συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] 2 Η συνάρτηση f : R n A R είναι της μορφής: u = f(x) f (x 1, x 2,..., x n ) αν έχουμε ένα τόξο, τότε u = u(t) = f (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) πχ u = f(x, y) = x y x 2 +y 2 στο τόξο c 2 θα έχουμε u = u(t) = cos t sin t
A ένα ανοικτό σύνολο. x 0 είναι σημείο συσσώρευσης του A αν συμβαίνει ένα από τα ακόλουθα 1 Είτε x 0 A 2 Είτε x 0 A, αλλά ɛ > 0 B (x 0, ɛ) A Παράγωγος A ονομάζουμε το A και τα σημεία συσσώρευσης του.
Ορίο συνάρτησης Θεωρούμε μια συναρτήση f(x) με πεδίο ορισμού το ανοικτό σύνολο A και x 0 A. πχ lim f(x) = L x x 0 ɛ > 0, δ(ɛ) > 0 : x A, x x 0 < δ(ɛ) f(x) L < ɛ f(x) = f(x, y) = x 4 x 2 + y 2 lim f(x, y) = 0 (x,y) (0,0) Πεδίο ορισμού της f(x, y) είναι το σύνολο A = R 2 \(0, 0) Απόδειξη: Σημείωση: f(x, y) 0 = x 4 x 2 + y (x2 + y 2 ) 2 ( ) 3 2 x 2 + y = x 2 + y 2 < δ 3 = ɛ 2 δ = (ɛ) 1 3 ɛ > 0, δ(ɛ) = ɛ 1 3 > 0 : x A, x (0, 0) = x 2 + y 2 < δ f(x) 0 < ɛ
x(t), συνεχές τόξο t [a, b], lim x(t) = x 0 t b x(t) πεδίο ορισμού ΚΑΙ lim f(x) = L x x 0 lim f(x(t)) = L t b x(t), συνεχές τόξο t (a, b), lim x(t) = x 0 t b x(t) πεδίο ορισμού lim f(x, y) δεν υπάρχει x x ΚΑΙ 0 lim f(x(t)) δεν υπάρχει t b ( ) 1 πχ Η f(x, y) = sin δεν έχει όριο για (x, y) = (0, 0) x + y Υπάρχει το όριο lim f(x, y) τότε ΔΕΝ συνεπάγεται πάντα ότι (x,y) (x 0,y 0) ( ) ( ) lim f(x, y) = lim lim f(x, y) = lim lim f(x, y) (x,y) (x 0,y 0) x x 0 y y 0 y y 0 x x 0 πχ f(x, y) = x sin 1 y + y sin 1 x έχει όριο στο (0, 0)
Απόδειξη. lim f(x) = L x x 0 x(t), συνεχές τόξο t [a, b], lim x(t) = x 0 t b x(t) πεδίο ορισμού lim f(x(t)) = L t b lim x(t) = x0 t b ζ > 0 (ζ) : t b < (ζ) x(t) x 0 < ζ lim f(x) = L x x 0 ɛ > 0, δ(ɛ) > 0 : x A, x x 0 < δ(ɛ) f(x) L < ɛ ζ = δ(ɛ) ɛ > 0, Z(ɛ) = (δ(ɛ)) : t b < Z(ɛ) x(t) x 0 < δ(ɛ) f(x) L < ɛ lim f(x(t)) = L t b
Αν για δυο συνεχή τόξα x(t), y(t) έχουμε lim x(t) = l = lim y(t) αλλά t b t b lim f(x(t)) lim f(y(t)) τότε ΔΕΝ υπάρχει το lim f(x) t b t b x l πχ. Η f(x, y) = xy x 2 δεν συγκλίνει για (x, y) (0, 0). + y2 ) Η f(x, y) = ( x2 y 4 exp x2 y 4 δεν συγκλίνει για (x, y) (0, 0) xy 2 Η f(x, y) = (x + y 2 δεν συγκλίνει για (x, y) (0, 0) ) 2 Η f(x, y) = x sin y x 2 δεν συγκλίνει για (x, y) (0, 0) + y2
lim f(x) = L x x 0 x k k N, x k A, x 0 A lim x k = x 0 k lim f(x k) = L k Απόδειξη. lim k = x 0 k ζ > 0 N(ζ) : k > N(ζ) x k x 0 < ζ lim f(x) = L x x 0 ɛ > 0, δ(ɛ) > 0 : x A, x x 0 < δ(ɛ) f(x) L < ɛ ζ = δ(ɛ) ɛ > 0, M(ɛ) = N(δ(ɛ)) : k > M(ɛ) x k x 0 < δ(ɛ) f(x k ) L < ɛ lim f(x k) = L t k
lim f(x k) δεν υπάρχει k lim x k = x 0 k x k A, x 0 A lim f(x, y) δεν υπάρχει x x 0 ( ) 1 πξ Η f(x, y) = sin δεν συγκλίνει για (x, y) (0, 0) x 2 + y 2
Συνέχεια συνάρτησης σε ένα σημείο A ανοικτό σύνολο, πεδίο ορισμού της f(x) x 0 A f(x) συνεχής στο x 0 ɛ > 0, δ(ɛ, x 0 ) > 0 : x A, x x 0 < δ(ɛ, x 0 ) f(x) f(x 0 ) < ɛ συνεχής συνάρτησης στο ανοικτό σύνολο A η συνάρτηση είναι συνεχής για κάθε σημείο στο A πχ. η f(x, y) = x 2 + y 2 είναι συνεχής για κάθε σημείο στο R 2 f(x) συνεχής στο ανοικτό A x(t), συνεχές τόξο, t [a, b] x(t) A f(x(t)) συνεχής συνάρτηση στο [a, b]
Ομοιόμορφη συνέχεια συνάρτησης σε ένα σύνολο A ανοικτό σύνολο, πεδίο ορισμού της f(x) f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο A ɛ > 0, δ(ɛ) > 0 : x και x0 A, x x 0 < δ(ɛ) f(x) f(x 0 ) <ɛ πχ. η f(x, y) = 1 είναι ομοιόμορφα συνεχής για κάθε (x, y) τέτοιο x + y ώστε x + y > 2 πχ. η f(x, y) = x 2 + y 2 είναι απλά συνεχής για κάθε σημείο στο R 2, αλλά δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής
A ανοικτό σύνολο, πεδίο ορισμού της f(x) f(x) όχι ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x και x0 A, x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) ɛ
f(x) απλά συνεχής στο A ɛ > 0, x 0 A, δ(ɛ, x 0 ) : x x 0 < δ(ɛ, x 0 ) f(x) f(x 0 ) < ɛ ΚΑΙ inf δ(ɛ, x 0 ) = (ɛ) 0 x 0 f(x) ομοιόμορφα συνεχής πχ Η f(x, y) = x 2 + y 2 για x < 2, y < 2 είναι ομοιόμορφα συνεχής
f(x) συνεχής στο A, g(t) συνεχής για t f(a) g f συνεχής στο A R n A f f(a) R πχ. η f(x, y) = sin(xy) xy g f g R είναι συνεχής στο R 2
f(x) συνεχής στο A, g(t) συνεχής για t f(a) g f συνεχής στο A R n A f f(a) R g f g R Απόδειξη. Απόδειξη για ομοιόμορφα συνεχείς συναρτήσεις: ɛ > 0 ζ(ɛ) : lim g(t) = g(t 0 ) t t 0 t t 0 < ζ(ɛ) g(t) g(t 0 ) < ɛ ɛ > 0, η(ɛ) > 0 : x και x0 A, lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 x x 0 < η(ɛ) f(x) f(x 0 ) < ɛ Διαλέγουμε δ(ɛ) = η(ζ(ɛ)).
Φραγμένο σύνολο Φραγμένο σύνολο F R n R > 0 : F B ( 0, R ) Συμπαγές σύνολο Συμπαγές σύνολο C R n C είναι κλειστό και φραγμένο R 0 C συμπαγές και x C για i = 1, 2,..., n θα έχουμε x i < R Αν τα μέλη της ακολουθίας x k ανήκουν στο συμπαγές C υπάρχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία x kl
Αν τα μέλη της ακολουθίας x k ανήκουν στο συμπαγές C υπάρχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία x kl Απόδειξη. x k = (x ki ) i=1,2,...,n = (x k1, x k2,..., x kn ) η ακολουθία είναι x k1 k N φραγμένη υπάρχει μια υπακολουθία x k1 1 που συγκίνει lim x k 1 1 = y 1 k 1 Η x k1 είναι μια υπακολουθία της x k, και η πρώτες συνιστώσες των x k1 συγκλίνουν. διαλέγουμε μια υπακολουθία x k2 της ακολουθίας x k1 έστσι ώστε οι δεύτερες συνιστώσες της x k2 να συγκλίνουν σε ένα αριθμό y 2. (Οι πρώτες συνιστώσες συγκλίνουν στο y 1 ). Μετά διαλέγουμε μια υπακολουθία x k3 της x k2 που οι τρείς πρώτες συνιστώσες συγκλίνουν. Συνεχίζουμε έτσι και για τις n συνιστώσες οπότε καταλήγουμε σε μια υπακολουθία x kn της οποίας και οι n συνιστώσες συγκλίνουν. Οπότε η υπακολουθία x kn συγκλίνει
Θεώρημα των ακραίων τιμών για συμπαγή σύνολα f(x) συνεχής στο συμπαγές C x M C : f(x M ) = max f(x) x C x m C : f(x m ) = min f(x) x C f(x) συνεχής στο συμπαγές C f(c) συμπαγές σύνολο f(x) συνεχής στο συμπαγές C f(x) ομοιόμορφα συνεχής
Απόδειξη. f(x) συνεχής στο συμπαγές C x M C : f(x M ) = max f(x) x C x m C : f(x m ) = min f(x) x C Υπόθεση : Εστω ότι f(c) δεν έχει ανω φράγμα Υπάρχει ακολουθία y k k N στοιχείων του f(c) τέτοια ώστε y k = f(x k ) n C συμπαγές άρα υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία x lk της ακολουθίας x k. Εστω lim x = x lk 0 k Επειδή f(x) συνεχής θα έχουμε y lk = f(x lk ) f(x 0 ) ΑΤΟΠΟ n Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι το C έχει και κάτω φράγμα. sup f(c) k N y k = f(x k ) f(c) : sup f(c) 1 k < y k sup f(c) lim f(x k) = sup f(c) x lk υπακολουθία της x k που συγκλίνει, k lim x = x lk M C k συνέχεια της f(x) και C κλειστό lim f(x ) = f(x lk M) = sup f(c) f(c) k x M C : f(x M ) = max f(x) x C f(x) συνεχής στο συμπαγές C x M C : f(x M ) = max x C f(x) x m C : f(x m ) = min x C f(x)
Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών f(x) συνεχής στο A, A συνεκτικό κατά τόξα x1, x2 A f(x1) < p < f(x2) Σύνολο συνεκτικό κατά τόξα x 1, x 2 A τόξο x(t) A, t [t 1, t 2 ] x(t 1 ) = x 1, x(t 2 ) = x 2 x A : f(x) = p