Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Διαχείριση Έργων Πληροφορικής Ικανοποίηση Περιορισμών (Constraint Satisfaction)

Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Διαχείριση Έργων Πληροφορικής Ικανοποίηση Περιορισμών (Constraint Satisfaction) Ηλίας Σακελλαρίου

Δομή Περιορισμοί Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών Μέθοδοι Επίλυσης Παραγωγή και Δοκιμή Αλγόριθμοι Επιδιόρθωσης Κλασική Αναζήτηση Αλγόριθμοι Ελέγχου Συνέπειας AC-3 Προγραμματισμός με περιορισμούς

Ελαχιστοποίηση Χρόνου Ένα έργο πληροφορικής αποτελείται από 10 εργασίες (tasks), κάθε μια από τις οποίες έχει μια καθορισμένη διάρκεια. Υπάρχουν περιορισμοί διάταξης, πχ. η εργασία 1 πρέπει να εκτελεστεί πριν από τις εργασίες 2 και 3, η 7 μετά την 5, κοκ. Δεν υπάρχουν περιορισμοί ανάμεσα σε όλες τις εργασίες (μερική διάταξη). Διαθέσιμες είναι 4 ομάδες προγραμματιστών, όμως κάθε ομάδα μπορεί να υλοποιήσει ένα υποσύνολο από τις διαθέσιμες εργασίες. Ποια είναι η ανάθεση εργασιών στις ομάδες ώστε να ελάχιστη η διάρκεια του συνολικού έργου; Εργασίες Περιορισμοί Πόροι Περιορισμοί Κριτήριο

Ερωτήματα Μπορώ να εκφράσω όλη αυτή την πληροφορία με απλό και φυσικό τρόπο; Πως θα εκμεταλλευτώ την πληροφορία για βρω λύση; Ποια υπολογιστική διαδικασία θα ακολουθήσω για να βρω την λύση; Πόσο κώδικα πρέπει να αναπτύξω; Πόσο εύκολα θα μεταβάλλεται/συντηρείται ο κώδικας που θα προκύψει; Είναι δυνατό να βρω τη λύση σε εύλογο χρόνο;

Περιορισμοί Είναι λογικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών, όπου κάθε μεταβλητή μπορεί να πάρει τιμές από ένα συγκεκριμένο πεδίο. Περιορίζει τις πιθανές τιμές που μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές, δηλ. εκφράζει μερική πληροφορία για το πρόβλημα. Για παράδειγμα σε μια εφαρμογή χρονοπρογραμματισμού, αν S A και S B είναι οι χρόνοι έναρξης των εργασιών A και B, και D Α η διάρκεια της Α, τότε ο περιορισμός S A + D A < S B δηλώνει ότι η εργασία Β πρέπει να γίνει μετά την Α.

Χαρακτηριστικά Περιορισμών Οι περιορισμοί είναι: δηλωτικοί: ορίζουν μια σχέση μεταξύ των οντοτήτων του προβλήματος χωρίς να ορίζουν μια συγκεκριμένη υπολογιστική διαδικασία. προσθετικοί: ενδιαφέρει συνήθως η σύζευξη των περιορισμών και όχι η σειρά με την οποία τέθηκαν. σπανίως ανεξάρτητοι: στη συνηθέστερη περίπτωση οι περιορισμοί έχουν κοινές μεταβλητές. Είναι ένας φυσικός τρόπος έκφρασης προβλημάτων σε ένα εξαιρετικό φάσμα πεδίων.

Προγραμματισμός με Υποστήριξη Περιορισμών CP (constraint programming): Μελέτη συστημάτων βασισμένων στους περιορισμούς. Δηλωτικό Παράδειγμα Προγραμματισμού: "Ο προγραμματιστής δηλώνει ποιοι είναι οι περιορισμοί του προβλήματος και η πλατφόρμα προσφέρει την υποδομή για την επίλυση τους". Συνδυάζει αποτελέσματα από διάφορα πεδία: τεχνητή νοημοσύνη, επιχειρησιακή έρευνα, λογική, νευρωνικά δίκτυα, κλπ. Έχει αναγνωριστεί από την ACM σαν μια από τις στρατηγικές κατευθύνσεις στην έρευνα στο πεδίο των υπολογιστών.

Ικανοποίηση Περιορισμών (1/2) Ένα πρόβλημα ικανοποίησης περιορισμών (constraint satisfaction problem) αποτελείται από: Ένα σύνολο n μεταβλητών V 1, V 2,...,V n, Ένα σύνολο n πεδίων τιμών D 1,...D n, που αντιστοιχούν σε κάθε μεταβλητή έτσι ώστε V i D i Ένα σύνολο σχέσεων (περιορισμών) C 1, C 2,...C m όπου C i (V k,...,v m ) μια σχέση μεταξύ των μεταβλητών του προβλήματος.

Ικανοποίηση Περιορισμών (2/2) Ανάλογα με το πόσες μεταβλητές περιλαμβάνει ένας περιορισμός χαρακτηρίζεται ως: μοναδιαίος (unary) όταν αφορά μια μεταβλητή, δυαδικός (binary) όταν αφορά δύο μεταβλητές ή ανώτερης τάξης (higher order) όταν αφορά περισσότερες των δύο μεταβλητές. Λύση αποτελεί μια ανάθεση τιμών στις μεταβλητές του προβλήματος, τέτοια ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί, δηλαδή: V 1 = d 1 V 2 = d 2... V n = d n d 1 D 1 d 2 D 2... d i D n C 1 C 2... C m

Παράδειγμα Έστω ότι πρέπει να ορισθεί η σειρά με την οποία θα εισαχθούν τα προϊόντα Α, Β, Γ, Δ μέσα σε ένα βιομηχανικό μύλο. Λόγω κάποιων παρασκευαστικών παραμέτρων του τελικού προϊόντος, το προϊόν Α πρέπει να εισαχθεί στο μύλο μετά από το Δ, το Γ πριν από το Β, και το Β πριν από το Α. Πώς μοντελοποιείται το παραπάνω πρόβλημα σαν πρόβλημα ικανοποίησης περιορισμών;

Μοντελοποίηση Προβλήματος Μεταβλητές: V Α, V Β, V Γ και V Δ Πεδία Μεταβλητών: [1..4] (σειρά με την οποία θα μπουν τα προϊόντα. Περιορισμοί: Δύο προϊόντα δεν V Α V Β και V Α V Γ και V Α V μπορούν να Δ πάρουν την ίδια V Β V Γ και V Β V Δ και V Γ V Δ σειρά. V Α > V Δ το προϊόν Α μετά από το Δ V Γ < V Β το προϊόν Γ πριν από το Β V Β < V Α το προϊόν Β πριν από το Α

Λύσεις Το πρόβλημα έχει τις ακόλουθες τρεις δυνατές λύσεις: V Α = 4, V Β = 2, V Γ, = 1, V Δ = 3 Δηλαδή η σειρά είναι: Γ, Β, Δ, Α V Α = 4, V Β = 3, V Γ, = 1, V Δ = 2 Δηλαδή η σειρά είναι: Γ, Δ, Β, Α V Α = 4, V Β = 3, V Γ, = 2, V Δ = 1 Δηλαδή η σειρά είναι: Δ, Γ, Β, Α

Παραγωγή και Δοκιμή (Generate and Test) Η μέθοδος αποτελείται από μία γεννήτρια λύσεων και έναν ελεγκτή που ελέγχει αν οι λύσεις ικανοποιούν τους περιορισμούς. Η μέθοδος παράγει διαδοχικά τις ακόλουθες λύσεις: V Α = 1, V Β = 1, V Γ, = 1, V Δ = 1 V Α = 1, V Β = 1, V Γ, = 1, V Δ = 2... V Α = 4, V Β = 4, V Γ, = 4, V Δ = 4 Ο ελεγκτής ελέγχει τις παραγόμενες λύσεις απορρίπτοντας όσες δεν ικανοποιούν τους περιορισμούς. Στον κλασικό αλγόριθμο παραγωγής και δοκιμής εξετάζεται ένας μεγάλος χώρος αναζήτησης.

Παραγωγή και Δοκιμή (Generate and Test) Αν η γεννήτρια χρησιμοποιεί ως πληροφορία ότι το προϊόν Α παρασκευάζεται πάντα τελευταίο, παράγει μόνο τις λύσεις στις οποίες η τιμή της μεταβλητής V A είναι 4: V Α = 4, V Β = 1, V Γ, = 1, V Δ = 1 V Α = 4, V Β = 2, V Γ, = 1, V Δ = 1... V Α = 4, V Β = 4, V Γ, = 4, V Δ = 4 Οι πιθανές λύσεις μειώνονται έτσι από 4 4 = 256 που ήταν στην προηγούμενη περίπτωση σε 4 3 = 64.

Αλγόριθμοι Επιδιόρθωσης Aλγορίθμοι που προσπαθούν να βελτιώσουν μια προτεινόμενη λύση σταδιακά, μέχρι να φτάσουν σε επιθυμητό αποτέλεσμα. Αλγόριθμοι επιδιόρθωσης (repair algorithms). Αναρρίχηση λόφου (hill-climbing) Ευριστικός αλγόριθμος των ελαχίστων συγκρούσεων (min conflicts heuristic) Οι αλγόριθμοι επιδιόρθωσης έχουν εφαρμοστεί με μεγάλη επιτυχία σε προβλήματα επίλυσης περιορισμών. Τοπικά ελάχιστα: Μπορεί ο αλγόριθμος να μην καταφέρει να βρει λύση (μη-πληρότητα). Δεν επιστρέφει απαραίτητα την βέλτιστη λύση.

Κλασικοί Αλγόριθμοι Αναζήτησης Οι κλασικοί αλγόριθμοι αναζήτησης είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν και για την επίλυση των προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών. Αναπαράσταση Μια κατάσταση αποτελείται από τις μεταβλητές του προβλήματος. Υπάρχει ένας μόνο τελεστής, ο οποίος αντιστοιχεί στην ανάθεση μιας τιμής σε μια μη-δεσμευμένη μεταβλητή (μεταβλητή στην οποία δεν έχει ανατεθεί τιμή). Αρχική κατάσταση: όλες οι μεταβλητές είναι μηδεσμευμένες. Τελική κατάσταση: ελέγχεται αν έχει γίνει ανάθεση τιμών σε όλες τις μεταβλητές, καθώς επίσης και αν ικανοποιούνται όλοι οι περιορισμοί του προβλήματος.

Επίλυση Κλασικούς αλγορίθμους αναζήτησης, Αλγόριθμος αναζήτησης πρώτα σε βάθος (DFS) ή πρώτα σε πλάτος (BFS), BB. Κλασικούς ευριστικούς αλγορίθμους αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα στο καλύτερο (Best First) Η ευριστική συνάρτηση αφορά την επιλογή της μεταβλητής στην οποία θα ανατεθεί τιμή. Αρχή της συντομότερης αποτυχίας (first fail principle): επιλέγεται η μη-δεσμευμένη μεταβλητή η οποία είναι πιθανότερο να οδηγήσει συντομότερα σε αποτυχημένους κόμβους στην αναζήτηση, δηλαδή εκείνη με το μικρότερο πεδίο τιμών. Σε περίπτωση που περισσότερες μεταβλητές έχουν ίδιο αριθμό τιμών στα πεδία τους, τότε επιλέγεται η μεταβλητή που συμμετέχει σε περισσότερους περιορισμούς (most constraint principle).

Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα Οι αλγόριθμοι είναι πλήρεις. Μπορούν να βρουν την βέλτιστη λύση Αλγόριθμος διακλάδωσης και οριοθέτησης (branch and bound). Οι ευριστικοί αλγόριθμοι βελτιώνουν σε μεγάλο βαθμό την απόδοση των τυφλών αλγορίθμων αναζήτησης. Όμως, δεν επιλύουν σε ικανοποιητικό χρόνο προβλήματα μεγάλου μεγέθους. Μη-εκμετάλλευση της πληροφορίας των περιορισμών. (a posteriori έλεγχος). Πρώτα δημιουργείται η λύση (έστω και μερική) και μετά ελέγχεται για το αν είναι ικανοποιητική. A posteriori έλεγχος + συνδυαστική έκρηξη = εξαιρετικά χρονοβόρα επίλυση προβλημάτων.

Αλγόριθμοι Ελέγχου Συνέπειας Εκμετάλλευση πληροφορίας που υπάρχει στους περιορισμούς για μείωση του χώρου αναζήτησης. Α priori έλεγχος συνέπειας τιμών. Βασική ιδέα των αλγορίθμων της κατηγορίας: Απαλοιφή από τα αρχικά πεδία των μεταβλητών εκείνων των τιμών οι οποίες δεν μπορούν να συμμετέχουν στην τελική λύση. Έλεγχος συνέπειας (consistency check) Διαγραφή από το πεδίο κάθε μεταβλητής εκείνων των τιμών οι οποίες είναι ασυνεπείς ως προς κάποιο περιορισμό. Οι αλγόριθμοι της κατηγορίας αναφέρονται και ως αλγόριθμοι διήθησης τιμών (filtering algorithms), διάδοσης περιορισμών (constraint propagation).

Παράδειγμα Διάδοσης Περιορισμών Πρόβλημα σειράς παρασκευής των προϊόντων για ένα βιομηχανικό μύλο. Οι περιορισμοί είναι: VΑ V Β (C1) V Β V Γ (C4) V Α > V Δ (C7) VΑ V Γ (C2) V Β V Δ (C5) V Γ < V Β (C8) VΑ V Δ (C3) V Γ V Δ (C6) V Β < V Α (C9) Τα πεδία τιμών των μεταβλητών: VΑ :: {1,2,3,4} VΒ :: {1,2,3,4} VΓ :: {1,2,3,4} VΔ :: {1,2,3,4}

Διαγραφή Τιμών (1/2) Λόγω C9 (VΒ < V Α ), η μεταβλητή V Β δε μπορεί σε καμιά περίπτωση να πάρει την τιμή 4, αλλά ούτε και η V Α να πάρει την τιμή 1: V Α :: {2,3,4} V Γ :: {1,2,3,4} V Β :: {1,2,3} V Δ :: {1,2,3,4} Λόγω C8 (VΓ < V Β ), η V Γ δεν μπορεί να πάρει την τιμή 3 ούτε και την τιμή 4, ενώ η V Β δε μπορεί να πάρει την τιμή 1: V Α {2,3,4} V Γ {1,2} V Β {2,3} V Δ {1,2,3,4}

Διαγραφή Τιμών (2/2) Λόγω VΑ > V Δ (C7) η V Δ δεν μπορεί να πάρει την τιμή 4: V Α {2,3,4} V Γ {1,2} V Β {2,3} V Δ {1,2,3} Το πεδίο της VΒ έχει μεταβληθεί, οπότε ο περιορισμός C9 πρέπει να επανεξεταστεί. Λόγω του V Β < V Α (C9) δεν μπορεί να υπάρχει η τιμή 2 στο πεδίο της V Α : V Α {3,4} V Γ {1,2} V Β {2,3} V Δ {1,2,3} Τώρα οι πιθανοί συνδυασμοί γίνονται 2*2*2*3=24, από 256 που υπήρχαν αρχικά. Η παραπάνω διαδικασία είναι η βάση των αλγορίθμων ελέγχου συνέπειας (consistency check algorithms).

Γράφος Περιορισμών Συνήθως στους αλγορίθμους της κατηγορίας το πρόβλημα αναπαρίσταται ως γράφος (γράφος περιορισμών - constraint graph). Οι περιορισμοί αναπαρίστανται ως τόξα (arcs) τα οποία συνδέουν κόμβους (nodes) που αναπαριστούν τις μεταβλητές. Κατευθυντικότητα τόξων: Ένας περιορισμός ανάμεσα σε δύο μεταβλητές αναπαρίσταται από δύο τόξα. Ο περιορισμός VΒ <V Α θα αντιστοιχεί σε δύο κατευθυνόμενα τόξα (V A >V B ) και (V B <V A ).

Αλγόριθμοι συνέπειας/διήθησης τιμών Υπάρχουν διαφορετικοί αλγόριθμοι διήθησης τιμών με διαφορετική απόδοση. Βαθμός συνέπειας (degree of consistency). Πόσες ασυνεπείς τιμές αφαιρούν από τα πεδία Συνήθως ο βαθμός συνέπειας που επιτυγχάνει ένας αλγόριθμος είναι αντιστρόφως ανάλογος με τον απαιτούμενο χρόνο εκτέλεσης. Ο απλούστερος αλγόριθμος συνέπειας ο αλγόριθμος συνέπειας κόμβου (Node Consistency). Αφαιρεί τιμές από τα πεδία εξετάζοντας μόνο τους μοναδιαίους περιορισμούς.

Αλγόριθμοι συνέπειας τόξου (Arc Consistency-AC) Η πλέον διαδεδομένη κατηγορία αλγορίθμων. Απαλείφουν τιμές ελέγχοντας τους δυαδικούς περιορισμούς του προβλήματος. Διάφοροι αλγόριθμοι πχ. AC-3, AC-4, AC-5, AC-2000, Βελτιώσεις της βασικής μεθόδου δηλαδή της διαγραφής τιμών από τα πεδία μέχρι να μην μπορούν να εφαρμοστούν άλλοι περιορισμοί. Η δυσκολίες που παρουσιάζονται: Διαγραφή μιας τιμής οδηγεί σε αλλαγές στα πεδία άλλων μεταβλητών. Μετά από κάθε διαγραφή ασυνεπούς τιμής πρέπει να επανεξεταστούν τα πεδία των "άμεσα" συνδεδεμένων μεταβλητών

Αλγόριθμοι Συνέπειας Υπάρχουν και άλλες κατηγορίες αλγορίθμων συνέπειας, Οι αλγόριθμοι συνέπειας μονοπατιού (path consistency algorithms), που επιβάλλουν μεγαλύτερο βαθμό συνέπειας σε ένα γράφο περιορισμών Υψηλό υπολογιστικό κόστος και στην πράξη χρησιμοποιούνται συνήθως αλγόριθμοι συνέπειας τόξου. Διάδοση περιορισμών Οι αλγόριθμοι ελέγχου συνέπειας αποτελούν μια μορφή διάδοσης περιορισμών (constraint propagation), καθώς τα πεδία τιμών των μεταβλητών μειώνονται σταδιακά βάσει των περιορισμών.

Ο Αλγόριθμος AC-3 Ο απλούστερος αλγόριθμος συνέπειας τόξου. Έστω οι μεταβλητές V1, V 2,..V n με τιμές d 1, d 2,,d n από τα πεδία τιμών των μεταβλητών D 1, D 2,,D n και ένα σύνολο περιορισμών C k (V i,v j ) για τις μεταβλητές αυτές, οι οποίοι αναπαριστώνται ως τόξα (V i,v j ). Για συντομία, κάθε τόξο (Vi,V j ) αναφέρεται ως (i,j). Προϋποθέτει ότι οι περιορισμοί αφορούν μόνο δύο μεταβλητές, είναι δηλαδή δυαδικοί περιορισμοί (binary constraints). Οποιοδήποτε πρόβλημα περιέχει περιορισμούς ανώτερης τάξης μπορεί να μετασχηματιστεί σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα με δυαδικούς περιορισμούς (binarization).

Ο Αλγόριθμος AC-3 Επανέλαβε τα ακόλουθα βήματα μέχρι το Q να γίνει κενό: 1. Επέλεξε ένα τόξο (i,j) και διέγραψε το από το Q 2. Για κάθε τιμή d i του πεδίου της μεταβλητής V i έλεγξε αν υπάρχει τουλάχιστον μία τιμή d j του πεδίου της μεταβλητής V j τέτοια ώστε να ικανοποιεί το περιορισμό C(V i,v j ) που αντιστοιχεί στο τοξο (i, j). 3. Αν δεν υπάρχει τέτοια τιμή d j τότε αφαίρεσε την τιμή d i από το πεδίο τιμών της V i. Αν το πεδίο τιμών της V i είναι κενό τότε τερμάτισε με αποτυχία. 4. Αν έχει μεταβληθεί το πεδίο τιμών της V i τότε πρόσθεσε στο σύνολο Q όλα τα τόξα (k,i), που αντιστοιχούν στους περιορισμούς C(V k,v i ), για k i.

Χαρακτηριστικά του AC-3 Μη-πληρότητα Στο προηγούμενο παράδειγμα, μετά την εφαρμογή του ελέγχου συνέπειας τόξου στο πεδίο τιμών της μεταβλητής V Α παρέμεινε η τιμή 3, η οποία όμως δεν είναι δυνατό να συμμετέχει στην τελική λύση: V Α :: {3,4} V Γ :: {1,2} V Β :: {2,3} V Δ :: {1,2,3} Οι αλγόριθμοι συνέπειας τόξου δεν απαλείφουν όλες τις ασυνεπείς τιμές από τα πεδία των μεταβλητών. Για να επιλυθεί πλήρως ένα πρόβλημα περιορισμών θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν αλγόριθμοι ελέγχου συνέπειας τόξου σε συνδυασμό με κάποιον αλγόριθμο αναζήτησης για να βρεθεί η τελική λύση.

Είναι δυνατό να βρεθεί λύση με χρήση μόνο αλγορίθμων ελέγχου συνέπειας; Ένας γράφος περιορισμών είναι Κ-συνεπής (Kconsistent) εάν για κάθε Κ-1 μεταβλητές που ικανοποιούν τους περιορισμούς υπάρχει μια μεταβλητή Κ με τέτοιο πεδίο ώστε να ικανοποιούνται ταυτόχρονα όλοι οι περιορισμοί που συνδέουν τις Κ μεταβλητές. Ένας γράφος είναι ισχυρά Κ-συνεπής (strongly K- consistent) εάν για κάθε L K, είναι L-συνεπής. Προφανώς σε ένα γράφο με Ν κόμβους, εάν εξασφαλισθεί ότι ο γράφος είναι ισχυρά Ν-συνεπής διαγράφονται όλες οι μη-συνεπείς τιμές από τα πεδία των μεταβλητών. Η λύση μπορεί να βρεθεί χωρίς αναζήτηση. Υψηλό υπολογιστικό κόστος για Κ>2.

Συνδυάζοντας Αναζήτηση και Αλγορίθμους Διήθησης Τιμών Αλγόριθμοι συνέπειας: μη-πλήρεις αλλά αποδοτικοί. Αλγόριθμοι αναζήτησης: πλήρεις/μη-αποδοτικοί. Βασική ιδέα: Μείωση του χώρου αναζήτησης με την χρήση ενός αλγορίθμου συνέπειας πριν από κάθε βήμα ανάθεσης τιμών (a priori pruning). Λύση μπορεί να βρεθεί σε σημαντικά μικρότερο χρόνο. Τρεις βασικοί συνδυασμοί διήθησης τιμών και αναζήτησης. Διαφέρουν στο βαθμό ελέγχου των πεδίων των μεταβλητών σε κάθε βήμα ανάθεσης τιμών. Πριν την εκκίνηση της διαδικασίας αναζήτησης εφαρμόζεται ένας αλγόριθμος συνέπειας που μειώνει τα αρχικά πεδία των μεταβλητών

Συνδυασμοί διήθησης και αναζήτησης λύσης Ο προοπτικός έλεγχος (forward checking) Απαλείφει τιμές από τα πεδία των μη-δεσμευμένων μεταβλητών που συνδέονται άμεσα με περιορισμούς με την μεταβλητή στην οποία μόλις ανατέθηκε τιμή. Παραμένει μεγάλος αριθμός ασυνεπών τιμών στα πεδία Χαμηλό υπολογιστικό κόστος κάθε βήματος. Η έγκαιρη μερική εξέταση (Partial Look Αhead) Εξετάζει όλα τα πεδία μη-δεσμευμένων μεταβλητών εξετάζοντας όμως τους περιορισμούς μόνο μια φορά δεδομένης μιας προκαθορισμένης σειράς των μεταβλητών (κατευθυντική συνέπεια-directional consistency). Παραμένουν στα πεδία μη συνεπείς τιμές που θα είχαν αφαιρεθεί αν εφαρμόζονταν ένας πλήρης αλγόριθμος συνέπειας τόξου.

Συνδυασμοί διήθησης και αναζήτησης λύσης Η έγκαιρη πλήρης εξέταση (Full Look Ahead) ή διατήρησης συνέπειας τόξου (Maintaining Arc Consistency - MAC). Εφαρμόζει σε κάθε βήμα της αναζήτησης ένα πλήρη αλγόριθμο συνέπειας τόξου. Αφαιρεί το μεγαλύτερο αριθμό ασυνεπών τιμών από τους τρεις. Υψηλό υπολογιστικό κόστος Αλγόριθμος: 1. Πλήρης εφαρμογή ενός αλγορίθμου συνέπειας. 2. Ανάθεση τιμής για μια μη-δεσμευμένη μεταβλητή και εφαρμογή του αλγορίθμου συνέπειας για το υπόλοιπο πρόβλημα (μηδεσμευμένες μεταβλητές). 3. Μέχρι όλες οι μεταβλητές να δεσμευτούν.

Μετά την πρώτη εφαρμογή των περιορισμών απομένουν οι ακόλουθες τιμές V Α {3,4} V Β {2,3} V Γ {1,2} V Δ {1,2,3} V Α = 3 V Α = 4 Πρόβλημα βιομηχανικού μύλου Δένδρο Αναζήτησης MAC Περιορισμοί V Γ V Δ V Β V Δ V Γ <V Β V Α >V Δ V Α =3 V Β {2,3} V Γ {1,2} V Δ {1,2,3} V Α = 4 V Β {2,3} V Γ {1,2} V Δ {1,2,3} Εφαρμογή αλγορίθμου συνέπειας Αποτυχία Περιορισμοί V Γ V Δ V Β V Δ V Γ < V Β V Β = 2 V Β = 3 V Α = 4 V Β = 2 V Γ {1,2} V Δ {1,2,3} V Α = 4 V Β = 3 V Γ {1,2} V Δ {1,2,3} Περιορισμοί V Β V Δ Λύση V Α = 4 V Β = 2 V Γ = 1 V Δ = 3 V Γ = 1 V Γ = 2 Περιορισμοί V Γ V Δ V Β V Δ V Α = 4 V Β = 3 V Γ = 1 V Δ {1,2,3} V Α = 4 V Β = 3 V Γ = 2 V Δ {1,2,3} Περιορισμοί V Γ V Δ V Β V Δ Λύση V Α = 4 V Β = 3 V Γ = 1 V Δ = 2 Λύση V Α = 4 V Β = 3 V Γ = 2 V Δ = 1

Προγραμματισμός με περιορισμούς Δημιουργία μιας νέας "σχολής" προγραμματισμού, του προγραμματισμού με περιορισμούς (constraint programming-cp), στο πλαίσιο της οποίας αναπτύσσονται εργαλεία και νέες γλώσσες προγραμματισμού για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Ένα CP package μπορεί να είναι μια βιβλιοθήκη που χρησιμοποιείται με μια κλασική γλώσσα προγραμματισμού (C, C++, Java), όπως για παράδειγμα ο ILOG Solver, JCL, Choco, κλπ. επέκταση μιας κατάλληλης γλώσσας προγραμματισμού, πχ. του λογικού προγραμματισμού (Prolog), που οδηγεί στον λογικό προγραμματισμό με υποστήριξη περιορισμών (CLP).

Δηλωτικότητα (Declarativeness) Δηλωτικός Προγραμματισμός: Ο χρήστης δηλώνει ποιο είναι το πρόβλημα και ο υπολογιστής το λύνει. Ο προγραμματισμός με περιορισμούς είναι δηλωτικός. Κατάλληλη γλώσσα για επέκταση πρέπει να εμφανίζει το παραπάνω χαρακτηριστικό. Constraint Programming represents one of the closest approaches computer science has yet made to the Holy Grail of programming: the user states the problem and the computer solves it E. Freuder Επέκταση των γλωσσών λογικού προγραμματισμού Λογικός Προγραμματισμός με Περιορισμούς (Constraint Logic Programming - CLP).

Λογικός Προγραμματισμός με Περιορισμούς Παράδειγμα τέτοιου συστήματος είναι το Chip με πλήθος βιομηχανικών εφαρμογών: σύνταξη ωρολογίου προγράμματος για την κατανομή ωρών εργασίας σε νοσοκομείo (Gymnaste, στο νοσοκομείο Blingy), σχεδιασμό ενεργειών (planning) για την οργάνωση γραμμών παραγωγής στην αεροπορική βιομηχανία (PLANE στη Dassault), κτλ. Άλλες ιδιαίτερα διαδεδομένες CLP γλώσσες είναι η SICStus, ECLiPSe Prolog, η Οz και η gnu-prolog, κλπ Πλέον οι περισσότερες εκδόσεις της γλώσσας Prolog υποστηρίζουν σε μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό την νέα αυτή σχολή προγραμματισμού.

Δομή Περιορισμοί Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών Μέθοδοι Επίλυσης Παραγωγή και Δοκιμή Αλγόριθμοι Επιδιόρθωσης Κλασική Αναζήτηση Αλγόριθμοι Ελέγχου Συνέπειας AC-3 Προγραμματισμός με περιορισμούς