Μια άλλη ροσέγγιση του Α ειροστικού Λογισµού

ΑΓΟΡΟΥ ΚΑΛΛΙΡΡΟΗ Μια άλλη ροσέγγιση του Α ειροστικού Λογισµού ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2010

Ζορµπαλά Κωνσταντίνα Εξεταστική Επιτροπή Παπασαλούρος Ανδρέας Φελουζής Ευάγγελος(Επιβλέπων)

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα πτυχιακή εργασία εκπονήθηκε από την φοιτήτρια του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αιγαίου κατά το ακαδηµαϊκό έτος 2009-2010 υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ. Ευάγγελου Φελουζή. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Φελουζή για την καθοδήγηση, την υποστήριξη και τη βοήθειά του καθ όλη τη διάρκεια διεκπεραίωσης της παρούσας πτυχιακής εργασίας. Τον ευχαριστώ θερµά για τις γνώσεις που µου παρείχε αλλά και για το αµείωτο ενδιαφέρον και τη συµπαράστασή του κατά τη συγγραφή και διόρθωση της παρούσας εργασίας. Στη συνέχεια θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά µου, προπάντων, για την δυνατότητα που µου πρόσφεραν να πραγµατοποιήσω τις σπουδές µου µε κάθε πολυτέλεια και τη συµπαράσταση που µου έδειξαν κατά τη διάρκεια εκπόνησης της πτυχιακής µου εργασίας. Από τις ευχαριστίες δε θα µπορούσα να παραλείψω τα άτοµα του φιλικού µου περιβάλλοντος και κυρίως την Ειρήνη για την ψυχολογική και ηθική υποστήριξη που µου πρόσφεραν. 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ ΡΟΜΗ.4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ.5 1.1 Η ΓΡΑΜΜΗ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.6 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.10 1.3 ΕΥΘΕΙΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ 14 1.4 ΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑ: Η ΓΡΑΜΜΗ ΤΩΝ ΥΠΕΡΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 18 1.5 ΑΠΕΙΡΟΕΛΑΧΙΣΤΟΙ, ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΙ ΚΑΙ ΑΠΕΙΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ..21 1.6 ΤΥΠΙΚΟ ΜΕΡΟΣ.26 ΕΠΙΛΟΓΟΣ..30 3

ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ ΡΟΜΗ Ο Απειροελάχιστος Λογισµός επινοήθηκε ανεξάρτητα από τους Leibniz και Newton το 1660, µε βάση τις εργασίες των µαθηµατικών Barrow και Descartes. Αποτελούνταν από διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισµό που χρησιµοποιούνταν για τις τεχνικές της διαφόρησης και ολοκλήρωσης αντίστοιχα. Η χρήση των απειροελάχιστων ποσοτήτων στις αρχές του λογισµού δεν αποδείχτηκε να είναι αυστηρή και επικρίθηκε έντονα από πολλούς συγγραφείς, κυρίως τους Michel Rolle και Bishop Berkley. Αρκετοί µαθηµατικοί, συµπεριλαµβανοµένου ο Maclaurin, επιχείρησαν ν αποδείξουν την ορθότητα της χρήσης των απειροελάχιστων, αλλά θα ήταν 150 χρόνια αργότερα, λόγω της εργασίας του Cauchy και του Weierstrass όπου βρέθηκε τελικά ένα µέσο για να αποφευχθεί η απλή έννοια των απείρως µικρών ποσοτήτων, που τα θεµέλια του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισµού έγιναν σταθερά. Στο έργο του Weierstrass επισηµοποιήθηκε η έννοια του ορίου η οποία εξάλειψε την ανάγκη για απειροελάχιστα. Τελικά λόγω της εργασίας του Weierstrass, έγινε κοινό να βασίζεται ο λογισµός στα όρια αντί στις απειροελάχιστες ποσότητες. Στη χρήση των απειροελάχιστων ποσοτήτων δόθηκε µια αυστηρή θεµελίωση από τον Abraham Robinson τη δεκαετία του 1960. Η προσέγγιση του Robinson που ονοµάζεται µη-τυπική ανάλυση χρησιµοποιεί τεχνικούς µηχανισµούς από την µαθηµατική Λογική για να δηµιουργήσει µια θεωρία υπερπραγµατικών αριθµών που ερµηνεύουν απειροελάχιστα µ έναν τρόπο που επιτρέπει στον Leibniz την ανάπτυξη των συνηθών κανόνων του λογισµού. 4

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα ασχολείται γενικά µε την έννοια της δοµής. Πιο συγκεκριµένα αντικείµενα της άλγεβρας είναι σύνολα στα οποία έχουν οριστεί πράξεις µεταξύ των στοιχείων τους. Αντιθέτως ο Λογισµός ασχολείται µε την σύγκλιση ορίων και κατεπέκταση µε τη διαφορισιµότητα και ολοκληρωσιµότητα συναρτήσεων πραγµατικών αριθµών. Ο Λογισµός χρησιµοποιείται στην επιστήµη και στην µηχανική και µέσω αυτού δίνεται η δυνατότητα επίλυσης προβληµάτων που η άλγεβρα µόνη της είναι ανεπαρκής. Βασίζεται στην άλγεβρα, τη τριγωνοµετρία και την αναλυτική γεωµετρία και διαιρείται στους δύο κυρίως κλάδους του, τον διαφορικό και τον ολοκληρωτικό λογισµό. Σε ανώτερο επίπεδο ο λογισµός λέγεται Ανάλυση και ασχολείται µε την µελέτη των συναρτήσεων και των ορίων στο αξιωµατικό επίπεδο. Ο Λογισµός εφαρµόζεται στην καθηµερινή µας ζωή ακόµη και στα πράγµατα που χρησιµοποιούµε συχνά όπως το αυτοκίνητο. Χαρακτηριστικό παράδειγµα ένα ταµπλό οργάνων αυτοκινήτου. Πάνω στο ταµπλό ενός αυτοκινήτου βλέπουµε ένα ταχύµετρο και ένα οδόµετρο. Η ταχύτητα που βλέπουµε να εµφανίζεται στο ταχύµετρο είναι ο ρυθµός µεταβολής της απόστασης στην µεταβολή του χρόνου. Η απόσταση που βλέπουµε στο οδόµετρο είναι το ολοκλήρωµα της ταχύτητας από το χρόνο µηδέν στο παρόν. Η απόσταση αυτή προστίθεται στην προηγούµενη κάτι που ξεκινάει µε την πρώτη χρήση του αυτοκινήτου. 5

1.1 Η ΓΡΑΜΜΗ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αρχίζοντας θα κάνουµε µια ανασκόπηση των νόµων της άλγεβρας για τους πραγµατικούς αριθµούς. Το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών, αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθµούς και παριστάνεται µε τα σηµεία ενός άξονα, του άξονα των πραγµατικών αριθµών Εικ. 1.1.1 1 3 e π x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x Ρητοί αριθµοί λέγονται οι αριθµοί που έχουν ή µπορούν να πάρουν τη µορφή α/β, όπου α,β ακέραιοι µε β 0. Το σύνολο των ρητών αριθµών συµβολίζεται µε Q. Είναι δηλαδή a Q = /α,β ακέραιοι µε β 0 β Το σύνολο των ακεραίων αριθµών είναι το Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... } ενώ το σύνολο των φυσικών αριθµών είναι το N = { 0,1, 2,3,... } Τα σύνολα { 0 }, { 0 }, { 0 } και { 0} N Z Q R για συντοµία τα συµβολίζουµε µε N*, Z*, Q* και R*. Στο σύνολο R των πραγµατικών αριθµών ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού και µε τη βοήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Στη συνέχεια ορίστηκε η έννοια της διάταξης. Θεωρούµε ότι όλα αυτά είναι οικεία στον σπουδαστή γι' αυτό και δεν θ' αναφερθούµε εκτενέστερα. Να υπενθυµίσουµε ότι η διαίρεση µε 0 στον παρονοµαστή δεν επιτρέπεται και εκφράσεις όπως 2/0, 5/(1+3-4) δεν ορίζονται. Επίσης ένας θετικός πραγµατικός αριθµός c έχει πάντα δύο τετραγωνικές ρίζες, την c και την c. Οι αρνητικοί πραγµατικοί αριθµοί δεν έχουν πραγµατικές τετραγωνικές ρίζες. Στον λογισµό συχνά αναφερόµαστε σε σύνολα S πραγµατικών αριθµών. Ένα σηµαντικό τµήµα του συνόλου είναι ένα διάστηµα. Αν α, β R µε α<β τότε ονοµάζουµε διαστήµατα µε άκρα τα α,β καθένα από τα παρακάτω σύνολα: ( α, β ) = x R / a< x< β Το ανοικτό διάστηµα: { } Το κλειστό διάστηµα: [ α, β] = { x R / a x β} Το ηµιανοιχτό διάστηµα: [α,β)= { x R / a x< β} 6

Το ηµιανοιχτό διάστηµα (α,β]= { x R / a< x β} Εικ. 1.1.2 Για τα ανοιχτά και κλειστά διαστήµατα ο αριθµός α ονοµάζεται το κατώτερο άκρο ενώ ο β ανώτερο άκρο. Αν α R τότε ονοµάζουµε µη φραγµένα διαστήµατα µε άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: ( α, + ) = x R / x> α { } { x R x α} { x R x α} { x R x α} [ α, + ) = / (, α) = / < (, α ] = / Εικ. 1.1.3 Υπό µορφή διαστήµατος το σύνολο R το συµβολίζουµε µε (, + ). Τα σύµβολα και + δεν επέχουν θέση αριθµών αλλά χρησιµοποιούνται µόνο για να δηλώσουν ένα διάστηµα χωρίς ανώτερο ή κατώτερο όριο. Κάποια σηµαντικά παραδείγµατα των συνόλων των πραγµατικών αριθµών είναι: 1. Το κενό σύνολο το οποίο δεν περιέχει καθόλου στοιχεία 2. Το πεπερασµένο σύνολο {α 1,..., αν}, του οποίου τα µόνα στοιχεία είναι οι αριθµοί α 1, α 2,..., αν. 3. Το σύνολο όλων των x όπου x 0. 4. Το σύνολο N = { 1, 2, 3, 4,...} όλων των θετικών ακεραίων. 5. Το σύνολο Z = {..., -1, 0, 1, 2, 3,...} όλων των ακεραίων. 6. Το σύνολο Q όλων των ρητών αριθµών. Για τα σύνολα N, Z, Q και R ισχύει: N Z Q R 7

Γνωρίζουµε ότι µε έναν πραγµατικό αριθµό µπορούµε να προσδιορίσουµε τη θέση ενός σηµείου πάνω στον άξονα. Έχοντας όµως ένα διατεταγµένο ζεύγος αριθµών µπορώ να προσδιορίσω τη θέση ενός σηµείου στο επίπεδο. ιατεταγµένο ζεύγος δύο στοιχείων α και β είναι το ζεύγος του οποίου τα στοιχεία γράφονται µε µία ορισµένη σειρά. Το συµβολίζω µε (α,β) όπου το α είναι το πρώτο στοιχείο και το β το δεύτερο. Για να αντιστοιχήσουµε ένα διατεταγµένο ζεύγος πραγµατικών αριθµών σ'ένα σηµείο στο επίπεδο κάνουµε την παρακάτω διαδικασία. Ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων αποτελείται από δύο κάθετους άξονες, τον οριζόντιο xx' και τον κάθετο yy' οι οποίοι τέµνονται στο σηµείο O(0,0). Έστω Μ ένα σηµείο του επιπέδου των δύο αξόνων. Από το Μ φέρνουµε κάθετη στον άξονα xx' που τον τέµνει στο σηµείο Π. Στο σηµείο Π παριστάνεται ένας πραγµατικός αριθµός έστω α. Όµοια από το Μ φέρνουµε κάθετη στον yy' που τον τέµνει στο σηµείο Ρ. Στο σηµείο Ρ παριστάνεται επίσης ένας πραγµατικός αριθµός έστω β. Αντιστοιχούµε λοιπόν στο Μ δύο αριθµούς πρώτα το α (στον xx') και µετά το β (στον yy') δηλαδή στο Μ αντιστοιχίζουµε το διατεταγµένο ζεύγος αριθµών (α,β). Ο πρώτος αριθµός του διατεταγµένου ζεύγους λέγεται τετµηµένη του Μ και ο δεύτερος λέγεται τεταγµένη του Μ. Και οι δύο µαζί λέγονται συντεταγµένες του σηµείου Μ. Έτσι το α είναι η τετµηµένη του Μ, το β η τεταγµένη του Μ και το ζεύγος (2,3) είναι οι συντεταγµένες του σηµείου Μ. (Εικόνα 2) Κάθε σηµείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα µόνο ζεύγος συντεταγµένων και αντιστρόφως, κάθε ζεύγος τιµών αντιστοιχεί σε ένα µόνο σηµείο του επιπέδου. Ορισµός Το επίπεδο (x,y) είναι το σύνολο όλων των διατεταγµένων ζευγών των πραγµατικών αριθµών. Η αρχή είναι το σηµείο Ο(0,0). Ο άξονας των x είναι το σύνολο όλων των σηµείων της µορφής (x,0) και ο άξονας των y είναι το σύνολο όλων των σηµείων της µορφής (0,y). Το σύστηµα των ορθοκανονικών αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα µέρη ή όπως αλλιώς λέµε τεταρτηµόρια Εικ. 1.1.4 8

Στο σχήµα σηµειώνονται τα τεταρτηµόρια καθώς και τα πρόσηµα της τετµηµένης και της τεταγµένης των σηµείων που βρίσκονται σε καθεµιά από αυτές. Ορισµός Η απόσταση ανάµεσα στα σηµεία Α( x, y ) και B( x2, y 2) είναι το µέγεθος 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 απόσταση (P,Q)= x + y = x x + y y 2 1 2 1 Με τη βοήθεια του Πυθαγόρειου Θεωρήµατος µπορούµε να υπολογίσουµε την απόσταση δύο σηµείων αν γνωρίζω τις συντεταγµένες τους. Και να πως: Θεωρώ δύο σηµεία Α( x, y ) και B( x2, y 2) του επιπέδου µε x x 1 2 και y y 1 2. 1 1 Από το Π.Θ στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: AB 2 ( ) = ( ΑΓ ) + ( ΒΓ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 ( AB) = x2 x1 + y2 y1 εποµένως ( ) ( ) 2 2 2 AB = x2 x1 + y2 y1 ( ) Εικ. 1.1.5 Συχνά συναντάµε σύνολα σηµείων του επιπέδου. Ένας τρόπος να περιγράψουµε ένα σύνολο σηµείων του επιπέδου είναι µε µία εξίσωση. Η λύση µιας εξίσωσης x και y είναι ένα σηµείο ( x0, y0) στο επίπεδο. Το σύνολο όλων των λύσεων λέγεται γεωµετρικός τόπος ή γραφική παράσταση. Ο κύκλος είναι ένα από τα πιο γνωστά µας παραδείγµατα ενός συνόλου σηµείων του επιπέδου. Ορισµός: Κύκλος είναι το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σηµείο P που λέγεται κέντρο του κύκλου. Η απόσταση του κάθε σηµείου από το κέντρο ονοµάζεται ακτίνα r. Ο κύκλος µε ακτίνα r και κέντρο την αρχή των αξόνων είναι ο γεωµετρικός 2 2 2 τόπος της εξίσωσης x + y = r (σχήµα 1.1.6). Ο κύκλος µε ακτίνα r και κέντρο το σηµείο P( h, k) είναι ο γεωµετρικός τόπος 2 2 2 της εξίσωσης ( ) ( ) x h + y k = r (σχήµα 1.1.7) 9

Εικ. 1.1.6 Εικ. 1.1.7 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Στον κόσµο που µας περιβάλλει πολλές φορές παρατηρείται το φαινόµενο δύο ή περισσότερα µεγέθη να βρίσκονται σε εξάρτηση µεταξύ τους. Αυτό σηµαίνει ότι η µεταβολή του ενός µεγέθους προκαλεί µεταβολή και του άλλου. Για παράδειγµα ένα όχηµα διανύει όλο και µεγαλύτερη απόσταση καθώς αυξάνεται ο χρόνος, γι' αυτό λέµε ότι η απόσταση που διανύει είναι συνάρτηση του χρόνου. Ορισµός Συνάρτηση µιας πραγµατικής µεταβλητής είναι ένα σύνολο διατεταγµένων ζευγών πραγµατικών αριθµών έτσι ώσε για κάθε πραγµατικό αριθµό α να συµβαίνουν ένα από τα δύο ακόλουθα: i. Υπάρχει ένας πραγµατικός αριθµός y για τον οποίο το διατεταγµένο ζεύγος (x,y) είναι µέλος του f. Σε αυτήν την περίπτωση λέµε ότι το f(x) ορίζεται και γράφεται f(x)=y. Ο αριθµός y ονοµάζεται η τιµή της f στο x. ii. εν υπάρχει πραγµατικός αριθµός y για τον οποίο το διατεταγµένο ζεύγος (x,y) να είναι µέλος του f. Σε αυτήν την περίπτωση λέµε ότι το f(x) δεν ορίζεται. Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης δίνει εποπτική εικόνα της σχέσης που συνδέει τις µεταβλητές x και y. Φτιάχνουµε πίνακα τιµών (x,y) δίνοντας τυχαίες τιµές στο x και υπολογίζοντας το αντίστοιχο y µε βάση τον τύπο της συνάρτησης. Παριστάνουµε τα ζεύγη τιµών (x,y) σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων και ενώνοντας τα αντίστοιχα σηµεία κατασκευάζουµε τη γραφική παράσταση. 10

Παράδειγµα: Αντίστροφη συνάρτηση 1 Η αντίστροφη συνάρτηση g δίνεται από τον κανόνα f ( x) =. Η g(x) ορίζεται x για όλα τα x 0. Βρες τις ακόλουθες τιµές αν αυτές ορίζονται: f(0), f(2), f(r+1). f (0) δεν ορίζεται, 1 f (2) = 2 1 f ( r+ 1) = r + 1 Η γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης έχει την εξίσωση y= 1 x. Η γραφική παράσταση φαίνεται στην εικόνα 1.2.1 Εικόνα 1.2.1 Στο παράδειγµα προκειµένου να περιγράψω την συνάρτηση χρησιµοποίησα τις µεταβλητές x και y. Μία µεταβλητή είναι ένα γράµµα που αντιπροσωπεύει έναν πραγµατικό αριθµό. Στην εξίσωση y= 1 x η τιµή του y εξαρτάται από την τιµή του x. Γι' αυτό το λόγο λέµε ότι το x είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή και το y η εξαρτηµένη µεταβλητή της εξίσωσης. Είναι σηµαντικό να διαχωρίσουµε το σύµβολο f από την έκφραση f(x). Το f συµβολίζει µόνο του µία συνάρτηση. Το f(x) λέγεται όρος α και συµβολίζει την τιµή της συνάρτησης στο x. Ορισµός Το πεδίο ορισµού µιας πραγµατικής συνάρτησης f µιας µεταβλητής είναι το σύνολο όλων των πραγµατικών αριθµών x όπου ορίζεται το f(x). Το πεδίο τιµών της f είναι το σύνολο όλων των τιµών f(x) όπου το x ανήκει στο πεδίο ορισµού της f. 11

Η συνάρτηση είναι µία αντιστοίχιση µεταξύ των δύο συνόλων, σύνολο τιµών και σύνολο ορισµού, κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου ορισµού αντιστοιχεί σε ένα µόνο στοιχείο του συνόλου τιµών. Αν Α και Β είναι τα δύο σύνολα, γράφουµε f : A B. 2 Παράδειγµα: Έστω f η συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο f ( x) = 1 x. Για να ορίζεται η συνάρτηση θα πρέπει f ( x) 0. Το πεδίο ορισµού της f είναι το κλειστό διάστηµα [-1,1]. Το πεδίο τιµών της f είναι το [0,1]. f ( 2) δεν ορίζεται f ( 1) = 0 f (0) = 1 1 3 f = 2 4 Η γραφική παράσταση του f δίνεται από την εξίσωση µπορεί να γραφεί και ως x 2 + y 2 = 1 2, y 0. f ( x) 1 2 = x που εικόνα 1.2.2 Μερικές σηµαντικές συναρτήσεις είναι οι συνεχείς συναρτήσεις, η ταυτοτική συνάρτηση και αυτή των απολύτων τιµών. εικόνα 1.2.3 12

Ορισµός Η συνάρτηση της απόλυτης τιµής ενός πραγµατικού αριθµού α, που συµβολίζεται µε α, ορίζεται ως εξής: α, αν α 0 α = α, αν α< 0 Το Π.Ο. της συνάρτησης είναι ολόκληρη η πραγµατική γραµµή R ενώ το Π.Τ. είναι το διάστηµα [0, + ). Η συνάρτηση της απόλυτης τιµής δίνεται και από τον κανόνα στην εικόνα 1.2.4 x 2 = x. Η γραφική παράσταση φαίνεται Εικόνα 1.2.4 Γεωµετρικά, η απόλυτη τιµή του α παριστάνει την απόσταση του αριθµού α από το µηδέν, Εικ. 1.2.5 ενώ η απόλυτη τιµή του και β. α β παριστάνει την απόσταση των αριθµών α Εικ 1.2.6 Μερικές από τις βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιµής είναι οι εξής: 1) 2 2 α = α 2) 2 α = α 3) αβ = α β 4) α α = αν β 0 β β 5) α β α+ β α + β 6) x x0 < δ x0 δ< x< x0+ δ, δ > 0 13

Ορισµός Μια πραγµατική συνάρτηση δυο µεταβλητών είναι ένα σύνολο f διατεταγµένων τριπλών πραγµατικών αριθµών όπου για κάθε διατεταγµένο ζεύγος πραγµατικών αριθµών (α,β) µπορεί να ισχύει ένα από τα εξής: (i) Υπάρχει ένας ακριβής πραγµατικός αριθµός γ για τον οποίο οι διαταγµένοι τριπλοί αριθµοί (α, β, γ) είναι µέλος του f. Σε αυτή την περίπτωση, το f (α, β) ορίζεται και γράφεται: f (α, β) = γ. (ii) εν υπάρχει κανένας πραγµατικός αριθµός γ για τον οποίο οι διαταγµένοι τριπλοί αριθµοί (α, β, γ) είναι µέλος του f. Σε αυτή την περίπτωση, το f (α, β) δεν ορίζεται. Αν f είναι µια πραγµατική συνάρτηση δυο µεταβλητών, τότε η τιµή του f (x, y) εξαρτάται τόσο από την τιµή του x όσο και του y όταν το f(x, y) ορίζεται. 1.3 ΕΥΘΕΙΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ Η ευθεία γραµµή είναι η απλούστερη και η πιο συχνά χρησιµοποιούµενη γραµµή. Στην αναζήτηση της εξίσωσης µιας ευθείας θα µας διευκολύνει η έννοια του συντελεστή διεύθυνσης ευθείας. Έστω Oxy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και ε µια ευθεία που τέµνει τον άξονα x x στο σηµείο Α. y ε ε y x Ο Α ω x ω Ο x Α x y y Εικ. 1.3.1 Εικ. 1.3.2 Ως συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε ορίζουµε την εφαπτοµένη της γωνίας ω που σχηµατίζει η ε µε τον άξονα xx δηλαδή λ=εφω. Ο συντελεστής διεύθυνσης λέγεται και κλίση της ευθείας γιατί καθορίζει πλήρως την διεύθυνση της ευθείας. 14

Προφανώς: 1) λ 0 αν η ω είναι οξεία 2) λ 0 αν η ω είναι αµβλεία 3) λ=0 αν ω=0 ο δηλαδή αν η ε xx ' 4) λ δεν ορίζεται αν ε xx ' Εικ.1.3.3 Μια ευθεία στο επίπεδο καθορίζεται όταν δίνονται ένα σηµείο της και ο συντελεστής διεύθυνσής της ή δυο σηµεία της. θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας σε καθεµιά από τις δυο αυτές περιπτώσεις. Έστω Οxy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και A( x0, y 0) ένα σηµείο του επιπέδου. Ζητάµε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. y ε Α(x0,y0) M(x,y) φ Ο x Εικ. 1.3.4 Ένα σηµείο M ( x, y ) διαφορετικό του A( x0, y 0) ανήκει στην ε, αν και µόνο αν το διάνυσµα AM είναι παράλληλο στην ε, δηλαδή αν και µόνο αν το AM και η ε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. y y Επειδή AM = ( x x0, y y0), έχουµε 0 λ =. Εποµένως, το AM x x0 y y0 σηµείο M ( x, y ) ανήκει στην ε αν και µόνο αν = λ x x y y = λ( x x ). Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται και από το ή 0 0 σηµείο A( x0, y 0). Άρα η εξίσωση της ευθείας ε είναι: y y = λ( x x ) (1) 0 0 0 15

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από σηµείο Α(-1,2) και έχει κλίση λ=-3. Η ε έχει εξίσωση y-2=-3(x+1) δηλαδή y=-3x-1 Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία A ( x 1, y1 ) και B ( x 2, y 2 ). Αν x1 x2, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι λ= y x (y 2 y 1) ( x2 x1 ) και εποµένως η εξίσωση y y 0 = λ( x x 0 ) γίνεται: y y y y 2 1 1= x x 2 x1 ( x ) 1 (2) y ε B(x 2,y 2 ) Α(x 1,y 1 ) Ο x Εικ.1.3.5 Οι εξισώσεις (1) και (2) δεν µπορούν να χρησιµοποιηθούν, όταν η ευθεία ε είναι κατακόρυφη, αφού στην περίπτωση αυτή δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας. Όµως η εξίσωση µιας κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σηµείο A ( x 0, y0 ) µπορεί να βρεθεί αµέσως, αφού κάθε σηµείο της Μ έχει τετµηµένη x 0 και άρα η εξίσωσή της είναι: x= Για παράδειγµα, η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία A ( 3,5) και B (4,1 ) έχει 1 5 4 23 εξίσωση y 5 = ( x+ 3) 4+ 3, η οποία µετά τις πράξεις γίνεται y = x+ 7 7 και η κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το σηµείο A ( 3,5) έχει εξίσωση x = 3. x 0 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σηµεία Α(-3,5) και Β(4,1). 1 5 4 23 Η ε έχει εξίσωση y 5 = ( x+ 3) 4+ 3 ή y = x+ 7 7 και η κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το σηµείο Α(-3,5) έχει εξίσωση x=-3. Ειδικές περιπτώσεις Η εξίσωση ευθείας που τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο A ( 0, β ) και έχει συντελεστή y ε Α(0,β) 16 Ο x

διεύθυνσης λ είναι y β= λ( x 0), η οποία τελικά γράφεται y = λx+ β. y Αν µια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωσή της είναι y 0 = λ( x 0) ή y = λx. ε Ο x Έτσι, οι διχοτόµοι των γωνιών y O x αντιστοίχως. έχουν εξισώσεις y= x x O y και και y= x δ 2 y δ 1 y=-x y=x 135 o 45 o Ο x y Τέλος, αν µια ευθεία διέρχεται από το σηµείο A ( x 0, y0 ) και είναι παράλληλη x x στον άξονα, δηλαδή είναι όπως λέµε µια οριζόντια ευθεία, έχει εξίσωση y y0 = 0( x x0 ), δηλαδή y= y 0. ε y 0 Α(x 0,y 0 ) Ο x Μια εξίσωση του τύπου Ax+By+C=0 όπου τα Α και Β είναι διάφορα του µηδενός λέγεται γραµµική εξίσωση. Η ονοµασία αυτή εξηγείται στο παρακάτω θεώρηµα. ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε γραµµική εξίσωση προσδιορίζει µια γραµµή. ΑΠΟ ΕΙΞΗ 1 η περίπτωση: Β = 0. Τότε η Αx + C = 0 γίνεται x = C/A. Αυτή η εξίσωση είναι µια κάθετη γραµµή. 2 η περίπτωση: Β 0. Τότε γίνεται y =( Ax C)/ B ή y = (A/B) x C/B. Αυτή είναι µια γραµµή µε κλίση Α/Β που τέµνει τον άξονα των y στο σηµείο (0, C/B). 17

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Βρες την κλίση της γραµµής 8x 4y + 10 = 0. 8 Η κλίση είναι λ = = 2. Εποµένως η εξίσωση µπορεί να γραφεί 4 5 y= 2x+. 2 1.4 ΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑ: Η ΓΡΑΜΜΗ ΤΩΝ ΥΠΕΡΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Στην ενότητα 1.2 είδαµε ότι η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία (x 1, y 1 ) και (x 2, y 2 ) είναι ο λόγος του ρυθµού µεταβολής του y ως προς το x. κλίση = y / x = (y 2 y 1 )/(x 2 x 1 ) Η εξίσωση της ευθείας είναι y=λx+β όπου το συνεχές λ είναι η κλίση. Τι συµπεράσµατα µπορούµε να βγάλουµε από την κλίση µιας καµπύλης; Ο ιαφορικός Λογισµός µας βοηθάει να απαντήσουµε την ερώτηση και µας παρέχει µια µέθοδο υπολογισµού της τιµής της κλίσης. Χρησιµοποιώντας την παραβολή y = x².θα περιγράψουµε την υπολογισµού της κλίσης. Η κλίση καθορίζει την κατεύθυνση της καµπύλης ακριβώς όπως καθορίζει την κατεύθυνση µιας ευθείας. Η κλίση της παραβολής είναι διαφορετική σε διαφορετικά σηµεία του άξονα x x επειδή η κατεύθυνση της καµπύλης αλλάζει. Αν (x o, y 0 ) και (x 0 + x, y 0 + y) είναι δυο διαφορετικά σηµεία στην καµπύλη, τότε «η µέση κλίση» της καµπύλης ανάµεσα σε αυτά τα δυο σηµεία ορίζεται ως ο λόγος της αλλαγής του y ως προς την αλλαγή του x, µέση κλίση = y / x. Το ίδιο γίνεται και µε την κλίση της ευθείας γραµµής από τα σηµεία (x 0, y 0 ) και (x 0 + x, y 0 + y), όπως φαίνεται στην Εικόνα 1.4.1. Εικόνα 1.4.1 Τα σηµεία (x 0, y 0 ) και (x 0 + x, y 0 + y) είναι σηµεία της καµπύλης, οπότε y 0 = x 0 ² και y 0 + y = (x 0 + x)². 18

Αφαιρώντας κατά µέλη έχω: y = (x 0 + x)² - x 0 ² y ιαιρώ µε το x και τα δυο µέλη και έχω, x = (x 0+ x)² x 0 ² x 2 2 2 2 y Οπότε: x = x0 + 2 x 0 x+ ( x) x0 2 x 0 x+ ( x) = = 2x0+ x x x Έτσι η µέση κλίση είναι y x = 2x 0 + x, µε x 0 για να ορίζεται το πηλίκο. Ακολουθώντας έναν µη σχολαστικό τρόπο η κλίση της καµπύλης στο σηµείο (x 0, y 0 ) µπορεί να βρεθεί ως εξής: Έστω x ένας πολύ µικρός αριθµός (µη µηδενικός). Τότε το σηµείο (x 0 + x, y 0 + y) είναι πολύ κοντά στο σηµείο (x 0, y 0 ).Έτσι η µέση κλίση µεταξύ αυτών των δυο σηµείων είναι κοντά στην κλίση της καµπύλης στο σηµείο (x 0, y 0 ) Εποµένως: Η [ κλίση στο (x 0, y 0 )] είναι κοντά στο 2x 0 + x. Το x είναι αµελητέο επειδή είναι πολύ µικρό και έτσι έχουµε: [κλίση στο (x 0, y 0 )] = 2x 0. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Στο σηµείο (0, 0) η κλίση είναι 0, στο σηµείο (1, 1) η κλίση είναι 2 και στο σηµείο ( 3, 9) η κλίση είναι 6. (Εικόνα 1.4.2) Εικόνα 1.4.2 Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να ερµηνεύσουµε την µέση ταχύτητα. Θέτοντας t τον χρόνο και υποθέτοντας ότι ένα σωµατίδιο κινείται κατά µήκος του άξονα των y σύµφωνα µε την εξίσωση y = t². Η ταχύτητα θα είναι ίδια µε την κλίση της καµπύλης y = t² και η µέση ταχύτητα είναι ίδια µε την κλίση. Το πρόβληµα µε την κλίση ή την ταχύτητα είναι ότι δεν είναι ξεκάθαρο πότε θεωρούµε κάποιον όρο «αµελητέο». Πρέπει να γίνει διαχωρισµός των 19

µικρών αριθµών που πρέπει να παραληφθούν έναντι των µεγάλων. Αυτή η δυσκολία ξεπερνιέται µε την εισαγωγή ενός καινούργιου είδους αριθµού που είναι πολύ µικρός αλλά διάφορος του µηδενός. Ένας αριθµός ε λέγεται απειροελάχιστος αν -α ε α για κάθε θετικό πραγµατικό αριθµό α. Τότε ο µόνος πραγµατικός αριθµός που είναι απειροελάχιστος είναι το µηδέν. Αρχικά θα δώσουµε µια διαισθητική αντίληψη των υπερπραγµατικών αριθµών και θα δείξουµε πως µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να βρεθεί η κλίση µιας καµπύλης. Το σύνολο των υπερπραγµατικών αριθµών συµβολίζεται µε το R*. Κάθε πραγµατικός αριθµός ανήκει στο R* αλλά το R*αποτελείται και από άλλα στοιχεία. Τα απειροστικά του R* είναι τριών ειδών: θετικά, αρνητικά και το µηδέν. Τα x, y,ε και δ θα χρησιµοποιούνται για τα απειροστικά. Αν α και β είναι υπερπραγµατικοί αριθµοί των οποίων η διαφορά α β είναι απειροελάχιστη, λέµε ότι το α είναι απείρως κοντά στο β. Για παράδειγµα, αν x είναι απειροελάχιστο τότε το x 0 + x είναι απείρως κοντά στο x 0. Αν ε είναι θετικός απειροελάχιστος, τότε το ε είναι αρνητικός απειροελάχιστος. Το 1/ε θα είναι ένας άπειρος θετικός αριθµός, δηλαδή, θα είναι µεγαλύτερος από οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό. Από την άλλη πλευρά, το 1/ε θα είναι ένας άπειρος αρνητικός αριθµός. Υπερπραγµατικοί αριθµοί οι οποίοι δεν είναι άπειροι λέγονται πεπερασµένοι. Η εικόνα 1.4.3 δείχνει τη γραµµή των υπερπραγµατικών αριθµών. Οι κύκλοι απεικονίζουν «απειροελάχιστα µικροσκόπια» τα οποία δείχνουν ένα απείρως µικρό τµήµα της υπερπραγµατικής γραµµής. Οι πραγµατικοί αριθµοί είναι διασκορπισµένοι ανάµεσα στους πεπερασµένους αριθµούς. Κάθε πραγµατικός αριθµός γ είναι ένα τµήµα της υπερπραγµατικής γραµµής αποτελούµενος από αριθµούς απειροελάχιστα κοντά στο γ (βλέπε σχήµα για γ = 0 και γ = 100). Αριθµοί απείρως κοντά στο 0 είναι τα απειροελάχιστα. εικόνα 1.4.3 20

Οι υπερπραγµατικοί αριθµοί µπορούν να χρησιµοποιηθούν στην άλγεβρα όπως οι πραγµατικοί αριθµοί. Θα προσπαθήσουµε να βρούµε την κλίση της παραβολής y = x² χρησιµοποιώντας υπερπραγµατικούς αριθµούς. Έστω (x 0, y 0 ) ένα πραγµατικό σηµείο της καµπύλης y = x² και x, y θετικοί ή αρνητικοί απειροελάχιστοι. Τότε: [κλίση στο (x 0, y 0 )] = [ο πραγµατικός αριθµός απείρως κοντά στο y x ]. y Υπολογίζουµε όπως πριν. Αφού το x είναι απειροελάχιστο, ο x υπερπραγµατικός αριθµός 2x 0 + x είναι απείρως κοντά στον πραγµατικό αριθµό 2x 0. Άρα: [κλίση στο (x 0, y 0 )] = 2x 0. 1.5 ΑΠΕΙΡΟΕΛΑΧΙΣΤΟΙ, ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΙ ΚΑΙ ΑΠΕΙΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Όλο το µάθηµα του λογισµού αναπτύσσεται από τρείς βασικές αρχές που συνδέουν τους πραγµατικούς και τους υπερπραγµατικούς αριθµούς. Αυτές είναι: i) η Αρχή της Επέκτασης ii) η Αρχή της Μεταφοράς και iii) η Αρχή του Τυπικού Μέρους Ι. Η ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ (α) Οι πραγµατικοί αριθµοί δηµιουργούν ένα υποσύνολο υπερπραγµατικών αριθµών, και η σχέση x < y για τους πραγµατικούς αριθµούς είναι ένα υποσύνολο της σχέσης των υπερ-πραγµατικών αριθµών. (β) Υπάρχει ένας υπερ-πραγµατικός αριθµός που είναι µεγαλύτερος από το µηδέν αλλά µικρότερος από κάθε θετικό πραγµατικό αριθµό. (γ) Για κάθε πραγµατική λειτουργία f µιας ή περισσότερων µεταβλητών δίνεται µια α αντίστοιχη υπερ-πραγµατική λειτουργία f* του ίδιου αριθµού µεταβλητών. Το f* λέγεται η φυσική επέκταση του f. ΟΡΙΣΜΟΣ Ένας υπερ-πραγµατικός αριθµός b λέγεται: Θετικός απειροελάχιστος αν b είναι θετικός αλλά µικρότερος από κάθε θετικό πραγµατικό αριθµό. Αρνητικός απειροελάχιστος αν b είναι αρνητικός αλλά µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό πραγµατικό αριθµό. Απειροελάχιστος αν b είναι θετικός απειροελάχιστος, αρνητικός απειροελάχιστος ή µηδενικός. 21

H Αρχή της Επέκτασης µας επιτρέπει να εφαρµόσουµε πραγµατικές συναρτήσεις στους υπερπραγµατικούς αριθµούς. Αφού η συνάρτηση της πρόσθεσης είναι µια πραγµατική συνάρτηση δυο µεταβλητών, η φυσική του προέκταση +* είναι µια υπερ-πραγµατική συνάρτηση δυο µεταβλητών. Αν τα x και y είναι υπερπραγµατικοί αριθµοί, το άθροισµα του x και y είναι ο αριθµός x + *y που σχηµατίζεται χρησιµοποιώντας τη φυσική προέκταση του +. Οµοίως, το γινόµενο του x και y είναι ο αριθµός x *y που σχηµατίζεται χρησιµοποιώντας τη φυσική προέκταση της συνάρτησης του γινοµένου. Προς µεγαλύτερη ευκολία, θα παραλείψουµε τους αστερίσκους και θα γράψουµε απλά x + y και x y ως το άθροισµα και το γινόµενο δυο υπερπραγµατικών αριθµών x και y. Χρησιµοποιώντας τις φυσικές προεκτάσεις των συναρτήσεων του αθροίσµατος και του γινοµένου, θα είµαστε ικανοί να εξελίξουµε την άλγεβρα για τους υπερπραγµατικούς αριθµούς. Το (γ) µέρος της Επεκτατικής Αρχής, µας επιτρέπει να χρησιµοποιήσουµε εκφράσεις όπως cos (x) ή sin (x + cos (y)), που συµπεριλαµβάνουν µια ή περισσότερες πραγµατικές συναρτήσεις. Τέτοιου είδους εκφράσεις λέγονται πραγµατικές. Αυτές οι εκφράσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν ακόµη και όταν τα x και y είναι υπερ-πραγµατικοί αριθµοί αντί για πραγµατικοί. Για παράδειγµα, όταν x και y είναι υπερπραγµατικοί αριθµοί, sin (x + cos (y)) θα σηµαίνει sin* (x + cos* (y)), όπου τα sin* και cos* είναι οι φυσικές προεκτάσεις των sin και cos. Οι αστερίσκοι παραλείπονται όπως πριν. ΙΙ. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Κάθε πραγµατική δήλωση που ισχύει για µια ή περισσότερες συγκεκριµένες πραγµατικές συναρτήσεις ισχύει και για τις υπερπραγµατικές, φυσικές προεκτάσεις αυτών των συναρτήσεων. Ακολουθούν 7 παραδείγµατα που διευκρινίζουν τι εννοούµε µε τον όρο πραγµατική δήλωση. (1) Νόµος λήξης της πρόσθεσης: για κάθε x και y, το άθροισµα x + y ορίζεται. (2) Επικοινωνιακός νόµος της πρόσθεσης: x + y = y + x. (3) Ένας κανόνας για τη σειρά: αν 0 < x < y, τότε 0 < 1/y < 1/x. (4) Η διαίρεση µε το µηδέν δεν επιτρέπεται: το x/0 δεν ορίζεται. (5) Μια αλγεβρική ταυτότητα: (x y)² = x² - 2xy + y². (6) Μία τριγωνοµετρική ταυτότητα: sin²x + cos²x = 1. (7) Ένας κανόνας των λογαρίθµων: αν x > 0 και y >0, τότε log 10 (xy) = log 10 x + log 10 y. 22

Κάθε παράδειγµα έχει δυο µεταβλητές, x και y, και είναι αληθές όταν τα x και y είναι πραγµατικοί αριθµοί. Η Αρχή της Μεταφοράς εξηγεί ότι κάθε παράδειγµα ισχύει επίσης όταν τα x και y είναι υπερπραγµατικοί αριθµοί. Μια πραγµατική δήλωση χρησιµοποιείται συχνά για να ορίσουµε µια καινούργια πραγµατική συνάρτηση από παλιές πραγµατικές συναρτήσεις. Από την Αρχή της Μεταφοράς, όταν µια πραγµατική δήλωση ορίζει µια πραγµατική συνάρτηση, η ίδια πραγµατική δήλωση ορίζει επίσης την υπερ-πραγµατική φυσική επέκταση της συνάρτησης. Τρία παραδείγµατα είναι: (8) Η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας ορίζεται από την πραγµατική δήλωση y = x αν και µόνο αν y² = x και y 0. (9) Η συνάρτηση της απόλυτης τιµής ορίζεται από την πραγµατική δήλωση y = x αν και µόνο αν y = x². (10) Η συνάρτηση του κοινού λογαρίθµου ορίζεται από την πραγµατική δήλωση y = log 10 x αν και µόνο αν 10 y = x.. Η Αρχή της Επέκτασης αναλύει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας θετικός απειροελάχιστος υπερπραγµατικός αριθµός έστω ε. Ξεκινώντας από το ε και χρησιµοποιώντας την Αρχή της Μεταφοράς για να κατασκευάσουµε πολλούς άλλους άπειρους θετικούς και αρνητικούς απειροελάχιστους. Όπως για παράδειγµα τους θετικούς απειροελάχιστους ε³, ε², ε, 75 ε, ε, ε + ε και τους αρνητικούς απειροελάχιστους όπως ε, ε², - 1/ε. ΟΡΙΣΜΟΣ Ένας υπερ-πραγµατικός αριθµός b λέγεται: Πεπερασµένος αν το b βρίσκεται ανάµεσα σε δυο πραγµατικούς αριθµούς. Θετικός άπειρος αν το b είναι µεγαλύτερο από κάθε πραγµατικό αριθµό. Αρνητικός άπειρος αν το b είναι µικρότερο από κάθε πραγµατικό αριθµό. Σηµείωση: κάθε απειροελάχιστος αριθµός είναι πεπερασµένος. Κανόνες για απειροελάχιστους, πεπερασµένους και άπειρους αριθµούς Υποθέτουµε ότι τα ε, δ είναι απειροελάχιστοι, τα b και c υπερ-πραγµατικοί αριθµοί που είναι πεπερασµένοι αλλά όχι απειροελάχιστοι και τα H και K που είναι άπειροι υπερ-πραγµατικοί αριθµοί. i. Πραγµατικοί Αριθµοί: Ο µόνος απειροελάχιστος πραγµατικός αριθµός είναι το 0. Κάθε πραγµατικός αριθµός είναι πεπερασµένος. 23

i. Αρνητικοί: ε είναι απειροελάχιστος. b είναι πεπερασµένος αλλά όχι απειροελάχιστος. Η είναι άπειρος. ii. Αντίστροφοι: Αν ε 0, 1/ε είναι άπειρος. 1/b είναι πεπερασµένος αλλά όχι απειροελάχιστος. 1/Η είναι απειροελάχιστος. iii. Αθροίσµατα: ε + δ είναι απειροελάχιστοι. b + ε είναι πεπερασµένος αλλά όχι απειροελάχιστος. b + c είναι πεπερασµένος (πιθανόν απειροελάχιστος). Η + ε και Η + b είναι άπειροι. iv. Γινόµενα: δ ε και b ε είναι απειροελάχιστοι. b c είναι πεπερασµένος αλλά όχι απειροελάχιστος. H b και H K είναι άπειροι. v. Πηλίκα: ε/b, ε/η, και b/h είναι απειροελάχιστοι. b/c είναι πεπερασµένος αλλά όχι απειροελάχιστος. b/ε, Η/ε, και Η/b είναι άπειροι αν ε 0. vi. Ρίζες: Αν ε > 0, n ε n ε είναι απειροελάχιστη. Αν b > 0, n b Αν Η > 0, είναι πεπερασµένη αλλά όχι απειροελάχιστη. n H είναι άπειρη. Σηµείωση: εν δώσαµε κανέναν κανόνα για τους ακόλουθους συνδυασµούς: ε/δ, το πηλίκο δυο απειροελάχιστων. Η/Κ, το πηλίκο δυο άπειρων αριθµών. Ηε, το γινόµενο ενός άπειρου αριθµού και ενός απειροελάχιστου. Η + Κ, το άθροισµα δυο άπειρων αριθµών. Καθένας από αυτούς µπορεί να είναι απειροελάχιστος ή πεπερασµένος, αλλά όχι απειροελάχιστος ή άπειρος, εξαρτώµενος από το τι είναι τα ε, δ, Η και Κ. Για αυτό το λόγο, ονοµάζονται απροσδιόριστοι τύποι. 24

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν ε 0, το πηλίκο είναι άπειρο. 4 3 Ο παρανοµαστής 5ε + ε δεν είναι µηδενικός επειδή γράφεται ως γινόµενο µη µηδενικών παραγόντων, Αν βγάλουµε κοινό παράγοντα το ε² από αριθµητή και παρανοµαστή, παίρνουµε Βλέπουµε ότι: ε² - ε + 2 είναι πεπερασµένο αλλά όχι απειροελάχιστο, 5ε² + ε είναι απειροελάχιστο, ε² - ε + 2 / 5ε² + ε είναι άπειρο. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (iii) Kάθε υπερπραγµατικός αριθµός που βρίσκεται ανάµεσα σε δυο απειροελάχιστους είναι απειροελάχιστος. (iv) Κάθε υπερπραγµατικός αριθµός που είναι ανάµεσα σε δυο πεπερασµένους υπερπραγµατικούς αριθµούς είναι πεπερασµένος. 25

(v) Κάθε υπερπραγµατικό αριθµός που είναι µεγαλύτερος από µερικούς θετικούς άπειρους αριθµούς είναι θετικός άπειρος. (vi) Kάθε υπερπραγµατικός αριθµός που είναι µικρότερος από µερικούς αρνητικούς άπειρους αριθµούς είναι αρνητικός άπειρος. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν Η είναι ένας θετικός άπειρος, τότε είναι απειροελάχιστο. Αυτό αποδεικνύεται µε τη βοήθεια της άλγεβρας Οι αριθµοί Η + 1, Η 1 και οι τετραγωνικές τους ρίζες είναι θετικοί άπειροι, και έτσι το άθροισµα Η+ 1+ Η 1 είναι θετικός άπειρος. Γι` αυτό το πηλίκο είναι ένας πεπερασµένος αριθµός διαιρούµενος µε έναν άπειρο αριθµό, οπότε είναι απειροελάχιστος. 1.6 ΤΥΠΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Σ αυτήν την ενότητα θα αναπτύξουµε µια µέθοδο που θα µας δώσει την δυνατότητα να υπολογίσουµε την κλίση µιας καµπύλης µε την χρήση των απειροελάχιστων. Το βήµα κλειδί θα είναι να βρούµε το σταθερό µέρος ενός δοθέντος υπερπραγµατικού αριθµού δηλαδή τον πραγµατικό αριθµό που είναι απείρως κοντά σε αυτόν. ΟΡΙΣΜΟΣ υο υπερ-πραγµατικοί αριθµοί b και c λέγεται ότι βρίσκονται απείρως κοντά ο ένας στον άλλο, µε τα σύµβολα b c, αν η διαφορά τους b c είναι απειροελάχιστη. Το b c σηµαίνει ότι το b δεν είναι απείρως κοντά στο c. Aκολουθούν τρεις απλές παρατηρήσεις. 1) Αν το ε είναι απειροελάχιστος αριθµός, τότε b b + ε. Αυτό είναι αληθές επειδή η διαφορά b (b + ε) = ε, είναι απειροελάχιστη. 2)Το b είναι απειροελάχιστο αν και µόνο αν b 0. Ο τύπος b 0 θα χρησιµοποιηθεί ως ένας σύντοµος τρόπος να γράψουµε ότι το «b είναι απειροελάχιστο.» 26

3)Αν b και c είναι πραγµατικοί και το b είναι απείρως κοντά στο c, τότε το b ισούται µε το c. H διαφορά b c είναι πραγµατική και απειροελάχιστη, άρα µηδενική. Έτσι, b = c. Η σχέση ανάµεσα στους υπερπραγµατικούς αριθµούς συµπεριφέρεται σαν ισότητα αλλά φυσικά, δεν είναι το ίδιο µε την ισότητα. Υπάρχουν τρεις βασικές ιδιότητες για τη σχέση. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Έστω ότι τα a, b και c είναι υπερ-πραγµατικοί αριθµοί. i. a a. ii. Αν a b, τότε b a. iii. Αν a b και b c, τότε a c. ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Υποθέτουµε ότι α b. Τότε (i) Αν το α είναι απειροελάχιστο, το ίδιο ισχύει για το b. (ii) Αν το α είναι πεπερασµένο, το ίδιο ισχύει για το b. (iii) Αν το α είναι άπειρο, το ίδιο ισχύει για το b. Οι πραγµατικοί αριθµοί λέγονται µερικές φορές «τυπικοί» όροι, ενώ οι υπερπραγµατικοί αριθµοί που δεν είναι πραγµατικοί λέγονται «µη-τυπικοί» όροι. Για αυτό το λόγο, ο πραγµατικός αριθµός που είναι απείρως κοντά στο b λέγεται «τυπικός µέρος» του b. Ένας άπειρος αριθµός δεν µπορεί να έχει ένα τυπικό µέρος, επειδή αυτό αν υπήρχε θα έπρεπε να είναι απείρως κοντά σε έναν πεπερασµένο αριθµό (Θεώρηµα 2). III. Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΤΥΠΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ Κάθε πεπερασµένος υπερ-πραγµατικός αριθµός είναι απείρως κοντά σε ακριβώς έναν πραγµατικό αριθµό. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω b ένας πεπερασµένος υπερ-πραγµατικός αριθµός. Το τυπικό µέρος του b, όπως ορίζεται από st (b), είναι ο πραγµατικός αριθµός ο οποίος είναι απείρως κοντά στο b. Οι άπειροι υπερ-πραγµατικοί αριθµοί δεν έχουν τυπικά µέρη. Εδώ υπάρχουν µερικά στοιχεία που έπονται του ορισµού. Έστω ότι b είναι ένας πεπερασµένος υπερ-πραγµατικός αριθµός. i. St (b) είναι ένας πραγµατικός αριθµός. ii. B = st (b) + ε για µερικούς απειροελάχιστους ε. iii. Αν ο b είναι πραγµατικός, τότε b = st (b). 27

ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Έστω ότι a και b είναι πεπερασµένοι υπερ-πραγµατικοί αριθµοί. Τότε ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Αν st (c) = 4 και c 4, βρες Τότε ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2 Αν το ε είναι απειροελάχιστος αλλά όχι µηδενικός, βρες το τυπικό µέρος του Τόσο ο αριθµητής όσο και ο παρανοµαστής είναι µη µηδενικοί απειροελάχιστοι. Πρώτο Στάδιο Πολλαπλασιάζουµε τον αριθµητή και τον παρανοµαστή µε το 5 + 25+ ε εύτερο Στάδιο 28

Τρίτο Στάδιο st(b) = -5-25 = -10. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Θυµήσου ότι οι απείρως υπερπραγµατικοί αριθµοί δεν 3+ ε 2 έχουν τυπικά µέρη. Σκέψου τον άπειρο υπερπραγµατικό αριθµό 4ε + ε όπου ε είναι ένας µη µηδενικός απειροελάχιστος. Ο αριθµητής και ο παρανοµαστής έχουν τυπικά µέρη st(3+ε) = 3, st(4ε + ε 2 ) = 0. Όµως, το πηλίκο δεν έχει τυπικό µέρος. Με άλλα λόγια, 3+ ε το st 2 δεν ορίζεται. 4ε + ε 29

ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η πτυχιακή εργασία µε τίτλο << Μια άλλη προσέγγιση του Απειροστικού Λογισµού >> βασίζεται στο βιβλίο του H. Jerome Keisler µε τίτλο Elementary Calculus - An Infinitesimal Approach. Με την εργασία αυτή προσπαθήσαµε να εισάγουµε διαισθητικά την έννοια των απειροελάχιστων τα οποία από πολλούς καθηγητές και φοιτητές θεωρούνται πιο κατανοητά σε σχέση µε την χρήση του ορισµού έψιλον-δέλτα του ορίου. Αναλυτικότερα στις ενότητες 1.1 έως 1.3 παρουσιάστηκαν βασικές και ήδη γνωστές στους µαθητές-έννοιες των συναρτήσεων καθώς και µερικές ακόµη βασικές έννοιες της Ανάλυσης. Στην ενότητα 1.4 ακολούθησε µια διαισθητική αντίληψη των υπερ-πραγµατικών αριθµών και εξηγήθηκε πως αυτοί µπορούν να χρησιµοποιηθούν στον υπολογισµό της κλίσης των καµπυλών. Τέλος στις ενότητες 1.5 και 1.6 µάθαµε πως να χρησιµοποιούµε τους υπερ-πραγµατικούς αριθµούς και συγκεκριµένα πως να υπολογίζουµε τα τυπικά µέρη. 30