3. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την

Transcript

1 ΚΥΜΑΤΑ 1. Μια πηγή Ο που βρίσκεται στην αρχή του άξονα, αρχίζει να εκτελεί τη χρονική στιγμή 0, απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση 6 10 ημ S. I.. Το παραγόμενο γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα με ταχύτητα 8 m/s σε γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο. α) Να βρείτε την περίοδο, τη συχνότητα και το μήκος κύματος. β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. γ) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει να κινείται ένα σημείο Μ του άξονα που βρίσκεται στη θέση 20 m; δ) Να βρείτε τη φάση του σημείου Μ τις χρονικές στιγμές: 1,5 s και 3 s. ε) Να γράψετε για το σημείο M την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση. [απ. α) 2 s, 16 m β) 6 10 ημ 2 S.I. γ) 2,5 s δ) /2 rad ε) 6 10 ημ 2 S. I. 2,5 s] 2. Το σημείο Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή 0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, που περιγράφεται από την εξίσωση ημ. Το κύμα που δημιουργεί, διαδίδεται κατά μήκος ομογενούς γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική φορά. Αν είναι γνωστό ότι: i) το σημείο Ο περνάει από τη θέση ισορροπίας του 30 φορές το λεπτό, ii) η ολική ενέργεια ταλάντωσης της πηγής Ο είναι 2 10 J, iii) κάθε στοιχειώδες τμήμα του ελαστικού μέσου θεωρείται υλικό σημείο μάζας 1 g και iv) το κύμα φτάνει στο σημείο Σ, που απέχει από το Ο απόσταση 4 m, τη χρονική στιγμή 2 s, να υπολογίσετε: α) την περίοδο του κύματος. β) το πλάτος του κύματος. γ) την ταχύτητα διάδοσης και το μήκος κύματος. δ) Να γράψετε την εξίσωση αυτού του κύματος. Δίνεται 10. [απ. α) 4 s β) 0,4 m γ) 2 m/s 0,4 ημ 2 S.I. ] 3. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την θετική κατεύθυνση έχει εξίσωση 4 10 ημ 5, S. I.. Η πηγή O δημιουργίας αυτού του κύματος βρίσκεται στη θέση 0 του άξονα. Θεωρούμε ότι ένα σημείο Σ του ελαστικού μέσου βρίσκεται σε απόσταση 0,3 m από το Ο. α) Να υπολογισθούν το πλάτος, η περίοδος και το μήκος του κύματος. β) Αν η πηγή του κύματος αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή 0: i) Ποια χρονική στιγμή φτάνει το κύμα στο σημείο Σ; ii) Να βρεθεί η φάση και η απομάκρυνση του Σ τη στιγμή 2 s. γ) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Να βρεθεί η απόσταση κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος ενός ελαχίστου (κοιλάδας) και του μεθεπόμενου μεγίστου (όρους). [απ. α) 0,04 m, 2 s, 0,4 m β) 1,5 s, rad γ) 4 10 ημ S.I. δ) 0,6 m] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 1

2 ΚΥΜΑΤΑ 4. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης ενός μορίου K ενός ομογενούς ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται γραμμικό αρμονικό εγκάρσιο κύμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι 2 cm/s και έχει μηδενική αρχική φάση. Κάθε μικρό τμήμα του σχοινιού μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο μάζας 2 10 kg. α) Πόσο απέχει από την πηγή του κύματος το σημείο Κ στο οποίο αναφέρεται η παραπάνω γραφική παράσταση; β) Να βρείτε το πλάτος και το μήκος κύματος αυτού του κύματος. γ) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο και για ένα άλλο σωματίδιο Μ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση 16 m. Να θεωρήσετε: 10. [απ. α) 12 cm β) 4 10 m, 16 cm γ) 4 10 ημ 2 S.I. ], 5. Η πηγή Ο που βρίσκεται στην αρχή του άξονα, αρχίζει τη χρονική στιγμή 0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, που περιγράφεται από την εξίσωση ημ. Το κύμα που δημιουργεί, διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου και κατά τη θετική φορά. Ένα σημείο Σ απέχει από την πηγή Ο απόσταση 12 m και αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική. Στη γραφική παράσταση που ακολουθεί φαίνεται η απομάκρυνση του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται 10. Να υπολογίσετε: α) Την περίοδο του κύματος. β) Τη χρονική στιγμή και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. γ) Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης ταλάντωσης του σημείου Σ. δ) Tο μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Σ όταν θα βρίσκεται στη θέση 0,15 m από τη θέση ισορροπίας του. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 2

3 ΚΥΜΑΤΑ ε) Tη διαφορά φάσης του σημείου Σ μεταξύ των χρονικών στιγμών 12 s και 15 s. [απ. α) 2 s β) 2 s γ) 3 m/s δ) 0,15 3 m/s ε) Δ 3 rad] 6. Οι παρακάτω γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στην ταλάντωση δύο σημείων Α και Β ενός ομογενούς γραμμικού ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα προς τη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα 2 m/s. α) Να υπολογίσετε το πλάτος του κύματος. β) Να προσδιορίσετε τις θέσεις και των σημείων Α και Β. γ) Να βρείτε το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σημείου Α. δ) Ποια είναι η φάση του σημείου Α την χρονική στιγμή 12 s; Δίνεται: 10. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην θέση 0 και τη χρονική στιγμή 0 ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. [απ. α) 4 cm β) 12 m, 24 m γ) 0,025 m/s δ) rad] 7. Η διπλανή γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο ενός σημείου Μ ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται ε γκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους 10 cm προς τη θετική κατεύθυνση. Το σημείο Μ απέχει από την πηγή Ο παραγωγής κυμάτων απόσταση 18 cm και μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο μάζας 2 10 kg. H πηγή του κύματος βρίσκεται στη θέση 0 και ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή 0 με 0. α) Να υπολογίσετε την περίοδο και το μήκος του κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. γ) Να παρασταθεί γραφικά η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ καθώς και ενός άλλου σημείου Ν, που βρίσκεται δεξιά του Μ και απέχει από αυτό απόσταση, από τη θέση ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο σε κοινό διάγραμμα. δ) Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή 8 s. [απ. α) 16 s, 0,48 m β) 0,1 ημ 2 S.I., 10 J] 8. Μια πηγή Ο αρχίζει να εκτελεί, τη χρονική στιγμή 0, απλή αρμονική ταλάντωση. Το παραγόμενο από την πηγή γραμμικό αρμονικό κύμα, διαδίδεται σε ελαστικό ομογενές μέσο, προς τη θετική φορά. Τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται εξαιτίας του κύματος και έχουν εξίσωση επιτάχυνσης: ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 3

4 ΚΥΜΑΤΑ 10 ημ2 2 S.I.. 4 α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα του κύματος. β) Να βρείτε την μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου και την ταχύτητα διάδοσης αυτού του κύματος. γ) Πότε θα βρίσκεται για 1η φορά στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του ένα σημείο Κ που βρίσκεται σε απόσταση 10 m από την πηγή Ο; δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης ενός άλλου σημείου Λ που βρίσκεται σε απόσταση 13 m από την πηγή Ο, κάποια στιγμή που το Κ θα βρίσκεται στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του. [απ. α) rad/s β) 10 m/s, 2 m/s γ) 5,5 s δ) 10 m/s] 9. Το σχήμα παρουσιάζει τη γραφική παράσταση της φάσης των σημείων μιας ομογενούς ελαστικής χορδής, στην οποία διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, τη χρονική στιγμή 4 s. Το πλάτος της ταλάντωσης των σημείων από τα οποία περνά το κύμα είναι 0,2 m. Δύο σημεία Κ και Λ της χορδής βρίσκονται στις θέσεις 1 και 1,5 m, αντίστοιχα. Για το σημείο της θέσης 0 γνωρίζουμε ότι τη χρονική στιγμή 0 το σημείο αυτό διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. α) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση, της ταχύτητας ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου. γ) να βρεθούν οι χρονικές στιγμές και, στις οποίες τα σημεία Κ και Λ ξεκινούν ταλάντωση. δ) Να υπολογιστεί η διαφορά φάσης μεταξύ των ταλαντώσεων των σημείων Κ και Λ την ίδια χρονική στιγμή. ε) Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Λ, μέχρι τη στιγμή που το σημείο Λ έχει εκτελέσει μία πλήρη ταλάντωση. στ) Να γίνει η γραφική παράσταση του σημείου Λ, μέχρι τη στιγμή που το σημείο Λ έχει εκτελέσει 2 πλήρεις ταλαντώσεις. ζ) Να βρεθεί η φορά κίνησης του σημείου Λ, τη χρονική στιγμή. η) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή 8 s. [απ. α) 0,2ημ 2 S. I. β) 0,2 συν 2 S. I. γ) 2 s 3 s δ) rad ζ) 0,2 m/s] 10. Η φάση γραμμικού αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο με πλάτος 0,4 m, δίνεται από τη σχέση: 5 (S.I). Κάποια χρονική στιγμή η φάση ενός σημείου Κ με απόσταση από την πηγή 3,9 m, είναι ίση με 2,5 rad. α) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή. β) Μέχρι που θα έχει διαδοθεί το κύμα εκείνη τη στιγμή; γ) Αν τα στοιχειώδη τμήματα του ελαστικού μέσου θεωρηθούν υλικά σημεία μάζας 2 10 kg το καθένα, πόση είναι η ολική ενέργεια ταλάντωσης καθενός από αυτά; δ) Να παρασταθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή και να υπολογίσετε την απευθείας απόσταση μεταξύ του σημείου Κ και ενός άλλου σημείου Λ με 3,6 m τότε. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 4

5 ΚΥΜΑΤΑ [απ. α) 1,8 s β) 5,4 m γ) 0,04 J δ) 0,5 m] 11. Η πηγή κύματος Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή 0 s να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους 0,2 m. Το αρμονικό κύμα που δημιουργείται διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, κατά τον άξονα. Στο παρακάτω διάγραμμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του κύματος μετά από χρόνο 10 s. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος στο ελαστικό μέσο. β) Να βρείτε την περίοδο του αρμονικού κύματος. γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου. δ) Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος. ε) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Κ και Λ τη χρονική στιγμή. [απ. α) 0,4 m/s β) 5 s γ) 8 10 m/s δ) 0,2ημ2 S.I. ε) rad] 12. Η παρακάτω γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή της φάσης σε συνάρτηση με την απόσταση από την πηγή γραμμικού αρμονικού κύματος, που διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο κατά τη θετική κατεύθυνση, πλάτους 2 cm κάποια χρονική στιγμή. H ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι 0,5 cm/s. α) Να υπολογίσετε την περίοδο και το μήκος του κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. γ) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή. δ) Να γίνει η γραφική παράσταση 1) της ταχύτητας ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους τη χρονική στιγμή και 2) της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο για το σημείο M με 5 cm. Σημείωση: Η πηγή του κύματος βρίσκεται στη θέση 0 και τη χρονική στιγμή 0, ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. [απ. α) 8 s, 4 cm β) 0,02 ημ 2 S.I. γ), 18 s] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 5

6 ΚΥΜΑΤΑ 13. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ελαστικό ομογενές μέσον κατά την θετική κατεύθυνση και έχει εξίσωση: 6 10 ημ 2 10, S. I.. Η πηγή O παραγωγής αυτού του κύματος βρίσκεται στη θέση 0 του ημιάξονα και τη χρονική στιγμή 0 ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. α) Να υπολογισθούν το πλάτος, η περίοδος, το μήκος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης και της φάσης ενός σημείου Σ που απέχει 0,4 m από το Ο σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις. γ) Αν το Σ θεωρηθεί υλικό σημείο με μάζα 10 kg να εκφραστεί η κινητική του ενέργεια σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Πόσο απέχουν μεταξύ τους δύο σημεία Μ και Ν που έχουν την ίδια χρονική στιγμή φάσεις rad και rad; ε) Να παρασταθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή 2,75 s. [απ. α) 6 10 m, 1 s, 0,2 m, 0,2 m/s β) 0,12 συν 2 2 S. I., δ) m]] 14. Γραμμικό αρμονικό εγκάρσιο κύμα με πλάτος 4 10 m και περίοδο 2 s, διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο με ταχύτητα 2 cm/s. Η πηγή παραγωγής αυτού του κύματος βρίσκεται στη θέση 0, αρχή του ημιάξονα και τη χρονική στιγμή 0 ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με σταθερή ταχύτητα. Κάθε στοιχειώδη τμήμα του ελαστικού μέσου μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο μάζας 10 kg. α) Να γράψετε την εξίσωση αυτού του κύματος. β) Να υπολογίσετε τη φάση του σημείου Σ που βρίσκεται στη θέση 3 cm την στιγμή 4,5 s. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή καθώς και τη χρονική στιγμή. δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή σε συνάρτηση με την απόστασή τους από το σημείο O τη χρονική στιγμή. [απ. α) 4 10 ημ 2 S.I. β) 3 rad], ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 6

7 ΣΥΜΒΟΛΗ 15. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1 και Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ελαστικής επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά ΑΒ 4,4 m. Τη χρονική στιγμή 0 οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την α πομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση ημ20 S.I.. Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύματος 0,4 m. Σημείο (Δ) απέχει κατά 2,8 m από την πηγή Π1 και κατά 7,2 m από την πηγή Π2. Το πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Δ) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό ισούται με Α 1 m. α) Να εξετάσετε εάν στο σημείο (Δ) συμβαίνει ενίσχυση ή απόσβεση των κυμάτων. β) Να υπολογίσετε το πλάτος των κυμάτων. γ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σημείου (Δ) σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό. δ) Να σχεδιάσετε σε κατάλληλα βαθμολογημένο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο του σημείου Μ, το οποίο είναι το μέσο του ΑΒ. [απ. α) Ενίσχυσης β) 0,5 m γ) ημ S. I. δ) 20 συν S.I. ] 16. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1, Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα της ε πιφάνειας ενός υγρού. Οι πηγές απέχουν μεταξύ τους κατά 2 m και ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, σύμφωνα με την 0,2ημ3 (S.I). Τα παραγόμενα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα 1,2 m/s. Σημείο (Γ) της επιφάνειας του υγρού απέχει απόσταση 3 m από την Π1 και από την Π2. Στο σημείο (Γ) τα κύματα φτάνουν με χρονική διαφορά Δ 1 s. α) Να υπολογίσετε την απόσταση. β) Να εξετάσετε αν το σημείο (Γ) είναι σημείο ενίσχυσης ή απόσβεσης. γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου (Γ) σε σχέση με το χρόνο και να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε κατάλληλα βαθμολογημένο σύστημα αξόνων. δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων ενίσχυσης που βρίσκονται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. ε) Αν (Δ) σημείο του τμήματος ΑΒ, το οποίο ανήκει στην ίδια υπερβολή ενίσχυσης ή α πόσβεσης με το σημείο (Γ) και (Ζ) σημείο του ΑΒ το οποίο είναι το πλησιέστερο στην πηγή Π 1 σημείο ενίσχυσης, να υπολογίσετε την απόσταση (ΔΖ). [απ. 1,8 m β) 0 γ) 0, 0,2ημ 3 4,5, 0 S. Ι. δ) 5 ενίσχυσης ε) 1,4 m] 17. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1 και Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ήρεμης επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά 0,65 m. Τη χρονική στιγμή 0 οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση ημ. Τα παραγόμενα κύματα έ χουν μήκος κύματος 0,2 m. Στο ακόλουθο διάγραμμα παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη της απομάκρυνσης ενός σημείου (Σ) της επιφάνειας, το οποίο απέχει κατά από την πηγή Π1 και κατά από την πηγή Π2, με. α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις και. β) Ένας σημειακός φελλός, μάζας 1 g βρίσκεται στο σημείο Σ της επιφάνειας. Να γράψετε την εξίσωση της δυναμικής ενέργειας του φελλού εξαιτίας της ταλάντωσής του σε συνάρτηση με το χρόνο. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 7

8 ΣΥΜΒΟΛΗ γ) Να υπολογίσετε τον αριθμό υπερβολών ενίσχυσης που τέμνουν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. δ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου (Σ) από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σημείο Μ, το οποίο είναι το μέσο του ΑΒ, βρίσκεται σε ακραία αρνητική απομάκρυνση για τέταρτη φορά. (Θεωρήστε ότι 10). [απ. α) 0,9 m, 1,3 m β) 0, 1,25 10 ημ 5 9, 5 10 ημ 5 11 γ) 7 υπερβολές δ) 0,05 2 m] 18. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1 και Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή 0 οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση 0,2ημ4 S.I.. Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύματος 0,1 m. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά 0,3 m από την πηγή Π1 και κατά 0,8 m από την πηγή Π2. α) Να γράψετε τις εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων που υποχρεώνεται να εκτελέσει το σημείο (Σ), εξαιτίας των δύο κυμάτων που φτάνουν σε αυτό από κάθε πηγή. β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Σ), μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό. γ) Να γράψετε την εξίσωση επιτάχυνσης του υλικού σημείου (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο για 0. (Θεωρήστε ότι 10) [απ. α) 0,2ημ2 2 3, 0,2ημ2 2 8 S. I. β) 0,4 γ) 64ημ 4 11 S. I.] 19. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ελαστικής επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά 0,4 m. Τη χρονική στιγμή 0 οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση 0,4 ημ 10 S. I. Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύματος 0,1 m. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά από την πηγή Π 1 και κατά από την πηγή Π 2, με. Τα κύματα φτάνουν στο (Σ) με χρονική διαφορά Δ 0,7 s. α) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Σ) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό. β) Η υπερβολή σταθερής διαφοράς αποστάσεων στην οποία ανήκει το (Σ) τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που συνδέει τις πηγές σε σημείο (Γ). Να υπολογίσετε την απόσταση του (Γ) από το σημείο (Μ) το οποίο είναι το μέσο του ΑΒ. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 8

9 ΣΥΜΒΟΛΗ γ) Να υπολογίσετε το πλήθος σημείων ενίσχυσης του τμήματος ΜΓ. δ) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μέσο Μ φτάνει σε απομάκρυνση 0,4 m για πρώτη φορά. [απ. 0 β) ΜΓ 0,175 m γ) 3 υπερβολές δ) s] 20. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1, Π 2 ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος 0,2 m, κάθετα στην ελαστική επιφάνεια ενός υγρού, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος 0,6 m. Οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή 0 με θετική ταχύτητα. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά 7,6 m από την πηγή Π 1 και κατά 4,8 m από την πηγή Π 2. Το (Σ) ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή 12 s. α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του (Σ) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό. β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, αφού συμβάλλουν σε αυτό τα κύματα. γ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του (Σ) τη χρονική στιγμή s. δ) Να υπολογίσετε το πηλίκο της κινητικής ενέργειας του σημείου Σ προς την ενέργεια ταλάντωσής του, τη χρονική στιγμή. (Θεωρήστε ότι 10) [απ. α) 0,2 m β) 0,2ημ2 S.I. γ) m/s δ) ] 21. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ήρεμης επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά 4 m. Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού χωρίς αρχική φάση, δημιουργώντας κύματα μήκους 0,8 m τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα 2 m/s. H πηγή Π 1 ισαπέχει από το σημείο (Σ) της επιφάνειας και από το μέσο Μ του ΑΒ. Στο (Σ) τα κύματα φτάνουν με χρονική διαφορά Δ 0,8 s. Το σημείο Μ ταλαντώνεται με πλάτος 0,8 m. α) Να εξετάσετε το είδος της συμβολής που συμβαίνει στο (Σ). β) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις και. γ) Να προσδιορίσετε τις θέσεις των σημείων απόσβεσης μεταξύ των Α και Β. [απ. α) ενίσχυσης β) 2 m, 3,6 m γ) 0,2 m, 0,6 m, 1 m, 1,4 m, 1,8 m από το μέσο Μ] 22. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή 0 οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση ημ (S.I) Τα κύματα που δημιουργούν διαδίδονται με ταχύτητα 2 m/s. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά από την πηγή Π 1 και κατά 2 m, ( ) από την πηγή Π 2. Εξαιτίας του κύματος που προέρχεται από την πηγή Π 1 το (Σ) εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση 0,4ημ2 2 1,75 S.I. α) Να υπολογίσετε την απόσταση. β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σημείου (Σ). γ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των πηγών, ώστε το (Σ) να είναι σημείο απόσβεσης. [απ. α) 1,75 m β) 1,6 2 συν2 2 γ) 4 Hz ] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 9

10 ΣΥΜΒΟΛΗ 23. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή 0 οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση ημ. Τα κύματα που δημιουργούν έχουν μήκος κύματος 0,4 m. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά 2,5 m από την πηγή Π 1 και κατά 4 m από την πηγή Π 2. Αφού τα κύματα συμβάλλουν στο (Σ), αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα 5 Ηz και πλάτος 1 m. α) Να υπολογίσετε τη χρονική διαφορά άφιξης των κυμάτων στο (Σ) καθώς και τη διαφορά φάσης με την οποία φτάνουν. β) Να υπολογίσετε το πλάτος των κυμάτων. γ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό. δ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των πηγών, ώστε το (Σ) να είναι ακίνητο μετά τη συμβολή των κυμάτων. [απ. α) Δ 0,75 s, Δ 7,5 β) m γ) ημ2 5 S.I. δ) Hz] 24. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή 0 οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση 0,2 ημ 10 S. I.. Τα κύματα που δημιουργούν έχουν μήκος κύματος 0,4 m. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά 2,5 m από την πηγή Π 1 και κατά από την πηγή Π 2. Τα δύο κύματα φτάνουν στο (Σ) με χρονική διαφορά 0,3 s. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων. β) Να υπολογίσετε την απόσταση. γ) Να εξετάσετε το είδος της συμβολής που συμβαίνει στο σημείο (Σ). δ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται ένα σημειακό κομμάτι ξύλου μάζας 5 g που αρχικά ισορροπούσε στο σημείο (Σ). (Θεωρήστε ότι 10) [απ. α) 2 m/s β) 3,1 m γ) 0 m δ) 0, ημ2 5 6,25 1,25 s 1,55 s S. I.), 0] 25. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά 2 m. Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού χωρίς αρχική φάση, δημιουργώντας κύματα μήκους κύματος 1,2 m και πλάτους 1 m. Σημείο (Λ) του ΑΒ ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή 0,2 s και είναι το πλησιέστερο σημείο στην πηγή Π 2 το οποίο μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις του (Λ) από τις κυματικές πηγές. β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του (Λ) τη στιγμή που τα κύματα συμβάλλουν στο μέσο Μ του ΑΒ. γ) Να υπολογίσετε την απόσταση (ΚΛ) όπου (Κ) το πλησιέστερο στην Π 1 ακίνητο σημείο του ΑΒ. δ) Σημείο (Ζ) της επιφάνειας ανήκει στην ίδια υπερβολή απόσβεσης με το (Κ). Αν αυξήσουμε κατά 20% τη συχνότητα των πηγών, να υπολογίσετε το νέο πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Ζ). [απ. α) 1,6 m/s, 0,4 m β) m/s γ) KΛ 1,5 m δ) 2συν m] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 10

11 ΣΥΜΒΟΛΗ 26. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή 0 οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση 0,2ημ4 S.I.. Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύματος 0,1 m. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά 0,3 m από την πηγή Π 1 και κατά 0,8 m από την πηγή Π 2. α) Να γράψετε τις εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων που υποχρεώνεται να εκτελέσει το σημείο (Σ), εξαιτίας των δύο κυμάτων που φτάνουν σε αυτό από κάθε πηγή. β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Σ), μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό. γ) Να γράψετε την εξίσωση επιτάχυνσης του υλικού σημείου (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο για 0. (Θεωρήστε ότι 10) [απ. α) 0,2ημ2 2 3, 0,2ημ2 2 8 S. I. β) 0,4 γ) 64ημ 4 11 S. I.] 27. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή 0 οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση 0,2 ημ 10 S. I.. Σημείο Σ της επιφάνειας απέχει κατά 4,2 m από την πηγή Π 1 και κατά από την πηγή Π 2. Το (Σ) ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή 1,05 s ενώ από τη χρονική στιγμή 1,55 s και έπειτα σταματά να κινείται. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα των κυμάτων και την απόσταση. β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο και της ταχύτητας ταλάντωσης του σε συνάρτηση με το χρόνο. γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της επιτάχυνσης του (Σ) ως συνάρτηση του χρόνου σε κατάλληλα βαθμολογημένο σύστημα αξόνων. δ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα των κυμάτων που μπορούμε να προκαλέσουμε ώστε στο σημείο (Σ) να υπάρχει ενίσχυση των κυμάτων. (Θεωρήστε ότι 10) [απ. α) 4 m/s, 6,2 m β) 0, 0,2ημ2 5 21/4 S. I., 0 δ) 2 Hz] 28. Δύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ελαστικής επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά 5 m. Οι πηγές ξεκινούν τη χρονική στιγμή 0 να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού χωρίς αρχική φάση με συχνότητα 5 Hz και ίδιο πλάτος δημιουργώντας κύματα, τα οποία συμβάλλουν στην επιφάνεια του υγρού. Σημείο (Σ) απέχει κατά 3 m από την πηγή Π 1 και κατά από την πηγή Π 2. Μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό, το (Σ) ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση: 0,1 ημ 10 S.I.. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι 3 m/s. α) Να υπολογίσετε την απόσταση του (Σ) από την Π 2. β) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων ενίσχυσης που βρίσκονται πάνω στο τμήμα ΑΒ. γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σημείου (Κ) το οποίο βρίσκεται επί του ΑΒ και ανήκει στην ίδια υπερβολή με το (Σ). δ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σημείου (Κ) σε συνάρτηση με το χρόνο. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 11

12 ΣΥΜΒΟΛΗ [απ. α) 4 m β) 17 σημεία γ) 2 m δ) 0, 0,1 ημ 2 5, 0,1ημ2 5 25/6 S. I.] 29. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας υγρού και απέχουν κατά 4,8 m. Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην ε πιφάνεια του υγρού χωρίς αρχική φάση, δημιουργώντας κύματα μήκους κύματος 0,8 m και πλάτους 0,5 m, τα οποία και συμβάλλουν στην επιφάνεια του υγρού. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά από την πηγή Π 1 και κατά από την πηγή Π 2. Το (Σ) ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή 1,1 s και τη χρονική στιγμή αφού εκτελέσει 2,5 ταλαντώσεις ακινητοποιείται. Το κύμα από την Π 2 φτάνει στην Π 1 επίσης τη χρονική στιγμή. α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις και. β) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων του τμήματος ΑΣ που είναι ακίνητα τη χρονική στιγμή. γ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σημείου (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των υπερβολών ενίσχυσης που τέμνουν το τμήμα ΑΣ μετά τη συμβολή των κυμάτων στο (Σ). [απ. α) 2,8 m, 4,8 m β) 7 σημεία γ) 0, 0,5ημ7 1, 0 δ) 3 ενίσχυσης] 30. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ελαστικής επιφάνειας ενός υγρού και ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, σύμφωνα με τις: 0,2 ημ 10 S.I. και 0,2 ημ 10 S. I. Τα δημιουργούμενα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα 2 m/s. α) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης ενός σημείου (Σ) της επιφάνειας το ο ποίο απέχει κατά από την πηγή Π 1 και κατά από την πηγή Π 2, αφού συμβάλλουν τα κύματα σε αυτό. β) Να γράψετε τη συνθήκη ενίσχυσης για το (Σ). γ) Αν ποιο είναι το πλάτος ταλάντωσης του (Σ) μετά τη συμβολή; δ) Αν ποια θα έπρεπε να είναι η αρχική φάση της, ώστε το (Σ) να είναι σημείο απόσβεσης; [απ. α) 0,4συν 2, ημ 2 5, β) γ) 0,2 3 m δ) rad] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 12

13 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 31. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα διαδίδονται ταυτόχρονα δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με εξισώσεις: 0,25ημ2 και 0,25ημ2 (S.I.). Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα. α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, των σημείων Α 0,5 m και B 1 m. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΔ της χορδής, όπου Δ 1,75 m) τη χρονική στιγμή 1,25 s σε κατάλληλα βαθμολογημένο σύστημα αξόνων. δ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου Z m όταν η απομάκρυνση του σημείου A είναι μέγιστη θετική. [απ. α) 0,5 συν 2 ημ 2 S. I. β) συν2, συν2 S.I. δ) 0,25 m] 32. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους 0,2 m και ίδιου μήκους κύματος 0,4 m διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις και ταχύτητα 2 m/s σε χορδή η οποία ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με κοιλία στο σημείο O 0. α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο κύμα. β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, των σημείων A 1,2 m και B 1,9 m. δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΒ της χορδής τις χρονικές στιγμές 0 και 0,15 s. [απ. α) 0,2ημ5 2, 0,2ημ5 2 β) 0,4 συν 5 ημ 10 γ) 0,4 ημ 10, 0] 33. Οριζόντια ελαστική χορδή μήκους 1,2 m έχει τα άκρα της στερεωμένα σε ακλόνητα εμπόδια. Στη χορδή έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, ως αποτέλεσμα της ταυτόχρονης διάδοσης στη χορδή δύο αντίρροπα διαδιδόμενων κυμάτων, με το ίδιο πλάτος 0,2 m και το ίδιο μήκος κύματος 0,4 m. α) Πόσες κοιλίες εμφανίζονται στη χορδή; β) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο της χορδής τη χρονική στιγμή κατά την οποία η πλησιέστερη κοιλία στο αριστερό άκρο της χορδής βρίσκεται σε μέγιστη θετική απομάκρυνση. γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής της συχνότητας των κυμάτων που πρέπει να επιφέρουμε, ώστε στη χορδή να εμφανίζονται 5 κοιλίες. [απ. α) 6 κοιλίες γ) 16,7% ] 34. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με κοιλία στο σημείο O 0. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι: 0,4 συν 2,5 ημ 20 S. I. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των οδεύοντων κυμάτων. β) Να γράψετε τις εξισώσεις των οδεύοντων κυμάτων. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 13

14 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ γ) Να υπολογίσετε την οριζόντια απόσταση μεταξύ του 3 ου δεσμού του θετικού ημιάξονα και της 2 ης κοιλίας του θετικού ημιάξονα η οποία βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την κοιλία που σχηματίζεται στο σημείο O 0. δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Z 0 του οποίου η απόσταση από το O 0 είναι μεγαλύτερη από την απόσταση του 2 ου δεσμού του θετικού ημιάξονα από το O 0 κατά m. [απ. 8 m/s β) 0,2 ημ ,25 S. I. γ) 0,6 m δ) 4 m/s] 35. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος, μήκος κύματος 0,4 m και συχνότητα 1 Hz διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε χορδή η οποία ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα. Τα κύματα συμβάλλουν δημιουργώντας στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση O 0 της χορδής εμφανίζει κοιλία. Το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης των σημείων του μέσου ισούται με 1,6 cm. α) Να γράψετε την εξίσωση του δημιουργούμενου στάσιμου κύματος. β) Αν Δ ( m) υλικό σημείο της χορδής με μάζα 2 g, να υπολογίσετε τη μέγιστη δύναμη επαναφοράς που δέχεται το Δ κατά την ταλάντωσή του. γ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σημείου Α ( 4,25 m) τη στιγμή που το σημείο Β 4,65 m διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. (Δίνεται 10) [απ. α) 0,016 συν 5 ημ 2 S. I β) N γ) 0,016 2 m/s] 36. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος 0,4 m, μήκος κύματος 0,4 m και συχνότητα 4 Hz διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε ελαστική χορδή η οποία ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση O 0 εμφανίζει κοιλία. Τα σημεία Α και Β της χορδής ταλαντώνονται με πλάτος 0,8 m και μεταξύ τους παρεμβάλλονται 3 δεσμοί. α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ. γ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση και την ταχύτητα του σημείου Α όταν η απομάκρυνση του σημείου Β είναι 0,2 7 m και η ταχύτητα του θετική. δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΒ τη χρονική στιγμή, όπου χρονική στιγμή κατά την οποία το σημείο Α διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. [απ. α) 0,8 συν 5 ημ 8 S. I β) 0,6 m γ) 4,8 m/s] 37. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση εμφανίζει κοιλία. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι: 0,4 συν 2,5 ημ 20. α) Να προσδιορίσετε τη θέση του δεσμού A του θετικού ημιάξονα μεταξύ του ο ποίου και του O 0 παρεμβάλλονται 2 ακόμα δεσμοί. β) Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Β 3,2 m. γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των δεσμών μεταξύ των Α και Β. [απ. 1 m β) 0,4 ημ 20 S. I. γ) 5 δεσμοί] 38. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος 0,8 m και συχνότητα 5 Hz διαδίδονται με α ντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 14

15 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ άξονα. Το κάθε κύμα εξαναγκάζει το σημείο O 0 σε ταλάντωση της μορφής ημ. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα όπου δύο διαδοχικές κοιλίες απέχουν κατά 0,2 m. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των οδεύοντων κυμάτων. β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των ακίνητων σημείων του τμήματος ΟΔ, όπου Δ 0,8 m. δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΟΔ της χορδής τη χρονική στιγμή 0,35 s. [απ. α) 2 m/s β) 1,6 συν 5 ημ 10 S. I γ) 4 δεσμοί] 39. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα, διαδίδονται τα : 0,2 ημ 2 2,5 S. I. και 0,2 ημ 2 2,5 S. I. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα. α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β) Να γράψετε τη συνθήκη κοιλιών και τη συνθήκη δεσμών. γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των δεσμών μεταξύ του σημείου O 0 και του σημείου A ( 5 m). [απ. α) 0,4 ημ 5 συν 2 S. I β),,, γ) 24 δεσμοί] 40. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με εξισώσεις 0,2ημ2 S.I. και 0,2ημ2 S.I. διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση O 0 εμφανίζει κοιλία. Στο σημείο Α 0,45 m είναι ο πέμπτος δεσμός του θετικού ημιάξονα. Το σημείο Β 1,025 m διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του ανά 0,2 s. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων. β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. γ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου Γ m τη χρονική στιγμή που το σημείο Δ 0,2 m βρίσκεται σε ακραία θετική απομάκρυνση. δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΒ της χορδής τη χρονική στιγμή που η απομάκρυνση του Ο ισούται με 0,4 m. [απ. α) 0,5 m/s β) 0,4 συν 10 ημ 5 S. I. γ) 0,2 m δ) 0,2 2 m] 41. Οριζόντια ελαστική χορδή μήκους 1 m έχει το δεξί άκρο της Α 1 m στερεωμένο σε ακλόνητο εμπόδιο. Το αριστερό άκρο Ο 0 είναι ελεύθερο να κινηθεί. Στη χορδή έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, με το Ο να είναι κοιλία, η οποία ταλαντώνεται με πλάτος 1,6 m. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του Ο ισούται με 16 m/s, ενώ μεταξύ των Ο και Α εμφανίζονται δύο δεσμοί. α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος των κυμάτων των οποίων η συμβολή παρήγαγε το στάσιμο. β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο της χορδής τη χρονική στιγμή 0,325 s. δ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του υλικού σημείου Β 0,9 m τη στιγμή που το υλικό σημείο Ο βρίσκεται σε ακραία αρνητική απομάκρυνση. [απ. α) 0,8 m β) 1,6συν ημ 10 S. I. δ) 0,8 2 m] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 15

16 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 42. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα. Το κάθε κύμα εξαναγκάζει το σημείο O 0 σε ταλάντωση της μορφής ημ. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με εξίσωση: 2 συν 5 ημ 8 S. I.. Το υλικό σημείο Γ m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους 0,5. α) Να γράψετε τις εξισώσεις των οδεύοντων κυμάτων. β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του υλικού σημείου Γ, τη στιγμή που το O 0 βρίσκεται στη μέγιστη θετική του απομάκρυνση. γ) Υλικό σημείο Δ ( 0 έχει εξίσωση ταχύτητας 4 2 συν 8 S. I.. Αν το σημείο Δ βρίσκεται μεταξύ της 6 ης κοιλίας συμπεριλαμβανομένης και της κοιλίας στην θέση 0 και του 6 ου δεσμού του θετικού ημιάξονα, να προσδιορίσετε τη συντεταγμένη της θέσης του Δ. δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων του τμήματος ΟΔ της χορδής, τα οποία κάθε χρονική στιγμή έχουν ίση απομάκρυνση και ίση ταχύτητα με το Δ. [απ. α) 0,5ημ 8 5, 0,5ημ 8 5 S.I. γ) 1,05 m δ) 5] 43. Σε μία οριζόντια ελαστική χορδή (ΟΛ) μήκους, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, ως α ποτέλεσμα της συμβολής δύο εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα, που διαδίδονται όμως σε αντίθετες κατευθύνσεις στη χορδή. Το δεξί ά κρο (Λ) της χορδής είναι στερεωμένο σε ακλόνητο εμπόδιο, ενώ το αριστερό άκρο O 0 είναι κοιλία και ταλαντώνεται με πλάτος 0,2 m. Μεταξύ των σημείων (Ο) και (Λ) εμφανίζονται 3 ακίνητα σημεία, ενώ η μέγιστη οριζόντια απόσταση μεταξύ δύο κοιλιών της χορδής ισούται με 1,2 m. α) Να υπολογίσετε το μήκος της χορδής. β) Να προσδιορίσετε τις θέσεις των ακίνητων σημείων. γ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη οριζόντια απόσταση μεταξύ δύο σημείων της χορδής, τα οποία ταλαντώνονται με πλάτος 0,1 m. δ) Έστω ότι μεταβάλλουμε τη συχνότητα ταλάντωσης του Ο (το οποίο εξακολουθεί να είναι κοιλία), με αποτέλεσμα μεταξύ των (Ο) και (Λ) να εμφανίζονται 6 ακίνητα σημεία. Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής της συχνότητας. [απ. 1,4 m β) 0,2 m, 0,6 m, 1 m, 1,4 m γ) m δ) 85,71%] 44. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα πλάτους A και μήκους κύματος διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα. Το κάθε κύμα αναγκάζει το σημείο Ο 0 σε ταλάντωση της μορφής ημ. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με εξίσωση 0,4 συν 10 ημ 40 S. I.. α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο. β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του υλικού σημείου Δ 0 της χορδής σε συνάρτηση με το χρόνο, αν το Δ είναι κοιλία και μεταξύ του Ο και του Δ παρεμβάλλονται τρείς δεσμοί. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΟΔ της χορδής, τη χρονική στιγμή 0. δ) Να εξετάσετε αν το σημείο Δ και το υλικό σημείο Γ 0,125 m βρίσκονται σε συμφωνία ή αντίθεση φάσης. [απ. α) 0,2 ημ , 0,2 ημ S. I. β) 16 συν 40 S. I. γ) συμφωνία φάσης] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 16