ΟΠΤΙΚΗ ΑΝΤΙΛΗΨΗ, ΨΕΥ ΑΙΣΘΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ

Η Ψευδαίσθηση της Αναλογίας ΟΠΤΙΚΗ ΑΝΤΙΛΗΨΗ, ΨΕΥ ΑΙΣΘΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ Αθανάσιος Γαγάτσης, Γεώργιος Γεωργίου Γεώργιος Τούρβας, Ελευθερία Χαραλάµπους Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα ερευνητική εργασία επιδιώκει να διερευνήσει το βαθµό στον οποίο η επίδοση των µαθητών σε έργα που εξετάζουν το ρόλο της οπτικής αντίληψης και της ψευδαίσθησης της αναλογίας στις έννοιες τις περιµέτρου και εµβαδού επηρεάζεται από την αναπαράσταση των γεωµετρικών σχηµάτων σε λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί. Το δείγµα της έρευνας αποτέλεσαν 166 µαθητές έκτης τάξης ηµοτικού στους οποίους δόθηκαν δύο δοκίµια το ένα σε λευκό και το άλλο σε τετραγωνισµένο χαρτί. Για την ανάλυση των αποτελεσµάτων χρησιµοποιήθηκαν τα στατιστικά πακέτα SPSS και CHIC. Τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι αν και το τετραγωνισµένο χαρτί βελτιώνει την επίδοση των µαθητών σε όλα τα έργα εντούτοις δεν εξαλείφει τα λάθη των µαθητών στις µη αναλογικές σχέσεις περιµέτρου και εµβαδού. 1. Εισαγωγή - Η σηµασία των αναπαραστάσεων στη γεωµετρία Η γεωµετρία είναι ένας από τους τοµείς των Μαθηµατικών που συµβάλλει στη βαθύτερη κατανόηση του χώρου, µέσα στον οποίο ο άνθρωπος ζει, µεγαλώνει και κινείται, καθώς και στην ανάπτυξη ορισµένων δεξιοτήτων, όπως η οπτική εξερεύνηση, η αιτιολόγηση και η επιχειρηµατολογία (NCTM, 1989; Τρούλης, 1992). Η οπτική αντίληψη διαδραµατίζει σηµαντικό ρόλο κατά την ενασχόληση των µαθητών µε γεωµετρικές έννοιες. O Duval (1987) υποστηρίζει ότι ορισµένα σχήµατα γίνονται εύκολα για τους µαθητές ενώ άλλα όχι µε βάση τη σηµασιολογική συµφωνία που υφίσταται ανάµεσα στο σχήµα και τη γεωµετρική κατάσταση καθώς και τη συµφωνία στα πλαίσια της αντιληπτικής και πραξιακής σύλληψης του σχήµατος. Οι έννοιες της περιµέτρου και του εµβαδού, δύο από τις σηµαντικότερες έννοιες που διδάσκονται στο ηµοτικό Σχολείου, σχετίζονται άµεσα µε την καθηµερινή ζωή, την επιστήµη, την τεχνολογία και τον πολιτισµό ενώ παράλληλα χρησιµοποιούνται για την εισαγωγή άλλων µαθηµατικών εννοιών αλλά και ως σύνδεση του κόσµου των αριθµών µε τον κόσµο των φυσικών αντικειµένων (Hiebert, 1981, στις Kordaki & Potari, 1998). Οι µαθητές, συχνά θεωρούν ότι µεταξύ των εννοιών της περιµέτρου και εµβαδού υφίσταται αναλογική σχέση (De Bock et al., 1998, 2002). 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 85

Α. Γαγάτσης κ. ά. Το σχήµα, ως µια µορφή εξωτερικής εικονικής αναπαράστασης η οποία παρουσιάζει πληροφορίες σε µορφή δυσδιάστατου χώρου, διαδραµατίζει πολύ σηµαντικό ρόλο στην κατανόηση της γεωµετρίας. Ως αναπαράσταση γίνεται κατανοητή µε πιο οικονοµικό τρόπο σε σχέση µε την αντίστοιχη λεκτική, αφού σε ένα σχήµα αναπαρίσταται και εντοπίζεται ευκολότερα το σύνολο των σχέσεων ανάµεσα στα γεωµετρικά αντικείµενα. Είναι ένα ισχυρό εργαλείο για τους µαθητές αφού συµβάλλει αποτελεσµατικά στην επίλυση προβληµάτων γεωµετρίας. Οι µαθητές χρησιµοποιούν τα γεωµετρικά σχήµατα για να εξαγάγουν ή να αναπαραστήσουν τις σχέσεις µεταξύ των στοιχείων ενός προβλήµατος και τους βοηθά επίσης στο να επικεντρώσουν την προσοχή τους στα δοµικά στοιχεία του προβλήµατος, αφού τα σχήµατα παρουσιάζουν µε περισσότερη ακρίβεια τη δοµική κατάσταση του. Επίσης οι µαθητές µπορεί να εξεικονίσουν το πρόβληµα, να σχεδιάσουν δηλαδή ένα γεωµετρικό σχήµα για να το παρουσιάσουν και να χρησιµοποιήσουν το σχήµα αυτό για να επιτύχουν κατανόηση του προβλήµατος έτσι που να οδηγηθούν και στην επίλυση του (Mesquita, 1998). Ο Kavale (1982) ορίζει την οπτική αντίληψη ως τη διαδικασία ερµηνείας και οργάνωσης οπτικών πληροφοριών. Η δεξιότητα οπτικής αντίληψης συνήθως υποδιαιρείται σε περιοχές όπως η οπτική διάκριση και η οπτική µνήµη. Η οπτική διάκριση περιλαµβάνει την ικανότητα της αναγνώρισης των διακριτών χαρακτηριστικών και λεπτοµερειών όπως σχήµα, προσανατολισµό, χρώµα και µέγεθος. Η οπτική µνήµη αναφέρεται στην ικανότητα αναπαράστασης στη µνήµη µιας οπτικής εικόνας (Kulp, Earley, et al., 2004). Η κατοχή υψηλού επιπέδου οπτικής διάκρισης και οπτικής µνήµης βοηθάει στην επίλυση γεωµετρικών προβληµάτων. Προηγούµενες έρευνες έδειξαν µια σηµαντική σχέση ανάµεσα στη δεξιότητα οπτικής αντίληψης και µαθηµατικής ικανότητας (Kulp, 1999; Solan, 1987). Η οπτική σύλληψη, όµως, δεν µπορεί να οδηγήσει από µόνη της στη δηµιουργία εννοιών (Duval, 1988, στη Laborde, 2003). Η δηµιουργία των εννοιών θα επιτευχθεί µέσα από τη λειτουργική σύλληψη κατά την οποία οι µαθητές πραγµατοποιούν νοερούς ανασχηµατισµούς του δοσµένου σχήµατος, επιλέγουν τµήµατα και τα αναοµαδοποιούν (Mesquita, 1989, στη Laborde, 2003). Γι αυτό και ο Duval (1995) εντοπίζει δυο επίπεδα κατανόησης του σχήµατος: α. Αντιληπτική κατανόηση του σχήµατος, δηλαδή, κατανόηση της ολικής µορφής του σχήµατος και β. Λειτουργική κατανόηση του σχήµατος, δηλαδή, αναδιοργάνωση του σχήµατος µε αποτέλεσµα την ανακάλυψη σχέσεων που δεν ήταν εµφανείς µε την αντιληπτική κατανόηση. Η Mesquita (1998) εντοπίζοντας τα προβλήµατα που µπορεί να δηµιουργήσει η οπτική αντίληψη και η διαίσθηση στην κατανόηση της γεωµετρίας αναφέρει πως η εικονική αναπαράσταση πολλές φορές στηρίζει και ενισχύει τη γεωµετρική διαίσθηση η οποία όµως µπορεί να αποτελέσει τροχοπέδη στην ανάπτυξη του γεωµετρικού συλλογισµού. Αυτό µπορεί να συµβεί όταν οι σχέσεις είναι εµφανείς από το σχήµα και ο µαθητής δεν προβαίνει στον απαραίτητο συλλογισµό και στις κατάλληλες ενέργειες για 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 86

Η Ψευδαίσθηση της Αναλογίας επιβεβαίωσή τους. Γι αυτό και η οπτική αντίληψη από µόνη της δεν είναι αρκετή για την κατάκτηση γεωµετρικών εννοιών και την επίλυση γεωµετρικών προβληµάτων. 2. υσκολίες και παρανοήσεις των εννοιών περιµέτρου και εµβαδού Η έννοια του εµβαδού δηµιουργεί στους µαθητές παρανοήσεις, είναι δύσκολο να διδαχτεί και παραµένει ασαφής για πολλούς µαθητές ακόµα και για ενήλικες γιατί θεωρούν το εµβαδόν ως µια εφαρµογή τύπου και όχι ως µέτρηση της κάλυψης µιας επιφάνειας (Allerton & Nunes, 1994; Baturo & Nason; 1996). Έρευνες έχουν δείξει ότι σε ασκήσεις µέτρησης του εµβαδού ή της περιµέτρου ορθογωνίων σχηµάτων, τα λάθη που πηγάζουν οφείλονται κυρίως στην έλλειψη κατανόησης παρά σε αριθµητικά λάθη υπολογισµού (Kidman & Nason, 2003; Kindman & Cooper, 1996). Ένας άλλος παράγοντας που οδηγεί σε προβλήµατα στον υπολογισµό του εµβαδού είναι το γεγονός ότι κάποιοι µαθητές αντιλαµβάνονται το εµβαδόν µε µια αθροιστική θεώρηση, συγχύζοντας µε αυτό τον τρόπο τις έννοιες εµβαδόν και περίµετρο (Allerton & Nunes, 1994; Kidman & Nason, 2003). Οι µαθητές δυσκολεύονται να κρίνουν κατά πόσο το εµβαδόν αλλάζει σε ένα σχήµα του οποίου η περίµετρος παραµένει σταθερή, ενώ η µορφή ή οι διαστάσεις του αλλάζουν. Οι περισσότεροι µαθητές τείνουν να θεωρούν ότι το εµβαδόν παραµένει σταθερό παρά τις αλλαγές της επιφάνειας, ενώ διαπιστώθηκε ερευνητικά ότι οι µαθητές θεωρούν τις έννοιες εµβαδόν-περίµετρος να διαφοροποιούνται µε τον ίδιο τρόπο π.χ. σταθερή περίµετρος => σταθερό εµβαδόν, αύξηση περιµέτρου => αύξηση εµβαδού (Hart, 1981). Παρόµοια προβλήµατα δηµιουργεί στους µαθητές και η κατανόηση της αρχής διατήρησης του εµβαδού, ότι δηλαδή το εµβαδόν µιας επιφάνειας παραµένει αναλλοίωτο όταν το σχήµα που ορίζει η επιφάνεια παίρνει διαφορετική µορφή (Piaget, Inhelder & Szeminska, 1981, στους Μουσουλίδη, Πιττάλης & Χρίστου, 2004). Η ακατάλληλη χρήση του αναλογικού συλλογισµού στο θέµα της γεωµετρίας έγκειται συνήθως στην τάση των µαθητών να γενικεύουν τις αλλαγές σε γραµµικές διαστάσεις σε αλλαγές στο εµβαδόν και στον όγκο. Οι περισσότεροι µαθητές θεωρούν ότι όταν το µήκος της πλευράς ενός σχήµατος µοιραστεί ή διπλασιαστεί, τότε θα µοιραστεί ή θα διπλασιαστεί και το εµβαδόν και ο όγκος. (NCTM, 1989; Outhred & Mitchelmore, 2000). Μια άλλη δυσκολία που αντιµετωπίζουν οι µαθητές στην κατανόηση και σύγχυση των δυο γεωµετρικών εννοιών είναι η αδυναµία µετάβασης από τις δύο διαστάσεις στη µία διάσταση. Oι µαθητές παραπλανούνται από την οπτική αντίληψη και τη σύγχυση ανάµεσα σε εµβαδόν και περίµετρο (Woodward & Hamel, 1993). H Kordaki (2003) αναφέρει ότι για την κατανόηση της έννοιας του εµβαδού (και διάκρισή της από την έννοια της περιµέτρου), απαραίτητη προϋπόθεση είναι η χρησιµοποίηση των κατάλληλων εργαλείων, υλικών και µέσων από τους µαθητές. Το τετραγωνισµένο χαρτί είναι ένα από αυτά που χρησιµοποιείται αρκετά στα βιβλία του δηµοτικού και υπάρχει στη διάθεση των µαθητών και δασκάλων. Σύµφωνα µε τη Vighi (2005), το τετραγωνισµένο χαρτί είναι µοναδικό ως εργαλείο γιατί χρησιµοποιείται για την 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 87

Α. Γαγάτσης κ. ά. κατασκευή γεωµετρικών και συµµετρικών σχηµάτων, τη µέτρηση της περιµέτρου ορθογωνίων, τετραγώνων και σχηµάτων µε ίσιες πλευρές και την εύρεση του εµβαδού. 3. Η έρευνα Σκοπός Ο γενικός σκοπός της παρούσας ερευνητικής εργασίας είναι η διερεύνηση του βαθµού στον οποίο η επίδοση των µαθητών σε έργα που εξετάζουν το ρόλο της οπτικής αντίληψης και της ψευδαίσθησης της αναλογίας στις έννοιες περιµέτρου και εµβαδού επηρεάζεται από την αναπαράσταση των γεωµετρικών σχηµάτων σε λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί. Ερευνητικά ερωτήµατα 1. Πώς η σύγκριση της περιµέτρου ακανόνιστων σχηµάτων επηρεάζεται από το είδος της αναπαράστασης στο οποίο παρουσιάζονται (λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί). 2. Πώς η σύγκριση περιµέτρου και εµβαδού ορθογώνιων παραλληλόγραµµων επηρεάζεται από το είδος της αναπαράστασης στο οποίο παρουσιάζονται (λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί). 3. Πώς η παρουσία ορθογώνιων παραλληλόγραµµων σε λευκό ή τετραγωνισµένο χαρτί επηρεάζει την εύρεση της περιµέτρου και του εµβαδού από µαθητές της έκτης τάξης ηµοτικού. 4. Σε ποιο βαθµό η ψευδαίσθηση της αναλογίας στις έννοιες της περιµέτρου και του εµβαδού ορθογώνιων παραλληλόγραµµων επηρεάζεται από το είδος της αναπαράστασης µε το οποίο παρουσιάζονται (λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί). 5. Σε ποιο βαθµό η οπτική αντίληψη των σχηµάτων επηρεάζεται από το είδος της αναπαράστασης που δίνεται (λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί). είγµα-μέσα συλλογής δεδοµένων Το δείγµα αποτέλεσαν 166 µαθητές Στ τάξης ηµοτικού. Ως µέσο συλλογής δεδοµένων χρησιµοποιήθηκε το γραπτό. Συγκεκριµένα δόθηκαν στους µαθητές δύο διαφορετικά δοκίµια τα οποία αποτελούνταν από πέντε ασκήσεις. Οι ασκήσεις στα δύο δοκίµια ήταν οι ίδιες µε τη διαφορά ότι στο δεύτερο δοκίµιο, που δόθηκε µετά από διάστηµα δύο εβδοµάδων, τα γεωµετρικά σχήµατα παρουσιάζονταν σε τετραγωνισµένο χαρτί. Η πρώτη άσκηση ζητούσε από τους µαθητές να συγκρίνουν την περίµετρο δύο ακανόνιστων γεωµετρικών σχηµάτων τα οποία οπτικά έδιναν την εντύπωση ότι έχουν διαφορετικές περιµέτρους. Η δεύτερη άσκηση αφορούσε σύγκριση περιµέτρου και εµβαδού δοσµένων ορθογώνιων παραλληλογράµµων. Η τρίτη και τέταρτη άσκηση εξέταζαν την ψευδαίσθηση της αναλογίας στις έννοιες περιµέτρου και εµβαδού. Τέλος, η πέµπτη άσκηση αφορούσε την εύρεση του µήκους ευθύγραµµου τµήµατος σε σύνθετο σχήµα από κύκλο και ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 88

Η Ψευδαίσθηση της Αναλογίας Στατιστικές τεχνικές Για την ανάλυση των αποτελεσµάτων χρησιµοποιήθηκαν τα στατιστικά πακέτα SPSS και CHIC. Μεταβλητές της έρευνας Προκειµένου να είναι εύκολη η παρουσίαση και η ανάλυση των αποτελεσµάτων οι µεταβλητές κωδικοποιήθηκαν µε βάση την εννοιολογική περιοχή στην οποία ανήκαν, τη σειρά τους στο δοκίµιο και το είδος της αναπαράστασης στο οποίο παρουσιάζονταν (δηλαδή αν άνηκαν στο πρώτο ή στο δεύτερο δοκίµιο). Πιο συγκεκριµένα το γράµµα P αφορά την περίµετρο, το γράµµα Ε το εµβαδόν, το γράµµα L το µήκος ευθύγραµµου τµήµατος. Ο αριθµός που συνοδεύει τα γράµµατα αυτά σχετίζεται µε τον αριθµό της άσκησης στο δοκίµιο. Σε µερικές ασκήσεις που υπάρχουν υποερωτήµατα δίπλα από τον αριθµό εµφανίζονται τα µικρά γράµµα a, b, c. Στο τέλος κάθε µεταβλητής σηµειώνεται ο αριθµός 1 ή 2 ανάλογα µε το αν πρόκειται για το πρώτο ή το δεύτερο δοκίµιο. Για παράδειγµα η µεταβλητή P11 δηλώνει το έργο που αφορά σύγκριση περιµέτρου στην πρώτη άσκηση του πρώτου δοκιµίου, η µεταβλητή Ε4a2 αφορά έργο εύρεσης εµβαδού στην τέταρτη άσκηση στο πρώτο υποερώτηµα του δεύτερου δοκιµίου 4. Αποτελέσµατα Ποσοστά επιτυχίας Ο συντελεστής Gronbach s Alpha Model είναι a= 0,842 και άρα µπορούµε να ισχυριστούµε ότι υπάρχει εσωτερική συνάφεια και αξιοπιστία στις απαντήσεις των µαθητών. Πίνακας 1: Ο συντελεστής αξιοπιστίας οκίµια Gronbach s Alpha 0,839 Ο πίνακας 2 παρουσιάζει τα ποσοστά επιτυχίας των µαθητών στα αντίστοιχα έργα των δοκιµίων. Οι µαθητές σηµείωσαν πολύ χαµηλά ποσοστά επιτυχίας στα έργα P11 (10,2%) και P12 (26,5%), P2a1 (6%) και P2a2 (12%), P4b1 (8,4%) και P4b2 (23,2%). Τα έργα P11 και P12 αφορούν τη σύγκριση της περιµέτρου ακανόνιστων σχηµάτων σε λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί αντίστοιχα. Η χαµηλή επίδοση των µαθητών στα εν λόγω έργα οφείλεται κατά πρώτο λόγο στη δυσκολία που επιφέρει η οπτική αντίληψη και τη σύγχυση ανάµεσα σε εµβαδόν και περίµετρο (Woodward & Hamel, 1993). Κατά δεύτερο λόγο οφείλεται στην επίδραση του διδακτικού συµβολαίου, διότι η συγκεκριµένη άσκηση ζητούσε από τους µαθητές να αναφέρουν ποιο από τα δύο σχήµατα έχει τη µεγαλύτερο περίµετρο κάτι που ενδεχοµένως δυσκόλεψε τους µαθητές καθώς και τα δύο σχήµατα έχουν ίση περίµετρο. Τα έργα P2a1 και P2a2, σε λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 89

Α. Γαγάτσης κ. ά. αντίστοιχα ζητούν από τους µαθητές να αποφασίσουν ποιο από τα τρία δοθέντα ορθογώνια παραλληλόγραµµα έχει τη µικρότερη περίµετρο. Και στη συγκεκριµένη περίπτωση παρεµβαίνουν οι παράγοντες οπτική αντίληψη, σύγχυση εννοιών περιµέτρου και εµβαδού και διδακτικό συµβόλαιο (καθώς είναι 2 τα σχήµατα µε τη µικρότερη περίµετρο). Τα έργα P4b1 και P4b2 αναφέρονται στην εύρεση περιµέτρου ορθογώνιου παραλληλογράµµου το οποίο έχει διπλάσιο εµβαδόν από ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε δοσµένες διαστάσεις, σε λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί. Όπως έχει προκύψει από τις απαντήσεις των µαθητών και τις επεξηγήσεις τους θεώρησαν την ύπαρξη αναλογικής σχέσης µεταξύ της περιµέτρου του πρώτου σχήµατος και του εµβαδού του δεύτερου σχήµατος δίνοντας έτσι λανθασµένη απάντηση. Το άλλο έργο Ε3b1 (εύρεση εµβαδού ορθογώνιου παραλληλογράµµου µε διπλάσιες διαστάσεις από δοσµένο ορθογώνιο), το οποίο και αυτό εξέταζε την έννοια της ψευδοαναλογίας, επιλύθηκε ορθά από τους µισούς (50%) µαθητές ενώ οι υπόλοιποι θεώρησαν αναλογική τη σχέση των εµβαδών των δύο σχηµάτων κάτι που δε φαίνεται να ξεπεράστηκε µε τη χρήση του τετραγωνισµένου χαρτιού (59%). Τέλος, χαµηλό ποσοστό επιτυχίας (33,7%) παρατηρείται στο έργο Ε2b1 που αφορά τη σύγκριση εµβαδού δύο ορθογώνιων παραλληλογράµµων σε λευκό χαρτί κάτι που προφανώς οφείλεται στη δυσκολία οπτικής αντίληψης των σχηµάτων. Πίνακας 2: Ποσοστά επιτυχίας στα έργα των δοκιµίων ΟΚΙΜΙΟ 1 ΟΚΙΜΙΟ 2 ΕΡΓΟ % ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΕΡΓΟ % ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ P11 10,2 P12 26,5 E2a1 50 E2a2 94 E2b1 33,7 E2b2 77,1 E2c1 59 E2c2 91 P2a1 6 P2a2 12 P2b1 55,4 P2b2 50 P3a1 75,3 P3a2 83,7 E3a1 83,1 E3a2 82,5 P3b1 71,1 P3b2 71,7 E3b1 50,6 E3b2 59 P4a1 74,7 P4a2 81,9 E4a1 78,9 E4a2 82,5 P4b1 8,4 P4b2 23,5 L51 51,2 L52 69,9 Προκειµένου να διαπιστωθεί αν υπάρχουν στατιστικά σηµαντικές διαφορές στην επιτυχία των µαθητών στα αντίστοιχα έργα του λευκού και τετραγωνισµένου χαρτιού εφαρµόσαµε τον έλεγχο t (πίνακας 3). Όπως φαίνεται από τον πίνακα 3 σε όλα σχεδόν τα έργα το τετραγωνισµένο χαρτί βελτιώνει σηµαντικά την επίδοση των µαθητών. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 90

Η Ψευδαίσθηση της Αναλογίας Εξαιρούνται τα ζεύγη έργων (P2b1-P2b2, E3a1-E3a2, P3b1-P3b2, E4a1-E4a2) όπου οι µαθητές σηµείωσαν πολύ υψηλά ποσοστά επιτυχίας και στα δύο δοκίµια. Πίνακας 3: Σύγκριση των µέσων επιτυχίας των ασκήσεων στα δύο δοκίµια Έργα T Df P µεταβλητές P11 P12-4,332* 165 0,001 E2a1-10,997* 165 0,001 E2a2 E2b1-10,496* 165 0,001 E2b2 E2c1-7,621* 165 0,001 E2c2 P2a1-2,390* 165 0,018 P2a2 P2b1 1,153 165 0,250 P2b2 P3a1-3,059* 165 0,003 P3a2 E3a1 0,199 165 0,842 E3a2 P3b1-0,164 165 0, 870 P3b2 E3b1-1,885 165 0,061 E3b2 P4a1-2,487* 165 0,014 P4a2 E4a1-1,345 165 0,181 E4a2 P4b1-3,979* 165 0,001 P4b2 L51 L52-4,936* 165 0,001 * p< 0,05 Tα έργα P11 P12 είχαν στατιστικά σηµαντικές διαφορές κάτι που δηλώνει ότι το τετραγωνισµένο χαρτί βοηθά στη σύγκριση της περιµέτρου ακανόνιστων σχηµάτων. Τα έργα Ε2a1 E2a2, E2b1 E2b2, E2c1 E2c2, P2a1 P2a2 που αφορούν συγκρίσεις περιµέτρου και εµβαδού είχαν στατιστικά σηµαντικές διαφορές στο τετραγωνισµένο χαρτί. Αυτό οφείλεται προφανώς στο γεγονός ότι το τετραγωνισµένο χαρτί λειτουργώντας ως διδακτική µεταβλητή τροποποιεί τη στρατηγική τους και δε στηρίζονται στην οπτική 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 91

Α. Γαγάτσης κ. ά. αντίληψη µόνο αλλά µετρούν τα τετραγωνάκια για να καταλήξουν σε απάντηση. Στο ζεύγος έργων E3b1 E3b2 (έργα ψευδοαναλογίας, εύρεση εµβαδού ορθογωνίου µε διπλάσια περίµετρο από δοσµένο ορθογώνιο) προέκυψαν στατιστικά σηµαντικές διαφορές όπου οι µαθητές βελτίωσαν την επίδοσή τους στο τετραγωνισµένο χαρτί. Στο ζεύγος έργων P4b1 P4b2 (έργα ψευδοαναλογίας, εύρεση περιµέτρου ορθογωνίου µε διπλάσιο εµβαδόν από δοσµένο ορθογώνιο) υπήρξαν διαφορές που όµως οριακά δεν ήταν στατιστικά σηµαντικές (p = 0,061). Τέλος, σηµαντικές διαφορές προέκυψαν και στα έργα εύρεσης µήκους σε σύνθετο σχήµα από ορθογώνιο παραλληλόγραµµο και κύκλο (L51 L52). Ανάλυση των αποτελεσµάτων µε βάση το στατιστικό πακέτο CHIC E3b1 P4b2 E2a1 P4b1 P2a2 E3b2 L51 P2b2 L52 P3b1 P3b2 P4a1 P3a1 E4a1 E2b1 P4a2 E2b2 E4a2 E3a2 E3a1 P3a2 ιάγραµµα 1: Συνεπαγωγικό ιάγραµµα Graph : C:\Documents and Settings\epa\Desktop\GEOMETRY-PAFOS.csv 99 95 90 85 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 92

Η Ψευδαίσθηση της Αναλογίας Με βάση το συνεπαγωγικό διάγραµµα προκύπτουν δύο αλυσίδες συνεπαγωγής εκ των οποίων η µια αποτελείται από 19 µεταβλητές και η άλλη από δύο, ενώ υπάρχουν και εφτά µεταβλητές που δεν εµφανίζονται σε καµία αλυσίδα συνεπαγωγής. Ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι συνεπαγωγικές σχέσεις που προκύπτουν στη µεγάλη συνεπαγωγική αλυσίδα. Στην κορυφή της µεγάλης αλυσίδας συνεπαγωγής βρίσκονται τα έργα ψευδοαναλογίας Ε3b1, E3b2, P4b1, P4b2 σε λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί, κάτι που υποδηλώνει ότι ο βαθµός δυσκολίας των έργων ψευδοαναλογίας παραµένει υψηλός και στο λευκό και στο τετραγωνισµένο χαρτί. Επιπλέον εντοπίζονται τα έργα E2a1 (σύγκριση εµβαδού ορθογώνιων παραλληλογράµµων σε λευκό χαρτί), L51 και L52 (έργα εύρεσης µήκους σε σύνθετο σχήµα σε λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί). Στη βάση της αλυσίδας παρατηρούνται έργα εύρεσης περιµέτρου και εµβαδού σε λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί για τα οποία απαιτείται απλή εφαρµογή τύπου και γι αυτό αποτέλεσαν εύκολα έργα για τους µαθητές. Στο διάγραµµα 1 έχουν αποµονωθεί οι ενδοσχεσιακές σχέσεις, δηλαδή σχέσεις έργων που ανήκουν στην ίδια εννοιολογική περιοχή αλλά διαφοροποιείται το είδος της αναπαράστασης (λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί). Φαίνεται ότι τα έργα σε λευκό χαρτί συνεπάγονται την επιτυχία στα αντίστοιχα έργα σε τετραγωνισµένο χαρτί κάτι που υποδηλώνει ότι τα πρώτα είναι δυσκολότερα από τα δεύτερα. P11 P12 E3b2 P4b2 P3a2 P4a2 E4a2 E3a2 P3b2 P2a1 P2a2 P2b2 E3b1 P2b1 E2a1 P4b1 L51 L52 E2c1 P3a1 P4a1 P3b1 E3a1 E4a1 E2b1 E2b2 E2a2 E2c2 Similarity : C:\Documents and Settings\epa\Desktop\GEOMETRY-PAFOS.csv ιάγραµµα 2: ενδροδιάγραµµα οµοιότητας 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 93

Α. Γαγάτσης κ. ά. Σύµφωνα µε το δενδροδιάγραµµα οµοιότητας σχηµατίζονται τρεις οµάδες οµοιότητας. Η πρώτη οµάδα αποτελείται από τρεις υποοµάδες που όµως δε συνδέονται µε ισχυρό δεσµό. Η πρώτη υποοµάδα περιλαµβάνει τα έργα P11, P12, E3b2, P4b2. Η δεύτερη υποοµάδα περιλαµβάνει τα έργα P3a2, P4a2, E4a2, E3a2, P3b2. Στην τρίτη υποοµάδα ανήκουν τα έργα P2a1, P2a2, P2b2, E3b1, P2b1. Πολύ ισχυρός δεσµός παρατηρείται στα P2a1 και P2a2 τα οποία είναι τα ίδια έργα στα δύο διαφορετικά δοκίµια και έχουν να κάνουν µε τη σύγκριση περιµέτρου ορθογώνιου παραλληλογράµµου. Ισχυρός δεσµός υφίσταται στα έργα P3a2, P4a2, E4a2 τα οποία αποτελούν έργα εύρεσης περιµέτρου και εµβαδού στα οποία οι µαθητές σηµείωσαν υψηλά ποσοστά επιτυχίας. Η δεύτερη οµάδα αποτελείται από δύο υποοµάδες που συνδέονται µε ισχυρό δεσµό. Όλα τα έργα της συγκεκριµένης οµάδας περιλαµβάνονται στο πρώτο δοκίµιο µε εξαίρεση το L52 που ανήκει στο δεύτερο δοκίµιο του τετραγωνισµένου χαρτιού. Τα έργα της δεύτερης υποοµάδας τα οποία συνδέονται µε ισχυρό δεσµό αφορούν έργα απλής εφαρµογής τύπου για εύρεση περιµέτρου και εµβαδού σε λευκό χαρτί. Η τρίτη οµάδα που αποτελείται από δύο υποοµάδες που συνδέονται µε ισχυρό δεσµό περιλαµβάνει τα έργα E2b1 και E2b2 (πρώτη υποοµάδα), E2a2 και E2c2 (δεύτερη υποοµάδα). Τα έργα αυτά ανήκουν στη δεύτερη άσκηση σύγκρισης εµβαδών ορθογώνιων παραλληλογράµµων του δεύτερου δοκιµίου (τετραγωνισµένο χαρτί) στα οποία οι µαθητές σηµείωσαν ψηλά ποσοστά επιτυχίας µε εξαίρεση το E2b1 που ανήκει στο πρώτο δοκίµιο. 5.Συζήτηση Τα αποτελέσµατα της παρούσας ερευνητικής εργασίας έδειξαν καταρχήν µια βελτίωση της επιτυχίας των µαθητών µε τη χρήση του τετραγωνισµένου χαρτιού. Αυτό επισηµαίνεται και από τους Woodward & Hamel (1993) που έδειξαν ότι το τετραγωνισµένο χαρτί επιφέρει καλύτερα αποτελέσµατα στην επίδοση των µαθητών στις έννοιες περιµέτρου και εµβαδού. Εξάλλου, στο συνεπαγωγικό διάγραµµα φάνηκε ότι η επιτυχία των µαθητών στο λευκό χαρτί συνεπάγεται την επιτυχία στα αντίστοιχα έργα στο τετραγωνισµένο χαρτί κάτι που δηλώνει ότι τα έργα στο λευκό χαρτί αποτελούν δυσκολότερη υπόθεση για τα παιδιά. Το τετραγωνισµένο χαρτί έχει αυξήσει την επίδοση των µαθητών και στα δύο έργα που εξέταζαν την έννοια της ψευδοαναλογίας (διπλάσιες διαστάσεις συνεπάγεται διπλάσιο εµβαδόν, διπλάσιο εµβαδόν συνεπάγεται διπλάσια περίµετρο). Με βάση το δενδροδιάγραµµα οµοιότητας τα έργα ψευδαίσθησης της αναλογίας του πρώτου και δευτέρου δοκιµίου ανήκουν σε ξεχωριστές οµάδες κάτι που σηµαίνει ότι οι µαθητές τα αντιµετωπίζουν µε διαφορετικό τρόπο στο λευκό και τετραγωνισµένο χαρτί. Αν και αυξήθηκαν τα ποσοστά επιτυχίας δεν µπορεί να θεωρηθεί ότι το τετραγωνισµένο χαρτί εξαλείφει πλήρως τη δυσκολία καθώς τα ποσοστά παραµένουν χαµηλά και σε αυτή την περίπτωση. Αυτό διαπιστώνεται και από το συνεπαγωγικό διάγραµµα καθώς τα έργα ψευδοαναλογίας των δύο δοκιµίων βρίσκονται 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 94

Η Ψευδαίσθηση της Αναλογίας στην κορυφή της συνεπαγωγικής αλυσίδας. Πολλές έρευνες έδειξαν την τάση των µαθητών να εφαρµόζουν αναλογικό συλλογισµό στην επίλυση µη αναλογικών προβληµάτων (NCTM, 1989; Outhred & Mitchelmore, 2000; De Bock et al., 1998, 2002). Η οπτική αντίληψη των σχηµάτων επηρεάζει καθοριστικά τις επιδόσεις των µαθητών. Όπως έχει διαφανεί οι µαθητές σηµείωσαν χαµηλά ποσοστά επιτυχίας σε έργα σύγκρισης περιµέτρου και εµβαδού στα οποία έπρεπε να απαντήσουν στηριζόµενοι στην οπτική τους αντίληψη. Αυτό διαπιστώθηκε στο πρώτο δοκίµιο όπου τα σχήµατα δίνονταν σε λευκό χαρτί ενώ στο δεύτερο δοκίµιο όπου τα σχήµατα δίνονταν σε τετραγωνισµένο χαρτί οι επιδόσεις των µαθητών αυξήθηκαν σηµαντικά κυρίως σε έργα σύγκρισης εµβαδού. Οι µαθητές οι οποίοι χρησιµοποίησαν την οπτική αντίληψη για σύγκριση του εµβαδού και περιµέτρου, µειώθηκαν από το λευκό στο τετραγωνισµένο χαρτί, εξαιτίας κυρίως των εναλλακτικών τρόπων που είχαν στη διάθεσή τους οι µαθητές όταν εργάζονταν µε το τετραγωνισµένο χαρτί (π.χ. µέτρηση ένα-ένα τα τετραγωνάκια). Στα έργα σύγκρισης περιµέτρου οι µαθητές φάνηκε να µετρούν τα τετραγωνάκια που καλύπτουν την επιφάνεια των δοσµένων σχηµάτων και να χειρίζονται την έννοια της περιµέτρου ως εµβαδόν. Η σύγχυση των εννοιών περιµέτρου και εµβαδού από τους µαθητές έχει επισηµανθεί από τους Allerton & Nunes (1994) και Kidman & Nason (2003). Παρόµοιες δυσκολίες µπορεί να αντιµετωπίζουν και παιδιά µεγαλύτερης ηλικίας και όπως διαπίστωσε η Renkie (1997) σε έρευνά της, τέτοιες συγχύσεις εµφανίστηκαν ακόµη και σε φοιτητές παιδαγωγικών τµηµάτων. Τα ευρήµατα της παρούσας εργασίας έχουν σηµαντικές επιπτώσεις στις διδακτικές πρακτικές. Καταρχήν, καθώς οι µαθητές εφαρµόζουν αναλογικό συλλογισµό σε µη αναλογικά προβλήµατα περιµέτρου και εµβαδού είναι απαραίτητο να διαµορφωθεί ένα µαθησιακό περιβάλλον ικανό να αντιµετωπίσει την τάση των µαθητών να χρησιµοποιούν αναλογικές σχέσεις σε όλες τις περιπτώσεις. Μια διδακτική παρέµβαση για να έχει κάποια θετικά αποτελέσµατα στην επίδοση των µαθητών σε µη αναλογικά προβλήµατα θα πρέπει να επιδρά τόσο στη βαθιά εννοιολογική κατανόηση των µαθητών για τον αναλογικό συλλογισµό όσο και στο κοινωνικό, πολιτιστικό και συναισθηµατικό πλαίσιο µέσα στο οποίο διεξάγεται η µάθηση (De Bock et al., 2003). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Allerton, M. & Nunes, T. (1994). A New Way to Measure Area: Another Brick in the Wall. Junior Education, February 1994. Available at: http://teacher.scholastic.com/lessonrepro/lessonplans/anewtmar.htm Baturo, A. & Nason, R. (1996). Student Teachers subject matter knowledge within the domain of area measurement. Educational Studies in Mathematics, 31, 235-268. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 95

Α. Γαγάτσης κ. ά. De Bock, D., Verschaffel, L. & Janssens, D. (1998). The predominance of the linear model in secondary school students solutions of word problems involving length and area of similar plane figures. Educational Studies in Mathematics 35, 65-83. De Bock, D., Verschaffel, L. & Janssens, D. (2002). The effects of different problem presentations and formulations on the illusion of linearity in secondary school students. Mathematical Thinking and Learning, 4(1), 65-89. Duval, R. (1987). Ο ρόλος της ερµηνείας στη µάθηση των µαθηµατικών (σσ. 27-45). Στο Γαγάτση, Α. (2003). Κείµενα ιδακτικής της Γεωµετρίας. Λευκωσία : Πανεπιστήµιο Κύπρου. Duval, R. (1995). Geometrical Pictures: Kinds of Representation and Specific Processings. In R. Sutherland & J. Mason (Eds.), Exploiting Mental Imagery with Computers in Mathematics Education, (p. 142-157). Germany: Springer Hart, K.M. (1981). Children s Understanding of Mathematics: 11-16. London: John Murray. Kavale, K. (1982). Meta-analysis of the relationship between visual perceptual skills and reading achievement. Journal of Learning Disabilities, 15, 4-51. Kindman, G. Cooper, T. (1996), Assessing the major trends and directions of research into students judgments of area, Technology in mathematics education, Mathematics Education Research Group of Australasia Incorpotated MERGA, Australian Catholic University, 338-343. Kidman G., & Nason R. (2003). Construction of knowledge about measurement of area within Integrated Learning System (ILS) environments. Available at: http://math.unipa.it/~grim/akidman.pdf Kordaki, M., & Potari, D. (1998). Childrens approaches on area measurement through Different Contexts. Journal of Mathematical Behavior, 17(3), 303-316. Kordaki, M. (2003). The effect of tools of a computer microworld on students strategies regarding the concept of conservation of area. Educational Studies in Mathematics, 52, 177-209. Kulp, M. (1999). Relationship between visual motor integration skill and academic performance in Kindergarten through third grade. Optometry and Vision Science, 76, 159-163. Laborde, C. (2003). Η µάθηση της γεωµετρίας µε τη βοήθεια του υπολογιστή. Επαγωγικές και κονστρουκτιβιστικές πλευρές. Στο Α. Γαγάτση (Εκδ.), Κείµενα ιδακτικής της Γεωµετρίας (σσ.173-188). Λευκωσία : Πανεπιστήµιο Κύπρου. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 96

Η Ψευδαίσθηση της Αναλογίας Mesquita, A. L. (1998). On Conceptual Obstacles Linked with External Representation in Geometry. The Journal of Mathematical Behavior, 17 (2), 183-196. National Council of Teachers of Mathematics, (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va: NCTM. Outhred, L.N. & Mitchelmore, M.C. (2000). Young children s intuitive understanding of rectangular area measurement. Journal for Research in Mathematics Education 31(2), 144-167. Renkie (1997). Area and perimeter: Preservice teachers confusion. School Science and Mathematics. Feb. 1997 Available at: http://www.findarticles.com/p/articles/mi_qa3667/is_199702/ai_n8742493 Solan, H. (1987). The effects of visual-spatial and verbal skills on written and mental arithmetic. Journal of the American Optometric Association, 58, 88-94. Vighi, P. (2005). Measurement on the Squared Paper. In CERME4, Spain. Woodward, E. & Hamel, T. R. (1993). The Use of Dot Paper in Geometry Lessons. The Mathematics Teacher, 86(7), 558-561. Μουσουλίδης, Ν., Πιττάλης Μ. & Χρίστου, Κ. (2004). Νέες προοπτικές στη διδασκαλία της Γεωµετρίας µε τη χρήση της δυναµικής Γεωµετρίας και του διαδραστικού πίνακα: Η περίπτωση του εµβαδού τριγώνου. Στους Α. Γαγάτση Α. Ευαγγελίδου, Ι. Ηλία & Π. Σπύρου (επιµ. έκδ.). Αναπαραστάσεις και Μάθηση των Μαθηµατικών. Τόµος ΙΙ- Γεωµετρία (σσ.187-202) Λευκωσία: Εκδόσεις Intercollege. Τρούλης, Γ. (1992). Τα Μαθηµατικά στο ηµοτικό Σχολείο: ιδακτική Προσέγγιση. Αθήνα: Γρηγόρη. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 97

Α. Γαγάτσης κ. ά. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ-Ενδεικτικά έργα ΑΣΚΗΣΗ 1 Α Β Ποιο σχήµα (κοµµάτι), το Α ή το Β, έχει τη µεγαλύτερη περίµετρο;... Πώς το βρήκες;... ΑΣΚΗΣΗ 3 (α) Το σχήµα Α έχει µήκος 4 cm και πλάτος 3 cm. (i) Ποια είναι η περίµετρος του;... (ii) Ποιο είναι το εµβαδό του;... (β) Το σχήµα Β έχει διπλάσιες διαστάσεις από το Α. (i) Ποια είναι η περίµετρος του;... (ii) Ποιο είναι το εµβαδό του;... 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 98