( ) ( ) ( ) Παγκόσμιο χωριό γνώσης. 13 ο ΜΑΘΗΜΑ. 3.6. Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων: Τετραγωνικής ρίζας: = g 2 g. Δύναμης α : Εκθετικής με βάση α



Σχετικά έγγραφα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής. Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους:

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ. (Τύπος Β) Για έργα που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18/ΕΚ και 2004/17/ΕΚ

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. Από το υπ' αριθμ. 17/ Πρακτικό της Οικονομικής Επιτροπής Ιονίων Νήσων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν. Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΜΟΝΑΔΩΝ Α ΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ:

ΟΙ ΕΜΦΥΛΙΕΣ ΔΙΑΜΑΧΕΣ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΙΣ

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Α Μ Ο Ι Β Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Σ Ε Ω Ν

Αξιολόγηση των Επιδράσεων του Σχεδίου Τοποθέτησης Άνεργων Νέων Αποφοίτων Γυμνασίων, Λυκείων, Τεχνικών Σχολών και Μεταλυκειακής Εκπαίδευσης μέχρι και

ΚέντροΠεριβαλλοντικήςΕκπαίδευσης Σουφλίου. Πρόγραμμα: Διαχείρισηαπορριμμάτων-Ανακύκλωση

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΡ. 44/2014 ΔΙΕΘΝΗ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΔΗΜΟΣΙΟΥ

ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ: ΜΑΝΤΕΙΟ ΤΡΟΦΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΘΗΒΑ»

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΑΠΟΦΑΣΙΖΕΙ: Υποψηφιότητα για τη θέση του Προέδρου μπορούν να υποβάλουν Καθηγητές Πρώτης Βαθμίδας ή Αναπληρωτές Καθηγητές.

ΕΘΝΙΚΗ ΣΥΝΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ 42, ΑΘΗΝΑ

ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Εκλογικών

Δ Ι Η Μ Ε Ρ Ι Δ Α Μ Ε Α Φ Ο Ρ Μ Η Τ Η Ν Ε Ο Ρ Τ Η Τ Ω Ν Τ Ρ Ι Ω Ν Ι Ε Ρ Α Ρ Χ Ω Ν

VESTA40 [ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ, ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ] Το εγχειρίδιο οδηγιών χρήσης αποτελεί αναπόσπαστο μέρος του προϊόντος


ΠΤΤΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ

Ι Ο Υ Ν Ι Ο Σ

ΘΕΜΑ: "ΕΦ Α ΡΜ ΟΓΕΣ Τ Η Σ Σ Τ Α Τ ΙΣ Τ ΙΚ Η Σ ΣΤΟ ΕΜ ΠΟΡΙΟ"

ΑΝΥΨΩΤΙΚΑ ΜΗΧΑΝΗΜΑΤΑ

«ΑΣΦΑΛΤΟΣΤΡΩΣΗ ΑΓΡΟΤΙΚΟΥ ΔΡΟΜΟΥ ΕΝΤΟΣ ΑΝΑΔΑΣΜΟΥ ΛΑΨΙΣΤΑΣ»

ΠΡΟΣ : τον ΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΥΠΟΜΕΔΙ) ΥΦΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ. Γεν. Γραμματέα ΔΗΜ.

ΑΔΑ: 6Ψ8Μ9-ΩΙΕ. ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Βαθμός Ασφαλείας : Να διατηρηθεί μέχρι : Μαρούσι, Αρ. Πρωτ /Δ2

ΘΕΜΑ : Κώδικας Ορθής Γεωργικής Πρακτικής για την Προστασία των Νερών από τη Νιτρορύπανση Γεωργικής Προέλευσης.

Αθήνα, 4 Φεβρουαρίου 2013 Αριθ. πρωτ.: 130

Αρ. Πρωτ. Δήμου Ιλίου:43618/ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ

Τεύχος 3ο Δεκέμβριος Περιοδική έκδοση των μαθητών του 6ου Δημοτικού Σχολείου Π. Φαλήρου

Ο ΔΗΜΟΣ ΧΑΝΙΩΝ. ε π α ν α π ρ ο κ η ρ ύ σ ε ι. την με ανοικτό δημόσιο μειοδοτικό διαγωνισμό επιλογή αναδόχου για την υπηρεσία:

ΑΠΡΟΔΙΟΡΙΣΕ ΜΟΡΥΕ - ΑΤΜΠΣΩΣΕ. Aπροςδιόριςτεσ μορφϋσ Αςύμπτωτεσ

συγκρότηση επιτροπών: α) Διενέργειας & Αξιολόγησης ψήφισαν οι Δημοτικοί Προμηθειών, β) Παραλαβής Προμηθειών (Ορθή Σύμβουλοι κ.

έχουν απομάκρυνση ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχαν αν οι δύο παλμοί

θ α ν ά σ η ς τ ρ ι α ρ ί δ η ς Lacrimosa ή τ ο α π έ π ρ ω τ Σ χ ι σ μ ή γ ι α δ ύ ο π ρ ό σ ω π α σ ε δ υ ο π ρ ά ξ ε ι ς

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ. (Τύπος Β) Για έργα που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18 και 2004/17

ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΔΕΛΤΙΟ ΤΟΥ ΙΑΤΡΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ 2014 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΣΧΟΛΙΚΟ ΈΤΟΣ: )

15PROC

15PROC

ΑΔΑ: ΒΛΠΠΩΚΥ-ΕΤΗ ANΑΡΤΗΤΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΗΜ. ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Η ΔΗΜΑΡΧΟΣ ΣΟΥΛΙΟΥ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ. Πέµπτη 31 Ιανουαρίου 2013

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ο. Τετάρτη 8 Ιουλίου 2015

15PROC

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΚΣΤ. Τετάρτη 4 Μαΐου 2011

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

Ε.Π. ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ, (ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ) ΜΕΤΡΟ 2.5, ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2.5.1, ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ α

14PROC

ΥΠOΥΡΓΕΙO ΠΑΙΔΕΙΑΣ KAI ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ. (Τύπος Β) Για έργα που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18 και 2004/17

ΠΡΟΧΕΙΡΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

ΑΡΙΘΜΟΣ 0501/ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΠΙΧΟΡΗΓΗΣΗΣ Ι.ΝΕ.ΔΙ.ΒΙ.Μ. - ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΣΚΟΠΕΛΟΥ

Ε Υ Α Ρ ΤΕΥΧΟΣ 4 ΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Υ ΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΗΜΟΥ ΡΟ ΟΥ ,00 (χωρίς το Φ.Π.Α.) ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΝ ΕΣΕΩΝ ΙΚΤΥΟΥ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΡΓΟΥ:

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΣ 2014 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΛΒ Πέµπτη 4 Σεπτεµβρίου 2014

ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Ε Φ Υ Μ Ν Ι O N. Παρατίθενται γνώµες και απόψεις. σχετικές µε το έργο του Πρωτοψάλτη, οράρχη και κδότη βιβλίων. κκλησιαστικής ουσικής

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΦΟ(ΡΟΛΟΤΙΛ. 2ίΩΦΈΩ9{οί Τ 09^% βΰ^ή :Λ ^Χ Ω ΰ^ ^ Χ 0 β!κ 2 Ι0 ΐχ Κ ^ ^ Σ. ΟΐχΟΤίΟΜΙΛ'Σ

ΑΡΙΘΜΟΣ 0769/ ΣΥΜΒΑΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗΣ Ι.ΝΕ.ΔΙ.ΒΙ.Μ. - ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΣΧΟΛΕΙΩΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΠΑΤΡΕΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΗΛΩΣΕΙΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ. 3 ΕΚΘΕΣΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ 2013

16PROC

ΑΠΟΦΑΣΗ Ο ΥΦΥΠΟΥΡΓΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ

ΕΡΓΟ: ΕΠIΣΚΕΥΕΣ ΣΥΝΤΗΡΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΔΟΤΗΣΕΙΣ Η/Μ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΟΙΝΟΧΡΗΣΤΩΝ ΧΩΡΩΝ ΕΤΟΥΣ 2015

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ ΓΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΗΜΗ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ

: ( : /18/ 2004/17/ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

Συµβουλεύοµαι το κρυπτογραφικό αλφάβητο της Φιλικής Εταιρείας και. Ελευθερία ή Θάνατος. γ35343 ωβη3οω3η

Οι στρατηγικές πολιτικές (διπλωµατικές) αρετές του Αγησιλάου (3 διδακτικές ώρες)

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΜ. Πέµπτη 7 Μαρτίου 2013

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Κ Α Τ Α Τ Α Ξ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Μ Ε Ρ Ι Κ Η Σ Α Π Α Σ Χ Ο Λ Η Σ Η Σ (Α.Π. ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗΣ 21809/ )

Παραμύθια: μια απόπειρα Δημιουργικής Γραφής στο Δημοτικό Σχολείο

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ. (Τύπος Α) Για έργα που εμπίπτουν λόγω προϋπολογισμού 1 στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18 και 2004/17.

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ. Ως Ειδικός Γραμματέας παραβρέθηκε ο υπάλληλος κ. Λουκάς Στραβόλαιμος.

Τεύχος 21 Μάιος - Ιούλιος Υπέρλαμπρα Αστέρια. K ω π η λ α τ ι κ ά ν έ α

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Ο ρ ι σ μ ό ς

9.1. ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΚΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ


ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ. (Τύπος Β) Για έργα που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18 και 2004/171

Π Ρ Ο Κ Η Ρ Υ Ξ Η Ο ΑΡΧΗΓΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΣΤΥΝΟΜΙΑΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ε. Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ- ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ

ΑΡΙΘΜΟΣ 0540/ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΠΙΧΟΡΗΓΗΣΗΣ Ι.ΝΕ.ΔΙ.ΒΙ.Μ. - ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΒΟΛΟΥ

Α Π Ο Φ Α Σ Η Ο ΥΠΟΥΡΓΟΣ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΤΡΟΦΙΜΩΝ

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. ΗΜΟΣ ΙΟΝΥΣΟΥ Οικονοµική Επιτροπή Ταχ. /νση: Λ. Μαραθώνος 29 & Αθ. ιάκου 01 Άγιος Στέφανος..Αριθ. Απόφασης:..240/2015..

ΑΡΙΘΜΟΣ 0555/ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΠΙΧΟΡΗΓΗΣΗΣ Ι.ΝΕ.ΔΙ.ΒΙ.Μ. - ΕΝΙΑΙΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΧΙΟΥ

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ. (Τύπος Β) Για έργα που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18 και 2004/17

γ ρ α π τ ή ε ξ έ τ α σ η σ τ o μ ά θ η μ α Ν Ε Ο Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές:

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ]Β. Πέµπτη 20 Φεβρουαρίου 2014

ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΙΔΩΝ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ-ΕΥΠΡΕΠΙΣΜΟΥ & ΣΑΚΩΝ ΑΠΟΡ/ΤΩΝ ΕΤΟΥΣ 2015 ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ & ΤΩΝ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ

Πτυχιακή Εργασία. <<Η Ενιαία Φορολογική Πολιτική στην Ευρωπαϊκή Ένωση>> Επιβλέπων Καθηγητης : Παρχαρίδης Βασίλης. Φοιτήτρια :Μαρινέλη Ξανθή

ΤΑΚΤΙΚΗΣ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΛΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΑΜΕΙΟΥ ΧΑΝΙΩΝ

ΔΗΜΟΣ ΝΟΤΙΑΣ ΚΥΝΟΥΡΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟ ΩΝ 1. ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ και ΕΙΣΠΡΑΞΗΣ ΗΜΟΣΙΩΝ

Σ Χ Ο Λ Η :Δ ΙΟ ΙΚ Η Σ Η Σ Κ Α Ι Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΑ Σ ΤΜ Η Μ Α : Λ Ο Γ ΙΣ Τ ΙΚ Η Σ. ιιιιιιι. Θέμα: Συναλλαγματική Γραμμάτιο εις Δ ια ταγήν Επιταγή

ΕΚΛΟΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΑ ΨΗΦΟΦΟΡΙΑΣ ΒΟΥΛΕΥΤΙΚΩΝ ΕΚΛΟΓΩΝ ΤΗΣ 6 ης ΜΑΪΟΥ 2012

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩN ΤΜΗΜΑ ΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2009 ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΣΤ Τρίτη 23 Ιουνίου 2009

5. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Δ Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Σ, Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι Κ Η Σ Α Σ Φ Α Λ Ι Σ Η Σ & Π Ρ Ο Ν Ο Ι Α Σ ΣΥΜΒΑΣΗ

Transcript:

13 ΜΑΘΗΜΑ 3.6. Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων: Τετραγωνικής ρίζας: ( g ) = g g, g > 0 Δύναμης α : Εκθετικής με βάση e: * Εκθετικής με βάση α { 1} Λγαριθμικών: = α α α 1 e = e α =α nα n =, > 0 ( ) α> 0, α 1 Τριγωνμετρικών: lgα =, > 0 nα ημ = συν συν = ημ συν σφ = = 1+ σφ ημ ( εφ ) = = ( 1+ εφ ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 19

Εκθετικών: Για τη συνάρτηση: έχω: 5x 6 ( 5x 6) n( 3x 1) 3x + 1 = e = e + + + ω ( ) 5x+ 6 ω ( 5x+ 6 + = ω = + ) ( + ) + ( + ) 6x 3x 1 e 3x 1 5 n 3x 1 5x 6 3x + 1 Παράδειγμα: Η παράγωγς της συνάρτησης: 3 x αν x > 3 (x) = ( x ) = x 3 = 0 αν x = ( x) 3 αν x< είναι: 1 1 ( x ) 3. ( x ) = ( x ) 3 αν x > 3 3 (x) = 1 1 ( x ) 3. ( x) = ( x) 3 αν x< 3 3 Στ σημεί η δεδμένη συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 0

3.7. ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Πρκειμένυ να πρσδιρίσυμε παραγώγυς, εφαπτόμενες εξισώσεων, κλαδικές κ.λ.π., εξυπηρετεί να εφαρμόζυμε τις δηγίες πυ ακλυθύν: Αν η είναι κλαδική, τότε και η θα είναι κλαδική. Εκεί όμως πυ αλλάζει τύπς, πρέπει υπχρεωτικά να βρίσκυμε την παράγωγ με τν ρισμό: (x) ( ξ) ( ξ ) = lim x ξ x ξ ή αν χρειάζεται α ( ξ ) = δ ( ξ ). Επίσης πρέπει να βρίσκυμε και τ πεδί ρισμύ της. Αν η είναι κλαδική και ζητύνται τα α, β ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στ σημεί ξ πυ αλλάζει τύπς, τότε λύνυμε τ σύστημα πυ πρκύπτει από τις σχέσεις: i. Η είναι συνεχής στ ξ. ii. ( ξ ) = ( ξ ) α δ Ισχύει ότι: ξ = lim x ξ x (x) ( ξ), ξ (x) ( ξ) ( ξ ) = lim, x ξ x ξ (x) ( ξ) ( ξ ) = lim, κ.λ.π. x ξ x ξ όπυ y Ισχύει ότι: y (y) y ( ) =, ( ( x) ) = g(x), άρα η g είναι σύνθεση. = (x), ( ξ) ( ( ξ )) = 0 Αν η είναι εκθετική της μρφής παραγωγίσυμε, χρησιμπιύμε την ιδιότητα: g g e, α,, g, τότε πριν y e ny = Πρσχή στ πεδί ρισμύ. Η συνάρτηση: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 1

= ( ) = Έχει πεδί ρισμύ, τ διάστημα ( 1, + ) (x) x 1 e 3x 3x n x 1 Αν η είναι λγαριθμική, εφαρμόζυμε τις ιδιότητες των λγαρίθμων, αν τ επιτρέπει τ πεδί ρισμύ και μετά παραγωγίζυμε. x 1,1 έχυμε: Παράδειγμα: Για τη συνάρτηση με 1 x 1 1 x 1 1 (x) = n = n = n(1 x) n(1+ x) 1+ x 1+ x συνεπάγεται: 1 ( 1 x) 1 ( 1+ x) (x) = 1 x 1+ x κ.λ.π. με x ( 1,1) Αν ι, g είναι δυ συναρτήσεις πυ τα διαγράμματα τυς έχυν κινή εφαπτμένη (ε) σε σημεί επαφής ξ τυ κινύ πεδίυ ρισμύ τυς, τότε ισχύυν: i. ( ξ ) = g( ξ ) ii. ( ξ ) = g( ξ ) =λ ε Αν η συνάρτηση / είναι δυ φρές παραγωγίσιμη, ισχύυν: i. Η είναι άρτια Η είναι περιττή Η είναι άρτια και ισχύει: (0) = 0 ii. H είναι περιττή Η είναι άρτια Η είναι περιττή και ισχύει: (0) = 0 Αν υπάρχει άκρ κλειστό στ πεδί ρισμύ της και δεν ρίζεται η από τυς κανόνες, τότε πρέπει να εξετάζυμε με τν ρισμό την παράγωγ στ άκρ. Για παράδειγμα: 1 (x) = ημ x + x συν x x > 0 (x) = x ημx/ Α= [0, + ) x (0) = 0 x= 0 Δεν παραγωγίζω πτέ ανισότητες, ύτε ανισώσεις ή εξισώσεις. Για να παραγωγίσω, πρέπει να είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr

(x) = g(x) x Δ Για παράδειγμα: Δεν παραγωγίζω την 5> 3, διότι γίνεται 0> 0 πυ είναι αδύνατ. Δεν παραγωγίζω την εξίσωση χ + 3= 5, διότι πρκύπτει 1= 0 πυ είναι αδύνατ. Παραγωγίζω την: x+ 1 = x + x+ 1 διότι ισχύει για κάθε x. Επίσης όταν έχω: (x) = g(x) x (1) τότε ισχύει: (x) = g (x) Δεν ισχύει τ αντίστρφ. 3.8. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3.8.1. Εξίσωση εφαπτμένης: Η εξίσωση της ευθείας (ε) πυ εφάπτεται τυ διαγράμματς της /Α στ σημεί x Α, δίνεται από τυς παρακάτω τύπυς: i. Αν υπάρχει η (x ), τότε χρησιμπιύμε τν τύπ: y= (x ) + (x ) x x (1) ii. ( χ) (x ) Αν lim = ± δηλαδή αν δεν υπάρχει η παράγωγς, τότε x x χ x χρησιμπιύμε τν τύπ: x = x () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 3

iii. Αν η / Α είναι κλαδική στ σημεί x Α και στ σημεί αυτό ισχύει: (x ) (x ) α δ Τότε δεν υπάρχει εφαπτμένη (ε) στ σημεί x. Γωνιακό σημεί 3.8.. Εξίσωση κάθετης: Αν η ευθεία (η) είναι κάθετη στην (ε) ( η ε), ακριβώς στ σημεί x, τότε η εξίσωση της (η), είναι: 1 y= (x ) x x (x ) Αν βέβαια υπάρχει η *. (x ) Στην περίπτωση πυ είναι υπάρχει παράγωγς, τότε: (x) (x ) lim = ±, δηλαδή όταν δεν x x x x y= (x ) 3.8.3. Εφαπτμένη από σημεί: Η εφαπτμένη σε σημεί x,( x) Μ( κ, λ ) επαληθεύει την σχέση: της C όταν διέρχεται από σημεί λ= (x) + (x) κ x Από τν τύπ αυτό, πρσδιρίζυμε τ σημεί x, αν είναι άγνωστ και τ σημεί Μ είναι γνωστό. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 4

3.9. ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΔΥΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όταν θέλυμε να βρίσκυμε τα κινά σημεία δυ συναρτήσεων και g, λύνυμε την εξίσωση: (x) = g(x) (1) Η λύση της (1), δίνει τις τετμημένες x, 1 x, x 3 των σημείων τμής Α, Β και Γ των διαγραμμάτων των δυ συναρτήσεων. Αν επί πλέν θέλυμε τα σημεία επαφής, τότε λύνυμε και την εξίσωση: (x) = g (x) () Η κινή λύση των (1) και (), δίνει τα σημεία επαφής Πρσχή: Η (1) μόνη της, δεν είναι ικανή να δώσει τα σημεία επαφής. Για παράδειγμα στα διαγράμματα (α) τυ σχήματς, η (1) δίνει τ κινό σημεί των γραφημάτων των δυ συναρτήσεων. Η () μόνη της, όπως και η (1) δεν είναι ικανή να δώσει σημεί επαφής. Μπρεί να δώσει αν υπάρχει, την κινή εφαπτμένη των γραφημάτων των δυ συναρτήσεων, όπως φαίνεται στ διάγραμμα (γ) τυ σχήματς. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 5

3.10. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Αν δυ μεγέθη x, y είναι μεταβλητά και συνδένται μεταξύ τυς με κάπια σχέση y= (x), πυ είναι παραγωγίσιμη στ σημεί x, τότε: Η παράγωγς (x ) στ σημεί x νμάζεται ρυθμός μεταβλής τυ y ως πρς τ x στ σημεί x. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 6

3.11.1. Παράγωγι γνωστί από την φυσική: Στιγμιαία ταχύτητα. υ(t ) = S (t ) = ds dt S(t) S(t = lim t t t t ) Στιγμιαία επιτάχυνση. α(t ) = υ (t ) = dυ dt υ(t) υ(t = lim t t t t ) Ένταση ρεύματς. I(t ) = Q (t ) = dq dt Q(t) Q(t = lim t t t t ) Γωνιακή ταχύτητα. ω(t ) = θ (t ) = dθ dt θ(t) θ(t = lim t t t t ) και υ(t ) ω ( t ) = R ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 7

3.11.. Τυπλόγι γεωμετρίας. Όγκς σφαίρας: 4 3 V = πr Επιφάνειας σφαίρας: 3 Ε = 4πr Μήκς κύκλυ: L= π R Μήκς τόξυ μ : πr. μ l = 180 Σχέσεις τόξυ γωνίας: Σε μίρες Σε ακτίνια ΑΒ = φ = ω ΑΒ= Rω Όγκς κυλίνδρυ: V =πr υ Όγκς κώνυ: πr υ V = 3 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 8