3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις που μς ζητού βρούμε κάποιους όρους της κολουθίς ή ποιος όρος της ισούτι με μι τιμή κ. Ότ μς ζητού βρούμε το λ όρο μις κολουθίς: Τοποθετούμε στο τύπο της όπου το λ κι κάουμε πράξεις.. Δίετι η κολουθί +. Ν βρείτε το ο, το 8ο κι το 0ο όρο της , , Δίετι μι κολουθί ( ) με γεικό όρο Ν βρείτε: i) Τους πέτε πρώτους όρους ii) Το + όρο --- i) Ο πρώτος όρος της κολουθίς είι ο, που προκύπτει θέσουμε στο τύπο της κολουθίς. Έτσι βρίσκουμε: Ομοίως: Γι, ο δεύτερος όρος είι ο. Γι, ο τρίτος όρος είι ο 6. Γι,ο τέτρτος όρος είι ο 7. Γι 5, ο πέμπτος όρος είι ο

2 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ii) Γι βρούμε το όρο +, τικθιστούμε στο τύπο όπου το +, οπότε έχουμε: + ( + ) ( + + ) ή *. Δίετι η κολουθί: +, Ν. Ν βρεθεί το άθροισμ τω πέτε πρώτω όρω της. Ατικθιστώτς διδοχικά όπου τις τιμές,,,, 5 έχουμε: κι προσθέτοτς κτά μέλη πίρουμε: Πρτήρηση: Ότ μς ζητού το άθροισμ τω κ όρω μις κολουθίς βρίσκουμε μέσω του τύπου το κάθε όρο ξεχωριστά κι μτά προσθέτουμε όλους τους όρους Δίετι η κολουθί (, με Ν βρεθού: i. οι τρεις πρώτοι όροι, Είι: οπότε: i., , ). + ii. ποιος όρος της κολουθίς ισούτι με 5, iii. οι όροι της κολουθίς που είι κέριοι ριθμοί ii. Πρέπει: v + 5 +

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ( ) 0 0 * διότι Ν κι έτσι 0. Επομέως ο ριθμός 5 είι ο τέτρτος όρος της κολουθίς. iii. Έχουμε: ( + ) + 5 ( + ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότ μς ζητού βρούμε ποιος όρος της κολουθίς ισούτι με κ τότε:. Θέτουμε με κ.. Λύουμε ως προς 5 Γι είι ο κέριος, πρέπει κι ο είι κέριος. + Αυτό συμβίει μόο ο + είι διιρέτης του 5. Έτσι: * + 0, πορρίπτετι διότι Ν +, πορρίπτετι , πορρίπτετι Άρ μόο ο τέτρτος όρος κολουθίς ( ) είι κέριος Δίετι η κολουθί. Ν βρείτε τη τάξη του όρου υτής που είι ίσος με Λύουμε τη 9, δηλδή 9. Άρ Άρ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις που μς ζητού το γεικό όρο μις κολουθίς ότ ξέρουμε το άθροισμ το πρώτω όρω. Ν βρεθεί ο γεικός όρος της κολουθίς ), το άθροισμ S τω πρώτω όρω της είι: i. S + 5 ii. S (

4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) + 5( ) i. S 5 άρ: S S , ( ) ( ) + + Άρ: + ii. S, άρ: S S + Άρ: ( ). Α είι κολουθί κι S το άθροισμ τω πρώτω όρω υτής βρείτε το ιοστό όρο της κολουθίς είι γωστό ότι S 5. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότ μς ζητού βρούμε το γεικό όρο μις κολουθίς ότ ξέρουμε το άθροισμ το πρώτω όρω:. Βρίσκουμε τ S, S - S S S - S - S S Άρ: S S - [ 5] [( ) 5( )] 5 [ ] η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Γεικές σκήσεις. Δίοτι οι κολουθίες: + π κι β ( ) + εφ. Ν βρείτε τη σχέση μετξύ τω όρω τους.

5 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ π εφ κι β ( ) 5π εφ β ( ) 7π εφ β ( ) Πρτηρούμε ότι ( ) κι β ( ) + Οπότε + β ( ) + ( ) + Άρ + β ( ) + 0 περιττος ρτιος. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις που μς ζητού βρούμε κάποι στοιχεί (ω,..) μις ριθμητικής προόδου Τ συστήμτ στις ριθμητικές προόδους λύοτι εύκολ με τίθετους συτελεστές.. Α ο 8 ος όρος μις ριθμητικής προόδου είι 0 κι ο 7 ος είι 5, βρείτε: i. το 5 ο όρο της ii. το άθροισμ τω 0 πρώτω όρω της ω 0 () 7ω ω 5 + 6ω 5 Προσθέτοτς κτά μέλη, έχουμε: 9 ω 95 ω 5 Η εξίσωση (), γι ω 5, γίετι: Οπότε: 5 + ω , άρ 5 55 κι: 0 S 0 ( ( 5) + 9 5) 0( ) , άρ S

6 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ). Σε ριθμητική πρόοδο δίοτι: 6, 556 κι 996. Ν βρεθεί ο ος όρος της προόδου κι το πλήθος τω όρω της. 6 + ω 6 Έχουμε: ω ( ) ω 996 Αφιρώτς τις δύο πρώτες σχέσεις πίρουμε: 99 ω 95 π όπου ω 5. Τότε: Τέλος τικθιστώτς τις γώστες τιμές στη η σχέση έχουμε: ( ) ( ) 000. Ν βρεθού η ριθμητική πρόοδος στη οποί: + 6 () κι + () 6 7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ν βρεθεί έ ή περισσότερ πό τ στοιχεί,,, ω, S μις ριθμητικής προόδου. Με τις ισότητες: + ω, + ( )ω, S ( + ( ) ω), κι με τ δεδομέ της υπόθεσης δημιουργούμε τη κτάλληλη εξίσωση ή το κτάλληλο σύστημ. Αρκεί βρούμε το πρώτο όρο της κι τη διφορά της ω. Λόγω του τύπου + ( )ω οι σχέσεις () κι () γράφοτι: + ( ) ω+ + ( 6 ) ω 6 +ω+ + 5ω 6 + 6ω 6 + ω+ + 7 ω + ω+ + 6ω + 9ω ( ) ( ) κι φιρώτς κτά μέλη έχουμε: ω 6 ω οπότε Άρ η ριθμητική πρόοδος είι:,, 6, 8. Ν βρεθεί το άθροισμ: S v. Έχουμε ριθμητική πρόοδο με, ω κι πλήθος. ( + ) Άρ πό το τύπο S ( + v) v πίρουμε: S. 6

7 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ν βρεθεί το ή το S, δίοτι οι ρχικοί όροι (δύο με τρεις τουλάχιστο) μις ριθμητικής προόδου. Αρκεί γωρίζουμε τους, ω. Ο πρώτος όρος είι ο κι το ω ή ω. Με τους τύπους: + ( )ω, S ( + ( ) ω) ή S ( + ) υπολογίζουμε ό,τι μς ζητού. 5. Α σε μι ριθμητική πρόοδο είι 9 5 κι S 65, βρείτε: i) το 7ο όρο της προόδου, ii) το άθροισμ τω 5 πρώτω όρω της. Αρκεί βρούμε το πρώτο όρο κι τη διφορά ω της προόδου. i) Είι 9 5, οπότε + 8ω 5 (). Επίσης S 65, συεπώς πό το τύπο S + ( ) ω ( ) έχουμε: + ω 65 ή 6 ( + ω) 65 ή + 66ω 65 () Από το σύστημ τω σχέσεω () κι () προκύπτει ότι κι ω Συεπώς ο 7ος όρος της κολουθίς είι ο 7 + (7 )ω + 6 i + ii) Γι βρούμε το άθροισμ τω 5 πρώτω όρω της προόδου, δηλδή το S 5, τικθιστούμε στο τύπο S + ( ) ω τους, ω κι 5, οπότε βρίσκουμε: 5 + ( 5 ) 5( + ) S Ποιος όρος της ριθμητικής προόδου με κι ω 6 ισούτι με 6; Αρκεί προσδιορίσουμε το ώστε ισχύει ( ) ω 6 + ( ) , άρ 6 7

8 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. Σε ριθμητική πρόοδο ισχύει: 9, μ κι S 08. Ν βρεθού οι, ω, μ. μ 9 + ω 9 9 ω () μ + μ ω () ( ) Γι λύσουμε το σύστημ υπολογίζουμε τ, ω, συρτήσει του μ, πό τ, κι τ τικθιστούμε στο S. μ μ Sμ 08 ( + ( μ ) ω) 08 () 0 ( ) ( ) 9 ω + μω ω ( μ ) ω 0 ω () μ () 0 9 μ 9μ μ () () μ 9μ μ 0 μ μ 9μ μ μ 8μ + 0μ 0 μ () + ( μ ) (5) μ μ 8 μ 8μ μ 8μ 6μ μ μ * * μ 00μ + 0 μ Ν, δεκτή, ή μ Ν, που πορρίπτετι, άρ: μ 8 (5) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Πώς θ υπολογίσουμε το άθροισμ S τω μ τελευτίω όρω μις ριθμητικής προόδου με όρους, όπου > μ ; Η πιο πλή λύση στο ερώτημ υτό είι πρτηρήσουμε ότι S S v S μ Έτσι το άθροισμ S προκύπτει πό το άθροισμ S v τω όρω φιρέσουμε το άθροισμ S τω πρώτω μ μ όρω της προόδου. Από τις (), (5) έχουμε: ω, άρ ω κι, 0 0 άρ:. 8. Ν βρείτε το ιοστό όρο της ριθμητικής προόδου: 5,,,, 8

9 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άλλος τρόπος Έστω ( ) η πρόοδος. Οι τελευτίοι μ όροι είι οι:,,, μ+ Επομέως: μ ή κόμ: μ+ [ + ( μ ) ω] S μ+ μ S μ [ + ( μ )( ω) ] [ ( μ ) ω] διότι οι ριθμοί,,, μ+ είι μ διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου με πρώτο όρο v κι διφορά ω. v Γεικά στ προβλήμτ με ριθμητικές προόδους, πρώτ βρίσκουμε τ, ω κι μετά ότι ζητάει η άσκηση. 5 κι ω 5, άρ + ( ) ω 5 + ( )( ) 5 + 7, δηλδή: Ν βρείτε το 8 ο όρο κι το άθροισμ τω πρώτω όρω της ριθμητικής προόδου:,, 7, 0, κι ω, άρ 8 + 7ω + 7 S κι ( ) ( ) 0 0. Ν βρείτε το άθροισμ τω πολλπλσίω του μετξύ τω ριθμώ 0 κι 00. Τ πολλπλάσι του, τ οποί είι μεγλύτερ πό το 0, είι μι κολουθί με κι ω. Ο τελευτίος όρος που μς εδιφέρει είι το 98. Γι βρούμε τη τάξη του όρου υτού, λύουμε τη εξίσωση 98, δηλδή + ( ) Άρ ζητάμε το S ( + 60 ) 0( + 98). Άρ S Σε ριθμητική --- πρόοδο δειχθεί ότι: 7. Από τη 7 79 έχουμε: + 7ω 7( + 8ω) 8 + 7ω ω ω (). 8 ω + 6ω 6ω () 7 + 8ω 8ω 56ω Επομέως: + ω 8 + 8ω 6ω ω ω + ω + 9

10 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Άρ 7 7. Σε ριθμητική πρόοδο το άθροισμ τω πρώτω όρω * της ισούτι με S v 5v γι κάθε v N. Ν βρεθεί ο ος όρος της ( ). v + Έστω ο πρώτος όρος της προόδου κι ω η διφορά της. [ + ( ) ω] Τότε: Sv οπότε θάι: [ + ( ) ω] ω ω ω + 0 ( ) * ( ω) +, γι κάθε v N. ω + 0 Τ πολυώυμ υτά είι του ίδιου βθμού, άρ φού είι ίσ έχου κι τους συτελεστές τω ομοβάθμιω όρω ίσους. ω ω Συεπώς: ω 0 7 ος τρόπος: Αφού η σχέση S v 5v ισχύει v + * γι κάθε v N : γι v : S + 5 S 7 Όμως S άρ 7. γι v : S + 5 S 8 Όμως S + άρ Συεπώς: ω 7 ( ) ω Άρ:. + η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις που μς ζητού ποδείξουμε ότι μι κολουθί είι ριθμητική πρόοδος (. Δείξτε ότι η κολουθί ) με πρόοδος κι βρεθού οι, ω. είι ριθμητική [ 5( + ) + 7] [ 5 + 7] , άρ ριθμητική πρόοδος με ω 5 κι ( ) 0

11 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Δείξτε ότι η κολουθί ( ) είι ριθμητική πρόοδος είι γωστός ο ιοστός όρος. Αρκεί η διφορά δύο τυχίω διδοχικώ όρω είι στθερή, δηλδή + είι στθερός ριθμός γι * κάθε v N. Αυτή η στθερή διφορά είι το ω. Α + ω, τότε γι,,... έχουμε: ω, ω, ω, δηλδή όλοι οι διδοχικοί όροι έχου τη ίδι διφορά.. Ο ιοστός όρος μις κολουθίς είι ο +. i) Ν προσδιορίσετε το προηγούμεο κι το επόμεο όρο του. ii) Ν ποδείξετε ότι η κολουθί υτή είι ριθμητική πρόοδος. iii) Ν υπολογίσετε το άθροισμ τω 5 πρώτω όρω της. iv) Ν βρείτε τη τάξη εκείου του όρου της προόδου που είι ίσος με 59. i) Ο προηγούμεος όρος του είι ο - κι ο επόμεος είι ο +. Είι λοιπό - ( ) + κι + ( + ) ii) Γι ποδείξουμε ότι η κολουθί είι ριθμητική πρόοδος, ρκεί ποδείξουμε ότι η διφορά + είι, γι κάθε θετικό κέριο, ο ίδιος στθερός ριθμός. Έχουμε λοιπό: + ( + 7) ( + ) Άρ η κολουθί με ιοστό όρο + είι η ριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο το i + 7 κι διφορά ω. iii) Θέλουμε υπολογίσουμε το S 5. Έχουμε: 5 + ( 5 ) ω 5( 7 + ) S5 5 (7 + i ) 5 i iv) Αφού 59, έχουμε διδοχικά ότι η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις στο ριθμητικό μέσο. Ν βρείτε γι ποι τιμή του x ο ριθμητικός μέσος τω 5x + κι είι ο x.

12 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ο ριθμός x είι ο ριθμητικός μέσος τω 5x + κι, κι μόο ισχύει 5x + + x ή (x ) 5x + ή 6x 5x + ή 6x 5x + ή x 6. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε, β κι γ οι ριθμοί ( + β), + β κι ( β) είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Έχουμε ότι ( + β) + ( β) + β + β + + β β + β ( + β ) Συεπώς οι ριθμοί ( + β), + β κι ( β) ποτελού διδοχικούς όρους ριθμητικής προόδου.. Ν βρείτε γι ποι τιμή του λ οι ριθμοί λ, λ + 5, λ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. ( λ + 5) λ + λ λ + 0 λ Αρκεί: λ λ 0 λ λ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Γι ποδείξουμε ότι τρεις ριθμοί ποτελού διδοχικούς όρους ριθμητικής προόδου εργζόμστε με έ πό τους εξής τρόπους: Με το ορισμό, δείχοτς ότι οι διφορές τους (δεύτερος πρώτος κι τρίτος δεύτερος) είι ο ίδιος ριθμός. Με τη ιδιότητ που φέρει ότι <<ο διπλάσιος του μεσίου όρου είι ίσος με το άθροισμ τω δύο άλλω>>.. Ν δειχθεί ότι οι ριθμοί, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου τότε κι οι ριθμοί x β + γ, ψ γ + κι z + β είι επίσης διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Ν βρεθεί η σχέση μετξύ τω διφορώ τω δύο προόδω. Αφού οι, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου ισχύει: β + γ (). Γι είι οι x, ψ, z διδοχικοί όροι προόδου πρέπει κι ρκεί ψ x + z δηλδή: ( γ + ) β + γ + + β γ + β + + γ γ + β σχέση που ισχύει λόγω της (). Άρ κι οι x, ψ, z είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου,

13 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Η η πρόοδος έχει: ω γ β β () εώ η η έχει: ω z ψ ψ x ή ω β γ β (). Από τις () κι () γίετι φερό ότι οι διφορές ω, ω τω δύο προόδω είι τίθετες. 5. Δίετι η κολουθί με γεικό όρο +, με πρώτο όρο κθώς κι το πολυώυμο P(x) x x x +. i) Ν ποδείξετε ότι η κολουθί είι ριθμητική πρόοδος κι έχει πρώτο όρο 9 κι διφορά ω. ii) Ν βρείτε το άθροισμ S + + +, όπου οι,,, είι διδοχικοί όροι της προόδου. iii) Ν ποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης P(x) 0 είι διδοχικοί όροι της πρπάω προόδου. ii) β τρόπος Έχουμε ότι S ή S S + S, άρ ( ) + ω S S S + ( ) ω ( + ) 8 0 ( + ) 8 0 i) Αρκεί ποδείξουμε ότι η διφορά ω + είι στθερός ριθμός. Έτσι έχουμε: + + ( + ) ( + ) + + ή + () Από τη ισότητ () προκύπτει ότι η κολουθί με γεικό όρο + είι ριθμητική πρόοδος με ω κι πρώτο όρο ii) Στο άθροισμ το πλήθος τω όρω είι 0. Α θεωρήσουμε το ως πρώτο όρο κι το ως το τελευτίο, θ έχουμε ότι το άθροισμ υτό είι ίσο με 0( + ) S --- 5( + ) () Όμως είι: + ( )ω 9 + κι + ( )ω Άρ ο τύπος () δίει S 5 ( + ) 0. iii) Με τη βοήθει της πργοτοποίησης η εξίσωση γράφετι: x x x + 0 (x x ) (x ) 0 x (x ) (x ) 0 (x ) (x ) 0 (x ) (x + ) (x ) 0 x 0 ή x + 0 ή x 0 Άρ η εξίσωση έχει ρίζες τις x, x κι x. Πρτηρούμε ότι οι ριθμοί, κι είι οι τιμές τω όρω 5 + 5, κι 7 + 7

14 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6. Σε έ οξυγώιο τρίγωο ΑΒΓ οι ριθμοί εφα, εφβ κι εφγ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Ν ποδειχθεί ότι:. συβ συα συγ β. εφα εφγ. Α + Β + Γ π Α + Γ π Β () Όμως οι ριθμοί εφα, εφβ κι εφγ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, οπότε: ημβ ημα ημγ εφβ εφα + εφγ + συβ συα συγ Ότ οι ριθμοί Α, Β κι Γ είι γωίες τριγώου τότε ισχύει: Α +Β+Γπ Α+Γπ Β ημβ συβ ημα συγ + συα ημγ συα συγ () ( Α + Γ) ημβ ημ( π Β) ημβ ημ συβ συα συγ συβ συα συγ ημβ συβ ημβ συα συγ συβ συα συγ συβ συα συγ Επισημίουμε ότι επειδή 0 < Β < π, θ είι ημβ 0. ( Α + Γ) β) Είι Β π, οπότε: συβ συα συγ συ( π ( Α + Γ )) συα συγ συ( Α + Γ) συα συγ συα συγ + ημα ημγ συα συγ ημα ημγ ημα ημγ συα συγ εφα εφγ συα συγ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις στη ριθμητική πρεμβολή

15 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Δίοτι οι ριθμοί κι β με β. Πώς θ τοποθετήσουμε άμεσ στους κι β τους ριθμούς,, έτσι, ώστε όλοι οι ριθμοί,,,, β ποτελού διδοχικούς όρους ριθμητικής προόδου; Έστω ω η διφορά της σχημτιζόμεης προόδου,,,,, β με πρώτο όρο το. Το πλήθος τω ριθμώ υτώ είι +, οπότε ο β είι ο όρος με τάξη +. Άρ: β β + ( + ) ω ω + Γωρίζοτς τώρ τη διφορά ω, μπορούμε προσδιορίσουμε εύκολ τους όρους,,,, φού: + ω, + ω,, + ω. Δίοτι οι ριθμοί κι. ) Πόσους ριθμούς πρέπει πρεμβάλλομε μετξύ υτώ τω ριθμώ, ώστε δημιουργηθεί ριθμητική πρόοδος με όρους; β) Ν βρείτε τη πρόοδο υτή. ii) Δίοτι οι ριθμοί κι 5. Πόσους ριθμούς πρέπει πρεμβάλλουμε μετξύ υτώ τω ριθμώ, ώστε δημιουργηθεί ριθμητική πρόοδος με διφορά ω ; i) ) Έστω ότι πρεμβάλλουμε μετξύ τω ριθμώ υτώ άλλους ριθμούς, δηλδή,..., --- ριθμοι ( + ) ριθμοι Τότε το συολικό πλήθος τω ριθμώ θ είι +, οπότε θ ισχύει + ή 9 Συεπώς πρέπει πρεμβάλλουμε 9 ριθμούς μετξύ του κι του. β) Ο ος όρος της προόδου είι ο κι ο ος είι ο, οπότε, ω είι η διφορά της προόδου, θ έχουμε: ή + ( )ω ή + 0ω ή 0ω 0, άρ ω Επομέως η πρόοδος θ είι η, 7, 0,, 6,,, ii) Έχουμε:,..., 5 ριθμοι ( + ) ριθμοι Α λοιπό, όπως κι στο ερώτημ (i) (), πρεμβάλλουμε ριθμούς, το συολικό πλήθος τω όρω της ριθμητικής προόδου που θ προκύψει θ είι +. Συεπώς + 5 ή + ( + )ω 5 ή + ( + ) i 5 ή ( + ) i ή + ή 0 Άρ πρέπει πρεμβάλλουμε 0 ριθμούς μετξύ του κι του 5. 5

16 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5 η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ν βρεθεί πεπερσμέο πλήθος διδοχικώ όρω ριθμητικής προόδου, γωρίζουμε το άθροισμά τους κι κάποι άλλη σχέση. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ν βρεθού πέτε θετικοί ριθμοί είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου με διφορά ω κι το άθροισμ τω τετργώω τους ισούτι με 0. Εφόσο το πλήθος τω όρω είι περιττό μς εξυπηρετεί η εξής πράστση τω όρω: x, x, x, x +, x +, x > () Τότε: x + x + x + x + + x + 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x 8x + 6+ x x + + x + x + x + + x + 8x x x 6 άρ: x 6 ή x 6 (πορρίπτετι). Γι x 6 πό τη () πίρουμε:,, 6, 8, 0 Γι έχουμε μόο δύο γώστους, συμβολίζουμε τους διδοχικούς όρους ως εξής: i. Α το πλήθος τω όρω είι περιττό, συμβολίζουμε με x το μεσίο όρο κι τη διφορά ω με k, δηλδή ω k. Έτσι, έχουμε: Γι όρους: x k, x, x + k.. Ν βρεθού ριθμοί, διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, τω οποίω το άθροισμ ισούτι με 6 κι το άθροισμ τω τετργώω τους ισούτι με. Το άθροισμ: (x λ) + (x λ) + (x + λ) + (x + λ) 6 x 6 x. Το άθροισμ τω τετργώω: (x λ) + ( x λ) + (x + λ) + (x + λ) x + 0λ x + 0λ Άρ + 0λ 07 λ. Άρ λ ή λ. Γι λ, οι ριθμοί είι, 5, 8,. Γι λ, οι ριθμοί είι, 8, 5,. Γι 5 όρους: x k, x, x + k. x k, x + k, 6

17 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν βρείτε πέτε κερίους ριθμούς που ποτελού διδοχικούς όρους ριθμητικής προόδου, έχου άθροισμ 5 κι γιόμεο 05. ii. Α το πλήθος τω όρω είι άρτιο, συμβολίζουμε τη διφορά ω με k, δηλδή ω k, κι τους δύο μεσίους όρους με x k, x + k. Έτσι, έχουμε: Γι όρους: x k, x k, x + k, x + k. Έστω, β, γ, δ, ε οι πέτε ριθμοί. Συμβολίζουμε το γ x κι τη διφορά ω k. Η υπόθεση γράφετι: + β + γ + δ + ε 5 x k + x k + x + x + k + x + k 5 βγδε 05 ( x k)( x k) x( x + k)( x + k) 05 5x 5 x... ( x k )( x k ) x 05 ( 9 k )( 9 k ) 05 Γι 6 όρους: x 5k, x k, x k, x + k, x + k, x + 5k. x k + 5k x k ± ή k ± 9 Θέτουμε k φ κι λύουμε τη φ 5φ Επειδή το k Z, δεκτές οι τιμές k ή k. Γι x κι k, έχουμε: 7, β 5, γ, δ, ε. Γι x κι k, έχουμε:, β, γ, δ 5, ε 7.. Η εξίσωση x βx + γ 0 έχει ρίζες τους ριθμούς k, * λ R. Ν βρεθού --- οι β, γ R ώστε οι ριθμοί k, λ, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Ως γωστό β γ x + x κι x x, άρ: k + λ β κι k λ γ. Εξάλλου λόγω της προόδου: λ k + β κι β γ + λ. Συεπώς: k + λ β β k + λ β k + λ β k λ k + β λ k + k + λ λ k λ k () κι 7

18 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ k λ γ () kλ γ kλ γ kλ k β γ + λ k γ + k k γ γ k λ. π όπου Τότε: k, β 6 κι γ 8. Τότε η εξίσωση γράφετι: x 6x που πράγμτι έχει ρίζες κι οι δε ριθμοί,, 6, 8 προφώς είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. 5. Σε ριθμητική πρόοδο της οποίς το πλήθος είι περιττός ριθμός το άθροισμ τω όρω περιττής τάξης είι 0, το δε άθροισμ τω όρω άρτις τάξης είι 68. Ν βρεθεί το πλήθος τω όρω της προόδου. Έστω, + ω, + ω, + ω, η πρόοδος κι v + το πλήθος τω όρω της. Οι όροι της περιττής τάξης είι v + κι σχημτίζου τη πρόοδο, + ω +, ω, με διφορά ω (). Οι όροι της άρτις τάξης είι κι σχημτίζου τη πρόοδο + ω, + ω +, 5ω, με διφορά ω (). Στη πρόοδο () είι: + ω + ω. ( + ω)( + ) ( + ω)( ) Άρ: S 0 + (). ( + ω) + ( ) ω ω + ω [( + ω) + ( ω + ω) ] 68 ( ω) Στη πρόοδο () είι:. Άρ: S (). + Από τις () κι (): 0 ( + ω)( + ) ω 68 ( ) Άρ το πλήθος τω όρω της προόδου είι:

19 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6. Ν βρεθεί ριθμητική πρόοδος με όρους ξέρουμε ότι το άθροισμ τω τεσσάρω μεσίω όρω της είι 7 κι το γιόμεο τω άκρω όρω της 70. Έστω, + ω, + ω, + ω, + ω,, +ω η πρόοδος. Τότε: ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ω 7 ω 5ω 6ω 7ω 7 κι ( + ω ) 70 + ω 70 7 ω + ω 70 οπότε: ( 7 ) με: ή 5 Γι είι ω άρ:, 5, 8,, η πρόοδος εώ : 5 είι ω κι 5,, 9, 6, η πρόοδος. 7. Α γι μι ριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο κι διφορά ω ισχύει ότι + 9ω, ποδείξετε ότι Επειδή είι + ω κι 7 + 6ω, σχέση + 9ω γράφετι: + 9ω ή ω + 6ω ή + ( + ω) + ( + 6ω), οπότε η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Γεικές - προβλήμτ 9

20 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Σε μι ριθμητική πρόοδο είι γωστό το άθροισμ τω πρώτω μ όρω S μ μ κι το άθροισμ τω πρώτω όρω S. Ν δειχθεί ότι S λ λ. ( ) + ω Έχουμε S. Σύμφω με τις δοθείσες σχέσεις + ( μ ) ω μ έχουμε με φίρεση τω εξισώσεω κτά + ( ) ω μέλη βρίσκουμε ω κι, τικθιστώτς στη μί εκ τω δύο εξισώσεω, βρίσκουμε. + ( λ ) ω λ + ( λ ) λ Έχουμε: S λ λ. S μ μ. Σε ριθμητική πρόοδο είι:. S μ μ Ν δειχθεί ότι:. Είι: Sμ S + + μ μ μ + + μ μ ( μ ) ( ) ω ω + ( μ ) ω μ + ( μ ) ω μ + ( ) ωμ + ( ) ω ( μ) + [( μ ) ( ) μ] ω ω ( μ) + ( μ μ + μ) ω 0 0. ω μ Οπότε: μ + ( μ ) ω + ( μ ) ω ω. Ομοίως: ω. μ μ Άρ:. μ 0

21 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Έ κολιέ ξίς 7600 ευρώ ποτελείτι πό μργριτάρι. Το μεσίο μργριτάρι είι κι το κριβότερο. Τ υπόλοιπ μργριτάρι είι τοποθετημέ κτά σειρά έτσι, ώστε κάθε μργριτάρι μέχρι το μεσίο ξίζει ευρώ λιγότερο πό το επόμεό του κι στη συέχει, πό το μεσίο κι πέρ, κάθε μργριτάρι ξίζει 5 ευρώ λιγότερο πό το προηγούμεό του. i) ) Ποι είι η θέση του μεσίου μργριτριού στο κολιέ; β) Πόσ ευρώ φθηότερο είι το πρώτο μργριτάρι πό το μεσίο; γ) Πόσ ευρώ φθηότερο είι το τελευτίο μργριτάρι πό το μεσίο; ii) Ν βρείτε τη ξί του μεσίου μργριτριού. i) ) Το μεσίο μργριτάρι κτέχει τη 7η θέση στη σειρά τω μργριτριώ, φού η 7η θέση χωρίζει τ μργριτάρι σε δύο ίσες ομάδες μργριτριώ. Από τ δεδομέ του προβλήμτος, το μεσίο μργριτάρι χωρίζει τ μργριτάρι άλογ με τη ξί τους σε δύο ριθμητικές προόδους, τη ( ), με,,,, 7, κι τη (β κ ), με κ,,,, 7. Ειδικά γι τη ριθμητική πρόοδο (β κ ) πρτηρούμε ότι ο β εκφράζει τη ξί του 7ου μργριτριού, ο β τη ξί του 8ου μργριτριού, ο β τη ξί του 9ου κ.ο.κ. Ακόμ σημειώσουμε ότι είι β 7. Επομέως οι γεικοί όροι τω δύο ριθμητικώ προόδω είι + ( ) κι β κ β + (κ ) ( 5) β) Α είι η ξί του πρώτου μργριτριού κι 7 η ξί του 7ου, θ έχουμε: (7 ) 6 8 Δηλδή το ο μργριτάρι είι κτά 8 ευρώ φθηότερο πό το μεσίο. γ) Α β είι η ξί του 7ου μργριτριού κι β 7 η ξί του τελευτίου (δηλδή του ου), θ έχουμε ότι β β 7 β [β + (7 ) ( 5)] Επομέως το τελευτίο μργριτάρι είι κτά 80 ευρώ φθηότερο του μεσίου. ii) Η ξί του κολιέ προκύπτει πό το άθροισμ της ξίς όλω τω μργριτριώ, δηλδή θ είι

22 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ S6 + S7 + ( 6 ) + β + ( 7 )( 5) Μετά πό τις πράξεις προκύπτει ότι 6 + 7β β 790 () Επειδή είι β 7 κι 7 + 8, η σχέση () γράφετι: ( + 8) 790 ή ή 70 ή 5 ευρώ περίπου Επομέως η ξί του μεσίου μργριτριού είι ευρώ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις που μς ζητού βρούμε κάποι στοιχεί (λ,..) μις γεωμετρικής προόδου. Α σε μι γεωμετρική πρόοδο είι κι λ, βρείτε το όρο της 6. Στη γεωμετρική πρόοδο που μς δίετι γωρίζουμε τ, λ, κι 6. Εφρμόζοτς λοιπό το τύπο λ - έχουμε ότι ( ) 6 ( ) 5 6 ( ) 5 6 Άρ 6. 6 Τ συστήμτ στις γεωμετρικές προόδους λύοτι με τικτάστση.. Α μι γεωμετρική πρόοδος έχει 9 κι 5, βρείτε το λόγο της λ.

23 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Στη περίπτωση υτή μς είι γωστά τ εξής: 9, 5 κι 5 Με τικτάστση στο τύπο λ - έχουμε: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ν βρεθεί έ ή περισσότερ πό τ στοιχεί,,, λ, S μις ριθμητικής προόδου. Με τις ισότητες: a +, λ λ - λ Sv, λ κι με τ δεδομέ της υπόθεσης δημιουργούμε τη κτάλληλη εξίσωση ή το κτάλληλο σύστημ. 9λ λ 9 λ 6 λ 0 λ + λ ( ) ( )( ) λ 0, που ειι δυτη στο η λ λ+ λ λ ± ( )( ) 0 0 Συεπώς ο λόγος της γεωμετρικής προόδου είι λ ή λ.. Σε γεωμετρική πρόοδο δίοτι ότι, 8 κι Sv 5. Ν βρεθεί ο λόγος της προόδου κι το πλήθος τω όρω της. λ Από τους τύπους: λ κι Sv ( λ ) έχουμε: λ λ 6 8 λ λ λ 6λ λ 6λ λ λ 7( λ ) 6λ 6λ λ λ v v 7 άρ λ κι οπότε: v 7.. Ν βρείτε το άθροισμ τω 0 πρώτω όρω τω γεωμετρικώ προόδω. i), 8, 6, ii),, 6, 8 i) κι λ. ( ) 0 0 S 0 ( ) 6.

24 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ii) κι λ ( ) S , Ι. Έστω η γεωμετρική πρόοδος 5, 0, 60, i) Ν βρείτε το πλήθος τω όρω μέχρι του όρου που ισούτι με 960. ii) Ν βρεθεί ο πρώτος όρος που υπερβίει το 000. ΙΙ. Γι τη γεωμετρική πρόοδο 58, 86, 6, βρεθεί ο πρώτος όρος που είι μικρότερος του. Ι. i) Εδώ έχουμε 5, λ κι 960. Ψάχουμε το : 960 λ Άρ ο ii) λ Πρέπει: 5 - > 000, - > 00. Όμως 7 8 κι Άρ > 7 > 8. Άρ ο πρώτος όρος που υπερβίει το 000 είι ο 9ος όρος. 86 ΙΙ. λ. 58 Α 58. Πρέπει: 58 < - > Όμως 5 κι < Άρ > 6 του είι ο 8. > 7. Άρ ο πρώτος όρος που είι μικρότερος

25 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6. Ν βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος γι τη οποί: + κι. Από το τύπο λ έχουμε: + + λ ( + λ ) () λ λ λ () Από τη () έχουμε: λ οπότε η () γράφετι: με ρίζες: ή 08 Α τότε πό τη () έχουμε: ( λ ) + λ 8 λ 7 + άρ: λ. Α 08 τότε πό τη () έχουμε: ( λ ) λ 08λ λ 7 άρ: λ 7. Γι μι γεωμετρική πρόοδο με λόγο λ δίοτι οι όροι της 6 κι 8. 7 i) Ν ποδείξετε ότι 8 λ. ii) Ν υπολογίσετε το λόγο λ της γεωμετρικής προόδου. iii) Ν βρείτε το όρο ---. iv) Ν βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο. i) Προκειμέου ποδείξουμε τη ισότητ υτή, μετσχημτίζουμε κτάλληλ τη ισότητ 8 λ 7 Έχουμε διδοχικά: 8 λ 7 ή 8 λ λ ( λ ) λ ii) Ατικθιστούμε στη ισότητ 8 λ τις τιμές τω 8 κι, οπότε γίετι: 5

26 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ λ ( 6) λ λ λ λ λ λ λ + λ 0 λ + 0, που ειι δυτη στο η λ 0 λ λ 0 λ + ± Συεπώς ο λόγος της γεωμετρικής προόδου είι λ iii) Ισχύει ( ) ( )( ) λ λ λ λ λ λ ( λ ) ( 6) ( 6) ( ) Δηλδή. 9 ή λ. iv) Επειδή έχουμε δύο δυτές τιμές γι το λόγο της γεωμετρικής προόδου, δικρίουμε τις εξής περιπτώσεις: Α λ, πό τη σχέση λ προκύπτει ότι 6 ή Συεπώς η γεωμετρική πρόοδος είι η 6, 5, 8, 6, Α λ, πάλι πό το τύπο λ, με τικτάστση, προκύπτει ότι είι 6. Συεπώς η γεωμετρική πρόοδος είι η 6, 5, 8, 6, 6

27 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις που μς ζητού ποδείξουμε ότι μι κολουθί είι γεωμετρική πρόοδος Γι εξετάσουμε μι κολουθί ( ) είι γεωμετρική πρόοδος, θεωρούμε το λόγο +. Α ο λόγος υτός είι στθερός ριθμός, τότε η ( ) είι γεωμετρική πρόοδος. Διφορετικά δε είι γεωμετρική πρόοδος.. Δίετι το άθροισμ i) Ν βρείτε οι όροι του θροίσμτος υτού ποτελού διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου: ) με πρώτο όρο το, β) πρλείψουμε το ριθμό κι θεωρήσουμε ως πρώτο όρο το. ii) Ν διμορφώσετε το πρπάω άθροισμ έτσι, ώστε ποτελείτι πό 0 όρους κι στη συέχει το υπολογίσετε. i) Οι όροι του θροίσμτος υτού είι οι,,,, ) Α, τότε, επειδή είι κι 9 δηλδή, συμπερίουμε ότι οι όροι του θροίσμτος υτού με --- δε ποτελού διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. β) Α θεωρήσουμε ως πρώτο όρο της προόδου το, τότε έχουμε τους όρους,,,..., οπότε είι κι 7 9 Συεπώς οι όροι υτοί ποτελού διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. 7

28 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ii) Το άθροισμ τω 0 πρώτω όρω θ είι S Το πλήθος τω όρω που βρίσκοτι μέσ στη πρέθεση είι 9 κι ποτελού άθροισμ γεωμετρικής προόδου με κι 9 λ λ, οπότε το άθροισμ υτό είι ίσο με S9. λ 9 9 Άρ S9 + Επομέως το ζητούμεο άθροισμ είι ίσο με 9 S +. Δίετι η κολουθί με γεικό όρο. i) Ν βρείτε τους όρους - κι +. ii) Ν ποδείξετε ότι η πρπάω κολουθί είι γεωμετρική πρόοδος κι βρείτε το λόγο της λ κι το πρώτο όρο της. i) Θέτουμε στο τύπο της κολουθίς όπου το κι τίστοιχ όπου το + κι έχουμε: - - κι + + ii) Γι ποδείξουμε ότι η κολουθί είι γεωμετρική πρόοδος, + ρκεί ποδείξουμε ότι ο λόγος είι στθερός ριθμός, εξάρτητος πό το θετικό κέριο. Έχουμε λοιπό: + + Επομέως η κολουθί υτή είι μι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ κι πρώτο όρο 6. 8

29 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις στο γεωμετρικό μέσο. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Γι ποδείξουμε ότι τρεις ριθμοί ποτελού διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου εργζόμστε με έ πό τους εξής τρόπους: Με το ορισμό, δείχοτς ότι οι διιρέσεις τους (δεύτερος πρώτος κι τρίτος δεύτερος) είι ο ίδιος ριθμός. Με τη ιδιότητ που φέρει ότι <<το τετράγωο του μεσίου όρου είι ίσος με το γιόμεο τω δύο άλλω>>.. Α, β, γ, δ διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου δείξετε ότι: ( γ) + (β γ) + (β δ) ( δ) (). Α λ ο λόγος της γεωμετρικής προόδου, τότε β λ, γ λ, δ λ. Η δοθείσ σχέση () γράφετι ισοδύμ: ( λ ) + (λ λ ) + (λ λ ) ( λ ) ( λ ) + λ ( λ) + λ ( λ ) ( λ ) λ + λ + λ λ + λ + λ λ + λ 6 λ + λ 6 λ + λ 6 λ + λ 6, το οποίο ισχύει.. Α οι ριθμοί x, y κι ω είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου κι οι ριθμοί x + y, y + ω, ω + x είι διδοχικοί όροι της ριθμητικής προόδου, ποδειχθεί ότι: ) οι ριθμοί y, x κι ω είι διδοχικοί όροι της ριθμητικής προόδου, β) ο λόγος της γεωμετρικής προόδου, της οποίς διδοχικοί όροι είι οι x, y κι ω, ισούτι με ή. ) Επειδή οι x y, y + ω κι ω + x είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, θ ισχύει ότι: (y + ω) (x + y) + ( ω + x) y + ω x + y + ω y + ω x x y + ω () Επομέως οι ριθμοί y, x κι ω είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, β) Επειδή οι x, y κι ω είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, ισχύει ότι: y xω () Η σχέση () δίει ω x y κι έτσι η () γράφετι: y xω y x (x y) y + xy x 0 () Α δούμε τη σχέση () ως εξίσωση β βθμού με άγωστο το y, θ είι: 9

30 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Δ x + 8x 9x x ± 9x x± x y Επομέως: x+ x x x y y x ή y y x y Α y x, τότε ο λόγος της λ της προόδου είι λ. x y x Α y x, τότε ο λόγος λ της προόδου είι λ. x x. Ν βρείτε το ριθμό κ ώστε οι ριθμοί κ, κ +, κ + είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Απιτούμε: (κ + ) κ(κ + ) ή κ + κ + κ + κ κ κ 0 (κ ) (κ + ) 0 κ ή κ. Από τη διπλή διδικσί προκύπτει ότι οι ριθμοί x, y κι ω έχου τη μορφή: (x, x, x) ή (x, x, x), με x φού σε κάθε γεωμετρική πρόοδο όλοι οι όροι είι διφορετικοί πό το μηδέ. Ν βρείτε τρεις κέριους ριθμούς γι τους οποίους ισχύου τ εξής: είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, έχου το άθροισμ 5, στο δεύτερο κι το τρίτο ριθμό προσθέσουμε τους ριθμούς κι 0 τίστοιχ, οι τρεις ριθμοί θ γίου διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Έστω, β κι γ οι ριθμοί που ζητάμε. Τότε, με βάση τις υποθέσεις, θ ισχύου: β + γ () + β + γ 5 () (β + ) (γ + 0) () Η σχέση () γράφετι: () ( + γ) + β 5 β + β 5 β 5 β 5 κι τικθιστώτς το β στις σχέσεις () κι (), πίρουμε τίστοιχ: + γ 0 () κι 8 (γ + 0) (5) Η σχέση () μς δίει γ 0, οπότε τικθιστώτς στη (5) προκύπτει: (0 + 0) 8 ή Η δικρίουσ του τριωύμου είι Δ ( 0) 8 576, άρ οι ρίζες της εξίσωσης είι 0

31 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Δίοτι οι μη μηδεικοί ριθμοί κι β με β. Πώς θ τοποθετήσουμε άμεσ στους κι β τους ριθμούς,,, έτσι ώστε όλοι οι ριθμοί:,,,,, β ποτελού διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου; Έστω λ ο λόγος της σχημτιζόμεης προόδου,,,,, β με πρώτο όρο. Το πλήθος τω ριθμώ υτώ είι +, οπότε ο β είι ο όρος με τάξη +. Άρ: β λ λ λ ± + + β λ + + β, ρτιο ς β, περιττος Γωρίζοτς τώρ το λόγο λ, μπορούμε προσδιορίσουμε εύκολ τους όρους:,,, 0 ±, δηλδή ( 7 ή ) Επομέως έχουμε: 7 κι β 5, τότε γ 7, που είι δεκτές τιμές, κι β 5, τότε γ 7, που κι πάλι είι δεκτές τιμές. η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις στη γεωμετρική πρεμβολή. Δίοτι οι ριθμοί κι 9. Μετξύ τω ριθμώ υτώ πρεμβάλλετε πέτε ριθμούς, ώστε μζί με τους ρχικούς ποτελού διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Πρεμβάλλοτς μετξύ τω ριθμώ κι 9 άλλους πέτε ριθμούς, θ έχουμε συολικά όρους. Α λ είι ο λόγος της προόδου, ο πρώτος όρος της κι 7 9 ο έβδομος όρος της, θ έχουμε: 7 λ 7- ή 9 λ 6 ή λ 6 6 Επομέως λ 6 6 ή λ 6 ( ) 6, δηλδή λ ή λ. Οι ριθμοί λοιπό που ζητάμε είι οι: 6,,, 8, 96, ή 6,,, 8, η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ν βρεθεί πεπερσμέο πλήθος διδοχικώ όρω γεωμετρικής προόδου. Ν βρεθού τέσσερις πργμτικοί ριθμοί, διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, το γιόμεό τους είι 6 κι το άθροισμ τω μεσίω.

32 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω: x, xλ, x λ, xλ οι όροι της προόδου. Τότε: 6 x xλ xλ xλ 6 x λ 6 x λ ± 8 xλ + xλ xλ λ + xλ λ + ( ) ( ) x λ 8 x λ 8 Επομέως (Α): άρ κι xλ( λ + ) x λ ( λ + ) διιρώτς κτά μέλη έχουμε: x λ 8 λ λ x λ λ + λ + ( λ + λ + ) λ + λ + 0 (δύτη στο R φού Δ < 0). Ομοίως (Β): x λ 8... λ + 5λ + 0 xλ( λ + ) με λ. Οπότε: ( ) ή x, λ x 8, λ. Επομέως οι ριθμοί είι οι:,,, 8 + λ + λ λ ή. Ν βρεθού 7 κέριοι ριθμοί, διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, το άθροισμ τω τριώ πρώτω είι, το δε άθροισμ τω τριώ τελευτίω είι Έστω, λ, λ, λ, λ, λ, λ οι όροι της προόδου. Τότε π τη υπόθεση () + λ + λ ( + λ + λ ) () λ + λ + λ 05 λ ( + λ + λ ) 05 κι 5 6 διιρώτς κτά μέλη έχουμε: ( + λ + λ ) λ 8 λ ± 8 λ ±. λ + λ + λ 05 λ 8 ( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Έστω μι γεωμετρική πρόοδος ( ). Τους πρώτους όρους της προόδου μπορούμε τους πρστήσουμε γεικά με:, λ, λ, λ,, λ, όπου είι ο πρώτος όρος κι λ ο λόγος. Εκτός όμως πό υτή τη γεική προυσίση, έχουμε κόμ δύο δυτότητες. ) Α το πλήθος τω όρω της προόδου είι περιττός, τότε συμβολίζουμε με x το μεσίο, με λ το λόγο κι η πρόοδος γράφετι: x, λ, x, x, xλ, λ xλ, Είι προφές ότι το γιόμεο τω υτώ v όρω ισούτι με x, οπότε το γιόμεο είι γωστό, προκύπτει μέσως ο μεσίος όρος x. Γι λ η () δίει: Άρ οι ριθμοί είι οι:,, 9, 7, 8,, 79. Ομοίως δε γι λ έχουμε: 7 που πορρίπτετι φού Ζ.

33 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ β) Α το πλήθος τω όρω είι άρτιος, τότε δικρίουμε δύο περιπτώσεις: Οομάζουμε λ το λόγο κι συμβολίζουμε με, xλ τους δύο x λ μεσίους, οπότε η πρόοδος γράφετι: x, 5 λ, x λ, x, xλ, λ xλ, xλ 5, (β ) Οομάζουμε λ το λόγο κι συμβολίζουμε με, xλ τους δύο x λ μεσίους, οπότε η πρόοδος γράφετι: x, 5 λ, x x,, xλ, λ λ 5 xλ, xλ, (β ) Τοίζουμε ότι σε κάθε πρόβλημ πρέπει εξετάζουμε κι τις δύο περιπτώσεις, διότι διφορετικά υπάρχει ο κίδυος χάσουμε τη μί πρόοδο.. Τρεις ριθμοί σχημτίζου γεωμετρική πρόοδο. Α υξήσουμε το δεύτερο όρο κτά, οι ριθμοί σχημτίζου ριθμητική πρόοδο. Α στη ριθμητική πρόοδο υξήσουμε το τελευτίο όρο κτά 6, προκύπτει ξά γεωμετρική πρόοδος. Ν προσδιοριστού οι τρεις υτοί ριθμοί. Έστω, λ κι λ οι τρεις διδοχικοί όροι της δοσμέης γεωμετρικής προόδου (με, λ 0. Τότε: Οι, λ + κι λ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, οπότε: (λ + ) + λ () Οι λ + κι λ + 6 είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οπότε: (λ + ) (λ + 6) λ + λ + λ + 6 λ a a () Λόγω της σχέσης () η σχέση () δίει: a 6a 8a+ a + a+ a 9a 0a+ 0 a a a ή a 9 Γι πίρουμε λ κι οι ριθμοί είι οι:,, Γι a πίρουμε λ 5 κι έτσι οι ριθμοί είι οι:,, η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Γεικές ---. Δίετι το πολυώυμο: P(x) x 00 x 00 x 00 x Ν ποδειχθεί ότι το πολυώυμο Q(x) P (x) + 00 P(x) έχει πράγοτ το πολυώυμο R(x) x x + Πρτηρούμε ότι: x x + (x )(x )

34 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Γι είι το R(x) πράγοτς του Q(x), ρκεί ποδείξουμε ότι το Q(x) έχει πράγοτες τους x κι x. Αρκεί ποδείξουμε ότι: Q() 0 κι Q() 0 Όμως: P () οροι Οπότε: Q() P () + 00 P() ( 00) + 00 ( 00) P() ( ) φού το άθροισμ είι το άθροισμ τω 00 πρώτω όρω γεωμετρικής προόδου ( ) με κι λόγο λ. Επομέως είι: Q() P () + 00 P() Άρ το (x ) (x ) x x + είι πράγοτς του πολυωύμου Q(x).