13 ΜΑΘΗΜΑ 3.6. Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων: Τετραγωνικής ρίζας: ( g ) = g g, g > 0 Δύναμης α : Εκθετικής με βάση e: * Εκθετικής με βάση α { 1} Λγαριθμικών: = α α α 1 e = e α =α nα n =, > 0 ( ) α> 0, α 1 Τριγωνμετρικών: lgα =, > 0 nα ημ = συν συν = ημ συν σφ = = 1+ σφ ημ ( εφ ) = = ( 1+ εφ ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 19
Εκθετικών: Για τη συνάρτηση: έχω: 5x 6 ( 5x 6) n( 3x 1) 3x + 1 = e = e + + + ω ( ) 5x+ 6 ω ( 5x+ 6 + = ω = + ) ( + ) + ( + ) 6x 3x 1 e 3x 1 5 n 3x 1 5x 6 3x + 1 Παράδειγμα: Η παράγωγς της συνάρτησης: 3 x αν x > 3 (x) = ( x ) = x 3 = 0 αν x = ( x) 3 αν x< είναι: 1 1 ( x ) 3. ( x ) = ( x ) 3 αν x > 3 3 (x) = 1 1 ( x ) 3. ( x) = ( x) 3 αν x< 3 3 Στ σημεί η δεδμένη συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 0
3.7. ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Πρκειμένυ να πρσδιρίσυμε παραγώγυς, εφαπτόμενες εξισώσεων, κλαδικές κ.λ.π., εξυπηρετεί να εφαρμόζυμε τις δηγίες πυ ακλυθύν: Αν η είναι κλαδική, τότε και η θα είναι κλαδική. Εκεί όμως πυ αλλάζει τύπς, πρέπει υπχρεωτικά να βρίσκυμε την παράγωγ με τν ρισμό: (x) ( ξ) ( ξ ) = lim x ξ x ξ ή αν χρειάζεται α ( ξ ) = δ ( ξ ). Επίσης πρέπει να βρίσκυμε και τ πεδί ρισμύ της. Αν η είναι κλαδική και ζητύνται τα α, β ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στ σημεί ξ πυ αλλάζει τύπς, τότε λύνυμε τ σύστημα πυ πρκύπτει από τις σχέσεις: i. Η είναι συνεχής στ ξ. ii. ( ξ ) = ( ξ ) α δ Ισχύει ότι: ξ = lim x ξ x (x) ( ξ), ξ (x) ( ξ) ( ξ ) = lim, x ξ x ξ (x) ( ξ) ( ξ ) = lim, κ.λ.π. x ξ x ξ όπυ y Ισχύει ότι: y (y) y ( ) =, ( ( x) ) = g(x), άρα η g είναι σύνθεση. = (x), ( ξ) ( ( ξ )) = 0 Αν η είναι εκθετική της μρφής παραγωγίσυμε, χρησιμπιύμε την ιδιότητα: g g e, α,, g, τότε πριν y e ny = Πρσχή στ πεδί ρισμύ. Η συνάρτηση: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 1
= ( ) = Έχει πεδί ρισμύ, τ διάστημα ( 1, + ) (x) x 1 e 3x 3x n x 1 Αν η είναι λγαριθμική, εφαρμόζυμε τις ιδιότητες των λγαρίθμων, αν τ επιτρέπει τ πεδί ρισμύ και μετά παραγωγίζυμε. x 1,1 έχυμε: Παράδειγμα: Για τη συνάρτηση με 1 x 1 1 x 1 1 (x) = n = n = n(1 x) n(1+ x) 1+ x 1+ x συνεπάγεται: 1 ( 1 x) 1 ( 1+ x) (x) = 1 x 1+ x κ.λ.π. με x ( 1,1) Αν ι, g είναι δυ συναρτήσεις πυ τα διαγράμματα τυς έχυν κινή εφαπτμένη (ε) σε σημεί επαφής ξ τυ κινύ πεδίυ ρισμύ τυς, τότε ισχύυν: i. ( ξ ) = g( ξ ) ii. ( ξ ) = g( ξ ) =λ ε Αν η συνάρτηση / είναι δυ φρές παραγωγίσιμη, ισχύυν: i. Η είναι άρτια Η είναι περιττή Η είναι άρτια και ισχύει: (0) = 0 ii. H είναι περιττή Η είναι άρτια Η είναι περιττή και ισχύει: (0) = 0 Αν υπάρχει άκρ κλειστό στ πεδί ρισμύ της και δεν ρίζεται η από τυς κανόνες, τότε πρέπει να εξετάζυμε με τν ρισμό την παράγωγ στ άκρ. Για παράδειγμα: 1 (x) = ημ x + x συν x x > 0 (x) = x ημx/ Α= [0, + ) x (0) = 0 x= 0 Δεν παραγωγίζω πτέ ανισότητες, ύτε ανισώσεις ή εξισώσεις. Για να παραγωγίσω, πρέπει να είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr
(x) = g(x) x Δ Για παράδειγμα: Δεν παραγωγίζω την 5> 3, διότι γίνεται 0> 0 πυ είναι αδύνατ. Δεν παραγωγίζω την εξίσωση χ + 3= 5, διότι πρκύπτει 1= 0 πυ είναι αδύνατ. Παραγωγίζω την: x+ 1 = x + x+ 1 διότι ισχύει για κάθε x. Επίσης όταν έχω: (x) = g(x) x (1) τότε ισχύει: (x) = g (x) Δεν ισχύει τ αντίστρφ. 3.8. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3.8.1. Εξίσωση εφαπτμένης: Η εξίσωση της ευθείας (ε) πυ εφάπτεται τυ διαγράμματς της /Α στ σημεί x Α, δίνεται από τυς παρακάτω τύπυς: i. Αν υπάρχει η (x ), τότε χρησιμπιύμε τν τύπ: y= (x ) + (x ) x x (1) ii. ( χ) (x ) Αν lim = ± δηλαδή αν δεν υπάρχει η παράγωγς, τότε x x χ x χρησιμπιύμε τν τύπ: x = x () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 3
iii. Αν η / Α είναι κλαδική στ σημεί x Α και στ σημεί αυτό ισχύει: (x ) (x ) α δ Τότε δεν υπάρχει εφαπτμένη (ε) στ σημεί x. Γωνιακό σημεί 3.8.. Εξίσωση κάθετης: Αν η ευθεία (η) είναι κάθετη στην (ε) ( η ε), ακριβώς στ σημεί x, τότε η εξίσωση της (η), είναι: 1 y= (x ) x x (x ) Αν βέβαια υπάρχει η *. (x ) Στην περίπτωση πυ είναι υπάρχει παράγωγς, τότε: (x) (x ) lim = ±, δηλαδή όταν δεν x x x x y= (x ) 3.8.3. Εφαπτμένη από σημεί: Η εφαπτμένη σε σημεί x,( x) Μ( κ, λ ) επαληθεύει την σχέση: της C όταν διέρχεται από σημεί λ= (x) + (x) κ x Από τν τύπ αυτό, πρσδιρίζυμε τ σημεί x, αν είναι άγνωστ και τ σημεί Μ είναι γνωστό. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 4
3.9. ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΔΥΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όταν θέλυμε να βρίσκυμε τα κινά σημεία δυ συναρτήσεων και g, λύνυμε την εξίσωση: (x) = g(x) (1) Η λύση της (1), δίνει τις τετμημένες x, 1 x, x 3 των σημείων τμής Α, Β και Γ των διαγραμμάτων των δυ συναρτήσεων. Αν επί πλέν θέλυμε τα σημεία επαφής, τότε λύνυμε και την εξίσωση: (x) = g (x) () Η κινή λύση των (1) και (), δίνει τα σημεία επαφής Πρσχή: Η (1) μόνη της, δεν είναι ικανή να δώσει τα σημεία επαφής. Για παράδειγμα στα διαγράμματα (α) τυ σχήματς, η (1) δίνει τ κινό σημεί των γραφημάτων των δυ συναρτήσεων. Η () μόνη της, όπως και η (1) δεν είναι ικανή να δώσει σημεί επαφής. Μπρεί να δώσει αν υπάρχει, την κινή εφαπτμένη των γραφημάτων των δυ συναρτήσεων, όπως φαίνεται στ διάγραμμα (γ) τυ σχήματς. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 5
3.10. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Αν δυ μεγέθη x, y είναι μεταβλητά και συνδένται μεταξύ τυς με κάπια σχέση y= (x), πυ είναι παραγωγίσιμη στ σημεί x, τότε: Η παράγωγς (x ) στ σημεί x νμάζεται ρυθμός μεταβλής τυ y ως πρς τ x στ σημεί x. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 6
3.11.1. Παράγωγι γνωστί από την φυσική: Στιγμιαία ταχύτητα. υ(t ) = S (t ) = ds dt S(t) S(t = lim t t t t ) Στιγμιαία επιτάχυνση. α(t ) = υ (t ) = dυ dt υ(t) υ(t = lim t t t t ) Ένταση ρεύματς. I(t ) = Q (t ) = dq dt Q(t) Q(t = lim t t t t ) Γωνιακή ταχύτητα. ω(t ) = θ (t ) = dθ dt θ(t) θ(t = lim t t t t ) και υ(t ) ω ( t ) = R ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 7
3.11.. Τυπλόγι γεωμετρίας. Όγκς σφαίρας: 4 3 V = πr Επιφάνειας σφαίρας: 3 Ε = 4πr Μήκς κύκλυ: L= π R Μήκς τόξυ μ : πr. μ l = 180 Σχέσεις τόξυ γωνίας: Σε μίρες Σε ακτίνια ΑΒ = φ = ω ΑΒ= Rω Όγκς κυλίνδρυ: V =πr υ Όγκς κώνυ: πr υ V = 3 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..157 495 www.arns.gr e-mail : in@arns.gr 8