رشتۀ ریاضی و فیزیک پایۀ یازدهم دورۀ دوم متوسطه

هندسه )2( رشتۀ ریاضی و فیزیک پایۀ یازدهم دورۀ دوم متوسطه 1396

وزارت آموزش و پرورش سازمان پژوهش و برنامهريزي آموزشي نام کتاب: پدیدآورنده: مدیریت برنامهریزی درسی و تألیف: شناسه افزوده برنامهریزی و تألیف: مدیریت آمادهسازی هنری: شناسه افزوده آمادهسازی: نشانیسازمان: ناشر: چاپخانه: سال انتشار و نوبت چاپ: هندسه )2( پایۀ یازدهم دورۀ دوم متوسطه 111213 سازمان پژوهش و برنامهریزی آموزشی دفتر تألیف کتابهای درسی عمومی و متوسطه نظری حمیدرضا امیری علی ایرانمنش مهدی ایزدی ناصر بروجردیان محمدحسن بیژنزاده خسرو داودی زهرا رحیمی محمدهاشم رستمی ابراهیم ریحانی محمدرضا سی دصالحی میرشهرام صدر اکرم قابلرحمت طاهر قاسمیهنری و عادل محمدپور )اعضای شورای برنامهریزی( محمدحسن بیژنزاده زهرا رحیمی محمدرضا سی دصالحی هوشنگ شرقی و محمود نصیری )اعضای گروه تألیف( محمد دانشگر )ویراستار( اداره کل نظارت بر نشر و توزیع مواد آموزشی لیدا نیکروش )مدیر امور فنی و چاپ( مجتبی زند )مدیر هنری طراح جلد و صفحهآرا( مریم دهقانزاده )رسام( افسانه امیر احمدی سیدهفاطمه طباطبایی سیفاهلل بیکمحمد دلیوند علی نجمی کبری اجابتی و احمدرضا امینی )امور آمادهسازی( تهران: خیابان ایرانشهر شمالی ساختمان شمارۀ ٤ آموزش و پرورش )شهید موسوی( تلفن: ٩ ٨٨٨٣١١٦١ دورنگار: ٨٨٣٠٩٢٦٦ کد پستی: ١٥٨٤٧٤٧٣٥٩ وبگاه: www.chap.sch.ir و www.irtextbook.ir شرکت چاپ ونشر کتابهای درسی ایران تهران: کیلومتر ١٧ جادۀ مخصوص کرج خیابان ٦١ )داروپخش( تلفن: ٥ ٤٤٩٨٥١٦١ دورنگار: 44985160 صندوق پستی: ١٣٩ ٣٧٥١٥ شرکت چاپ و نشر کتابهای درسی ایران»سهامی خاص«چاپ اول ١٣٩6 شابك 2 2783 05 964 978 2 2783 05 964 ISN: 978

جوانها قدر جوانيشان را بدانند و آن را در علم و تقوي و سازندگي خودشان صرف كنند كه اشخاصي امين و صالح بشوند. مملكت ما با اشخاص امين ميتواند مستقل باشد. امام خميني»قدس سر هالشريف«

کلیه حقوق مادی و معنوی این کتاب متعلق به سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی وزارت آموزش و پرورش است و هرگونه استفاده از کتاب و اجزای آن به صورت چاپی و الکترونیکی و ارائه در پایگاه های مجازی نمایش اقتباس تلخیص تبدیل ترجمه عکس برداری نقاشی تهیه فیلم و تکثیر به هر شکل و نوع بدون کسب مجوز ممنوع است و متخلفان تحت پیگرد قانونی قرار می گیرند.

فهرست فصل 1: دایره...9 درس اول: مفاهیم اولیه و زاویه ها در دایره... 10 درس دوم: رابطه های طولی در دایره...18 درس سوم: چند ضلعی های محاطی و محیطی... 24 فصل 2: تبدیل های هندسی و کاربردها...33 درس اول: تبدیل های هندسی...34 درس دوم: کاربرد تبدیل ها... 51 فصل 3: روابط طولی در مثلث...61 درس اول: قضیۀ سینوس ها... 62 درس دوم: قضیۀ کسینوس ها...66 درس سوم: قضیۀ نیمسازهای زوایای داخلی و محاسبۀ طول نیمساز ها...70 درس چهارم: قضیۀ هرون )محاسبۀ ارتفاع ها و مساحت مثلث(...73

پیشگفتار کتاب حاضر در راستای برنامه درسی ملی و در ادامه تغییر کتاب های ریاضی دوره دوم متوسطه تألیف شده است. همانند پایه های قبلی ساختار کتاب براساس سه محور اساسی فعالیت کار در کالس و تمرین قرار گرفته است. از این میان»فعالیت ها«موقعیت هایی برای یادگیری و ارائ ه مفاهیم جدید ریاضی فراهم می کنند و این امر مستلزم مشارکت جدی دانش آموزان است. البته معلم هم در این میان نقشی مهم برای راهنمایی و هدایت کلی فعالیت ها به عهده دارد. با توجه به این که کتاب برای دانش آموزان سطح متوسط طراحی شده است با درنظر گرفتن شرایط مختلف امکان غنی سازی فعالیت ها و یا ساده سازی آنها به وسیله معلم وجود دارد. در هر حال تأکید اساسی مؤلفان محور قرار دادن کتاب درسی در فرایند آموزش است. در همین راستا توجه به انجام فعالیت ها در کالس درس و ایجاد فضای بحث و گفت وگو و دادن مجال به دانش آموز برای کشف مفاهیم به طور جدی توصیه می شود. زمان کالس درس نباید به مباحثی خارج از اهداف کتاب درسی اختصاص یابد. همچنین نباید آزمون های مختلف خارج از مدرسه مبنای آموزش مفاهیم در کالس درس واقع شوند بلکه این کتاب درسی است که سطح و سبک آزمون ها را مشخص می کند. در بسیاری از موارد دربار ه یک مفهوم حد و مرزهایی در کتاب رعایت شده است که باید به این موضوع در ارزشیابی ها و آزمون های رسمی توجه شود. رعایت این محدودیت ها موجب افزایش تناسب بین زمان اختصاص یافته به کتاب و محتوای آن خواهد شد. روند کتاب نشان می دهد که ارزشیابی باید در خدمت آموزش باشد. در واقع ارزشیابی باید براساس اهداف کتاب باشد و نه موضوعاتی که احیانا پیش از این سال ها به صورت سنتی ارائه شده اند. ارتباط بین ریاضیات مدرسه ای و محیط پیرامون و کاربردهای این دانش در زندگی روزمره که به وضوح در اسناد باال دستی مورد تأکید قرار گرفته است به صورت تدریجی خود را در کتاب های درسی نشان می دهد. تالش برای برقراری این ارتباط در تصاویر کتاب نیز قابل مشاهده است که امید است مورد توجه معلمان و دانش آموزان عزیز قرار گیرد.

اگر مهم ترین هدف آموزش ریاضی را پرورش تفکر ریاضی بدانیم دیگر استفاده افراطی از فرمول ها الگوریتم ها قواعد و دستورها بدون آگاهی از چگونگی و چرایی عملکرد آنها جایگاهی در آموزش ریاضی مدرسه ای نخواهد داشت. فرصت حضور دانش آموز در کالس درس را نباید به سادگی از دست داد. فرایندهایی مانند استدالل تعمیم حل مسئله طرح مسئله و موضوعاتی نظیر مسائل باز پاسخ بازنمایی های چندگانه و گفتمان ریاضی نقش مهمی در پرورش تفکر ریاضی دانش آموزان دارد. مؤلفان از کلیه امکانات موجود نظیر سامانه اعتبارسنجی سایت گروه ریاضی دفتر تألیف ایمیل دعوت از دبیران مجر ب برای حضور در جلسات نقد و بررسی کتاب و دیگر رسانه های در دسترس برای دریافت دیدگاه ها نقدها و نظرات دبیران محترم سراسر کشور بهره گرفته اند. پاره ای از تصاویر و عکس های مورد استفاده در کتاب را نیز دبیران ریاضی استان های مختلف کشور به گروه ریاضی ارسال کرده اند. الزم است از زحمات تمامی عزیزان همراه تشکر و قدردانی شود. اعضای تیم تألیف به حضور و مشارکت جدی همکاران ارجمند در امر نقد و بررسی کتاب افتخار می کنند. امید که همچنان شاهد این تعامل و ارتباط مؤثر باشیم. گروه تألیف آمادگی دریافت نظرات و دیدگاه های تمامی همکاران و اساتید را از طریق پست الکترونیکی و وبگاه واحد تحقیق توسعه و آموزش ریاضی 1 دارد. به عالوه بسیاری از مطالب مربوط به پشتیبانی کتاب از طریق وبگاه واحد ریاضی قابل دریافت است. مؤلفان mathrade@gmail.com 1 http://math-dept.talif.sch.ir

فصل او ل 1 دایره هندسه در ساخت استحکامات دفاعی قلعهها و برج و باروها از دیرباز کاربردهای بسیاری داشته است. یک قضیۀ بنیادی در هندسه موسوم به»قضیۀ همپیرامونی«میگوید در بین همۀ شکلهای هندسی بسته با محیط ثابت دایره دارای بیشترین مساحت است. این موضوع در طراحی دایرهای شکل قلعهها اهمیت بسیاری دارد. قلعۀ فلکاالفالک )شاپور خواست( که از دورۀ ساسانیان در شهرستان خرمآباد بهجای مانده است نمونۀ گویایی از همین کاربردهاست. 9

درس او ل مفاهیم اولیه و زاویه ها در دایره دایره یکی از شکل های مهم در هندسه است که در پایه های قبل با تعریف و برخی از ویژگی های آن آشنا شده اید. در ادامه با استفاده از شکل دایره برخی موارد یادآوری شده است که از قبل با آنها آشنایی دارید. همان طور که می دانید تمام نقاطی که روی دایره واقع اند از مرکز دایره به یک فاصل ه ثابت )اندازه شعاع دایره( هستند. معموال دایره به مرکز و شعاع r را به صورت (o,r) نمایش می دهیم. با توجه به شکل دایره به سادگی می توان نشان داد که: الف( اگر نقطه ای مانند روی دایره (o,r) باشد فاصله آن تا مرکز دایره شعاع دایره است. ب( اگر نقطه ای مانند بیرون دایره (o,r) باشد فاصله آن تا مرکز دایره شعاع دایره است. پ( اگر نقطه ای مانند درون دایره (o,r) باشد فاصله آن تا مرکز دایره شعاع دایره است. r اوضاع نسبی خط و دایره در پایه های قبل با اوضاع نسبی خط و دایره تا حدودی آشنا شدید و دیدید که یک خط و یک دایره می توانند یک یا دو نقطه اشتراک داشته و یا هیچ نقطه اشتراکی نداشته باشند. در حالتی که خط و دایره تنها در یک نقطه مشترک باشند اصطالحا گفته می شود خط بر دایره مماس است و در حالتی که خط و دایره دو نقطه اشتراک داشته باشند خط و دایره را متقاطع می نامند. در این حالت خط را نسبت به دایره قاطع می نامیم. d 3 d 2 F d 1 یادآوری اگر خط d و نقطه غیرواقع بر d داده شده و نقطه H پای عمودی باشد که از به d رسم می شود اندازه پاره خط H همان فاصله نقطه از خط d است و فاصله نقط ه.) > H( از این مقدار بزرگ تر است d از دیگر نقاط خط d H 10

H d اگر d یک خط و (o,r) یک دایره و نقطه H پای عمودی باشد که از نقطه به خط d رسم می شود موارد زیر را کامل کنید. الف( اگر فاصله خط d از مرکز دایره از شعاع کمتر باشد )r )H < خط و دایره نقطه اشتراک دارند یعنی متقاطع اند H d ب( اگر فاصله خط از مرکز دایره با شعاع برابر باشد )r )H = خط و دایره نقطه اشتراک دارند یعنی d پ( اگر فاصله خط از مرکز دایره از شعاع بزرگ تر باشد )r )H > خط و دایره H F d ١ فرض کنیم خط d بر دایره در نقطه F مماس است. الف( نزدیک ترین نقطه خط d به نقطه کدام است چرا ب( از به d عمود کنید. این خط عمود خط d را در کدام نقطه قطع می کند چرا پ( نتیجه: اگر F نقطه ای روی دایره باشد شعاع F و خط مماس بر دایره در نقطه F. ت( با توجه به قسمت )پ( اگر نقطه ای مانند F روی دایره داده شده باشد چگونه می توانید خط مماس بر دایره را در نقطه F رسم کنید F d 2 خط d در نقطه F به شعاع F عمود است. با تعیین وضعیت همه نقاط خط d نسبت به دایره نشان دهید این خط با دایره فقط یک نقطه تماس دارد و بنابراین بر دایره مماس است. بنابراین: F r G کامن وتر E یک خط و یک دایره بر هم مماساند اگر و تنها اگر این خط در نقطۀ تماس با دایره بر شعاع آن نقطه عمود باشد. زوایای مرکزی محاطی و ظلی با تعاریف زوایای مرکزی و محاطی و کمان یک دایره در پایه های قبل آشنا شده اید. در اینجا به یادآوری برخی مفاهیم می پردازیم. ١ شعاع دایره: پاره خطی که یک سر آن مرکز دایره و سر دیگر آن نقطه ای روی دایره باشد. ٢ وتر دایره: پاره خطی که دوسر آن روی دایره باشد. زاویۀ مرکزی روبه رو به زاویۀ محاطی روبه رو به کامن E خط مامس بر دایره در نقطۀ F d 11

٣ قطر دایره: وتری از دایره که از مرکز دایره می گذرد. ٤ زاویۀ مرکزی: زاویه ای است که رأس آن بر مرکز دایره واقع باشد. ٥ زاویۀ محاطی: زاویه ای است که رأس آن روی دایره و اضالع آن شامل دو وتر از دایره باشند. ٦ کمان: کمان دایره شامل دو نقطه روی دایره و تمام نقاط بین آن دو نقطه است به این ترتیب هر دو نقطه از دایره مانند و دو کمان را روی دایره مشخص می کنند. برای مشخص کردن آنها می توان از نقطه ای دیگر روی هر کمان استفاده کرد مثال در شکل مقابل نقاط و دو کمان و را مشخص می کنند. معموال منظور از کمان کوچک تر مشخص شده توسط و است. ٧ اندازه کمان همان اندازه زاویه مرکزی مقابل به آن کمان تعریف می شود و واحد آن درجه است. ٨ با توجه به شکل به سادگی دیده می شود که کمان های دایره های مختلف می توانند اندازه های برابر و طول های نابرابر داشته باشند. 1 30 30 1 2 30 2 1 با توجه به اینکه محیط دایره یک کمان به اندازه ٣٦٠ است خواهیم داشت: طول کمان اندازه کمان = ٣٦٠ محیط دایره 1 2 با توجه به شکل اندازه کمان های زیر را بنویسید. = طول = 1 1 = طول 1 1 = 60 1 1 1 3 ناحیهای از درون و روی دایره را که به دو شعاع دایره و آن دایره محدود است یک قطاع دایره مینامند. اگر زاویه مرکزی قطاعی از دایره (,R) برحسب و R درجه مساوی α باشد نشان دهید طول کمان برابر است با: L = π α 180 2 R مساحت قطاع برابر است با: S = π α 360 12

١ فرض کنید اندازه های کمان های و از دایره (o,r) باهم برابرند. با تشکیل مثلث های و نشان دهید وترهای و نیز باهم برابرند. ٢ فرض کنید دو وتر و از یک دایره باهم برابرند. ثابت کنید اندازه های کمان های و نیز باهم برابرند. H ٣ وتر و قطری از دایره که بر وتر عمود است مانند شکل مقابل داده شده است. با تشکیل مثلث های H و H ثابت کنید قطر وتر و کمان را نصف می کند. ٤ این بار فرض کنید قطر وتر را نصف کرده است و نشان دهید بر عمود است و کمان را نصف می کند. ٥ حال فرض کنید قطر کمان را نصف کرده است. نشان دهید بر عمود است و آن را نصف می کند. ٦ اگر نقاط وسط وتر و کمان را داشته باشیم چگونه می توانیم قطر عمود بر وتر را رسم کنیم ١ در شکل مقابل یک زاویه محاطی است که یک ضلع آن از مرکز دایره عبور کرده است. اگر از به وصل کنیم زاویه یک زاویه خارجی برای مثلث است. بنابراین: = +... =2 و از آن نتیجه میشود: = 1 = 1... 2 2 13

٢ در این شکل یک زاویه محاطی است که دو ضلع آن در دو طرف واقع شده اند. اگر قطر E را رسم کنیم طبق قسمت ١ داریم: E 1... E = 2 1... = E 1... 2 = 2 ٣ در این شکل یک زاویه محاطی است که دو ضلع آن در یک طرف واقع شده اند. اگر قطر E را رسم کنیم طبق قسمت ١ داریم: E 1... E = 2 1... = E 1... 2 = 2 بنابراین: قضیه: اندازۀ هر زاویۀ محاطی برابر است با نصف اندازۀ کمان مقابل به آن زاویه. زاویۀ ظلی نوع دیگری از زاویه که در دایره مطرح است زاویه ظلی است. زاویه ظلی زاویهای است که رأس آن روی دایره قرار دارد و یکی از اضالع آن مماس بر دایره وضلع دیگر آن یک زاویه ظلی است. شامل وتری از دایره باشد. در شکل مقابل ١ زاویه ظلی را درنظر بگیرید و قطری از دایره را رسم کنید که شامل نقطه هست. و بنابراین: =... الف( = 1 2... ب( زاویه یک زاویه محاطی است. = 1 بنابراین:... 2 14

1 = (...... ) 2 = 1... 2 پ( از )الف( و )ب( داریم: و بنابراین ت( نشان دهید نتیجه قسمت )پ( برای یک زاویه ظلی منفرجه نیز برقرار است. بنابراین: قضیه: اندازۀ هر زاویۀ ظلی برابر است با کمان روبه رو به آن زاویه. ١ در شکل مقابل وترهای و موازی هستند. الف( از به وصل کنید. زوایای و نسبت به هم چگونه اند چرا ب( کمان های و نسبت به هم چگونه اند چرا G E F H ٢ در شکل مقابل کمان های EG و FH هم اندازه اند. الف( وترهای EF و GH و پاره خط EH را رسم کنید. ب( زوایای FEH و EHG نسبت به هم چگونه اند چرا پ( وترهای EF و GH نسبت به هم چگونه اند چرا دو وتر از یک دایره موازی اند اگر و تنها اگر کمان های محدود بین آنها مساوی باشد. تاکنون زاویه هایی را بررسی کردیم که رأس آنها روی دایره باشد و رابطه اندازه این زاویه ها را با اندازه کمان های ایجاد شده توسط آنها مشخص کردیم. حال به بررسی این موضوع برای زاویه هایی می پردازیم که رأس آنها درون یا بیرون دایره است و اضالعشان کمان هایی روی دایره جدا می کنند. F E ١ فرض کنید رأس زاویه E مانند شکل مقابل بیرون دایره واقع شده و کمان های E و توسط اضالع زاویه موردنظر مشخص شده باشد. از نقطه خطی موازی خط رسم کنید تا دایره را در نقطه ای مانند F قطع کند. علت هرکدام از تساوی های زیر را مشخص کنید. 1 1 E FE FE (E F) 1 = = = = (E ) 2 2 2 15

٢ رأس زاویه E مانند شکل در درون دایره است و اضالع این زاویه کمان های و E را مشخص کرده اند. از نقطه خطی موازی خط رسم کنید تا دایره را در نقطه ای مانند F قطع کند. علت هرکدام از تساوی های زیر را مشخص کنید. 1 1 E FE FE (F E) 1 = = = + = ( + E) 2 2 2 F E 0 ١ در شکل های زیر ثابت کنید: راهنمایی: از نقطۀ خطی موازی ضلع دیگر زاویه رسم کنید. M M M = 2 ب( M = 2 الف( ٢ در شکل مقابل اندازه زاویه α را به دست آورید. 91 31 چند درجه ٣ در شکل اضالع زاویه های و بر دایره مماس اند. اندازه زاویه است Q M 80 70? P N 16

75 ٤ در دایره رسم شده شکل مقابل اندازه کمان را به دست آورید. ٥ در شکل مقابل قطری از دایره است و وترهای و موازی اند. ثابت کنید: = 6 دایره (,R) مفروض است. از نقطه M در خارج دایره خطی چنان رسم کرده ایم که دایره را در دو نقطه و قطع کرده است و M = R نشان دهید: β = 3α M 7 در دایره (,R) = 60 و = 10 فاصله از وتر را به دست آورید. H 8 در دایره (,R) نشان دهید > اگر و تنها اگر H H > H( و H فاصله از دو وتر و هستند.( H راهنمایی: از به و وصل و از قضیة فیثاغورس استفاده کنید. 17

درس دوم رابطه های طولی در دایره اگر خط های شامل دو وتر از یک دایره یکدیگر را در درون یا بیرون دایره قطع کنند بین اندازه پاره خط های حاصل روابطی داریم که به بررسی آنها می پردازیم. ١ دو وتر و در نقطه M در داخل دایره یکدیگر را قطع کرده اند. الف( از به و از به وصل کنید و نشان دهید دو مثلث M و M متشابه اند. M =... ب( با توجه به تشابه این دو مثلث داریم: M M M 1 و در نتیجه:... M. M.... = M ٢ خطهای شامل دو وتر و درنقطه M در خارج دایره یکدیگر را قطع کردهاند. الف( نقطه را به و نقطه را به وصل کنید و نشان دهید دو مثلث M و M باهم متشابهاند. M =... ب( با توجه به این تشابه داریم: M M 2 و در نتیجه:... M. M.... = قضیه: هرگاه خط های شامل دو وتر دلخواه و در نقطه ای مانند M )درون یا بیرون دایره( یکدیگر را قطع کنند. آن گاه: M.M = M.M 3 فرض کنیم از نقطه M )خارج دایره( مانند شکل یک مماس و یک قاطع بر دایره رسم کردهایم. الف( T را به و وصل و مشخص کنید چرا MT = TM T M 18

ب( علت تشابه دو مثلث MT و MT را مشخص و با توجه به این تشابه رابطه زیر را کامل کنید. M MT = MT... و در نتیجه:....... = 2 MT بنابراین قضیه زیر را داریم: قضیه: هرگاه M نقطهای بیرون دایره باشد و از M مماس و قاطعی نسبت به دایره رسم کنیم مربع اندازۀ مماس برابر است با حاصلضرب اندازههای دو قطعۀ قاطع یعنی طول مماس واسطه هندسی بین دو قطعه قاطع است. T رسم مماس بر دایره از نقطه ای خارج دایره اگر خط d در نقطه T بر دایره مماس باشد و و M دو نقطه بر خط d در دوطرف نقطه T باشد هرکدام از پاره خط های MT و T بر دایره مماس اند. اگر مرکز دایره باشد MT دررأس T قائم الزاویه است چرا d M N اگر N وسط پاره خط M باشد NM = N = NT چرا بنابراین دایره به مرکز Nو قطر M از نقطه T می گذرد. از این ویژگی می توانیم در رسم مماس بر دایره از نقطه M خارج دایره بر آن استفاده کنیم. T پس برای رسم مماس بر دایره از نقطه M خارج دایره ابتدا دایره ای به قطر ( M مرکز دایره( رسم می کنیم. M N این دایره دایره مفروض را در دو نقطه T و T قطع می کند. خط های MT و MT بر دایره مماس اند چرا T 19

هرگاه از نقطه M خارج دایره (,R) دو مماس بر دایره رسم کنیم و T و T نقاط تماس باشند ثابت کنید: الف( اندازه های دو مماس برابرند. ب( نیم خط M نیمساز زاویه TMT است. حالت های دو دایره نسبت به هم و مماس مشترک ها دو دایره (,R) و (,R ) را با فرض R R > و = d درنظر می گیریم. حالت های مختلفی که این دو دایره می توانند نسبت به هم داشته باشند به صورت زیر است: دو دایره برون هم )متخارج( Rʹ d > R + d = R + Rʹ دو دایره مماس برون دو دایره متقاطع Rʹ R - Rʹ < d < R + d = R - Rʹ دو دایره مماس درون d < R - Rʹ دو دایره متداخل d = 0 دایره های هم مرکز 20

هر خطی یا پاره خطی را که بر هردو دایره مماس باشد مماس مشترک دو دایره می نامند. ١ فرض کنیم مانند شکل خط m در نقاط T و T بر دو دایره مماس است و شعاعهای T و T رسم شدهاست. فرض کنیم فاصله بین مرکزهای دو دایره برابر d باشد از خطی موازی خط m رسم میکنیم تا شعاع T را در نقطهای مانند H قطع کند. H R T R T m n M الف( TT H مستطیل است چرا ب( با توجه به قضیه فیثاغورس در مثلث H تساوی زیر را توجیه کنید. 2 2 TT = d (R R ) پ( با توجه به کار در کالس قبل بگویید چرا اگر دو مماس مشترک m و n متقاطع باشند نقطه تقاطع آنها روی خط خواهد بود ت( به مرکز و به شعاع R-R دایره ای رسم کنید. پاره خط H برای دایره رسم شده چگونه خطی است ث( فرض کنید دو دایره داده شده و رسم مماس مشترک خواسته شده باشد. از آنجا که مرکزها و شعاع های دو دایره معلوم است می توان دایره مطرح شده در قسمت )ت( را رسم کرد و سپس مماس H را بر آن رسم کرد در این صورت چگونه می توانید مماس TT را رسم کنید 21

2 دو مماس مشترک l و k نیز بر دو دایره متخارج مطابق شکل رسم شده است مرکزهای دو دایره در دوطرف مماس مشترک اند. با به کار بردن قضیه فیثاغورس در H مانند قبلی نشان دهید: 2 2 TT = d (R + R ) R T H T R 3 دو دایره مماس. دو دایره را که فقط یک نقطه مشترک داشته باشند مماس می نامند. در این نقطه مشترک یک خط بر هر دو مماس است. اگر مرکزهای دو دایره در دوطرف این مماس باشند آن دو دایره مماس برونی است و اگر هر دو مرکز در یک طرف این مماس باشند آنها را مماس درونی می نامند. l k R T R T R R R مماس خارج اند سه مماس مشترک دارند. = R+ R مماس داخلاند فقط یک مماس مشترک دارند. = R R با استفاده از دستور محاسبه طول مماس مشترک خارجی نشان دهید در دو دایره TT RR مماس خارج = 2 4 دو دایره متقاطع. دو دایره را که فقط دو نقطه مشترک داشته باشند متقاطع می نامند. در این حالت دو دایره فقط دو مماس مشترک دارند. و R R- R < < R + چرا پاره خط که دوسر آن روی هر دو دایره است وتر مشترک دو دایره متقاطع است. چرا پاره خط عمودمنصف وتر مشترک است R R 5 دو دایره متداخل. دو دایره را که تمام نقاط یکی درون دیگری باشد متداخل می نامیم. دو دایره متداخل هیچ مماس مشترک ندارند و در آنها R < R - < R - R 22

0 M ١ در دایره (,R) وتر وتر به طول ٩ سانتی متر را به نسبت ١ به ٢ تقسیم کرده است. اگر 11cm = آن گاه وتر وتر را به چه نسبتی قطع می کند N ٢ از نقطه P در خارج دایره ای مماس P به طول 10 3 را بر آن رسم کرده ایم ) روی دایره است(. همچنین خط راستی از P گذرانده ایم که دایره را در دو نقطه و قطع کرده است و = ٢٠. طول های P و P را به دست آورید. M N M T 2 T 1 T 4 T 3 T ٣ در شکل مقابل دو دایره برهم مماس و دو قطر و از دایره بزرگ تر برهم عمودند. اگر = ١٦ M و = ١٠ N شعاع های دو دایره را پیدا کنید. ٤ مطابق شکل مقابل تمام دایره ها در نقطه T برهم مماس اند و از نقطه M روی مماس مشترک آنها بر دایره ها مماس رسم کرده ایم ثابت کنید MT 1 = MT 2 = MT 3 = MT 4 =... ٥ طول شعاعهای دو دایره متخارج را بهدست آورید که طول مماس مشترک خارجی آنها مساوی 3 7 و طول مماس مشترک داخلی آنها 15 و طول خطالمرکزین آنها مساوی ٨ واحد است. 60 r r r 60 r 6 سه دایره به شعاعهای برابر r دو به دو برهم مماساند. مطابق شکل مقابل این سه دایره به وسیله نخی بسته شدهاند. نشان دهید طول این نخ برابر ٦r. + 2πr 2 π همچنین نشان دهید مساحت ناحیه به سه دایره برابر ) 3 ( r محدود است. 2 r 60 r 7 طول خط المرکزین دو دایره مماس درونی ٢ سانتی متر و مساحت ناحیه محدود بین آنها 16 π سانتی مترمربع است. طول شعاع های دو دایره را به دست آورید. 4 60 4 8 مطابق شکل دایره به شعاع ٤ مساحت ناحیه سایه زده را محاسبه کنید. این ناحیه یک قطعه دایره نام دارد. 23

درس سوم چند ضلعی های محاطی و محیطی چند ضلعی را محاطی می گوییم اگر و فقط اگر دایره ای باشد که از همه رئوس آن بگذرد در این صورت دایره را دایرۀ محیطی آن چند ضلعی می نامیم. به طور مثال E یک پنج ضلعی محاطی است. می دانیم برای اینکه دایره ای از دو نقطه بگذرد باید مرکز آن روی عمود منصف پاره خطی باشد که آن دو نقطه دو سر آن است بنابراین: E H یک چند ضلعی محاطی است اگر و فقط اگر عمود منصفهای همه ضلعهای آن در یک نقطه همرأس باشند. چرا این نقطه مرکز دایره محیطی چند ضلعی است. چند ضلعی را محیطی می گوییم اگر و فقط اگر دایره ای باشد که بر همه ضلع های آن مماس باشد در این صورت دایره را دایرۀ محاطی این چند ضلعی می نامیم. E r r r r r فرض کنید دایره بر دو ضلع زاویه ای مانند شکل مماس باشد. الف( 1 پاره خط هایی که مرکز دایره را به نقاط تماس اضالع با دایره وصل می کند رسم کنید و آنها را و بنامید. 2 پاره خط های و برای دایره چه نوع پاره خطی است 3 فاصله نقطه )مرکز دایره( تا ضلع های زاویه مفروض با طول پاره خط های رسم شده ( و ) چه رابطه ای دارد 4 با توجه به )2( و )3( فاصله مرکز دایره از دو ضلع زاویه.... و بنابراین نقطه روی.... 24

5 فرض کنید مانند شکل مقابل دایره در یک چند ضلعی محاط شده باشد. چرا مرکز دایره محل برخورد نیمساز های زاویه های داخلی چند ضلعی است H ب( فرض کنید یک چند ضلعی مانند شکل مقابل به گونه ای باشد که نیمسازهای زوایای داخلی آن در نقطه یکدیگر را قطع کرده باشند و H پاره خط عمود به یک ضلع چند ضلعی باشد. دایره ای به مرکز و شعاع H برای چند ضلعی مفروض چه نوع دایره ای است چرا بنابراین یک چند ضلعی محیطی است اگر و فقط اگر همه نیمسازهای زاویههای آن در یک نقطه همرس باشند.این نقطه مرکز دایره محاطی چند ضلعی است. اگر در یک n ضلعی محیطی با مساحت S و محیط 2P شعاع دایره محاطی برابر. S=rp باشد نشان دهید r راهنمایی: کافی است مساحت n مثلث را محاسبه و با هم جمع کنید. ===R دایره های محیطی و محاطی مثلث قبال همرسی سه عمود منصف یک مثلث را ثابت کرده ایم بنابراین نقطه همرسی سه عمود منصف مثلث تنها نقطه ای است که از سه رأس یک مثلث به یک فاصله است. پس اگر دایره ای به مرکز نقطه تالقی سه عمود منصف و به شعاع فاصله این نقطه تا یک رأس رسم کنیم این دایره از هر سه رأس مثلث می گذرد یعنی دایره محیطی مثلث است. در نتیجه مثلث همواره محاطی است. Hʺ H H H=Hʹ=Hʺ=r همچنین ثابت کرده ایم سه نیمساز زاویه های داخلی مثلث در نقطه ای درون مثلث همرس اند. در نتیجه مثلث محیطی نیز هست. بنابر ویژگی نیمساز این نقطه از هر سه ضلع مثلث به یک فاصله است. پس مرکز دایره محاطی مثلث نقطه همرسی سه نیمساز است و شعاع این دایره که آن را با r نشان می دهیم فاصله این نقطه از هر یک از سه ضلع است. بنابر آنچه در مورد n ضلعی های محیطی نشان دادیم در مثلث نیز =S pr که S مساحت و P نصف محیط مثلث است. 25

اگر نیمساز زاویه از را رسم کنیم نیمساز زاویه خارجی را در نقطه ای مانند قطع می کند. این نقطه از خط و خط های و به یک فاصله است چرا بنابراین نیز مرکز دایره ای است که بر ضلع و خط های شامل دو ضلع دیگر مماس است. این دایره را دایره محاطی خارجی نظیر رأس می نامند. شعاع این دایره را با r a نشان می دهند به همین ترتیب دو دایره محاطی خارجی دیگر نظیر دو رأس و وجود دارد. c b r r I r a T r a r a r a T J J I J اکنون در فعالیت زیر محاسبه شعاع دایره محاطی خارجی را بررسی می کنیم. در شکل داریم:( S()=S()+S()-S( اگر مساحت. اگر محیط مثلث را با 2p 1 S= r a ( + ) نشان دهیم S را به 2 نشان دهیم داریم 2p=a+b+c پس = 2p-2a در نتیجه (P-a) =S r a و S ra به طور مشابه برای اضالع دیگر داریم: = p a بنابراین r b = r c = برخالف مثلث همه چند ضلعی های دیگر لزوما محاطی یا محیطی نیستند. در بخش بعد به شرایط محاطی یا محیطی بودن یک چهار ضلعی می پردازیم. 26

چهار ضلعی های محاطی و محیطی قضیه: یک چهار ضلعی محاطی است اگر و فقط اگر دو زاویه مقابل آن مکمل باشند. اثبات 1 فرض کنیم چهار ضلعی محاطی باشد مجموع اندازه های, نصف مجموع اندازه های کمان های و است اما مجموع اندازه های این دو کمان است و در نتیجه مجموع اندازه های, برابر.. است. به همین ترتیب, مکمل اند. 2 فرض کنیم, مکمل باشند. با برهان خلف ثابت می کنیم چهارضلعی محاطی است. از سه نقطه و همواره یک دایره می گذرد چرا اگر این دایره از نگذرد خط را در نقطه ای دیگری مانند ʹ قطع می کند که ʹ بین و یا بین ʹ و است. اکنون چهارضلعی ʹ است پس و مکملاند در نتیجه باید و هماندازه باشند و این ممکن نیست چرا در نتیجه ʹ همان است. قضیه: یک چهارضلعی محیطی است اگر و فقط اگر مجموع اندازههای دو ضلع مقابل برابر مجموع اندازههای دو ضلع مقابل دیگر باشند. اساس اثبات بر این است که اگر از نقطه ای بیرون دایره دو مماس بر دایره رسم کنیم دو پاره خط مماس هم اندازه اند. 27

اثبات 1 اگر چهارضلعی محیطی باشد +=M+ +P+ =Q+ +N+ =+ عکس این قضیه نیز با برهان خلف ثابت می شود. Q M N 2 فرض کنید:.+=+ نیمسازهای دو زاویه و همدیگر را در نقطه ای مانند I قطع می کنند. با توجه به ویژگی نیمساز چرا نقطه I از سه ضلع و و به یک فاصله است ) IM=IN=IP ( چرا دایره ای به مرکز I و شعاع IM بر و و مماس است حال اگر این دایره بر هم مماس باشد حکم ثابت شده است. اما اگر این دایره بر مماس نباشد از بر آن مماسی رسم می کنیم تا خط را در نقطه ای مانند E قطع کند در این صورت E بین P و یا بین E و P واقع می شود. پس +E=E+ )چرا ( از این رابطه با استفاده از رابطه فرض چگونه نتیجه می گیرید: =E+E E P M I P N این رابطه امکان ندارد )چرا ( پس E همان است و دایره بر ضلع نیز مماس است. با توجه به این قضیه ها بررسی کنید که چهار ضلعی های ذوزنقه کایت متوازی االضالع مستطیل لوزی و مربع کدام محاطی و کدام محیطی است. ذوزنقه متساوی الساقین چطور از دیگر چندضلعی های محاطی و محیطی چند ضلعی های منتظم است. یک چند ضلعی محدب را منتظم مینامند هرگاه تمام ضلعهای آن هماندازه و تمام زاویههای آن نیز هماندازه باشند. مثلث متساوی االضالع سه ضلعی منتظم و مربع چهارضلعی منتظم است. 28

H در فعالیت زیر نشان می دهیم هر چندضلعی منتظم هم محاطی و هم محیطی است:? M N فرض کنید اندازه هر زاویه n ضلعی منتظم... 2 α باشد عمود منصفهای دو ضلع و را رسم میکنیم. فرض کنیم در متقاطعاند. بنابراین.= = پس چرا = = = = αα اکنون از به وصل میکنیم. چرا اندازه برابر α است چرا و === با ادامه این روند داریم: ==== و H=N=M= بنابراین از همه رأس ها به یک فاصله است پس مرکز دایره ای است که از تمام رأس های n ضلعی منتظم می گذرد. به همین ترتیب از تمام ضلع ها به یک فاصله است پس مرکز دایره ای است که بر تمام ضلع های n ضلعی منتظم مماس است. 0 1 ثابت کنید یک ذوزنقه محاطی است اگر و تنها اگر متساوی الساقین باشد. 2 مساحت مثلث متساوی االضالعی را به دست آورید که در دایره ای به شعاع R محاط شده باشد. 3 ثابت کنید عمود منصف یک ضلع هر مثلث و نیمساز زاویه مقابل به آن ضلع یکدیگر را روی دایره محیطی مثلث قطع می کنند. 4 یک ذوزنقه هم محیطی است و هم محاطی. ثابت کنید مساحت این ذوزنقه برابر است با میانگین حسابی دو قاعده آن ضرب در میانگین هندسی آنها. 5 اگر r b, r a و r c شعاعهای سه دایره محاطی خارجی مثلث و r شعاع دایره محاطی داخلی باشد نشان دهید. 1 1 1 1 + + = r r r r a b c 29

به همین ترتیب اگر h b h a و h c اندازه های سه ارتفاع باشند نشان دهید: 1 1 1 1 + + = h h h r a b c 6 اگر نقاط تماس دایره محاطی داخلی مثلث با اضالع آن N M و P باشند و T وʹ T نقطه های تماس یک دایره محاطی خارجی با خط های شامل دو ضلع باشند نشان دهید: M=N=P-a T c N P a M b T N=P=P-b, M=P=P- T=Tʹ=P 7 یک دایره به شعاع r و n ضلعیهای منتظم محاطی و محیطی در آن در نظر بگیرید. نشان دهید اگر و اندازههای ضلعیهای n ضلعی منتظم محیطی و 180 180 = محاطی باشند آنگاه = 2. 2rsin و r tan n n M H 180 n 8 شش ضلعی منتظم EF مفروض است با امتداد دادن اضالع شش ضلعی. مطابق شکل مثلث MNP را ساخته ایم. الف( نشان دهید MNP متساوی االضالع است. ب( نشان دهید مساحت شش ضلعی دو سوم مساحت مثلث MNP است. پ( از نقطه دلخواه T درون شش ضلعی عمودهای THʹ TH و THʺ را به ترتیب بر E و F رسم کنید. با توجه به آنچه از هندسه پایه 1 می دانید مجموع طول های این سه عمود با کدام جزء از مثلث MNP برابر است P F E M N ت( مجموع مساحت های مثلث های TE T و TF چه کسری از مساحت مثلث MNP است نشان دهید: S T +S TE +S TF =S T +S TEF +S T 30

9 دو قطر عمود بر هم و از یک دایره را رسم می کنیم چهارضلعی یک مربع است چرا عمود منصف های ضلع های این مربع را رسم کنید تا دایره را قطع کنند. نشان دهید هشت ضلعی MQPN منتظم است. F Q M E G P N H )خواندنی( P P? 360-2 N 2 2 N M زاویههای دید و کمان شامل )حاوی( پاره خط و نقطه M غیر واقع برخط در یک صفحه مفروضاند. فرض کنیم اندازه M برابر α باشد دایره محیطی مثلث M را رسم میکنیم. اگر از هر نقطه روی کمان M به جز و به و وصل کنیم اندازه زاویه پدید آمده برابر α است چرا )به عکس اگر P هر زاویهای به اندازه α باشد آنگاه P روی کمان M واقع است زیرا اگر P روی کمان M واقع نباشد خطP دایره را در نقطهای مانند ʹP قطع میکند پس اندازه P برابر α است اما این امکان ندارد )چرا ( بنابراین: مجموعه نقاطی از صفحه که از آن نقاط پاره خط به زاویه M 360-2 با اندازه α دیده میشود دو کمان هماندازه از دو دایره قابل انطباق است به جز نقاط انتهایی کمانها این کمانها را کمان های حاوی زاویه α وابسته به پاره خط می نامند. نشان دهید کمان های N به جز و در این دو دایره کمان های حاوی زاویه به اندازه α 180 است یعنی مجموعه نقاطی که از آنها پاره خط به زاویه α 180 دیده می شود. اگر 90= α این کمان ها چگونه اند 31

90- R 180- H M اگر از مرکز دایره شامل کمان حاوی به و وصل کنیم و عمود منصف پاره خط را نیز رسم کنیم اندازه زاویه H برابر α یا α 180 است چرا در نتیجه اندازه برابر α 90 یا 90 (α α منفرجه باشد(. با استفاده از این مفهوم و عمود منصف یک پاره خط روش رسم دایره های شامل کمان حاوی را بیان کنید. N.a = 2Rsinα یا sin a R α= 2 اگر شعاع کمان حاوی α برابر R و اندازه پاره خط برابر α باشد نشان دهید: 32

فصل دوم 2 تبدیلهای هندسی و کاربردها عکس: محمدرضا دومیری گنجی تبدیلهای هندسی با بسیاری از مفاهیم هندسی از جمله همنهشتی ارتباط نزدیکی دارند. همچنین کاربردهای فراوانی در صنعت معماری و هنر دارند. خلق بناهای تاریخی که از دستاوردهای با ارزش بشر به شمار میآید بدون به کارگیری تبدیلهای هندسی میسر نمیشد. عمارت مسجد نصیرالملک در شیراز نمونهای زیبا از این مطلب است. 33

درس او ل تبدیل های هندسی در زندگی روزمره و بسیاری از پدیده های اطرافمان نظیر طراحی پارچه نقش فرش کاشی کاری گچ بری و... شکل های مختلف طبق الگویی خاص تکرار می شود. در این فصل وضعیت های مختلفی را که هر شکل مشخص در اثر حرکت مجموعه نقاطش در صفحه پیدا می کند مطالعه و بررسی خواهیم کرد. این حرکت ها می تواند دارای ویژگی های خاص قابل تعریف باشد حرکاتی که سال های قبل با نمونه هایی از آن آشنا شده اید و با توجه به نوع این ویژگی ها آنها را انتقال بازتاب )تقارن محوری( یا دوران نامیده اید. انتقال بازتاب و دوران را تبدیل های هندسی می نامیم. تبدیلهای مطرح شده در این کتاب میتواند موقعیت 1 )جایگاه شکل در صفحه( یا اندازۀ 2 شکل را تغییر دهد. تبدیلیافتۀ یک شکل را تصویر آن مینامیم. در سال های گذشته با مفاهیم بازتاب انتقال و دوران تا حدودی آشنا شدید. در این فعالیت این تبدیل ها و برخی ویژگی های آنها را به طور شهودی مرور و یادآوری خواهیم کرد. 1 به تصویر روبه رو دقت کنید. اگر چهارضلعی های 2 1 و 3 را تبدیل یافته چهارضلعی رنگ شده بدانیم: الف( کدام چهار ضلعی انتقال یافته چهارضلعی رنگ شده است 1 3 ب( کدام چهارضلعی بازتاب چهارضلعی رنگ شده است پ( کدام شکل دوران یافته شکل رنگ شده است 2 Position 1 Size 2 34

2 الف( بازتاب شکل روبه رو را نسبت به خط d رسم کنید. )توضیح دهید که چگونه این کار را انجام می دهید. در این حالت خط d نسبت به پاره خطی که هر نقطه را به تصویرش نظیر می کند چه وضعیتی دارد ( d ب( آیا این تبدیل موقعیت شکل اولیه را تغییر می دهد اندازه ها را چطور پ( آیا در این تبدیل شیب هر پاره خط با شیب پاره خط متناظر در تصویر آن برابر است ت( آیا حالتی وجود دارد که بازتاب شیب خط را حفظ کند v 3 الف( تصویر شکل روبه رو را تحت انتقال با بردار v رسم کنید )توضیح دهید که چگونه این کار را انجام می دهید(. در این حالت پاره خط هایی که هر نقطه را به تصویرش نظیر می کنند نسبت به هم چه وضعیتی دارند ب( آیا این تبدیل موقعیت شکل اولیه را حفظ می کند اندازه ها را چطور پ( آیا در این تبدیل شیب هر پاره خط با شیب پاره خط متناظر در تصویر آن برابر است ت( آیا در این تبدیل زاویه بین خطوط در شکل و تصویر متناظر آن حفظ می شود 4 در سال های گذشته دیدید که برای دوران دادن هر شکل به مرکز دوران و به اندازه زاویه α کافی است هر نقطه از شکل مثل نقطه را به مرکز دوران یعنی وصل کنیم سپس در جهت خواسته شده به کمک زاویه ای برابر α رسم و روی ضلع دیگر این زاویه پاره خطی به اندازه جدا کنیم تا نقطه به دست آید. میخواهیم مثلث را حول مرکز و 90 درجه در جهت حرکت عقربههای ساعت دوران دهیم به ترتیبی که گفته شد نقاط و را دوران دادهایم. الف( به همین ترتیب تصویر نقطه را پیدا و شکل را کامل کنید. ب( آیا این تبدیل موقعیت شکل اولیه را حفظ میکند اندازهها را چطور پ( آیا در این تبدیل شیب پارهخط اولیه با شیب پارهخط تصویر آن برابر است ت( آیا میتوانید زاویه دوران را طوری تعیین کنید که دوران تحت آن شیب خط را حفظ کند 35

به طور شهودی میتوان دید که بازتاب انتقال و دوران میتوانند موقعیت شکل را تغییر دهند ولی اندازه پارهخطها و زاویهها را تغییر نمیدهند. در ادامه این فصل با تبدیلی آشنا خواهید شد که در آن بر خالف سه تبدیل صفح ه قبل اندازه زاویه ها حفظ می شود ولی اندازه پاره خط ها تغییر می کند. این تبدیل را تجانس می نامیم. حال که به طور شهودی برخی ویژگی های تبدیل های مختلف را مرور کردیم در ادامه با دقت بیشتری به تعریف تبدیل معرفی ویژگی ها و کاربردهای آن خواهیم پرداخت. تعریف: تبدیل 1 T در صفحۀ P تابعی است که به هر نقطۀ از صفحۀ P دقیقا یک نقطه مانند را از صفحۀ P نظیر میکند و برعکس هر نقطۀ از صفحۀ P تصویر دقیقا یک نقطۀ از صفحۀ P است. اگر تبدیل را با حرف T نمایش دهیم به اختصار چنین مینویسیم: T:P P T()= پیش از این به طور شهودی پذیرفتیم که بازتاب انتقال و دوران طول پاره خط را حفظ می کنند یعنی اندازه پاره خطی مثل در شکل اولیه با اندازه پاره خط در تصویر آن برابر است. این ویژگی را اصطالحا طولپایی یا ایزومتری می نامیم. تعریف: تبدیلهایی که طول پارهخط را حفظ میکنند تبدیالت طولپا )ایزومتری( نامیده میشوند. به عبارتی اگر داشته باشیم: T() = و T() = آن گاه داریم: = پیش از این به طور شهودی پذیرفتیم که در تبدیل هایی که مرور شد اندازه زاویه حفظ می شود. در این فعالیت با استدالل دقیق تری این ادعا را اثبات می کنیم. T() = می خواهیم نشان دهیم هر تبدیل طولپا اندازه زاویه را حفظ می کند. فرض کنید T تبدیلی طولپاست. و داریم: T T() = و T() =? Transformation 1 36

دلیل همنهشتی دو مثلث و را بنویسید و از آنجا برابری زاویه های و را نتیجه بگیرید. بنابراین می توان نتیجه گرفت: قضیه: در هر تبدیل طولپا تبدیلیافتۀ هر زاویه زاویهای هماندازۀ آن است. در تبدیلهای مطرح شده در این کتاب میتوان ثابت کرد که تبدیلیافتۀ هر خط یک خط است. بنابراین برای پیدا کردن تبدیلیافتۀ یک خط کافی است تبدیلیافتۀ دو نقطۀ دلخواه از آن را پیدا و خط گذرنده از آن دو را رسم کنیم. حال با استدالل دقیق تری بازتاب انتقال دوران و تجانس را بررسی خواهیم کرد. بازتاب H همان طور که پیش از این اشاره شد برای پیدا کردن بازتاب یک نقطه مثل نسبت به خط d کافی است از نقطه به خط داده شده عمودی وارد کنیم و پای عمود را H بنامیم. حال H را از سمت H به اندازه خودش امتداد می دهیم تا به دست آید. d = در این صورت را بازتاب یا قرینه نسبت به خط d مینامیم و مینویسیم: S 1 () = در چنین حالتی خط d عمود منصف پاره خط خواهد بود. خط d خط بازتاب یا محور بازتاب نامیده می شود. Symmetry 1 37

اگر نقطه ای روی خط بازتاب باشد تصویر آن بر خودش منطبق می شود به عبارتی همان است. تعریف: در هر تبدیل نقطهای را که تبدیلیافتۀ آن بر خود آن نقطه منطبق میشود نقطۀ ثابت تبدیل مینامند. بنابراین بازتاب نسبت به خط بی شمار نقطه ثابت تبدیل دارد. می خواهیم با استدالل دقیق تری نشان دهیم بازتاب تبدیل طولپا است. حالت های مختلف یک پاره خط را نسبت به خط بازتاب d در نظر می گیریم و در هر حالت نشان می دهیم که اندازه پاره خط با اندازه تصویر آن برابر است. الف( ابتدا مسئله را برای حالتی در نظر می گیریم که با خط d موازی است. بازتاب و را نسبت به خط d پیدا می کنیم و آن را و می نامیم. چرا با خطوط d و موازی است d H H پس چهارضلعی یک... است و از آنجا می توان نتیجه گرفت که اضالع روبه رو دو به دو هم اندازه اند یعنی:. = ب( حال فرض می کنیم که فقط یکی از نقاط انتهایی پاره خط داده شده روی خط بازتاب باشد. )اگر هر دو نقطه ابتدا و انتهای پاره خط داده شده روی خط بازتاب باشد اثبات بدیهی است چرا ( d M بازتاب نسبت به خط d نقطه و بازتاب M خود M است. به عبارتی: S() = و S(M) = M آیا می توانید به کمک هم نهشتی مثلث ها دلیلی برای تساوی M=M ارائه کنید d M H آیا می توانید این تساوی را به روش دیگری نشان دهید )از خاصیت عمود منصف یک پاره خط کمک بگیرید.( 38

d M پ( در حالتی که پاره خط با خط بازتاب d نه موازی و نه متقاطع باشد پاره خط را امتداد می دهیم تا خط بازتاب را در نقطه M قطع کند. نقطه بازتاب نقطه را نسبت به خط بازتاب پیدا و پاره خط M را رسم می کنیم. ادعا می کنیم که تصویر نقطه نیز روی خط M واقع می شود چرا = M -.. =.. -... = M و. = M با توجه به قسمت ب حال داریم:.. = d M ت( در حالتی که پاره خط خط بازتاب را در نقطه ای مثل M قطع کند بازتاب نقطه را نسبت به خط d پیدا می کنیم و آن را نقطه می نامیم. پاره خط M را رسم می کنیم و امتداد می دهیم و ادعا می کنیم که بازتاب نقطه یعنی نقطه هم بر امتداد M واقع است چرا حال داریم: = M +.. =.. +.... =. = M و. = M با توجه به قسمت ب نتیجه این مراحل را می توان در قالب این قضیه بیان کرد: قضیه: در هر بازتاب اندازۀ هر پاره خط و اندازۀ تصویر آن با هم برابرند. به عبارتی این قضیه نشان می دهد که بازتاب تبدیل طولپا است و برای هر دو نقطه و از صفحه P که S() = و S() = داریم: = n n می خواهیم بررسی کنیم که آیا بازتاب شیب خط را هم حفظ می کند. مسئله را برای دو حالت کلی در نظر می گیریم: وقتی خط داده شده با خط بازتاب موازی باشد و وقتی با آن موازی نباشد. الف( اگر خط n موازی خط بازتاب d باشد تصویر آن را تحت بازتاب خط n می نامیم. خطوط n و n نسبت به هم چه وضعی دارند چرا d آیا در این حالت بازتاب شیب خط را حفظ می کند 39

ب( اگر خط n با خط بازتاب d موازی نباشد خط های n d و n در نقطه ای مثل M متقاطع می شوند پس n و n موازی نیستند و در این حالت بازتاب شیب خط را... بنابراین M n در حالت کلی بازتاب شیب خط را... دیدیم که طولپاها اندازه زاویه را هم حفظ می کنند. بنابراین به طور کلی هر چندضلعی و تصویر آن تحت تأثیر یک طولپا از جمله بازتاب با هم همنهشت هستند. در ادامه به کمک ویژگی های انتقال و دوران ثابت می کنیم که این دو تبدیل نیز طولپا هستند. d n جاهای خالی را با عبارت مناسب کامل کنید: الف( وقتی بازتاب نسبت به خط d است بازتاب نسبت به خط d کدام نقطه است... چرا ب( قرینه قرینه هر نقطه چیست... در واقع:.... = ( )S S(S())= و به زبان ساده تر = ( ) پ( در هر بازتاب تبدیل یافته یک مثلث یک... است که با مثلث اولیه... است. ت( در حالتی که پاره خط نسبت به خط بازتاب... باشد بازتاب شیب خط را حفظ می کند. ث( در هر بازتاب نسبت به خط d تبدیل یافته تمام نقاط روی خط... است بنابراین تعداد نقاط ثابت تبدیل در هر بازتاب... است. راستا اندازه انتها ابتدا انتقال یادآوری 1 در شکل مقابل یک بردار ابتدا انتها اندازه و راستای آن مشخص شده است. 2 دو بردار که هم اندازه هم راستا و هم جهت باشند دو بردار برابر هستند. 40

v در سالهای گذشته دیدید که برای انتقال دادن یک شکل کافی است تصویر هر نقطه از شکلرابهکمکبردارانتقالپیداکنیم یعنیاگرنقطه تصویرنقطه باشد آنگاه = v تعریف: انتقال 1 T تحت بردار v تبدیلی از صفحه است که در آن تصویر هر نقطۀ از صفحۀ P نقطهای مانند در همان صفحه است که = v v 1 میخواهیم نشان دهیم انتقال تبدیل طولپاست. الف(اگرپارهخطدلخواه بابردار v موازینباشد تبدیلیافته رابا بردار v رسم کنید و آن را بنامید و نشان دهید:.= راهنمایی: میدانیم که اگر در یک چهارضلعی دو ضلع روبهرو موازی و مساوی باشند آن چهارضلعی متوازیاالضالع است. v v ب( اگر پارهخط با بردار v موازی باشد به کمک مجموع یا تفاضل پارهخطها در هر دو حالت زیر نشان دهید:.= )1( = +.. =.. +.... =.. = طبق تعریف انتقال )2( = -.. =.. -.... =.. = طبق تعریف انتقال تذکر: در حالتی که طول بردار v با پارهخط برابر است به کمک هر یک از روشهای فوق میتوان درستی رابطه را نشان داد. بنابراین: قضیه: در هر انتقال اندازۀ هر پاره خط و اندازۀ تصویر آن با هم برابرند. به عبارتی این قضیه نشان می دهد که انتقال تبدیل طولپا است و برای هر دو نقطه = داریم: T() = و T() = که P از صفحه و 2 در هر یک از حالت های قبل نشان دهید انتقال شیب خط را هم حفظ می کند. Translation 1 41

دوران دیدیم که برای دوران دادن شکل به مرکز دوران و به اندازه زاویه α هر نقطه از شکل مثل را به مرکز دوران یعنی وصل می کنیم سپس در جهت خواسته شده به کمک زاویه ای برابر α رسم کرده و روی ضلع دیگر این زاویه پاره خطی به انداز ه جدا می کنیم تا به دست آید. بدین ترتیب: تعریف: دوران 1 R به مرکز نقطۀ ثابت و زاویۀ α تبدیلی از صفحه است که در آن اگر تصویر نقطۀ باشد داریم: = و = α دوران در جهت خالف حرکت عقربه های ساعت 60 دوران در جهت حرکت عقربه های ساعت می خواهیم نشان دهیم دوران تبدیل طولپاست. برای دوران دادن هر پاره خط نظیر کافی است نقاط و را دوران دهیم تا نقاط و حاصل شود. پاره خط را رسم می کنیم. Rotation 1 42

1 2 3 مسئله را برای حالت های مختلف در نظر می گیریم: الف( مرکز دوران بر پاره خط و امتداد آن واقع نباشد و زاویه دوران از زاویه بیشتر باشد. با توجه به شکل 1 +...= 3 +...= α پس می توان مدعی شد که... =... به کمک همنهشتی دو مثلث و نشان دهید و هم اندازه اند. ب( به طور مشابه نشان دهید که اگر بر پاره خط واقع نباشد ولی زاویه دوران از زاویه کمتر باشد باز هم تساوی = برقرار است. تذکر: در حالتی که با زاویه دوران α برابر است با هریک از روش های فوق می توان درستی رابطه را نمایش داد. پ( اگر نقطه روی پاره خط باشد: = +.. =.. +.... = و.. = طبق تعریف دوران.. = ت( به طریق مشابه نشان دهید اگر نقطه روی امتداد پارخط باشد حکم برقرار است. بنابراین: قضیه: در هر دوران اندازۀ هر پاره خط و تصویر آن با هم برابرند. الف( به عبارتی این قضیه نشان می دهد که دوران تبدیل طولپا است و برای هر دو نقطه و از صفحه P که R() = و R() = داریم: = دوران یافته هر شکل را رسم کنید. الف( دوران به مرکز و با زاویه 90 در جهت حرکت عقربه های ساعت ب( ب( دوران به مرکز و با زاویه 120 در جهت خالف حرکت عقربه های ساعت 43

0 1 در حالتی که پاره خط در راستای عمود بر خط بازتاب قرار دارد ثابت کنید که اگر بازتاب باشد و هم اندازه اند. 2 در شکل زیر چهار ضلعی تصویر چهارضلعی محدب تحت بازتاب است. در شکل اولیه وقتی به ترتیب از به و می رویم جهت حرکت موافق جهت حرکت عقربه های ساعت است. جهت حرکت در بازتاب این نقاط چگونه است آیا می توان گفت بازتاب جهت شکل را حفظ می کند 3 در شکل d 1 به موازات d 2 و به فاصله m از آن قرار دارد و مثلث بازتاب مثلث نسبت به خط d 1 است. بازتاب مثلث را نسبت به خط d 2 رسم کنید و آن را بنامید. الف( نشان دهید: =2m ب( اندازه و چقدر است پ( با چه تبدیلی میتوان مثلث را تصویر میگیرید دانست چه نتیجهای d 1 m d 2 4 در شکل دو خط d 1 و d 2 با زاویه θ یکدیگر را قطع کردهاند. مثلث نسبت به خط d 1 است. بازتاب مثلث بازتاب مثلث را دانست چه نسبت به خط d 2 رسم کنید و آن را بنامید. الف( نشان دهید: = 2 θ ب( اندازه و چقدر است پ( با چه تبدیلی میتوان مثلث را تصویر نتیجهای میگیرید θ d 1 d 2 44

تجانس در شکل های متشابه دیدید که طول پاره خط ها الزاما با هم یکسان نیستند اما با یک نسبت اندازه همه پاره خط ها بزرگ تر یا کوچک تر می شوند. ساده ترین تبدیل از این نوع را تجانس می نامیم. در تجانس ابعاد شکل با نسبت 0 k آن را نسبت تجانس )مقیاس( می نامیم بزرگ یا کوچک می شود. تعریف دقیق تر تجانس بدین شکل است: تعریف: اگر نقطهای ثابت در صفحه و 0 k یک عدد حقیقی باشد نقطه 'M را مجانس نقطه M در تجانس به مرکز و نسبت تجانس k گوییم هرگاه سه شرط زیر برقرار باشد: الف( سه نقطه M و M روی یک خط راست باشند. ب( M = k.m پ( - اگر k مثبت باشد M روی نیم خط M و نقاط M و M در یک طرف نقطۀ قرار دارند. k = 2 مثال: ΟΜ = 2ΟΜ M M 1 1 k = ΟΜ = ΟΜ 2 M M 2 - اگر k منفی باشد نقطه بین نقاط M و M قرار میگیرد. مثال: k = 2 ΟΜ = 2ΟΜ M M به عبارتی هرگاه بخواهیم در تجانس به مرکز و نسبت k تصویر نقطه ای مثل M را پیدا کنیم ابتدا از M به وصل می کنیم اگر k مقداری مثبت باشد روی نیم خط M نقطه M را چنان می یابیم که M = k.m و اگر k عددی منفی باشد نقط ه M را روی خط M به گونه ای جدا می کنیم که نقطه بین نقاط M و M باشد و.M = k. M در تجانس به مرکز و نسبت k نقطه M مجانس نقطه M به نسبت k و نقطه M مجانس نقطه M با نسبت 1 k است چرا 45

1 این دو شکل نمونه ای از تجانس را نشان می دهند که در یکی مرکز تجانس داخل شکل اولیه و در دیگری خارج آن در نظر گرفته شده است. الف( به کمک صفحه شطرنجی در هر شکل نسبت تجانس را مشخص کنید. k =. y x ب( آیا تجانس طولپاست چرا پ( در این شکل ها طول هر پاره خط را با طول تصویر آن مقایسه کنید. به چه نتیجه ای می توان رسید k =. ت( مساحت هر شکل را با مساحت تصویر آن مقایسه کنید. چه نسبتی با هم دارند 2 در هر دو حالت فوق نسبت تجانس مقداری بیش از یک است به عبارتی: < 1 k. حال مسئله را برای مقادیر مختلف k بررسی می کنیم. الف( در هر حالت مراحل باقی مانده را کامل کنید. k مثال k = 1 0 > k > 1 k = 1 2-1 > k > 0 k = 1 3 k مثال k = -1 k > -1 k = -2 46

ب( با توجه به تصاویر صفحه قبل به طور شهودی درستی یا نادرستی هر عبارت را مشخص کنید: طولپاست اندازۀ زاویه حفظ می شود. شیب خط حفظ می شود. جهت شکل حفظ می شود. مساحت شکل حفظ می شود. k < 1 k = 1 k < 0 0 > k > 1-1 > k > 0 تجانس k = -1 k > 0 k > -1 پ( شرط اینکه تجانس طولپا باشد این است که... ت( خطوطی که هر نقطه را به تصویر آن نظیر می کند یعنی خطوط و... نسبت به هم چه وضعی دارند در تجانس به مرکز و نسبت k: اگر 0> k تجانس را تجانس مستقیم مینامیم. اگر 0< k تجانس را تجانس معکوس مینامیم. اگر 1< k تصویر شکل... میشود و آن را انقباض مینامیم. اگر... تصویر شکل بزرگتر میشود و آن را انبساط مینامیم. حال که به طور شهودی با تجانس و چگونگی عملکرد آن روی شکل های هندسی آشنا شدید با استدالل دقیق تری ثابت خواهیم کرد که تجانس تبدیلی است که در حالت کلی شیب خط و اندازه زاویه را حفظ می کند. 47

می خواهیم نشان دهیم تجانس شیب خط را حفظ می کند. برای این منظور تجانس 1 با مرکز تجانس و نسبت تجانس k و خط را در نظر می گیریم دو حالت اتفاق می افتد: الف( نقطه روی خط است. حل: در این حالت بدیهی است که نقاط و مجانس های نقاط و روی خط واقع می شوند بنابراین بر واقع است و شیب خط تغییری نمی کند. ب( نقطه غیر واقع بر خط است. حل: در این صورت اگر نقاط و به ترتیب مجانس های نقاط و باشند طبق تعریف داریم: = k.... = =... =...... (چرا ) پس در این حالت نیز خط و تصویر آن با هم موازی اند و شیب دو خط برابر است بنابراین: قضیه: تجانس شیب خط را حفظ می کند. میخواهیم نشان دهیم تجانس اندازه زاویه را حفظ میکند. تجانس با مرکز تجانس و نسبت تجانس k و زاویه را در نظر میگیریم. مجانس این زاویه یعنی زاویه را رسم میکنیم. به کمک قضیه قبل و شکل داده شده ثابت کنید: =. 1 2 نتیجه این فعالیت را در قالب قضیه زیر مطرح می کنیم: 1 2 قضیه: تجانس اندازۀ زاویه را حفظ می کند. ilation 1 48

1 الف( فرض کنید پارهخط مجانس پارهخط در تجانس به مرکز = k باشد نشان دهید: k و نسبت 1 2 مجانس nضلعی 1 2... ب( اگر nضلعی n این دو nضلعی با هم متشابهاند.... n باشد نشان دهید 2 با توجه به ویژگی های تجانس و به کمک مثال نقض نشان دهید دو شکل متشابه الزاما متجانس نیستند. پیش از این دیدیم که اگر نقطه ای روی خط بازتاب باشد تصویر آن بر خودش منطبق می شود به عبارتی همان است و داریم ( S( = = این نقاط را نقاط... نامیدیم. اما برخی از تبدیل ها هر نقطۀ صفحه را به خود آن نقطه نظیر می کند چنین تبدیل هایی را تبدیل همانی می نامیم. تعریف: تبدیل T را تبدیل همانی گوییم هر گاه به ازای هر نقطۀ از صفحۀ P داشته باشیم.T() = معموال تبدیل های همانی را با I نمایش می دهند پس.I() = دقت کنید که در بازتاب به جز نقاطی که روی خط بازتاب قرار دارند تصویر هر نقطه مثل نقطه ای مثل است که در طرف دیگر خط بازتاب قرار دارد. بنابراین بازتاب هیچ گاه تبدیل همانی نیست. الف( در چه شرایطی انتقال دوران و تجانس می توانند تبدیل همانی باشند ب( آیا تبدیل همانی طولپاست پ( توضیح دهید که در هر یک از تبدیل های زیر آیا می توان نقاط ثابت تبدیل داشت 1 انتقال غیر همانی: 2 دوران غیر همانی: 3 تجانس غیر همانی: 49

1 درستی یا نادرستی هر عبارت را داخل جدول مشخص کنید. طول پاره خط را حفظ می کند. اندازۀ زاویه را حفظ می کند. شیب خط را حفظ می کند. جهت شکل را حفظ می کند. مساحت شکل را حفظ می کند. بازتاب انتقال دوران تجانس 0 1 در تجانسی با نسبت 0>k و مرکز تجانس نشان دهید: الف( تجانس شیب خط را حفظ می کند. ب( تجانس زاویه بین خطوط را حفظ می کند. 2 دایره (,R) و نقطه M خارج این دایره مفروض است. مجانس این دایره را نسبت به نقطه M در هر حالت رسم کنید. الف( 2=k ب( 2-=k پ( = 1 2 k تصاویر زیر نمونه هایی از نقاشی های دانش آموزان است که استفاده از بازتاب در آن نقشی عمده دارد. 50

درس دوم کاربرد تبدیل ها تبدیل های هندسی شامل بازتاب انتقال دوران و تجانس به طور مستقیم و غیر مستقیم در زندگی واقعی کاربرد دارد برای مثال در سال های گذشته با کاربرد برخی تبدیل ها در کاشی کاری آشنا شدید. آیا می توانید با تأمل در محیط اطراف خود به نمونه هایی اشاره کنید که تبدیل های هندسی در آن به کار رفته اند به این تصاویر دقت کنید. کدام یک از تبدیل های هندسی بر زیبایی خوشنویسی های زیر افزوده است 51

کاربردهایی از بازتاب )قرینه یابی( بازتاب عالوه بر شاخه های مختلف ریاضی در دیگر علوم نظیر هنر معماری فیزیک و... کاربرد دارد. در علم فیزیک ویژگی های بازتاب همان ویژگی های آینه تخت است. کاربردهای دیگری از بازتاب را در ادامه خواهیم دید. دریاچه ای در قلۀ سبالن استان اردبیل 1 می خواهیم کیکی به شکل زیر را به طور مساوی بین دو نفر تقسیم کنیم. نمای باالی کیک از مربع E و کمان E از یک دایره تشکیل شده است به طوری که و و E روی یک خط هستند. E اگر نمای باالی کیک به شکل روبه رو بود تقسیم آن کار ساده ای بود چرا که می توانستیم از روی خط بازتاب m کیک را برش بزنیم و آن را به دو نیمه مساوی تقسیم کنیم. m این شکل راه ساده ای برای برش زدن کیک و تقسیم آن به دو سهم برابر ارائه می کند. توضیح دهید که بازتاب به حل این مسئله چه کمکی کرده است. 2 یکی از کاربردهای بازتاب حل مسائلی است که به مسائل هم پیرامونی یا هم محیطی معروف است. در این گونه مسائل هدف این است که بدون اینکه محیط یک چند ضلعی تغییر کند مساحت آن چند ضلعی را تغییر دهیم. برای مثال فرض کنید که زمینی به شکل چندضلعی E داریم که دور آن را حصار کشیده ایم. حال می خواهیم با ثابت نگهداشتن محیط و ثابت نگهداشتن تعداد اضالع E چند ضلعی بدون اینکه اندازه حصار کشی تغییر کند مساحت زمین را افزایش دهیم. 52

به کمک تصویر روبه رو توضیح دهید که این عمل را چگونه می توان انجام داد. چرا محیط چندضلعی E با محیط چندضلعی E یکی است E خانه M 1 M 2 اسطبل رودخانه مسائل پیدا کردن کوتاه ترین مسیر الف( هرون ریاضی دانی است که به او دایرةالمعارف ریاضی و فیزیک لقب داده اند. او که در فاصله زمانی 250 تا 150 سال قبل از میالد مسیح در مصر زندگی می کرد برای نخستین بار به کمک بازتاب دستور پیدا کردن کوتاه ترین مسیر را در شرایطی خاص ارائه کرد. او با این مسئله روبه رو شده بود که:»مردی می خواهد برای برداشتن آب از خانه به ساحل رودخانه ای که لبه مستقیمی دارد برود و بعد سطل آب را به اسطبل 1 ببرد که در همان سمت رودخانه است. او از کدام نقطه از ساحل آب بردارد که مسافتی که در مجموع طی می کند کمترین حالت ممکن باشد «M 1 M d مسئله پیدا کردن نقطه M روی خط d است به گونه ای که M+M کمترین مقدار ممکن باشد. هرون ابتدا بازتاب را نسبت به خط پیدا کرد و آن را نامید. خط فرضی خط بازتاب را در نقطه ای مثل M قطع می کند. او مدعی شد که M جواب مسئله است و M+M کوتاه ترین مسیر ممکن است. با هم دلیل ادعای هرون را بررسی می کنیم: 1 برای هر نقطه دلخواه دیگری نظیر M 1 داریم M 1 = M 1 )و به همین ترتیب M= M ( چرا 2 در مثلث M 1 داریم M 1 +M 1 > چرا از تساوی = M+M و )1( و )2( ادعای هرون را اثبات کنید. 1 2 M d سؤال: در همین مسئله فرض کنید که d یک آینه تخت و یک نقطه نورانی است. نشان دهید بازتاب شعاع نوری M از نقطه می گذرد )به عبارتی نشان دهید که.) M = M 1 2 1 جایی سرپوشیده برای نگهداری چهارپایان به ویژه اسب 53

ب( دو خط متقاطع d 1 و d 2 و نقاط ثابت و مطابق شکل مفروض اند. چگونه می توان با طی کوتاه ترین مسیر از نقطه آغاز به حرکت کرد و پس از برخورد با دو خط d 1 و d 2 از نقطه گذشت d 1 d 2 حل: برای پیدا کردن کوتاه ترین مسیر به روش زیر عمل می کنیم: قرینه را نسبت به خط d 1 نقطه 1 و قرینه 1 را نسبت به خط d 2 نقطه 2 می نامیم. از 2 به وصل می کنیم و نقطه برخورد آن را با 1 d 2 می نامیم. به همین ترتیب از 1 به 1 وصل می کنیم و نقطه برخورد آن را با d 1 2 می نامیم. از به 2 وصل می کنیم. ادعا می کنیم که مسیر مورد نظر 2 1 است. d 1 1 P 1 2 P 2 1 P 3 d2 تذکر: این مسئله را فقط در حالتی مطرح میکنیم که و 1 هر دو در یک طرف خط P 2 P 3 باشند و پارهخطهای 2 و P 2 P 3 متقاطع باشند. 2 کافی است نشان دهیم این مسیر از تمام مسیرهای دیگر کوتاه تر است. ابتدا ثابت می کنیم که طول این مسیر با طول پاره خط 2 برابر است. )1(... 1 2 = 2 2+ 2 1=... + + =... 2 2 1 1 1 1= 2 1 1 1+ 1 = d 1 1 2 M N 1 d 2 )2( حال مسیر دلخواه دیگری مانند MN را درنظر می گیریم داریم: حال با توجه به مثلث N 2 داریم: M=... M+MN=... 1 N=... M+MN+N=...+N 1 N طول مسیر اول طول مسیر دوم 2 54

4 پ( دو شهر و مطابق شکل در یک طرف رودخانه ای واقع اند. می خواهیم جاده ای از به بسازیم به طوری که 4 کیلومتر از این جاده در ساحل رودخانه ساخته شود. این 4 کیلومتر را در چه قسمتی از رودخانه بسازیم تا مسیر کوتاه ترین مسیر ممکن باشد رودخانه حل: مسئله را در چند مرحله حل می کنیم. 1 اگر جاده ساحلی را از صورت مسئله حذف کنیم به عبارتی اگر =0 این مسئله به کدام یک از مسائلی شبیه است که قبال دیده اید 4 4 2 با توجه به شرایط مسئله مسیر موردنظر باید مسیری به شکل مسیر باشد اما: بنابراین: )چرا ( طول مسیر = طول مسیر + 4 طول مسیر = طول مسیر 3 پس کافی است برای پیدا کردن کوتاه ترین مسیر ممکن به شکل مسیر را به گونه ای انتخاب کنیم که طول کوتاه ترین طول ممکن باشد. 4 به کمک مراحل 1 تا 3 و شکل روبه رو توضیح دهید که رسم کوتاه ترین مسیر چگونه است. M اگر دو شهر و دو طرف رودخانه باشند و بخواهیم جاده ای از به بسازیم به طوری که پل MN بر راستای رودخانه عمود باشد محل احداث پل را کجا در نظر بگیریم که مسیر MN کوتاه ترین مسیر ممکن باشد رودخانه N راهنمایی: به کمک فعالیت قبل و با توجه به تصویر داده شده طریقۀ رسم مسیر MN را شرح دهید و مشخص کنید چرا این مسیر کوتاهترین مسیر ممکن است. M N 55

0 1 دور زمینهایی مطابق شکل حصارکشی شده است. چطور میتوان بدون کم و زیاد کردن حصارها مساحت زمین را افزایش داد الف( ب( E F E F 2 می خواهیم کنار رودخانه ها 3 اسکله بسازیم. جای 2 اسکله و مطابق شکل مشخص است. اسکله M را در چه نقطه ای از ساحل رودخانه بسازیم که قایق ها هنگام طی مسیر MM کوتاه ترین مسیر را طی کنند M 3 سه خط دو به دو ناموازی l و ʹl و ʺl در صفحه مفروض اند. پاره خطی به طول 5 سانتی متر رسم کنید که دو سر آن روی l و ʹl و موازی ʺl باشد. l l l 4 فرضکنیدG محلبرخوردمیانههایمثلث )مرکزثقلآن(باشدومثلثʹ ʹ ʹ مجانس مثلث در تجانس به مرکز G و نسبت 1 =K باشد. 2 الف( جایگاه رأسهای ʹ و ʹ و ʹ نسبت به مثلث کجاست ب( مساحت مثلث ʹʹ ʹ چه کسری از مساحت مثلث است 56

)خواندنی( تبدیل های تقارنی یک شکل هندسی در بسیاری از مناظر طبیعی گیاهان و جانوران ساختار اتم ها معماری هنرهای مختلف دستی و نیز شکل های هندسی می توان نوعی نظم و تعادل مشاهده کرد. در این درس تبدیل هایی را مرور می کنیم که یک شکل را به خود آن شکل نظیر می کنند. چنین تبدیل هایی را تبدیل های تقارنی آن شکل می نامیم. فعالیت صفحه بعد برای روشن تر شدن این موضوع طراحی شده است. مثلث متساوی االضالعی را در نظر بگیرید: الف( بازتاب این مثلث نسبت به خط داده شده چگونه است... ب( آیا تحت این بازتاب تصویر هر نقطه از شکل لزوما خود آن نقطه است... پ( آیا تحت این بازتاب تصویر هر نقطه از شکل روی خود شکل است ت( آیا خط بازتاب دیگری برای این مثلث سراغ دارید... این مثلث چند خط بازتاب دارد... ث( آیا غیر از بازتاب تبدیل دیگری سراغ دارید که هر نقطه از شکل را به نقطه ای از همان شکل ببرد... 57

برای مثال آیا با مرکز )نقطه همرسی نیمسازها( می توانید دوران هایی معرفی کنید که شکل را بر خودش منطبق کند... اگر 360 α <0 زاویه دوران باشد چند دوران به مرکز و زاویه α می توانید مشخص کنید... تعریف: اگر شکلی تحت یک بازتاب بر خودش منطبق شود گوییم آن شکل تقارن بازتابی )خطی( دارد و اگر آن شکل تحت دورانی با زاویۀ 360 α <0 بر خودش منطبق شود گوییم تقارن دورانی )چرخشی( دارد. همان گونه که در این فعالیت دیدید در مثلث متساوی االضالع سه بازتاب و سه دوران متفاوت می توان معرفی کرد که نقاط این مثلث را به نقاطی از همین مثلث نظیر کند. به عبارتی تحت این تبدیل ها تصویر این مثلث بر خودش منطبق می شود چنین تبدیل هایی را تبدیل های تقارنی این مثلث می نامیم. در این کتاب برای شناسایی تبدیل های تقارنی یک شکل شکل را تنها در یک جهت )خالف یا موافق جهت حرکت عقربه های ساعت( دوران می دهیم با این تعریف مثلث متساوی االضالع دارای 6 تبدیل تقارنی است. دقت کنید که دوران 360 تبدیل انتقال با بردار صفر و تبدیل تجانس با نسبت تجانس 1=k هر شکل را به خود آن شکل نظیر می کنند که پیش از این آنها را»تبدیل های همانی«نامیدیم. بنابراین تمام تبدیل های همانی فقط تبدیل تقارنی به شمار می رود. تعریف: تبدیل طولپای T را تبدیل تقارنی شکلF مینامیم به شرط اینکه تبدیلیافتۀ شکل F تحت آن تبدیل بر خود شکل F منطبق شود یعنی داشته باشیم: T(F) = F تعریف: تقارن دورانی با زاویه 180 را تقارن مرکزی نیز مینامند. در این حالت مرکز دوران را مرکز تقارن شکل میگویند. مثال شش ضلعی منتظم 6 تقارن بازتابی و 6 تقارن دورانی دارد. تقارن های بازتابی: تقارن های دورانی: 60 120 180 240 300 360 58

همان طور که اشاره شد تقارن دورانی با زاویه 360 انتقال با بردار صفر و تجانس با نسبت تجانس 1=k تبدیل های همانی هستند. تبدیل های همانی را تقارن همانی نیز می نامند با این تعریف هر شکلی دارای تقارن همانی است. شکل های زیر را به عنوان تصویر دو بعدی در نظر بگیرید و جدول را کامل کنید: تقارن های دورانی تعداد تقارن های بازتابی تعداد کل تقارن ها...... 72... تعداد تبدیل های تقارنی را در هر شکل مشخص کنید. الف( پاره خط ب( خط پ( دایره 0 1 الف( با تکمیل جدول زیر تعداد تبدیل های تقارنی nضلعی منتظم را مشخص کنید. n=3 n =4 n=5 n=6 n=7 n=8 n n ضلعی منتظم تعداد تقارن های بازتابی تعداد تقارن های دورانی تعداد کل تبدیل های تقارنی آیا شکل مرکز تقارن دارد ب( nضلعی منتظم در چه صورتی مرکز تقارن دارد پ( الگویی برای پیدا کردن زاویه های دوران در تقارن های دورانی یک n ضلعی منتظم ارائه کنید. 59

2 تقارن های خطی و دورانی متوازی االضالع مستطیل لوزی مثلث متساوی الساقین و ذوزنقه متساوی الساقین را مشخص کنید و در جدولی بنویسید. کدام یک از این شکل های هندسی مرکز تقارن دارند 3 الف( شکلی رسم کنید که خط بازتاب داشته باشد ولی مرکز تقارن نداشته باشد )یعنی تقارن خطی داشته باشد اما تقارن دورانی غیرهمانی نداشته باشد(. ب( شکلی رسم کنید که مرکز تقارن داشته باشد ولی خط بازتاب نداشته باشد )یعنی تقارن دورانی غیرهمانی داشته باشد اما تقارن خطی نداشته باشد(. 4 نشان دهید اگر شکلی دو خط بازتاب عمود بر هم داشته باشد محل تالقی این دو خط مرکز تقارن شکل است )در واقع هر شکل که دارای دو تقارن بازتابی باشد که دو خط بازتاب آن بر هم عمود باشند دارای تقارن دورانی است(. 5 جدول زیر را کامل کنید. شکل تقارن بازتابی تقارن دورانی تعداد تبدیل های تقارنی 60

فصل سوم 3 روابط طولی درمثلث عکس: فرهاد کولی وند محاسبۀ فاصلههای غیرقابل دسترس یکی از مهمترین کاربردهای روابط طولی در هندسه است. از جملۀ آنها محاسبۀ ارتفاع کوههای بلند است. رشتهکوه اشترانکوه که ارتفاع آن در برخی نقاطبهبیشاز 4000 مترمیرسد در استان لرستان واقع است. تئودولیت )زاویهیاب( یکی از ابزارهای الزم برایاینگونهمحاسبات عملی است. 61

درس او ل قضیۀ سینوس ها یادآوری منظور از روابط طولی رابطه هایی است که در مورد اندازه های پاره خط ها و زاویه ها در شکل های مختلف بحث می کند. در سال گذشته روابط طولی زیر را در مثلث قائم الزاویه دیدیم: 1 2 =.H 2 2 =.H 3 H 2 =H.H 4 2 + 2 = 2 5.=.H اینک به ادامه بحث در مثلث های دلخواه می پردازیم. H 1 در کتاب ریاضی 1 )پایه دهم( با تعریف نسبت های مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه آشنا شدید. با توجه به تعریف سینوس زاویه در مثلث قائم الزاویه جاهای خالی را پر کنید:... b Sin = =...... Sin c b... c Sin = =...... Sin a... a Sin = Sin90 = =... Sin بنابراین داریم: در هر مثلث قائمالزاویه نسبت اندازة هر... به... برابر است با اندازۀ... 62

2 در کتاب هندسه 1 دیدیم که عمودمنصف های اضالع هر مثلث در یک نقطه همرس اند و در این کتاب دیدیم که این نقطه مرکز دایره محیطی مثلث است. دایر ه محیطی مثلث قائم الزاویه را رسم می کنیم. مرکز این دایره کجاست و چرا قطر آن با وتر مثلث برابر است با توجه به نتیجه فعالیت )1( می توانیم بگوییم: در هر مثلث قائم الزاویه نسبت اندازة هر ضلع به سینوس زاویة روبه رو به آن ضلع برابر است با اندازۀ... دایرة محیطی مثلث. اکنون نشان می دهیم این نتیجه گیری برای هر مثلث دلخواه نیز درست است. 3 ( و دایره محیطی آن به مرکز را در نظر میگیریم. مثلث دلخواه ) 90 < قطر را رسم و را به وصل میکنیم. 1 زوایای Ĉ و ˆ چرا با هم برابرند c b اندازه آنها برابر است با نصف... a 2 چرا مثلث در رأس قائم الزاویه است 3 با توجه به دو قسمت قبل داریم:...... c Sin = Sin و Sin= Sin = = 2R... 2R Sin a... Sin =, b Sin =... 4 به طور مشابه خواهیم داشت: ( را در نظر بگیرید. نقطه دلخواه ʹ روی کمان 5 حال مثلث ) 90 > را به و وصل میکنیم. زوایای Â و Â نسبت به هم چگونهاند چرا... = + بنابراین زاویهای حاده است. 63

با توجه به آنچه از مثلثات می دانید جاهای خالی را پر کنید: sin = sin(... ) =... در مثلث ʹ طبق نتیجه قسمت )3( می توانیم بنویسیم: a... a = =... sin sin در هر مثلث دلخواه نسبت اندازۀ هر... به... زاویة روبه رو به آن برابر است با... قضیۀ سینوسها: در مثلث با اضالع =b =a و =c داریم: a b c = = = 2R Sin Sin Sin که R شعاع دایره محیطی مثلث است. c a b مثال :1 در مثلث =10cm و =120 º و = 10 6 مقدار شعاع 3 دایره محیطی مثلث و اندازه زوایای و را بهدست آورید. حل: به کمک قضیه سینوس ها می توان نوشت: a 10 = 2R = 2R sin sin120 )= º sin120 º =sin(180 º -60 و sin60 = 3 2 2R = 10 3 2 = 10 3 R و 3 10 6 a b 20 3 10 6 2 = = 2R 3 = sin = = sin sin sin 3 20 3 2 =45 º یا 135 º و = 120 = 45 = 15 مثال 2: از یک بلوار افقی یک خیابان فرعی باریک با زاویه 60 º جدا شده است. اکنون شهرداری منطقه می خواهد یک خیابان فرعی دیگر به طول 800 متر بنا کند تا با زاویه 45 º از خیابان فرعی اول جدا و به بلوار منتهی شود. این خیابان از چه فاصله ای از رأس زاویه 60 º باید شروع شود و با بلوار چه زاویه ای می سازد 800 m 45 60 64

45 60 حل: با یک شکل مناسب مسئله را مدل سازی می کنیم. اوال با توجه به مجموع ο = ) + ( = اندازههای زوایای داخلی مثلث روشن است که 180 45 60 75 یعنی خیابان فرعی باید با زاویه 75 º از بلوار جدا شود. ثانیا به کمک قضیه سینوس ها در مثلث داریم: 2 800 800 = = = 2 = sin sin sin60 sin45 3 2 800 2 800 6 = 653 / 2m 3 3 یعنی خیابان فرعی را باید از فاصله تقریبی 653/2 متر با زاویه 75 º بنا کنیم. E می خواهیم روی یک رودخانه عمیق بین دو نقطه و در دو طرف رودخانه پلی بنا کنیم. برای محاسبات مربوط به احداث پل باید فاصله ابتدا و انتهای آن )یعنی طول ) را به دست بیاوریم ام ا امکان اندازه گیری مستقیم )به دلیل وجود رودخانه( وجود ندارد. برای این کار از نقطه در جهتی حرکت می کنیم تا با عبور از قسمت کم عمق رودخانه )E( به نقطه برسیم و طول را اندازه گیری می کنیم سپس با زاویه یاب )تئودولیت( زاویه دید از نقطه ) ( و زاویه دید از ) ( را اندازه می گیریم. به صورت زیر نشان دهید با داشتن طول و زوایای و می توان فاصله را به دست آورد:...... = = = sin... sin ( 180 (... +...))... sin(...) اگر =3km و =70 º و =60 º به کمک ماشین حساب طول را به دست آورید. 0 1 ثابت کنید در هر مثلث قائم الزاویه ( 90= º ) با ارتفاع H=h a داریم: 1 = 1 + 1 h b c 2 2 2 a 2 دو ایستگاه رادار که در فاصله 20 کیلومتری از هم واقع اند هواپیمایی را با زاویه های 30 و 45 درجه رصد کرده اند. فاصله هواپیما را از دو ایستگاه به دست آورید. 30 45 20 Km 65

درس دوم قضیۀ کسینوس ها می دانیم که در مثلث قائم الزاویه 90= º ) ).با داشتن طول های دو ضلع )=c( و )=b( می توانیم اندازه وتر مثلث )=a( را بر حسب b و c به دست آوریم: a 2 b= 2 c+ 2 حال می بینیم که اگر مساوی 90 º هم نباشد می توانیم این کار را انجام دهیم. 1 در مثلث ) 90> º ) ارتفاع H را رسم کرده ایم. با توجه به تعریف نسبت های مثلثاتی در مثلث های قائم الزاویه جاهای خالی را پر کنید: c a... cos = H =......... و... = H H = b... sin = H =......... H b H : = H + H a = (...) + (...) 2 2 2 2 2 2 حال به کمک اتحادهای جبری و اتحاد مثلثاتی 1= sin 2 +cos 2 نشان دهید: a 2 = b 2 +c 2-2bc.cos اکنون در مثلث ) 90< º ) ارتفاع H را در بیرون مثلث رسم می کنیم. اگر 1 زاویه خارجی رأس باشد با توجه به اینکه 1 = 180 داریم: c a... = cos و در مثلث H نیز با توجه به تعریف نسبتهای... = 1 sin و 1 مثلثاتی می توان نوشت: H 1 b cos... =... sin و 1... = H =......... و 1 H=...*... و H=b+H=... ΔH: 2 =H 2 +H 2 a 2 = (...) 2 +(...) 2 66

و با ساده کردن عبارتها نشان دهید: a 2 = b 2 +c 2-2bc.cos سؤال: در حالتی که زاویه قائمه باشد این رابطه به چه صورت در میآید c a b قضیة کسینوسها: در هر مثلث مربع اندازة هر ضلع برابر است با مجموع مربعهای اندازههای دو ضلع دیگر منهای دو برابر حاصلضرب اندازة آن دو ضلع در کسینوس زاویة بین آنها: a 2 =b 2 +c 2-2bc.cos, b 2 =... +... -... c 2 =... +... -... 60 Km/h 120 100 Km/h مثال: دو قایق از یک نقطه در دریاچه ای با سرعت های 60km/h و 100km/h و با زاویه 120 º از هم دور می شوند. نیم ساعت بعد دو قایق در چه فاصله ای از یکدیگر هستند حل: با توجه به نقطه شروع دو قایق و سرعت های ثابت نیم ساعت بعد مسافت طی شده توسط هر قایق محاسبه می شود: =60* و 0/5=30 =100*0/5=50 حال به کمک قضیه کسینوس ها می نویسیم: 2 = 2 + 2 و -2..cos120 cos120 = 1 2 2 =900+2500-2 30 50 ( 1 ) =4900 2 =70km c b در مثلث = 2 2 و + 2 6 = و = 60 1 طول ضلع را به کمک قضیه کسینوسها بهدست آورید. 2 =... 2 +... 2-2*... *... *... 2 =... +... -... a 2 =... و =... 67

2 اندازه هم بیابید. را به کمک قضیه سینوس ها به دست آورید و از آنجا اندازه را a sin =... 2 2 sin = 2 3 sin60 sin=... و =... = 180 (+ ) =... 0 1 یک درخت کج از نقطه روی زمین که در فاصله 15 متری از نوک درخت است به زاویه 60 º دیده می شود. اگر فاصله تا پای درخت 20 متر باشد مطلوب است: الف( طول درخت ب( زاویه ای که درخت با سطح زمین می سازد. پ( فاصله نوک درخت از زمین 15 m 60 20 m 7 2 در مثلث متساویاالضالع به ضلع 8 واحد نقطه که به فاصله 7 واحد از رأس قرار دارد از و چه فاصلهای دارد ) < ) نقطه E که به فاصله 5 واحد از قرار دارد از به چه فاصلهای است اندازه زاویه E چند درجه است E 5 x 3 یک کشتی از یک نقطه با سرعت 60 کیلومتر در ساعت در یک جهت در حرکت است و یک ساعت بعد با 30 º انحراف به راست با سرعت 40 کیلومتر در ساعت به حرکت خود ادامه می دهد و یک ساعت و نیم پس از آغاز حرکتش در یک بندرگاه پهلو می گیرد. فاصله بندرگاه از مبدأ حرکت کشتی چند کیلومتر است 30 بندرگاه کشتی 68

c b a M 2 را رسم کردهایم ( = M.) M = با نوشتن 4 در مثلث میانه قضیه کسینوسها در دو مثلث M و b 2 M و c 2 را محاسبه و با جمع کردن دو تساوی حاصل درستی تساوی زیر را ثابت کنید: M 180-2 2 2 a b + c = 2M + 2 2 (قضیه میانهها) در حالت خاص =4 و =6 و =8 طول میانه M را بهدست آورید. 5 در مثلث نقطه دلخواه روی مفروض است. به کمک قضی ه کسینوس ها در دو مثلث و درستی تساوی زیر را ثابت کنید: 180 - )قضیه استوارت( 2. + 2. = 2. +.. به کمک قضیه استوارت درستی قضیه میانه ها را نتیجه گیری کنید. 6 مسئله 2 را بار دیگر این بار به کمک قضیه استوارت حل کنید. 69

درس سوم قضیۀ نیمسازهای زوایای داخلی و محاسبۀ طول نیمساز ها 1 قضیۀ نیمسازهای زوایای داخلی قضیه 1: در هر مثلث نیمساز هر زاویۀ داخلی ضلع روبهرو به آن زاویه را به نسبت اندازههای ضلعهای آن زاویه تقسیم میکند. 1 2 : فرض = 1 2 = : حکم اثبات: مطابق شکل از نقطه خطی موازی نیمساز رسم میکنیم تا امتداد را در نقطه E قطع کند. = و چرا 2 الف( چرا 1 = E ب( با توج ه به فرض چه نتیجهای درباره زوایای E و میتوان گرفت مثلث E چه نوع مثلثی است 1 2 E ج( با توجه به قضیه تالس در مثلث ( E) E نسبت است با توجه به نتیجه قسمت )ب( اثبات را کامل کنید: با کدام نسبت برابر... E = =...... یکی از نتایج فوری این قضیه این است که در هر مثلث به سادگی می توان طول های قطعاتی را که هر نیمساز روی ضلع مقابل ایجاد می کند با داشتن طول های اضالع مثلث محاسبه کرد: مثال: در مثلث =5 =7 و =8 است. طول های دو قطعه ای را به دست آورید که نیمساز زاویه روی ضلع مقابل ایجاد می کند. حل: 7 + 7 + 8 15 = = = = 8 8 8 8 5 8 8 7 = =, = = 5 = 15 3 3 3 70

5 7 در شکل روبه رو نیمساز زاویه را رسم کنید و طول های دو قطعه ای را به دست آورید که این نیمساز روی جدا می کند. 8 1 2 2 محاسبۀ طول نیمسازهای زوایای داخلی مثلث 1= ) یعنی در مثلث برای محاسبه طول نیمساز داخلی زاویه )2 را امتداد میدهیم تا دایره محیطی مثلث را در E قطع کند و E را به وصل میکنیم. الف( چرا =E ب( چرا مثلث های و E متشابه اند پ( نسبت های اضالع متناظر آنها را بنویسید. E E... = =...... ت( از تناسب اول نتیجه می گیریم:. =.E = (+E) = 2 +.E و چون.E =. )چرا ( بنابراین: 2 =. -. قضیۀ 2: در هر مثلث مربع اندازۀ هر نیمساز داخلی برابر است با حاصلضرب اندازه دو ضلع زاویه منهای حاصلضرب اندازه دو قطعهای که نیمساز روی ضلع مقابل ایجاد میکند. مثال: در مثلث =5 =3 و =7 است. طول نیمساز زاویه را بیابید. حل: به کمک قضیه )1( طول های و را به دست می آوریم: 3 + 8 = = = 5 5, = 8 7 = 8 = 35 = 7 35 = 21 5 5 8 8 8 حال با توجه به قضیه )2( داریم: 2 35 21 =.. = 3 5 = 8 8 15 735 = 225 = 15 64 64 8 71

0 1 در مثلث M وسط و MP و MQ نیمسازهای زوایای M و PQ هستند ثابت کنید: M Q P 2 در مثلث =7 و =4 و =10 است. طول نیمساز زاویه داخلی را به دست آورید. M 3 با پر کردن جاهای خالی با فرض اینکه در شکل مقابل نیمساز زاویه است روش دیگری برای اثبات قضیه نیمسازهای زوایای داخلی ارائه کنید: الف( چرا H = H H 1 2 H 1 H... S... = 2 = S 1 H...... 2 (1) ب( H 1... S... = 2 = S 1...... 2 (2)...... )1( و )2( نتیجه میشود : =...... از مقایسه 72

درس چهارم قضیۀ هرون )محاسبۀ ارتفاع ها و مساحت مثلث( 13 y 15 با مسئله زیر در کتاب هندسه 1 مواجه شدید: در مثلث با اضالع 15 14 13 ارتفاع H رسم شده است. به کمک قضی ه فیثاغورس در مثلث های H و H اندازه های x و y را به دست آورید و از آنجا مساحت مثلث را نیز محاسبه کنید: به عنوان یادآوری مسئله را با هم حل می کنیم: 14-x H x 2 2 H H... 2 2 + = x + y =... 2 2 H + H =... 2 2 ( 14 x) + y =... طرفین این دوتساوی را از هم کم می کنیم که با حذف y 2 معادله ای بر حسب x به دست می آید: x 2 -(14-x) 2 =... x 2-196-x 2 +28 x =... 1 x=..., y=..., S =.H =... 2 اگر همین روش را در حالت کل ی در مثلث که =c =a و =b به کار ببریم نتیجه میشود: )دستور هرون( c) S = P(P a)(p b)(p نصف محیط مثلث است. a+ b+ c P = 2 که در این دستور )اثبات کامل این دستور را می توانید در مجله ریاضی انتهای فصل ببینید.( مثال: مساحت مثلث با اضالع به طول های 14 13 و 15 به کمک دستور هرون برابر است با: 2P=13+14+15=42 P=21 2 2 4 s = 21 6 7 8 = 7 3 2 = 84 73

h a 2s 2 84 = = = 12 a 14 و طول های سه ارتفاع مثلث نیز برابرند با:, h b =..., h c =... چهارضلعی یک مزرعه کشاورزی را نشان می دهد که تنها دو ضلع آن بر هم عمودند. طول های اضالع زمین به سادگی قابل اندازه گیری و اندازه های آنها در شکل مشخص شده است. با انجام دادن مراحل زیر مساحت این زمین را به دست آورید: الف( اگر را به وصل کنیم طول را چگونه به دست می آورید 2 =... +... =... +... =... =... 80m 90m 60m 50m ب( مساحت مثلث را چگونه به دست می آورید S......... = = 2 پ( مساحت مثلث را به کمک دستور هرون به دست آورید. ت( مساحت زمین کشاورزی برابر است با:... +... +... P = =...,S... = 2 S=... +...=... می خواهیم دستور دیگری برای محاسبه مساحت مثلث به کمک نسبت های مثلثاتی به دست آوریم. 1 در مثلث ارتفاع H را رسم کرده ایم. 2 مساحت مثلث را به کمک ارتفاع H بنویسید.... sin = H =...... 1 S... = H = 2 c a H b مساحت هر مثلث برابر است با نصف حاصل ضرب اندازه های هر دو ضلع در سینوس زاویۀ بین آنها: 1 1 1 S = b c.sin = ab.sin = ac.sin 2 2 2 74

3 7 5 1 مثلث با اضالع 3 و 5 و 7 مفروض است. مساحت مثلث را با استفاده از دستور هرون به دست آورید.... +... +... P = =... S = P(P a)(p b)(p c) =... 2 S بنویسید. = 1..sin 2 2 مساحت مثلث را با استفاده از دستور 3 از مقایسه نتایج 1 و 2 اندازه زاویه منفرجه را به دست آورید. 0 1 در مثلث =6 =10 و. 60= º الف( طول را به دست آورید. ب( مساحت مثلث را تعیین کنید. پ( مقدار sin را پیدا کنید. 11m 4m 20m 13m 15m 2 دو زمین کوچک به شکل مثلث با یک دیوار به طول 13 متر مطابق شکل از هم جدا شده اند. ابعاد زمین ها هم در شکل مشخص شده اند. اگر با برداشتن دیوار دو زمین به یک زمین تبدیل شود مساحت آن چقدر می شود نشان دهید دیوار مشترک با اضالع 4 متری و 11 متری زاویه های برابر می سازد. )α=β( 3 دستور محاسبه مساحت مثلث متساوی االضالع به ضلع a را به کمک دستور هرون به دست آورید. 7 1 1 1 E 5 4 در شکل مقابل اوال طول را به دست آورید. ثانیا مساحت چهارضلعی E را بیابید. 5 در شکل صفحه بعد نیمساز زاویه است. با پر کردن جاهای خالی دستوری دیگر برای محاسبه طول نیمساز زاویه به دست آورید. 75

S =S +S 1 1...... 1........sin = sin + sin 2 2 2 2 2..sin =.sin (... +... ) 2 c 1 2 b 2..sin cos..sin = = 2 2............ ( + )sin ( + )sin 2 2 =... ( رأس (نیمساز d a 2bc.cos = 2 b+ c a 6 در مثلث به اضالع 5 و 6 و 7 سانتی متر نقطه ای که از اضالع به طول های 5 و 6 به فاصله 2 و 3 سانتی متر است از ضلع بزرگ تر چه فاصله ای دارد راهنمایی: از مساحت مثلث استفاده کنید. 7 در شکل اوال اندازه زاویه را به دست آورید. ثانیا مساحت چهارضلعی را بیابید. راهنمایی: را به وصل کنید. 8 ثابت کنید مساحت هر متوازی االضالع برابر است با حاصل ضرب دو ضلع مجاور در سینوس زاویه بین آن دو ضلع. 11 7 120 13 7 9 به کمک قضیه کسینوس ها ثابت کنید در مثلث : a 2 > b 2 اگر و تنها اگر +c 2 الف( > 90 a 2 < b 2 اگر و تنها اگر +c 2 ب( < 90 a 2 =b 2 اگر و تنها اگر +c 2 پ( = 90 10 به کمک نتیجه تمرین 9 حاده)تند( قائمه یا منفرجه)باز( بودن زاویه را در هر یک از مثلث های زیر تعیین کنید: الف( =10 =9, =6, ب( =8 =9, =4, پ( =8 =17, =15, 76

اثبات دستور هرون )برای محاسبه مساحت مثلث( c x y H b a-x در مثلث =c و =b و H=y و =a و H=x و.H=a-x با نوشتن قضیه فیثاغورس در مثلث های قائم الزاوی ه H و H و تفاضل روابط به دست آمده خواهیم داشت: 2 2 2 x + y = c 2 2 2 2 2 2 2 b c = (a x) x = a + x 2ax x = 2 2 2 2 2 2 2 a + c b (a x) + y = b a 2ax x = 2a 2 2 2 2 2 2 2 a + c b y= c x = c ( ) 2a با ساده کردن این عبارت جبری و تجزیه آن به کمک اتحادهای جبری نتیجه می شود: 2 2 2 2 2 2 4a c (a + c b ) 1 2 2 2 2 2 2 y = H = = ( 2ac + a + c b )( 2ac a c + b ) 2 4a 2a 1 2 2 (a c) b 2 2 = + b (a c) = 2a 1 (a + c + b)(a + c b)(b + a c)(b + c a) 2a a+c-b=a+c+b-2b=2p-2b=2(p-b) b+c-a=2(p-a), b+a-c=2(p-c) حال با فرض a+b+c=2p خواهیم داشت: و به همین صورت: و بنابراین: H = 1 2 p (p a) (p b) (p c) a 2 2 2 2 = 2 1 p(p a)(p b)(p c), S = H.a = p(p a)(p b)(p c) a 2 77

منابع حسنزاده ماکویی علی طاهری هوشنگ و فیروزنیا احمد )1371( کتاب درسی مثلثات پایه سوم ریاضی و فیزیک تهران: سازمان پژوهش و برنامهریزی آموزشی وزارت آموزش و پرورش. هاورد ایوز )1379(. آشنایی با تاریخ ریاضیات )جلد اول( ترجمه: محمدقاسم وحیدی اصل تهران: مرکز نشر دانشگاهی چاپ چهارم. حاجی بابایی جواد و همکاران )1393( کتاب درسی هندسه 2 پایه سوم ریاضی و فیزیک تهران: سازمان پژوهش و برنامهریزی آموزشی وزارت آموزش و پرورش چاپ هجدهم. گویا زهرا و همکاران )1393( کتاب درسی هندسه 1 پایه دوم ریاضی و فیزیک تهران: سازمان پژوهش و برنامهریزی آموزشی وزارت آموزش و پرورش چاپ بیستم. نصیری محمود )1394( هندسه متوسطه مبانی و مفهومها انتشارات مبتکران. گرینبرگ ماروین. جی. هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی ترجمه م.ه. شفیعیها )1361( انتشارات مرکز نشر دانشگاهی: تهران. خسروی امیر دارابی ابراهیم و نصیری محمود )1371( کتاب درسی هندسه 1 تهران: سازمان پژوهش و برنامهریزی آموزشی وزارت آموزش و پرورش خسروی امیر دارابی ابراهیم و نصیری محمود )1371( کتاب درسی هندسه 2 تهران: سازمان پژوهش و برنامهریزی آموزشی وزارت آموزش و پرورش ادوین ا موئیز هندسه مقدماتی از دیدگاه پیشرفته ترجمه امیر خسروی و محمود نصیری )1377( انتشارات مبتکران: تهران. yer,., Lazebnik, F., & Smeltzer,. L. (2010). Methods for Euclidean geometry. M. ꞌleary, M.L. (2010). Revolutins of Geometry (Vol. 87). John Wiley & Sons. Posamentier.. S. (1984). Excursions in advanced Euclidean geometry ddison - Wesley. Libeskind, S. (2008). Euclidean and transformational geometry: deductive inquiry. Jones & artlett Publishers. Kinsey, L.., Moore. T. E., & Prassidis. S. (2011). Geometry & symmetry. John Wiley & Sons. Hvidsten. M. (2005). Geometry with geometry explorer TM. McGraw-Hill, Umble, R. N., & Han, Z. (2014). Transformational Plane Geometry. R Press. odge,. W. (2012). Euclidean geometry and transformational. ourier orporation. Martin, G. E. (2012). The foundations of geometry and the non-euclidean plane. Springer Science & usiness Media. Tapp, K. (2011). Symmetry: a mathematical exploration. Springer Science & usiness Media. 78

اعتبارسنجی 79

Email talif@talif.sch.ir 80

سایت ویژه ریاضیات www.riazisara.ir درسنامه ها و جزوه هاي ریاضی سوالات و پاسخنامه تشریحی کنکور نمونه سوالات امتحانات ریاضی نرم افزارهاي ریاضیات و... کانال سایت ریاضی سرا در تلگرام: https://t.me/riazisara (@riazisara)