Φυσική Στερεάς Κατάστασης - ο μέρος Ε. Κ. Παλούρα Στόχος της διδακτικής ενότητας Να κατανοήσουμε τα φαινόμενα μεταφοράς σε μακροσκοπική κλίμακα (ηλεκτρικές, θερμικές μαγνητικές ιδιότητες) Να επιλέξουμε τα κατάλληλα πρότυπα και να διατηρήσουμε τον μαθηματικό φορμαλισμό στο απλούστερο δυνατό επίπεδο Μοντέλο του ελεύθερου ηλεκτρονίου- Drude (1900) Απλούστερο δυνατό Βασική υπόθεση : Τα e σθένους δεν αλληλεπιδρούν με άλλα e ή ιόντα Εξηγεί Την ηλεκτρική αγωγιμότητα στα μέταλλα Τη θερμοκρασιακή εξάρτηση της ειδικής αντίστασης Αποτυγχάνει Θερμοχωρητικότητα των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας Σελίδα 1 από 14
Μοντέλο Soerfeld ή jelliu odel : εισάγει την αρχή Pauli Ορίζεται η ενέργεια Feri (Ε F ) & η επιφάνεια Feri Τα e διέπονται από την στατιστική Feri-Dirac ή Boltzann ανάλογα με την ενέργειά τους Το % των e που συμμετέχουν στα φαινόμενα μεταφοράς είναι kt E F Επίδραση του πλέγματος?? Μοντέλο σχεδόν ελεύθερου e Εξηγεί : αγωγιμότητα πολυσθενών μετάλλων, θετικό συντελεστή Hall κλπ Το θεώρημα Bloch είναι βασικό: λύνεται η Schrödinger για το περιοδικό δυναμικό του κρυστάλλου π το e διαδίδεται σαν ελεύθερο σωματίδιο με λ = και p = hk k ενεργειακές ταινίες στα στερεά για κάθε k υπάρχουν πολλές διακριτές ενέργειες Σελίδα από 14
Γιατί ξεκινάμε τη μελέτη από τα μέταλλα?? Χαρακτηρίζονται από κοινές φυσικές ιδιότητες που αποδεικνύεται ότι είναι αλληλένδετες: Υψηλή φυσική αντοχή Υψηλή πυκνότητα Υψηλή ηλεκτρική & θερμική αγωγιμότητα Υψηλή ανακλαστικότητα στο ορατό Ερμηνεία Τα μέταλλα περιέχουν μεγάλη συγκέντρωση σχεδόν ελεύθερων e που είναι ελεύθερα να κινηθούν μέσα στον κρύσταλλο. Σελίδα 3 από 14
Ποια είναι τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας στα στερεά?? Τα ευκίνητα e που στα ελεύθερα άτομα είναι e σθένους, στα στερεά γίνονται e αγωγιμότητας Παράδειγμα: Νa με δομή bcc έχει 11 e : 10e τροχιακά Bohr 1 e σθένους Χημικές ιδιότητες Στο Νa υπάρχει υπερκάλυψη τροχιακών τα e σθένους δεν είναι εντοπισμένα μετατοπίζονται από άτομο σε άτομο ανήκουν σε ολόκληρο τον κρύσταλλο γίνονται e αγωγιμότητας άγουν το ρεύμα Άρα : Τα e σθένους (ελεύθερο άτομο) χημικές ιδιότητες Τα e αγωγιμότητας (στερεό) ιδιότητες μεταφοράς Πόσα e υπάρχουν σε ένα στερεό?? N = Z ρ v M N A Όπου Ζ v το σθένος, ρ η πυκνότητα, Μ το ατομικό βάρος και Ν Α ο αριθμός Αvogadro. Σελίδα 4 από 14
Το αέριο των ελευθέρων e (μοντέλο Drude). τα e κινούνται ελεύθερα στο στερεό, δεν αλληλεπιδρούν με τα ιόντα ή άλλα e Γιατί το e δεν αλληλεπιδρά με τα ιόντα?? Το e κινείται ταχύτατα στην γειτονία των ιόντων αλληλεπιδρά για μικρούς χρόνους και τον περισσότερο χρόνο βρίσκεται σε περιοχή όπου το δυναμικό είναι ασθενές. Γιατί το e δεν αλληλεπιδρά με τα άλλα e?? Αρχή Pauli ηλεκτρόνια με spin τείνουν να είναι απομακρυσμένα Τα e περιβάλλονται από μία σφαιρική περιοχή κενή άλλων e (οπή Feri) με r 1 Å μικρή αλληλεπίδραση e. υπόκεινται μόνον στο φράγμα δυναμικού της επιφάνειας ενίοτε υφίστανται ανακλάσεις στην επιφάνεια. Περιληπτικά το αέριο του ελευθέρου e: Tα θετικά μεταλλικά ιόντα κατανέμονται ομοιόμορφα στο στερεό δημιουργώντας ένα θετικά φορτισμένο υπόβαθρο που συμβάλλει στην ηλεκτρική ουδετερότητα και ασκεί μηδενικό πεδίο στα e. Το αέριο των e είναι φορτισμένο και έχει μεγάλη πυκνότητα 10 9 e/ 3 Συμπεριφέρεται σαν πυκνό plasa Σελίδα 5 από 14
Το μοντέλο Drude εξηγεί την ηλεκτρική αγωγιμότητα των μετάλλων Στόχος : να εκφράσουμε τον νόμο του Oh έτσι ώστε να είναι ανεξάρτητος του μήκους L και της διατομής Α του αγωγού. Νόμος του Oh: Πυκνότητα ρεύματος Ηλεκτρικό πεδίο V I = R J = E = L Ειδική αντίσταση ρ (Ω c) R = ρ A ενδεικτικές τιμές του ρ: μέταλλα μωc ημιαγωγοί 1Ωc μονωτές 1GΩc I A V L Αγωγιμότητα σ (Ω -1 c -1 ) σ = 1 ρ Ενδεικτικές τιμές των σ και ρ για διάφορα υλικά. Σελίδα 6 από 14
Ισοδύναμη έκφραση του νόμου του Oh: J = σ Ε Όπου το J δίνει το φορτίο που διέρχεται από τη μονάδα της επιφάνειας στη μονάδα του χρόνου Έκφραση του σ συναρτήσει μικροσκοπικών ιδιοτήτων Παρουσία ηλεκτρικού πεδίου το ηλεκτρόνιο υφίσταται την επίδραση του πεδίου και δύναμη επιβράδυνσης λόγω φαινομένων σκέδασης από το υλικό μέσον ο νόμος του Newton γράφεται : d υ υ = ee όπου dt τ η ενεργός μάζα του ηλεκτρονίου : η μάζα του ηλεκτρονίου όπως διαμορφώνεται στο υλικό μέσον τ ο χρόνος αφηρέμησης (relaxation tie) : χρόνος μεταξύ διαδοχικών σκεδάσεων. Ο τ είναι πολύ μικρός, π.χ. τ=10-14 sec για σ=5x10 7 Ω -1 c -1. Σελίδα 7 από 14
d υ Σε στάσιμη κατάσταση (steady state) : = 0 dt eτ υ = E!!!! d Η υ d ονομάζεται ταχύτητα ολίσθησης (drift velocity). Η ταχύτητα ολίσθησης υ d μηδενίζεται ταχύτατα μόλις μηδενιστεί το ηλεκτρικό πεδίο: Για Ε=0 d υ υ t = υd ( t) = υdo exp dt τ τ Ορισμός της αγωγιμότητας σ J = σ Ε Ne τ Νe τ J = ( Ne) υd = Ε σ = μ Μέση ελεύθερη διαδομή των φορέων l = τυth όπου υ th η ταχύτητα των φορέων λόγω άτακτης θερμικής κίνησης. H υ th δεν συνεισφέρει στην αγωγιμότητα. Η ταχύτητα ολίσθησης υ d είναι πολύ μικρότερη της υ th : Ne Επομένως : σ = Νe τ = l υ th υ υ d th = 10 8 Σελίδα 8 από 14
Τυπικές τιμές της υ th μέταλλα : υth = υf = EF 6 1 10 / s όπου E F F 3kT 4 Ημιαγωγοί : υ th = 10 /s, στους 300Κ και για = o /5 Σχόλιο : μείωση των σκεδάσεων αύξηση του l αύξηση της αγωγιμότητας σ. Η κίνηση των φορέων παρουσία πεδίου και λόγω θερμικής κίνησης Σελίδα 9 από 14
Η ειδική αντίσταση των μετάλλων συναρτήσει της θερμοκρασίας Οπως είδαμε 1 ρ = = σ Ne 1 τ Όπου ( τ 1 ) η πιθανότητα να συμβεί σκέδαση στη μονάδα του χρόνου. Παράδειγμα: αν τ=10-14 s το e υφίσταται 10 14 σκεδάσεις/sec. Κυριότεροι μηχανιμοί σκέδασης Φωνόνια πιθανότητα σκέδασης ρ = 1 = 1 ph τ ph σ Ne τ ph Προσμείξεις & ατέλειες δομής πιθανότητα σκέδασης 1 τ ip ρ ip 1 = = σ Ne τ ip Συνολική πιθανότητα σκέδασης 1 1 1 = + τ τ ph τ ip ρ 1 1 = ρ ph + ρip = + τ Νόμος του Mathiessen ph τ ip Ne Ne όπου ρ ip η παραμένουσα ειδική αντίσταση και ρ ph η ιδανική ειδική αντίσταση που σε ένα καθαρό δείγμα Σελίδα 10 από 14
Διερεύνηση Τ<0 Κ πλάτος ταλάντωσης των ατόμων 0 τ ph και ρ ph 0 ρ ρ i 0 T >300 K : ρ ph >>ρ i και ρ ρ ph T ~Τ Η κανονικοποιημένη ειδική αντίσταση του Νa στην περιοχή των χαμηλών & υψηλών θερμοκρασιών. ρ(90κ)=.10x10-8 Ω. Ενδεικτικές ιδιότητες μεταφοράς μετάλλων στους 300Κ Μέταλλο l (Å) σ (Ω c) -1 Ν ( -3 ) / o Li 110 1.07x10 7 4.6x10 8 1. Na 350.11x10 7.5 x10 8 1. Cu 40 5.8x10 7 8.4 x10 8 1.0 Σελίδα 11 από 14
Το μοντέλλο Drude δεν εξηγεί την θερμοχωρητικότητα των e αγωγιμότητας. Κινητική θεωρία των αερίων => η μέση ενέργεια ενός ελεύθερου σωματιδίου είναι 3 kt η μέση ενέργεια ενός ole είναι 3 3 E NA kt = RT = όπου Ν Α ο αριθμός Avogadro και R=N A k. Επομένως η συνεισφορά των e στην ειδική θερμότητα C e αναμένεται [ E] 3 o να είναι: Ce = = R 3cal / ole K T Η συνολική ειδική θερμότητα ενός μετάλλου θα αναμενόταν να είναι: C=C ph +C e =3R +(3/)R=4.5R 9 cal ole -1 o K -1. Όμως πειραματικές μετρήσεις απέδειξαν ότι C etal C insulator 3R τα ελεύθερα e δεν συμβάλλουν σημαντικά στην ειδ. θερμότητα και μάλιστα 1 3 C e R 100 Γιατί?? Σελίδα 1 από 14
Την απάντηση δίνει η κβαντομηχανική Θεωρία του Soerfeld ή jelliu odel. Τα e καταλαμβάνουν ενεργειακές στάθμες σύμφωνα με την αρχή του Pauli και η κατανομή τους για Τ=0 δίδεται από τη συνάρτηση κατανομής f(e) : f(e) T=0 = 1 για E<E F 0 για Ε>Ε F Η f(e) δίνει την πιθανότητα στάθμη ενέργειας E να είναι κατειλημμένη. Η ενέργεια της υψηλότερης κατειλημμένης στάθμης ονομάζεται ενέργεια Feri ή στάθμη Feri Ε F. Ο Enrico Feri (1901-1954) και η σφαίρα Feri. Η στατιστική Feri προτάθηκε το 196. Το 197 έγινε καθηγητής στην Ρώμη. Το 1938 τιμήθηκε με το βραβείο Nobel το 1938 και την ίδια χρονιά πήγε στις ΗΠΑ για να γλυτώσει από τον Μουσολίνι. Σελίδα 13 από 14
Κάθε στάθμη γεμίζει με e Επίδραση της θερμοκρασίας στην κατανομή Feri Σελίδα 14 από 14