ΑΠΡΟΔΙΟΡΙΣΕ ΜΟΡΥΕ - ΑΤΜΠΣΩΣΕ. Aπροςδιόριςτεσ μορφϋσ Αςύμπτωτεσ

Transcript

1 Aπροςδιόριςτεσ μορφϋσ Αςύμπτωτεσ ΘΕΩΡΗΜΑ Κανόνασ του Αν το και με, και υπϊρ ει το τότε ις ύει: πεπεραςμϋνο ό ϊπειρο Απαραύτητη προώπόθεςη του θεωρόματοσ εύναι να υπϊρ ουν και οι παρϊγωγοι των ςυναρτόςεων, κοντϊ ςτο και κοντϊ ςτο ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ. τισ περιπτώςεισ που οι προώποθϋςεισ του παραπϊνω θεωρόματοσ ικανοποιούνται για τισ παραγώγουσ ςυναρτόςεισ μπορούμε να εφαρμόςουμε τον κανόνα και για την εύρεςη του 2. κανόνασ εξακολουθεύ να ις ύει και όταν αρκεύ οι ςυναρτόςεισ να εύναι παραγωγύςιμεσ κοντϊ ςτο και Αν οι ςυναρτόςεισ, εύναι παραγωγύςιμεσ ςε ανοικτό διϊςτημα α,β με ςτο α, β ο κανόνασ ις ύει και για τα πλευρικϊ όρια και 3. Για να εφαρμόςουμε τον κανόνα του l δεν αρκεύ οι ςυναρτόςεισ f, να εύναι παραγωγύςιμεσ μόνο ςτο αλλϊ ςε μύα περιο ό του, ενδε ομϋνωσ να μην εύναι παραγωγύςιμη ςτο 4. Παρϊ του ότι εύναι ςαφϋσ από το Θεώρημα επιςημαύνω ότι, η ιςότητα ις ύει μόνο ςτην περύπτωςη που υπϊρ ει το

2 Διαφορετικϊ δεν ις ύει Ενδϋ εται να υπϊρ ει το ϊ ε αυτό την περύπτωςη δεν μπορούμε να ρηςιμοποιόςουμε τον κανόνα του Αλλϊ υπολογύζουμε το με ϊλλο τρόπο ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν το και υπϊρ ει το τότε ις ύει: Κανόνασ του και πεπεραςμϋνο ό ϊπειρο Απαραύτητη προώπόθεςη του θεωρόματοσ εύναι να υπϊρ ουν και οι παρϊγωγοι των ςυναρτόςεων, κοντϊ ςτο και κοντϊ ςτο Ις ύουν και εδώ οι προηγούμενεσ παρατηρόςεισ ΑΚΗΗ ύ ό ϊ, ϊ ύ ύ ό Αφού το εύναι > ημ ημ Εφαρμόζοντασ τον κανόνα του υπϊρ ει ημ ημ ςυν ςυν ημ ημ ημ, διότι ϋ ουμε ότι ημ ςυν εφ το οπούο δεν ΒΛΕΠΕ ΚΑΙ ΑΚΗΗ 0 ΛΤΜΕΝΗ 2

3 ΑΚΗΗ Απροςδιοριςτύα τησ μορφόσ (+ ύ ΗΜΕΙΩΗ Έτςι αντιμετωπύζεται η απροςδιοριςτύα τησ μορφόσ μετατρϋπεται ςτη μορφό ΑΚΗΗ 3 ύ ό ύ ΑΚΗΗ 4 ύ ό,, Για την αντιμετώπιςό τουσ ρηςιμοποιούμε την γνωςτό ιδιότητα > ύ ό 3

4 εφ π ημ π ςυν π ημ π ςυν π ημ π π π ημ π Επομϋνωσ ΑΚΗΗ 5 Δύνεται η ςυνϊρτηςη Δύνεται επύςησ ςυνϊρτηςη η οπούα εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο αποδεύξετε ότι: α Να β Αν ις ύουν και να αποδεύξετε ότι: ο ο Η ςυνϊρτηςη εύναι α Θϋτω τότε όταν το το και οπότε β ο Αφού η εύναι ςυνε όσ ωσ παραγωγύςιμη ςτο θα ϋ ω ότι: Επομϋνωσ Επομϋνωσ ϋ ουμε ότι 4

5 β ο ΑΠΡΟΔΙΟΡΙΣΕ ΜΟΡΥΕ - ΑΤΜΠΣΩΣΕ, με και αφού ϋ ω Αρα, με Και επειδό Αρα Αρα η εύναι γνηςύωσ αύξουςα και επομϋνωσ ΑΚΗΗ 6 Δύνεται η ςυνϊρτηςη :, με τύπο α Να δει θεύ ότι η ςυνϊρτηςη εύναι κυρτό β Να δει θεύ ότι η ςυνϊρτηςη ϋ ει ϋνα ελϊ ιςτο για κϊποιο οπούο ις ύει > γ Να δεύξετε ότι α α, όπου α, για το α και για κϊθε, Ακόμη ςυμπεραύνουμε ότι η εύναι γνηςύωσ αύξουςα β και Η ςυνϊρτηςη εύναι και ςυνε όσ ςτο, και επομϋνωσ ις ύει το Θ για την Αρα υπϊρ ει που ανόκει ςτο, τϋτοιο ώςτε Και αφού η εύναι γν αύξουςα ϋ ω για για Άρα ϋ ουμε τοπικό ελϊ ιςτο ςτη θϋςη και εύναι το Ις ύουν οι βαςικϋσ ιδιότητεσ για κϊθε και η ιςότητα ις ύει για Επομϋνωσ αν, ις ύει: και με και η ιςότητα ις ύει για 5

6 Επομϋνωσ αν, ις ύει: Από την Προςθϋτοντασ κατϊ μϋλη τισ : και ϋ ω για κϊθε Αρα και η ελϊ ιςτη τιμό τησ εύναι μεγαλύτερη του γ Για το ότι επειδό η εύναι παραγωγύςιμη θα εύναι ςυνε όσ επομϋνωσ το και ϋ ω: 6 που εύναι τησ μορφόσ διό η εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη και επομϋνωσ η εύναι ςυνε όσ Αλλϊ το από Θ αφού το εύναι θϋςη τοπικού ακροτϊτου τησ Επομϋνωσ α α α ΑΚΗΗ 7 Έςτω η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη : ώςτε για κϊθε να ις ύουν α Να μελετόςετε την ωσ προσ τη μονοτονύα και τη κυρτότητα β Να δει θεύ ότι ύ ό : α Από τη δοθεύςα ϋ ω:, αφού Άρα η εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο Αφού η εύναι παραγωγύςιμη εύναι παραγωγύςιμη και η ωσ πηλύκο παραγωγύςιμων ςυναρτόςεων Άρα: για κϊθε και επομϋνωσ η εύναι κυρτό ςτο β α

7 Αν θϋςω ςτην όπου ϋ ω η οπούα επαληθεύεται αν Πρϋπει να αποδεύξουμε ότι εύναι και η μοναδικό τιμό Προσ τούτο θεωρούμε την εξύςωςη με Θϋτω ςυνϊρτηςη με και ϋ ω: αφού υνεπώσ η τιμό που εύναι προφανόσ λύςη τησ εξύςωςησ εύναι και μοναδικό Αρα τελικϊ γ Αφού η ςυνϊρτηςη εύναι παραγωγύςιμη εύναι ςυνε όσ ςτο και επομϋνωσ και ςτο και επομϋνωσ θα ϋ ουμε Αρα το ςυνε όσ ςτο διότι η με και η εύναι αφού εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη Επομϋνωσ ςυνε όσ ςτο με Επομϋνωσ που εύναι τρεισ φορϋσ παραγωγύςιμη ϊρα και ΑΚΗΗ 8 ύ ϊ ύ, α) Να μελετόςετε την ωσ προσ τη μονοτονύα και τα ακρότατα και να βρεύτε το ςύνολο τιμών τησ - ύ ό : και το πρόςημό τησ φαύνετα παρακϊτω τ ε Η παρουςιϊζει ελϊ ιςτο το,, Από το Θεώρημα ενδιαμϋςων τιμών ϋ ουμε,,, 7

8 ,,, Άρα το ςύνολο τιμών εύναι, Επειδό η εύναι παργωγύςιμη εύναι και ςυνε όσ και επομϋνωσ κανόνα του Αρα το όριο που ϋ ουμε να βρούμε εύναι τησ μορφόσ Από τον ϋ ω διότι: με ΑΚΗΗ 9 Έςτω παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη : με και για την οπούα ις ύει: ϊ ύ ό, ϊ ύ ύ ό ύ ό ύ ϋ ώ ύ ύ ύ ό : Έςτω τότε Και αφού Αρα η εύναι γνηςύωσ αύξουςα και με Επομϋνωσ και με Σελικα πρϋπει να δεύξουμε ότι: με η Προσ τούτο θεωρώ τη ςυνϊρτηςη, με Επομϋνωσ η εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο, αφού εύναι ςυνε όσ ςτο ωσ παραγωγύςιμη και επομϋνωσ θα ις ύει: Αν < παρόμοια ϋ ω ότι < Επομϋνωσ θα πρϋπει να δεύξω ότι Θϋτω Επομϋνωσ η εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο -, αφού εύναι ςυνε όσ ςτο παραγωγύςιμη και επομϋνωσ θα ις ύει: ωσ β 8

9 Εύναι προφανϋσ ότι με > και > και επομϋνωσ η εύναι κυρτό με < εύναι η < και επομϋνωσ η εύναι κούλη και επειδό η εύναι παραγωγύςιμη ςτο υπϊρ ει η εφαπτομϋνη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ ςτο ςημεύο, Άρα ςημεύο καμπόσ εύναι το,, γ Θεωρώ τη ςυνϊρτηςη - με Αρα η εύναι γνηςύωσ αύξουςα (0)=f(0)-200=-200 Με αποδεύξαμε ότι Επομϋνωσ αν πϊρω μύα τιμό του > ϋςτω την τότε Επομϋνωσ > Επομϋνωσ αν εφαρμόςω Θ Bolzano ςτο διϊςτημα, θα ϋ ω: Άρα υπϊρ ει μύα τουλϊ ιςτον ρύζα τησ ςτο διϊςτημα, Αφού όμωσ η εύναι γν αυξουςα θα εύναι μοναδικό ΑΚΗΗ 0 ύ ϊ α Να αποδεύξετε ότι η εύναι παραγωγύςιμη ςτο β Να δεύξετε ότι η δεν εύναι ςυνε όσ ςτο γ Να βρεύτε το λϊθοσ ςτην παρακϊτω απόδειξη Έςτω ότι ϋ ουμε μύα ςυνϊρτηςη που εύναι παραγωγύςιμη ςτο διϊςτημα Δ και α Δ τότε ό ϊ επομϋνωσ η εύναι ςυνε όσ ςτο τυ αύο α του πεδύου οριςμού τησ Λύςη Για ϋ ω ότι ημ ημ ςυν ημ ςυν Για ϋ ω ημ ημ Άρα η παρϊγωγοσ ςυνϊρτηςη εύναι: ημ ςυν αν αν Και για την ςυνϋ εια τησ ςτο ϋ ω: ημ ςυν Και το 9

10 ημ ενώ το ςυν δεν υπϊρ ει Άρα η γ δεν εύναι ςυνε όσ ςτο Από το παρϊδειγμα γύνεται φανερό ότι η δεν ςυνε όσ πϊντα ςε κϊθε ςημεύο του πεδύου οριςμού τησ Σο λϊθοσ εύναι ςτην εφαρμογό του κανόνα του κανόνασ λϋει ότι Αν το κ τότε και το κ και ό ι το αντύςτροφο όπωσ ςτο ςυλλογιςμό του γ ερωτόματοσ 0

11 ΑΤΜΠΣΩΣΕ Όταν μελετϊμε μια ςυνϊρτηςη και το πεδύο οριςμού τησ ό το ςύνολο τιμών τησ ό και τα δύο μαζύ εύναι ςύνολα που ϋ ουν ανοικτϊ ϊκρα τότε εύναι πολύ δύςκολο να κατϊ νοόςουμε την ςυμπεριφορϊ τησ ςυνϊρτηςησ καθώσ το πληςιϊζει αυτϋσ τισ τιμϋσ Γι αυτό αναγκαζόμαςτε να βρούμε ευθεύεσ των οπούων οι τιμϋσ των,ψ προςεγγύζουν αρκετϊ τισ τιμϋσ των,ψ τησ ςυνϊρτηςησ Αν π θεωρόςουμε τη ςυνϊρτηςη με τύπο το πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςη, ϋ ει πεδύο οριςμού Α,, που εύναι ϋνωςη ανοικτών διαςτημϊτων οπότε ςτα ϊκρα δεν εύναι εύκολο να γνωρύζουμε πωσ ςυμπεριφϋρεται η ςυνϊρτηςη Παρατηρούμε δε όταν το η - τότε το όριο τησ εύναι το και η 0 2 γραφικό τησ παρϊςταςη πληςιϊζει την ευθεύα ψ που εύναι και οριζόντια αςύμπτωτη και όταν το τότε το όριο τησ εύναι το και η γραφικό τησ παρϊςταςη προςεγγύζει την κατακόρυφη ευθεύα Έτςι καταλόγουμε ςτον παρακϊτω οριςμό ΡΙΜ Η ευθεύα ψ β εύναι οριζόντια αςύμπτωτη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ όταν β ό β ΡΙΜ Η ευθεύα =α εύναι κατακόρυφη αςύμπτωτη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ όταν ό

12 Έςτωη ευθεύα ψ λ β και Α, τυ αύο ςημεύο τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ Σότε ΑΒ -λ -β Αν το μόκοσ ΑΒ ϋ ει όριο το μηδϋν όταν το ό - τότε και το όριο τησ απόςταςησ του Α από την ευθεύα δηλ το ΑΓ ΑΒ θα ϋ ει όριο το μηδϋν Α, Γ Β,λ β ψ λ β Αυτό ςημαύνει ότι οι τιμϋσ τησ ςυνϊρτηςη τεύνουν να ταυτιςτούν με τισ τιμϋσ τησ ευθεύασ ψ λ β καθώσ το ό - Έτςι καταλόγουμε ςτον παρακϊτω οριςμό ΡΙΜ Η ευθεύα ψ λ β εύναι αςύμπτωτη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ, αν λ β ό λ β ΠΑΡΑΣΗΡ ΤΜΕ ότι για λ οριζόντια η πλϊγια αςύμπτωτη ψ λ β γύνεται ψ β δηλαδό Για τον προςδιοριςμό των πλϊγιων και οριζόντιων αςυμπτώτων τησ γραφικόσ παρϊςταςησ μιασ ςυνϊρτηςησ ϋ ουμε το παρακϊτω θεώρημα ΘΕΩΡΗΜΑ Η ευθεύα ψ λ β εύναι αςύμπτωτη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ αν και μόνο αν λ και λ β ό λ και λ β ΗΜΕΙΩΕΙ-ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Σισ κατακόρυφεσ αςύμπτωτεσ αναζητούμε ςτα ςημεύα αςυνε εύασ τησ ςυνϊρτηςησ και ςτα ανοικτϊ ϊκρα του πεδύου οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ Ενώ τισ οριζόντιεσ ςτο και - αν η ςυνϊρτηςη ορύζεται ςε διαςτόματα τησ μορφόσ α, και -,α αντύςτοι α Μια πολυωνυμικό ςυνϊρτηςη βαθμού μεγαλύτερου ό ύςου του δεν ϋ ει αςύμπτωτεσ 2

13 . Μια ςταθερό ςυνϊρτηςη ϋ ει οριζόντια αςύμπτωτη ςτο και - τον εαυτό τησ 2. Η ςυνϊρτηςη με τύπο λ β, λ πρώτου βαθμού ϋ ει ςτο και - πλϊγια αςύμπτωτη την ευθεύα ψ λ β Μια ρητό ςυνϊρτηςη όπου ο βαθμόσ του αριθμητό εύναι μεγαλύτεροσ του βαθμού του παρανομαςτό κατϊ δύο δεν πλϊγια αςύμπτωτη όταν ο βαθμόσ του αριθμητό εύναι μεγαλύτεροσ του βαθμού του παρονομαςτό κατϊ ϋνα ϋ ει μύα πλϊγια αςύμπτωτη Σην ύδια ςτο και - και όταν αριθμητόσ και παρονομαςτόσ ϋ ουν τον ύδιο βαθμό τότε η ςυνϊρτηςη ϋ ει οριζόντια αςύμπτωτη την ψ ςτο και - Σο όριο μιασ παρϊςταςησ εύναι μονοςόμαντα οριςμϋνο. υμπϋραςμα: Μύα ςυνϊρτηςη ϋ ει το πολύ δύο πλϊγιο-οριζόντιεσ αςύμπτωτεσ Δηλαδό μπορεύ να ϋ ει μύα πλϊγια ςτο και μύα οριζόντια ςτο - και αντύςτροφα ό μπορεύ να ϋ ει δύο οριζόντιεσ, μύα ςτο και μύα ςτο - ό μπορεύ να ϋ ει δύο πλϊγιεσ, μύα ςτο και μύα ςτο - Δεν μπορεύ να ϋ ει και οριζόντια και πλϊγια ςτο Σο ύδιο και για το - Η γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ μπορεύ να τϋμνει την πλϊγια ό οριζόντια αςύμπτωτό τησ ςε ϋνα ό περιςςότερα ςημεύα μϋ ρι και ϊπειρο πλόθοσ ςημεύων ΑΚΗΗ ΑΚΗΕΙ ΛΤΜΕΝΕ ύ ύ ϊ ύ Σο πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ εύναι Α,, Άρα για την κατακόρυφη αςύμπτωτη θα αναζητόςω το όριο τησ ςτο, με Αρα Άρα η ευθεύα εύναι κατακόρυφη αςύμπτωτη ςτη Δεν εύναι απαραύτητο να βρούμε το Έςτω η ψ λ β εύναι μύα πλϊγια αςύμπτωτη ςτο λ και β λ Επομϋνωσ πλϊγια αςύμπτωτη ςτο εύναι η ευθεύα ψ 3

14 Έςτω η ψ λ β εύναι μύα πλϊγια αςύμπτωτη ςτο - λ και β λ Άρα η ευθεύα ψ - - εύναι πλϊγια αςύμπτωτη τησ, καθώσ το - ΑΚΗΗ 2 ύ ό ό ϊ ϊ ϊ ύ ό Σο πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ εύναι Α ψ ψ ημ ψ ημ ημ διότι: ημ ημ, αφού το Επομϋνωσ ϋ ουμε 4

15 ημ Αλλϊ και από κριτόριο παρεμβολόσ ϋ ουμε ότι ημ και ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ την παραπϊνω ϊςκηςη παρατηρούμε ότι η αςύμπτωτη τϋμνει ϊπειρεσ φορϋσ την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ΑΚΗΗ 3 ό ϊ ϊ ϋ ώ αςύμπτωτη την ευθεύα ψ λ μ και > με > ύ ό ϊ ύ ό ύ ό ϊ ύ ύ ό ϊ > δ Να αποδεύξετε ότι το τμόμα τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ που αντιςτοι εύ ςτο, εύναι πϊνω από την αςύμπτωτη ψ λ μ α -λ και > από υπόθεςη ϊρα η εύναι κυρτό β Εφαρμόζεται το θεώρημα μϋςησ τιμόσ για την ςτα διαςτόματα, και, με Διότι εύναι ςυνε όσ ςτα διαςςτόματα αυτϊ ωσ παραγωγύςιμη για κϊθε εύναι και παραγωγύςιμη Αρα θα ις ύουν:, με, και, με, Αφού η εύναι γνηςύωσ αύξουςα επειδό > για κϊθε > θα ις ύει: ϋ ουμε ότι ύ 5

16 γ Αφού η ϋ ει όταν αςύμπτωτη την ευθεύα ψ λ μ τότε θα ις ύει λ μ και διότι Αν θϋςω τότε του και και Παρόμοια αποδεικνύουμε ότι και και τελικϊ ϋ ω ότι: Επομϋνωσ και από κριτόριο παρεμβολόσ και Έ ουμε τώρα ότι η εύναι γνηςύωσ αύξουςα και ότι γιϊ > Αρα μπορούμε να γρϊψουμε ότι για κϊθε δ Αφού αποδεύξαμε ότι αφού < τότε η ςυνϊρτηςη εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και τότε πϊλι με Και αφού λ μ λ μ ΑΚΗΗ 4 Δύνονται οι ςυναρτόςεισ και με τύπουσ α Να αποδεύξετε ότι η ϋ ει ελϊ ιςτη τιμό την οπούα και να βρεύτε β Να αποδεύξετε ότι >, για κϊθε > γ Να μελετόςετε την ωσ προσ τη μονοτονύα δ Να δεύξετε ότι το διϊγραμμα τησ ϋ ει δύο αςύμπτωτεσ εκ των οπούων η μύα εύναι η ευθεύα ψ δι οτόμου ψ και, η οπούα εύναι πϊντοτε κϊτω από το διϊγραμμα τησ α β Σο πεδύο οριςμού των ςυναρτόςεων εύναι το, 6

17 με ϋ ω με πύνακα μεταβολών για την όπωσ φαύνεται παρακϊτω Η ςυνϊρτηςη όπωσ φαύνεται από τον διπλανό πύνακα ϋ ει τοπικό ελϊ ιςτο για που εύναι και ολικό Και εύναι το ()=3. Επομϋνωσ για κϊθε > ϋ ουμε ότι για κϊθε > f τ ε γ Αφού > η ςυνϊρτηςη εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο, από το β δ αφού το πεδύο οριςμού εύναι το, θα μελετόςουμε για κατακόρυφη αςύμπτωτη ςτο και για πλϊγια ςτο για τη ςυνϊρτηςη Για πλϊγια Έςτω η ψ λ β εύναι μύα πλϊγια τότε λ και β λ Επομϋνωσ η ευθεύα ψ εύναι πλϊγια αςύμπτωτη ςτο λαι επειδό 7

18 για κϊθε βρύςκεται πϊντοτε κϊτω από τη δι οτόμο ψ ΑΚΗΗ 5 Να βρεύτε τουσ πραγματικούσ αριθμούσ α,β,γ ώςτε οι ευθεύεσ με εξιςώςεισ -2 και ψ - να εύναι αςύμπτωτεσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ ςυνϊρτηςησ α β γ γ Για να ϋ ει κατακόρυφη αςύμπτωτη την - θα πρϋπει: Αλλϊ γ α β γ και επομϋνωσ και γ α β γ γ α β γ κ Διακρύνουμε τισ περιπτώςεισ αν γ τότε γ αν γ τότε γ αν γ τότε ϋ ω ότι α β Για γ διακρύνουμε τισ περιπτώςεισ υποθϋτοντασ ότι η ψ - εύναι οριζόντια αςύμπτωτη ςτο Σότε θα πρϋπει Αλλϊ α α α Διακρύνουμε περιπτώςεισ αν α τότε αν α τότε Για α ϋ ω ότι β και β β β Επομϋνωσ για την οπούα ςυμβαύνει ότι: 8

19 ΑΚΗΗ 6 ΑΚΗΗ Έςτω μύα ςυνϊρτηςη παραγωγύςιμη ςτο με και Να αποδει θεύ ότι ΑΚΗΗ 2 ςυν Έςτω μύα ςυνϊρτηςη οριςμϋνη και παραγωγύςιμη ςτο και με. Να βρεύτε το 2. Να βρεύτε τη παρϊγωγο τησ ςυνϊρτηςησ π π :, εύναι η ςυνϊρτηςη ςυνε όσ ςτο με ημ,, αν ΑΚΗΗ 3 Εςτω ότι η ευθεύα ψ ςυνϊρτηςησ ςτο α εύναι αςύμπτωτη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ Να βρεύτε τα όρια και β Να βρεύτε το μ αν μ 9

20 ΑΚΗΗ 4 Αν ΑΠΡΟΔΙΟΡΙΣΕ ΜΟΡΥΕ - ΑΤΜΠΣΩΣΕ να δεύξετε ότι: α Η ςυνϊρτηςη -, ϋ ει πλϊγια αςύμπτωτη ςτο ΑΚΗΗ 5 Δύνεται η ςυνϊρτηςη α β να βρεύτε τισ τιμϋσ των α, β ώςτε η ευθεύα ψ - να εύναι αςύμπτωτη τησ ςτο ΑΚΗΗ 6 Α Να δει θεύ ότι για κϊθε Β Εςτω ςυνϊρτηςη : με για κϊθε και ο Να δει θεύ ότι ο Αν και υπϊρ ει η να βρεύτε το ΑΚΗΗ 7 Έςτω η ςυνϊρτηςη, αν, αν ) Να εξετϊςετε αν η εύναι ςυνε όσ ςτο 2) Να μελετόςετε την ωσ προσ τη μονοτονύα και την κυρτότητα 3) Να βρεύτε τισ αςύμπτωτεσ τησ 4) Να δει θεύ ότι για κϊθε < ΑΚΗΗ 8 Έςτω η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη : και για την οπούα ις ύουν:, για κϊθε 20

21 ) Να μελετόςετε την ωσπροσ τη μονοτονύα και την κυρτότητα 2) Να δει θεύ ότι ()= 3) Να βρεύτε τϊ όριο ΑΚΗΗ 9 Έςτω η ςυνε όσ ςυνϊρτηςη : για την οπούα ις ύει: ) Να βρεύτε ότι (0) 2) Να δει θεύ ότι υπϊρ ει, τϋτοιο ώςτε ΑΚΗΗ 0 Να υπολογιςθεύ το ΑΚΗΗ Να υπολογιςθούν τα όρια ημ ημ και 2