Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 3: Απόκριση Συχνότητας - Φίλτρα Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας και της Ανώτατης Εκκλησιαστικής Ακαδημίας Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Απόκριση Συχνότητας - Φίλτρα
Σκοποί ενότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με την απόκριση συχνότητας και τα φίλτρα. 5
Περιεχόμενα ενότητας (1/2) Η συνάρτηση έλτα δ(t). Σύστηµα. Συνέλιξη συναρτήσεων. Ιδιότητες της Συνέλιξης. Κρουστική Απόκριση. Απόκριση Συχνότητας. 6
Περιεχόμενα ενότητας (2/2) Μετάδοση Χωρίς Παραµόρφωση. Ιδανικά Φίλτρα. Μη Ιδανικά φίλτρα. Μη-Ιδανικό Βαθυπερατό Φίλτρο. Βιβλιογραφία. 7
Η συνάρτηση έλτα δ(t) (1/2) Η συνάρτηση dirac έλτα δ(t) oρίζεται ως εξής: x t δ t dt = x(0). H δ(t) ονοµάζεται και κρουστική συνάρτηση (impulse function). Iδιότητες της συνάρτησης delta: 8
Η συνάρτηση έλτα δ(t) (2/2) Κρουστικό σήμα δ(t). Σχήμα 1. Κρουστικό σήμα δ(t). 9
Σύστηµα (1/3) Ως σύστηµα ορίζεται ένας νόµος µέσω του οποίου συνδέεται η έξοδος (απόκριση) y(t) µε την είσοδο (διέγερση) x(t) του συστήµατος. Παράδειγµα συστήµατος είναι ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα. Ένα σύστηµα συνεχούς χρόνου μετασχηματίζει το σήµα εισόδου x(t) στο σήµα εξόδου y(t) ως εξής: y(t)=γ(x(t)). Σχήμα 2. Σύστημα συνεχούς χρόνου Γ(x(t)). Ένα σύστηµα διακριτού χρόνου µετασχηµατίζει το σήµα εισόδου διακριτού χρόνου x(n) στο σήµα εξόδου διακριτού χρόνου y(n) ως εξής: y(n)=γ(x(n)). 10
Σύστηµα (2/3) Ένα σύστηµα λέγεται γραµµικό που ισχύει η γραµµικότητα. R {f1(t)}=g1(t) R{f2(t)} = g2(t) R{a1f1(t) + a2f2(t)} = a1g1(t) + a2g2(t). Σχήμα 3. Γραμμικό σύστημα. 11
Σύστηµα (3/3) Ένα σύστηµα λέγεται χρονικά αμετάβλητο (time invariant) αν µια οποιαδήποτε χρονική μετατόπιση t0 στην είσοδο x(t) έχει ως αποτέλεσµα την ίδια χρονική μετατόπιση στην έξοδο y(t). Σχήμα 4. Αμετάβλητο σύστημα. 12
Συνέλιξη συναρτήσεων Η απόκριση ενός γραµµικού χρονικά αµετάβλητου συστήµατος Γ σε κάθε σύστηµα εισόδου x(t) δίνεται + από την σχέση: y t = x τ h t τ dτ ή συμβολικά: y(t)=x(t)*h(t). Όπου η h(t) είναι η κρουστική απόκριση του συστήµατος Γ και το (*) συµβολίζει την συνέλιξη δυο συναρτήσεων. 13
Ιδιότητες της Συνέλιξης x(t) * h(t) = h(t) * x(t). x(t) * [h1 (t) * h2 (t)] = [x(t) * h1 (t)]* h2 (t). x(t) * [h1 (t) + h2 (t)] = x(t) * h1 (t) + x(t)h2 (t). 14
Κρουστική Απόκριση Η απόκριση h(t) ενός συστήµατος όταν στην είσοδο εφαρμόζεται η συνάρτηση δ(t) ονοµάζεται κρουστική απόκριση του συστήµατος: h(t) = Γ ( δ ( t )). 15
Απόκριση Συχνότητας (1/2) Όταν ένα αρµονικό σήµα της μορφής e j2πft εµφανίζεται την είσοδο ενός γραµµικού, χρονικά αµετάβλητου συστήµατος µε κρουστική απόκριση h(t), τότε η έξοδος του συστήµατος είναι H(f) e j2πft. Όπου: Η(ω)=F{h(t)}. Πράγµατι. 16
Απόκριση Συχνότητας (2/2) Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι η συνάρτηση Η(f) περιγράφει τις μεταβολές του μιγαδικού πλάτους ενός αρµονικού σήµατος ως συνάρτηση του f, όταν αυτό εφαρμόζεται σε ένα γραµµικό, χρονικά αμετάβλητο σύστηµα. Η Η(f) αναφέρεται ως απόκριση συχνότητας ή συνάρτηση μεταφοράς του συστήµατος. Σχήμα 5. Απόκριση συχνότητας. 17
Μετάδοση Χωρίς Παραµόρφωση (1/4) Ένα γραµµικό και χρονικά σταθερό αμετάβλητο σύστηµα δεν παραμορφώνει την είσοδο x(t), που δέχεται όταν η απόκριση στην είσοδο αυτή είναι της μορφής: y(t)=kx(t-t 0 ). Το σήµα εξόδου y(t) παρουσιάζει κάποια καθυστέρηση t0 σε σχέση µε το σήµα στην είσοδο και επιπλέον έχει διαφορετικό πλάτος (κ = σταθερό). Όµως δεν παρουσιάζει παραμόρφωση (έχει ίδια τιµή µε το x(t)). 18
Μετάδοση Χωρίς Παραµόρφωση (2/4) Μετασχηµατίζοντας κατά Fourier την παραπάνω σχέση προκύπτει: Y f = F y(t) = F kx(t t 0 ) = kf x(t t 0 kx 2π e j2πft 0. Άρα η συνάρτηση µεταφοράς αυτού του συστήµατος είναι: H f = Y(f) X(f) = κe j2πft 0. 19
Μετάδοση Χωρίς Παραµόρφωση (3/4) Εποµένως, για να επιτευχθεί µετάδοση χωρίς παραµόρφωση θα πρέπει η συνολική συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος ικανοποιεί δυο συνθήκες: o Η απόκριση πλάτους να είναι σταθερή για όλες τις συχνότητες του σήµατος: H(f) = κ. o Η φάση να είναι γραµµική µε τη συχνότητα και να µηδενίζει (ή να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π) για µηδενική συχνότητα: H(f)=- 2πft 0. 20
Μετάδοση Χωρίς Παραµόρφωση (4/4) Πρακτικά ένα σήµα μπορεί να παραµορφωθεί καθώς διέρχεται από επιµέρους τµήµατα ενός συστήµατος. Κυκλώµατα διόρθωσης αυτής της παραµόρφωσης γνωστά ως εξισωτές εισάγονται σε άλλα σηµεία του συστήµατος για να διορθώσουν αυτή την παραµόρφωση. Η συνάρτηση μεταφοράς των διορθωτικών κυκλωμάτων προσδιορίζεται από την απαίτηση η συνολική συνάρτηση μεταφοράς να είναι αυτή της μορφής. 21
Ιδανικά Φίλτρα (1/6) Κάθε φίλτρο είναι ένα σύστηµα που επιτρέπει τη διέλευση κάποιων συχνοτήτων και αποκόπτει τις υπόλοιπες. ηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς του έχει µια ζώνη διέλευσης και µια ζώνη αποκοπής ή απόρριψης. Κάθε συχνότητα του σήµατος που ανήκει στη ζώνη διέλευσης δεν θα υποστεί παραµόρφωση, ενώ κάθε συχνότητα που ανήκει στη ζώνη αποκοπής θα απορριφθεί. 22
Ιδανικά Φίλτρα (2/6) Ανάλογα µε τη συνάρτηση μεταφοράς τους, διακρίνουμε τις παρακάτω κατηγορίες ιδανικών φίλτρων: Βαθυπερατά (Low Pass Filter, LPF). Υψιπερατά (High Pass Filter, HPF). Ζωνοπερατά (Band Pass Filter, BPF). Ζωνοφρακτικά (Band Stop Filter, BSF). 23
Ιδανικά Φίλτρα (3/6) Σχήμα 6. Ιδανικά φίλτρα. 24
Ιδανικά Φίλτρα (4/6) Εύρος ζώνης ενός συστήµατος καθορίζει τη σταθερότητα στης συνάρτησης πλάτους Η(f). Συνήθως ορίζεται ως το διάστηµα των θετικών συχνοτήτων όπου η Η(f) παραµένει μεγαλύτερη κάποιου ποσοστού του μεγίστου της (π.χ. > 1/ 2). 25
Ιδανικά Φίλτρα (5/6) Ιδανικό Υψιπερατό Φίλτρο: H f = 1, f fc 0, f > fc. Ιδανικό Βαθυπερατό Φίλτρο (Low Pass): H f = 1, f 1 f f 2. 0, αλλού Ιδανικό Ζωνοφρακτικό Φίλτρο: H f = 0, f fc 1, f > fc. Ιδανικό Ζωνοπερατό Φίλτρο: H f = 0, f 1 f f 2. 1, αλλού 26
Ιδανικά Φίλτρα (6/6) Η συνάρτηση µεταφοράς του ιδανικού βαθυπερατού 1, f < fa φίλτρου είναι: Η(f) = 0, f > fa. Όπου: H f θ(f)=2πft 0. = H(f) e jθ(f) και 27
Μη Ιδανικά φίλτρα (1/2) Στην πράξη τα φίλτρα που προαναφέρθηκαν δεν είναι πραγµατοποιήσιµα. Τα πραγµατικά φίλτρα έχουν συνάρτηση μεταφοράς διαφορετική από τις προηγούµενες. Το εύρος ζώνης ενός φίλτρου ορίζεται ως το διάστηµα των θετικών συχνοτήτων εντός του οποίου το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς παίρνει τιµές μεγαλύτερες από ένα προκαθορισµένο ποσοστό της μέγιστης τιµής του. 28
Μη Ιδανικά φίλτρα (2/2) Αν το όριο που θέτουµε για το πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς είναι ένας παράγοντας 0.707, ή το κέρδος ισχύος που ορίζεται ως 20 log10( H (f) ) έχει μειωθεί κατά 3dB, τότε το εύρος ζώνης ονοµάζεται 3dB. 29
Μη-Ιδανικό Βαθυπερατό Φίλτρο Σχήμα 7. Μη ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο. 30
Βιβλιογραφία «Συστήματα Επικοινωνίας», Simon Haykin, Εκδόσεις Παπασωτηρίου. Αρχές και Εφαρμογές Σημάτων και Συστημάτων, Χ. Δουληγέρης, Γ.Α. Τσιχριντζής, Εκδόσεις Βαρβαρήγου, Πειραιεύς, 2003. «Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες», Κωνσταντίνου, Καψάλη, Κώττη, Εκδόσεις Παπασωτηρίου. «Αρχές Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων», Taub, Schilling, Εκδόσεις Τζιόλα. 31
Τέλος Ενότητας