Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Β Κύκλος (2015-2016) Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. ΦΑΣΜΑ Group Μαθητικό Φροντιστήριο Οι λύσεις θα αναρτηθούν μετά το πέρας των εξετάσεων στο site του φροντιστηρίου! Μάθημα: Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Καθηγητές: Ημερομηνία: 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 Ονοματεπώνυμο: Θέμα Α 25ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 210 50 20 990 & 210 50 27 990 25ης Μαρτίου 74 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 210 50 50 658 & 210 50 60 845 Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ 210 50 51 557 & 210 50 56 296 Πρωτεσιλάου 63 ΙΛΙΟΝ 210 26 32 505 & 210 26 32 507 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ ΦΑΣΜΑ Α1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα στο, και f f δείξτε ότι για κάθε αριθμό μεταξύ των f και f υπάρχει ένας τουλάχιστον x0, τέτοιος ώστε f x0. (Μονάδες 9) Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο, ; (Μονάδες 5),.Αν η f είναι συνεχής Α3. Να γράψετε τη γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. (Μονάδες 5) Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. i. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ii. Η εικόνα f ενός διαστήματος Δ μέσω μια συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. iii. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, με f 0 τότε είναι f x 0 για κάθε x,. g x iv. Αν lim f x 0 και lim g x τότε lim. xx0 xx 2 0 xx0 f x v. Οι γραφικές παραστάσεις C και Cτων συναρτήσεων f και ευθεία y x που διχοτομεί τις γωνίες x y και vi. Αν lim f x 0 τότε 0 xx0 f x κοντά στο x 0. x ' y. 1 f είναι συμμετρικές ως προς την (Μονάδες 6) Θέμα Β x, x 0 Δίνεται η συνάρτηση f με f x με,. 1 x 1, x 0 B1. Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής στο x0 0. (Μονάδες 6)
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Β Κύκλος (2015-2016) ΦΑΣΜΑ Group B2. Για 1 να βρείτε την τιμή του μ, ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο x0 0. (Μονάδες 6) B3. Για 1 και 2 i. Να αποδείξετε ότι για την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο 3 1, 2 και να 3 αποδείξετε ότι στο 1, υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της f με εξίσωση : 2 2 y. (Μονάδες 7) f ( x) x g( x) x ln x f x x για x 0. (Μονάδες 6) x e ii. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης Θέμα Γ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα [0, 3] που είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό και ισχύει 0 f (0) 3 : Γ1. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 3 x τετμημένη x0 0,3. 9 f ( p) 2 f ( x ) 3 f (1) 4 f (2) τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα μόνο σημείο με (Μονάδες 6) Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα p[0,3] ώστε 0 (Μονάδες 6) x Γ3. Αν ισχύει f (0) lim 1 x x και 2 2 f ( x) x 6 f ( x), να βρείτε το σύνολο τιμών της f. (Μονάδες 7) Γ4. Αν 0,3 1,3 Θέμα Δ f να υπολογίσετε το όριο 1 3 f (3 x) e lim x0 f ( x ) 1. (Μονάδες 6) 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : με f ( x) x x 1. Δ1. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το σύνολο τιμών της. (Μονάδες 4) 1 1 Δ2. Να δείξετε ότι : f ( x) f ( y) x y f ( x) f ( y) ά x,y (Μονάδες 5) Δ3. Να δείξετε ότι η f -1 είναι συνεχής στο. (Μονάδες 4) 1 1 f Δ4. ( x) Να υπολογίσετε τα όρια : lim f ( x), lim. (Μονάδες 6) x1 x1 x 1 Δ5. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (0, 1) : f 1 ( ) 2 0. (Μονάδες 6) «Είχα το σπάνιο προνόμιο να μπορέσω να ακολουθήσω ως ενήλικας το όνειρο που είχα όταν ήμουν παιδί. Εάν μπορείς να εργαστείς πάνω σε κάτι που σημαίνει τόσα πολλά για σένα είναι μια ανταμοιβή μεγαλύτερη από οτιδήποτε άλλο μπορεί να φανταστεί κανείς. Έχοντας επιτέλους λύσει το τελευταίο θεώρημα με κάνει να νιώθω λυπημένος κατά κάποιο τρόπο, όμως έχω επίγνωση ότι έχω καταφέρει κάτι εξαιρετικό και φυσικά αισθάνομαι απελευθερωμένος. Ήμουν τόσο παθιασμένος με το πρόβλημα που δεν έπαυα να σκέπτομαι για αυτό. Όταν ξυπνούσα το πρωί και όταν πήγαινα για ύπνο το βράδυ, χωρίς καμία διακοπή για οκτώ χρόνια. Αυτός είναι πολύ μεγάλος χρόνος για να σκέπτομαι μόνο ένα πράγμα. Αυτή η ιδιαίτερη Οδύσσεια έχει τελειώσει. Το μυαλό μου επιτέλους ξεκουράζεται.» Άντριου Τζον Γουάιλς, ο μαθηματικός που απέδειξε το διάσημο τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Οδηγίες: Στο διαγώνισμα αναγράφουμε μόνο τα στοιχεία. Απαντάμε όλα τα θέματα στο τετράδιο προσομοίωσης ΦΑΣΜΑ, με μόνο μπλε ή μόνο μαύρο στυλό που δεν σβήνει, σχήματα και διαγράμματα μπορούν να γίνουν με μολύβι. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες = 180 λεπτά. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!