ΣΥΜΒΟΛΗ και ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΦΩΤΟΣ

Transcript

1 ΣΥΜΒΟΛΗ και ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΦΩΤΟΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Συµβολή και η Περίθλαση του φωτός είναι φαινόµενα που οφείλονται στην κυµατική φύση του φωτός (Κυµατική Οπτική) και ερµηνεύονται µε βάση την κυµατική θεωρία του φωτός, δηλαδή την περιγραφή του ως διαδιδόµενης κυµατικής διαταραχής µέσω της ηλεκτροµαγνητικής θεωρίας του Maxwell. Το ερµηνευτικό πλαίσιο της Γεωµετρικής Οπτικής, που στηρίζεται στην παραδοχή της ευθύγραµµης διάδοσης του φωτός υπό την µορφή φωτεινών ακτινών, και χρησιµοποιήθηκε µε επιτυχία για την ερµηνεία-περιγραφή των φαινοµένων της Ανάκλασης και της ιάθλασης δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τα φαινόµενα της Συµβολής και της Περίθλασης. Τα φαινόµενα της Συµβολής και της Περίθλασης είναι αλληλένδετα και σε πολλές περιπτώσεις είναι δύσκολο να διακριθούν τα όρια εφαρµογής του καθενός. Το κύριο κοινό ποιοτικό χαρακτηριστικό τους είναι η χωρική ανακατανοµή της έντασης του φωτός και η εµφάνιση µεγίστων και ελαχίστων έντασης της ακτινοβολίας σε καθορισµένες θέσεις. Για την περιγραφή τους εφαρµόζεται η αρχή της γραµµικής επαλληλίας ενός αριθµού επιµέρους κυµάτων E r i καθένα από τα οποία χαρακτηρίζεται από συγκεκριµένο πλάτος και φάση. Η διανυσµατική άθροιση τους σε συγκεκριµένη θέση του χώρου µια δεδοµένη χρονική στιγµή παράγει το r συνιστάµενο κύµα E( r, t) (για την περιγραφή του ΗΜ κύµατος χρησιµοποιήσαµε µόνο την ηλεκτρική συνιστώσα) του οποίου η ένταση, r E( r, t), εµφανίζει µέγιστα και ελάχιστα σε διαφορετικές θέσεις (διαφορετικές τιµές του r r ). Αυτή η περιγραφή δικαιολογεί και την ερµηνευτική άποψη ότι το θεµελιώδες φαινόµενο είναι αυτό της Συµβολής ενώ η Περίθλαση είναι µια ειδική περίπτωση του φαινοµένου της Συµβολής. Στις δύο εργαστηριακές ασκήσεις ΣΠΦ-1 και ΣΠΦ- θα µελετηθούν διεξοδικά τα φαινόµενα της Συµβολής και της Περίθλασης κατά την πρόσπτωση µονοχρωµατικής ακτινοβολίας λέιζερ σε διάφορα σώµατα (απλή και διπλή ορθογώνια σχισµή, ορθογώνιο εµπόδιο, ανοίγµατα και εµπόδια κυκλικής διατοµής, φράγµα περίθλασης, τετραγωνικό πλέγµα). Σε επόµενες εργαστηριακές ασκήσεις θα διερευνήσουµε τα ίδια φαινόµενα για µικροκυµατική ΗΜ ακτινοβολία καθώς και για υλικά κύµατα (υπέρηχοι).. ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 1

2 Το φαινόµενο της Περίθλασης είναι η απόκλιση µιας φωτεινής δέσµης από την ευθύγραµµη διάδοση όταν συναντήσει ένα άνοιγµα ή εµπόδιο. Η αλλαγή της πορείας της δέσµης (που δεν σχετίζεται µε το φαινόµενο της ιάθλασης και δεν ερµηνεύεται στα πλαίσια της Γεωµετρικής Οπτικής) συνοδεύεται από χωρική ανακατανοµή της έντασης της δέσµης µε την εµφάνιση µεγίστων και ελαχίστων έντασης σε διάφορες διευθύνσεις του χώρου ως προς την αρχική διεύθυνση της δέσµης και την θέση του εµποδίου. Αυτές οι εναλλασσόµενες φωτεινές και σκοτεινές περιοχές είναι γνωστές µε τον όρο κροσσοί περίθλασης. ιακρίνουµε δύο κατηγορίες φαινοµένων περίθλασης: (α) Περίθλαση Fresnel: η φωτεινή πηγή και το σηµείο παρατήρησης βρίσκονται πολύ κοντά στο αντικείµενο που προκαλεί την περίθλαση. Τόσο τα προσπίπτοντα όσο και τα περιθλώµενα κύµατα είναι σφαιρικά(σχ. 1(α)). Η πλήρης θεωρητική περιγραφή αυτού του είδους περίθλασης είναι περίπλοκη (β) Περίθλαση Fraunhofer: η φωτεινή πηγή και το σηµείο παρατήρησης βρίσκονται πολύ µακριά από το αντικείµενο που προκαλεί την περίθλαση. Τόσο τα προσπίπτοντα όσο και τα περιθλώµενα κύµατα µπορούν να θεωρηθούν επίπεδα (Σχ. 1(β)) και η θεωρητική περιγραφή απλοποιείται σηµαντικά. Εάν ο διαθέσιµος χώρος είναι περιορισµένος οι συνθήκες για παρατήρηση περίθλασης Fraunhofer υλοποιούνται µε την χρήση κατάλληλα τοποθετηµένων συγκεντρωτικών φακών (Σχ. 1(β)). ΣΧΗΜΑ 1. Σχηµατισµός περίθλασης από απλή σχισµή (ΑΣ) σε οθόνη (ΟΠ), (α) περίθλαση Fresnel και (β) περίθλαση Fraunhofer (ΣΦ: συγκεντρωτικός φακός, f: εστιακή απόσταση του φακού)

3 Στις εργαστηριακές ασκήσεις ΣΠΦ-1 και ΣΠΦ- θα ασχοληθούµε µόνο µε περίθλαση Fraunhofer χωρίς την χρήση βοηθητικών συγκεντρωτικών φακών. Αυτό επιτυγχάνεται αφ ενός µε την χρήση πηγής λέιζερ που παράγει έντονη, µονοχρωµατική, κατευθυντική και παράλληλη φωτεινή δέσµη και αφετέρου αντικειµένων (ανοιγµάτων, εµποδίων) πολύ µικρών διαστάσεων σε σχέση µε τις υπόλοιπες διαστάσεις της διάταξης. Για την εµφάνιση περίθλασης Fraunhofer είναι επιπλέον απαραίτητο να ισχύει ότι λ α, όπου λ το µήκος κύµατος της µονοχρωµατικής δέσµης και α η µικρότερη διάσταση του παρεµβαλλόµενου αντικειµένου. Θα δικαιολογήσουµε την συνθήκη αυτή παρακάτω. 3. ΣΥΜΒΟΛΗ Το φαινόµενο της Συµβολής παρατηρείται όταν δύο ή περισσότερα ΗΜ-κύµατα διαδιδόµενα στο ίδιο µέσο συναντηθούν σε ένα σηµείο του χώρου (r r ) µια δεδοµένη χρονική στιγµή (t). Η διανυσµατική υπέρθεσή τους στο σηµείο αυτό είναι δυνατόν, υπό κατάλληλες προϋποθέσεις, να οδηγήσει σε µεταβολές της έντασης του φωτός µεταξύ µιας µέγιστης και µιας ελάχιστης τιµής, η οποία ενδεχοµένως να είναι και µηδενική. Η συµβολή διακρίνεται σε ενισχυτική (όταν τοπικά καταγράφεται µέγιστη φωτεινή ισχύς), αποσβεστική (όταν καταγράφεται ελάχιστη ή και µηδενική φωτεινή ισχύς) και ενδιάµεση (όταν η καταγραφόµενη λόγω συµβολής ισχύς είναι µικρότερη της µεγίστης και µεγαλύτερη της ελαχίστης). Η εµφάνιση των αυξοµειώσεων της έντασης του φωτός (κροσσοί συµβολής) είναι αποτέλεσµα της χωρικής ανακατανοµής της συνολικής έντασης των συµβαλλόντων δεσµών και δεν οφείλεται σε φαινόµενα ενίσχυσης ή απόσβεσης της ακτινοβολίας. Το φαινόµενο της Συµβολής συχνά εµφανίζεται µαζί µε την Περίθλαση, όπως στην περίπτωση της διπλής σχισµής που θα µελετήσουµε πειραµατικά. Εν τούτοις πρόκειται για αυτοτελές φαινόµενο που παρατηρείται ανεξάρτητα από την εµφάνιση φαινοµένων Περίθλασης όταν οι συνθήκες είναι κατάλληλες. Η Συµβολή συνήθως παράγεται από επανασύνθεση δύο ή περισσοτέρων δεσµών που προέκυψαν από τον διαχωρισµό µιας αρχικής δέσµης φωτός µε την παρεµβολή κατάλληλης οπτικής διάταξης. Φαινόµενα Συµβολής από σύνθεση δύο δεσµών παράγουµε σε διατάξεις όπως το συµβολόµετρο Young, το συµβολόµετρο Michelson (θα το µελετήσουµε στην µικροκυµατική περιοχή) κ.λ.π. Συµβολή πολλαπλών δεσµών συναντάται στο συµβολόµετρο Fabry-Perot (θα το µελετήσουµε επίσης στην µικροκυµατική περιοχή), στο οπτικό φράγµα περίθλασης (θα το χρησιµοποιήσουµε στην ΣΠΦ-) κ.λ.π. 3

4 Η εµφάνιση φαινοµένων Συµβολής εξαρτάται από συγκεκριµένα βασικά χαρακτηριστικά των συµβαλλόντων δεσµών: πρέπει να είναι της ίδιας συχνότητας, να µην έχουν κάθετα µεταξύ τους επίπεδα ταλάντωσης και να είναι χρονικά ή/ και χωρικά σύµφωνες. Είναι εξαιρετικά δύσκολο οι συνθήκες αυτές να ικανοποιούνται όταν οι δέσµες προέρχονται από διαφορετικές πηγές φωτός. Αντιθέτως, ικανοποιούνται άµεσα όταν οι συµβάλλουσες δέσµες προέρχονται από διαχωρισµό της ίδιας αρχικής δέσµης από κατάλληλη οπτική διάταξη. 4. ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΑΠΟ ΑΠΛΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΧΙΣΜΗ Εάν παράλληλη µονοχρωµατική δέσµη λέιζερ µήκους κύµατος λ προσπέσει καθέτως σε µια ορθογώνια λεπτή σχισµή πλάτους α (> λ ) και µήκους l (>>α ) (όπως φαίνεται στο σχήµα (α)) σε οθόνη πίσω από την σχισµή που απέχει απόσταση L καταγράφεται σχηµατισµός περίθλασης που αποτελείται από εναλλασσόµενες φωτεινές και σκοτεινές περιοχές (σχήµα (γ)). ΣΧΗΜΑ : (α) Θεωρητική γωνιακή κατανοµή για περίθλαση Fraunhofer από απλή σχισµή, (β) µεγέθυνση των τριών δευτερευόντων µεγίστων περίθλασης, (γ) αποτύπωση κροσσών περίθλασης σε οθόνη. Η ένταση της ακτινοβολίας στις διάφορες θέσεις του σχηµατισµού περίθλασης δίνεται από την έκφραση: 4

5 sin a πα I( θ ) = I 0, a = sin θ (1) a λ Στην εξίσωση (1) η γωνία θ προσδιορίζει την θέση παρατήρησης του σχηµατισµού περίθλασης ως προς το κέντρο της σχισµής (σχήµα (α)). Για κάθε σηµείο παρατήρησης πάνω στην οθόνη εκφράζεται µέσω της σχέσης y sin θ =, όπου y η L απόσταση πάνω στην οθόνη του σηµείου παρατήρησης από το κέντρο του σχηµατισµού περίθλασης, που βρίσκεται ακριβώς απέναντι από το κέντρο της σχισµής. Στο σηµείο αυτό καταγράφεται η µέγιστη ένταση του σχηµατισµού περίθλασης που είναι ίση µε γωνία θ = 0. Η παράσταση I 0 και η θέση στην οποία εµφανίζεται αντιστοιχεί στην sin a a µέγιστο ίσο µε το 1 για a = 0 ή ισοδύναµα για θ = 0. ονοµάζεται παράγων περίθλασης και έχει Ποιοτικά ο σχηµατισµός περίθλασης αποτελείται από ένα έντονο κύριο µέγιστο και πολλά ασθενή δευτερεύοντα µέγιστα µεταξύ των οποίων εµφανίζονται σηµεία µηδενικής έντασης (ελάχιστα έντασης). Οι θέσεις των ελαχίστων περίθλασης προσδιορίζονται από την σχέση, α sin θ mλ, m = ± 1, ±, ± 3,... () m = Παρατηρείστε ότι ο ακέραιος δείκτης m (αποκαλείται και τάξη του ελαχίστου), που αριθµεί τα ελάχιστα δεν λαµβάνει την τιµή 0, που αντιστοιχεί στην θέση του κύριου µεγίστου και όχι σε θέση ελαχίστου. Οι ίδιας απόλυτης τιµής θετικές και αρνητικές τιµές του δείκτη (π.χ. +1 και 1) αντιστοιχούν σε θέσεις ελαχίστων συµµετρικές ως προς το κύριο µέγιστο (σχήµα (γ)). Αντιστοίχως, οι θέσεις των δευτερευόντων µεγίστων περίθλασης προσδιορίζονται από την σχέση, a = ± 1.430π, ±.459π, ± 3.471π, ± 4.479π,... (3) Μια χρήσιµη προσεγγιστική σχέση για τις θέσεις των δευτερευόντων µεγίστων είναι η επόµενη, 1 α sin θ ' m m + λ, m = ± 1, ±, ± 3,... (4) Η σχέση αυτή γίνεται ακριβέστερη όσο αυξάνει η τάξη µεγίστου, όπως προκύπτει από την άµεση σύγκριση των (3) και (4). m του δευτερεύοντος Χρησιµοποιώντας την (4) στην (1) είναι δυνατόν να εκτιµήσουµε την ένταση των δευτερευόντων µεγίστων ως προς την ένταση του κύριου µεγίστου. Προκύπτει η έκφραση, 5

6 1 sin( m + ) π I m = I 0, m = ± 1, ±, ± 3,... (5) 1 ( ) m + π Οι αριθµητικές τιµές που προκύπτουν για τα διάφορα δευτερεύοντα µέγιστα είναι m = ±1 I 1 = 4.5% I 0 m = ± I = 1.6% I 0 m = ±3 I 3 = 0.8% I 0 m = ±4 I 4 = 0.5% I 0 Όπως γίνεται φανερό από τα παραπάνω αριθµητικά αποτελέσµατα τα δευτερεύοντα µέγιστα είναι εξαιρετικά ασθενή και πρακτικά όλη η ένταση του σχηµατισµού περίθλασης είναι συγκεντρωµένη στην περιοχή γύρω από το κύριο µέγιστο και µεταξύ των ελαχίστων 1 ης τάξης. ιερευνώντας την (1) διαπιστώνουµε ότι για δεδοµένη τιµή του λόγου µέγιστος αριθµός κροσσών περίθλασης είναι καθορισµένος από την συνθήκη, α / λ ο α m (6) λ που προκύπτει από την συνθήκη sinθ 1. Από την ίδια διερεύνηση προκύπτει ότι m όταν λ > α είναι αδύνατος ο σχηµατισµός περίθλασης µε εναλλασσόµενες φωτεινές και σκοτεινές περιοχές και η κατανοµή της έντασης του φωτός µετά την σχισµή έχει ένα µόνο µέγιστο για θ = 0 ενώ µειώνεται οµαλά καθώς το θ αυξάνεται προς την τιµή π ±. Η ίδια συλλογιστική µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι για δεδοµένα λ και L το κεντρικό µέγιστο γίνεται οξύτερο καθώς το πλάτος τη σχισµής α αυξάνεται ενώ τα ελάχιστα περίθλασης πλησιάζουν προς το κεντρικό µέγιστο, όπως φαίνεται και στο επόµενο σχήµα 3. 6

7 ΣΧΗΜΑ 3: Σχηµατισµός περίθλασης από απλή σχισµή πλάτους α για (α) α 1 =0.1mm, (β) α =0.4 mm, (γ) α 3 =0.48 mm, όπου φαίνεται η αύξηση της οξύτητας του κυρίου µεγίστου καθώς αυξάνεται το πλάτος της σχισµής. 5. ΑΡΧΗ του ΒΑΒΙΝΕΤ Θεωρούµε ένα κυκλικό άνοιγµα σε µια αδιαφανή οθόνη σαν µια οπτική διάταξη περίθλασης (σχήµα 4(α)). Με βάση αυτήν την διάταξη κατασκευάζουµε δύο νέες οπτικές διατάξεις περίθλασης όπως αυτές που φαίνονται στα σχήµατα 4(β) και 4(γ), αντιστοίχως. Θα τις ονοµάζουµε συµπληρωµατικές διατάξεις περίθλασης εάν οι διαφανείς περιοχές της πρώτης (Β 1 ) είναι αδιαφανείς στην δεύτερη (Β ) και αντιστρόφως. ΣΧΗΜΑ 4: Συµπληρωµατικές κατά ΒΑΒΙΝΕΤ διατάξεις περίθλασης. 7

8 Τα πεδία που παράγονται λόγω περίθλασης σε τυχόν σηµείο παρατήρησης Ρ από τις τρείς διατάξεις του σχ. 4 µπορεί µε εντελώς γενικό τρόπο να αποδειχθεί ότι ικανοποιούν την σχέση, E P) = E ( P) + E ( ), που αποτελεί την µαθηµατική 0 ( 1 P έκφραση της αρχής του ΒΑΒΙΝΕΤ. Στην ειδική περίπτωση που το E0 ( P) = 0 για κάθε θέση Ρ (π.χ. ένα πλήρως αδιαφανές πέτασµα) προκύπτει ότι E1( P) = E (P) και συνεπώς I 1( P) = I ( P), αφού E 1 E =. Με άλλα λόγια, στην περίπτωση αυτή οι συµπληρωµατικές διατάξεις παράγουν το ίδιο σχηµατισµό περίθλασης Fraunhofer. Ένα παράδειγµα συµπληρωµατικών οπτικών διατάξεων περίθλασης για τις οποίες η προηγούµενη ανάλυση µπορεί να εφαρµοστεί, είναι µια ορθογώνια σχισµή πλάτους α πάνω σε αδιαφανές πέτασµα και ένα ορθογώνιο εµπόδιο ίδιου πλάτους πάνω σε διαφανές πέτασµα. Αυτό το τελευταίο µπορεί να υλοποιηθεί µε ένα κατακόρυφο συµπαγές σύρµα (ή και µια τρίχα από τα µαλλιά σας). Όταν αυτό το εµπόδιο παρεµβληθεί κάθετα στην πορεία µιας δέσµης λέιζερ θα παράγει σχηµατισµό περίθλασης όµοιο µε αυτόν ορθογώνιας σχισµής πλάτους ίσου µε το πλάτος του σύρµατος. Η ταυτότητα των σχηµατισµών περίθλασης είναι πλήρης εκτός από µια µικρή περιοχή περί το κεντρικό µέγιστο η οποία στην περίπτωση του εµποδίου είναι εντονότερη. Αυτό το αποτέλεσµα µπορούµε να το εκµεταλλευτούµε για να προσδιορίσουµε µε µετρήσεις περίθλασης την άγνωστη διάµετρο του σύρµατος εφαρµόζοντας στις πειραµατικές µας µετρήσεις την ανάλυση που ισχύει για περίθλαση από απλή σχισµή. 6. ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΑΠΟ ΙΠΛΗ ΣΧΙΣΜΗ Θεωρούµε παράλληλη µονοχρωµατική δέσµη λέιζερ που προσπίπτει κάθετα σε διπλή σχισµή πλάτους α και απόστασης d, δηλαδή σε µια οπτική διάταξη περίθλασης που αποτελείται από δύο πανοµοιότυπες λεπτές σχισµές πλάτους α και µήκους l (>>α ) η καθεµία, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και των οποίων τα κέντρα απέχουν απόσταση d (σχήµα 5(α)). Η γωνιακή κατανοµή της έντασης ακτινοβολίας πίσω από την διπλή σχισµή δίνεται από την έκφραση, ( ) sin a πα πd I ( θ ) = 4I 0 cos β, a = sin θ, β = sin θ (7) a λ λ Η γωνία θ ορίζεται ακριβώς όπως και στην περίπτωση της απλής σχισµής. Η µέγιστη ένταση ορίζεται ως 4I και αντιστοιχεί στην θέση θ = 0 που ισοδυναµεί µε 0 a = 0 και β = 0. Ο παράγοντας sin a a είναι ο ήδη γνωστός µας παράγοντας 8

9 περίθλασης ενώ ο παράγοντας ( ) cos β ονοµάζεται παράγοντας συµβολής. Το γινόµενο των δύο αυτών παραγόντων καθορίζει την διαµόρφωση του σχηµατισµού περίθλασης από την διπλή σχισµή. Όπως φαίνεται και από τα σχήµατα 5(α) και 5(β) ο σχηµατισµός αποτελείται από κροσσούς συµβολής λόγω της παρουσίας των δύο σχισµών (συνεχής γραµµή) διαµορφωµένους από µια περιβάλλουσα (διακεκοµµένη γραµµή) που αντιστοιχεί στην περίθλαση από απλή σχισµή. Συνεπώς η τελική κατανοµή έντασης είναι το αποτέλεσµα συµβολής διαµορφωµένης από την περίθλαση. Ποιοτικά ο σχηµατισµός περίθλασης αποτελείται από εναλλασσόµενους φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς συµµετρικά κατανεµηµένους γύρω από τον έντονο κεντρικό κροσσό. ΣΧΗΜΑ 5: Θεωρητική γωνιακή κατανοµή της έντασης για Συµβολή Περίθλαση από διπλή σχισµή 9

10 Εφ όσον ο παράγοντας περίθλασης είναι ακριβώς ο ίδιος µε αυτόν για απλή σχισµή, οι θέσεις των ελαχίστων και των δευτερευόντων µεγίστων περίθλασης θα προσδιορίζονται από τις σχέσεις που έχουµε ήδη αναλύσει προηγουµένως στο εδάφιο 4. Εποµένως, θα αναλύσουµε µόνο τις θέσεις για τα µέγιστα και ελάχιστα συµβολής που καθορίζονται από τον παράγοντα συµβολής. Συγκεκριµένα, τα σηµεία στα οποία µηδενίζεται ο παράγοντας συµβολής αντιστοιχούν στα ελάχιστα συµβολής. ίνονται από την συνθήκη, 1 d sinθ k = k + λ, k = 0, ± 1, ±, ± 3,... (8) Στο σχήµα 5(α) τα σηµεία που αριθµούνται από το 6 έως το 13 αντιστοιχούν σε ελάχιστα συµβολής. Αντιστοίχως τα µέγιστα συµβολής προσδιορίζονται από την σχέση, ' d sin θ k = kλ, k = ± 1, ±, ± 3,... (9) Στο σχήµα 5(α) τα σηµεία που αριθµούνται από το 14 έως το 0 αντιστοιχούν σε µέγιστα συµβολής. Μια γραφική αναπαράσταση του παράγοντα συµβολής εικονίζεται στο σχήµα 6(α) για την ειδική περίπτωση που d/α=3. Ο παράγοντας συµβολής περιγράφει περιοδική διάταξη ισοϋψών κροσσών συµβολής µε ελάχιστα και µέγιστα σε θέσεις που ορίζονται από τις (7) και (8). Αντιθέτως, ο παράγοντας περίθλασης, που απεικονίζεται για τις ίδιες τιµές των παραµέτρων στο σχήµα 6(β), έχει το γνωστό από την περίπτωση της απλής σχισµής σχήµα. Το γινόµενό τους που περιγράφει τον σχηµατισµό περίθλασης από την διπλή σχισµή εικονίζεται στο σχήµα 6(γ). Από το σχήµα αυτό είναι φανερό ότι θέσεις για τις οποίες ο παράγοντας συµβολής έχει µέγιστο αλλά ο παράγοντας περίθλασης ελάχιστο αντιστοιχούν σε θέσεις ελαχίστου για την γωνιακή κατανοµή της περίθλασης από διπλή σχισµή. Έτσι η συνθήκη για την ταύτιση ενός µεγίστου συµβολής µε ένα ελάχιστο περίθλασης είναι η ακόλουθη, d = α Στην περίπτωση που ο λόγος αυτός είναι ακέραιος, k m, k = ± 1, ±, ± 3,..., m = ± 1, ±, ± 3,.....(10) k = n, στις θέσεις των ελαχίστων m περίθλασης τάξης m ΕΝ θα εµφανίζεται το µέγιστο συµβολής τάξης k = nm. Η διεξαγωγή πειραµατικών µετρήσεων διευκολύνεται πολύ όταν ο λόγος ακέραιος και η τιµή του σχετικά µικρή, π.χ. 3 όπως στο σχήµα 6. Ο µέγιστος αριθµός κροσσών συµβολής προσδιορίζεται από την συνθήκη k είναι m d k (11) λ 10

11 Σε αντίθεση µε την περίπτωση της περίθλασης από απλή σχισµή οι κροσσοί συµβολής από διπλή σχισµή µπορεί να έχουν εντάσεις συγκρίσιµες µε αυτήν του κεντρικού µεγίστου (σχήµα 5(α) και 6(γ)). Επιπλέον, ο αριθµός τους µεταξύ του d κεντρικού µεγίστου και του 1 ου ελάχιστου περίθλασης αυξάνει όσο ο λόγος αυξάνει α ενώ τα αντίστοιχα µέγιστα γίνονται οξύτερα. ΣΧΗΜΑ 6: Θεωρητική κατανοµή έντασης για συµβολή-περίθλαση από διπλή σχισµή µε d/α=3. (α) παράγοντας συµβολής, (β) παράγοντας περίθλασης, (γ) το γινόµενο των δύο παραγόντων. 7. ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗΣ από ΦΡΑΓΜΑ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗΣ Μέχρι τώρα ασχοληθήκαµε θεωρητικά και πειραµατικά µε τον σχηµατισµό περίθλασης από απλή (Ν=1) και διπλή σχισµή (Ν=). Εάν θεωρήσουµε ότι µονοχρωµατική δέσµη λέιζερ ακτινοβολεί καθέτως γραµµική διάταξη πολλαπλής σχισµής που αποτελείται από Ν το πλήθος όµοιες παράλληλες ορθογώνιες σχισµές πλάτους α ισαπέχουσες µεταξύ τους κατά σταθερή απόσταση d, τότε η γωνιακή κατανοµή της έντασης της κατά Fraunhofer περιθλώµενης ακτινοβολίας δίνεται από την σχέση, 11

12 sin a sin( Nβ ) I ( θ ) = I 0 sin (1) a β όπου α a = π sinθ () λ και d β = π sinθ (3) λ Οι ποσότητες a και β σας είναι ήδη γνωστές από την µελέτη σχηµατισµού περίθλασης από διπλή σχισµή. Κατ αναλογία προς την ορολογία που sin a χρησιµοποιήσαµε και στην περίπτωση της διπλής σχισµής, ο όρος a στην (1) ονοµάζεται παράγων περίθλασης ενώ ο όρος sin( Nβ ) sin β ονοµάζεται παράγων συµβολής. Όταν ο αριθµός των σχισµών είναι πολύ µεγάλος, οπότε και µετράται σε αριθµό χαραγών ανά µονάδα µήκους (π.χ. Ν=1000 χαραγές/cm), η διάταξη ονοµάζεται φράγµα περίθλασης. Ο σχηµατισµός περίθλασης από πολλαπλή σχισµή καθορίζεται από τις γεωµετρικές παραµέτρους α, d, Ν και το µήκος κύµατος λ της πηγής λέιζερ. Τα ελάχιστα και µέγιστα περίθλασης καθορίζονται από τις ίδιες ακριβώς συνθήκες όπως και για περίθλαση από απλή σχισµή δεδοµένου ότι ο παράγων περίθλασης δεν εξαρτάται από το Ν αλλά µόνο από τις παραµέτρους α και λ. Αντιθέτως, οι συνθήκες για τα µέγιστα και τα ελάχιστα συµβολής εξαρτώνται από τον αριθµό των Ν σχισµών. Πιο συγκεκριµένα, διερευνώντας τον παράγοντα συµβολής ως προς την εµφάνιση µεγίστων διαπιστώνουµε ότι εµφανίζονται κύρια και δευτερεύοντα µέγιστα συµβολής. Οι θέσεις των κύριων µέγιστων συµβολής προσδιορίζονται από την συνθήκη, d sin θ n = nλ, n = 0, ± 1, ±, ± 3,... (4) Η τιµή της έντασης στην θέση του n-οστού µεγίστου δίνεται από την έκφραση, όπου sin an I( θ ) = 0 n N I (5) an an υπολογίζεται από την () εάν όπου θ αντικαταστήσουµε το θ n που προκύπτει από την (4). Τα µέγιστα συµβολής έχουν διαφορετική ένταση λόγω του παράγοντα περίθλασης ο οποίος διαµορφώνει το ύψος τους. Το µέγιστο που 1

13 αντιστοιχεί στην τιµή n = 0, δηλαδή σε γωνία θ = 0 (που ισοδυναµεί µε a = β = 0 ), ονοµάζεται κεντρικό κύριο µέγιστο και η τιµή της έντασης του είναι ) = N I 0 εξάρτηση της έντασης του κεντρικού κύριου µεγίστου από το τετράγωνο του αριθµού των σχισµών είναι χαρακτηριστικό τυπικό αποτέλεσµα της ενισχυτικής συµβολής N κυµάτων ίσου πλάτους. ευτερεύοντα µέγιστα, Ν το πλήθος, εµφανίζονται µεταξύ των διαδοχικών κυρίων µεγίστων όταν το Ν > 3. Η ένταση των δευτερευόντων µεγίστων είναι ιδιαίτερα µικρή και µειώνεται όσο ο αριθµός Ν των σχισµών αυξάνει. Για µεγάλες τιµές του Ν, όπως στην περίπτωση του φράγµατος περίθλασης, τα δευτερεύοντα µέγιστα είναι πρακτικώς µη ανιχνεύσιµα. Τα αποτελέσµατα αυτά συνοψίζονται στα γραφήµατα του σχήµατος 1. I(0. Η ΣΧΗΜΑ 1: (α) Θεωρητική γωνιακή κατανοµή της έντασης περίθλασης από διάταξη µε Ν=1 έως και 6 σχισµές για d/α=4, (β) φωτογραφική απεικόνιση της γωνιακής κατανοµής έντασης. Μεταξύ των δευτερευόντων µεγίστων εµφανίζονται Ν 1 το πλήθος ελάχιστα συµβολής των οποίων οι θέσεις προσδιορίζονται από την σχέση, k d sinθ k = λ, k = ± 1, ±, ± 3,..., N 1, N + 1,... (6) N όπου ο δείκτης k δεν επιτρέπεται να πάρει τιµές ίσες µε ακέραια πολλαπλάσια του Ν, διότι τότε οι γωνίες που προσδιορίζονται από την σχέση (6) αντιστοιχούν σε θέσεις µεγίστων. Την σχέση (5) για τα κύρια µέγιστα περίθλασης µπορούµε να την γράψουµε και µε την ακόλουθη µορφή, 13

14 όπου I 0,max sin a I( θ n ) = I 0,max (7) a η τιµή της έντασης του κεντρικού µεγίστου. Από την (7) είναι φανερό ότι οι εντάσεις των κύριων µεγίστων περίθλασης δεν εξαρτώνται άµεσα από το Ν αλλά από την τιµή του παράγοντα περίθλασης, δηλαδή από τον λόγο (d/α), δεδοµένου ότι για τα κύρια µέγιστα ισχύει επιπλέον η συνθήκη β = nπ η οποία εµπεριέχει την εξάρτηση από την παράµετρο d. Συνεπώς, όσο ο λόγος (d/α) αυξάνεται τα κύρια µέγιστα εµφανίζονται πλησιέστερα προς το κεντρικό κύριο µέγιστο ενώ η έντασή τους ουσιαστικά ταυτίζεται µε αυτή του κεντρικού κύριου µεγίστου. Στην πράξη αυτή η µορφή σχηµατισµού περίθλασης εµφανίζεται όταν (d/α) 10 και αποτελεί το βασικό χαρακτηριστικό των φραγµάτων περίθλασης. Μια γραφική απεικόνιση του αναµενόµενου σχηµατισµού περίθλασης από φράγµα που εµφανίζει τα προαναφερθέντα χαρακτηριστικά φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. ΣΧΗΜΑ : Θεωρητική γωνιακή κατανοµή της έντασης από φράγµα περίθλασης και φωτογραφική απεικόνιση του σε κυκλική οθόνη. Οι αποστάσεις µεταξύ των µεγίστων που φαίνονται στο σχήµα θα είναι ίσες αν απεικονισθούν σε κυκλική οθόνη δεδοµένης ακτίνας τοποθετηµένης έτσι που το φράγµα περίθλασης να βρίσκεται στο νοητό κέντρο της. Το σύνηθες είναι η απεικόνιση να γίνεται σε επίπεδη οθόνη οπότε οι προβολές των αποστάσεων των διαδοχικών µεγίστων πάνω στην οθόνη, µειούµενο µήκος: y < 1 < y y3 y i, θα είναι άνισες και µάλιστα µε συνεχώς. Είναι σηµαντικό να προσέξουµε ότι κατά την εκτέλεση πειραµατικών µετρήσεων όταν καταγράφουµε τις θέσεις µεγίστων υψηλής σχετικά τάξης ενδέχεται η προσέγγιση x >> (που ισοδυναµεί µε sin θ = 0 ) να µην y i i 14

15 ισχύει. Στην περίπτωση αυτή, η πειραµατική ανάλυση των µετρήσεων (στην οποία θα αναφερθούµε διεξοδικότερα παρακάτω) πρέπει να βασισθεί στην ακριβή έκφραση, yi λ sin θ i = = n, n = ± 1, ±, ± 3,... (8) y + L d i 8. ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ από ΚΥΚΛΙΚΟ ΑΝΟΙΓΜΑ Μια απλή αλλά σηµαντική διάταξη για σχηµατισµό περίθλασης αποτελείται από ένα κυκλικό άνοιγµα διαµέτρου πάνω σε αδιαφανή οθόνη. Όταν ακτινοβοληθεί µε δέσµη λέιζερ προκύπτει σχηµατισµός περίθλασης κυλινδρικά συµµετρικός ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του ανοίγµατος και είναι κάθετος στην οθόνη παρατήρησης. Σο σχήµα 3 απεικονίζεται γραφικά ο σχηµατισµός περίθλασης σε δισδιάστατη προβολή όσο και σε τρισδιάστατη αναπαράσταση. ΣΧΗΜΑ 3: (α) Θεωρητική γωνιακή κατανοµή της έντασης για περίθλαση από κυκλικό άνοιγµα διαµέτρου D, (β) ισδιάστατη προβολή σχηµατισµού οµόκεντρων κυκλικών δακτυλίων µε κεντρικό δίσκο Airy, (γ) τρισδιάστατη αναπαράσταση του σχηµατισµού περίθλασης. Η θεωρητική κατανοµή της έντασης ακτινοβολίας για περίθλαση από απλή σχισµή δίνεται από την έκφραση, όπου, J1( w) ( ) = I 0 I θ (9) w I η µέγιστη ένταση του σχηµατισµού που καταγράφεται για θ = 0 (δες 0 σχήµα 3), J 1( w ) η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξης 1 και πd w = sin θ (10) λ 15

16 Οι θέσεις των ελαχίστων περίθλασης προσδιορίζονται από τις ρίζες της συνάρτησης Bessel οι οποίες έχουν υπολογισθεί αριθµητικά και είναι καταγεγραµµένες σε σχετικούς πίνακες. Αξίζει να αναφέρουµε ότι για µικρές τιµές του ορίσµατος η J 1( w ) είναι ποιοτικά παρόµοια µε την (sin w / w). Ενδιαµέσως των ελαχίστων εµφανίζονται τα δευτερεύοντα µέγιστα, ιδιαίτερα αµυδρά όπως και στην περίπτωση της περίθλασης από σχισµή ορθογώνιας διατοµής. Η ένταση του σχηµατισµού περίθλασης που περικλείεται στον δίσκο του Airy αντιστοιχεί στο 84% της συνολικής έντασης του σχηµατισµού ενώ το υπόλοιπο 14% κατανέµεται µεταξύ των φωτεινών δακτυλίων. Μια ποσοτική σύγκριση του σχηµατισµού περίθλασης από απλή σχισµή και κυκλικό άνοιγµα παρέχεται από τις τιµές του ακόλουθου πίνακα. ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Κυκλικό άνοιγµα Απλή σχισµή n w n =nπ Ι max ή I min m α m =mπ Ι max ή I min Max Min Max Min Max Από τον πίνακα 1 προκύπτει ότι τα ελάχιστα για περίθλαση από κυκλικό άνοιγµα αντιστοιχούν σε µη ακέραιες τιµές του δείκτη n (θα δώσουµε την αναλυτική σχέση στην επόµενη παράγραφο) ενώ τα δευτερεύοντα µέγιστα είναι πολύ αµυδρότερα απ ότι στην περίπτωση της απλής σχισµής, γεγονός που καθιστά την καταγραφή τους τεχνικώς δυσχερέστερη. Επίσης για την ειδική περίπτωση που α = D τα ελάχιστα περίθλασης από απλή σχισµή θα βρίσκονται σε µικρότερες αποστάσεις από το κέντρο του σχηµατισµού απ ότι για το κυκλικό άνοιγµα. Η συνθήκη για τα ελάχιστα περίθλασης από κυκλικό άνοιγµα δίνεται από την σχέση, Dsin θ n = nλ, n = ± 1.0, ±.33, ± 4.41, ± 5.43,... (11) Οι µη ακέραιες τιµές του δείκτη n σχετίζονται µε τις ρίζες της συνάρτησης Bessel. Μια εύχρηστη προσεγγιστική σχέση για τις θέσεις των ελαχίστων περίθλασης από κυκλικό άνοιγµα είναι η ακόλουθη, Dsin θ n ( m + 0. )λ, m = ± 1, ±, ± 3,... (1) η οποία, όπως µπορείτε να επαληθεύσετε αναπαράγει ικανοποιητικά τις τιµές της ακριβούς σχέσης (11). 16

17 Η αντίστοιχη συνθήκη για τις θέσεις των δευτερευόντων µεγίστων (µερικές τιµές έχουν ήδη περιληφθεί στον πίνακα 1) δίνεται από την έκφραση, Dsin θ kλ, k = ± 1.635, ±.679, ± 3.699, ± 4.710,... (13) k Σε πολλές οπτικές διατάξεις (του ανθρώπινου οφθαλµού περιλαµβανοµένου) το φως διέρχεται υποχρεωτικά από οπτικά στοιχεία κυκλικής διατοµής µε αναπόφευκτο επακόλουθο τον σχηµατισµό περίθλασης. Αυτό το φαινόµενο περιορίζει την διακριτική ικανότητα της διάταξης. Ένα τυπικό παράδειγµα από την καθηµερινή µας εµπειρία είναι η δυνατότητά µας (ή η αδυναµία µας) να διακρίνουµε από µεγάλη απόσταση δύο παρακείµενες φωτεινές πηγές, π.χ. τους προβολείς ενός οχήµατος που πλησιάζει προς την θέση µας. Ας φανταστούµε δύο µακρινές σηµειακές φωτεινές πηγές Σ 1 και Σ των οποίων το είδωλο σχηµατίζεται στο εστιακό επίπεδο ενός συγκεντρωτικού φακού διαµέτρου D (Σχήµα 4(α) 4(δ)). ΣΧΗΜΑ 4: Σχηµατισµοί περίθλασης από κυκλικό άνοιγµα (π.χ. συγκεντρωτικός φακός) διαµέτρου D για διαφορετικές θέσεις των σηµειακών φωτεινών πηγών Σ 1 και Σ. Το σχήµα (γ) αντιστοιχεί στο κριτήριο του Rayleigh. Εάν οι δύο φωτεινές πηγές φαίνονται υπό µεγάλη γωνία από το άνοιγµα του φακού (σχήµα 4(α))τότε οι αντίστοιχοι σχηµατισµοί περίθλασης θα είναι σαφώς διαχωρισµένοι στο εστιακό επίπεδο του φακού (σχήµα 4(α)) και οι δύο πηγές θα είναι ευδιάκριτες. Καθώς η γωνιακή απόσταση των δύο φωτεινών πηγών (όπως φαίνεται από το άνοιγµα του φακού) ελαττώνεται (σχήµα 4(β) και 4(γ)) οι αντίστοιχοι σχηµατισµοί περίθλασης αρχίζουν να επικαλύπτονται σηµαντικά και στην περιοχή του κεντριού µεγίστου. Μπορούµε να θέσουµε ένα αυθαίρετο αλλά λογικοφανές (και πρακτικώς ιδιαίτερα χρήσιµο) κριτήριο για να αποφασίσουµε πότε µπορούµε να διακρίνουµε τις δύο µακρινές φωτεινές πηγές: όταν το µέγιστο του 17

18 δίσκου Airy από την πρώτη σηµειακή πηγή Σ 1 συµπίπτει µε το πρώτο ελάχιστο (όριο του δίσκου Airy) από την δεύτερη σηµειακή πηγή Σ οι δύο πηγές φωτός µόλις διαχωρίζονται. Αυτό είναι το αποκαλούµενο κριτήριο Rayleigh. Υπό την προϋπόθεση ότι οι φωτεινές πηγές είναι πολύ αποµακρυσµένες από το άνοιγµα το ηµίτονο της γωνιακής τους απόστασης µπορεί να αντικατασταθεί από την τιµή της γωνίας (σε rad). Συνεπώς, ο ελάχιστος γωνιακός διαχωρισµός που θα επιτρέπει την ευκρινή παρατήρηση των δύο µακρινών πηγών κατά το κριτήριο Rayleigh θα δίνεται από την σχέση, λ θ min = 1. (14) D Παρατηρείστε ότι η διακριτική ικανότητα του οπτικού αντικειµένου κυκλικής διατοµής διαµέτρου D είναι αντιστρόφως ανάλογη της διαµέτρου του, δεδοµένου του µήκους κύµατος της ακτινοβολίας, ενώ είναι ανάλογη του µήκους κύµατος της ακτινοβολίας, δεδοµένης της διαµέτρου του. Εάν η απόσταση των φωτεινών πηγών από το άνοιγµα είναι γνωστή η γωνιακή απόσταση της σχέσης (14) µπορεί να µετατραπεί σε γραµµική απόσταση µεταξύ των πηγών. 9. ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ από ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΠΛΕΓΜΑ Ένα δισδιάστατο τετραγωνικό πλέγµα είναι µια διάταξη ανοιγµάτων τετραγωνικής διατοµής (µε πλευρά α ) που εκτείνεται σε ένα επίπεδο και εµφανίζει την ίδια περιοδικότητα και στις δύο διευθύνσεις του επιπέδου (ας τις ονοµάσουµε Υ και Ζ, όπως στο επόµενο σχήµα 5). Όταν ακτινοβοληθεί καθέτως από δέσµη λέιζερ θα προκαλέσει ένα δισδιάστατο σχηµατισµό περίθλασης που καταγραφόµενος σε οθόνη παρατήρησης αποτελείται από έντονα σηµειακά µέγιστα διατεταγµένα υπό µορφή τετραγωνικού πλέγµατος γύρω από το εντονότερο κεντρικό µέγιστο που βρίσκεται στην νοητή προέκταση της διαδροµής της προσπίπτουσας δέσµης (σχήµα 5). 18

19 ΣΧΗΜΑ 5: Σχηµατικό διάγραµµα περίθλασης από επίπεδο τετραγωνικό πλέγµα Η ερµηνεία της δοµής του δισδιάστατου σχηµατισµού περίθλασης διευκολύνεται εάν θεωρήσουµε το τετραγωνικό πλέγµα ως µια επανάληψη γραµµικών φραγµάτων περίθλασης µε την ίδια περιοδικότητα τόσο κατά την διεύθυνση Υ όσο και κατά την διεύθυνση Ζ. Εποµένως αναµένουµε να παρατηρήσουµε µόνο έντονα κύρια µέγιστα περίθλασης δεδοµένου ότι τα όποια δευτερεύοντα µέγιστα είναι πολύ αµυδρά και συνεπώς µη ανιχνεύσιµα. Είναι σηµαντικό να παρατηρήσουµε ότι ο δισδιάστατος σχηµατισµός περίθλασης αντικατοπτρίζει την ακριβή γεωµετρική µορφή του τετραγωνικού πλέγµατος και όπως θα διαπιστώσουµε αµέσως παρακάτω µας επιτρέπει να εξάγουµε συµπεράσµατα για την σταθερά α του τετραγωνικού πλέγµατος. Οι συνθήκες για τις θέσεις των παρατηρούµενων µεγίστων κατά την περίθλαση από τετραγωνικό πλέγµα είναι, α sin θ = n λ, n = ± 1, ±, ± 3,... (15) n y y α sin θ = n λ, n = ± 1, ±, ± 3,... (16) όπου α η σταθερά του τετραγωνικού πλέγµατος και n z z n y, n z οι τιµές ακέραιων δεικτών που χρησιµοποιούνται σε διατεταγµένα ζεύγη (n y, nz ) για να αριθµήσουν στο επίπεδο της οθόνης παρατήρησης Οyz (σχήµα 5) µε µοναδικό τρόπο τις θέσεις των κύριων µεγίστων. Για παράδειγµα το σηµείο Ν στο σχήµα 5 αντιστοιχεί σε µέγιστο περίθλασης που προσδιορίζεται από το διατεταγµένο ζεύγος (,-1). Στο σχήµα αυτό εµφανίζεται επίσης η γωνία περίθλασης θ που υπεισέρχεται στις σχέσεις (15) και (16) και η οποία ορίζεται από τον άξονα ΟΟ και την ευθεία Ο Ν n 19

20 καθώς και η απόσταση, r n, του σηµείου Ν από το κεντρικό µέγιστο του σχηµατισµού περίθλασης. Τέλος, στο σχήµα φαίνεται και η γωνία ϕ n που βρίσκεται στο επίπεδο Οyz και στην περίπτωση του σηµείου Ν ορίζεται από τον άξονα Οy και το ευθύγραµµο τµήµα ΟΝ. Από την γεωµετρία του σχήµατος 5 προκύπτουν άµεσα οι ακόλουθες σχέσεις που συνδέουν µεταξύ του τα προαναφερθέντα γεωµετρικά µεγέθη: n y z = r = r + r y + z (17) rn sinθ n = (18) r + L n όπου L η απόσταση τετραγωνικού πλέγµατος οθόνης. εδοµένης της τετραγωνικής συµµετρίας του σχηµατισµού περίθλασης περί το κεντρικό µέγιστο (σηµείο Ο στο σχήµα 5) οι αποστάσεις ry, rz, y, z µπορεί να µετρώνται χρησιµοποιώντας τους αριθµούς n y, n z και µια κοινή µονάδα µέτρησης των αποστάσεων τόσο στον άξονα Οy όσο και στον άξονα Oz. Έτσι οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας εκφράζονται µε τις ακόλουθες σχέσεις, όπου y n y z n cos ϕ n = =, sin ϕ z n = = (19) r n r n n n L α = λ ( n y + nz ) 1 + (1) rn θ n n = n y + n z (0) Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (15) (0), που ισχύουν για κάθε σηµείο του δισδιάστατου σχηµατισµού περίθλασης, είναι δυνατόν να συνδέσουµε την σταθερά α του τετραγωνικού πλέγµατος µε τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του σχηµατισµού περίθλασης µέσω της σχέσης, Χρησιµοποιώντας µετρήσεις από διάφορα σηµεία του σχηµατισµού περίθλασης είναι δυνατόν να προσδιορίσουµε υπολογιστικά την µέση τιµή της πλεγµατικής σταθεράς α κα την τυπική απόκλισή της σ (α ). 0