3.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο

3.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει τους μαθητές στην έννοια της συνέχειας (και ασυνέχειας) συνάρτησης σε ένα σημείο. Μέσα από τη μελέτη ενός προβλήματος οι μαθητές οδηγούνται στη δημιουργία μιας διαισθητικής αντίληψης της έννοιας, η οποία επιτρέπει την ομαλή μετάβαση στον ε-δ ορισμό. Στόχοι της δραστηριότητας Με τη δραστηριότητα αυτή επιδιώκεται οι μαθητές: Nα εισαχθούν διαισθητικά στον ε-δ ορισμό. Nα εξοικειωθούν σε μια διαδικασία του τύπου «για δεδομένο ε βρείτε κατάλληλο δ», σε ένα δυναμικό γεωμετρικό περιβάλλον απαλλαγμένο από αλγεβρικές δυσκολίες. Nα συνδέσουν διαφορετικές αναπαραστάσεις της έννοιας της συνέχειας. Nα συνειδητοποιήσουν την αποτυχία του ε-δ ορισμού σαν «άλμα» της γραφικής παράστασης. Λογική της δραστηριότητας Η κατανόηση του ε-δ ορισμού της συνέχειας παρουσιάζει σοβαρές δυσκολίες. Μέσα από αυτή η δραστηριότητα γίνεται προσπάθεια να εισαχθούν οι μαθητές στην έννοια της συνέχειας με έναν διαισθητικό και απαλλαγμένο από αλγεβρικούς χειρισμούς τρόπο. Η δραστηριότητα είναι χωρισμένη σε τρία βήματα. Στο πρώτο βήμα, μέσω ενός προβλήματος, δίνονται συγκεκριμένες τιμές του ε και τους ζητείται να βρεθούν αντίστοιχα δ. Στο δεύτερο βήμα, το ε γίνεται παράμετρος. Στο τρίτο βήμα οι μαθητές συνδέουν την ασυνέχεια με την ύπαρξη «άλματος» στο γράφημα. Η διαπραγμάτευση των ερωτήσεων σε κάθε βήμα γίνεται πρώτα γραφικά και στη συνέχεια αλγεβρικά. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα. Ανάλογα με το επίπεδο των μαθητών, η δραστηριότητα μπορεί να διδαχθεί σε δυο διαφορετικά πλαίσια. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν 1

εργαλείο που οδηγεί στον ορισμό της συνέχειας. Μπορεί επίσης, με κατάλληλη προσαρμογή, να χρησιμοποιηθεί απλά σαν διαισθητική εισαγωγή στην κεντρική ιδέα της συνέχειας. Τα βήματα 1 και 2 μπορούν να συζητηθούν στα πλαίσια μιας διδακτικής ώρας, Το τρίτο βήμα, συνδυασμένο με παραδείγματα που θα άρουν κάποιες παρανοήσεις που υπάρχει κίνδυνος να εμφανιστούν (όπως για παράδειγμα ότι το δ που βρίσκουμε είναι μοναδικό, ή «δεν σηκώνω το μολύβι από το χαρτί όταν ζωγραφίζω συνεχείς συναρτήσεις»), απαιτεί άλλη μια ώρα. Η έννοια της συνέχειας εμφανίζεται ανεξάρτητα από την έννοια της σύγκλισης και δεν προϋποθέτει γνώση των μαθητών για όρια συνάρτησης. 2

3.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο ΠΡΩΤΟ ΒΗΜΑ Μια φαρμακοβιομηχανία πρόκειται να κατασκευάσει ένα νέο αντιβιοτικό χάπι προκειμένου να αντιμετωπιστεί κάποια ασθένεια. Είναι γνωστό ότι το χάπι πρέπει να περιέχει 3mgr της φαρμακευτικής ουσίας ώστε να παρέχεται στον ασθενή η ιδανική ποσότητα της. Η συνάρτηση f( x ) = x + 1 1 δίνει την ποσότητα f ( x ) της ουσίας που ανιχνεύεται στο αίμα του ασθενούς τρεις ώρες μετά τη λήψη ενός χαπιού που περιέχει x mgr αυτής. Σύμφωνα με ερευνητικά αποτελέσματα, εάν ανιχνευτεί στο αίμα ποσότητα μικρότερη ή ίση από 0,8mgr, τότε το χάπι δεν είναι αποτελεσματικό, ενώ εάν ανιχνευτεί ποσότητα μεγαλύτερη από 1,2mgr τότε η δόση είναι υπερβολική και οργανισμός του ασθενούς βρίσκεται σε κίνδυνο. Ε1: Ποια είναι η ποσότητα φαρμάκου που αναμένεται να ανιχνευτεί στο αίμα; f (3) = 1 Ε2: Ποιο είναι το επιτρεπτό σφάλμα ε κατά το οποίο μπορεί να αποκλίνει η τιμή που θα ανιχνευτεί στο αίμα από την αναμενόμενη τιμή, ώστε τα χάπια να είναι αποτελεσματικά και ασφαλή; Ο αριθμός ε=0,2 βάζει φράγμα 0,8 και 1,2 στις επιτρεπτές ποσότητες του αντιβιοτικού γύρω από το f (3) = 1. Δηλαδή, η ποσότητα που θα ανιχνευτεί πρέπει να βρίσκεται στο διάστημα (0,8, 1,2). To ε θα το καλούμε επιτρεπτό σφάλμα. Κάποιες ερωτήσεις που θα εξοικειώσουν τους μαθητές με το επιτρεπτό σφάλμα ίσως είναι χρήσιμες, καθώς το ε παίζει καθοριστικό ρόλο σε ολόκληρη τη δραστηριότητα. Είναι χρήσιμο να εισάγουμε τους όρους «επιτρεπτό σφάλμα» (και στη συνέχεια «ακρίβεια») όσο πιο σύντομα γίνεται. Η μηχανή που παράγει τα χάπια των t=3mgr, έχει ακρίβεια ρυθμισμένη στο δ=1,1. Αυτό σημαίνει ότι παρόλο που είναι προγραμματισμένη να παράγει χάπια των 3mgr, δεν προκύπτουν πάντα χάπια που περιέχουν ακριβώς 3mgr φαρμακευτικής ουσίας. Η περιεκτικότητα τους ποικίλλει ανάμεσα σε 3 1,1mgr και 3 + 1,1mgr. 3

Ε3: Είναι η μηχανή κατάλληλα ρυθμισμένη ώστε να παράγει χάπια ασφαλή και αποτελεσματικά; Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1a.activity.gr.euc και προσπαθήστε να απαντήσετε με τη βοήθεια του στην ερώτηση Ε3. Στο περιβάλλον αυτό έχουμε τη γραφική παράσταση της f(x). Αλλάζοντας το ε μπορούμε να μετατρέψουμε το επιτρεπτό σφάλμα, ενώ αλλάζοντας το δ μετατρέπουμε την ακρίβεια της μηχανής. Το παράθυρο μεγέθυνσης μας επιτρέπει να εστιάσουμε σε μια περιοχή του σημείου (3, 1). Αναμένεται να παρατηρήσουν οι μαθητές ότι κάποια κομμάτια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης βρίσκονται μέσα στην δ-ζώνη αλλά έξω από την ε-ζώνη. Εάν αφήσουμε τη μηχανή να παράγει χάπια με την τρέχουσα ρύθμιση θα παράγει κάποια αναποτελεσματικά και κάποια επικίνδυνα. Υπάρχει δυνατότητα αλλαγής της ακρίβειας της μηχανής. Ε4: Μπορεί να ρυθμιστεί κατάλληλα η μηχανή ώστε να παράγει χάπια εντός του επιτρεπτού σφάλματος; Αναμένουμε από τους μαθητές να αλλάξουν το δ προκειμένου να διορθωθεί το πρόβλημα. Με δ = 0,8 το πρόβλημα λύνεται. Μπορεί να γίνει κάποια συζήτηση ώστε να τονιστεί πως το δ δεν είναι μοναδικό. Εάν έχουμε βρει ένα δ τότε οποιοδήποτε μικρότερό του επίσης δουλεύει. Ένα άλλο σημείο που χρειάζεται προσοχή είναι το γεγονός ότι δεν μας απασχολεί η εύρεση του μεγαλύτερου κατάλληλου δ. Τα αποτελέσματα μιας νέας έρευνας έδειξαν ότι το επιτρεπτό σφάλμα πρέπει να μειωθεί στο ε=0,1. Ε5: Υπάρχει πρόβλημα με την αλλαγή αυτή στην παραγωγή των χαπιών; Πρέπει να γίνει νέα ρύθμιση της μηχανής; Η απάντηση κάθε μαθητή εξαρτάται από το δ που έχει επιλέξει στην Ε4. Για παράδειγμα εάν κάποιος μαθητής έχει επιλέξει δ=0,8 προηγουμένως, τότε για το νέο ε η μηχανή δεν δουλεύει σωστά. Εάν κάποιος μαθητής έχει δώσει δ=0,2, τότε η μηχανή συνεχίζει να μην έχει πρόβλημα. δ=0,3 ή μικρότερο δουλεύει. 4

ΔΕΥΤΕΡΟ ΒΗΜΑ Ε1: Εάν τα αποτελέσματα μιας νέας έρευνας απαιτούν το ε να μειωθεί κι άλλο, η βιομηχανία θα μπορεί πάντα να ρυθμίζει κατάλληλα τη μηχανή; Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1a.activity.gr.euc και ελέγξτε εάν μπορούμε πάντοτε να βρίσκουμε κατάλληλο δ>0, καθώς το ε γίνεται ολοένα και μικρότερο. Πειραματιστείτε γραφικά. Εμφανίστε την κόκκινη/πράσινη περιοχή και περιγράψτε τι σημαίνει ότι κάποιο κομμάτι της συνάρτησης βρίσκεται στην κόκκινη, στην πράσινη ή στην άσπρη περιοχή. Αυτή η ερώτηση προσφέρει τη δυνατότητα μετάβασης από την οπτική σε μια λεκτική αναπαράσταση. Η πράσινη περιοχή αναπαριστά τα επιτρεπόμενα (x,f(x)). Αλγεβρικά η πράσινη περιοχή είναι το σύνολο εκείνων των σημείων (x,f(x)) του επιπέδου για τα οποία, x-3 <δ και f(x)-f(3) <ε Όταν κομμάτι της συνάρτησης βρίσκεται στην κόκκινη περιοχή τότε υπάρχει πρόβλημα στην παραγωγή των χαπιών. Η μηχανή είναι ρυθμισμένη έτσι ώστε να παράγει κάποια χάπια που είναι αναποτελεσματικά (η κόκκινη περιοχή κάτω από την πράσινη), ή κάποια χάπια επικίνδυνα για την υγεία του ασθενούς (η κόκκινη περιοχή επάνω από την πράσινη). Τα σημεία της άσπρης περιοχής δεν μπορούν να παραχθούν με την τρέχουσα ρύθμιση της μηχανής. Εάν χρειάζεται, χρησιμοποιείστε το παράθυρο μεγέθυνσης. Στην ερώτηση αυτή, οι μαθητές παίζουν ένα ε-δ παιχνίδι δίνοντας ολοένα και μικρότερα ε. Όταν το ε μικρύνει αρκετά, οι ζώνες δε φαίνονται καλά στο σχήμα με αποτέλεσμα το ενδιαφέρον να μεταφερθεί στο παράθυρο μεγέθυνσης. Ε2: Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά βάζοντας τα κατάλληλα χρώματα. α. Για οποιοδήποτε ε μας δοθεί, μπορούμε να βρούμε κάποιο δ, τέτοιο ώστε η συνάρτηση να μην βρίσκεται στην...κόκκινη... περιοχή. β. Για οποιοδήποτε ε υπάρχει δ τέτοιο ώστε για κάθε τιμή x στα πλαίσια της ακρίβειας της μηχανής, το (x, f(x)) βρίσκεται στην...πράσινη... περιοχή. Ε3: Γράψτε το παραπάνω συμπέρασμα χρησιμοποιώντας μαθηματικά σύμβολα. 5

Ο καθηγητής μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές αρχικά σε μια λεκτική περιγραφή του συμπεράσματος όπως: «Για κάθε τιμή του σφάλματος υπάρχει ακρίβεια τα μηχανής ώστε εάν το x είναι στα πλαίσια της επιτρεπτής ακρίβειας, το f(x) είναι στα πλαίσια του επιτρεπτού σφάλματος». Στη συνέχεια μπορεί να τους ζητήσει να εκφράσουν την παραπάνω περιγραφή με μαθηματικά σύμβολα. Δηλαδή «για κάθε ε υπάρχει δ τέτοιο ώστε για κάθε x (3 δ, 3 + δ ), το f ( x) (1 ε, 1+ ε )» ή «για κάθε ε υπάρχει δ τέτοιο ώστε για κάθε x με x 3 < δ, να έχουμε και f ( x) 1 < ε». Η τελευταία πρόταση μπορεί να οδηγήσει εάν το απαιτούν οι συνθήκες στην εισαγωγή του ε-δ ορισμού της έννοιας της συνέχειας σε τυχούσα συνάρτηση. ΤΡΙΤΟ ΒΗΜΑ Μια άλλη έρευνα έδειξε ότι ο τύπος της προηγούμενης συνάρτησης που δίνει την ποσότητα του φαρμάκου που ανιχνεύεται στο αίμα, δίνει σωστά αποτελέσματα για τιμές του x μικρότερες των 3mgr. Όταν όμως οι τιμές του x είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 3 δείχνει 0,06mgr λιγότερο από την πραγματική τιμή που ανιχνεύεται στο αίμα. Ε1. Βρείτε τον τύπο της νέας συνάρτησης που δίνει την πραγματική ποσότητα του φαρμάκου που ανιχνεύεται στο αίμα, λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα της τελευταίας έρευνας. x+ 1 1, x< 3 gx ( ) =..., x 3 Ο δεύτερος κλάδος πρέπει να πάρει τον τύπο x + 1 0.94 Ε2: Μπορεί η μηχανή να ρυθμιστεί κατάλληλα ώστε να παράγει αποτελεσματικά και ασφαλή χάπια; Ποιο δ είναι κατάλληλο για ε=0,1; Πχ δ=0,1 Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1b.activity.gr.euc Δώστε την απάντησή σας θέτοντας κατάλληλες τιμές στο δ. Εάν χρειάζεται χρησιμοποιείστε το παράθυρο μεγέθυνσης. Το ε είναι επιλεγμένο έτσι ώστε να υπάρχει κατάλληλο δ. 6

Ε3: Τι συμβαίνει εάν το ε μειωθεί σε 0,06; Μπορείτε να βρείτε κατάλληλο δ; Κανένα δ δεν μπορεί να κάνει τη μηχανή να παράγει μόνο αποτελεσματικά χάπια, γιατί όποτε ένα χάπι είναι λιγότερο από 3mgr η ποσότητα που θα ανιχνεύεται θα είναι αναποτελεσματική. Ε4. Τι προκαλεί αυτή την αποτυχία; Αυτή η ερώτηση μπορεί να οδηγήσει σε ενδιαφέρουσα συζήτηση. Μια ιδέα που μπορεί να οδηγήσει στην έννοια της ασυνέχειας είναι το γεγονός ότι το κενό που υπάρχει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι αυτό που προκαλεί την αποτυχία στην εύρεση του δ, καθώς τα σημεία g(x) γύρω από το 3 εμφανίζονται απομακρυσμένα μεταξύ τους. Ε5. Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά με τα κατάλληλα χρώματα. α. Υπάρχει ε για το οποίο κανένα δ δεν μπορεί να κάνει τη συνάρτηση να μην βρίσκεται στην...κόκκινη... περιοχή. β. Υπάρχει ένα ε, τέτοιο ώστε για κάθε δ, υπάρχει x στην ακρίβεια της μηχανής ώστε το ( x, g(x)) βρίσκεται στην...κόκκινη... περιοχή. Ε6. Γράψτε την πρόταση Ε5β χρησιμοποιώντας μαθηματικές σχέσεις αντί για χρώματα. Υπάρχει ένα ε τέτοιο ώστε για κάθε δ, υπάρχει x (3 δ, 3 + δ ), τέτοιο ώστε g( x) (1 ε, 1+ ε ) ή υπάρχει ε τέτοιο ώστε για κάθε δ υπάρχει x με x 3 < δ, για το οποίο έχουμε g( x) 1 ε. Η τελευταία πρόταση αντίστοιχα με την τελευταία του δευτέρου βήματος μπορεί να οδηγήσει και σε γενίκευση της άρνησης του ορισμού της συνέχειας σε τυχούσα συνάρτηση. 7

3.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο ΠΡΩΤΟ ΒΗΜΑ Μια φαρμακοβιομηχανία πρόκειται να κατασκευάσει ένα νέο αντιβιοτικό χάπι προκειμένου να αντιμετωπιστεί κάποια ασθένεια. Είναι γνωστό ότι το χάπι πρέπει να περιέχει 3mgr της φαρμακευτικής ουσίας ώστε να παρέχεται στον ασθενή η ιδανική ποσότητα της. Η συνάρτηση f( x ) = x + 1 1δίνει την ποσότητα f ( x) της ουσίας που ανιχνεύεται στο αίμα του ασθενούς τρεις ώρες μετά τη λήψη ενός χαπιού που περιέχει x mgr αυτής. Σύμφωνα με ερευνητικά αποτελέσματα, εάν ανιχνευτεί στο αίμα ποσότητα μικρότερη ή ίση από 0,8mgr, τότε το χάπι δεν είναι αποτελεσματικό, ενώ εάν ανιχνευτεί ποσότητα μεγαλύτερη από 1,2mgr τότε η δόση είναι υπερβολική και οργανισμός του ασθενούς βρίσκεται σε κίνδυνο. Ε1: Ποια είναι η ποσότητα φαρμάκου που αναμένεται να ανιχνευτεί στο αίμα; Ε2: Ποιο είναι το επιτρεπτό σφάλμα ε κατά το οποίο μπορεί να αποκλίνει η τιμή που θα ανιχνευτεί στο αίμα από την αναμενόμενη τιμή, ώστε τα χάπια να είναι αποτελεσματικά και ασφαλή; 8

Η μηχανή που παράγει τα χάπια των t=3mgr, έχει ακρίβεια ρυθμισμένη στο δ=1,1. Αυτό σημαίνει ότι παρόλο που είναι προγραμματισμένη να παράγει χάπια των 3mgr, δεν προκύπτουν πάντα χάπια που περιέχουν ακριβώς 3mgr φαρμακευτικής ουσίας. Η περιεκτικότητα τους ποικίλλει ανάμεσα σε 3 1,1mgr και 3 + 1,1mgr. Ε3: Είναι η μηχανή κατάλληλα ρυθμισμένη ώστε να παράγει χάπια ασφαλή και αποτελεσματικά; Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1a.activity.gr.euc και προσπαθήστε να απαντήσετε με τη βοήθεια του στην ερώτηση Ε3. Στο περιβάλλον αυτό έχουμε τη γραφική παράσταση της f(x). Αλλάζοντας το ε μπορούμε να μετατρέψουμε το επιτρεπτό σφάλμα, ενώ αλλάζοντας το δ μετατρέπουμε την ακρίβεια της μηχανής. Το παράθυρο μεγέθυνσης μας επιτρέπει να εστιάσουμε σε μια περιοχή του σημείου (3, 1). Υπάρχει δυνατότητα αλλαγής της ακρίβειας της μηχανής. Ε4: Μπορεί να ρυθμιστεί κατάλληλα η μηχανή ώστε να παράγει χάπια εντός του επιτρεπτού σφάλματος; Τα αποτελέσματα μιας νέας έρευνας έδειξαν ότι το επιτρεπτό σφάλμα πρέπει να μειωθεί στο ε=0,1. Ε5: Υπάρχει πρόβλημα με την αλλαγή αυτή στην παραγωγή των χαπιών; Πρέπει να γίνει νέα ρύθμιση της μηχανής; 9

ΔΕΥΤΕΡΟ ΒΗΜΑ Ε1: Εάν τα αποτελέσματα μιας νέας έρευνας απαιτούν το ε να μειωθεί κι άλλο, η βιομηχανία θα μπορεί πάντα να ρυθμίζει κατάλληλα τη μηχανή; Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1a.activity.gr.euc και ελέγξτε εάν μπορούμε πάντοτε να βρίσκουμε κατάλληλο δ>0, καθώς το ε γίνεται ολοένα και μικρότερο. Πειραματιστείτε γραφικά. Εμφανίστε την κόκκινη/πράσινη περιοχή και περιγράψτε τι σημαίνει ότι κάποιο κομμάτι της συνάρτησης βρίσκεται στην κόκκινη, στην πράσινη ή στην άσπρη περιοχή. Εάν χρειάζεται, χρησιμοποιείστε το παράθυρο μεγέθυνσης. Ε2: Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά βάζοντας τα κατάλληλα χρώματα. α. Για οποιοδήποτε ε μας δοθεί, μπορούμε να βρούμε κάποιο δ, τέτοιο ώστε η συνάρτηση να μην βρίσκεται στην... περιοχή. β. Για οποιοδήποτε ε υπάρχει δ τέτοιο ώστε για κάθε τιμή x στα πλαίσια της ακρίβειας της μηχανής, το (x, f(x)) βρίσκεται στην... περιοχή. Ε3: Γράψτε το παραπάνω συμπέρασμα χρησιμοποιώντας μαθηματικά σύμβολα. 10

ΤΡΙΤΟ ΒΗΜΑ Μια άλλη έρευνα έδειξε ότι ο τύπος της προηγούμενης συνάρτησης που δίνει την ποσότητα του φαρμάκου που ανιχνεύεται στο αίμα, δίνει σωστά αποτελέσματα για τιμές του x μικρότερες των 3mgr. Όταν όμως οι τιμές του x είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 3 δείχνει 0,06mgr λιγότερο από την πραγματική τιμή που ανιχνεύεται στο αίμα. Ε1. Βρείτε τον τύπο της νέας συνάρτησης που δίνει την πραγματική ποσότητα του φαρμάκου που ανιχνεύεται στο αίμα, λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα της τελευταίας έρευνας. x+ 1 1, x< 3 gx ( ) =..., x 3 Ε2: Μπορεί η μηχανή να ρυθμιστεί κατάλληλα ώστε να παράγει αποτελεσματικά και ασφαλή χάπια; Ποιο δ είναι κατάλληλο για ε=0,1; Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1b.activity.gr.euc Δώστε την απάντησή σας θέτοντας κατάλληλες τιμές στο δ. Εάν χρειάζεται χρησιμοποιείστε το παράθυρο μεγέθυνσης. Ε3: Τι συμβαίνει εάν το ε μειωθεί σε 0,06; Μπορείτε να βρείτε κατάλληλο δ; Ε4. Τι προκαλεί αυτή την αποτυχία; 11

Ε5. Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά με τα κατάλληλα χρώματα. α. Υπάρχει ε για το οποίο κανένα δ δεν μπορεί να κάνει τη συνάρτηση να μην βρίσκεται στην... περιοχή. β. Υπάρχει ένα ε, τέτοιο ώστε για κάθε δ, υπάρχει x στην ακρίβεια της μηχανής ώστε το ( x, g(x)) βρίσκεται στην... περιοχή. Ε6. Γράψτε την πρόταση Ε5β χρησιμοποιώντας μαθηματικές σχέσεις αντί για χρώματα. 12