ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Θεωρία-Εισαγωγή ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Τα σφάλµατα µετάδοσης στις τηλεπικοινωνιακές γραµµές προκαλούνται από µία ποικιλία φυσικών φαινοµένων. Ένα φαινόµενο το οποίο είναι πάντοτε παρόν είναι ο θερµικός θόρυβος. Τα ηλεκτρόνια στα χάλκινα σύρµατα στριφογυρίζουν µε µεγάλη ταχύτητα προς όλες τις κατευθύνσεις, παράγοντας ένα παρασκηνιακό θόρυβο (background noise) που χαρακτηρίζεται από ένα ευρύ φάσµα συχνοτήτων (λευκός θόρυβος). Το θεώρηµα του Shannon ασχολείται ακριβώς µε το λόγο του σήµατος προς αυτό τον θόρυβο. Υπάρχουν ωστόσο και πολλές άλλες πηγές θορύβου. Μία άλλη σηµαντική πηγή είναι ο κρουστικός θόρυβος (impulse noise). Προκαλούνται από διακόπτες ισχυρών ρευµάτων (π.χ. ηλεκτρονόµους της ΕΗ, κεραυνούς, διακόπτες, αναφλέξεις, ηλεκτρικά τόξα κτλ.). Αυτοί οι παλµοί ή οι αιχµές στη γραµµή έχουν συνήθως διάρκεια της τάξεως των 10msec. Στο τηλεφωνικό δίκτυο τέτοιοι παλµοί ακούγονται σαν µικρά κλικ, όµως σε µία γραµµή δεδοµένων καταστρέφουν µια σειρά διαδοχικών bits. Μία άλλη πηγή λαθών οφείλεται στην συµπεριφορά των καναλιών που είναι διαφορετική για την κάθε συχνότητα. ηλαδή η εξασθένιση του πλάτους, η ταχύτητα διάδοσης και η στροφή της φάσης των σηµάτων έχουν διαφορετικές τιµές στην κάθε συχνότητα στην οποία αναλύεται ένα σήµα. Με άλλα λόγια, ένα κανάλι στην ουσία αναλύει κατά Fourier όλα τα σήµατα, παραµορφώνει ξεχωριστά κάθε συνιστώσα συχνότητα, και µετά στο τέλος τις επανασυνθέτει. Υπάρχουν επίσης πολλές άλλες πηγές ατελειών. Ανάµεσα σε δύο γειτονικά σύρµατα µπορεί να συµβεί διαφωνία (crosstalk). Οι ασύρµατες µικροκυµατικές ζεύξεις παρουσιάζουν διαλείψεις (fading), πολλαπλές διαδροµές (multipath) λόγω ανακλάσεων παρασιτικές αρµονικές, κ.λ.π. Ούτε είναι δυνατόν να παραχθεί ένα τέλειο φέρον κύµα. Το πλάτος, η συχνότητα και η φάση του παρουσιάζουν πάντα κάποια αστάθεια (jitter). Σε κυκλώµατα PCM, σφάλµατα εισάγονται κάθε φορά που ο δέκτης αποσυγχρονίζεται από τον ποµπό. Συνήθως χρειάζονται µερικές δεκάδες msec για να επανέλθει ο συγχρονισµός µε όλα τα δεδοµένα, που µεταδίδονται στο µεταξύ, να παραδίδονται σε λάθος προορισµό. Σε αντίθεση µε τα σφάλµατα λόγω θερµικού θορύβου που είναι µεµονωµένα, οι άλλες αιτίες προκαλούν σφάλµατα κατά ριπάς πράγµα που έχει και θετικές και αρνητικές συνέπειες. Τα δεδοµένα του υπολογιστή στέλνονται πάντοτε σε οµάδες από bits (πακέτα). Ας υποθέσουµε ότι το µέγεθος πακέτου είναι 1000 bits και ο ρυθµός εµφάνισης σφαλµάτων 0.001 σφάλµατα ανά bit. Αν τα σφάλµατα ήταν ανεξάρτητα, τα περισσότερα πακέτα θα περιείχαν ένα σφάλµα. Εαν τα σφάλµατα έρχονταν όµως σε καταιγισµούς των 100, θα επηρεάζονταν κατά µέσο όρο µόνο ένα ή δύο πακέτα στα 100. Το µειονέκτηµα της εµφάνισης σφαλµάτων µε µορφή καταιγισµού είναι ότι είναι πολύ πιο δύσκολο να ανιχνευθούν και να διορθωθούν σε σχέση µε τα µεµονωµένα σφάλµατα, και είναι επίσης δυσκολότερο να µοντελοποιηθούν αναλυτικά. Εάν ο µέσος ρυθµός εµφάνισης σφαλµάτων (BER) είναι e σφάλµατα ανά χαρακτήρα και ένα πακέτο περιέχει p χαρακτήρες, τότε εάν αγνοήσουµε τα σφάλµατα µε µορφή καταιγισµού (για να κάνουµε εύκολη την ανάλυση), η πιθανότητα να µεταδοθεί σωστό το πακέτο είναι (1-e) p. Η πιθανότητα να είναι λανθασµένο είναι 1-(1-e) p. Εάν e << 1, αυτή το διώνυµο µπορεί να αναπτυχθεί και κατόπιν να αγνοηθούν οι µεγαλύτερης τάξεως όροι, δίνοντας µία προσεγγιστική πιθανότητα σφάλµατος για το πακέτο ίσο µε e*p. Τα εµπειρικά δεδοµένα, ωστόσο, δίνουν πιθανότητα σφάλµατος για το πακέτο χοντρικά ίση µε 10-4 * p 0.8 για πακέτα που περιέχουν p bytes των 8-bit και κανένα bit αρχής (start) ή τέλους (stop). Τα αποτελέσµατα ποικίλλουν ανάλογα µε το µήκος της γραµµής, την ταχύτητα µετάδοσης κι άλλους παράγοντες, οπότε το παραπάνω αποτέλεσµα είναι µία εκτίµηση τάξης µεγέθους. 2 ΚΩ ΙΚΕΣ ΙΟΡΘΩΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Υπάρχουν δύο βασικέs στρατηγικές για την αντιµετώπιση των σφαλµάτων. Ενας τρόπος είναι κάθε πακέτο δεδοµένων να περιλαµβάνει αρκετή πλεονάζουσα πληροφορία για να µπορεί ο δέκτης να συµπεράνει ποιός πρέπει να ήταν ο χαρακτήρας που µεταδόθηκε. Ο άλλος τρόπος είναι να περιέχεται απλώς πλεονάζουσα πληροφορία για να µπορεί ο δέκτης να συµπεράνει ότι έχει συµβεί ένα σφάλµα, (αλλά όχι ποιο είναι το σφάλµα), και η διόρθωση να γίνει µε επαναµετάδοση όλου του λανθασµένου πακέτου. Η πρώτη στρατηγική χρησιµοποιεί κώδικες διόρθωσης σφαλµάτων (error correcting codes) και η δεύτερη κώδικες ανίχνευσης σφαλµάτων (error detecting codes). Για να κατανοήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο γίνεται η διαχείριση των σφαλµάτων, είναι αναγκαίο να εξετάσουµε από κοντά τι στ' αλήθεια είναι ένα σφάλµα. Κανονικά, ένα πλαίσιο αποτελείται από m bits δεδοµένων (δηλ. µηνύµατος) και r πλεονάζοντα bits ή bits ελέγχου. Ας θεωρήσουµε ότι το συνολικό µήκος είναι n (δηλ. n = m+r). Μία µονάδα των n-bit, που περιέχει δεδοµένα και bits ελέγχου, αναφέρεται συχνά ως κωδική λέξη (codeword) των n-bit. 1

Με δεδοµένες οποιεσδήποτε δύο κωδικές λέξεις, ας πούµε τις 100010001 και 10110001, είναι δυνατόν να προσδιοριστεί σε πόσα αντίστοιχα bits διαφέρουν. Σ' αυτή την περίπτωση διαφέρουν σε 3 bits. Για να βρούµε σε πόσα bits διαφέρουν κάνουµε απλώς ένα ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΟ OR (EXCLUSIVE OR) στις δύο κωδικές λέξεις και µετράµε τον αριθµό των bits 1 στο αποτέλεσµα που βρίσκουµε. Ο αριθµός των bits, στις οποίες διαφέρουν οι δύο κωδικές λέξεις, καλείται απόσταση Hamming (Hamming distance, Hamming 1950). Η σπουδαιότητα της έγκειται στο ότι εάν δύο κωδικές λέξεις χωρίζονται από µία απόσταση Hamming d, θα χρειαστούν d σφάλµατα ενός bit για να µετατρέψουν τη µία στην άλλη. Στις περισσότερες εφαρµογές µετάδοσης δεδοµένων, όλα τα 2 m δυνατά µηνύµατα δεδοµένων είναι νόµιµα, αλλά εξαιτίας του τρόπου µε τον οποίο υπολογίζονται τα bits ελέγχου, δεν χρησιµοποιούνται όλες οι δυνατές 2 n κωδικές λέξεις. Με δεδοµένο τον αλγόριθµο υπολογισµού των bits ελέγχου, είναι δυνατή η κατασκευή µιας ολοκληρωµένης λίστας µε τις νόµιµες κωδικές λέξεις και η ανεύρεση µέσα απ' αυτή τη λίστα των κωδικών λέξεων µε την ελάχιστη απόσταση Hamming. Αυτή η απόσταση είναι η απόσταση Hamming ολόκληρου του κώδικα. Οι ιδιότητες ανίχνευσης και διόρθωσης σφαλµάτων ενός κώδικα εξαρτώνται από την απόσταση Hamming που εµφανίζει. Για ανίχνευση d σφαλµάτων απαιτείται µία απόσταση d+1, επειδή µε έναν τέτοιο κώδικα δεν υπάρχει τρόπος d σφάλµατα ενός bit να αλλάξουν µία έγκυρη κωδική λέξη σε µία άλλη έγκυρη κωδική λέξη. Οταν ο δέκτης δεί µία µη έγκυρη κωδική λέξη, µπορεί να πεί ότι έχει συµβεί ένα σφάλµα µετάδοσης. Οµοια, για την διόρθωση d σφαλµάτων απαιτείται απόσταση κώδικα 2d+1 επειδή µε τον τρόπο αυτό οι έγκυρες κωδικές λέξεις είναι τόσο µακριά χωρισµένες µεταξύ τους που ακόµα και µε d αλλαγές, η αρχική κωδική λέξη εξακολουθεί να είναι κοντύτερα από οποιαδήποτε άλλη κωδική λέξη κι έτσι µπορεί να προσδιοριστεί µονοσήµαντα. Σαν ένα απλό παράδειγµα ενός κώδικα ανίχνευσης σφαλµάτων, ας θεωρήσουµε έναν κώδικα στον οποίο προστίθεται ένα bit ισοτιµίας (parity bit) στα δεδοµένα. Το bit ισοτιµίας επιλέγεται, έτσι ώστε ο αριθµός των bits 1 στην κωδική λέξη να είναι άρτιος (ή περιττός). Ενας τέτοιος κώδικας έχει µία απόσταση 2, από τη στιγµή που οποιοδήποτε σφάλµα ενός bit παράγει µία κωδική λέξη µε τη λάθος ισοτιµία. Ο κώδικας αυτός µπορεί να χρησιµοποιηθεί για ανίχνευση µονών σφαλµάτων. Σαν ένα απλό παράδειγµα ενός κώδικα διόρθωσης σφαλµάτων, ας θεωρήσουµε έναν κώδικα µε µόνο τέσσερις έγκυρες κωδικές λέξεις. 0000000000, 0000011111, 1111100000 και 1111111111 Αυτός ο κώδικας έχει απόσταση 5, που σηµαίνει ότι µπορεί να διορθώνει διπλά σφάλµατα. Εαν ληφθεί η κωδική λέξη 0000000111, ο δέκτης γνωρίζει ότι την πρωτότυπη πρέπει να ήταν 0000011111. Εαν, ωστόσο, ένα τριπλό σφάλµα αλλάζει το 0000000000 σε 0000000111, το σφάλµα δεν θα διορθωθεί σωστά. Φαντασθείτε ότι θέλουµε να σχεδιάσουµε έναν κώδικα µε m bits µηνύµατος και r bits ελέγχου, που θα επιτρέπει την διόρθωση όλων των µονών σφαλµάτων. Καθένα από τα 2 m νόµιµα µηνύµατα έχει µη νόµιµες κωδικές λέξεις σε απόσταση 1 από αυτό. Αυτές σχηµατίζονται από συστηµατική αναστροφή καθενός από τα n-bits στην κωδική λέξη των n-bits που σχηµατίζεται απ' αυτό το µήνυµα. Ετσι καθένα από τα 2 m νόµιµα µηνύµατα απαιτεί n+1 ακολουθίες (pattern) bits, αφιερωµένες σ' αυτό. Εφόσον ο συνολικός αριθµός των ακολουθιών bits είναι 2 n, πρέπει να έχουµε (n+1)2 m 2 n. Χρησιµοποιώντας n=m+r αυτή η απαίτηση γίνεται (m+r+1) 2 r. Με δεδοµένο το m, αυτή θέτει ένα κάτω όριο στον αριθµό των bits ελέγχου, που χρειάζονται για τη διόρθωση µονών σφαλµάτων. Αυτό το θεωρητικό κάτω όριο µπορεί, στην πραγµατικότητα, να επιτευχθεί χρησιµοποιώντας µία µέθοδο που οφείλεται στο Hamming (1950). Τα bits της κωδικής λέξης αριθµούνται διαδοχικά, αρχίζοντας µε το πρώτο bit από το αριστερό άκρο. Τα bits που είναι δύναµη του 2 (1, 2, 4, 8, 16 κ.λ.π) είναι bits ελέγχου. Τα υπόλοιπα (3, 5, 6, 7, 9 κ.λ.π.) συµπληρώνονται µε τα m bits δεδοµένων. Κάθε bit ελέγχου αναγκάζει την ισοτιµία µίας οµάδας από bits, συµπεριλαµβανοµένου και του ιδίου, να είναι άρτια ή περιττή. Ενα bit µπορεί να περιλαµβάνεται σε πολλά bit ισοτιµίας. Για να δούµε ποια bits ελέγχου συνεισφέρει το bit δεδοµένων στη θέση k, ξαναγράφουµε το k σαν άθροισµα από δυνάµεις του 2. Για παράδειγµα 11=1+2+8 και 29=1+4+8+16. Ενα bit ελέγχεται ακριβώς από εκείνα τα bits ελέγχου που υπάρχουν στην ανάπτυξη του (π.χ. το bit 11 ελέγχεται από τα bits 1, 2, 8). Οταν ληφθεί µία κωδική λέξη, ο δέκτης δίνει ως αρχική τιµή σ' έναν µετρητή τη τιµή µηδέν. Μετά εξετάζει κάθε bit ελέγχου, k (k=1, 2, 4, 8,...) για να δει εάν έχει τη σωστή ισοτιµία. Εάν όχι, προσθέτει το k στον µετρητή. Εάν ο µετρητής είναι µηδέν, αφού έχουν εξετασθεί όλα τα bits ελέγχου (δηλ. εάν είναι όλα σωστά), η κωδική λέξη γίνεται αποδεκτή ως έγκυρη. Εάν ο µετρητής είναι µη µηδενικός, περιέχει τον αριθµό του λανθασµένου bit. Για παράδειγµα, αν τα bits ελέγχου 1, 2 και 8 είναι λανθασµένα, το αντεστραµµένο bit είναι το 11ο bit, επειδή είναι το µόνο που ελέγχεται από τα bits 1, 2 και 8. Το Σχήµα 1.1 δείχνει µερικούς χαρακτήρες ASCII των 7 bit, οι οποίοι έχουν κωδικοποιηθεί σαν κωδικές λέξεις των 11 bits χρησιµοποιώντας τον κώδικα Hamming. Θυµηθείτε ότι τα δεδοµένα βρίσκονται στις θέσεις 3, 5, 6, 7, 9, 10 και 11. 2

Χαρακτ. ASCII Bits Ελέγχου H 1001000 00110010000 a 1100001 10111001001 m 1101101 11101010101 m 1101101 11101010101 I 1101001 01101011001 n 1101110 01101010110 g 1100111 11111001111 0100000 10011000000 c 1100011 11111000011 o 1101111 00101011111 d 1100100 11111001100 e 1100101 00111000101 Χρήση του κώδικα Hamming για τη διόρθωση σφαλµάτων καταιγισµού. Οι κώδικες Hamming µπορούν να διορθώνουν µόνο µονά σφάλµατα. Παρόλα αυτά, υπάρχει ένας έξυπνος τρόπος ο οποίος µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να επιτρέψει σε κώδικες Hamming να διορθώνουν σφάλµατα καταιγισµού (burst errors). Μία σειρά k διαδοχικών κωδικών λέξεων ταξινοµούνται σ' έναν πίνακα µε µία κωδική λέξη ανά σειρά. Κανονικά, τα δεδοµένα θα µεταδίδονταν µία κωδική λέξη τη φορά, από αριστερά προς τα δεξιά. Για τη διόρθωση σφαλµάτων καταιγισµού, τα δεδοµένα πρέπει να µεταδίδονται µία στήλη τη φορά, αρχίζοντας από την πιο αριστερή στήλη. Οταν αποσταλούν k bits, στέλνεται η δεύτερη στήλη κ.ο.κ. Οταν το πλαίσιο ληφθεί στον δέκτη, ο πίνακας επανακατασκευάζεται, µία στήλη τη φορά. Εάν συµβεί εµφάνιση σφαλµάτων καταιγισµού µήκους κ επηρεάζεται το πολύ 1 bit σε καθεµία από τις k κωδικές λέξεις, όπως ο κώδικας Hamming µπορεί να διορθώνει ένα σφάλµα ανά κωδική λέξη, οπότε ολόκληρη η οµάδα µπορεί να αποκατασταθεί. Αυτή η µέθοδος χρησιµοποιεί kr bits ελέγχου για να κάνει οµάδες των km bits δεδοµένων να αντέχουν σε σφάλµατα καταιγισµού µήκους k ή λιγότερο. Στην συνέχεια για να κατανοήσουµε τον κώδικα Hamming θα παρακολουθήσουµε αναλυτικά πως ο προαναφερόµενος κώδικας µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να ανιχνεύσει ένα λανθασµένο bit και να βρεί και ποιό είναι αυτό συγκεκριµένα. Ας υποθέσουµε ότι ο αριθµός των bits ελέγχου ή ισοτιµίας είναι m, ο αριθµός των bits του µηνύµατος είναι n όπου n=2 m -1 και συνεπώς ο αριθµός των bits πληροφορίας είναι k όπου k=n-m. Τα bits ελέγχου εισάγονται µέσα στο µήνυµα στις θέσεις 2 j-1, όπου j = 1, 2,..., m. Μία µήτρα κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης mx(2 m -1) χρησιµοποιείται. Η διαδικασία κωδικοποίησης δίνει την δυνατότητα υπολογισµού των τιµών των bits ελέγχου µε πολλαπλασιασµό της παραπάνω µήτρας µε ένα διάνυσµα - µήτρα που περιέχει το µήνυµα (bits πληροφορίας + bits ελέγχου). Ενώ η διαδικασία αποκωδικοποίησης επιτρέπει την εύρεση του λανθασµένου bit µε τον πολλαπλασιασµό των παραπάνω µητρών αφού όµως έχουν τοποθετηθεί οι τιµές των bits ελέγχου στις θέσεις 2 j-1 µέσα στο µήνυµα. Εστω λοιπόν ότι το µήκος µηνύµατος είναι 7 bits, το µήκος της πληροφορίας είναι 4 bits (π.χ. 1100) και τα bits ελέγχου είναι 3 δηλ. P 1, P 2, P 3 των οποίων πρέπει να βρούµε την τιµή. Συγκεκριµένα ο πίνακας Η 3x7 είναι ο βοηθητικός πίνακας που χρησιµοποιείται στην διαδικασία κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης του κώδικα Hamming µε σκοπό την ανίχνευση και τη διόρθωση ενός σφάλµατος και φαίνεται παρακάτω. 0 0 0 1 1 1 1 H = 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 Ο πίνακας Vi περιέχει το µήνυµα, δηλαδή την πληροφορία των 4 bits και τα 3 bits ελέγχου P 1, P 2, P 3. 3

[ 1 1 0 0] V P P P i = 1 2 3 Η διαδικασία κωδικοποίησης, η οποία αποσκοπεί στην εύρεση των bits ελέγχου, είναι η παρακάτω : 0 0 0 1 1 1 1 H*V i =0 H*V i =[ P1 P2 1 P3 1 0 0 ] 0 1 1 0 0 1 1 = 1 0 1 0 1 0 1 P1 + 0+ 1+ 0+ 1+ 0+ 0= 0 0+ P2 + 1+ 0+ 0+ 0+ 0= 0 0+ 0+ 0+ P3 + 1+ 0+ 0= 0 Η πράξη που εκτελείται ανάµεσα στα bits ελέγχου και στα bits της πληροφορίας για την επίλυση των παραπάνω εξισώσεων είναι η ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ OR. Συνεπώς το αποτέλεσµα των τριών εξισώσεων είναι P 1 = 0, P 2 = 1, P 3 = 1. Αφού έχουν βρεθεί οι τιµές των bits P 1, P 2, P 3 τοποθετούνται στις θέσεις 1, 2, 4 του µηνύµατος ενώ οι υπόλοιπες θέσεις συµπληρώνονται από τα bits της πληροφορίας δηλ. 1100. Αρα το εκπεµπόµενο µήνυµα είναι 0 1 1 1 1 0 0. Ας υποθέσουµε τώρα ότι ένα λάθος συµβαίνει στο πέµπτο bit (από αριστερά) οπότε το λαµβανόµενο µήνυµα είναι 0 1 1 1 0 0 0. Η διαδικασία αποκωδικοποίησης αποσκοπεί στην ανίχνευση του σφάλµατος που έχει συµβεί κατά τη διάρκεια της εκποµπής του µηνύµατος και είναι η ακόλουθη, έχοντας υπόψιν µας τις παρακάτω µήτρες που έχουν προκύψει απ όσα έχουµε αναφέρει: 0 0 0 1 1 1 1 H = 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 V i =[ 0 1 1 1 0 0 0] Πολλαπλασιάζεται η µήτρα - διανυσµα Vi, η οποία περιέχει το λαµβανόµενο λανθασµένο µήνυµα δηλαδή την πληροφορία των 4 bits και τα 3 bits ελέγχου P 1, P 2, P 3 που έχουν βρεθεί από τη διαδικασία κωδικοποίησης, µε την µήτρα Η 3x7. Οπότε είναι: Ζ = H * V i Z8 0 0 0 1 1 1 1 Z 0010000 = 1 4 = [ 0 1 1 1 0 0 0] 0 1 1 0 0 1 1 = 0110000 = 0 Z2 1 0 1 0 1 0 1 0001000 = 1 Z 1 Η πράξη που εκτελείται ανάµεσα στα bits ελέγχου και στα bits της πληροφορίας για την επίλυση των παραπάνω εξισώσεων είναι η ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ OR. Συνεπώς τα αποτελέσµατα από τις τέσσερις εξισώσεις αποτελούν το δυαδικό αριθµό (Ζ 1 Ζ 2 Ζ 3 ) 2 ο οποίος µας επιτρέπει να καταλάβουµε ποιό bit είναι λάθος και στην συνέχεια να το διορθώσουµε. Συγκεκριµένα τα αποτελέσµατα από τις τρείς εξισώσεις δίνουν το δυαδικό αριθµό 101 ο οποίος στο δεκαδικό σύστηµα είναι ο αριθµός 5. Εποµένως βρέθηκε ότι το πέµπτο bit είναι λανθασµένο. Εργαστηριακό µέρος ΚΩ ΙΚΑΣ ΙΟΡΘΩΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ HAMMING Στη συνέχεια ο σπουδαστής χρησιµοποιεί το οµώνυµο εκπαιδευτικό λογισµικό που περιγράφεται κατωτέρω και το χρησιµοποιεί σαν βοήθηµα για την κατανόηση µέσω 4

παραδειγµάτων του κώδικα Hamming. Κατά την εκτέλεση του προγράµµατος εµφανίζεται αρχικά η ακόλουθη οθόνη, η οποία αποτελεί την εισαγωγή στο πρόγραµµα. Στην συνέχεια δίνεται η δυνατότητα στο χρήστη να µελετήσει τον κώδικα Hamming µέσω της θεωρίας που του παρέχεται. Τα scroll bars επιτρέπουν την εύκολη µελέτη του κειµένου ενώ ο χρήστης έχει το δικαίωµα να βγεί από το πρόγραµµα επιλέγοντας Εξοδος από το µενού Ελεγχος ιαδικασίας ή να συνεχίσει στην επόµενη οθόνη µε την επιλογή Πρόγραµµα. Επισηµαίνεται ότι ο χρήστης δεν µπορεί να επέµβει στον κείµενο. Οι επόµενες οθόνες περιλαµβάνουν παραστατικά εργαλεία µε µηχανισµούς αυτόµατης εκτέλεσης της κωδικοποίησης ώστε να βοηθήσουν το χρήστη να κατανοήσει πρακτικά τη λειτουργία του κώδικα Hamming. Ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να εισάγει 11 bits δεδοµένων προς κωδικοποίηση είτε σε δυαδική µορφή είτε µε τη µορφή ενός χαρακτήρα της αγγλικής αλφαβήτου. Γι αυτό το σκοπό δίνονται δύο πλαίσια όπου εισάγεται η πληροφορία. Το πρώτο πλαίσιο κάτω από τον ποµπό όπως φαίνεται στην παρακάτω οθόνη είναι για την πληροφορία των 11 bits και το δεύτερο για τον χαρακτήρα. Υπενθυµίζεται ότι ο χρήστης πρέπει να ακολουθεί τις οδηγίες που του παρέχει το πρόγραµµα. Επιπλέον εφόσον επιθυµεί να βγεί από το πρόγραµµα, του δίνεται η συγκεκριµένη δυνατότητα µε την επιλογή Εξοδος. 5

Αν αποφασίσει να εισαγάγει την πληροφορία σε µορφή των 11 bits τότε το δεύτερο πλαίσιο εξαφανίζεται. Ο χρήστης τότε είναι υποχρεωµένος να εισαγάγει πληροφορία µε 11 bits, αλλιώς η ροή του προγράµµατος δε συνεχίζεται. Σε εισαγωγή οποιασδήποτε άλλης πληροφορίας το πρόγραµµα εµφανίζει προειδοποιητικό µήνυµα. Όταν έχει δοθεί έγκυρη πληροφορία τότε ενεργοποιείται το κατάλληλο µπουτόν, όπως φαίνεται στην επόµενη οθόνη. 6

Αν λοιπόν ο χρήστης οδηγήσει τον δείκτη του ποντικιού πάνω στο ενεργοποιηµένο µπουτόν και πατήσει το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού τότε η πληροφορία οδηγείται στον κωδικοποιητή µε κενά στις θέσεις 1, 2, 4 και 8 οι οποίες θα συµπληρωθούν µε τις τιµές των bits ελέγχου µετά την κωδικοποίηση. Αν στην συνέχεια ο χρήστης πατήσει το µπουτόν Κωδικοποίηση, το οποίο είναι το µόνο ενεργοποιηµένο, τότε οδηγείται στην επόµενη οθόνη όπου το µήνυµα είναι κωδικοποιηµένο και έχουν βρεθεί οι τιµές των bits ελέγχου. Τα µπουτόν που είναι ενεργοποιηµένα στην οθόνη είναι : ιαδικασία Κωδικοποίησης, ιαδικασία Αποκωδικοποίησης και Εκποµπή. Τα δύο πρώτα µπουτόν είναι ενεργοποιηµένα συνέχεια µέχρι να γίνει και η διόρθωση του σφάλµατος. Αν ο χρήστης επιλέξει να δει τη διαδικασία κωδικοποίησης, τότε οδηγείται στην επόµενη οθόνη, όπου µπορεί να µελετήσει τη θεωρία που αποτελείται από δύο σελίδες. Η αλλαγή της σελίδας επιτυγχάνεται αν κατευθύνει το δείκτη του ποντικιού πάνω στην εκάστοτε υπάρχουσα σελίδα. Εφόσον έχει κατανοήσει τη διαδικασία κωδικοποίησης µπορεί να επιστρέψει στην προηγούµενη οθόνη πατώντας το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού πάνω στην επιλογή Επιστροφή. Στην συνέχεια αν πατήσει το µπουτόν Εκποµπή τότε το µήνυµα οδηγείται στον αποκωδικοποιητή αφού έχει δηµιουργηθεί ένα σφάλµα και ένα bit έχει καταστραφεί. Ετσι ενεργοποιείται το µπουτόν Αποκωδικοποίηση. Αν ο χρήστης επιλέξει το µπουτόν Αποκωδικοποίηση τότε βρίσκεται ποιό bit είναι λάθος και ενεργοποιείται το µπουτόν ιόρθωση Σφάλµατος. 7

Αν ο χρήστης επιλέξει να δει τη διαδικασία αποκωδικοποίησης, τότε οδηγείται σε µια οθόνη όπου µπορεί να µελετήσει τη θεωρία που αποτελείται από δύο σελίδες. Η αλλαγή της σελίδας επιτυγχάνεται αν κατευθύνει το δείκτη του ποντικιού πάνω στην εκάστοτε υπάρχουσα σελίδα. Εφόσον έχει κατανοήσει τη διαδικασία αποκωδικοποίησης µπορεί να επιστρέψει στην προηγούµενη οθόνη πατώντας το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού πάνω στην επιλογή Επιστροφή. Αν πατήσει το µπουτόν ιόρθωση Σφάλµατος τότε ο δέκτης λαµβάνει σωστά το µήνυµα και έχει επιτευχθεί η ανίχνευση και διόρθωση του σφάλµατος. Αν ο χρήστης οποιαδήποτε στιγµή επιθυµήσει να βγεί από το πρόγραµµα επιλέγει Εξοδος από το µενού Έλεγχος ιαδικασίας που βρίσκεται στην αριστερή πάνω γωνία της οθόνης. Αν επιθυµεί επίσης να µελετήσει πάλι τον κώδικα Hamming µπορεί να επιλέξει Επανάληψη Κώδικα από το ίδιο µενού. Αν ο χρήστης στην αρχική οθόνη του παραδείγµατος είχε αποφασίσει να δώσει ένα χαρακτήρα της αγγλικής αλφαβήτου τότε θα εξαφανιζόταν το άλλο πλαίσιο που επέτρεπε την εισαγωγή µόνο πληροφορίας δυαδικής µορφής και το πρόγραµµα θα ακολουθούσε την παρακάτω πορεία. Αν ο χρήστης δεν εισαγάγει χαρακτήρα της αγγλικής αλφαβήτου στο πλαίσιο τότε εµφανίζεται στην οθόνη προειδοποιητικό µήνυµα και το πρόγραµµα δεν συνεχίζει. 8

Αν εισαχθεί στο πλαίσιο η σωστή πληροφορία τότε ενεργοποιείται το αντίστοιχο µπουτόν. Πρέπει να αναφερθεί ότι ο χρήστης έχει το δικαίωµα να βγεί από το πρόγραµµα οποιαδήποτε στιγµή αν πατήσει το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού πάνω στην επιλογή Έξοδος που βρίσκεται στην αριστερή πάνω γωνία της οθόνης. Αν πατήσει το ενεργοποιηµένο πλήκτρο τότε η πληροφορία οδηγείται στον κωδικοποιητή αφήνοντας κενές τις θέσεις 1, 2, 4 και 8 ενώ ενεργοποιείται το µπουτόν Κωδικοποίηση που αντιστοιχεί στην περίπτωση που η πληροφορία είναι χαρακτήρας. Αν αποφασίσει να συνεχίσει και επιλέξει το µπουτόν Κωδικοποίηση τότε εµφανίζεται η επόµενη οθόνη και στο µήνυµα πλέον έχουν συµπληρωθεί οι τιµές των bits ελέγχου που έχουν βρεθεί µετά την κωδικοποίηση. Τα µπουτόν ιαδικασία Κωδικοποίησης, ιαδικασία Αποκωδικοποίησης και Εκποµπή είναι ενεργοποιηµένα. Αν επιλέξει να µελετήσει τη διαδικασία κωδικοποίησης ή αποκωδικοποίησης πατάει το αντίστοιχο µπουτόν και οι αντίστοιχες οθόνες εµφανίζονται όπως και στην περίπτωση που είχε επιλεγεί πληροφορία των 11 bits. Έπειτα ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να επιστρέψει στην προηγούµενη οθόνη για να πραγµατοποιηθεί η εκποµπή το µηνύµατος. Μετά την εκποµπή του µηνύµατος έχει δηµιουργηθεί ένα σφάλµα και ο δέκτης θα λάβει λανθασµένη πληροφορία αν δεν γίνει η αποκωδικοποίηση του µηνύµατος. Γι αυτό το λόγο το µπουτόν Αποκωδικοποίηση είναι ενεργοποιηµένο. Με επιλογή του µπουτόν Αποκωδικοποίηση ανιχνεύεται το σφάλµα και η θέση στην οποία βρίσκεται. Το µπουτόν ιόρθωση Σφάλµατος ενεργοποιείται. Αφού ο χρήστης επιθυµεί τη διόρθωση του σφάλµατος τότε επιλέγει το αντίστοιχο µπουτόν και το µήνυµα φτάνει σωστό στο δέκτη. Ο χρήστης έχει το δικαίωµα να βγεί από το πρόγραµµα µε την επιλογή Έξοδος! από το µενού Έλεγχος ιαδικασίας ή να επαναλάβει τον κώδικα µε την επιλογή Επανάληψη Κώδικα από το ίδιο µενού. 9

Σε οποιαδήποτε στιγµή κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του προγράµµατος ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να βγεί από το πρόγραµµα. Όταν επιλέξει Εξοδος από το µενού Ελεγχος ιαδικασίας εµφανίζεται το µήνυµα που φαίνεται στην παρακάτω οθόνη. 10