντονη φωτεινότητα. ηλαδή είναι δυνατό να προκύψει σκότος από προσθέσεις φωτός. Πώς παράγονται αυτοί οι κροσσοί συµβολής ; Πώς γίνεται από την αλληλεπίδραση δύο κυµάτων να προκύψει µηδενική διαταραχή; Θα ανατρέξουµε για βοήθεια στην κυµατική θεωρία ( 1..4.). Για να υπολογίσουµε το µέγεθος του νέου κύµατος, της συνιστάµενης διαταραχής δηλαδή, θα χρησιµοποιήσουµε την αρχή της γραµµικής επαλληλίας (linear superposition), διατυπώθηκε αρχικά από τον Augustine Jean Fresnel το 180 : Αρχή του Fresnel Μπορούµε να υπολογίσουµε το µέτρο του πεδίου του συνιστάµενου κύµατος στο χώρο αν προσθέσουµε τα πεδία όλων των δευτερευόντων κυµάτων λαµβάνοντας υπ όψη τις σχετικές τους φάσεις. Σελίδα 5.

ΣΥΜΒΟΛΗ Το συνιστάµενο πεδίο ενός φωτεινού κύµατος E στο χώρο όπου συνυπάρχουν δύο ή και περισσότερα φωτεινά κύµατα µε πεδία E1, E... δίνεται από τη σχέση : Αρχή Γραµµικής Επαλληλίας : E= E1+ E +..., σε κάθε σηµείο. (5.1.1) Για την αρχή της γραµµικής επαλληλίας µπορούµε να παρατηρήσουµε τα εξής : Το συνιστάµενο κύµα είναι και αυτό ένα κύµα και υπακούει στην αντίστοιχη κυµατική εξίσωση. Τα κύµατα, αν και συµβάλλουν, δεν αλληλεπιδρούν µεταξύ τους, δηλαδή διαδίδονται σα να µην υπήρχε το άλλο. Η συνεισφορά κάθε κύµατος στη συνιστάµενη διαταραχή σε κάθε σηµείο είναι ανεξάρτητη από το άλλο κύµα. Η συνιστάµενη διαταραχή σε κάθε σηµείο του χώρου είναι το διανυσµατικό άθροισµα των πεδίων που θα υπήρχαν αν οι δύο κυµάνσεις διαδίδονταν ξεχωριστά. Τονίζουµε ότι όταν έχουµε συµβολή δεν ισχύει αρχή επαλληλίας για τις φωτεινές εντάσεις (και αντίστροφα): η φωτεινή ένταση δεν προκύπτει από πρόσθεση των αντίστοιχων εντάσεων. Το πώς ακριβώς προκύπτει η φωτεινή ένταση θα το δούµε στη συνέχεια. Σηµείωση 1: Η αρχή της γραµµικής επαλληλίας ισχύει τόσο για τα ηλεκτρικά και όσο και τα µαγνητικά πεδία, και είναι άµεση συνέπεια της γραµµικότητας των εξισώσεων της Ηλεκτροδυναµικής του Maxwell. Μιλώντας για διαταραχή σε ένα φωτεινό κύµα χρησιµοποιούµε το ηλεκτρικό πεδίο, αν και τίποτε δεν απαγορεύει τη χρήση του µαγνητικού πεδίου. Έτσι, σε ό,τι αφορά στα φαινόµενα της συµβολής, θα περιοριστούµε στο να περιγράψουµε το ηλεκτρικό πεδίο. Ασφαλώς, στα ίδια συµπεράσµατα θα καταλήγαµε αν περιγράφαµε µόνο το µαγνητικό πεδίο. Σηµείωση : H αρχή της επαλληλίας παραβιάζεται µόνο όταν τα κύµατα είναι τόσο ισχυρά ώστε να µεταβάλλουν τις ιδιότητες του µέσου στο οποίο διαδίδονται. Είναι η περιοχή εφαρµογής της µη γραµµικής οπτικής. Θα ασχοληθούµε µόνο µε περιπτώσεις που ισχύει η αρχή της επαλληλίας. Αν προσθέσουµε τα κύµατα ίσου πλάτους του σχήµατος 5-1-α τότε θα προκύψει µια διαταραχή µε διπλάσιο πλάτος: είναι η περίπτωση της θετικής ή ενισχυτικής συµβολής (constructive interference). Ωστόσο, αν συµβάλλουν τα κύµατα ίσου πλάτους 5-1-β τότε η συνιστάµενη διαταραχή είναι µηδενικού πλάτους: είναι η περίπτωση της καταστροφικής ή αποσβεστικής συµβολής (destructive interference). Έτσι λοιπόν έχουµε ένα παράδειγµα όπου το αποτέλεσµα της πρόσθεσης δύο φωτεινών κυµάτων να είναι είτε µέγιστο είτε µηδενικό (γενικότερα, ελάχιστο). ηλαδή είναι δυνατό να προσθέσουµε φως µε φως και να εξαφανίζεται! Αυτό οφείλεται στον παράγοντα φάση: το εσωτερικό ρολόι της διαταραχής, που καθορίζει τη στιγµιαίο µέτρο της διαταραχής, που επαναλαµβάνεται κυκλικά µε το χρόνο - συχνότητα- και µε το χώρο -κυµατάνυσµα. Σελίδα 5.3

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Θα ασχοληθούµε µε επίπεδα αρµονικά κύµατα, όχι γιατί η επιπεδότητα και αρµονικότητα είναι από προϋποθέσεις συµβολής -κάθε άλλο- αλλά γιατί οι εκφράσεις µας απλοποιούνται αρκετά, και επιπλέον, κάθε φωτεινό κύµα, παλµός, κλπ, µπορεί να αναλυθεί σε µη πεπερασµένες αρµονικές συνιστώσες -είδαµε αρκετά τέτοια παραδείγµατα στα κεφάλαια Πόλωσης και ιασκεδασµού. Μαθηµατικά, η φάση είναι το όρισµα της τριγωνοµετρικής συνάρτησης που περιγράφει τη διαταραχή. Έτσι για τα δύο αρµονικά κύµατα : E1 E01 exp = i( ω1t k1 r+ ϕ1) και E E0 exp = i( ωt k r+ ϕ) (5.1.) η φάση τους θα είναι τα ορίσµατα ω1t k1 r + ϕ1 και ωt k r + ϕ, αντίστοιχα. Τα κύµατα αυτά θα έχουν διαφορά φάσης : ϕ = ω ω t k k r + ϕ ϕ (5.1.3) διαφορά φάσης ( ) ( ) ( ) 1 1 1 Έτσι λοιπόν το αποτέλεσµα της πρόσθεσης δύο κυµάτων σε κάθε σηµείο του χώρου επηρεάζεται από τη φάση τους. Τα κύµατα (5-1-α) έχουν ίσα πλάτη και ακριβώς την ίδια φάση, έχουν δηλαδή σταθερή διαφορά φάσης 0. Στο σχήµα (5-1- β) τα κύµατα είναι όπως στο (α), έχουν ίσα πλάτη, αλλά το ένα είναι µετατοπισµένο κατά µισό µήκος κύµατος. Έχουν δηλαδή σταθερή διαφορά φάσης π, βρίσκονται σε αντίθεση φάσης. Στην πρώτη περίπτωση προκύπτει διαταραχή µε διπλάσιο πλάτος, ενώ στη δεύτερη το άθροισµα των εντάσεων δίνει διαταραχή µηδενικού πλάτους. Çë. Ðåäßï Çë. Ðåäßï Çë. Ðåäßï Çë. Ðåäßï Çë. Ðåäßï Çë. Ðåäßï Σχήµα 5-1- : Συµβολή κυµάνσεων σε φάση (α) και αντίθεση φάσης (β). Αυτό που παρατηρούµε µε κάθε µέσο παρατήρησης (µάτι, φωτονικό αισθητήρα, κλπ) είναι η φωτεινή ένταση ή λαµπρότητα ενός κύµατος, και µάλιστα η µέση χρονική της τιµή. Η φωτεινή λαµπρότητα ή ένταση Ι ενός φωτεινού κύµατος (luminant intensity) ορίζεται ως η µέση ενέργεια που εκπέµπεται από µια φωτεινή πηγή σε κάποια κατεύθυνση ανά µονάδα επιφανείας κάθετη στην κατεύθυνση αυτή (πλήρεις ορισµοί 1.., και Παράρτηµα 1.3.). Υπενθυµίζουµε ότι ένα φωτεινό κύµα µπορεί να πάλλεται µε πολύ µεγάλη συχνότητα (5 10 14 Hz). Σε κάθε σηµείο η ένταση του φωτεινού κύµατος είναι ανάλογη προς τη µέση χρονική τιµή του τετραγώνου του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο αυτό. Θα υπολογίσουµε την ένταση ενός φωτεινού κύµατος σε κάθε σηµείο του χώρου από τη σχέση (1..14) : Σελίδα 5.4

ΣΥΜΒΟΛΗ σχέση φωτεινής έντασης και έντασης ηλεκτρικού πεδίου I * E E (5.1.4) Έτσι για να βρούµε τη φωτεινή ένταση του συνιστάµενου κύµατος : 1. Βρίσκουµε το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο προσθέτοντας τα συνιστώντα πεδία. Υπολογίζουµε τη µέση χρονική τιµή του τετραγώνου του µέτρου, µε την (5.1.4). Συγκεκριµένα, για τα κύµατα της σχέσης (5.1.) θα έχουµε : I E + ΟΛ E E + E * * ( 1 ) ( 1 ) E + E + E E 01 0 01 0 + + + = = EE * ' * ( * * 1 1 EE EE 1 E1 E) expi ϕ + exp ( i ϕ ) = I I I I ( cosa cos ϕ ) + + (5.1.5) 1 1 Εδώ χρησιµοποιήσαµε τη διαφορά φάσης φ (5.1.3), και τις φωτεινές εντάσεις των επιµέρους κυµάτων που είναι : E01 E0 I1 E01, I E0 και II 1 (5.1.6) cos a όπου α είναι η γωνία που σχηµατίζουν τα διανύσµατα E 01 και 0. Έτσι η φωτεινή ένταση που προκύπτει όταν συµβάλλουν τα κύµατα της σχέσης (5.1.) διατυπώνεται : εξίσωση συµβολής : I I I I I ( cosa) ( cos ϕ ) = + + (5.1.7) 1 1 E ηλαδή η φωτεινή ένταση του κύµατος που προκύπτει δεν είναι ίση µε το αποτέλεσµα της πρόσθεσης των δύο φωτεινών εντάσεων, αλλά επηρεάζεται από τον τελευταίο όρο, που λέγεται παράγοντας συµβολής και από το µέγεθός του παράγοντα αυτού καθορίζεται το αν θα υπάρξουν ή όχι φαινόµενα συµβολής : παράγοντας συµβολής : II ( cosa) ( cos ϕ ) Θα ορίσουµε λοιπόν τη συµβολή φωτεινών κυµάτων ως : Συµβολή 1 (5.1.8) Συµβολή φωτεινών κυµάτων είναι η αλληλεπίδραση δύο ή περισσότερων φωτεινών κυµάτων που το αποτέλεσµά της έχει φωτεινή ένταση διαφορετική από το άθροισµα των φωτεινών εντάσεων των επί µέρους κυµάτων. Αρκεί όµως από µόνη της η συνύπαρξη δύο κυµάτων να προκαλέσει φαινόµενα συµβολής; Σίγουρα όχι. Πρέπει να ισχύουν κάποιες προϋποθέσεις. Μπορούµε να οδηγηθούµε στις συνθήκες αυτές µελετώντας το πότε µηδενίζεται ο παράγοντας συµβολής, γιατί φαινόµενα συµβολής εµφανίζονται µόνο όταν ο παράγοντας συµβολής είναι µη µηδενικός. Σελίδα 5.5

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ 5.1.1. Προϋποθέσεις Συµβολής Η πρώτη συνθήκη για να µην έχουµε µηδενισµό του παράγοντα συµβολής είναι να έχουµε τουλάχιστο δύο µη µηδενικής έντασης συµβάλλουσες δέσµες, δηλαδή Ι 1 0 και Ι 0. It takes two to tango. Αν έστω και µία είναι µηδέν τότε πολύ απλά δεν έχουµε συµβολή. Μία ακόµα περίπτωση µηδενισµού έχουµε όταν cosα =0, δηλαδή α=90 ο, όταν τα E 01και E 0 είναι κάθετα µεταξύ τους. Εποµένως, όταν τα κύµατα είναι ορθογώνια πολωµένα (π.χ. γραµµικά πολωµένα µε κάθετα µεταξύ τους επίπεδα πόλωσης υπάρχουν αρκετές άλλες περιπτώσεις), τα κύµατα δεν µπορούν να συµβάλλουν. Έτσι προκύπτει µια πρώτη προϋπόθεση για να έχουµε συµβολή: να έχουµε µη ορθογώνια πολωµένα κύµατα. Στη συνέχεια της µελέτης µας θα θεωρήσουµε ότι ισχύει πάντα cosα = 1. Αυτό συµβαίνει όταν έχουµε ή παράλληλα πολωµένα κύµατα ή κυκλικά πολωµένα µε ίδια αρχική φάση ή και απλά φυσικό φως, από όπου θα προκύψει συµβολή από τις εκάστοτε παράλληλες συνιστώσες. Υπενθυµίζουµε ότι στα φαινόµενα συµβολής η φωτεινή ένταση του συνιστάµενου κύµατος προκύπτει αφού πρώτα προστεθούν τα ηλεκτρικά πεδία των συνιστωσών, βρεθεί δηλαδή το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο, και µετά τετραγωνιστεί το άθροισµά τους (σχέση (5.1.5)). Αν εφαρµοζόταν η αντίθετη πορεία, δηλαδή πρώτα βρισκόταν οι φωτεινές εντάσεις των κυµάτων για κάθε ένα πεδίο (Ι 1 και Ι ) και µετά τις προσθέταµε, τότε η ολική ένταση δεν θα εµφάνιζε κανένα παράγοντα συµβολής, θα ήταν απλά Ι 1 + Ι. ηλαδή αν ίσχυε κάποια αρχή επαλληλίας φωτεινοτήτων -όπως θα συνέβαινε αν το φως ήταν απόλυτα σωµατιδιακό- τότε δεν θα µπορούσε ποτέ να προκύψει από πρόσθεση δύο µη µηδενικών φωτεινοτήτων µηδενική ένταση. Προκύπτει λοιπόν µια ακόµα προϋπόθεση για να έχουµε συµβολή: πρέπει να ισχύει η αρχή της γραµµικής επαλληλίας. Μια άλλη περίπτωση µηδενισµού του παράγοντα συµβολής θα προκύψει από µηδενισµό του όρου cos φ (εφόσον εξασφαλίσαµε ότι Ι 1 0, Ι 0 και cosα 0). Τα οδεύοντα κύµατα της (5.1.) έχουν διαφορά φάσης : ϕ = ω ω t k k r + ϕ (5.1.3) διαφορά φάσης δύο κυµάτων : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ϕ Αν η διαφορά φάσης φ µεταβάλλεται τυχαία ή πολύ γρήγορα µε το χρόνο ή το χώρο ώστε να µην έχουµε στάσιµη κατάσταση τότε θα πρέπει να θεωρήσουµε το µέσο όρο του cos φ. Επειδή η µέση τιµή του cos φ είναι <cos φ> = 0, βλέπουµε ότι ο όρος συµβολής µηδενίζεται και έτσι και σ αυτήν την περίπτωση δεν έχουµε συµβολή. Τα κύµατα που η διαφορά φάσης τους µεταβάλλεται τυχαία (ή πολύ γρήγορα µε το χρόνο ή το χώρο) λέγονται ασύµφωνα κύµατα (incoherent). Σε ασύµφωνα κύµατα δεν είναι δυνατό να εφαρµόσουµε την αρχή της γραµµικής επαλληλίας. Τα ασύµφωνα κύµατα έχουν εντελώς τυχαία και µεταβαλλόµενη διαφορά φάσης ώστε να µην είναι δυνατό να προσδιοριστούν τα πεδία των κυµάτων, πόσο µάλλον το διανυσµατικό τους άθροισµα. Σε αυτά τα κύµατα θα προστεθούν απλώς οι φωτεινές τους εντάσεις, όπως ακριβώς θα συµπεριφερόταν δύο...σωµατίδια. Έτσι λοιπόν µια Σελίδα 5.6

ΣΥΜΒΟΛΗ βασική προϋπόθεση για να εµφανιστούν φαινόµενα συµβολής είναι τα κύµατα να είναι σύµφωνα (coherent), δηλαδή να έχουν σταθερή διαφορά φάσης µεταξύ τους. Πότε έχουµε σύµφωνα κύµατα; Φαίνεται αρκετά δύσκολο η διαφορά φάσης (5.1.3) να παραµένει σταθερή καθώς τα δύο κύµατα διαδίδονται στο χρόνο και το χώρο. Κατ αρχήν, αν προέρχονται από δύο ανεξάρτητες πηγές, οι αρχικές τους φάσεις φ 1 και φ θα είναι τυχαίες. Άρα, κατά τη διάρκεια της συνάντησης των δύο κυµάτων δεν προκύπτει µια σταθερή, αλλά µια τυχαία µεταβαλλόµενη κατάσταση. Οι συνθήκες για ενισχυτική, καταστροφική ή ενδιάµεση συµβολή µπορεί να αλλάζουν κάθε 10-8 δευτερόλεπτα, όσο διαρκεί ένας παλµός, µια φωτονική εκποµπή. Είναι λοιπόν αδύνατο να έχουµε σύµφωνα κύµατα, και άρα φαινόµενα συµβολής, από δύο ανεξάρτητες φωτεινές πηγές. Ο µόνος τρόπος να παρατηρήσουµε συµβολή φωτεινών κυµάτων είναι να ξεκινήσουµε από µια αρχική πηγή ή µία αρχική δέσµη και -µε κάποιο τρόπο- να πάρουµε δύο κύµατα από αυτή. Οποιαδήποτε τυχαία µεταβολή στον παράγοντα φ στην αρχική πηγή ή αρχική δέσµη µεταδίδεται ακριβώς ίδια και στις δύο ξεχωριστές δέσµες. Έτσι ο παράγοντας (φ 1 φ ) θα είναι ελεγχόµενος, δηλαδή σταθερός. Συνεχίζοντας, παρατηρούµε ότι η διαφορά φάσης εξαρτάται από τη διαφορά συχνότητας ω 1 ω. Για να έχουµε κάποια σταθερότητα στη διαφορά φάσης πρέπει ιδανικά οι δύο συχνότητες να είναι απόλυτα ίσες. Έτσι, για οποιαδήποτε χρονική µεταβολή οι δύο κυµάνσεις θα δίνουν ίδια συνεισφορά στη διαφορά φάσης. Πρόκειται για τη χρονική συµφωνία (temporal coherence). Ιδανική χρονική συµφωνία έχουµε όταν η διαφορά φάσης µεταξύ δύο τιµών του πεδίου παραµένει σταθερή για κάθε χρονική στιγµή t σ ένα χρονικό διάστηµα τ, όποια κι αν είναι η τιµή του τ. Έτσι για µια µονοχρωµατική πηγή (πηγή µε σχετικά µικρό εύρος συχνοτήτων) θα περιµένουµε µεγάλο βαθµό χρονικής συµφωνίας. Ο βαθµός συµφωνίας µιας ακτινοβολίας µπορεί να εκφραστεί αν συγκρίνουµε το πεδίο σε µια χρονική στιγµή t µε το πεδίο σε µια στιγµή λίγο αργότερα, t +τ. Ο βαθµός συµφωνίας εκφράζεται από το ολοκλήρωµα αλληλοσυσχετισµού (auto correlation function) στο χρόνο : * ( ') ( ' ) E t E t + τ (5.1.9) ñüíïò Óõìöùíßáò t Σχήµα 5-1-3 : ύο κυµάνσεις µε διαφορετική συχνότητα έχουν µικρή χρονική συµφωνία. Σελίδα 5.7

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Tο θεώρηµα των Weiner-Khintchine συνδέει τη συνάρτηση αλληλοσυσχετισµού ενός κύµατος µε τη φασµατική πυκνότητα ισχύος του, µέσω ενός µετασχηµατισµού Fourier. ηλαδή, όσο πιο µεγάλη είναι η χρονική συµφωνία της πηγής, τόσο πιο µικρό είναι το φασµατικό της εύρος δν, και αντίστροφα. Αυτό πολύ απλά µπορούµε να το αποδεχθούµε αν θεωρήσουµε την πιο απλή αναπαράσταση ενός αρµονικού ΗΜ κύµατος, µια αρµονική έκφραση του τύπου cos(ωt). Η αναπαράσταση αυτή είναι, ασφαλώς, µια εξιδανίκευση. Ένα τέτοιο κύµα δεν έχει αρχή και τέλος (έχει τιµές για κάθε τιµή της χρονικής παραµέτρου), και έχει ακριβώς µία συχνότητα. Όπως θα δούµε στο κεφ. 6.1.., αυτή η µη πεπερασµένη απλή αρµονική αναπαράσταση, στο χώρο συχνοτήτων δεν είναι παρά µια συνάρτηση delta. Αντίθετα, ένας παλµός µικρής χρονικής διάρκειας ( ιασκεδασµός 4.5), ουσιαστικά αποτελείται από ένα µεγάλο άθροισµα πολλών αρµονικών κυµάτων µε ελαφρά διαφορετικές συχνότητες. Σχήµα 5-1-4 : Αναπαράσταση στο χρόνο (α) Ιδανικό αρµονικό κύµα µίας συχνότητας, (β) Φωτεινός παλµός, προκύπτει από άθροιση αρκετών κυµάτων µίας συχνότητας, µε ελαφρά διαφορετική συχνότητα. Ας θυµηθούµε την αρχή της απροσδιοριστίας: όσο πιο πολύ περιορίζουµε ένα κύµα στο χώρο των συχνοτήτων, τόσο πιο πολύ αυτό το κύµα εκτείνεται στο χώρο του χρόνου, και αντίστροφα. Ένα παράδειγµα: θεωρούµε µια πηγή που εκπέµπει δύο ιδανικά συνεχή αρµονικά κύµατα σε δύο συχνότητες, ω και ω+δω. Το αποτέλεσµα της άθροισης είναι ένα διακρότηµα, ένας παλµός δηλαδή, όπως απεικονίζεται στο Σχ. 5-1-4β, και συζητήθηκε στην 4.6. Ο βαθµός χρονικής συµφωνίας του παλµού αυτού είναι : T 1 sin( δω T ) lim ( cosωt) ( cos( ω δω) t) dt T T + (5.1.10) 0 δω T Ο παλµός αυτός εξασθενίζει σε χρόνο Τ c = π/δω, χρόνο δηλαδή που είναι αντίστροφα ανάλογος του φασµατικού εύρους δω. Αυτός ο χρόνος συµφωνίας (coherence time) εκφράζει το πόσο χρόνο µπορούµε να αφήσουµε την πηγή να εκπέµπει ώστε ο αρµονικός της παλµός να είναι συνεχής. Επίσης, η διαφορά φάσης εξαρτάται από τη διαφορά των κυµατανυσµάτων k1 k. Για να έχουµε σταθερότητα στη διαφορά φάσης πρέπει -ιδανικά- οι διαφορές των κυµατανυσµάτων να είναι όσο πιο µικρές γίνεται. Έτσι, για οποιαδήποτε χωρική µεταβολή, οι δύο κυµάνσεις θα δίνουν την ίδια συνεισφορά στη διαφορά φάσης. Πρόκειται για τη χωρική συµφωνία (spatial coherence). Σελίδα 5.8

ΣΥΜΒΟΛΗ ÌÞêïò Óõìöùíßáò z Σχήµα 5-1-5 : ύο κυµάνσεις µε διαφορετικό κυµατάνυσµα έχουν µικρή χωρική συµφωνία. Παρατηρήστε τη διαφορά στους άξονες µε το Σχ. 5-1-3. Ιδανική χωρική συµφωνία έχουµε όταν για κάθε δύο σηµεία του µετώπου του κύµατος η διαφορά των φάσεων των δύο πεδίων για κάθε απόσταση των σηµείων ζ παραµένει σταθερή. Από µια σηµειακή πηγή θα περιµένουµε µεγάλο βαθµό χωρικής συµφωνίας. [Στο Βιβλίο Κυµατική Berkeley, 9.4 γίνεται µια ωραία συζήτηση σχετικά µε την έννοια της συµφωνίας.] Ο βαθµός χωρικής συµφωνίας µπορεί να εκφραστεί από το ολοκλήρωµα του αλληλοσυσχετισµού στο χώρο (mutual coherence function) : ( z' ) E * ( z'+ζ ) E (5.1.11) Tο θεώρηµα των Van-Cittert-Zernike συνδέει το βαθµό χωρικής συµφωνίας µιας πηγής µε την έκτασή της στο χώρο των χωρικών συχνοτήτων, µέσω ενός µετασχηµατισµού Fourier. Και αυτό το θεώρηµα είναι µια έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας: όσο πιο πολύ περιορίζουµε ένα κύµα στην πηγή του, τόσο πιο πολύ αυτό το κύµα εκτείνεται χωρικά καθώς θα διαδίδεται. Αυτό το θέµα θα µας απασχολήσει στην Περίθλαση Fraunhofer, 6.1.., όπου θα εξεταστούν αρκετές περιπτώσεις διάδοσης µέσα από ένα πέρασµα. Η κατανοµή του πεδίου στο χώρο αµέσως µετά το πέρασµα -άνοιγµα ή εµπόδιο- και σε ένα πέτασµα µακριά από το πέρασµα συνδέονται µε ζεύγη µετασχηµατισµών Fourier. Ιδανικά λοιπόν, από µια σηµειακή µονοχρωµατική πηγή θα περιµένουµε µεγάλο βαθµό χωρικής και χρονικής συµφωνίας. Από µια εκτεταµένη µονοχρωµατική πηγή θα έχουµε µεγάλο βαθµό χρονικής αλλά µικρό βαθµό χωρικής συµφωνίας, και από µια σηµειακή πολυχρωµατική πηγή θα έχουµε µεγάλο βαθµό χωρικής αλλά µικρό βαθµό χρονικής συµφωνίας. Το µήκος συµφωνίας l c (coherence length) εκφράζει το πόσο µπορούµε να περπατήσουµε, να µεταβάλλουµε δηλαδή το σηµείο παρατήρησης, και να εξακολουθούµε να έχουµε συµφωνία µεταξύ των κυµάτων. Έτσι το µήκος συµφωνίας θα είναι το µήκος αυτού του κύµατος, δηλαδή µπορεί να εκφραστεί από τη σχέση: l c = υ Τ c υ/δν. Χρησιµοποιώντας την αναλογία δν/ν = δλ/λ, θα εκφράσουµε το µήκος συµφωνίας ως : λ Μήκος Συµφωνίας l c = (5.1.1) n δλ όπου λ είναι το µέσο µήκος κύµατος της πηγής, n ο δείκτης διάθλασης του µέσου, και δλ το εύρος των µηκών κύµατος (spectral linewidth) της πηγής. Για παράδειγµα, το φως από ένα νήµα πυρακτώσεως έχει µήκος συµφωνίας περίπου όσο και το µέσο Σελίδα 5.9

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ µήκος κύµατος του ορατού φωτός, δηλαδή τάξη µεγέθους ένα µικρόµετρο, ενώ για ένα laser µε εύρος δλ 10nm, το µήκος συµφωνίας µπορεί να είναι αρκετά µέτρα. Η φωτεινότητα (ευκρίνεια) των κροσσών εξαρτάται άµεσα από τον παράγοντα συµβολής. Αν ορίσουµε το λόγο διαµόρφωσης φωτεινότητας V (modulation index) ως το λόγο (I MAX I MIN )/ (I MAX +I MIN ), θα έχουµε : λόγος διαµόρφωσης φωτεινότητας V = I II 1 cos MAX IMIN = I + I I + I MAX MIN 1 ( ϕ ) (5.1.13) Είναι φανερό ότι η µέγιστη τιµή της φωτεινότητας για ιδανικές συνθήκες συµβολής (Ι 1 =Ι και φ=0) είναι η µονάδα, και ταυτόχρονα η ελάχιστη τιµή της (Ι 1 =Ι και φ=π/) είναι µηδενική. 5.1.. ιαφορά Φάσης και ιαφορά Οπτικού ρόµου για Μέγιστα και Ελάχιστα Τώρα θα υποθέσουµε ότι πληρούνται οι συνθήκες για συµβολή, έχουµε δηλαδή δύο σύµφωνα κύµατα που συµβάλλουν. Η εξίσωση συµβολής (5.1.7) και ο παράγοντας συµβολής (5.1.8) γράφονται : Εξίσωση συµβολής : I = I + I + I cos ϕ 1 1I Παράγοντας συµβολής : I I 1 cos ϕ Παρατηρούµε τις εντάσεις του συνιστάµενου κύµατος σε διαφορετικά σηµεία σε ένα πέτασµα. Οι θέσεις που η συνολική φωτεινότητα Ι έχει µέγιστη ή ελάχιστη τιµή καθορίζονται από τη συνθήκη : cos φ = ±1 ή φ = κ π (5.1.14) όπου κ είναι ένας ακέραιος αριθµός. Το (+) αναφέρεται στη µέγιστη τιµή, και τότε το κ είναι άρτιος ακέραιος, ενώ το ( ) αναφέρεται στην ελάχιστη τιµή, και τότε το κ είναι περιττός ακέραιος. Η διαφορά φάσης (5.1.3) είναι πάντα η : ϕ = ω ω t k k r + ϕ ιαφορά φάσης δύο κυµάτων : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ϕ Η ελάχιστη τιµή της έντασης I MIN (σκοτεινοί κροσσοί) εµφανίζεται όταν cos φ= 1, ή φ= (m+1) π : Συνθήκη ελάχιστου : ιαφορά φάσης = (m+½) π (5.1.15) όπου m είναι ακέραιος αριθµός µε µη πεπερασµένες τιµές 0, ±1, ±... Η συνολική ένταση έχει τιµή : ( ) I = I + I I I = I I (5.1.16) MIN 1 1 1 Η µέγιστη τιµή της έντασης I MAX -φωτεινοί κροσσοί- εµφανίζεται όταν cos φ= +1 ή φ=(m) π : Συνθήκη µέγιστου : ιαφορά φάσης = (m) π (5.1.17) Σελίδα 5.10

ΣΥΜΒΟΛΗ όπου m είναι ακέραιος αριθµός µε τιµές 0, ±1, ±... H τιµή της µέγιστης συνιστάµενης έντασης θα είναι : ( ) I = I + I + I I = I + I (5.1.18) MAX 1 1 1 Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι για ίσου πλάτους συµβάλλοντα κύµατα η µέγιστη ένταση θα είναι τετραπλάσια της αρχικής (4 Ι 1 ), και αντίστοιχα, η ελάχιστη ένταση είναι µηδέν. ηλαδή σε κροσσούς συµβολής από ίσου πλάτους συνιστώσες η φωτεινή ένταση µεταβάλλεται από µηδέν µέχρι το τετραπλάσιο της αρχικής. Αν τα δύο συµβάλλοντα κύµατα δεν έχουν ίσες εντάσεις τότε οι συνθήκες συµβολής δεν επηρεάζονται, αλλά στα σηµεία ελάχιστου θα υπάρχει µια φωτεινότητα που αντιστοιχεί στη σχέση (5.1.16). Πρέπει να τονιστεί ότι η συνολική ενέργεια ούτε αυξάνεται ούτε µειώνεται. Απλώς ανακατανέµεται ανοµοιόµορφα στο χώρο, δηλαδή η ενέργεια που εξαφανίζεται στα σηµεία που έχουµε αποσβεστική συµβολή εµφανίζεται στα αντίστοιχα σηµεία που έχουµε ενισχυτική συµβολή. Μάλιστα η κατανοµή αυτή είναι σταθερή στο χρόνο. Η περιοδική αλληλοδιαδοχή µεγίστων και ελαχίστων εξασφαλίζει ότι η συνολική ενέργεια παραµένει σταθερή -το αντίθετο άλλωστε θα αποτελούσε πρόβληµα. Θεωρούµε τώρα ότι στο χώρο διαδίδονται δύο κυµάνσεις από δύο διαφορετικά σηµεία που αναπαράγουν (θα δούµε πως, στη συνέχεια) σύµφωνες κυµάνσεις από µία µονοχρωµατική (ω 1 = ω ) πηγή. Συγκεκριµένα, η διαφορά (φ 1 φ ) είναι µια σταθερή γωνία. Οι δύο κυµάνσεις, καθώς προέρχονται από διαφορετικά σηµεία έναρξης, θα έχουν διαφορετικά κυµατανύσµατα -ακόµα και αν τα κυµατανύσµατα έχουν ίσα µέτρα, θα έχουν διαφορετικούς προσανατολισµούς. Τότε ο γεωµετρικός τόπος της εµφάνισης των δύο παραπάνω συνθηκών είναι η διανυσµατική εξίσωση : k k r= σταθερό (5.1.19) ( 1) και περιγράφει επιφάνειες κάθετες στο k k, 1 της διαφοράς των κυµατανυσµάτων. I MAX I MIN I MIN I MAX k k 1 -k k 1 m m+1 m+ Σχήµα 5-1-6 : ιαδοχικά επίπεδα µέγιστης και ελάχιστης έντασης. Στο χώρο που διαδίδονται τα δύο κύµατα οι επιφάνειες µέγιστης και ελάχιστης έντασης είναι κάθετες στο διάνυσµα k k1. Αν το διάνυσµα της διαφοράς των δύο Σελίδα 5.11

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ συµβαλλόµενων κυµατανυσµάτων έχει σταθερή διεύθυνση σε µια περιοχή τότε οι επιφάνειες µεγίστων/ελαχίστων (σχήµα 5-1-6) είναι επίπεδες και αν είναι σταθερό σε µέτρο τότε οι επιφάνειες εναλλάσσονται κατά µήκος του σε ίσα βήµατα. Μπορούµε να διατυπώσουµε τις (5.1.15) και (5.1.17) είτε µε εκφράσεις διαφοράς οπτικού δρόµου είτε µε εκφράσεις διαφοράς φάσης. Η γενική σχέση που συνδέει τη δ.ο.δ. και τη δ.φ. είναι : διαφορά φάσης διαφορά οπτικού δρόµου = (5.1.0) π λ Αυτό προκύπτει επειδή αν περπατήσουµε ένα µήκος κύµατος, δηλαδή για διαφορά οπτικού δρόµου κατά λ, η φάση αλλάζει κατά 360 ή κατά π rad. Οι δύο εκφράσεις είναι ισοδύναµες. Έτσι, η έκφραση (5.1.14) για τη διαφορά φάσης φ = κ π µπορεί να διατυπωθεί ως : διαφορά οπτικού δρόµου = κ (λ/) (5.1.1) Για άρτιους ακέραιους κ =m, όπου m είναι ακέραιος αριθµός µε τιµές 0, ±1, ±..., η διαφορά οπτικού δρόµου για εµφάνιση µεγίστων έντασης καθορίζεται από τη σχέση : Συνθήκη µέγιστου: ιαφορά οπτικού δρόµου = m λ (5.1.) ενώ ελάχιστα θα παρατηρούνται στις θέσεις που καθορίζει η σχέση : Συνθήκη ελάχιστου: ιαφορά οπτικού δρόµου = (m+½) λ (5.1.3) όπου m είναι ακέραιος αριθµός µε τιµές 0, ±1, ±... Όποιο και να είναι το φαινόµενο συµβολής θα εξεταστούν αρκετά στη συνέχεια όπου η γεωµετρική έκφραση της διαφοράς οπτικού δρόµου ή διαφοράς φάσης αλλάζει, η φυσική έκφραση του προβλήµατος, οι συνθήκες µεγίστων και ελαχίστων δηλαδή, πάντα θα γράφεται µε την απλή µορφή των σχέσεων (5.1.15) & (5.1.17) για εκφράσεις διαφοράς φάσης, ή των σχέσεων (5.1.) & (5.1.3) για εκφράσεις διαφοράς οπτικού δρόµου. Σελίδα 5.1

ΣΥΜΒΟΛΗ 5.. ιατάξεις Συµβολής- Πείραµα ύο Σχισµών Young Είδαµε ότι για να έχουµε φαινόµενα συµβολής πρέπει να έχουµε δύο - τουλάχιστο- σύµφωνα φωτεινά κύµατα. Ο µόνος τρόπος να έχουµε σύµφωνα κύµατα είναι να ξεκινήσουµε από µια αρχική πηγή και -µε κάποιο τρόπο- να πάρουµε δύο κύµατα από αυτή. Ο βαθµός συµφωνίας της αρχικής πηγής θα καθορίσει σε µεγάλο βαθµό το βαθµό συµφωνίας των δύο κυµάτων. Οι διατάξεις αυτές λέγονται διατάξεις συµβολής µε διαίρεση. Έτσι, για διατάξεις στις οποίες θέλουµε µεγάλο βαθµό συµφωνίας θα προτιµήσουµε σηµειακές και µονοχρωµατικές πηγές. Για διατάξεις στις οποίες θέλουµε µεγάλη φωτεινότητα πιθανό να θα προτιµήσουµε µια εκτεταµένη φωτεινή πηγή. Αν από την ίδια πηγή πάρουµε µε κάποιο τρόπο δύο σύµφωνες δέσµες, τότε έχουµε διατάξεις συµβολής µε διαίρεση µετώπου κύµατος. Αν το ίδιο µέτωπο κύµατος µιας πηγής παράγει δύο µέτωπα µικρότερου πλάτους τότε έχουµε διατάξεις συµβολής µε διαίρεση πλάτους κύµατος. 5..1. Το Πείραµα ύο Σχισµών του Young Θα ήταν ασυγχώρητο να µην ξεκινήσουµε από το πείραµα του Thomas Young. Εκτός από το ότι το πείραµα αυτό ήταν το πρώτο, ιστορικά, (1801) που απέδειξε ατράνταχτα την κυµατική φύση του φωτός, ήταν και το πρώτο στο οποίο µετρήθηκε το µήκος κύµατος του φωτός. Σε ένα αδιαφανές διάφραγµα υπάρχουν δύο µικρά ανοίγµατα S 1 και S, σε απόσταση d µεταξύ τους. Πριν από το διάφραγµα υπάρχει µια σηµειακή πηγή µονοχρωµατικού (µήκος κύµατος λ) φωτός S (στο πείραµα του Young χρησιµοποιήθηκε ηλιακό φως µέσα από ένα πολύ µικρό πέρασµα για να υπάρχει χωρική συµφωνία) και µετά από το διάφραγµα υπάρχει η οθόνη (πέτασµα) παρατήρησης P σε απόσταση D. P Åíéó õôéêþ ÓõìâïëÞ S 1 S d S Ñ 1 Ô 1 Ñ Ñ 3 Ô ÊáôáóôñïöéêÞ ÓõìâïëÞ D Σχήµα 5--1 : Βασική διάταξη συµβολής πειράµατος Young. Η πηγή παράγει σφαιρικά κύµατα που φθάνουν στα περάσµατα S 1 και S που, σύµφωνα µε την αρχή του Huygens, γίνονται πηγές δευτερευόντων σφαιρικών κυµάτων που διαδίδονται στο χώρο πέρα από το διάφραγµα προς όλες τις κατευθύνσεις. Εδώ ξεκάθαρα δεν είµαστε στην περιοχή εφαρµογής της Γεωµετρικής Οπτικής: µία από τις προϋποθέσεις ισχύος της είναι ότι οι ακτίνες περνώντας δίπλα από ένα εµπόδιο ή µέσα από ένα µικρό πέρασµα δεν αποκλίνουν. Επειδή το Σελίδα 5.13

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ χαρακτηριστικό µέγεθος του ανοίγµατος είναι πλέον συγκρίσιµο µε το µήκος κύµατος, έχουµε ένα στοιχειώδες φαινόµενο περίθλασης. Επειδή τα δύο κύµατα ξεκινούν από την ίδια πηγή (S), και η απόσταση που διανύουν µέχρι να φτάσουν στο πέτασµα είναι ίδια (S 1 και S ισαπέχουν από την πηγή), θα έχουν την ίδια αρχική φάση, δηλαδή θα ισχύει φ 1 -φ =0. Θα είναι, δηλαδή, σύµφωνα κύµατα -πιο συγκεκριµένα, θα έχουν τον ίδιο βαθµό συµφωνίας µε αυτόν της πηγής. Ασφαλώς υπάρχουν πολλοί τρόποι για να αλλάξουµε το βαθµό συµφωνίας, π.χ. µε ένα πλακίδιο µπροστά από το ένα από τα δύο περάσµατα. Στο πέτασµα παρατήρησης δηµιουργούνται οι κροσσοί συµβολής, δηλαδή µια σταθερή κατανοµή µε περιοδικά εναλλασσόµενα µέγιστα και ελάχιστα παραµένουν πάντα σκοτεινά. Η κατανοµή αυτή είναι φαινόµενο συµβολής. Οι φωτεινοί κροσσοί προέρχονται από ενισχυτική συµβολή των δύο µη µηδενικής έντασης σύµφωνων κυµάτων, ενώ οι σκοτεινοί κροσσοί από αποσβεστική συµβολή. ηλαδή στις περιοχές π.χ. P 1, P, και P 3, τα δύο συµβάλλοντα κύµατα βρίσκονται σε συµφωνία φάσης, ενώ στις περιοχές π.χ. Τ 1 και Τ βρίσκονται σε αντίθεση φάσης. Εφόσον όµως οι δύο πηγές S 1 και S είναι σύµφωνες, τότε τι προκαλεί διαφορά φάσης µεταξύ των δύο κυµάτων που προέρχονται από αυτές; Ας πούµε ότι βρισκόµαστε πάνω στο πέτασµα ακριβώς στο σηµείο που ισαπέχει από τις δύο σχισµές (σηµείο Ρ ). Έτσι τα δύο κύµατα ταξιδεύουν ακριβώς τις ίδιες αποστάσεις r 1 = r στο ίδιο µέσο. Ο οπτικός δρόµος, δηλαδή, είναι ίσος, και άρα φθάνουν στο σηµείο Ρ έχοντας διανύσει τον ίδιο αριθµό µηκών κύµατος το καθένα. Ας θεωρήσουµε την απλή εικόνα της κυµατικής διαταραχής µε κορυφές και κοιλότητες. Όποιο και να είναι το στιγµιότυπο του κύµατος που φθάνει από την πηγή S 1, το ίδιο ακριβώς φθάνει και από την πηγή S, δηλαδή ταυτόχρονα κορυφές ή ταυτόχρονα κοιλότητες, ή ταυτόχρονα κάποια ενδιάµεση φάση -άλλωστε αυτό αλλάζει γρήγορα µε το χρόνο. Τα κύµατα δηλαδή είναι πάντοτε σε φάση, και το αποτέλεσµα είναι να έχουµε ενισχυτική συµβολή (µέγιστο πλάτος ταλάντωσης). Αυτό είναι το κέντρο συµµετρίας της κατανοµής των κροσσών συµβολής. Ενισχυτική συµβολή έχουµε και σε άλλα σηµεία. Για παράδειγµα, και στο σηµείο Ρ 1 και στο σηµείο Ρ 3. Τα κύµατα όµως που φθάνουν στα δύο αυτά σηµεία έχουν διανύσει διαφορετικές αποστάσεις, δηλαδή διαφορετικούς οπτικούς δρόµους. Για να δίνουν ενισχυτική συµβολή, θα πρέπει η διαφορά των οπτικών δρόµων να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του µήκους κύµατος (σχέση (5.1.)). Στην πιο απλή περίπτωση θα πρέπει r 1 r =λ. Το ίδιο συµβαίνει σε όλα εκείνα τα σηµεία στα οποία η διαφορά των αποστάσεών τους από τις δύο πηγές είναι ακέραια πολλαπλάσια (m) του µήκους κύµατος, δηλαδή r 1 r =m λ και έτσι φθάνουν µε πάντα µε διαφορά φάσης ακέραιο πολλαπλάσιο (m) του π. Ο ακέραιος m, η τάξη συµβολής, έχει τις τιµές 0, ± 1, ± κοκ. Αν τώρα µετακινηθούµε σε κάποιο άλλο σηµείο, π.χ. σηµείο Τ 1 που η απόστασή του r 1 από την πηγή S 1 είναι λίγο πιο µικρή από την απόσταση r από την πηγή S. Πιο συγκεκριµένα, θεωρούµε ότι οι αποστάσεις r 1 και r διαφέρουν κατά λ/. Έτσι όταν φθάνει µια κορυφή διαταραχής από τη σχισµή S 1 ταυτόχρονα φτάνει όχι µια κορυφή, αλλά µια κοιλάδα διαταραχής από τη σχισµή S. Το αποτέλεσµα θα Σελίδα 5.14

ΣΥΜΒΟΛΗ είναι ότι το συνολικό πεδίο από τη µία να προσπαθεί να ανέβει (εξαιτίας της κορυφής) κι από την άλλη να προσπαθεί να κατέβει (εξαιτίας της κοιλάδας). Τελικά η συνιστάµενη διαταραχή θα είναι µηδέν ή σχεδόν µηδέν στη θέση αυτή τα κύµατα αλληλοαναιρούνται, το σηµείο παραµένει διαρκώς σκοτεινό και θα έχουµε αποσβεστική συµβολή (ελάχιστο). Το ίδιο συµβαίνει σε όλα εκείνα τα σηµεία στο πέτασµα παρατήρησης, για τα οποία η διαφορά των αποστάσεών τους από τις πηγές είναι ίση µε περιττό πολλαπλάσιο του λ/, δηλαδή r 1 r = (m+½) λ και έτσι φθάνουν πάντοτε µε διαφορά φάσης (m+½) π. Σε διάφορες θέσεις πάνω στο πέτασµα τα µέγιστα διαδέχονται µε περιοδικό τρόπο τα ελάχιστα. 5... Σκέψεις για τη Φύση του Φωτός µε Αφορµή το Πείραµα Young Η εµφάνιση κροσσών συµβολής στο πείραµα του Young απέδειξε πέρα από κάθε αµφιβολία την κυµατική φύση του φωτός. Πώς συµβιβάζεται όµως η εµφάνιση ενός καθαρά κυµατικού φαινοµένου µε την επίσης αδιαµφισβήτητη φωτονική θεώρηση; Τα σωµατίδια δεν δίνουν φαινόµενο συµβολής, το είπαµε αυτό. Τι γίνεται εδώ; Μήπως το φως χάνει, έστω προσωρινά, τη σωµατιδιακή του υφή; Ας πάρουµε τα πράγµατα από την αρχή. Ας υποθέσουµε ότι το φως αποτελείται πράγµατι, από σωµατίδια. Για παράδειγµα, υποθέτουµε (σχήµα 5--α) ότι έχουµε ένα όπλο που βάλλει σε ένα διάφραγµα µε δύο µικρά ανοίγµατα ή σχισµές, S 1 και S, µέσα από όπου µπορούν να διέρχονται τα βλήµατα. Σε ένα πέτασµα παρατήρησης υπάρχει ένας ανιχνευτής που µπορεί να µετρά τον αριθµό των σφαιρών που φθάνουν σε διάφορα σηµεία x πάνω στο πέτασµα στη µονάδα του χρόνου. Óùìáôßäéá N 1 Êýìáôá N 1 I 1 S 1 I 1 S I N Σχήµα 5-- : Σωµατιδιακή (α) και κυµατική θεώρηση (β) του φωτός στο πείραµα Young. Μετράµε τον αριθµό των βληµάτων που φτάνουν στα σηµεία του πετάσµατος. Τον αριθµό αυτό µπορούµε να τον αντιστοιχίσουµε µε την πιθανότητα άφιξης ενός βλήµατος σε κάθε σηµείο. Μετά από κάποιο αρκετό χρόνο προκύπτει µια καµπύλη κατανοµής Ν 1, που δείχνει ότι περισσότερα βλήµατα φθάνουν στο χώρο που βρίσκεται ακριβώς στο χώρο της προέκτασης πίσω από τις δύο τρύπες, και όσο µετατοπιζόµαστε πλάγια, τόσο λιγότερα φθάνουν. Είναι δύσκολο να θεωρήσουµε ότι Σελίδα 5.15

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ τα βλήµατα θα περάσουν από την πρώτη σχισµή και µετά µε κάποιο τρόπο θα στραφούν προς άλλες κατευθύνσεις. Η καµπύλη κατανοµής Ν 1 θα µπορούσε να είναι το άθροισµα που προκύπτει από την πρόσθεση των δύο απλών ανεξάρτητων κατανοµών Ν 1 και Ν που προκύπτουν ως εξής: η καµπύλη Ν 1 εκφράζει τον αριθµό των βληµάτων που φτάνουν πίσω από τη σχισµή S 1 όταν έχουµε κλείσει τη σχισµή S µε ένα κάλυµµα αντίστοιχα προκύπτει η καµπύλη Ν. Με αυτή τη λογική καταλήγουµε σε ένα συµπέρασµα: ο αριθµός των βληµάτων που διέρχονται και από τις δύο σχισµές είναι το άθροισµα του αριθµού των βληµάτων που διέρχονται από τη σχισµή S 1 και από τη σχισµή S. Ας ονοµάσουµε τη διαδικασία της πρόσθεσης των αριθµών των βληµάτων σύνθεση χωρίς συµβολή : N 1 = N 1 +N (σύνθεση χωρίς συµβολή) (5..1) Τώρα θεωρούµε ότι το φως αποτελείται από σύµφωνα κύµατα. Μια πηγή στέλνει κύµατα σε ένα διάφραγµα µε δύο µικρά ανοίγµατα ή σχισµές, S 1 και S, µέσα από όπου µπορούν να διέρχονται τα κύµατα. Σε ένα πέτασµα παρατήρησης υπάρχει ένας ανιχνευτής που µπορεί να µετρά σε κάθε σηµείο x το αποτέλεσµα της συνιστάµενης κυµατικής διαταραχής. Για παράδειγµα, αν είχαµε απλά κύµατα επιφανείας, ο ανιχνευτής θα µπορούσε να είναι απλώς ένας φελλός και να µετρά το πόσο ταράζεται το νερό. Στο πείραµά µας ο ανιχνευτής καταγράφει τη συνιστάµενη φωτεινή ενέργεια Ι των κυµάτων, και αυτό που καταγράφει είναι µια καµπύλη όπως φαίνεται στο σχήµα 5--β, δηλαδή η κατανοµή της φωτεινής ενέργειας που οφείλεται στη συνιστάµενη δράση και των δύο κυµάτων. Συγκεκριµένα, η καµπύλη Ι 1 αντιστοιχεί στην περίπτωση που αφήσουµε και τις δύο σχισµές ανοιχτές. Είναι αρκετά διαφορετική από την καµπύλη Ν 1 που προέκυψε µε τα βλήµατα όταν και οι δύο σχισµές ήταν ανοιχτές. Το βασικό ερώτηµα είναι: τί προκαλεί τη διαφορά αυτή; Η ουσιαστική διαφορά µεταξύ σωµατιδίων και κυµάτων βρίσκεται στο ότι : Στα σωµατίδια η καταγραφόµενη ποσότητα είναι απλώς ο πληθυσµός τους. Έτσι προσθέτουµε ένα-ένα, χωρίς να είναι δυνατό ένα σωµατίδιο να ακυρώσει κάποιο άλλο. Το τελικό αποτέλεσµα είναι η πρόσθεση των πληθυσµών τους. Αντίθετα, Στα σύµφωνα κύµατα η καταγραφόµενη ποσότητα είναι το τετράγωνο του αθροίσµατος της διαταραχής. Η συνολική κυµατική διαταραχή (ηλεκτρικό πεδίο) προκύπτει από την πρόσθεση των επιµέρους πεδίων, και αυτό είναι δυνατό επειδή τα κύµατα είναι σύµφωνα, υπάρχει δηλαδή µια συγκεκριµένη, σε κάθε σηµείο, διαφορά φάσης, που είναι σταθερή στο χρόνο. ηλαδή σε κάθε σηµείο παρατήρησης προστίθενται τα ανεξάρτητα ηλεκτρικά πεδία, σύµφωνα µε την αρχή της γραµµικής επαλληλίας. Η κατανοµή της φωτεινής έντασης, που υπολογίζεται από το τετράγωνο του αθροίσµατος των πεδίων, εξαρτάται από τον τρόπο που συµβάλλουν τα ανεξάρτητα κύµατα. Το σηµαντικό είναι ότι Ι 1 συν Ι δεν είναι ίσο µε το Ι 1, και αλλάζει από σηµείο σε σηµείο στο πέτασµα παρατήρησης. Αν κλείσουµε τη σχισµή S παίρνουµε την Σελίδα 5.16

ΣΥΜΒΟΛΗ καµπύλη Ι 1 και αν κλείσουµε τη σχισµή S 1 παίρνουµε την καµπύλη Ι. Το εντυπωσιακό είναι ότι η καµπύλη Ι είναι ίδια µε την καµπύλη Ν, όταν είχαµε βλήµατα, και το ίδιο ακριβώς συµβαίνει για τις καµπύλες Ι 1 και Ν 1. Παρ όλα αυτά η καµπύλη Ι 1 είναι εντελώς διαφορετική από την καµπύλη Ν 1, επειδή έχουµε συµβολή. Συγκεκριµένα: το συνιστάµενο ηλεκτρικό πεδίο σε κάθε σηµείο πάνω στο πέτασµα προκύπτει από διανυσµατική άθροιση των δύο πεδίων, του πεδίου που φθάνει από την πηγή S 1 και του πεδίου από την S : E= E1+ E +... (5.1.1) Η φωτεινή ένταση είναι ανάλογη του τετράγωνου του συνιστάµενου αυτού πεδίου : * * I E + ΟΛ E E + E = I + I + I I cosa ( cos ϕ ) (5.1.7) ( 1 ) ( 1 ) 1 1 δηλαδή Ι ΟΛ είναι διαφορετικό από το άθροισµα των ανεξάρτητων Ι 1 και Ι : Ι 1 Ι 1 +Ι (σύνθεση µε συµβολή) (5..) Έτσι είναι δυνατό η πρόσθεση των επιµέρους πεδίων να έχει µηδενικό αποτέλεσµα, αν οι δύο διαταραχές βρίσκονται σε αντίθεση φάσης, ή να έχει το διπλάσιο αποτέλεσµα, αν οι δύο διαταραχές βρίσκονται σε διαφορά φάσης µηδέν ή ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Η φωτεινή ένταση µπορεί να είναι µηδέν ή τέσσερα, και αυτή η κατανοµή έχει µια συγκεκριµένη περιοδικότητα. S 1 S S 1 S Äåí Ý ïõìå óõìâïëþ Ðñüóèåóç Öùôåéíþí ÅíôÜóåùí ïõìå óõìâïëþ Ðñüóèåóç Ðåäßùí Σχήµα 5--3 : Αποτέλεσµα άθροισης φωτεινών εντάσεων από µη σύµφωνες πηγές (α) και αποτέλεσµα άθροισης ηλεκτρικών πεδίων από σύµφωνες πηγές (β). Αν για κάποιους λόγους (ποιους άραγε;) τα κύµατα από τις πηγές S 1 και S δεν πληρούν τις συνθήκες συµβολής τότε δεν συµβάλλουν και το αποτέλεσµα που καταγράφεται από τον αισθητήρα είναι το ίδιο ακριβώς αποτέλεσµα µε τις σφαίρες. Τότε στην οθόνη παρατήρησης προστίθενται όχι τα ηλεκτρικά πεδία, αλλά οι φωτεινές εντάσεις τους, οι οποίες δεν χαρακτηρίζονται από παράγοντα φάσης. Έτσι, αν εκτελούσαµε το πείραµα Young µε µη σύµφωνες πηγές θα λαµβάναµε µια κατανοµή σαν και αυτή του Σχ. 5--3(α), ενώ για σύµφωνες πηγές λαµβάνουµε τους κροσσούς συµβολής όπως φαίνονται στο Σχ. 5--3(β). Σελίδα 5.17

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Καταλήξαµε λοιπόν στο συµπέρασµα ότι η κατανοµή της φωτεινής έντασης θα είναι δραστικά διαφορετική ανάλογα µε το αν έχουµε σωµατίδια ή κύµατα. Ποια θα είναι η κατανοµή αν βάλλουµε εναντίον του πετάσµατος φωτόνια; Για απλοποίηση, ας χρησιµοποιήσουµε φωτόνια συγκεκριµένου χρώµατος. Ο ανιχνευτής µπορεί να ανιχνεύει τα µεµονωµένα φωτόνια που φτάνουν στο πέτασµα, δηλαδή λειτουργεί ως καταµετρητής φωτονίων ( 1.3.). Για κάθε φωτόνιο που φτάνει στον ανιχνευτή καταγράφεται ένα χτύπηµα -αν µπορούµε µε κάποιο τρόπο να µετατρέψουµε το σήµα που λαµβάνουµε σε ήχο. Τοποθετούµε έναν τέτοιο ανιχνευτή πάνω στο πέτασµα παρατήρησης, και προσπαθούµε να µετρήσουµε τα αποτελέσµατα. Ο αριθµός των φωτονίων είναι ανάλογος της φωτεινής ενέργειας (Παράρτηµα 1.3). Τι περιµένουµε; Να πάρουµε µία καµπύλη τελείως όµοια µε αυτή, όταν τα βλήµατα ήταν οι σφαίρες, τη Ν 1 δηλαδή. Αυτό όµως που προκύπτει είναι µία καµπύλη όµοια µε την Ι 1! Με άλλα λόγια ακούµε τα φωτόνια ως σωµατίδια, αλλά τα βλέπουµε να συµπεριφέρονται ως κύµατα! Τα φωτόνια έχουν και τις δύο ιδιότητες ταυτόχρονα. Αν τώρα κλείσουµε τη µία από τις δύο σχισµές και επαναλάβουµε την ίδια διαδικασία, θα πάρουµε απλώς µία από τις δύο καµπύλες Ν 1 ή Ν, ανάλογα µε το ποια σχισµή θα µείνει ανοιχτή. Αφήνοντας όµως και τις δύο σχισµές ανοιχτές, δεν θα πάρουµε τη Ν 1 αλλά την Ι 1! Πώς µπορεί να συµβεί αυτό; Όταν τα φωτόνια περνούν µόνο από τη µία σχισµή κατανέµονται µε έναν τρόπο, όταν περνούν από την άλλη σχισµή κατανέµονται µε ένα παρόµοιο τρόπο κι όµως, όταν είναι και οι δύο σχισµές ανοιχτές δεν παίρνουµε το άθροισµα των κατανοµών. Ας εξετάσουµε την παρακάτω πρόταση: Ένα φωτόνιο περνά µέσα από τη σχισµή S 1 ή µέσα από τη σχισµή S. Αν ισχύει αυτό, τότε θα έπρεπε η κατανοµή των φωτονίων να είναι ίση µε το απλό άθροισµα των δύο επιµέρους συνεισφορών, το σωµατιδιακό. Και όµως δεν είναι έτσι, το είδαµε αυτό. Η κατανοµή είναι ηµιτονοειδής, δεν είναι απλά το άθροισµα των επιµέρους κατανοµών. Τότε τι γίνεται; Πάει κάπου αλλού το φωτόνιο, χωρίζεται προσωρινά στα δύο ή κάτι άλλο; Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα αυτό θα πρέπει να παρακολουθήσουµε στενά κάθε ένα φωτόνιο σε κάθε στιγµή της πορείας του, και για να γίνει αυτό θα χρειαστούµε ειδική συσκευή, όπως τα radio collars. Όµως πρέπει να δεχτούµε ότι δεν υπάρχει καµία συσκευή που δεν επηρεάζει την κίνηση του φωτονίου και ταυτόχρονα µας αναφέρει ακριβώς την πορεία του ώστε να µας λέει από ποια σχισµή αυτό περνά. Ή το ένα θα έχουµε ή το άλλο. Ας µην ξεχνάµε ότι το φωτόνιο δεν είναι αποκλειστικά σωµατίδιο, είναι ταυτόχρονα και κύµα. Αν η συσκευή αναφέρει ακριβώς την πορεία του κάθε φωτονίου τότε αυτό είναι αποκλειστικά σωµατίδιο. ηλαδή αν δεν γνωρίζουµε το φωτόνιο είναι και κύµα, στο οποίο αντιστοιχεί µια πιθανότητα να περνά και από τις δύο σχισµές. Αν θέλουµε να ξέρουµε τότε το φωτόνιο θα διαλέξει τη µία από τις δύο σχισµές, θα συµπεριφερθεί ως σωµατίδιο και δεν θα έχουµε συµβολή! Η αρχή απροσδιοριστίας του Werner Karl Heisenberg µας λέει ότι θα πρέπει να αναθεωρήσουµε τον τρόπο που βλέπαµε τα φυσικά φαινόµενα µε την εξής έννοια: το ότι µπορούµε να παρατηρούµε τη φύση χωρίς να την αλλάζουµε κατά τη διάρκεια της παρατήρησης δεν είναι πια δεδοµένο. Θα πρέπει να δεχτούµε κάποιους περιορισµούς στις δυνατότητες παρατήρησης. Αν διατυπώναµε την αρχή της αβεβαιότητας στην περίπτωση που εξετάζουµε, θα λέγαµε: Είναι αδύνατο να Σελίδα 5.18

ΣΥΜΒΟΛΗ σχεδιάσουµε µια συσκευή που να προσδιορίζει τη σχισµή από την οποία περνά το φωτόνιο, και παράλληλα να µη διαταράσσει την πορεία του, ώστε να καταστρέφει τα χαρακτηριστικά της συµβολής. Η φύση θέτει περιορισµούς στο τι µπορούµε να µετρήσουµε χωρίς να το αλλάξουµε. 5..3. Το Μαθηµατικό Μοντέλο ιάταξης Young Μέτρηση Μήκους Κύµατος Για να αναπτύξουµε το µαθηµατικό πρότυπο του πειράµατος, θα µελετήσουµε τη γεωµετρία του πειράµατος και θα αναζητήσουµε : Ποιες είναι οι συµβάλλουσες δέσµες; Ποιος είναι ο γεωµετρικός παράγοντας που προκαλεί διαφορά φάσης; Σε κάθε σηµείο παρατήρησης γίνεται γραµµική άθροιση των ηλεκτρικών πεδίων που προέρχονται από τις δύο δέσµες. Έτσι θα εκφράσουµε τη διαφορά οπτικού δρόµου και θα εφαρµόσουµε τις συνθήκες ενισχυτικής και καταστροφικής συµβολής ώστε να βρούµε τους γεωµετρικούς τόπους µεγίστων και ελαχίστων αντίστοιχα. Μπορούµε να εκφραστούµε είτε µε εκφράσεις διαφοράς οπτικού δρόµου είτε µε εκφράσεις διαφοράς φάσης, µέσω της σχέσης (5.1.0) : διαφορά φάσης διαφορά οπτικού δρόµου = π λ Οι δύο συµβάλλουσες δέσµες προέρχονται από τις σύµφωνες πηγές S 1 και S, που διανύουν απόσταση r 1 και r, αντίστοιχα, για να φθάσουν σε ένα τυχαίο σηµείο P(x,y) της οθόνης παρατήρησης. Τα κύµατα µπορούν να εκφραστούν ως : E o π 1= exp ω 1+ 1 r1 λ E i t r ϕ E και o π E = expi ωt r + ϕ r λ (5..3) Θα θεωρήσουµε ότι r r 1 r, και έτσι το πλάτος πεδίου των κυµάτων θα είναι ίσο µε Α Ε/r. Επιπλέον, µιας και θεωρούνται ότι προέρχονται από το ίδιο µέτωπο κύµατος θα θέσουµε φ 1 =φ =0 : π E1 A expi ωt r1 και π E A expi ωt r (5..4) λ λ P(x,y) r 1 d S 1 K S θ Q r θ r x O y D Σχήµα 5--4 : ιάταξη συµβολής Young Σελίδα 5.19

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Ο γεωµετρικός παράγοντας που προκαλεί την ανάπτυξη διαφοράς οπτικού δρόµου είναι τα διαφορετικά µήκη των διαδροµών r 1 και r που ταξιδεύουν οι δέσµες µέσα στο µέσο από τις σηµειακές πηγές S 1 και S µέχρι το πέτασµα : = nu r r (5..5) ιαφορά οπτικού δρόµου ( ) 1 S 1 r 1 d θ Q r S äéáöïñü ïðôéêïý äñüìïõ Σχήµα 5--5 : ιαφορά οπτικού δρόµου στη διάταξη συµβολής Young όπου n ο δείκτης διάθλασης του µέσου µεταξύ πηγών και πετάσµατος και u το µοναδιαίο διάνυσµα κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Θα θέσουµε n=1, θεωρώντας αέρα ανάµεσα στις πηγές και το πέτασµα. Η διαφορά φάσης θα είναι : δ.φ. π = u ( r r1) (5..6) λ όπου λ το µήκος κύµατος που αντιστοιχεί στην ακτινοβολία στο µέσο. Σε πιο γενικευµένη περίπτωση µπορούµε να θεωρήσουµε ότι οι δύο πηγές έχουν αρχικά µια σταθερή, αλλά µη µηδενική διαφορά φάσης φ 1 -φ 0 : π δ.φ. = u ( r r1) + ( ϕ1 ϕ) = k ( r r1) + ( ϕ1 ϕ) (5..7) λ Αναζητούµε να εκφράσουµε γεωµετρικά τη διαφορά οπτικού δρόµου, σχέση (5..5). Στο σχήµα 5--5 η διαφορά αυτή εκφράζεται ως η απόσταση S Q, δηλαδή : δ.ο.δ. = d sinθ (5..8) Από τα όµοια τρίγωνα S 1 S Q & ΚΡΟ (σχήµα 5--4) µπορούµε να εκφράσουµε sinθ ΟΡ/ΚΡ. Εδώ θεωρούµε ότι η απόσταση D είναι µεγάλη σε σχέση µε την απόσταση d, και άρα η γωνία θ είναι σχετικά µικρή, και µπορούµε να θέσουµε προσεγγιστικά ΚΡ ΚΟ = D, οπότε προκύπτει : OP OP x sinθ = = (5..9) KP KO D xd και ιαφορά οπτικού δρόµου δ.ο.δ. = (5..10) D Η διαφορά φάσης δ.φ. µπορεί να εκφραστεί µέσω της (5.1.0) ως : διαφορά φάσης π xd δ.φ. = (5..11) λ D Σελίδα 5.0

ΣΥΜΒΟΛΗ Οι παραπάνω σχέσεις είναι οι σχέσεις-κλειδιά που εκφράζουν τις θέσεις µεγίστων και ελαχίστων στο πέτασµα. Για να βρούµε τα µέγιστα θα θέσουµε τη δ.ο.δ. ακέραιο πολλαπλάσιο του µήκους κύµατος, ή ισοδύναµα, τη διαφορά φάσης ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Οι θέσεις των µέγιστων έντασης -φωτεινοί κροσσοίπροσδιορίζονται από τη σχέση : Συνθήκη µεγίστων έντασης : διαφορά οπτικού δρόµου = m λ ή διαφορά φάσης = m π (5..1) Έτσι γράφουµε : xmax d m D λd = λ ή xmax = m (5..13) d Για να βρούµε τη θέση των ελαχίστων θα θέσουµε τη δ.ο.δ. ως ακέραιο πολλαπλάσιο συν µισό µήκος κύµατος, ή ισοδύναµα, τη διαφορά φάσης (ακέραιο πολλαπλάσιο π + π). ηλαδή : Συνθήκη ελαχίστων έντασης : διαφορά οπτικού δρόµου = (m+½) λ ή διαφορά φάσης = (m+½) π (5..14) Οι θέσεις των ελάχιστων έντασης (σκοτεινοί κροσσοί) προσδιορίζονται από τη σχέση: xmind 1 λd = m + λ ή xmin = ( m+ 1) (5..15) D d Και στις δύο σχέσεις ο ακέραιος m εκφράζει την τάξη συµβολής, και έχει τιµές 0, ± 1, ± κοκ. Η απόσταση ανάµεσα σε δύο οποιαδήποτε διαδοχικά µέγιστα ή δύο οποιαδήποτε διαδοχικά ελάχιστα είναι : λd απόσταση διαδοχικών κροσσών : x= xm+ 1 xm= (5..16) d ηλαδή η απόσταση δύο διαδοχικών κροσσών συµβολής στο πείραµα Young, είναι ανεξάρτητη της τάξης συµβολής και έτσι οι κροσσοί ισαπέχουν. Αυτό ισχύει και για φωτεινούς και για σκοτεινούς κροσσούς. ïðýò d θ D x Σχήµα 5--6 : Κατανοµή φωτεινής έντασης από δύο σηµειακές πηγές απόστασης d. Σελίδα 5.1

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Ανάµεσα σε δύο διαδοχικά ελάχιστα έχουµε φωτεινούς κροσσούς ή λοβούς που το πάχος του ορίζεται ως η απόσταση µεταξύ των ορίων του, δύο διαδοχικών ελαχίστων. Το πάχος λοβού είναι η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών ελαχίστων. Για εκφράσεις σε γωνία παρατήρησης θ, η χαρακτηριστική ποσότητα είναι η γωνία λ/d (rad), που παραµένει σταθερή ανεξάρτητα από την απόσταση παρατήρησης z. Έτσι η διαµόρφωση της φωτεινής έντασης του σχηµατισµού είναι σταθερή και απλώς µεγεθύνεται για µεγαλύτερες αποστάσεις παρατήρησης. Η έκφραση αυτής της χαρακτηριστικής ποσότητας είναι ιδιαίτερα απλή, και δίνει το γωνιακό διαχωρισµό των ελαχίστων, το γωνιακό πάχος των λοβών, και το µισό του γωνιακού πλάτους του λοβού. Ελάχιστα έντασης εµφανίζονται σε περιττά πολλαπλάσια (m+1) της ποσότητας λ/d. Συνοψίζουµε τα συµπεράσµατά µας στον παρακάτω πίνακα : απόσταση x στο πέτασµα γωνία θ (sinθ θ, rad) πάχος κροσσού (λοβού) x Λ D/d λ/d 1 ο ελάχιστο λ D/d λ/d m ο ελάχιστο (m+1) λ D/d (m+1) λ/d Πίνακας 5--1 : Χαρακτηριστικά κατανοµής από συµβολή δύο οπών απόστασης d. Η κατανοµή της φωτεινής έντασης στο πέτασµα παρατήρησης έχει µια µονοδιάστατη εξάρτηση (ηµιτονικές µεταβολές) κατά µήκος του άξονα που απέχουν οι δύο πηγές (x), και παρουσιάζει συγκεκριµένη περιοδικότητα x = λd/d. ηλαδή η περιοδικότητα των κροσσών είναι σε σχέση αντίστροφης αναλογίας µε την απόσταση των πηγών d. Αν, για παράδειγµα (Σχ. 5--7) µειώσουµε στο µισό την απόσταση των σηµειακών πηγών, τότε η περιοδικότητα των κροσσών διπλασιάζεται. d cos (πxd/λd) -3λD/d -λd/d -λd/d 0 λd/d λd/d 3λD/d x d/ -3λD/d -λd/d -λd/d 0 λd/d λd/d 3λD/d cos (πxd/λd) Σχήµα 5--7 : Εξάρτηση περιοδικότητας κροσσών από την απόσταση των πηγών. x Σελίδα 5.

ΣΥΜΒΟΛΗ Αν µετρήσουµε το βήµα -περιοδικότητα- των κροσσών, την απόσταση πηγώνπετάσµατος D, και την απόσταση των πηγών d, τότε µπορούµε να µετρήσουµε πειραµατικά το µήκος κύµατος λ. Για αποστάσεις D αρκετά µεγάλες σε σχέση µε το d ουσιαστικά µετράµε το µήκος κύµατος µε συντελεστή µεγέθυνσης D/d. Η περιοδικότητα των κροσσών, x = λd/d, προφανώς εξαρτάται και από τους τρεις παράγοντες, την απόσταση πηγών-πετάσµατος D, την απόσταση µεταξύ των πηγών d, και το µήκος κύµατος λ. ηλαδή, αν αποµακρύνουµε το πέτασµα, µειώσουµε την απόσταση µεταξύ των πηγών ή αλλάξουµε το µήκος κύµατος θα επηρεαστεί αντίστοιχα η περιοδικότητα των κροσσών. 5..4. Εναλλακτικοί Τρόποι Μαθηµατικού Μοντέλου ιάταξης Young Μπορούµε να υπολογίσουµε την κατανοµή της φωτεινής έντασης αν εφαρµόσουµε την αρχή της γραµµικής επαλληλίας για τα κύµατα που περιγράφονται από τις (5..3). Το συνιστάµενο πεδίο είναι : π π EΟΛ = E1+ E = A expi ωt r1 + A expi ωt r (5..17) λ λ Θα εκφράσουµε τις αποστάσεις r 1 και r ως (σχήµα 5--4) : d d x d d x r1 = r sinθ = r και r = r+ sinθ = r+ (5..18) D D Έτσι το συνολικό πεδίο είναι : π π xd π xd EΟΛ = E0 expi ωt r expi expi λ + λ D λ D (5..19) π π xd = E0 expi ωt r cos λ λ D και η φωτεινή ένταση είναι το µέτρο του ολικού πεδίου στο τετράγωνο : xd I = π 4Io cos λ D (5..0) Το ίδιο αποτέλεσµα προκύπτει µε τη διαφορά φάσης φ στη σχέση (5.1.7) : ϕ π xd I= Io + Io + IoIo ( cos ϕ) = Io( 1+ cos ϕ) = 4Iocos = 4Iocos (5..1) λ D Εναλλακτικά µπορούµε να θεωρήσουµε την κατανοµή ως διανυσµατική πρόσθεση των αντίστοιχων κυµατοδιανύσµατων. Για το κύµα από την πηγή S 1 θα θεωρήσουµε το κυµατοδιάνυσµα k 1 µε φορά από το S 1 στο πέτασµα, και αντίστοιχα για το κύµα από την πηγή S θα θεωρήσουµε το κυµατοδιάνυσµα k µε φορά από το S στο πέτασµα. Τα δύο ανύσµατα έχουν ίσο µέτρο, µιας και λ 1 =λ, και έχουµε : k1 = u π π π d 1, k = u και k1 k = (5..) λ λ λ D Σελίδα 5.3