ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΗΜΑΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΕΙΡΕΣ FOYRIER ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΕ ΧΡΟΝΟ ΣΗΜΑΤΩΝ (DISCRETE TIME FOURIER SERIES-DTFS) ΠΕΡΙΟ ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Θυµηθείτε τον ορισµό του Περιοδικού Σήµατος ιακριτού Χρόνου: x(n)=x(n+) για κάθε ακέραιο n Η µικρότερη τιµή του Ν για την οποία ισχύει η πιο πάνω σχέση καλείται Θεµελιώδης (Fundamental) Περίοδος του Σήµατος. εδοµένου ενός περιοδικού σήµατος x(n) µε περίοδο Ν θεωρούµε την ακολουθία σηµάτων: ( ) jk n jωkn y n = e = e, k ακέραιος k sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ ( ) jk n Μπορούµε να διαπιστώσουµε ότι: jωkn y n = e = e, k ακέραιος k. y k (n) είναι περιοδικά σήµατα ως προς n µε περίοδο Ν. y k (n) είναι περιοδικά σήµατα ως προς k µε περίοδο Ν, δηλαδή y k (n)=y k+ν +Ν(n)για όλα τα n. Η τελευταία διαπίστωση δείχνει ότι υπάρχουν το πολύ µόνο Ν διαφορετικά σήµατα ( ) jk n jωkn y n = e = e, k= r, r+,..., r+ k Όπουτο r ακέραιος επιλεγµένος αυθαίρετα. 3. Για τα σήµατα y k (n) ισχύει: (, ) jl n jm n = = n= I l m e e Πράγµατι για m+l=ακ. πολλ.. του Ν ισχύει: για m+ l=ακ. πολλ. του αλλιώς ( ) ( ) jl π n jm π n j ( m+ l) π n I l, m = e e = e = = n= n= n= αλλιώς j( m+ l) n e j( m l) n π π π + jl n jm n j( m+ l) n e n= n= j( m+ l) n j( m+ l) n I l, m = e e = e = = = e e sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Μπορεί να αποδειχθεί ότι για περιοδικό σήµα x(n)µε θεµελιώδη περίοδο ίση µε Ν ισχύει: ( ) x n - = k= c e k jk n µε n ακέραιο - jk n ck = x( n) e, k=,,..., n= Γενικότερα ισχύει: Γενικότερα ισχύει: ( ) x n = r+ - k= r c e k jk n µε n,r ακέραιο - jk n ck = x( n) e, k= r, r+,... r+ n= Και γι αυτό γράφουµε : ( ) x n = k=< > c e k jk n µε n ακέραιο c k - jk n = x( n) e,k= < > n= sagri@di.uoa.gr 3
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Τα ζεύγη των πιο πάνω αποτελούν το ζεύγος σύνθεσης και ανάλυσης για τη σειρά Fourier ιακριτού Χρόνου (Discrete Time Fourier Series-DTFS). ( ) x n = k=< > c e k jk n µε n ακέραιο Εξίσωση Σύνθεσης c k - jk n = x( n) e,k= < > n= Εξίσωση Ανάλυσης Με βάση τις πιο πάνω σχέσεις ένα περιοδικό σήµα µε περίοδο Ναναλύεται σε γραµµικό συνδυασµό Νψηφιακών αρµονικών σηµάτων µε θεµελιώδη ψηφιακή κυκλική συχνότητα Ω=(/Ν). Τα Ναυτά σήµατα έχουν ψηφιακή κυκλική συχνότητα που είναι διαδοχικά ακέραια πολλαπλάσια του Ω. Τα Ν αυτά διαδοχικά πολλαπλάσια καλύπτουν συνολικά ένα εύρος κυκλικών συχνοτήτων µήκους. Παράδειγµα Να υπολογίσετε τ ην DTFS για το περιοδικό σήµα µε περίοδο Ν=4, x(n)=.. Απάντηση Εφαρµόζοντας την εξίσωση ανάλυσης - jk n ck = x( n) e,k= < > n= Προκύπτει: jk n jk 4 4 ck = e = e + e k= < > 4 n= 4 4 4 Ή πιο αναλυτικά: c =, c = ( j), c =, c = ( + j) Και γενικά για m=4l+p 3 c = c +p m p Για παράδειγµα c 8 =c = ¼(-j) sagri@di.uoa.gr 4
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Φασµατική Ανάλυση ιακριτού Περιοδικού Σήµατος Η ανάλυση ενός περιοδικού σήµατος x(n) σε DTFS δίνει την αναπαράσταση του σήµατος στο πεδίο συχνοτήτων. Η αναπαράσταση αυτή παριστάνει τα αρµονικά σήµατα που αποτελούν το x(n) µε τα αντίστοιχα πλάτη c k, τα οποία είναι εν γένει µιγαδικοί αριθµοί. Το φάσµα του σήµατος x(n), εξ ορισµού περιλαµβάνει όλα τα σήµατα exp[jk(/)n] για όλους του ακέραιους k, παρόλο που µόνο Ν διαδοχικοί από αυτούς είναι διάφοροι µεταξύ τουςκαι µόνο Ν από αυτούς χρησιµοποιούµε για την ανάλυση. Στα επόµενα διαγράµµατα δίνονται οι αναπαραστάσεις του σήµατος x(n) του προηγούµενου παραδείγµατος. π π sagri@di.uoa.gr 5
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ π π. Γραµµικότητα. Περιοδικότητα Ιδιότητες της DTFS Όπως ήδη έχουµε αναφέρει η ακολουθία των συντελεστών c k επαναλαµβάνεται µε περίοδο. Όπως ήδη έχουµε αναφέρει η ακολουθία των συντελεστών c k επαναλαµβάνεται µε περίοδο. 3. υϊκότητα x n c k c n x k DTFS DTFS ( ) ( ) ( ) ( ) 4. Συµµετρίες για πραγµατικό x(n) * * ( ) πραγµατικό = και = x n c c c c k k k k sagri@di.uoa.gr 6
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ. Γραµµικότητα. Περιοδικότητα Ιδιότητες της DTFS Όπως ήδη έχουµε αναφέρει o DTFS είναι γραµµικός µετασχηµατισµός. Όπως ήδη έχουµε αναφέρει η ακολουθία των συντελεστών c k επαναλαµβάνεται µε περίοδο. 3. υϊκότητα x n c k c n x k DTFS DTFS ( ) ( ) ( ) ( ) 4. Συµµετρίες για πραγµατικό x(n) * * ( ) πραγµατικό = και = x n c c c c k k k k 4. Συµµετρίες για πραγµατικό x(n) 5. Ιδιότητα Parseval Ισχύει * * ( ) πραγµατικό = και = x n c c c c k k k k x( n)πραγµ.&άρτια c πραγµατικός για k x( n)πραγµ.&περιττή c k φανταστικοί ( ) x n = c n= k= Οπότε η ισχύς ενός περιοδικού σήµατος ισούται µε Η ενέργεια σε µία περίοδο Px = x( n) = c n= k= k k k = ( ) = E x n c n= k= k sagri@di.uoa.gr 7
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Παράδειγµα Να υπολογίσετε τ ην DTFS για το περιοδικό σήµα µε περίοδο Ν=5, x(n)= -4 4-4 4. Απάντηση Εφαρµόζοντας την εξίσωση ανάλυσης 4 jk 4 5 5 5 ( ) π n jk π jk π ck = x n e = 4e + + + 4 e,k= < > 5 n= 5 8 8 jk π jk π jk π jk π 5 5 5 5 ck = 4e + + + 4 e = e e,k= < > 5 5 Ισχύει όµως 8 * jk π jk π jk π 5 5 5 e = e = e εποµένως jk jk 5 5 π ck = + e e = + j4sin k,k= < > 5 5 5 Και τελικά 8 8 4π c =, c = + j sin, c = + j sin, 5 5 5 5 5 5 5 8 4π 8 c3 = j sin, c4 = j sin 5 5 5 5 5 5 Και γενικά για m=5l+p Για παράδειγµα c = c +p m p 8 c8 = c = + j sin 5 5 5 sagri@di.uoa.gr 8
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Η ίδια ανάλυση σε πολικές συντεταγµένες: ηλαδή: c + k 5 5 k = 6sin, arg ( ck) =arctan 4sin ( k π 5 ) k= < > c =.4, c =.57.88 π, c =..8 π, c =..8 π, c =.57.88 π 3 4 c8 = c =.57.88 π ηλαδή: c + 5 5 k = 6sin k, arg ( ck) =arctan 4sin ( k π 5 ) k= < > c =.4, c =.57.88 π, c =..8 π, c =..8 π, c =.57.88 π 3 4 c8 = c =.57.88 π sagri@di.uoa.gr 9
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOYRIER ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΕ ΧΡΟΝΟ ΣΗΜΑΤΩΝ (DISCRETE TIME FOURIER TRASFORM-DTFT) ΠΕΡΙΟ ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Για ένα σήµα x(n)διακριτού χρόνου ο DTFS γενικεύεται στον DTFT Χ(Ω) που ορίζεται δυικά ως κάτωθι: Είναι προφανές ότι ο DTFTΧ(Ω) είναι ένα συνεχές, περιοδικό, εν γένειµιγαδικό σήµα µε περίοδο, δλδ Χ(Ω+)=Χ(Ω). jωn x n = X Ω e dω Η σχέση ( ) ( ) Εκφράζει τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier διακριτού χρόνου -IDTFT Καθώς ο DTFT είναι εν γένει µία µιγαδική συνάρτηση συνήθως την παριστάνουµε ως X(Ω)= Χ(Ω) = Χ(Ω) exp(jφ(ω)), όπου Χ(Ω) αναφέρεται ως φάσµα πλάτους (Magnitude Spectrum)και φ(ω) είναι το όρισµα της συνάρτησης και αναφέρεται ως φάσµα της φάσης (Phase Spectrum). sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Μια ικανή συνθήκη για να υπάρχει ο DTFT ενός σήµατος x(n), δλδ να συγκλίνει το άθροισµα της σχέσης ορισµού, αποτελεί το η σύγκλιση του αθροίσµατος του απολύτου των όρων της x(n), δλδ n= ( ) x n <+ Παράδειγµα:Να υπολογιστεί ο DTFT της x(n)=α n u(n), α< και πραγµατικό. Με τη βοήθεια των γεωµετρικών προόδων προκύπτει: X( Ω ) = jω ae asinω X( Ω ) = & Χ( Ω ) = arctan a cosω+ α a cos Ω X asinω Ω = & Χ Ω = arctan acosω+ α a cos Ω ( ) ( ) sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Παράδειγµα: Να υπολογιστεί ο ΙDTFT της: Απάντηση: Ω W X X X W< Ω < π ( Ω ) = & ( Ω+ ) = ( Ω) Για n= Για n π jωn jωn x( n) = X( ) e d e d Ω Ω= Ω π W W x( ) = d Ω= π W W W W W jwn jwn jωn jωn e e x( n) = e dj n de j n Ω = j n = j n W W Για n Τελικά: ( ) x n W W jwn jwn jωn jωn e e x( n) = e dj n de j n Ω = j n = j n W W ( ) sin( π ) W jωn jωn x( n) = e dj n de j n Ω = = j n W sin Wn Wn W = W = sinc πn ππwn π W n= π = W sinc( Wn) n π W W ( Wn) W π sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ DTFT sagri@di.uoa.gr 3
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Επισηµαίνουµε εδώ ιδιαίτερα κάποιες ιδιότητες του DTFT. Υπολογισµός της Ενέργειας ενεργειακού σήµατος x(n). n= π x( n) = X( Ω) dω= Η συνάρτηση S(Ω)= Χ(Ω) /() χρησιµοποιείται ως Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος. Για σήµα ισχύος x(n)η η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος υπολογίζεται ως εξής. Υπολογίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης rxx(l) του x(n). Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος Gxx(Ω)=DTFT( DTFT(rxx(l))/ (l))/() π). π Και η µέση ισχύς µπορεί να προκύψει από: π P = av DTFT rxx ( l) d Ω= π sagri@di.uoa.gr 4
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ DTFT X(Ω) ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ z ( Ω ) = ( ) j X X z Ω z= e ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ DTFT X(Ω) ΚΑΙ FT ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΗΜΕΝΟΥ Χ S (ω) X jωn ( Ω ) = x( n) e n= j TS n Ω= ωτs XS( ω) = X( Ω ) x( n) e ω Ω= ωτs = n= S ( ) = ( ) δ( S) x t x n t nt n= sagri@di.uoa.gr 5
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (DICRETE FOURIER TRASFORM-DFT) Με όσα έχουµε αναφέρει µέχρι τώρα γίνεται φανερή η τεχνική ψηφιακής επεξεργασίας και ανάλυσης τυχαίου σήµατος µε πεπερασµένο εύρος ζώνης W. Θεωρείστε συνεχές τυχαίο σήµα x C (t) µε µετασχηµατισµό Fourier X C (ω) και εύρος ζώνης W. Ψηφιοποιείται το σήµα µε συχνότητα δειγµατοληψίας f S >W. Έτσι προκύπτει η ακολουθία x(n)=x(ntnt S ), T S =/f. O DTFT X(Ω) στο διάστηµα [,) είναι µια απεικόνιση του FT του X C (ω)για ω=ωf S. sagri@di.uoa.gr 6
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Στην επεξεργασία όµως, και την ανάλυση ενός τυχαίου σήµατος x C (n): X jωn ( Ω ) = x( n) e n=. Επειδή δεν υπάρχει µαθηµατικός τύπος που να περιγράφει το x C (t)ούτε το x(n)πρέπει για κάθε τιµή του Ω να εκτελούνται άπειρες πράξεις. Γι αυτό περιοριζόµαστε σε µια προσέγγιση του πιο πάνω απειροαθροίσµατος.. Οι τιµές του Ω στο διάστηµα [-π, π) δεν είναι πεπερασµένες και εποµένως µπορούµε να τον προσεγγίσουµε µόνο σε ένα πεπερασµένο αριθµό σηµείων Ν του [, ) τις τιµές του X(Ω). Αντίστοιχες δυσκολίες υπάρχουν και αν προσπαθήσουµε να υπολογίσουµε το σήµα x(n) από ένα γνωστό Χ(Ω) που δίνεται είτε µε µη ολοκληρώσιµη συνάρτηση, ή µε Ν δείγµατα στο διάστηµα [, ). π jωn x( n) = X( Ω) e dω π Για κάθε τιµή του n o πιο πάνω τύπος πρέπει να υπολογιστεί κατά προσέγγιση µε αριθµητική τεχνική και για πολλές τιµές του n. Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις δηλαδή υπάρχουν προβλήµατα τόσο πολυπλοκότητας όσο και και πρέπει να γνωρίζουµε πως θα επιλέγεται ο αριθµός Ν δειγµάτων και τι επιφέρει στην ακρίβεια η τιµή του. sagri@di.uoa.gr 7
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Τα πιο πάνω προβλήµατα επιλύει σε µεγάλο µέρος ο ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier (Discrete Fourier Transform -DFT) Ευθύς DFT Έστω ότι γνωρίζουµε τη {x(n) x(n)}για < n< Ορίζουµε την περιοδική ακολουθία µε περίοδο, x p (n) p ( ) = ( ) mod x n x n Αν η x(n) είναι γνωστή σε λιγότερα από σηµεία δεχόµαστε ότι αυτή λαµβάνει τιµή µηδέν σε όλα τα µη γνωστά σηµεία. Στη συνέχεια προσπαθώντας να υπολογίσουµε δείγµατα του X(Ω) απέχοντα κατά Ω=(/Ν) υπολογίζουµε την περιοδική ακολουθία Χ p X k X p( k) xp( n) e = n= jk n Ν Από τον τρόπο υπολογισµού της X p (k) προκύπτει ότι αυτή είναι ο DTFS της x p (n)και είναι περιοδική µε περίοδο Ν. Βέβαια υπάρχει το ερώτηµα µε πόση ακρίβεια εκπληρώθηκε ο σκοπός για τον οποίο υπολογίστηκε η X p (k), δηλαδή πόσο απέχει αυτή από το Χ[k/Ν] Αντίστροφος DFT (IDFT) Θεωρείστε ότι µε κάποιο τρόπο έχετε υπολογίσει Ν ισαπέχοντα δείγµατα του X(Ω) στα σηµεία Χ k =X[( (/Ν)k] και επιθυµείτε να προσδιορίσετε το x(n). Για το σκοπό αυτό υπολογίζουµε την περιοδική ακολουθία µε περίοδο Ν, x p (n). x( n) xp( n) = X k e k= jk n Η πιο πάνω σχέση αποτελεί στην ουσία IDTFS. sagri@di.uoa.gr 8
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Ερώτηµα Πόσο καλές είναι οι προσεγγίσεις από τις δύο τελευταίες σχέσεις; X k X p( k), X p( k) xp( n) e = n= x( n) xp( n), xp( n) = X k e k= jk n Ν jk n Σχέση των x(n)και x p (n) jk n xp( n) = X k e, n=,,..., k= Λαµβάνοντας την ακολουθία δειγµάτων {X k }=X[(/ π/ν)k], k=,,,- η x p (n) µπορεί να θεωρηθεί ως DFTS της {X k } που υπολογίζεται από τον πιο πάνω τύπο και είναι ένα περιοδικό σήµα µε περίοδο. Στη βιβλιογραφία αποδεικνύεται ότι ισχύει: x n x n r n p ( ) = ( ), =,,,..., r= ηλαδή κάθε δείγµα του περιοδικού σήµατος x p (n) είναι το άθροισµα άπειρων δειγµάτων του x(n) δηλαδή το γνωστό φαινόµενο του aliasing που γνωρίσαµε µε τα φάσµατα στη δειγµατοληψία. sagri@di.uoa.gr 9
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Σχέση των x(n)και x p (n) Η ατέλεια που περιγράψαµε πιο πάνω δεν είναι αναγκαστικά καταστροφική. Για παράδειγµα αν το x(n) είναι ενεργειακό σήµα και έχει πεπερασµένη διάρκεια L µη µηδενικά δείγµατα, µπορούµε να επιλέξουµε το Ν>L και έτσι οι ολισθήσεις x(n-r r)=. )=.Τότε ισχύει: x p ( n) ( ),,..., x n n= L = n= L, L+,..., Αν το x(n) είναι σήµα ισχύος και εµείς επιθυµούµε ένα πεπερασµένο πλήθος δειγµάτων του πρέπει να προηγηθεί κατάλληλη επεξεργασία των δειγµάτων X p (k)πριν να εφαρµοστεί ο τύπος του IDFT ώστε να εξουδετερωθεί το aliasing. Παράδειγµα: Ας δοκιµάσουµε τα πιο πάνω σε ένα σήµα που γνωρίζουµε µε αναλυτική συνάρτηση τόσο το x(n) όσο και το Χ(Ω) x(n).8.6.4. x p (n)=x(n)relation =5 xp(n) x(n) -6-4 - 4 6 8 n x p (n)=x(n)relation = x n = X( Ω ) =.5 ( ) u( n) n j e Ω x(n).8.6.4 xp(n) x(n). - -5 5 5 n sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Από τα πιο πάνω διαγράµµατα διαπιστώνουµε ότι όταν διαθέτουµε Ν<L δείγµατα του X(Ω) η ακρίβεια ανακατασκευής του x(n) είναι περιορισµένη. Όταν όµως Ν>L τα L πρώτα δείγµατα του x p (n) δίνουν ακριβώς τα L δείγµατα του x(n). Σχέση των Χ[(/Ν)k] και Χ p ( ) ( ) n= jk n Ν X k = x n e, k=,,..., p Για ένα σήµα Ενέργειας, όταν οι τιµές των δειγµάτων της x(n) έξω από τα σηµεία :Ν τείνουν στο µηδέν το πιο πάνω άθροισµα δίνει περίπου την ίδια τιµή µε τον DTFT στο σηµείο Χ[(/Ν) π/ν)k], αλλιώς υπάρχουν σηµαντικές αποκλίσεις. Σχέση των Χ[(/Ν)k] και Χ p ( ) ( ) n= jk n Ν X k = x n e, k=,,..., p Για ένα σήµα Ενέργειας, όταν οι τιµές των δειγµάτων της x(n) έξω από τα σηµεία :Ν τείνουν στο µηδέν το πιο πάνω άθροισµα δίνει περίπου την ίδια τιµή µε τον DTFT στο σηµείο Χ[(/Ν) π/ν)k], αλλιώς υπάρχουν σηµαντικές αποκλίσεις. Παράδειγµα: Ας δοκιµάσουµε τα πιο πάνω σε ένα σήµα που γνωρίζουµε µε αναλυτική συνάρτηση τόσο το x(n) όσο και το Χ(Ω) n x( n) = u( n) X( Ω ) =.5 j e Ω sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ x(n).8 DFT,DTFT comparison; <L X(Ω) Χ p (k).6 x (n).8.6.4 (XΩ) & Χ p (k).4..8..6.4. - 3 4 5 6 7 8 n 3 4 5 6 7 Ω.6.4 DFT,DTFT comparison; <L X(Ω) Χ p (k). X(Ω) & Χ p (k) -. -.4 -.6 -.8 3 4 5 6 7 Ω x(n).8.6 DFT,DTFT comparison; >L X(Ω) Χ p (k).8.4 x (n).6.4 (XΩ) & Χ p (k)..8. - 3 4 5 6 7 8 n.6.4. 3 4 5 6 7 Ω.6.4 DFT,DTFT comparison; >L X(Ω) Χ p (k). X(Ω) & Χ p (k) -. -.4 -.6 -.8 3 4 5 6 7 Ω sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Όπως προκύπτει από τα προηγούµενα διαγράµµατα για Ν<L DFT ακολουθία διαφέρει από την ακολουθία των δειγµάτων του Χ(Ω) ενώ για Ν>L η ακρίβεια είναι απόλυτη. Για σήµατα ισχύος το πρόβληµα είναι πιο δύσκολο. Στα σήµατα αυτά εµείς διαθέτουµε το x(n) σε πεπερασµένο πλήθος σηµείων L και αυτό δίνει µεγάλη απόκλιση µεταξύ DFT και DTFT. Πράγµατι αν διαθέτουµε ένα τµήµα του σήµατος ισχύος x(n) < n< µε DTFT Χ(Ω), το x g (n) x g ( n) ( ) x n n L = αλλού Ισχύει: g ( ) = ( ) ( ) x n x n p n L p L παλµός ορθογώνιος διάρκειας L δειγµάτων µε DFT P L (Ω).Το αποτέλεσµα είναι ότι ο DFT του x g (n) προσεγγίζει τον DTFT του x(n)p L (n) που ισούται µε X(Ω)*P L (Ω) (περιοδική συνέλιξη). Περισσότερα επ αυτού θα δούµε αργότερα στη φασµατική ανάλυση σηµάτων. sagri@di.uoa.gr 3
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ DFT και IDFT Ο DFT είναι ένας µετασχηµατισµός «εργαλείο» για πολλές περιοχές της επιστήµης. Χρησιµοποιείται σε εφαρµογές Ιατρικής, Τηλεπικοινωνιών Επεξεργασία Φωνής, Εικόνας, Ήχου. Μερικές φορές εφαρµόζεται σε σήµατα πολύ µεγάλου µήκους και άλλες σε µικρότερο µήκος αλλά πολλές φορές σε ένα δευτερόλεπτο. Η πολυπλοκότητα υπολογισµού τόσο του DFT όσο και του IDFT µε βάση τις σχέσεις ορισµού είναι της τάξης του πολλαπλασιασµών, όπου το πλήθος των δειγµάτων του x(n), ή του X k. Στην πράξη όµως οι ακολουθίες των DFT και IDFT υπολογίζονται µε έναν ειδικό αλγόριθµο, τον Fast Fourier Transform-FFT, ο οποίος υπολογίζει τους όρους της σειράς σε Νlog () πράξεις. Για παράδειγµα Για Ν= =4 δείγµατα ο FFT χρειάζεται log () =περίπου πολλαπλασιασµούς αντί για εκατοµ πολλαπλασιασµούς που χρειάζεται το απλό άθροισµα. sagri@di.uoa.gr 4
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Στο Matlabχρησιµοποιούνται οι functions fft() και ifft() που υπολογίζουν τον ευθύ και αντίστοιχα τον αντίστροφο DFTµε FFT αλγόριθµο. Η function fft() δίνει την ακολουθία {X k }στο διάστηµα [,). Χρησιµοποιώντας όµως την function fftshift() ()η ακολουθία {X k } αναδιατάσσεται στο διάστηµα (-π, π]. DTFT & DFT Παρόλο που ο ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier (DFT) στην ουσία είναι ένας DTFS, τα ζεύγη µετατροπών των δύο µετασχηµατισµών φαίνονται να είναι διαφορετικά! Discrete Time Fourier Series Pair ck = x n e k=,,..., x n = c e n=,,..., - - jk n jk n ( ) ( ) k n= k= Discrete Fourier Transform Pair X = x n e k=,,..., x n = X e n=,,..., k - - jk n jk n ( ) ( ) k n= k= Βέβαια τα δύο ζεύγη είναι ισοδύναµα µαθηµατικά, απλώς ισχύει ck = Xk, k=,,..., Η διαφορά οφείλεται σε διαφορετικές προτιµήσεις των µελετητών και των συγγραφέων της διεθνούς βιβλιογραφίας. Έτσι στην παλαιότερη βιβλιογραφία (Alan V. Oppenheim) τα ζεύγη των DTFT και DFTεκφράζονται µε τους ίδιους τύπους ενώ σε νεώτερες εκδόσεις (J Proakis and D. Manolakis) οι τύποι διαφοροποιούνται. Υπ όψιν ότι το Matlabγια τον υπολογισµό του DFT χρησιµοποιεί τους τύπους των J Proakis and D. Manolakis, και το ίδιο γίνεται στις οι δικές µας σηµειώσεις καθώς και στο βιβλίο του Κόγια. sagri@di.uoa.gr 5
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Βέβαια η διαφοροποίηση στους τύπους του DTFS και DFT δηµιουργεί αντίστοιχη διαφοροποίηση στην έκφραση του Θεωρήµατος Parseval: Θεώρηµα Parseval DTFS: x n c x n X ( ) = k DFT: ( ) = n= k= n= k= Τέλος σε κάποιες εφαρµογές στις τηλεπικοινωνίες θα βρείτε τον τύπο του DFT ζεύγους ως: Xk= x n e k=,,..., x n = X e n=,,..., - - jk n jk n ( ) ( ) k n= k= Και το Θεώρηµα Parseval τροποποιείται αντίστοιχα σε: ( ) x n = n= k= X k k Παράγοντας Φάσης Για ευκολότερη παρουσίαση θα χρησιµοποιούµε το συµβολισµό: W = e j Μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι (W ) =, δηλαδή το W είναι Ν-στή ρίζα της µονάδος. Με βάση τον πιο πάνω ορισµό j kn W e και = W kn X = x n W, k=,,..., x n = X W n=,,...,, - kn kn k ( ) ( ) k n= k= sagri@di.uoa.gr 6
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Ιδιότητες του Παράγοντας Φάσης k+ + k k k = =. W W. Για άρτιο W W 3. W = 4. W = n= X = x n W, k=,,..., x n = X W n=,,...,, - kn kn k ( ) ( ) k n= k= Οι πιο πάνω πράξεις αποδίδονται πιο σύντοµα µε τη χρήση Πινάκων και διανυσµάτων x X ( ), ( ),..., ( ) = x x x ( ), ( ),..., ( ) X X X W W W 4 ( ) W = W W W ( ) ( )( ) W W W DFT: X = W x IDFT: x = W X T T sagri@di.uoa.gr 7
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Ιδιότητες του DFT Όπως ήδη αναφέραµε οι ιδιότητες του DFT είναι ίδιες µε εκείνες του DTFS µε µόνη προσαρµογή αυτή στο Θεώρηµα του Parseval.. Γραµµικότητα Για δύο ακολουθίες x(n), y(n) του ίδιου µήκους Ν ισχύει ( ) + ( ) = ( ) + ( ) DFT{ ax n by n } adft{ x n } bdft{ y n } Όταν οι δύο ακολουθίες δεν έχουν το ίδιο µήκος η πιο πάνω ιδιότητα για να ισχύει πρέπει να συµπληρωθούν µε µηδενικά ώστε να αποκτήσουν το ίδιο µήκος.. Κυκλική Μετάθεση { } km ( ) = W X( k) DFT{ x n m } mod W km = e jkm 3. Ολίσθηση Συχνότητας j kn Ν DFT{ e x( n) } = X( n k) Mod, k= ακέραιος { } 4. Συµµετρίες A. Για πραγµατική ακολουθία x(n) ισχύει: X(k)=X * (-k) 5. υϊκότητα { } Mod ( ) = ( ) DFT{ X n } x k 6. Πολλαπλασιασµός στο Χρόνο DFT{ x n y n } X k Y k 7. Κυκλική συνέλιξη στο Χρόνο ( ) ( ) = ( ) ( ) { } { } ( ) ( ) = ( ) i ( ) DFT{ x n y n } X k Y k sagri@di.uoa.gr 8
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Στις τελευταίες σχέσεις το σύµβολο παριστάνει την Κυκλική Συνέλιξη (Circular Convolution): ( ) ( ) = ( ) ( ) x n y n x l y n l l= Mod Ο υπολογισµός της Κυκλικής Συνέλιξης µε βάση τον πιο πάνω ορισµό γίνεται πολύ εύκολα µε γινόµενο Πίνακα επί διάνυσµα. Έτσι θεωρείστε την ακολουθία x(n)=, 3, -4, 7, -9 και y(n)=, -, 4. Συµπληρώνουµε µε µηδενικά την µικρότερου µήκους ακολουθία ώστε και οι δύο ακολουθίες να έχουν το ίδιο µήκος, στο παράδειγµά µας Ν=5.. Ορίζουµε τον ΝΧΝ πίνακα Μ, που οι στήλες του αποτελούνται από τις Ν περιστροφές της x(n). 3. Αποδεικνύεται ότι ισχύει: ηλαδή: 4. τελικά: 9 7 4 3 3 9 7 4 M= 4 3 9 7 7 4 3 9 9 7 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) x n y n = x l y n l = My l= 9 7 4 3 39 3 9 7 4 3 x( n) y( n) = 4 3 9 7 4 = 7 7 4 3 9 3 9 7 4 3 4 ( ) y( n) = 39, 3, 7,3, 4 x n Mod sagri@di.uoa.gr 9
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Μπορείτε να κατασκευάσετε τον πίνακα Μ µε διανύσµατα τις περιστροφές της y(n) και να πολλαπλασιάσετε επί x και θα προκύψει ίδιο αποτέλεσµα. Υπολογισµός (Γραµµικής) Συνέλιξης µε τη Βοήθεια Της Κυκλικής Συνέλιξης και Εποµένως µε τη βοήθεια DFT. Θεωρείστε την ακολουθία x(n)=, 3, -4, 7, -9 και y(n)=, -, 4. Η συνέλιξη των δύο ακολουθιών υπολογίζεται ως εξής:. Υπολογίστε το µήκος του αποτελέσµατος της συνέλιξης των δύο ακολουθιών. Στο παράδειγµα το µήκος είναι 5+3-=7. Συµπληρώνουµε µε µηδενικά τις ακολουθίες x(n) και y(n) ώστε να αποκτήσουν το µήκος του αναµενόµενου αποτελέσµατος. x(n)=, 3, -4, 7, -9,, y(n)=, -, 4,,,, 3. Υπολογίζεται η κυκλική συνέλιξη των x(n),y(n) για Ν=7 9 7 4 3 3 9 7 4 5 4 3 9 7 4 7 x( n) * y( n) = 7 4 3 9 = 3 9 7 4 3 4 9 7 4 3 37 9 7 4 3 36 ηλαδή: x( n) * y( n ) = [ 5 7 3 4 37 36] sagri@di.uoa.gr 3
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Στις τελευταίες σχέσεις το σύµβολο παριστάνει την κυκλική συνέλιξη: ( ) ( ) = ( ) ( ) x n y n x l y n l l= Mod Υπολογισµός Συνέλιξης ακολουθίας µεγάλου µήκους. Τεχνική Επικάλυψης και Πρόσθεσης (Overlap and add) ειγµατοληψία Σήµατος Έστω το συνεχές σήµα x C (t) µε µετασχηµατισµό Fourier Χ C (ω). 8 6 4 x C (t) - -4-6 -8-4 6 8 4 6 8 t sagri@di.uoa.gr 3
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ 7 6 5 4 X C (ω) 3 - - -6-4 - 4 6 8 ω Το εύρος ζώνης του σήµατος είναι πεπερασµένο και στο συγκεκριµένο παράδειγµα ισχύει ω max =3 rad/sec. x δ (t).5.5 -.5 - T S 4 6 8 4 6 8 t ειγµατοληπτούµε το σήµα x C (t) χρησιµοποιώντας την ακολουθία των delta x δ (t) του σχήµατος. ( ) = δ( t nt ) x t δ n= Όπου Τ S η περίοδος δειγµατοληψίας S 8 x s (t) 6 4 Το δειγµατοληπτηµένο σήµα είναι το x S (t) - -4-6 -8-4 6 8 4 6 8 t ( ) = ( ) δ( ) x t x t t nt S C S n= sagri@di.uoa.gr 3
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Προσέξτε ότι το σήµα x S (t) είναι ένα σήµα συνεχούς χρόνου. ηλαδή έχει τιµή για κάθε χρονική στιγµή t. Η τιµή του σήµατος αυτού είναι παντού µηδέν εκτός από τα σηµεία του χρόνου που είναι πολλαπλάσια του T S. Στα σηµεία αυτά το x S (t) έχει τιµή x S (nt S )=x C (nt S )δ(t-nt S ). Ο Μετασχηµατισµός Fourier Συνεχούς σήµατοςτου δειγµατοληπτηµένου σήµατος x S (t) υπολογίζεται: nπ XS( ω) = F{ xs ( t) } = F{ xc( t) } F δ ( t nt S) = XC( ω) δ ω n= TS n= TS nπ nπ XS( ω) = XC( ω) δ ω = XC ω TS n= TS TS n= TS x t x t δ t nt x nt δ t nt x nδ t nt ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) S C S C S S S n= n= n= ( ) x ( nt ) x n Ο Μετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος x S (t) υπολογίζεται: nπ XS( ω) = F{ xs ( t) } = F{ xc( t) } F δ ( t nt S) = XC( ω) δ ω n= TS n= TS nπ nπ XS( ω) = XC( ω) δ ω = XC ω TS n= TS TS n= TS XS( ω) = XC( ω nω S), ωs = T T S n= C S S sagri@di.uoa.gr 33
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ X C (ω) X s (ω) 7 6 5 4 3 - - 8 6 4-6 -4-4 6 8 ω - - -5 - -5 5 5 ω Μετ. Fourier του συνεχούς σε χρόνο σήµατος x C (t) XC( ω) X S ( ω) Μετ. Fourier του συνεχούς σε χρόνο σήµατος x S (t), για κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας ω S =6 rad/sec X s (ω) X s (ω) 8 6 4 - - -5 - -5 5 5 ω 8 6 4 - -5 - -5 - -5 5 5 5 ω X S( ω) Για κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας ω S =8 rad/sec X ω S ( ) Για κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας ω S = rad/sec. Και στα δύο παραδείγµατα δεν υπάρχει aliasing sagri@di.uoa.gr 34
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ X s (ω) 7 6 5 4 3 - - - -8-6 -4-4 6 8 ω XS ( ω) Για κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας ω S =5 rad/sec. Είναι φανερό το aliasing που ηµιουργήθηκε καθώς ω S <ω max Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ x(n) o DTFTΧ(Ω)και ο X S (ω) Όπως είδαµε πιο πάνω το δειγµατοληπτηµένο σήµα S ( ) = ( ) δ( ) x t x n t nt n= S Παρουσιάζει µετασχηµατισµό Fourier XS( ω) = XC( ω nω S), ωs = T T S n= Αν θεωρήσουµε την ακολουθία x(n), αυτή έχει DTFT Χ(Ω) όµοιας µορφής µε το X S (ω), αλλά µε διαφορετική µεταβλητή. Έτσι ενώ µια περίοδος του X S (ω) εκτείνεται από ω S / έως ω S /, µια περίοδος του X (Ω) εκτείνεται από π έως π. Πιο συγκεκριµένα ισχύει: ω X( Ω= ) X = TS XS( ω), ω f S S sagri@di.uoa.gr 35
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ 6 4 FT of xc( t) X C (ω) x 4 - -3 - - 3 ω rad/sec x 4 4 3 X s (ω) - -ω S / ω s / FT of xs( t) 6-4 -3 - - 3 4 ω rad/sec x 4 4 X(Ω) -π π DTFT of x( n) - -5-4 -3 - - 3 4 5 Ω rad Στην προηγούµενη διαφάνεια έχουν σχεδιαστεί τα διαγράµµατα των µέτρων του Χ C (ω) (FT του (x C (t)), του Χ S (ω) (FT του (x S (t)) και του X(Ω) (DTFT του x(n)).για τα δύο τελευταία έχει ληφθεί συχνότητα δειγµατοληψίας f S =8 Hz Μπορείτε να διακρίνετε την οµοιοµορφία των µετασχηµατισµών X(Ω) και Χ S (ω). Καθώς στο παράδειγµα δεν υπάρχει aliasing παρατηρείστε ότι αν διαθέτουµε τον Χ(Ω), από τον µηδενικό του λοβό προσδιορίζουµε πλήρως τον X C (ω), αρκεί να θέσουµε ω=ωf S. sagri@di.uoa.gr 36
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ ΣΧΕΣΗ DTFT ΚΑΙ DFT Ας συµβολίσουµε µε Χ DFT (k) k=,,,- τον DFT της x(n). Όταν για τον υπολογισµό του Χ DFT (k) έχουν περιληφθεί όλα τα µη µηδενικά δείγµατα της {x(n)},τότε η ακολουθία Χ DFT (k) αποτελεί ακριβή δείγµατα του X(Ω). Ισχύει δηλαδή Χ DFT (k)=χ(k(/ν)), k=,,,-. Το ίδιο ισχύει µε καλή προσέγγιση, όταν έχουµε συµπεριλάβει στον υπολογισµό του DFT δείγµατα που περιέχουν πάνω από το 95% της ολικής ενέργειας. ΣΧΕΣΗ DTFT ΚΑΙ DFT Ας συµβολίσουµε µε Χ DFT (k) k=,,,- τον DFT της x(n). Όταν για τον υπολογισµό του Χ DFT (k) έχουν περιληφθεί όλα τα µη µηδενικά δείγµατα της {x(n)},τότε η ακολουθία Χ DFT (k) αποτελεί ακριβή δείγµατα του X(Ω). ηλαδή ο Χ DFT (k) είναι Ν ισαπέχοντα δείγµατα του Χ(Ω) µε απόσταση /Ν. Πιο συγκεκριµένα, Όταν χρησιµοποιούµε απευθείας τον DFT, ισχύει Χ DFT (k) =Χ(k(/Ν)), k=,,,-. Όταν όµως χρησιµοποιούµε την ολισθηµένη του µορφή, ισχύει: Χ DFT (k) =Χ(-π+k(/Ν)), k=,,,-. sagri@di.uoa.gr 37
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Οι πιο πάνω σχέσεις ισχύουν επίσης µε καλή προσέγγιση, ακόµα και όταν δεν συµπεριληφθούν στον υπολογισµό του DFTόλα τα µη µηδενικά δείγµατα, αλλά περιοριστούµε µόνο σε έναν αριθµό που περιέχει πάνω από το 95% της ολικής ενέργειας. Όταν ούτε η συνθήκη του µεγαλύτερου του 95% ισχύει τότε οι προηγούµενες προσεγγιστικές σχέσεις αποµακρύνονται από την πραγµατικότητα. Τότε, όπως θα δούµε χρησιµοποιούµε τη θεωρία των παραθύρων (Windows) για να προσδιοριστεί η σχέση µεταξύ DTFT και DFT. Σχέση µεταξύ των DFTΧ DFT (k) και FTΧ C (ω). Όταν το σήµα x C (t) είναι πεπερασµένου εύρους ζώνης, χρησιµοποιηθεί f S >W, και για τον υπολογισµό του DFT χρησιµοποιήθηκαν δείγµατα συνολικής ενέργειας µεγαλύτερης του 95%,τότε ο ολισθηµένος Χ DFT (k) αποτελεί δείγµατα του FT X C (ω) µε απόσταση ω= Ωf S =(/Ν)f S. Πιο συγκεκριµένα, όταν ισχύουν οι πιο πάνω προϋποθέσεις, µεταξύ του ολισθηµένου DFT και του X C (ω) ισχύει: Χ DFT (k) =Χ(-ω S / +k(ω S /Ν)), k=,,,- ω S =f S. sagri@di.uoa.gr 38
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ f S =8 Hz X C (ω) 6 4 FT of xc( t) 6 - -3 - - 3 ω rad/sec x 4 4 X(Ω) -π π DTFT of x( n) - 6-5 -4-3 - - 3 4 5 Ω rad Shif(DFT) 4 - -π - -5 5 5 k π DFT of x( n) DTFT διακεκοµένη Στην προηγούµενη διαφάνεια έχουν σχεδιαστεί τα διαγράµµατα των µέτρων του Χ C (ω) (FT του (x C (t)), του X(Ω) (DTFT του x(n))και του Χ DFT (k) (DFT της x(n)).για τα δύο τελευταία έχει ληφθεί συχνότητα δειγµατοληψίας f S =8 Hz >W και τα δείγµατα της {x(n)} που χρησιµοποιήσαµε για τον DFT περιέχουν σχεδόν όλη την ενέργεια του ενεργειακού σήµατος x C (n). sagri@di.uoa.gr 39
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ r ( ) = ( ) x t x n n= π sin π ( t nt ) T S S ( t nt ) T S S Προσέγγιση Μετασχηµατισµού Fourier Σήµατος Ισχύος Θεωρείστε το σήµα: Ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος αυτού είναι: X ( ) ω π x t = sin( t) = sin( f t) =, f = Hz π = δ ω ω δ ω+ ω, ω = f= 68 rad/sec j ( ω) ( ) ( ) sagri@di.uoa.gr 4
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ 3.5 3.5 X(ω).5.5-8 -6-4 - 4 6 8 ω.5.5 X(ω) -.5 - -.5 - -8-6 -4-4 6 8 ω Θεωρείστε ότι διαθέτουµε ένα τµήµα του σήµατος ( ) ω π x t = sin( t) = sin( f t) =, f = Hz ειγµατοληπτηµένο µε συχνότητα f S =65 Hz και µε µήκος L= δειγµάτων.5 x(t) -.5-3 4 t sec 5 6 7 8 x -3 Και λαµβάνουµε τον DFT του σήµατος sagri@di.uoa.gr 4
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ 8 6 DFT 4 - -8-6 -4-4 6 8 K 8 6 ~ X(ω) 4 - -8-6 -4-4 6 8 ω=(k/)f s Προσέγγιση του Χ(ω) από δείγµατα L=,Ν=. 4 ~X(ω) - -4 - -8-6 -4-4 6 8 ω=(k/)f s Προσέγγιση του angle(χ(ω) από δείγµατα L=, Ν= Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι υπάρχει σηµαντική διαφορά µεταξύ του FT και της προσέγγισης που υπολογίσαµε µέσω DFT! H διαφορά αυτή είναι πολύ µεγαλύτερη από ότι φαίνεται στα πιο πάνω διαγράµµατα. Έτσι αν προσθέσουµε µηδενικά στο σήµα και ο DFT υπολογιστεί για Ν=64 σηµεία: sagri@di.uoa.gr 4
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ 8 ~ X(ω) 6 4 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 ω=(k/)f s x 4 4 ~X(ω) - -4 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 ω=(k/)f s x 4 Προσέγγιση του Χ(ω) και του angle(x(ω)) από δείγµατα L= σηµείων που συµπληρώθηκαν µε στα Ν=64 Η παρατηρούµενη διαφορά µεταξύ FT και προσέγγιση µε DFT γίνεται πολύ µεγαλύτερη όταν επιχειρήσουµε να προσεγγίσουµε περισσότερο σύνθετα φάσµατα: Θεωρείστε το σήµα Ο FT του x(t), X ( ) ω ( ω ) x t = sin( t) + sin t, f = Hz, f = 95 Hz π j ( ω) = δ( ω ω ) + δ( ω ω) δ( ω+ ω ) δ( ω+ ω) ω = 68, ω = 5969 rad/sec, sagri@di.uoa.gr 43
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ 4 3 X(ω) -8-6 -4-4 6 8 ω X(ω) - - -8-6 -4-4 6 8 ω Παράσταση του Χ(ω) και του angle (X(ω)) (FT) Θεωρείστε ότι διαθέτουµε ένα τµήµα του σήµατος ( ) ω ( ω ) x t = sin( t) + sin t, f = Hz, f = 95 Hz ειγµατοληπτηµένο µε συχνότητα f S =65 Hz και µε µήκος L= δειγµάτων x(t) - - 3 4 t sec 5 6 7 8 x -3 Και λαµβάνουµε τον DFT του σήµατος αφού προηγουµένως προσθέσουµε Ν-L µηδενικά ώστε να προκύψει DFT 64 δειγµάτων. sagri@di.uoa.gr 44
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ 5 ~ X(ω) 5 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 ω=(k/)f s x 4 4 ~X(ω) - -4 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 ω=(k/)f s x 4 Προσέγγιση του Χ(ω) και του angle(x(ω)) από δείγµατα L= σηµείων που συµπληρώθηκαν µε στα Ν=64 Παρατηρούµε ότι δεν αναδεικνύεται καν η διπλή γραµµή του φάσµατος πλάτους. Επίσης µπορούµε να διακρίνουµε τη µη µηδενική τιµή σε συχνότητες που δεν υπήρχαν στο σήµα. Που οφείλονται οι διαφορές αυτές; Αν σκεφθούµε λίγο θα διαπιστώσουµε ότι τµήµα του σήµατος που εξετάσαµε δεν είναι το x(t) αλλά το x(t) Π[(t-T/)/T]. /T]. ηλαδή το γινόµενο του αρχικού σήµατος επί έναν ορθογώνιο παλµό διάρκειας Τ=LT S. t T t T Π =, Τ= LTS T αλλού Αυτό έχει ως συνέπεια ο DFT να προσεγγίζει τη συνέλιξη των FT του Χ(ω) και W(ω)=FT{ FT{Π[(t-T/)/T] /T]}. sagri@di.uoa.gr 45
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Πιο συγκεκριµένα ο DFT δίνει δείγµατα της κυκλικής Συνέλιξης των DTFT X(Ω) και του W(Ω). Μπορούµε (να υπολογίσουµε, ή) να βρούµε από την Βιβλιογραφία ότι ο DTFT του δειγµατοληπτηµένου παλµού µε L δείγµατα στη µη µηδενική διάρκεια, ισούται: ( ΩL ) ( Ω ) sin W( Ω ) =, π Ω π sin 5 L= W(Ω) 5-4 -3 - - 3 4 Ω DTFT W(Ω) για L= δείγµατα 4 3 L=4 W(Ω) -4-3 - - 3 4 Ω DTFT W(Ω) για L=4 δείγµατα Στην περίπτωση λοιπόν, του παραδείγµατος µε ( ) π x t = sin( f t) =, f = Hz Η κυκλική συνέλιξη έδωσε το DFT που έχουµε δει. Στην περίπτωση του παραδείγµατος µε ( ) ω ( ω ) x t = sin( t) + sin t, f = Hz, f = 95 Hz sagri@di.uoa.gr 46
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Η κυκλική συνέλιξη εξαφάνισε τη δεύτερη γραµµή του φάσµατος δίνοντας ένα λοβό αντί για δύο. Μπορούµε να διαπιστώσουµε ότι ο κεντρικός λοβός του W(Ω) παρουσιάζει διάρκεια 4π/ π/l οπότε για να αρχίσουν να ξεχωρίζουν οι δυο γραµµές πρέπει η συχνοτική απόσταση τους στον DTFT να είναι Ω>/L και καθώς Ω= f/ f/f S f>f S /L. Για F=5 Hz και f S =65 Hz προκύπτει L>53. Πρακτικά µε L=5 διαχωρίζονται οι παλµοί. ~ X(ω) 3 5 5 L= 5 = 8 5 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 ω=(k/)f s x 4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Αν προσπαθήσουµε να υπολογίσουµε τον FT ενός σήµατος ισχύος (που διαθέτει FT) χρησιµοποιώντας DFT για ένα δειµατοληπτηµένο τµήµα του, προκύπτει παραµόρφωση που καλείται διαρροή (leakage). H leakage οφείλεται στο ότι ένα τµήµα σήµατος είναι το γινόµενο του αρχικού σήµατος επί έναν ορθογώνιο παλµό και εποµένως ο DFT προσεγγίζει τη συνέλιξη των δύο FT των δειγµατοληπτηµένων σηµάτων. H παραµόρφωση leakage έχει ως αποτέλεσµα να µην µετρούνται µε αξιοπιστία τα πλάτη του αρχικού φάσµατος και να προκύπτει σηµαντικό σφάλµα στον υπολογισµό εύρους ζώνης ή ακόµα να εξαφανίζονται διαχωρισµένες φασµατικές περιοχές. sagri@di.uoa.gr 47
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Αν χρησιµοποιήσουµε συχνότητα δειγµατοληψίας f S και µήκος σήµατος L δείγµατα τότε για να διαχωρίσουµε µέσω του του DFT δύο διαφορετικές συχνότητες πρέπει αυτές να διαφέρουν κατά f f f S L ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΘΥΡΩΝ (WIDOW FUCTIOS) Ο τετραγωνικός παλµός που δηµιουργείται από µόνος του και δηµιουργεί την παραµόρφωση Leakage καλείται και συνάρτηση παραθύρου, (Window Function) Στη βιβλιογραφία υπάρχουν άλλες συναρτήσεις παραθύρων µε διαφορετικά χαρακτηριστικά από αυτά του τετραγωνικού. Τα παράθυρα αυτά τα επιβάλουµε εµείς πολλαπλασιάζοντας τα δείγµατά τους επί τις τιµές των δειγµάτων του σήµατος και εξασφαλίζουµε µικρότερη παραµόρφωση από τους δευτερεύοντες λοβούς αλλά έχουν µικρότερη διαχωριστική ικανότητα σε γειτονικές συχνότητες επειδή ο κεντρικός τους λοβός είναι πιο ευρύς από το αντίστοιχο του τετραγωνικού. Στο πιο κάτω Πίνακα δίνονται οι τίτλοι των πιο γνωστών Συναρτήσεων Παραθύρων και οι αντίστοιχες επιδόσεις τους. ΤΥΠΟΣ Εύρος Κύριου Λοβού Κορυφές δευτερευόντων Λοβών (db) Rectangular 4π/L -3 Bartlett 8π/L -7 Hanning 8π/L -3 Hamming 8π/L -43 Blackman /L -58 sagri@di.uoa.gr 48
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 /5/3 :7 µµ Από τον Πίνακα αυτό µπορείτε να διαπιστώσετε ότι οι διαοροι τύπο συναρτήσεων παραθύρων παρουσιάζουν κατά πολύ µικρότερους δευτερεύοντες λοβούς από τον τετραγωνικό. Αυτό έχει ως συνέπεια µικρότερες παραµορφώσεις πλάτους. Από την άλλη όµως ο κεντρικός Λοβός είναι πολύ πιο ευρύς. Η συνέπεια είναι η διαχωριστική ικανότητα να είναι η µισή, ή το ένα τρίτο αυτής του τετραγωνικού. sagri@di.uoa.gr 49