ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση )

Transcript

1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ,ΕΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Όνομα : Γεωργίου Ιακώβου Ελένη Ομάδα :ΛΕΥΑ1 Ειδικότητα :Μαθηματικός Αρ. Ταυτότητας : Μάθημα :Η έννοια του λάθους των μαθηματικών Καθηγητής :Αθανάσιος Γαγάτσης εκέμβριος 2005

2 Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ, ΕΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩ Ν ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Από τα πιο πολυσυζητημένα θέματα και από τα κύρια ενδιαφέροντα της επιστήμης της ψυχολογίας είναι η έννοια της μάθησης. Η έννοια αυτή δεν είναι απλή. Έτσι, για κάποιους η μάθηση είναι ένα άθροισμα γνώσεων, οι οποίες είναι αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης ερεθίσματος - αντίδρασης, ενώ για κάποιους άλλους η μάθηση είναι μια διαδικασία ανάπτυξης νέων διαισθήσεων και ικανοτήτων, οι οποίες επέρχονται από την αναδιαμόρφωση μιας προηγούμενης κατάστασης. Συνεχώς όμως, γεννιούνται τα ερωτήματα: Με ποιο τρόπο μαθαίνει κάποιος; Κάτω από ποιες συνθήκες προκαλείται η μάθηση; Τις απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα δίνουν οι διάφορες θεωρίες μάθησης. Μια θεωρία για τη μάθηση είναι μια γενική διατύπωση, η οποία έχει εφαρμογές σε όλα τα θέματα της μάθησης και σε όλες τις καταστάσεις, κάτω από τις οποίες επιτυγχάνεται η μάθηση. Μια τέτοια θεωρία λαμβάνει υπόψη τις συνθήκες που προκαλούν τη μάθηση, τα αίτια και τα αποτελέσματά της. Τέλος, ερμηνεύει, προβλέπε ι και ελέγχει τον τρόπο, με τον οποίο οι συνθήκες του περιβάλλοντος επηρεάζουν τη μάθηση. Θεωρίες μάθησης έχουν διατυπωθεί από τον καιρό του Πλάτωνα και από τότε συνεχίζονται οι ερμηνείες του φαινομένου της μάθησης από θρησκευτική, φιλοσοφική, κοινωνική, βιολογική και ψυχολογική θεώρηση. Απαντήσεις λοιπόν στα ερωτήματα :«Γιατί οι μαθητές κάνουν λάθη στα μαθηματικά ; Είναι μερικά λάθη,προβλέψιμα ; Πώς μπορούν να ξεπεραστούν ορισμένα λάθη των μαθητών;», θα προσπαθήσουμε να δώσουμε σ αυτή την εργασία, προσεγγίζοντας την έννοια της διδακτικής των μαθηματικών. Ένας κεντρικός στόχος της επιστήμης της διδακτικής των μαθηματικών είναι η αντιμετώπιση των λαθών των μαθητών. Τα λάθη των μαθητών σήμερα δεν θεωρούνται ότι είναι αποτέλεσμα μόνο της άγνοιας του μαθητή,

3 της βιασύνης του, της έλλειψης γνώσεων,της ανεπαρκούς νοημοσύνης του κ.τ.λ.το λάθος από τη διδακτική των μαθηματικών θεωρείται ως αποτέλεσμα ενός εμποδίου.το εμπόδιο συνήθως είναι μια ορθή γνώση η οποία εμποδίζει την κατανόηση ή αφομοίωση μιας νέας γνώσης. Χρειάζεται λοιπόν μια θεωρία με την οποία ο κάθε δάσκαλος θα μπορούσε από τη μια, να βοηθηθεί για να κάνει αποτελεσματική τη διδασκαλία των μαθηματικών εννοιών και από την άλλη, ο ίδιος ο μαθητής να βοηθηθεί και να εφαρμόσει αποτελεσματικά τις γνώσεις που έχει αποκτήσει. Τέλος αυτή η θεωρία θα μπορούσε να δίνει πληροφορίες για τις ενέργειες του μαθητή στην προσπάθειά του να δώσει λύση στα προβλήματα που του παρουσιάζονται. Η ιδακτική των Μαθηματικών δεν είναι κατά συνέπεια ένας κλάδος που θα υπαγορεύει πως θα διδάξουμε μια έννοια σε κάποιο μαθητή γιατί στη διαδικασία της διδασκαλίας παρεμβαίνουν πολλές μεταβλητές που δεν μπορούν να ελεγχθούν. Υπάρχει λοιπόν η αντίληψη σε μια μεγάλη μερίδα ερευνητών, ότι η διδακτική των μαθηματικών είναι ένας επιστημονικός πειραματικός κλάδος που στόχο έχει να προσδιορίσει τα εμπόδια της κατανόησης και μάθησης των μαθηματικών εννοιών. Η ιδιαιτερότητα του χώρου στον οποίο κινείται η ιδακτική των Μαθηματικών, τη ν ανάγκασε ν α αναπτύξει ένα σύνολο α πό έννοιες και μεθόδους τις οποίες θα δούμε στο δεύτερο μέρος της εργασίας αυτής.

4 Μέθοδοι της διδακτικής των Μαθηματικών 1η Μέθοδος : ιδακτική μεταφορά Είναι η διαδικασία μετασχηματισμού της επιστημονικής γνώσης σε αντικείμενα διδασκαλίας Πιο απλά, η επιστημονική γνώση υπόκειται σε μια σειρά από μετασχηματισμούς μέχρι να μεταφερθεί στη σχολική πραγματικότητα και να γίνει αντικείμενο διδασκαλίας. Τις πιο πολλές φορές η τελική εικόνα της επιστημονικής γνώσης είναι καρπός αλληλεπιδράσεων ανάμεσα σε μαθηματικούς, διδάσκοντες, κοινωνικούς παράγοντες, γονείς κ.α. 2 η Μέθοδος : ημιουργία διδακτικών καταστάσεων Σύμφωνα με τον Guy Brousseau, η θεωρία των διδακτικών καταστάσεων εκφράζει τον τρόπο γένεσης των μαθηματικών γνώσεων ανάμεσα σ ένα διδάσκοντα και ένα διδασκόμενο. ιακρίνει λοιπόν, στη Μαθηματική δραστηριότητα τους εξής τύπους καταστάσεων Καταστάσεις δράσης : Οι οποίες ευνοούν την ανάπτυξη των αντιλήψεων από μαθητές. Καταστάσεις διατύπωσης : Οι οποίες ευνοούν την προσπάθεια περιγραφής ή ανακοίνωσης των αποφάσεων, προς τους άλλους. Καταστάσεις επικύρωσης : Οι οποίες απαιτούν από τον μαθητή να αποδείξει τους ισχυρισμούς του και να εξηγήσει τη σχέση της διαδικασίας που χρησιμοποιεί στη λύση του προβλήματος. Καταστάσεις επισημοποίησης : Οι οποίες προσπαθούν να επικυρώσουν την γνώση που αποκτήθηκε κατά τη διάρκεια των δραστηριοτήτων των μαθητών. Ένα παράδειγμα στο οποίο θα μπορούσαν να εφαρμοστούν αυτές οι καταστάσεις είναι να δοθεί στους μαθητές ένα τετράγωνο και να τους ζητηθεί να αλλάξουν το μέγεθός της πλευράς του από 4cm σε 7cm. Οι μαθητές κάνουν αρχικά την εξής εικασία : χ χ+3.

5 Αν δοκιμάσουν τις πλευρές του τετράγωνου: = =21 Θα διαπιστώσουν ότι είναι άνισες. Έπειτα δοκιμάζουν τον εξής μετασχηματισμό χ 2χ = =21 Αλλά και πάλι οι πλευρές δεν είναι ίσες. Στο τέλος καταλήγουν στην ορθή λύση: 1cm 7 cm 4 που ως έννοια είναι σωστή. Πολλαπλασιάζουν κάθε πλευρά επί

6 3 η Μέθοδος : ημιουργία καταστάσεων ενεργοποίησης και επικοινωνίας των μαθητών Αυτή η μέθοδος επιτρέπει στους μαθητές να εργαστούν δύο, δύο ή σε ομάδες ώστε να υπάρχει ανάμεσα τους γραπτή ή προφορική επικοινωνία. Με την ακριβή ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών επιτυγχάνεται και ο προσδιορισμός των αντιλήψεων τους. 4 η Μέθοδος : Το διδακτικό συμβόλαιο Ερευνητές της ιδακτικής δέχονται την ύπαρξη ενός συνόλου έμμεσων κανόνων που προσδιορίζουν ορισμένα χαρακτηριστικά των προβλημάτων που προτείνονται στους μαθητές και που καθορίζουν όλες τις αλληλοεπιδράσεις μεταξύ μαθητών και καθηγητή σε σχέση με μία δεδομένη γνώση. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το πρόβλημα με την ηλικία του καπετάνιου. «Πάνω σε ένα πλοίο υπάρχουν 26 πρόβατα και 10 κατσίκια. Ποια είναι η ηλικία του καπετάνιου;» Οι περισσότεροι μαθητές δίνουν την απάντηση 10+26=36 χρονών. Αυτό εξηγείται υπό την έννοια του ότι οι μαθητές θεωρούν τους εαυτούς τους υποχρεωμένους να δώσουν μια απάντηση στο πρόβλημα που τους δίνεται γι αυτό συνδυάζουν τα δεδομένα του προβλήματος προκειμένου να το λύσουν. Άλλα λάθη που κάνουν οι μαθητές εξαιτίας του διδακτικού συμβολαίου είναι : 1. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης χ χ + 2 = 0 Οι μαθητές απαντούν ότι οι λύσεις είναι το χ=-1 ή χ=-2. Οι μαθητές στρέφονται μηχανικά στη μέθοδο επίλυσης μιας εξίσωσης χωρίς να επικεντρώνονται στην ίδια μαθηματική έννοια που εμπλέκεται Να λύσετε το ( χ + χ + χ + χ ) dχ 3 Εδώ η σκέψη των μαθητών να ολοκληρώσουν κάθε όρο είναι ορθή αλλά λόγω των πολλών πράξεων μπορεί να δώσουν λάθος αποτέλεσμα. Αντίθετα αν

7 έκαναν μια απλή παρατήρηση ότι η συνάρτηση είναι περιττή και το διάστημα συμμετρικό, θα οδηγούνταν στο συμπέρασμα ότι το ολοκλήρωμα είναι μηδέν. Έτσι ερευνητές που μελέτησαν το διδακτικό συμβόλαιο παρατήρησαν ότι τα σχολικά προβλήματα που οι μαθητές έχουν να αντιμετωπίσουν παρουσιάζουν κάποια κοινά χαρακτηριστικά όπως ότι δέχονται μία και μόνο απάντηση στην οποία για να φθάσει ο μαθητής θα πρέπει όλα τα δεδομένα να χρησιμοποιηθούν. Η κατάλληλη χρήση των δεδομένων γίνεται έτσι ώστε να ενεργοποιούνται οικείες διαδικασίες τις οποίες ο μαθητής πρέπει να συνδυάσει με τον κατάλληλο τρόπο. 5 η Μέθοδος : Ιστορική μελέτη μιας μαθηματικής έννοιας Η ιστορική μελέτη μιας μαθηματικής έννοιας έχει δείξει ότι μερικές μαθηματικές έννοιες σημαδεύτηκαν από εμπόδια επιστημολογικά. Είναι λοιπόν φυσικό μερικές από τις δυσκολίες που είχαν κάποτε σταματήσει μεγάλους και γνωστούς μαθηματικούς να ταλαιπωρούν και σήμερα τους μαθητές μας. Κάποιες ιστορικές μελέτες που έχουν γίνει αφορούν τους δεκαδικούς αριθμούν, την έννοια του ορίου καθώς και τους σχετικούς αριθμούς. Ο κανόνας των προσήμων (-).(-)=(+) σημαδεύτηκε από πολλές δυσκολίες μεγάλων μαθηματικών και έπρεπε να περάσουν περισσότερα από 1500 χρόνια για να θεωρηθεί εύκολος αυτός ο κανόνας. Ένας ακόμη λόγος για τον οποίο η ιστορική μελέτη μιας μαθηματικής έννοιας παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι γιατί βοηθά να προσδιοριστούν οι συνθήκες δημιουργίας της συγκεκριμένης έννοιας. 6 η Μέθοδος : Η διαμάχη για την έννοια του «Εμποδίου» Τι είναι λοιπόν το εμπόδιο; Η απάντηση δεν είναι απλή και έχουν γίνει πολλές έρευνες γι αυτό το θέμα. Ο Guy Brousseau αναφέρει ότι το λάθος δεν είναι μόνο αποτέλεσμα της άγνοιας, της αβεβαιότητας και της τύχης αλλά είναι αποτέλεσμα μιας προηγούμενης γνώσης που τώρα απλά αποδεικνύεται λανθασμένη ή μη εφαρμόσιμη.

8 Το λάθος λοιπόν, είναι συστατικό στοιχείο της αποκτημένης γνώσης. Το «Εμπόδιο» έχει τα πιο κάτω χαρακτηριστικά: Είναι γνώση η οποία λειτουργεί σε ένα σύνολο καταστάσεων για ορισμένες τιμές των μεταβλητών αυτών των καταστάσεων. Eίναι μια γνώση η οποία στην προσπάθειά της να προσαρμοστεί σε άλλες καταστάσεις ή σε άλλες τιμές μεταβλητών θα προκαλέσει ειδικά λάθη. Το «Εμπόδιο» είναι μια σταθερή γνώση. Σε καταστάσεις που ξεφεύγουν από το πεδίο της εγκυρότητάς της, η απόρριψη της στοιχίζει στο μαθητή περισσότερο από μια προσπάθεια προσαρμογής της. Το «Εμπόδιο» μπορεί να ξεπεραστεί μόνο σε ειδικές καταστάσεις απόρριψης και αυτή η απόρριψη είναι συστατικό στοιχείο της γνώσης. Ένα παράδειγμα λαθών που οφείλονται στην έννοια του επιστημολογικού εμποδίου είναι: 1 6 = 3 2 Η λάθος απάντηση 3 οφείλεται στο ότι η γνώση των φυσικών αριθμών δεν εφαρμόζεται στους κλασματικούς αριθμούς. Προσπάθειες ρήξης του συμβολαίου Πολλοί ερευνητές προσπάθησαν κατά καιρούς να σπάσουν αυτό το διδακτικό συμβόλαιο στηριζόμενοι στη φιλοσοφία ότι εάν οι μαθητές προειδοποιηθούν για τη φύση των μη ρεαλιστικών προβλημάτων τότε τα ποσοστά λάθους θα μειωθούν. Έγιναν γι αυτό το σκοπό πολλές έρευνες οι οποίες όμως δεν έδωσαν και πολύ καλά αποτελέσματα τα οποία θα βοηθούσαν τους μαθητές.

9 Η ΕΡΕΥΝΑ Σκοπός της παρούσας έρευνας είναι να εξεταστεί εάν μπορεί να υπάρξει ρήξη των όρων του διδακτικού συμβολαίου μέσω δοσμένης εικονικής αναπαράστασης του προβλήματος. Η επιλογή της συνθήκης αυτής γίνεται λόγω της μεγάλης σημασίας που δίδεται στο ρόλο που έχουν οι εικόνες στα μαθηματικά Τα υποκείμενα της έρευνας Επιλέγηκαν οι μαθητές των τάξεων, Ε, και Στ ενός ημοτικού Σχολείου της επαρχίας Λάρνακας οι οποίοι ανέρχονταν συνολικά σε 112.Από αυτούς 36 της, 35 της Ε και 41 της Στ τάξης Η διαδικασία της έρευνας Η έρευνα διεξήχθη σε δύο φάσεις :Στην πρώτη φάση δόθηκαν στους μαθητές έξι μη ρεαλιστικά προβλήματα και σκοπός αυτού του δοκιμίου ήταν η επιβεβαίωση της ύπαρξης του διδακτικού συμβολαίου. Με αυτό το δοκίμιο θα έβλεπαν εάν υπήρχαν μαθητές οι οποίοι δεν συμμορφώνονταν με τους όρους του διδακτικού συμβολαίου δηλαδή εάν θα απαντούσαν σωστά στα τρία από τα έξι προβλήματα και αυτοί θα έβγαιναν από το δείγμα. Στη δεύτερη φάση,το νέο δείγμα χωρίστηκε σε δύο ισοδύναμες ομάδες:την ομάδα S στην οποία θα γινόταν προσπάθεια ρήξης του διδακτικού συμβολαίου μέσω απλοποίησης των δεδομένων των προβλημάτων και την ομάδα G στην οποία θα γινόταν προσπάθεια ρήξης του, μέσω των εικόνων. Για την ανάλυση των δεδομένων χρησιμοποιήθηκε η Συνεπαγωγική Μέθοδος του R.Gras. Αποτελέσματα της έρευνας Στο δοκίμιο Α επιβεβαιώθηκε η ύπαρξη του διδακτικού συμβολαίου. Τρεις μόνο μαθητές απάντησαν σωστά σε τρία από τα έξι προβλήματα, αριθμός που κρίθηκε ασήμαντος. Ως εκ τούτου το αρχικό δείγμα δεν διαφοροποιήθηκε.

10 Τελικά αυτό που διαπιστώθηκε ήταν ότι όταν το πρόβλημα συνοδευόταν από εικόνα όχι μόνο δεν οδηγούνταν οι μαθητές σε ρήξη του συμβολαίου αλλά δυσκόλευαν περισσότερο τους μαθητές. Οι μαθητές συμπεριφέρονταν με τον ίδιο τρόπο απέναντι σε όλα τα ισομορφικά προβλήματα. Οι στρατηγικές που ακολουθούν είναι πάντα οι ίδιες είτε υπάρχει εικόνα είτε όχι. Με άλλα λόγια η συνύπαρξη εικόνων και λεκτικών προβλημάτων δεν βοήθησε τους μαθητές να <<σπάσουν>> τους όρους του διδακτικού συμβολαίου και επιβεβαίωσε την άποψη των Verschaffel et al. (2000) ότι η τάση των μαθητών να μην συμπεριλαμβάνουν ρεαλιστικούς στοχασμούς κατά την επίλυση των αριθμητικών λεκτικών προβλημάτων είναι βαθιά ενισχυμένη και αντιστέκεται σε οποιαδήποτε αλλαγή. Λειτουργούν δηλαδή οι εικόνες αυτές απλά ως διακοσμητικές. Συμπεράσματα Η έρευνα αυτή έδειξε ότι η ρήξη του διδακτικού συμβολαίου δεν είναι εύκολη υπόθεση.ειδικά η χρήση εικόνων δεν βοηθά καθόλου προς αυτή την κατεύθυνση. Παρόλο που η στατιστική ανάλυση είναι εντυπωσιακή ως προς τα αποτελέσματα που δίνει, εντούτοις η έρευνα παρουσιάζει ορισμένους περιορισμούς: εν γίνεται καμιά διάκριση των εικόνων σε διακοσμητικές, βοηθητικέςαναπαραστατικές,βοηθητικές-οργανωτικές και πληροφορικές όπως έχει γίνει σε άλλες έρευνες. Η έρευνα αφορά σε διάφορες κατηγορίες προβλημάτων ή αδύνατων προβλημάτων και δεν εστιάζεται σε καμιά κατηγορία. Η έρευνα δεν προτείνει μια εξελικτική μελέτη σε μαθητές διαφόρων ηλικιών ώστε να διαπιστωθούν πιθανές διαφορές στο ρόλο της εικόνας στην επίλυση ασυνήθιστων προβλημάτων. Πρέπει να δίνονται στους μαθητές στην μέση εκπαίδευση ασυνήθιστα ή μη ρεαλιστικά προβλήματα για να συνηθίσουν οι μαθητές.

11 Βιβλιογραφία: 1.Αθανάσιος Γαγάτσης (2004).Σύγχρονες Τάσεις της ιδακτικής των Μαθηματικών. 2. Αθανάσιος Γαγάτσης (1997). ιδακτική των μαθηματικών και υσλεξία. Εκδόσεις Κατζιλάρη Λευκωσία. 3.Αθανάσιος Γαγάτσης (1992).Θέματα ιδακτικής των Μαθηματικών. Εκδόσεις Κυριακίδη.Θεσσαλονίκη.