Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα
ΘΕΜΑ 401 Δίνεται τρίγωνο ABC με AB AC. Πάνω στην βάση BC παίρνουμε σημείο D και πάνω στην πλευρά AC παίρνουμε το σημείο E έτσι ώστε η γωνία DAB να είναι ίση με το διπλάσιο της γωνίας CDE. Να αποδειχθεί ότι AD AE. ΘΕΜΑ 40 Δύο κύκλοι (O,R ),(O,R ) βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου. Να βρεθεί 1 1 α) Το μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει σημεία των κύκλων. β) Το μεγαλύτερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει σημεία των κύκλων. (Να γίνουν οι αποδείξεις). ΘΕΜΑ 403 Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί m,n τέτοιοι ώστε οι αριθμοί m n και n m να είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών. ΘΕΜΑ 404 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x,y για τους οποίους ισχύει ότι: x y a 4 και Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του x y a 3a 5, όπου και ο a είναι πραγματικός αριθμός. x y. ΘΕΜΑ 405 (Karanus) Εάν οι x,ψ,z πραγματικοί θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε x ψ z 3, να 3 1 ψ 1 z 1 x αποδείξετε ότι 3. (Αρχιμήδης 008) x ψ z Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3
ΘΕΜΑ 406 (Karanus) Να βρεθεί ο μέγιστος θετικός ακέραιος x για τον οποίο ο αριθμός 18 x A 4 8 700 είναι τετράγωνο ακεραίου αριθμού. ΘΕΜΑ 407 (Karanus) Αν x,ψ,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε x ψ z 5 να y yz z προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή της παράστασης A x x. z x y ΘΕΜΑ 408 Να βρείτε όλους τους ακεραίους n, για τους οποίους ο αριθμός είναι τετράγωνο ακεραίου. viewtopic.php?f=111&t=1878 011 USAJMO: http://www.artofproblemsolving.com/foru... &t=404350& n n n 1 011 ΘΕΜΑ 409 Να βρείτε όλους τους ακέραιους n για τους οποίους ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. n n n 11 1 13 ΘΕΜΑ 410 Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους c a b να δείξετε ότι 3 3 3 a b c 3abc (a b) c. ΘΕΜΑ 411 Αν a,b είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε 3a b και 3b a, να δείξετε ότι a b ( 3a b 3b a) 4 ab. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4
ΘΕΜΑ 41 Να βρείτε τον μικρότερο τετραψήφιο αριθμό n για τον οποίο το σύστημα 3 3 x y x y y x n x y x y n 1 ΘΕΜΑ 413 έχει ακέραια ρίζα. Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών (m,n)τέτοια ώστε τ (m) τ (n 15) 1 3τ (n 3n), όπου με τ(n) συμβολίζουμε το πλήθος των (θετικών) διαιρετών του φυσικού αριθμού n. ΘΕΜΑ 414 Τρείς μαθητές, οι A, B, συμμετέχουν σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό. Στο διαγωνισμό δόθηκαν για λύση 5 προβλήματα. Η μέγιστη βαθμολογία για κάθε πρόβλημα είναι θετικός ακέραιος αριθμός, διαφορετικός για κάθε πρόβλημα. Ο μαθητής A έλυσε πλήρως 4 από τα προβλήματα και συγκέντρωσε 1 βαθμούς, ενώ ο μαθητής B έλυσε πλήρως 3 προβλήματα και η συνολική του βαθμολογία ήταν βαθμοί. Αν ο μαθητής έλυσε πλήρως όλα τα προβλήματα, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της βαθμολογίας του. ΘΕΜΑ 415 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς n, όπου n ένας θετικός ακέραιος. Σε κάθε πλευρά θεωρούμε σημεία που τη διαιρούν σε n ίσα τμήματα. Χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία φέρουμε παράλληλες στις πλευρές του τριγώνου. Έστω c το n πλήθος των ρόμβων πλευράς 1, που σχηματίζονται. Να δείξετε ότι η μεγαλύτερη λύση της ανίσωσης c 009 είναι πρώτος αριθμός. n Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5
ΘΕΜΑ 416 Μπορούμε να χωρίσουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο σε 011 μικρότερα τρίγωνα χρησιμοποιώντας 1 ευθείες; ΘΕΜΑ 417 x y z Να δείξετε ότι 1, για όλους τους y yz z x xz z x xy y πραγματικούς αριθμούς x,ψ,z για τους οποίους ορίζονται τα κλάσματα. ΘΕΜΑ 418 Έστω m,n *. Αν ακεραίου, να δείξετε ότι m / 3n και ο αριθμός m 3n. n m είναι τέλειο τετράγωνο ΘΕΜΑ 419 Ένα σύνολο ακεραίων λέγεται καλό αν κανένα στοιχείο του δε διαιρεί το άθροισμα των υπολοίπων. Πόσα το πολύ στοιχεία έχει ένα καλό υποσύνολο του συνόλου {1,,3,...,63}; ΘΕΜΑ 40 Να εξετάσετε αν υπάρχουν ρητοί a,b,c,d τέτοιοι ώστε 1 3 (a b 3) (c d 3). ΘΕΜΑ 41 Να προσδιορίσετε τους ακεραίους x,ψ έτσι ώστε x y. 3 4 15 3 5 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6
ΘΕΜΑ 4 Μπορούμε να τοποθετήσουμε 011 σημεία στο επίπεδο έτσι ώστε: η απόσταση μεταξύ δύο οποιονδήποτε σημείων να είναι διαφορετική από 1 και κάθε μοναδιαίος κύκλος με κέντρο ένα από αυτά τα σημεία να αφήνει ακριβώς 1005 από αυτά τα σημεία στο εξωτερικό του; ΘΕΜΑ 43 Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο ΘΕΜΑ 44 n 7 n n 6 {x x, n 1,,...,01} ; Να βρείτε τις θετικές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης 3 (x y) (x y 6). ΘΕΜΑ 45 (Karanus) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί α και β για τους οποίους, αν ισχύει 000 000 1998 1998 α β α β,τότε θα ισχύει α β. (ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1999) ΘΕΜΑ 46 (Karanus) 4 3 Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί n ώστε η A n 4n 5n 6n να είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού. (ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1997) ΘΕΜΑ 47 (Karanus) Να εξετάσετε εάν μπορούμε να ξαναγράψουμε τους αριθμούς 1,,3,4,5,6,7,8,9,10 σε μία σειρά ώστε: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7
α) το άθροισμα οποιωνδήποτε τριών διαδοχικών αριθμών στη νέα σειρά,να μην υπερβαίνει το 16. β) το άθροισμα οποιωνδήποτε τριών διαδοχικών αριθμών στη νέα σειρά,να μην υπερβαίνει το 15. ΘΕΜΑ 48 Να λυθεί στο Ν το σύστημα: ΘΕΜΑ 49 x 7y 4z 10w 109. z y x 7 Έστω M ένα σύνολο θετικών ακεραίων τέτοιο ώστε: i) 1 M ii) Αν x M τότε x 3 M iii) Αν 4x 5 M τότε x M Να δείξετε ότι το M περιέχει 8 τουλάχιστον πρώτους και 8 τουλάχιστον σύνθετους αριθμούς. ΘΕΜΑ 430 Να βρείτε το n αν ισχύει 5 6 n 4 15 5.... 1 5 6 1 6 7 1 n 4 n 5 ΘΕΜΑ 431 (freyia) Υποθέτουμε ότι υπάρχουν τρεις πραγματικές συναρτήσεις f,g,h ορισμένες στο A για τις οποίες ισχύουν f(x)g(x) h (x),g(x)h(x) f (x),h(x)f(x) g (x), για κάθε x A. Να αποδείξετε ότι f(x) g(x) h(x). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8
ΘΕΜΑ 43 (gauss1988) Να εξετάσετε αν ο αριθμός 800 500 3 6 είναι πρώτος. ΘΕΜΑ 43β (Παύλος Μαραγκουδάκης) 5 5 5 Έστω A 181 18... 01. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του A με το 7. Ενισχύοντας την προσπάθεια του Θάνου να γίνουν κατανοητές οι λύσεις τέτοιου είδους ασκήσεων από μαθητές Γυμνασίου, να δώσω ένα είδος μεθοδολογίας για αυτές. Θα γράψω όλα όσα είναι απαραίτητα να γνωρίζουμε για τις ισοτιμίες: (α) Γράφουμε a b(modn) αν και μόνο αν ο φυσικός αριθμός n διαιρεί την διαφορά a b των ακεραίων a,b. (β) Αν a τότε a b(modn) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του b με τον n είναι u, u(modn). (γ), m N. m m a b(modn) a b (modn) (δ) a b(modn) aq bq(modn),q N. (ε) a b(modn),c d(modn) a c b d(modn) a c b d(modn) ac bd(modn) (στ) a b(modn) a k b k(modn) για κάθε k Z. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9
(ζ) Σε ασκήσεις τέτοιου είδους, όπου θέλουμε να βρούμε το υπόλοιπο της m διαίρεσης του a με το n, προσπαθούμε (αν αυτό είναι εφικτό), να καταλήξουμε σε ισοτιμία της μορφής: k a 0(modn) ή k a 1(modn) ή k a 1(modn). ΘΕΜΑ 433 (Παύλος Μαραγκουδάκης) α) Να βρεθεί η μεγαλύτερη δύναμη (100! 1 3... 99 100 ). k 7 που διαιρεί το 100! 100! β) Αν P, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το 7. k 7 ΘΕΜΑ 434 Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες (p,m,n) όπου p πρώτος και m,n μη αρνητικοί ακέραιοι, που είναι λύσεις της εξίσωσης m 3 p n 8. Ένα συγγενές θέμα (άσκηση 16) είδαμε εδώ: viewtopic.php?p=69084#p69084 ΘΕΜΑ 435 Να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης 4 4 4 4 x y 4z 8t 16xyzt. ΘΕΜΑ 436 Οι ρητοί αριθμοί x και y και ο περιττός θετικός ακέραιος n είναι τέτοιοι ώστε. Να δείξετε ότι x y. n n x x y y Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 10
ΘΕΜΑ 437 Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί p,q είναι τέτοιοι ώστε 1 1 1. Να δείξετε p q ότι 1 1 1 1 3 p(p 1) q(q 1). Ποια η ελάχιστη τιμή της παράστασης 1 1 ; p(p 1) q(q 1) ΘΕΜΑ 438 Διαθέτουμε 100 βαρίδια βάρους 1,,3,...,100 κιλών αντίστοιχα. Τοποθετούμε όλα τα παραπάνω βαρίδια σε ζυγαριά ώστε αυτή να ισορροπεί. Να δείξετε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε δύο βαρίδια από κάθε πλευρά της ζυγαριάς και αυτή να εξακολουθεί να ισορροπεί! ΘΕΜΑ 439 Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (m,n) τέτοια ώστε οι m n n m αριθμοί και να είναι ακέραιοι. n m m n ΘΕΜΑ 440 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με βάση BC. Έστω D σημείο της πλευράς AB, Mτο μέσον της BC και E σημείο της πλευράς AC έτσι ώστε να είναι MB DB EC. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα BDM, DEM, CEM είναι όμοια. ΘΕΜΑ 441 Θεωρούμε τραπέζιο ABCD με AD / /BC και AD BC. Έστω E το μέσο της διαγωνίου BD και F το ίχνος της καθέτου από το B στην AD. Να δείξετε ότι το τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν το συμμετρικό του A ως προς το F και το συμμετρικό του C ως προς το E συμπίπτουν. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 11
ΘΕΜΑ 44 Στις κάθετες πλευρές AB και AC ορθογωνίου τριγώνου ABC κατασκευάζουμε εξωτερικά τα τετράγωνα ABDE και ACFG. Αν DC AB {U}, BF AC {V}, UV BD {P}, UV CF {Q}, να δείξετε ότι DF PQ UV. ΘΕΜΑ 443 Το σημείο D είναι το μέσο της πλευράς AC τριγώνου ABC και οι DE, DF διχοτόμοι των γωνιών A DB, CDB ότι EF DM. αντίστοιχα. Αν EF DB {M} να δείξετε ΘΕΜΑ 444 α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός (Παύλος Μαραγκουδάκης) 007 5 13 A είναι ακέραιος. 3 β) Να βρείτε τα τελευταία ψηφία του αριθμού A. γ) Να βρείτε τα 7 τελευταία ψηφία του αριθμού 01 5. ΘΕΜΑ 445 Να βρεθούν οι τιμές των ακεραίων αριθμών x,y, που επαληθεύουν την εξίσωση: x y x y. ΘΕΜΑ 446 (vzf) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς a,b ισχύει ότι βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης 3 3 3 (x a) (x b) x 0. a b a b ab 4 να Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1
ΘΕΜΑ 447 (vzf) Αν οι αριθμοί x,y,z είναι τέτοιοι ώστε x 0,y 1 0,z 0 και x y z 3, να αποδείξετε ότι x(y 1) (y 1)(z ) x(z ) 3. x y 1 y z 3 x z Για ποιές τιμές των x,y,z ισχύει η ισότητα; ΘΕΜΑ 448 Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση 3 3 x y 4x 5y z 01. είναι η 405 viewtopic.php?f=109&t=15584&start=860 ΘΕΜΑ 449 Αν a,b,c 0 με a b c 3 να δείξετε ότι 3 3 3 a b c 3. b c a Πριν δώσω την αναλυτική απόδειξη, θα γράψω μια πολύ χρήσιμη ανισότητα (που αναφέρεται ως "Γενικευμένη ανισότητα του Andreescu" ) Αν a,a,...,a,b,b,...,b 0,m 1,0 r m 1, τότε: 1 n 1 n a a a (a a... a ) b b b n (b b... b ) m m m m 1 n 1 n... r r r mr1 r 1 n 1 n. a a 1 n H ισότητα ισχύει, όταν.... b b 1 n ΘΕΜΑ 450 Αν a,b,c 0 με 1 ab bc ca να δείξετε ότι 3 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 13
a b c 1. a bc 1 b ca 1 c ab 1 a b c Θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα Andreescu και την ταυτότητα του Euler H ανισότητα Andreescu έχει αναφερθεί προηγουμένως. Η ταυτότητα του Euler είναι η εξής: 3 3 3 a b c 3abc (a b c)(a b c ab ac bc) 1 (a b c)[(a b) (b c) (c a) ]. ΘΕΜΑ 451 006 Στον πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός 13. Σβήνουμε το τελευταίο του ψηφίο και στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε το τετραπλάσιο αυτού του ψηφίου. Μπορούμε επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία να πάρουμε τον αριθμό 13 006 ; ΘΕΜΑ 45 * Ένα μη κενό σύνολο A είναι τέτοιο ώστε για κάθε x Aνα υπάρχουν y,z A με y z έτσι ώστε x y z. α) Βρείτε ένα τέτοιο σύνολο με 01 στοιχεία. β) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός στοιχείων ενός τέτοιου συνόλου; ΘΕΜΑ 453 Αν n 1 ακέραιος και pπρώτος, τέτοιοι ώστε n / p 1 και ότι ο αριθμός 4p 3 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. 3 p / n 1 να δείξετε Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 14
ΘΕΜΑ 454 Αν a,b,c 0 με 1 1 1 a b c, να δείξετε ότι a b c b c a a b c 3. bc(b c) ca(c a) ab(a b) ΘΕΜΑ 455 Βρείτε το ελάχιστο της παράστασης a b 1. ΘΕΜΑ 456 1 1 1 a 1 b όπου a,b 0 με Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης 010 009 008 x 006 4y 4y 007y. ΘΕΜΑ 457 (vzf) Βρείτε τους x,y,u,v που ικανοποιούν το σύστημα των εξισώσεων: x 7y 3v 5u 16 8x 4y 6v u 16. x 6y 4v 8u 16 5x 3y 7v u 16 ΘΕΜΑ 458 (vzf) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης 5x 5xy 5y 7x 14y. ΘΕΜΑ 459 (vzf) Να αποδείξετε ότι αν p είναι ο n οστός πρώτος αριθμός, τότε ισχύει n (η ισότητα ισχύει μόνο για n 1). pn n 1 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 15
ΘΕΜΑ 460 (vzf) ax by (x y) Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις (x,y,z) του συστήματος: by cz (y z) cz ax (z x) με a,b,c δεδομένους θετικούς πραγματικούς αριθμούς. ΘΕΜΑ 461 (vzf) Έστω S ένα σύνολο με n στοιχεία ( n ) και έστω A,A,...,A υποσύνολα 1 m του S (m ). Αν για κάθε δύο διαφορετικά στοιχεία x,y S υπάρχει ένα υποσύνολο m n. A τέτοιο ώστε i x A και y A i i ή x A και y A, αποδείξτε ότι i i Είναι από βαλκανιάδες: 461. http://www.artofproblemsolving.com/foru... f#p49541 460. http://www.artofproblemsolving.com/foru... f#p8805. ΘΕΜΑ 46 (vzf) Έστω n θετικός ακέραιος. Δείξτε ότι ο n [( 3) ] είναι περιττός αριθμός. (Όπου με [x] συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού x ). ΘΕΜΑ 463 (freyia) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ακέραιο. 13 n n, διαιρείται με τον αριθμό 730, με n Mε αφορμή την ΑΣΚΗΣΗ 463 και την λύση που έδωσε ο Θάνος, θα γράψω το θεώρημα του Fermat, ώστε να μπορούμε πλέον να το χρησιμοποιούμε. *********************************************************** Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 16
ΜΙΚΡΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FERMAT Αν pπρώτος, a Z και (a,p) 1 τότε: a 1(modp). p 1 *********************************************************** Άμεση συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι το εξής: Αν pπρώτος και a Z τότε p a a(modp). *********************************************************** Για παράδειγμα: 13 13 a a(mod13) a a πολ13. Για εξοικείωση με το θεώρημα του Fermat, δίνονται οι παρακάτω ασκήσεις: ΘΕΜΑ 464 Δείξτε ότι: 17 17 17 17 1 3... 17 διαιρείται με το 17. Λύση: Νομίζω ότι η συγκεκριμένη άσκηση λύνεται απλούστερα χωρίς το θεώρημα n n Fermat, παρά μόνο με χρήση της ιδιότητας (a b) / (a b ) όταν n είναι περιττός φυσικός. Πράγματι, το 17 διαιρεί όλα τα αθροίσματα 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 1 16, 15, 3 14, 4 13, 5 1, 6 11, 7 10, 8 9 και φυσικά διαιρεί και το Β τρόπος 17 17. Με Fermat, γράφω την λύση για εξοικείωση με το θεώρημα αυτό: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 17
17 1 1(mod17) 17 (mod17)..... 17 17 17(mod17) Mε πρόσθεση, έχουμε: 17 17 17 1... 17 1... 17(mod17) 917(mod17) πολ17. ΘΕΜΑ 465 Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Από το μικρό θεώρημα του Fermat : Λύση: 7 1 με το 73 είναι 1. 73 1 7 1 1(mod73) 1 1(mod73). Επομένως το υπόλοιπο είναι 1. ΘΕΜΑ 466 Δείξτε ότι ο αριθμός 5 3 9a 10a 4a διαιρείται με το 15 για κάθε Λύση: a * N. Θα αποδείξουμε ότι η παράσταση διαιρείται από τους 3 και 5, οπότε, επειδή είναι πρώτοι μεταξύ τους, θα διαιρείται και από το γινόμενό τους, που είναι το 15. Από το θεώρημα του Fermat είναι 5 a a(mod5) και 3 a a(mod 3). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 18
Δουλεύοντας mod3 έχουμε : 5 3 5 5 5 9a 10a 4a 9a 10a 4a 9a 6a 3(3a a) 0(mod 3). Δουλεύοντας mod5 έχουμε 5 3 3 3 3 9a 10a 4a 9a 10a 4a 5a 10a 5(a a ) 0(mod5). Τελειώσαμε. Β τρόπος 5 3 5 3 3 9a 10a 4a 3(3a 3a a) a a 5 3 3(3a 3a a) (a 1)a(a 1) πoλ3. (*) το γινόμενο 3 διαδοχικών ακεραίων (a 1)a(a 1) πoλ3. 5 3 5 3 5 3 3 9a 10a 4a 10a 10a 5a [(a 5a 4a) (5a 5a)] 5 3 3 5(a a a) (a )(a 1)a(a 1)(a ) 5(a a) πoλ5. (**) το γινόμενο 5 διαδοχικών ακεραίων (a )(a 1)a(a 1)(a ) πoλ5. και 3, 5 πρώτοι μεταξύ τους οπότε προκύπτει το ζητούμενο. ΘΕΜΑ 467 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού Λύση: 4n 5 10 με το 13. Επειδή οι αριθμοί 10,13 είναι πρώτοι μεταξύ τους, από το θεώρημα Fermat 1 4n 4n5 5 ισχύει 10 1(mod13) 10 1(mod13) 10 10 ( mod13). Εκτελώντας τη διαίρεση 10000:13 βρίσκουμε υπόλοιπο 3, το οποίο είναι και το ζητούμενο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 19
ΘΕΜΑ 468 Αν p,q είναι δύο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, να αποδείξετε ότι: q1 p1 p q 1(modpq). Λύση: Επειδή οι p,q είναι διαφορετικοί πρώτοι, είναι πρώτοι μεταξύ τους. Άρα, από το θεώρημα Fermat έχουμε p 1(modq) και ισχύει προφανώς q 1 q 0(modq), p 1 άρα q1 p1 p q 1(modq) (1). Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο προκύπτει και q1 p1 p q 1(modp) (). Επειδή οι p,q είναι διαφορετικοί πρώτοι, είναι πρώτοι μεταξύ τους, οπότε q1 p1 p q 1(modpq). ΘΕΜΑ 469 Να εξετάσετε αν υπάρχει πρώτος αριθμός pτέτοιος ώστε να είναι: Λύση: Ο μοναδικός πρώτος με αυτή την ιδιότητα είναι ο 5. Πράγματι, από το θεώρημα Fermat είναι p 3(modp) 3(modp) p 5 p 5. p (modp) οπότε ισχύει p p 3. ΘΕΜΑ 470 Να αποδείξετε ότι το κλάσμα n 3 n 4 n 3n 1 είναι ανάγωγο, για κάθε ακέραιο n. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 0
ΘΕΜΑ 471 Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι n, για τους οποίους ο αριθμός 3 A n (n 4) n(7n 10) 10, να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. ΘΕΜΑ 47 Βρείτε τις μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 3 3 x 7x 35x 7 y. ΘΕΜΑ 473 Αν x,y,z διαδοχικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε 1 1 1 1 να βρείτε το βρείτε x y z 45 το μέγιστο του x y z. ΘΕΜΑ 474 Αν x,y θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε (1 x)(1 y) να δείξετε ότι 1 xy 6. xy ΘΕΜΑ 475 Έστω x,y,z μη αρνητικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε xy yz zx 0. Να δείξετε ότι x y y z y z z x z x x y x y z 5. y z x y z x y z x y z x xy yz zx Πότε ισχύει η ισότητα; ΘΕΜΑ 476 Αν a,b,c θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι 5a 5c 8b 8(a b) (b c) (c a) 4ac (abc) 3 9. cyc Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1
Μια λύση: http://www.artofproblemsolving.com/foru... b#p5051. ΘΕΜΑ 477 Αν οι ακέραιοι x,y,z είναι τέτοιοι ώστε 3 3 3 x y z 0 να δείξετε ότι 3 / xyz. ΘΕΜΑ 478 Να λυθεί το σύστημα x y y y x x 3 3. ΘΕΜΑ 479 Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους a,b για τους οποίους a(a b) 1 / (a b)(b 1) 1. ΘΕΜΑ 480 (α) Αν οι αριθμοί x y και οι x,y ρητοί; x y όπου x,y είναι ρητοί είναι υποχρεωτικά (β) Αν οι αριθμοί x y, x y και υποχρεωτικά οι x,y ρητοί; ΘΕΜΑ 481 x 3 y όπου x,y είναι ρητοί είναι Αν 1 x1 n και n n 1 1 y1 n να συγκρίνετε τους αριθμούς y x x,y. ΘΕΜΑ 48 Να δείξετε ότι 4 4 3 3 (a a b b ) 3(a b ab ), a,b. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα
ΘΕΜΑ 483 Έστω S υποσύνολο του A {1,, 3,...,9} τέτοιο ώστε να μην υπάρχουν δύο ίσα αθροίσματα a b, a,bs, a b. Πόσα το πολύ στοιχεία έχει το S ; http://www.artofproblemsolving.com/foru... 6b#p479091. ΘΕΜΑ 484 Έστω a b θετικοί ακέραιοι ίδιας αρτιότητας. Δείξτε ότι η εξίσωση x (a a 1)(x b 1) (b 1) 0 έχει θετικές ακέραιες ρίζες καμία από τις οποίες δεν είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. ΘΕΜΑ 485 Οι θετικοί αριθμοί x,y,z είναι τέτοιοι ώστε 3 3 3 x yz y zx z xy (x y z). Να δείξετε ότι x y z 6. ΘΕΜΑ 486 Θεωρούμε τραπέζιο ABCD με AD / /BC τέτοιο ώστε AB AD BC. Να δείξετε ότι η διχοτόμος της A διχοτομεί την πλευρά CD. ΘΕΜΑ 487 a a b b c c Να δείξετε ότι 3( a b c), για όλους τους bc ca ab θετικούς αριθμούς a,b,c με ab bc ca 1. ΘΕΜΑ 488 Να δείξετε ότι αριθμούς a,b,c με 3 3 3 a b c 3 b c c a a b 1 3 a b c 1., για όλους τους θετικούς Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3
ΘΕΜΑ 489 Να δείξετε ότι 1 cyc a 3. cyc a 1 6 για όλους τους θετικούς αριθμούς a,b,c με a a 1 Λύση: Είναι από την x y xy. a 1 a a 1 a a ( ) a a 1 a. a a 1 a a 1 a a 1 Αρκεί τώρα, να αποδειχθεί ότι a b c 3. Όμως, από την ανισότητα ΑΜ ΓΜ είναι 6 a b c 3 abc 3, αφού abc 1. Αυτό συμβαίνει επειδή πάλι από την ΑΜ ΓΜ έχουμε 1 1 1 1 3 3 abc 1. 3 a b c abc ΘΕΜΑ 490 Να δείξετε ότι x y z a b c xy yz zx για όλους τους θετικούς αριθμούς a,b,c,x,y,z με a b c 3. Πάλι Cauchy-Schwarz: Είναι Λύση: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4
x y z ( x y z ) ( x y z ) xy yz zx, a b c a b c 3 όπου έγινε χρήση της a b c 3(a b c ) και της (a b c) 3(ab bc ca) για a x κ.τ.λ. ΘΕΜΑ 491 Να δείξετε ότι για όλους τους θετικούς αριθμούς a,b,c ab bc ac a c a b b c (a b ) c (b c ) a (c a ) b 0. Καταρχήν λόγω της ab(a b ) a b Οι τριάδες ab(a b) Λύση: (a b ) (a b) παίρνουμε ότι (1). (a,b,c), (a b,a c,b c ), (ab,ac,bc) έχουν την ίδια διάταξη συνεπώς το ίδιο συμβαίνει και με τις τριάδες (a,b,c), (ab(a b ), ac(a c ),bc(b c )), άρα τελικά οι τριάδες (ab(a b ),ac(a c ),bc(b c )) και αντίθετη διάταξη. Συνεπώς από την ανισότητα της αναδιάταξης παίρνουμε: 1 1 1,, a b a c b c έχουν ab(a b ) ac(a c ) bc(b c ) ab(a b ) a c b c a b a b Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5
(1) ac(a c ) bc(b c ) ab(a b) ac(a c) bc(b c) a c b c c(a b ) b(a c ) a(b c ), που είναι η ζητούμενη.. ΘΕΜΑ 49 Έστω x,y με x y 1. Βρείτε το ελάχιστο του * 1 1 x y x y. ΘΕΜΑ 493 (a) Βρείτε μια λύση της εξίσωσης (b) Δείξτε ότι η εξίσωση x y 1010 στο σύνολο των ακεραίων. x y 1000 10z έχει άπειρες ακέραιες λύσεις. Είναι από εδώ: http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=38&t=571&start=0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Θα προσπαθήσω να εξηγήσω εδώ ποιοί θετικοί ακέραιοι γράφονται σαν άθροισμα δύο ακέραιων τετραγώνων και με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό. Το πρώτο λήμμα είναι αρκετά απλό και η απόδειξή του αφήνεται στον αναγνώστη. Λήμμα 1: Αν n 3(mod4) τότε ο n δεν μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα δύο τετραγώνων. Το επόμενο λήμμα μάλλον είναι γνωστό σε αρκετούς. Μια απόδειξή του βασίζεται σε τετραγωνικά ισοϋπόλοιπα για τα οποία ίσως να μιλήσουμε άλλη φορά. Λήμμα : Αν p 3(mod4) πρώτος και p / m n, τότε p / m και p / n. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6
(Άρα p / m n.) Πόρισμα 3: Αν ο αριθμός n γράφεται σαν άθροισμα δύο τετραγώνων, και k p 3(mod4) πρώτος που διαιρεί τον n τότε υπάρχει k ώστε ο p διαιρεί τον n αλλά ο k 1 p δεν τον διαιρεί. Η απόδειξη είναι σχετικά εύκολη και αφήνεται στον αναγνώστη. Θα δούμε σε λίγο ότι ισχύει και το αντίστροφο. Για αρχή Θεώρημα 4 (Fermat): Κάθε πρώτος της μορφής p γραφτεί σαν άθροισμα δύο τετραγώνων Μπορείτε να βρείτε αρκετές αποδείξεις εδώ. 1(mod4) μπορεί να Παρατήρηση 5: Αν ο n και ο m μπορούν να γραφούν σαν αθροίσματα δύο τετραγώνων (επιτρέπουμε την χρησιμοποίηση του 0), τότε το ίδιο ισχύει και για τον n m. Η απόδειξη υπάρχει και στο παραπάνω link, αλλά την βάζω διότι είναι σύντομη, εξαιρετικά όμορφη και θα χρησιμεύσει αργότερα. Απόδειξη: Αν n b και m c d τότε nm ( c bd) (ad bc). Επειδή ο γράφεται σαν άθροισμα δύο τετραγώνων, και κάθε τετράγωνο γράφεται σαν άθροισμα δύο τετραγώνων έχουμε : Θεώρημα 6: Ο αριθμός n γράφεται σαν άθροισμα δύο τετραγώνων αν και μόνο αν όλοι οι διαιρέτες του της μορφής p 3(mod4) βρίσκονται σε άρτια δύναμη στην παραγοντοποίηση του n. Τώρα ξέρουμε ποιοί αριθμοί γράφονται σαν άθροισμα δύο τετραγώνων αλλά με Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7
πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό; Θεώρημα 4β: Κάθε πρώτος της μορφής p μοναδικό τρόπο σαν άθροισμα δύο τετραγώνων. 1(mod4) μπορεί να γραφτεί με Για παράδειγμα, ο μόνος τρόπος να γράψουμε το 1997 ως άθροισμα δύο τετραγώνων είναι 1997 34 9. Το 1997 που μας απασχόλησε σε άλλη άσκηση μπορεί να γραφτεί σαν 1997 (1 1 ) (9 34 ) (9 34 ) και χρησιμοποιώντας τον τύπο στην απόδειξη της παρατήρησης 5 βρίσκουμε 1997 (1 1 ) (9 34 ) (9 34 ) (1 1 ) (1997 0 ) 1997 1997 1997 (1 1 ) (9 34 ) (9 34 ) (1 1 ) (197 315 ) 87 1657. Το θεώρημα λέει πως αν δουλέψουμε όπως πιο πάνω τότε μπορούμε να βρούμε όλους τους τρόπους που γράφεται ένας αριθμός σαν άθροισμα δύο τετραγώνων. (Δεν είμαι σίγουρος αν αυτό το θεώρημα είναι του Gauss ή όχι. Μπορεί όμως να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας Gaussian integers.) Μπορεί κάποιος να μετρήσει με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό αλλά είναι λίγο πολύπλοκο και θέλει αρκετή προσοχή. (Για παράδειγμα, στην άσκηση που μας ενδιέφερε είχα πει πως γίνεται με τρεις τρόπους επειδή μετρούσα το 1997 1997 μία φορά και το 87 1657 δύο φορές.) ΘΕΜΑ 494 Έστω a,b,c,d με a b 1. Δείξτε ότι (1 bd) (a b 1)(c d 1). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8
ΘΕΜΑ 495 (sokratis lyras) Έστω η ακολουθία a με n δείξετε ότι a c n a a,a b,c 0,a και 1 n1 ab 0. Nα a a b c n1 a Z a,b, Z για κάθε i N. i ab Πρόκειται για το Πρόβλημα 3 της Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας του 1986. ΘΕΜΑ 496 Λύστε στους πρώτους την εξίσωση p q r s t. ΘΕΜΑ 497 Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους που είναι ίσοι με 300 φορές το άθροισμα των ψηφίων τους. ΘΕΜΑ 498 Υπάρχουν ακέραιοι 0 a b c, τέτοιοι ώστε 1 1 1 1 b a c b a c ; ΘΕΜΑ 499 Να λυθεί η εξίσωση 1 1 1 1 1. a b [a,b] (a,b) ΘΕΜΑ 500 Αν οι διαφορετικοί ανά δύο και μη μηδενικοί αριθμοί a,b,c,d είναι τέτοιοι ώστε ac bd και a b c d 4, να βρείτε το μέγιστο του a c b d. b c d a c a d b http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=19&t=3394 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9