Αναλυτική Γεωμετρία (Ευθεία-επίπεδο) ΣΕΜΦΕ 2015-16



Σχετικά έγγραφα
Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Ε Λ Ε Γ Κ Τ Ι Κ Ο Σ Υ Ν Ε Δ Ρ Ι Ο ΣΕ Ο Λ Ο Μ Ε Λ Ε Ι Α

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι υπερβολή µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( Ε Ε ) = 2γ, πρέπει

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ]Β. Πέµπτη 20 Φεβρουαρίου 2014

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ο. Τετάρτη 8 Ιουλίου 2015

ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ: ΜΑΝΤΕΙΟ ΤΡΟΦΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΘΗΒΑ»

Αξιολόγηση των Επιδράσεων του Σχεδίου Τοποθέτησης Άνεργων Νέων Αποφοίτων Γυμνασίων, Λυκείων, Τεχνικών Σχολών και Μεταλυκειακής Εκπαίδευσης μέχρι και

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το πρακτικό της υπ' αριθµ. 32ης/2015 Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου

ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Εκλογικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΠΣΤ. Πέµπτη 16 Φεβρουαρίου 2012

ΕΚΛΟΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΑ ΨΗΦΟΦΟΡΙΑΣ ΒΟΥΛΕΥΤΙΚΩΝ ΕΚΛΟΓΩΝ ΤΗΣ 6 ης ΜΑΪΟΥ 2012

Υπολογισμός ορίου συνάρτησης όταν x ±

Τεύχος 21 Μάιος - Ιούλιος Υπέρλαμπρα Αστέρια. K ω π η λ α τ ι κ ά ν έ α

ΓΙΑ ΕΦΗΒΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΗΛΙΚΟΥΣ Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2013 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ι Τρίτη 27 Αυγούστου 2013

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν. Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010

Πάνω Λεύκαρα. Αγαπίου Αθανασία-Αλέξη Τιμόθεος-Χαραλάμπους Γιώργος-Χατζηγιάγκου Δήμητρα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 1223/2009 ΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ της 30ής Νοεμβρίου 2009 για τα καλλυντικά προϊόντα

θ) Ο αριθμός των εγκύρων ψηφοδελτίων που έλαβε κάθε ένας συνδυασμός ή μεμονωμένος υποψήφιος ανέρχεται:

2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ

ΔΗΜΟΣ ΑΧΑΡΝΩΝ Σύστημα Διαχείρισης Ποιότητας ISO 9001 : 2008 ΠΑΡΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΝΤΕΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΑΚΤΙΚΟ 30 ο / ΑΠΟΦΑΣΗ 1065/2015

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΣ 2014 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΛΒ Πέµπτη 4 Σεπτεµβρίου 2014

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩN ΤΜΗΜΑ ΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2009 ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΣΤ Τρίτη 23 Ιουνίου 2009

Ακολουθία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν*, των θετικών ακέραιων ( πάντα ν Î Ν* ) ΟΡΟΙ

Η ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΑ ΤΟΝ Β ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΟΛΕΜΟ ΚΑΙ Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΣΤΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Α Μ Ο Ι Β Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Σ Ε Ω Ν

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

Μέλι, ένας θησαυρός υγείας και δύναμης

ΑΡΙΘΜΟΣ 0769/ ΣΥΜΒΑΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗΣ Ι.ΝΕ.ΔΙ.ΒΙ.Μ. - ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΣΧΟΛΕΙΩΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΠΑΤΡΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ε. Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014

Μ Ε Ε Γ Γ Ρ Α Φ Ε Σ Π Ρ Ο Σ Φ Ο Ρ Ε Σ Κ Α Ι Δ Υ Ν Α Τ Ο Τ Η Τ Α Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Β Ε Λ Τ Ι Ω Σ Η Σ Μ Α Ϊ Ο Σ

Αριθ. Αποφάσεως 600/2009 ΑΝΤΙ ΗΜΑΡΧΟΣ: ΧΑΤΖΗΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΠΡΟΕ ΡΟΣ: ΓΕΩΡΓΙΑ ΗΣ ΠΑΥΛΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΑΣ: ΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΚΑΠΟΥ ΠΕΡΝΟΥΣΕ ΜΙΑ ΦΩΝΗ

ΟΙ ΕΛΛΗΝΙΚΕΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ. Ως Ειδικός Γραμματέας παραβρέθηκε ο υπάλληλος κ. Λουκάς Στραβόλαιμος.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ρ. Τετάρτη 7 Μαρτίου 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΔΙΡΦΥΩΝ ΜΕΣΣΑΠΙΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΚΣΤ. Τετάρτη 4 Μαΐου 2011

Μ Ε Λ Ε Τ Η. Προμήθεια υλικών και φυτοφαρμάκων για τη συντήρηση υφιστάμενων και δημιουργία νέων χώρων πρασίνου Δ.Ε. Γουβών

Υπό Παναγιώτη Δαλκαφούκη, μέλους Ένωσης Ελλήνων Ποινικολόγων

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΠΑΛΑΙΟΥ ΦΑΛΗΡΟΥ

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.

ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΑΡΟΧΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΦΥΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΟΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΥ. Πρόταση: Το άθροισµα των απείρων όρων µιας γεωµετρικής προόδου που έχει πρώτο όρο α

ΠΛΗΡΩΜΕΣ ΩΡΟΜΙΣΘΙΩΝ ΕΜΠΕΙΡΟΤΕΧΝΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ (ΕΜ16) ΓΕΝΙΚΑ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΝΣΤ. Παρασκευή 2 Ιουλίου 2010

4.2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΜΒΑ ΟΝ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ

Θρησκευτικά Ε ημοτικού

Α Π Ο Φ Α Σ Η Η ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΑΣ ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΜΕΝΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΗΠΕΙΡΟΥ - ΔΥΤ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ «ΛΑΪΚΟ» ΚΑΡΔΙΟΛΟΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

ΔΗΜΟΣ ΘΑΣΟΥ ΦΑΚΕΛΛΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΥΓΕΙΑΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΜΘ. Τρίτη 7 Ιουνίου 2011

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2014 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΛZ Τρίτη 16 Σεπτεµβριου 2014

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ

Ημερίδα Αθλητικών Κακώσεων στα Παιδιά και τους Εφήβους

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μ Ε Λ Ε Τ Η ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ (σύμφωνα με τις διατάξεις του ΕΚΠΟΤΑ)

17 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Λιπιδιολογίας, Αθηροσκλήρωσης και Αγγειακής Νόσου Οκτωβρίου 2014 Ξενοδοχείο DIVANI CARAVEL ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΟΛΟΜΕΛΕΙΑΣ (ΑΠΟΓΕΥΜΑ)

Θ Ε Μ Α «Έκδοση - Μεταβίβαση και ανανέωση αδειών παραγωγών Λαϊκών Αγορών» Αριθ. Αποφάσεως 439/2012

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΗΛΩΣΕΙΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ. 3 ΕΚΘΕΣΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ 2013

: ( : /18/ 2004/17/ 2015

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΚΘ. Τρίτη 18 Σεπτεµβρίου 2012

ΠΤΤΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ

ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΔΕΛΤΙΟ ΤΟΥ ΙΑΤΡΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΛΑΡΙΣΑΙΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Λάρισα

Ε Υ Α Ρ ΤΕΥΧΟΣ 4 ΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Υ ΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΗΜΟΥ ΡΟ ΟΥ ,00 (χωρίς το Φ.Π.Α.) ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΝ ΕΣΕΩΝ ΙΚΤΥΟΥ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΡΓΟΥ:

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΞΖ. Τρίτη 30 Ιουνίου 2015

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΜΓ. Δευτέρα 8 Οκτωβρίου 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΘΕΑΤΡΟ : ΠΡΟΖΑ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ. Πέµπτη 31 Ιανουαρίου 2013

ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΙΔΩΝ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ-ΕΥΠΡΕΠΙΣΜΟΥ & ΣΑΚΩΝ ΑΠΟΡ/ΤΩΝ ΕΤΟΥΣ 2015 ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ & ΤΩΝ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΗΜΑΘΙΑΣ ΗΜΟΣ ΑΛΕΞΑΝ ΡΕΙΑΣ Αλεξάνδρεια, Αριθµ. Πρωτ.: 4699

Α Π Ο Φ Α Σ Η Ο ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΥΠΟΥΡΓΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ

Ι Ο Υ Ν Ι Ο Σ

ΑΓΟΡΕΣ ΛΑΪΚΕΣ. Συζήτηση επίκαιρης ερώτησης προς τον Υπουργό Ανάπτυξης σχετικά µε τη λειτουργία των λαϊκών αγορών. τόµ. Β, σ

ΑΠΟΦΑΣΗ ΟΙ ΥΠΟΥΡΓΟΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΑΙΟΣΥΝΗΣ

Γ49/59 ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ Π Ρ Ο Σ :

` ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΠΑΛΛΗΝΗΣ Ιθάκης 12, 15344, Γέρακας Τηλ.: ,Fax: Οικονομική Επιτροπή Αριθ.

ΑΡΙΘΜΟΣ 0501/ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΠΙΧΟΡΗΓΗΣΗΣ Ι.ΝΕ.ΔΙ.ΒΙ.Μ. - ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΣΚΟΠΕΛΟΥ

ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ 97 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΙΙ Έγκριση του Οργανισμού Εσωτερικής Υπηρεσίας του ΔΟΚΜΕΠΑ.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ Αρ.Πρωτ.: 10829/ Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α

ΠΡΟΧΕΙΡΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

(ΜΕ ΤΑ ΔΥΟ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ)

ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΕΠΕΙΓΟΝ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Δ Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ

ΕΤΟΣ 5ο ΑΡΙΘ.ΦΥΛΛΟΥ 252 ΓΡΑΦΕΙΑ: ΤΥΠΟΓΡΑΦΕΙΑ:ΕΙΡΗΝΗΣ 2 ΤΚ ΓΡΕΒΕΝΑ ΤΗΛ.24620/ FAX:24620/ ΤΡΙΤΗ 25 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΤΙΜΗ ΦΥΛ 0,30

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. ΘΕΜΑ: Ψήφιση διαμορφωμένου, σύμφωνα με τις οδηγίες του ΥΠΕΣ, σχεδίου προϋπολογισμού οικ. έτους 2014 Εισηγητής: Π.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΜΟΝΑΔΩΝ Α ΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ:

Θέμα πτυχιακής εργασίας

Μ Ε Λ Ε Τ Η. Προμήθεια υλικών και φυτοφαρμάκων για τη συντήρηση υφιστάμενων και δημιουργία νέων χώρων πρασίνου Δ.Ε. Χερσονήσου

"Η ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΟΝ ΝΟΜΟ ΚΑΒΑΛΑΣ ΥΠΑΡΧΟΥΣΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΠΤΙΚΕΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ"

Πτυχιακή Εργασία. <<Η Ενιαία Φορολογική Πολιτική στην Ευρωπαϊκή Ένωση>> Επιβλέπων Καθηγητης : Παρχαρίδης Βασίλης. Φοιτήτρια :Μαρινέλη Ξανθή

Τμήμα Ζωικής Παραγωγής ΤΕΙ Δ. Μακεδονίας, Παράρτημα Φλώρινας

ΔΕΙΚΤΗΣ ΜΙΣΘΩΝ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ: Α τρίμηνο Α τρίμηνο 2014

A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας την περίληψη του κειμένου που σας δόθηκε ( λέξεις). Μονάδες 25

Transcript:

νλυτική Γωμτρί (Ευθί-πίπδο) ΣΕΜΦΕ 05-6.() Τ δινύσμτ Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίνι μη συγγρμμικά κι πράλληλ προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμ θέσης r A = (,,3) ίνι σημίο του πιπέδου. Άρ η ξίσωση του πιπέδου ίνι: x y z 3 ( r ra, Β, Γ ) = 0 = 0... x 5y+ 4z 4 = 0. 3 (β) Το διάνυσμ η = (,, 3) ίνι κάθτο προς το πίπδο Π (φού ίνι η Q ). Άρ η ξίσωση του πιπέδου ίνι: ( r r A) η = 0 ( x, yz, ) (,, 3) = 0 x y+ 3z 7 = 0 (γ) Η υθί έχι πράλληλο διάνυσμ i j k η = η η = = i + 4j + 3 k, 3 0 το οποίο ίνι κάθτο προς το πίπδο Π. Επιπλέον το (3,-,) Π. Άρ η ξίσωση του πιπέδου Π ίνι : ( r r ) η = 0 ( x, y+, z ) (, 4,3) = 0 x+ 4 y+ 3z 5 = 0. A.() Το πίπδο Π πριέχι το σημίο μ διάνυσμ θέσης a = OA κι έχι πράλληλ δινύσμτ τ, Γ = a c, που ίνι μη συγγρμμικά γι a c 0. Άρ η ξίσωση του πιπέδου ίνι(δς σχήμ ) r = a+ λ + µ ( a c), λµ, [ δινυσμτική πρμτρική ξίσωση ] ή ( r aa,, c) = 0 [δινυσμτική ξίσωση ] Π A Γ a a Σχήμ Σχήμ a (β) Τ δινύσμτ a, a ίνι πράλληλ προς το πίπδο Π κι κόμη η ρχή των ξόνων (0,0,0) νήκι στο Π(σχήμ ). Άρ η ξίσωση του πιπέδου Π ίνι : r = 0 + λ a+ µ ( a ) λµ, ή ( raa,, ) = 0.

3. Το a ίνι το διάνυσμ θέσης νός σημίου της υθίς, νώ το η ίνι έν πράλληλο διάνυσμ προς την υθί. Θέτοντς x = 0 στις ξισώσις των Π, Π νζητούμ το σημίο της τομής των πιπέδων Π, Ππου βρίσκτι στο πίπδο yoz( x = 0). Έχουμ το σύστημ { } y+ z =, 3 y z = y = 0, z =, οπότ το σημίο (0,0,) Π. Το σημίο δν ίνι μονδικό, φού το σύστημ των ξισώσων των δύο πιπέδων έχι άπιρς λύσις. Επιπλέον το διάνυσμ η = η η, όπου η (,,) Π κι η (4, 3, ) Π, ίνι πράλληλο προς την υθί. Είνι δηλδή η = (,5, 7), λλά κι κάθ διάνυσμ λη, λ ίνι πράλληλο προς την υθί. y 0 z 4. Η υθί έχι ξισώσις x 3 = 0, =, δηλδή πρνάι πό το σημίο (3,0,0) κι έχι πράλληλο διάνυσμ το = (0,,), νώ η υθί πρνάι πό το σημίο (,, ) κι έχι πράλληλο διάνυσμ το = (3,, ). Τότ = (5,,) κι πιπλέον έχουμ:, σύμβτς,, μη συνπίπδ (,, ) 0, 5 που ισχύι, φού (,, ) = 0 = 9 0. 3 Κ = (0,,), = (3,, ). Σχήμ 3 Το τυχόν σημίο Κ της έχι συνττγμένς (3, t+ 0, t), t, το τυχόν σημίο Λ της έχι συνττγμένς (3s, s, s ), s, νώ το τυχόν διάνυσμ μ άκρ πάνω στις υθίς, έχι συνττγμένς (3s 5,s+ t,s t ). Ζητάμ τ Κ,Λ που ικνοποιούν τις σχέσις: 3 0 5t s t ΚΛ ΚΛ = = = 9, ΚΛ 7 39 7 ΚΛ = 0 t+ s= s = 9 οπότ θ ίνι Κ(3, 8, 3 ), Λ ( 33, 5, 5 ) κι dmin = ΚΛ = 9 9 9 9 9 5. () Σύμφων μ τη θωρί, το μβδόν πρλληλογράμμου ΒΔΓ ισούτι μ το μέτρο του ξωτρικού γινομένου των δινυσμάτων Β, Δ. Έτσι έχουμ: Λ

Ε( ΒΓ ) = Ε( Β Γ ) = Β Γ = ( a) ( c a) = c a c a = c+ c a+ a. Σχήμ 4 (β) Το πίπδο Π τέμνι τους άξονς xxyyzzστ ', ', ' σημί (,0,0), Β(0,,0) κι Γ(0, 0, 3 ), ντιστοίχως. Έτσι έχουμ Β = (,,0), Γ = (,0, 3 ) κι 7 Ε( ΒΓ ) = Β Γ = 6ι+ 3 j + k =. 6. () Έστω P '( βγ,, ) το συμμτρικό του P ως προς την. Τότ το μέσον M του PP ' νήκι u(,, ) a + β γ + 3 στην υθί, οπότ το σημίο M (,, ) (, 0, 3) ικνοποιί τις ξισώσις της υθίς, δηλδή + β γ + 3 : x = y = z = = (). (, β, γ) Μ Επιπλέον PP ' = (, βγ, 3) u(,, ), όπου το διάνυσμ u ίνι πράλληλο προς την υθί, οπότ θ ισχύι: Σχήμ 5 ( ) + β ( ) + ( γ 3) ( ) = 0 β γ = ( ) 7 4 5 πό () κι () έχουμ: =, β =, γ =. 3 3 3 (β) Έστω P ( βγ,, ) το συμμτρικό του P ως προς το πίπδο Π: x y z = 0. PP, βγ, 3 ίνι κάθτο προς το πίπδο Π, οπότ θ ίνι Τότ το διάνυσμ ( ) συγγρμμικό μ το κάθτο διάνυσμ (,, ) η του πιπέδου Π, οπότ: β γ 3 = = = t ()

Σχήμ 6 + β γ + 3 Επιπλέον, το μέσο Μ,, του υθύγρμμου τμήμτος PP θ νήκι στο πίπδο Π, οπότ θ έχουμ: + β γ + 3 = 0 β γ = 6 () 3 8 9 πό το σύστημ των ξισώσων () κι () λμβάνουμ: P,, 3 3 3. 7. Ν ποδίξτ ότι το μβδόν Ε της ορθογώνις προβολής του πρλληλογράμμου ΒΓΔ μ Β = u, Δ = v πάνω σ έν πίπδο μ κάθτο διάνυσμ n, n =, δίντι πό την ισότητ Λύση ( ος τρόπος) Ε= ( u v) n. Σχήμ 7 Το πίπδο Π στο σχήμ τυτίζτι μ το πίπδο της ορθής προβολής ABΓ. Η ορθή προβολή ABΓ του πρλληλογράμμου ABΓ ίνι πρλληλόγρμμο,

γιτί οι πένντι πλυρές του ίνι πράλληλς, ως τομές πράλληλων πιπέδων πό το πίπδο Π. Έτσι, ν ονομάσουμ B = u, Δ = v, τότ το μβδόν Ε της ορθογώνις προβολής του ΒΓΔ ίνι: Ε= u v. Στη συνέχι κτσκυάζουμ το πρλληλπίπδο ΒΓ ΒΓ που ορίζτι πό τ δινύσμτ του οποίου ο όγκος V δίντι πό τον τύπο u, v κι n V = ( u, v,n) = ( u v) n () Σύμφων μ γνωστό θώρημ της Στρομτρίς, (δς Γωμτρί Λύκίου, ΕΜΕ) ο όγκος V μπορί ν δοθί κι ως ξής: V = µβδ όν κάθτης τοµ ής µ ήκος πράπλυρης κµ ής ( ) ( ) ( ) n V = Ε Β Γ = Ε = Ε () πό τις () κι () προκύπτι η ισότητ Ε= ( u v) n. ος τρόπος πό το γνωστό τύπο της προβολής δινύσμτος πάνω σ διάνυσμ, κφράζουμ τ δινύσμτ B = u, Δ = v συνρτήσι των δινυσμάτων Β = u, Δ = v κι n. Έτσι έχουμ un ( ), vn u= = = u n u unnv v n= v ( vnn ), n n φού ίνι n =. Εύκολ διπιστώνουμ ότι: u n= u n κι v n= v n κι πό τις ιδιότητς του μικτού γινομένου προκύπτι u v n = u v n = u v n = u v n ( ) ( ) ( ) ( ) = ( v u) n = ( v u) n = v ( u n) = ( ) = ( ) = ( ) = u v n cos ( u v, n) = u v =Ε, n κι cos ( u v, n ) =±, φού τ u γιτί = v u n v u n u v n v κι n ίνι συγγρμμικά. 8. Γράφουμ 0 - : x = y, z = 3 κι : x = y, z = 0 3 Έστω (,0,0). H υθί 3 που πρνάι πό το έχι ξισώσις: x y =, z = 0. Το πίπδο Π έχι ξίσωση z = 0. Θωρούμ Μ(4, 6,3) κι φέρουμ υθί 4 Π. Η 4 έχι ξισώσις x= 4, y = 6 κι τέμνι το Π στο σημίο Β(4,6,0). x 4 y 6 Η υθί η κάθτη πό το Β προς την έχι ξισώσις =, z = 0 κι τέμνι την στο σημίο

Σχήμ 8 9. (i), συνπίπδς PP, a, συνπίπδ ( PP, a, ) = 0 ( r r, a, ) = 0. (ii) Η προβολή του PP πάνω στο διάνυσμ a ίνι το διάνυσμ ΛΚ, οπότ ( a ) PP = ( a ) ΛΚ ( r r)( a ) = ± a ΛΚ ( r r, a, ) ( r r, a, ) = a ΛΚ d= ΛΚ =. a ( Είνι a 0, φού οι, ίνι σύμβτς.) Λ Β a Κ Σχήμ 9 a Σχήμ 0 (iii) Είνι d = ΚΛ, όπου ΚΛ. Θωρούμ πί της σημίο τέτοιο, ώστ P = a κι σχημτίζουμ το πρλληλόγρμμο PPΒ. Τότ έχουμ ( r r) a Ε(PP Β ) = P ΚΛ = ad d =. a

0. Θωρούμ σημίο Β τέτοιο ώστ Β = u. Επίσης θωρούμ το πρλληλόγρμμο ΜΒΝ. Τότ Ε( ΜΒΝ ) = d( Μ, ) u κι Ε(ΜΒΝ) = Μ u = ( rm a) u, ( rm a) u οποτ d( Μ, ) =. u Εφρμογή: Είνι r = (,, ), u = Β = (,,), M r a = (, 3, 5), ( r a) u = i 3 j 5k M κι M 55 dm (, ) =. 3 Ν Β Μ r Μ Σχήμ u a