ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΟΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΥ Πρότση: Το άθροισµ τω πείρω όρω µις γεωµετρικής προόδου που έχει πρώτο όρο κι λόγο λ, λ < είι Το άθροισµ S = + +... S = λ Εφρµογή : Ν υπολογίσετε το άθροισµ : + + +... + +... Οι άπειροι όροι,,, Άρ S = = = = 6. λ = κι, είι διδοχικοί όροι Γ.Π. µε λ=. Εφρµογή : Ν βρείτε το κοιό κλάσµ, πό το οποίο πράγετι το δεκδικό περιοδικό κλάσµ,55... Το δεκδικό κλάσµ (περιοδικό) γράφετι 5 5 5 + + + +... 000 (000) (000) 5 5 5 5 Αλλά + +... = 000 = 000 (000) 999 000 Άρ 5 509,55... = + = 999 999
Εφρµογή : Συδέουµε τ µέσ A, B,Γ τω πλευρώ ισοπλεύρου τριγώου ABΓ του οποίου η πλευρά είι. Στη συέχει συδέουµε τ µέσ του ABΓ κι έστω ABΓ το επόµεο τρίγωο του οποίου συδέουµε τ µέσ, κ.ο.κ. Ν υπολογιστεί το άθροισµ τω περιµέτρω κι τω εµβδώ τω πείρω τριγώω. Είι γωστό ότι: Το ύψος κι το εµβδό ισοπλεύρου τριγώου πλευράς δίετι πό τους τύπους: υ= κι Ε= τίστοιχ. Στο ABΓ έχουµε περίµετρο κι εµβδό Στο ABΓ έχουµε περίµετρο κι εµβδό 6 Στο ABΓ έχουµε περίµετρο.. Άρ: άθροισµ περιµέτρω S= + + +... = = 6 κι εµβδό 6 Άθροισµ εµβδώ: Ε= + + +... = + + +... 6 6 6 6 = =
Εφρµογή : Ν λυθεί η εξίσωση... x + + + = 6 8 Το άπειρο πλήθος που έχουµε µέσ στη γκύλη είι γεωµετρική πρόοδος µε λ = <. Άρ + + +... = = 8 Κι η εξίσωση γίετι x = 6 x= 6 Εφρµογή 5: Ν ποδειχτεί ότι... (άπειρο πλήθος ριζικώ) = Απόδειξη: 8 8 6... =... =... =... = + + + +... 8 6 8 6 =... = =
ΜΙΚΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ Ορισµός: Μί κολουθί,,...,,... κλείτι µικτή γεωµετρική πρόοδος τότε κι µόο τότε, ότ ο -ιοστός όρος υτής, γι κάθε είι γιόµεο τω -ιοστώ όρω µις ριθµητικής προόδου (, ω ) κι µις γεωµετρικής ( β, λ ), δηλδή γι κάθε ο είι της µορφής { ( ) } { + ω βλ } Πρότση: Α Sτο άθροισµ τω πρώτω όρω µις µικτής γεωµετρικής προόδου µε ιοστό { },( ) γ = + ω βλ λ τότε όρο ( ) Απόδειξη: S { ( ) } βωλ ( λ ) λ ( λ) β + ω βλ = + { } Επειδή S ( )... ( ) Έπετι ότι =β + +ω βλ+ + + ω βλ { } ( ) ( ) S λ=βλ+ +ω βλ +... + + ω βλ Με φίρεση κτά µέλη έπετι ότι: ( ) ( ) { } S λ =β +ωβλ+ωβλ +... +ωβλ + ω βλ = ωβλ ωβλ β + { + ( ) ω} βλ λ S Άρ: { ( ) } βωλ ( λ ) λ ( λ) β + ω βλ = +
Άσκηση Ν υπολογιστεί το άθροισµ S... = + + + +, Λύση () Πρτηρούµε ότι ο -ιοστός όρος είι γιόµεο -ιοστώ όρω ριθµητικής (, ) κι γεωµετρικής (, ). Τότε εργζόµστε ως εξής: Πολλπλσιάζουµε τη () µε λ: λ S= S=+ + +... + () Με φίρεση τω () κι () πίρουµε: ( ) = + + + + { + + + + } S...... = ++ +... + = S( ) = S= ( )
. Έστω η κολουθί ( ) Γεικές Ασκήσεις µε = κι + 5 + = Ν. Ν δείξετε ότι η κολουθί ( β ) µε γεικό όρο β = είι µι γεωµετρική πρόοδος µε ω=. Ύστερ βρείτε τους ιοστούς όρους β κι 5 κι ( ) τιστοίχως συρτήσει του. τω κολουθιώ ( β ). Έστω η κολουθί,,... =, µε ( ) = + κι =, =β. Ν ποδείξετε ότι η κολουθί β, =,,... µε γεικό όρο β = είι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο συρτήσει τω, β κι.. Έστω η κολουθί, =,,... γι τη οποί είι: ω=. Στη συέχει εκφράσετε το =ξ + n Ν, ξ, n R + + Ν ποδείξετε ότι: Α ο λόγος, όπου 0είι ρίζ της εξίσωσης x ξx n= 0, τότε η κολουθί ( ) Ν είι µι γεωµετρική πρόοδος.. Συδέουµε τ µέσ Α, Β, Γ, τω πλευρώαβγ τετργώου πλευράς. Μετά συδέουµε τ µέσ Α, Β, Γ, τω πλευρώ ΑΒΓ, έπειτ τ µέσ τω πλευρώ, κ.ο.κ. Ν βρεθεί ως συάρτηση του, το άθροισµ τω περιµέτρω τω τετργώω που σχηµτίζοτι. 5. Σε κύκλο µε κτί ρ εγγράφουµε τετράγωο, σ υτό εγγράφουµε κύκλο, στο κύκλο έο τετράγωο κ.ο.κ. Ν βρεθεί συρτήσει τουρ, το άθροισµ τω εµβδώ τω πείρω σε πλήθος i) κύκλω κι ii) τετργώω.
λ µ 6. Έστω οι θετικοί ριθµοί, β, γ, κι θετικοί κέριοι λ, µ, µε = β= γ. Ν δείξετε ότι οι, β, γ διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, κι µόο οι λ, µ, είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. 7. Α σε µί ριθµητική πρόοδο το άθροισµ τω κ πρώτω όρω είι 0, ποδείξτε ότι το άθροισµ τω µ επόµεω όρω της είι ( ) κ+µ µ κ, κ>. 8. Α οι, β, γ διδοχικοί όροι ρµοικής προόδου δείξετε ότι οι ( β+γ ), β( γ+ ), γ( +β ) διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. 9. Ν βρεθεί ο λ Ζ ώστε η εξίσωση ( λ+ ) ( ) x x + λ = 0 έχει ρίζες διφορετικές κι είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. x β y=γ 0. Α το σύστηµ x + β x +γ y = 0 διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. β γ 0 έχει λύση δείξτε ότι, β, γ. Ν βρεθεί ο (µέγιστος) ριθµός τω χωρίω που σχηµτίζοτι πό ευθείες στο ( ) + επίπεδο. [Απ.: + ]. Ν βρεθεί ο (µέγιστος) ριθµός τω χωρίω που σχηµτίζοτι πό κύκλους στο επίπεδο. [Απ.: +, ]