ΤΑΞΗ: ΣΤ Δημοτικού ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Transcript

1 ΤΑΞΗ: ΣΤ Δημοτικού ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Στάδιο 1- Επιθυμητά Αποτελέσματα Στόχοι μαθήματος Οι μαθητές θα είναι ικανοί: 1. Nα περιγράφουν όλα τα δυνατά αποτελέσματα (δειγματικός χώρος) σε απλά πειράματα τύχης δύο σταδίων. 2. Να χαρακτηρίζουν ένα παιχνίδι τύχης ως δίκαιο- άδικο (τριών ή περισσότερων ενδεχομένων). 3. Να διερευνούν τα αποτελέσματα ενός πειράματος πραγματοποιώντας πολλές δοκιμές. 4. Να διερευνούν τη σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου κατά την επανάληψη ενός πειράματος. 5. Να συγκρίνουν ενδεχόμενα ως προς την πιθανότητα εμφάνισής τους (λιγότερο πιθανά, περισσότερο πιθανά, ισοπίθανα). Να εκτιμούν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου σε εύρος από αδύνατο ενδεχόμενο έως βέβαιο ενδεχόμενο και η μέση να αντιπροσωπεύει το ίδιο πιθανό να συμβεί όσο και το να μη συμβεί (50-50). 6. Να υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου χρησιμοποιώντας κλάσματα (πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων/πλήθος περιπτώσεων) και να τη συγκρίνουν με την σχετική συχνότητα των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την πραγματοποίηση ενός πειράματος. ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ(οι μαθητές θα πρέπει να γνωρίζουν): Να εκτελούν τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις. Να εκτελούν πράξεις μεταξύ των κλασμάτων. Την έννοια του συνόλου. Στάδιο 2- Αξιολόγηση Η δραστηριότητα παραμυθιού- γρίφου (Φύλλο εργασίας 7)χρησιμεύει ως τελική αξιολόγηση για τη θεωρία των πιθανοτήτων που έχουν διδαχθεί ενώ τα υπόλοιπα φύλλα εργασίας χρησιμεύουν ως διαμορφωτική αξιολόγηση.

2 Στάδιο 3- Μαθησιακό Σχέδιο Μαθησιακές Δραστηριότητες ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1: Σε αυτό το φύλλο εργασίας μέσω ενός παιχνιδιού(ρίψη ενός κέρματος), το οποίο είναι οικείο στα παιδιά, προσπαθούμε να τα εισάγουμε στις βασικές έννοιες των πιθανοτήτων που ακόμα δεν γνωρίζουν. Έτσι, οι μαθητές χρησιμοποιώντας τις εμπειρίες τους από την καθημερινή ζωή(βιώνοντας το γνωστό) θα μπορέσουν στη συνέχεια να οικοδομήσουν τη νέα γνώση.φυλλο ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2:Σε αυτό το φύλλο εργασίας παρουσιάζεται στους μαθητές μία δραστηριότητα χαμηλού επιπέδου, η οποία θα φανεί χρήσιμη για να τους εισάγει στη θεωρία και στην αντίστοιχη μαθηματική της έκφραση. Η δραστηριότητα αυτή συνδέεται με τον πρώτο στόχο.φυλλο ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2 ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΟΝΟΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ Όπως βλέπουμε στην δραστηριότητα 1 όσες φορές και αν στρίψουμε το νόμισμα δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα. Μια τέτοια διαδικασία ονομάζεται πείραμα τύχης. Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν κατά την εκτέλεση του πειράματος. Συνήθως, συμβολίζεται με Ω(π.χ. ο δειγματικός χώρος από τη ρίψη ενός ζαριού είναι Ω={1,2,3,4,5,6}). Ενδεχόμενο σε ένα πείραμα τύχης ονομάζεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία του ένα ή περισσότερα αποτελέσματα του πειράματος τύχης(π.χ. Α={1,3,5} το ενδεχόμενο να φέρω μονό αριθμό με τη ρίψη ενός ζαριού). Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω είναι το πηλίκο με αριθμητή τις ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίηση του ενδεχομένου(ν(α)) και παρανομαστή το συνολικό αριθμό των περιπτώσεων(ν(ω)). Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α συμβολίζεται με P(A) και παίρνει τιμές από 0 έως 1. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3:Σε αυτό το φύλλο εργασίας παρουσιάζεται στους μαθητές μια δραστηριότητα μετρίου επιπέδου, η οποία αποτελεί άμεση εφαρμογή της θεωρίας που δόθηκε. Επίσης, με τη συγκεκριμένη άσκηση γίνεται προσπάθεια οι μαθητές να εισαχθούν σε νέες έννοιες προκειμένου να εμπλουτίσουν τις γνώσεις τους για τις Πιθανότητες. Η δραστηριότητα αυτή συνδέεται με τον πρώτο, τον τέταρτο και τον πέμπτο στόχο.φυλλο ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΟΝΟΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ Βέβαιο ενδεχόμενο ονομάζεται ο δειγματικός χώρος Ω γιατί πραγματοποιείται σε κάθε εκτέλεση του πειράματος τύχης. Αδύνατο ενδεχόμενο είναι αυτό που δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του πειράματος τύχης( π.χ. κατά τη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο να έρθει 7 είναι αδύνατο.)

3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4:Σε αυτό το φύλλο εργασίας παρουσιάζεται μία δραστηριότητα υψηλότερου επιπέδου από τις προηγούμενες. Η δραστηριότητα αυτή βοηθάει στο να εφαρμόσουν οι μαθητές τη θεωρία που διδάχθηκαν όχι όμως μηχανιστικά εφαρμόζοντας απλά τους διάφορους τύπους αλλά χρησιμοποιώντας και την κριτική τους ικανότητα. Επιπλέον, στη συγκεκριμένη δραστηριότητα τα ερωτήματα κλιμακώνονται από το ευκολότερο στο δυσκολότερο.η δραστηριότητα αυτή συνδέεται με τον πρώτο, τον δεύτερο και τον τρίτο στόχο. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5:Σε αυτό το φύλλο εργασίας παρουσιάζεται μία δραστηριότητα υψηλού επιπέδου, βασισμένη στο Πρόγραμμα Σπουδών. Σε αυτή οι μαθητές καλούνται να καταγράψουν σε έναν πίνακα τα αποτελέσματα που εξάγονται και,στο τέλος, να δώσουν μια εξήγηση για το τελικό αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας τη λογική τους χωρίς να προσκολλώνται στους μαθηματικούς τύπους.η δραστηριότητα συνδέεται με τον πρώτο, τον τέταρτο και τον έκτο στόχο.φυλλο ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 6: Σε αυτό το φύλλο εργασίας παρουσιάζεται μία δραστηριότητα υψηλού επιπέδου, η οποία παρακινεί τους μαθητές, με τη βοήθεια της λογικής τους,κατά κύριο λόγο, να εξηγήσουν ένα γεγονός που παρατηρούν.η δραστηριότητα συνδέεται με τον πρώτο και τον τρίτο στόχο. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 6 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 7:Μέσα από ένα γρίφο- παραμύθι προσπαθούμε να αξιολογήσουμε έμμεσα τις γνώσεις που απέκτησαν οι μαθητές σχετικά με τις Πιθανότητες. Δημιουργώντας έτσι ένα ευχάριστο για τα παιδιά κλίμα και ξεφεύγοντας από τη χρήση διάφορων τεστ θα καταλάβουμε εάν πετύχαμε τους στόχους που είχαμε θέσει στην αρχή της διδασκαλίας μας ή αν χρειάζεται να τροποποιήσουμε κάποια δραστηριότητα προκειμένου να φτάσουμε στα επιθυμητά αποτελέσματα. Η δραστηριότητα αυτή συνδέεται με τον πρώτο, τον τρίτο και τον πέμπτο στόχο. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 7 Διάρκεια μαθήματος:4 διδακτικές ώρες

4 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 Οργανώνουμε στην τάξη ένα παιχνίδι με τους μαθητές μας. Έχουμε ένα κέρμα και χωρίζουμε τα παιδιά σε δύο ομάδες ζητώντας από την κάθε ομάδα να επιλέξει κορώνα ή γράμματα. Έπειτα, στρίβουμε το κέρμα προκειμένου να δούμε ποια θα είναι η νικήτρια ομάδα, η οποία θα έχει ως έπαθλο μια σοκολάτα. Μετά το τέλος του παιχνιδιού θα συζητήσουμε με τους μαθητές μας αναφορικά με το αποτέλεσμα. Πιο συγκεκριμένα, θα θέσουμε στους μαθητές τις εξής ερωτήσεις: 1) Πιστεύετε ότι η ομάδα που έχασε αδικήθηκε; 2) Πιστεύετε ότι από την αρχή του παιχνιδιού η ομάδα που κέρδισε είχε περισσότερες, λιγότερες ή τις ίδιες ευκαιρίες να κερδίσει σε σχέση με την άλλη ομάδα;

5 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2 Ο Γιάννης και η Μαρία παίζουν ένα επιτραπέζιο παιχνίδι στο οποίο χρησιμοποιούν ένα ζάρι. Mετά από αρκετή ώρα παιχνιδιού, ο Γιάννης βρίσκεται λίγο πριν από το τέρμα. Προκειμένου,λοιπόν, να είναι ο Γιάννης ο νικητής του παιχνιδιού, φθάνοντας πρώτος στο τέρμα, θα πρέπει με το που θα ρίξει το ζάρι να φέρει τον αριθμό 6. 1) Πόσες πιθανότητες θεωρείτε ότι έχει ο Γιάννης να φέρει με την πρώτη ζαριά τον αριθμό 6; 2) Ποια είναι όλα τα δυνατά αποτελέσματα που μπορούν να υπάρξουν ρίχνοντας το ζάρι; 3) Ποιο είναι το ενδεχόμενο ο Γιάννης ή η Μαρία να φέρουν στο ζάρι ζυγό αριθμό και ποιο να φέρουν μονό αριθμό; 4) Ποια είναι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο ο Γιάννης ή η Μαρία να φέρουν ζυγό αριθμό και ποια να φέρουν μονό; Μπορείτε να την εκφράσετε με κλάσμα;

6 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 Mια μέρα πηγαίνει ο Γιώργος σε έναν φίλο του με μια τράπουλα 52 φύλλων και του λέει: «Πάμε στοίχημα ότι το φύλλο που θα τραβήξω θα είναι άσσος;» Ο φίλος του τού απαντάει: «Θα πρέπει να είσαι πολύ τυχερός για να τα καταφέρεις, όμως!» Κατά τη γνώμη σας, θα μπορέσει ο Γιώργος να τραβήξει άσσο με την πρώτη όπως ισχυρίζεται; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποια είναι η πιθανότητα ο Γιώργος να μην τραβήξει άσσο; Θα θεωρούσατε δυνατό το ενδεχόμενο ο Γιώργος να τραβήξει ένα πράσινο φύλλο από την τράπουλα; Ποια χρώματα φύλλων μπορούμε να τραβήξουμε από μια τράπουλα; Αν ο Γιώργος έλεγε ότι θα τραβούσε 10 χαρτιά, ποια θα ήταν η πιθανότητα να τραβήξει άσσο;

7 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Η Κατερίνα και η Μαρία αποφασίζουν να παίξουν ένα παιχνίδι. Τοποθετούν 2 κόκκινες και 4 μπλε κορδέλες μέσα σε ένα κουτί. Η καθεμιά τραβάει από το κουτί μια κορδέλα χωρίς να κοιτάει και χωρίς να τις αντικαθιστούν. Η Μαρία κερδίζει αν οι 2 κορδέλες έχουν το ίδιο χρώμα και η Κατερίνα κερδίζει αν οι 2 κορδέλες έχουν διαφορετικό χρώμα. 1) Είναι το παιχνίδι δίκαιο; 2) Αν όχι, πόσες κορδέλες από το ίδιο χρώμα θα χρειάζονταν στο κουτί για να γίνει το παιχνίδι δίκαιο; 3) Υπάρχουν παραπάνω από έναν τρόποι για να γίνει το παιχνίδι δίκαιο;

8 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Α) Έχουμε δύο ίδια νομίσματα(π.χ. δύο των 20 λεπτών) και τα ρίχνουμε 50 φορές. Με τη ρίψη των νομισμάτων καταγράφουμε τις παρακάτω τρεις περιπτώσεις: Αν εμφανίζεται α) Κεφάλι και στα δύο, β) Γράμματα και στα δύο ή γ) διαφορετικές ενδείξεις και στα δύο νομίσματα. Ποια περίπτωση εμφανίστηκε τις περισσότερες φορές; Υπάρχει κάποια εξήγηση για αυτό; Β) Στη συνέχεια, εκτελούμε το ίδιο πείραμα αλλά με δύο διαφορετικά νομίσματα. Υπάρχουν ομοιότητες με πριν; Περιγράψτε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

9 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 6 Μπορούμε να σχηματίσουμε και τον αριθμό 9 και τον αριθμό 10 με δύο διαφορετικούς τρόπους προσθέτοντας ζευγάρια με τους αριθμούς 1,2.6. Μπορείτε να σκεφτείτε ποιοι είναι αυτοί οι συνδυασμοί; 9=.+.=.+. 10=.+.=.+.. Μπορείτε να εξηγήσετε το γεγονός ότι όταν ρίχνουμε δύο ζάρια είναι περισσότερο πιθανό να φέρουμε 9 παρά 10; Τι συμβαίνει τώρα αν έχουμε 3 ζάρια; Είναι περισσότερο πιθανό να φέρουμε 9 ή 10 έχοντας 3 ζάρια; Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας.

10 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 7 Ο βασιλιάς από ένα μακρινό βασίλειο προγραμμάτισε να παντρέψει τη μοναχοκόρη του με τον πρίγκιπα ενός γειτονικού βασιλείου. Όμως, η πριγκίπισσα είχε ήδη ερωτευτεί έναν γοητευτικό, έξυπνο αλλά,δυστυχώς, φτωχό αγρότη. Όταν ο βασιλιάς έμαθε για τη σχέση της κόρης του με τον αγρότη διέταξε να πετάξουν τον μνηστήρα στον λάκκο με τα λιοντάρια. Η πριγκίπισσα παρακάλεσε τον βασιλιά να δείξει έλεος κι εκείνος πρότεινε έναν συμβιβασμό. Ο εραστής της πριγκίπισσας θα περπατούσε μέσα σε ένα λαβύρινθο, στον οποίο το κάθε μονοπάτι οδηγούσε σε ένα από δύο δωμάτια. Στο ένα δωμάτιο βρισκόταν η πριγκίπισσα και στο άλλο ένα κοπάδι από πολύ πεινασμένα λιοντάρια. Αν ο αγρότης έμπαινε στο δωμάτιο όπου βρισκόταν η πριγκίπισσα τότε ο βασιλιάς θα του επέτρεπε να την παντρευτεί. Αν,όμως, έμπαινε στο άλλο δωμάτιο θα τον έτρωγαν τα λιοντάρια. Ο βασιλιάς έδειξε στην πριγκίπισσα έναν χάρτη με το λαβύρινθο προκειμένου να διαλέξει μόνη της σε ποιο δωμάτιο θα ήθελε να περιμένει στο Α ή στο Β. Δεν επιτρεπόταν να στείλει αντίγραφο του χάρτη στον εραστή της οπότε ήξερε ότι εκείνος θα πρέπει να μαντέψει ποιο μονοπάτι να ακολουθήσει. 1) Σε ποιο από τα δύο δωμάτια θα πρέπει να περιμένει η πριγκίπισσα προκειμένου να δώσει στον εραστή της την μεγαλύτερη ευκαιρία να την βρει; 2) Ποια είναι η πιθανότητα η ιστορία να έχει ευτυχισμένο τέλος; 3) Μπορείτε να σκεφτείτε ποιο είναι το αδύνατο ενδεχόμενο και ποιο το βέβαιο ενδεχόμενο που θα μπορούσε να έχει αυτή η ιστορία; Ο χάρτης του λαβυρίνθου δίνεται παρακάτω. Οι γραμμές αναπαριστάνουν τους διαδρόμους του λαβυρίνθου καθένας από τους οποίους καταλήγει σε μια πόρτα ενός δωματίου. Ο αγρότης δεν γνωρίζει την τύχη του μέχρι να ανοίξει την πόρτα κάποιου δωματίου και να μπει είτε στο δωμάτιο της αγαπημένης του είτε στο δωμάτιο με τα λιοντάρια. Επίσης, η πριγκίπισσα δεν μπορεί να τον ακούσει και να του ανοίξει την πόρτα.

11