Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, αν το f () - f ( ) είναι πραγματικός - αριθμός.. * Αν ισχύει f () - f - ( ) = + ή -, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο.. ** Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, τότε f ( ισχύει h) - f ( ) f ( - h) - f ( ) =. h h h h 4. * Αν ισχύει - f () - f - ( ) f () - f - ( ), τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο. 5. * Αν f () = e, τότε f ( ) = e h h - e h 6. ** Η συνάρτηση f () = είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. 7. * Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, τότε ορίζεται πάντα η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Μ (, f ( )). 8. * H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Μ (, f ( )), δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την C f. 9. * Αν μια ευθεία (ε) έχει με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μόνο ένα κοινό σημείο, τότε είναι οπωσδήποτε εφαπτομένη της.. 47
. * Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [α, β] μπορεί να έχει κατακόρυφη εφαπτομένη μόνο σε άκρο του πεδίου ορισμού της.. * Αν η f είναι συνεχής στο, τότε η ευθεία = είναι κατακόρυφη εφαπτομένη της C f.. * Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η γραφική της παράσταση μπορεί να δέχεται μόνο κατακόρυφη εφαπτομένη.. * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ με f (), για κάθε Δ. Τότε η γραφική της παράσταση δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. 4. * Για μια συνάρτηση f ισχύει f () = ( - ) e. Τότε η C f στο σημείο (, f ()) δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. 5. * Η γραφική παράσταση μιας C f συνάρτησης f δίνεται στο σχήμα. Η παράγωγος της f στο = είναι ίση με. C f 6. ** Η συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα, έχει εφαπτομένη f( ) στο (, f ( )). 7. ** Οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f () =, g () = +, h () = - στα σημεία τομής τους με την ευθεία =, είναι παράλληλες. 48
8. * Η συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα, έχει παρά- f()= γωγο στο =. 9. * Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο της, συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.. ** Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () = α + β, σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της, συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.. * Αν δυο συναρτήσεις τέμνονται, τότε στο κοινό τους σημείο δέχονται κοινή εφαπτομένη. C f (ε). ** Η ευθεία στο σχήμα (ε) είναι εφαπτομένη της C f. Ισχύει f () =.. * α) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε θα είναι συνεχής στο. β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, τότε θα είναι παραγωγίσιμη στο. γ) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο. δ) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο, τότε δεν είναι συνεχής στο. 49
4. * Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η f είναι συνεχής στο. 5. ** Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, τότε [f ()] = f (). 6. * Η συνάρτηση f () = α, α >, είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει (α ) = α -. 7. ** Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, τότε ισχύει (f (f ())) = (f ()). 8. * Αν το άθροισμα f + g δύο συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε και οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο. 9. * Αν η συνάρτηση f (g ()) είναι παραγωγίσιμη, τότε οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες. dc. * Ισχύει =, όπου c σταθερά και R. d. ** Για μια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R ισχύει α) αν η f είναι άρτια, τότε η f είναι περιττή β) αν η f είναι περιττή, τότε η f είναι άρτια γ) αν η f είναι περιοδική, τότε η f είναι περιοδική με την ί- δια περίοδο.. * Αν η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική ν-οστού βαθμού, τότε η συνάρτηση f είναι επίσης πολυωνυμική ν- βαθμού.. * Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο R. 4. * ε κάθε χρονική στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός κινητού είναι η επιτάχυνση αυτού. 5. * Αν f () = 4, τότε υπάρχουν σημεία της C f με παράλληλες εφαπτομένες. 6. * Αν = α + β, τότε ο ρυθμός μεταβολής των τιμών του εξαρτάται από τις τιμές της μεταβλητής. 7. * Αν f () =, τότε ισχύει πάντα f () =. 5
8. ** το σχήμα η γραφική παράσταση της g προκύ- c f πτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της C f. Ισχύει f () = g (), για κάθε στο κοινό πεδίο ορισμού τους. c g 9. * Έστω f () = -. Οι γραφικές παραστάσεις των f και f είναι αυτές που φαίνονται στο σχήμα. - c f c f 4. * Αν η γραφική παράσταση της g προκύπτει από την C f με κατακόρυφη μετατόπιση και ισχύει f (α) =, τότε θα είναι και g (α) =. C g α C f 5
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει εφαπτομένη στο την ευθεία = α + β, με α, όταν Α. f () - f ( ) = α R - Β. η f είναι συνεχής στο Γ. η f δεν είναι συνεχής στο Δ. το όριο f () - f ( ) είναι + - Ε. το όριο f () - f - ( ) είναι -. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο Α (, f ( )), όταν Α. η f είναι συνεχής στο Β. το είναι άκρο του πεδίου ορισμού της f Γ. f () - f ( ) - Δ. είναι f ( ) = Ε. f () - f ( - ) = + ή - f () - f (). * Αν =, τότε Α. η f δεν ορίζεται στο = Β. f () = Γ. f () = Δ. η f δεν είναι συνεχής στο = Ε. δεν ισχύει κανένα από τα παραπάνω 4. * Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () = - + 5 στο σημείο Α (, 4) είναι Α. 5 Β. - 5 Γ. - Δ. Ε. 5
5. * Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε Α. το Β. το Γ. το f () = f ( ) h Δ. τα όρια E. το f () - f - ( f ) δεν υπάρχει ( h) - f ( ) είναι + ή - h - f () - f - ( f () είναι + ή - ) και f () - f - ( ) είναι άνισα 6. * Η συνάρτηση f () =, [, + ) είναι παραγωγίσιμη Α. στο πεδίο ορισμού της Β. στο = Γ. στο (-, ) (, + ) Δ. στο (, + ) Ε. σε κανένα σημείο του πεδίου ορισμού της 7. * Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) =, τότε η γραφική της παράσταση στο σημείο Α (, f ( )) δέχεται Α. κατακόρυφη εφαπτομένη B. καμία εφαπτομένη Γ. οριζόντια εφαπτομένη Δ. εφαπτομένη της μορφής = α + β, α E. εφαπτομένη με συντελεστή διεύθυνσης λ = 8. * Η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε λάθος είναι ότι Α. η f είναι παραγωγίσιμη στο Β. η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο Γ. η C f δέχεται εφαπτομένη στο Δ. η f είναι παραγωγίσιμη στο 4 4 5 Ε. η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 5 5
9. ** Η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f () = ημ, [, π] και της ευθείας (ε) με συντελεστή διεύθυνσης Α (ε) λ =, φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το σημείο Α (, f ( )) στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) έχει τετμημένη C f π Α. 6 π Β. 4 π Γ. π Δ. π Ε. π 4. ** το σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = και οι εφαπτομένες στα σημεία της με τετμημένες και. Αν οι εφαπτομένες αυτές είναι κάθετες, τότε το είναι 8 - C f Α. - Β. - 4 Γ. - Δ. - Ε. -. ** Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () = ln στο σημείο (, f ( )) είναι κάθετη στην ευθεία = - -. Το είναι 5 Α. Β. Γ. 4 C f Δ. 5 Ε. 54
. * Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η εξίσωση f () = έχει λύση την Α. = Β. = Γ. = Δ. = 4 Ε. καμία από τις παραπάνω 4. * Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R και ισχύει f ( ) = g ( ) για κάποιο R. Τότε Α. f ( ) = g ( ) Β. Γ. οι εφαπτομένες των C f, C g στα (, f ( )) και (, g ( )) αντίστοιχα, είναι παράλληλες Δ. f ( ) = g ( ) Ε. f () = g (), για κάθε R. 4. * Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ) =. Η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο (, f ( )) με τον άξονα είναι περίπου Α. - 64 Β. 7, Γ. 6,4 Δ. 89 Ε. 6,4 55
5. * Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, h των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα παρακάτω σχήματα. C f C g C h το σημείο = δεν είναι παραγωγίσιμη η συνάρτηση Α. f B. g Γ. h Δ. όλες E. καμία 6. ** Για τη συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f () - f - ( ) = +. Από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή η Α. Η C f έχει κατακόρυφη εφαπτομένη στο (, f ( )) την ευθεία = f ( B. h) - f ( ) = + h h Γ. H f είναι παραγωγίσιμη στο Δ. Δεν ορίζεται η f ( ) E. f () = f ( ) 56
7. ** O τύπος (fog) ( ) = f (g ( )) g ( ) ισχύει, όταν Α. οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο B. η g είναι παραγωγίσιμη στο και η f παραγωγίσιμη στο g ( ) Γ. η f είναι παραγωγίσιμη στο και η g παραγωγίσιμη στο f ( ) Δ. οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο g ( ) E. οι f και g είναι συνεχείς στο g ( ) 8. * Από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει παράγωγο την συνάρτηση f () = - ημ η Α. g () = συν Β. h () = συν Γ. φ () = συν Δ. s () = συν Ε. σ () = συν 9. * Από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει παράγωγο την συνάρτηση f () = α lnα, α >, R, η Α. α Β. log α Γ. e αln Δ. log α Ε. α. * Για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g στο διάστημα [, π] ισχύει g () = f (ημ). Η τιμή g ( π ) είναι ίση με Α. Β. f () Γ. Δ. f ( π ) Ε. π f ( π ). * Δίνεται η συνάρτηση f () = 4 + 5 + 6 -. Η 5η παράγωγος της f είναι Α. - Β. 4 Γ. Δ. Ε. 4. * Αν f () = e, τότε η f (ν) () θα ισούται με Α. e Β. e ν Γ. (e ) ν Δ. ν e Ε. νe 57
. ** Ένα σφαιρικό μπαλόνι φουσκώνει με σταθερή παροχή αέρα. Τότε η ακτίνα του R συναρτήσει του χρόνου μπορεί να δίνεται από τη γραφική παράσταση R(t) R(t) Α. t B. t R(t) R(t) Γ. Δ. t t R(t) Ε. t 58
4. * το σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγωγίσιμης συνάρτησης, f () =., Η εφαπτομένη της στο σημείο (, ) είναι η ευθεία -/ Α. = - + Β. = + Γ. = Δ. = Ε. καμία από τις παραπάνω 5. * Οι συναρτήσεις f, g είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο κοινό πεδίο ορισμού τους R. Για να έχουν κοινή εφαπτομένη στο Α (, ), από τις παρακάτω συνθήκες: Ι. f () = g () ΙΙ. f () = g () ΙΙΙ. f, g συνεχείς στο = ΙV. f () = g () απαραίτητες είναι Α. μόνο η Ι Β. μόνο η ΙΙ Γ. οι Ι και ΙΙ Δ. οι ΙΙ και IV E. όλες 59
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια - f () - f - είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = f () - f - ( -) στο σημείο = εφαρμόζοντας το προηγούμενο συμπέρασμα. - ( ) αν αν. ** Έστω οι συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο (α, β) με f ( ) = g ( ) και f ( ) = g ( ). Αν ισχύει f () h () g () για (α, β), να αποδείξετε ότι και η h είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα ισχύει h ( ) = f ( ).. ** Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () = - g (), R. Να βρεθεί η τιμή g (). 4. ** Δίνεται η συνάρτηση f () = - + +. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη α) στο σημείο = και β) στο σημείο = 4. 5. ** Η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f () = - + φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο =. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. 4 7
6. ** Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στα σημεία με τετμημένες -,,. β) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f. 7. ** Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () = - + (εφόσον υπάρχει), σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ =. β) σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα. γ) είναι παράλληλη στην ευθεία = + 4. δ) είναι κάθετη στην ευθεία = - +. ε) είναι παράλληλη στον άξονα. στ) είναι παράλληλη στον άξονα. ζ) άγεται από το σημείο (-, ). 8. ** Να βρείτε την εφαπτομένη (αν υπάρχει) των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων στο αντίστοιχο σημείο: α) f () = ln στο (, ) β) f () = - στο (, ) γ) f () = στο (, ) δ) f () = στο (, ) ε) f () = στο (, ) στ) f () = στο (-, ) - 4 7
9. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου του διπλανού σχήματος. 45 5. ** Δίνεται η συνάρτηση f () = α + β + γ + δ, α. Να βρείτε τη συνθήκη για τα α, β, γ R, ώστε η C f να μην έχει σε κανένα της σημείο οριζόντια εφαπτομένη.. ** α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = - 6 + 8, να φέρετε τις εφαπτόμενες ε, ε της C f στα σημεία τομής της C f με τον και να δικαιολογήσετε από το σχήμα γιατί οι εφαπτόμενες τέμνονται πάνω στην ευθεία =. β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής = α + β + γ, α με Δ >, στα σημεία τομής της με τον άξονα τέμνονται στον άξονα β συμμετρίας της παραβολής ( = - ). α ημείωση: Με βάση την κεντρική ιδέα αυτής της άσκησης (συμμετρία) έχουμε τη δυνατότητα να κατασκευάσουμε όμοιες ασκήσεις που αναφέρονται, για παράδειγμα, σε άρτιες παραγωγίσιμες συναρτήσεις. ln (α). ** Δίνεται η συνάρτηση f () = με α > και >. α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο (, f ( )). β) Να αποδείξετε ότι όλες οι παραπάνω εφαπτόμενες στο σημείο (, f ( )), καθώς μεταβάλλεται το α, διέρχονται από το ίδιο σημείο. 7
. ** Έστω η συνάρτηση f () = ( - ). Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης, σε οποιοδήποτε σημείο της, δεν έχει με αυτήν άλλο κοινό σημείο. ημείωση: Η παραπάνω άσκηση θα μπορούσε να γενικευθεί για οποιοδήποτε τριώνυμο. 4. ** Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει η σχέση: f ( + ) - f ( - ) = - για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο (, f ()) είναι κάθετη στην ευθεία =. 5. ** α) Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R. Να γράψετε τις συνθήκες ώστε η C f και η C g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη = να δέχονται κοινή εφαπτομένη. β) Δίνονται οι συναρτήσεις f () = - + και g () = - +. Να αποδείξετε ότι οι C f, C g δέχονται κοινή εφαπτομένη σε ένα σημείο, του οποίου να υπολογίσετε τις συντεταγμένες. 6. ** Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτομένη της C f στο σημείο (, f ()). Μετακινούμε τη C f παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήμα, και ονομάζουμε g τη συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στη C g. α) Να βρείτε μια σχέση η οποία να συνδέει τις συναρτήσεις f και g. β) Με βάση την προηγούμενη σχέση να δείξετε ότι g ( ) = f ( - 4) για κάθε R. γ) Να βρείτε την g (4). 7
7. ** Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει f (ln) = ln -, >. α) Να αποδείξετε ότι η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηματίζεται από την εφαπτομένη της C f στο σημείο της με τετμημένη = και τους άξονες και. 8. ** Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () =, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α (, ). 9. ** Να δείξετε ότι: α) αν f () = συν - συν, τότε f () + f () εφ - ημ =. β) αν f () = ln, τότε f () + = ef ().. ** Αν f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύουν: f (4) = και (f ()) = f () για κάθε R, α) να βρεθεί ο τύπος της f. β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f που είναι παράλληλη στην ευθεία = - +.. ** Μια δύναμη εφαρμόζεται σε κινητό που κινείται σε άξονα και του οποίου η απόσταση από την αρχή Ο τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη συνάρτηση S (t) = ln (t + ), t > (όπου t ο χρόνος σε sec). α) Να δείξετε ότι το κινητό δεν ήταν σε κατάσταση ηρεμίας όταν εφαρμόστηκε η δύναμη. β) Να δείξετε ότι η κίνηση είναι επιβραδυνόμενη. γ) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας και της επιβράδυνσης του κινητού, sec μετά την εφαρμογή της δύναμης. 74
. ** Θεωρούμε μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει: f ( + ) = e f () + e f () + + α για κάθε, R. α) Να δείξετε ότι f () = - α. β) Να δείξετε ότι η C f περνά από την αρχή των αξόνων. γ) Να δείξετε ότι f ( ) = f ( ) + f () e +, για κάθε R.. ** Μια συνάρτηση είναι περιττή και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Να δείξετε ότι: α) η γραφική της παράσταση διέρχεται από το (, ). β) f () =. ν - 4. ** Γνωρίζουμε ότι για ισχύει: - = + + + + ν. α) Να υπολογίσετε το άθροισμα: + + + + ν ν-,. 4 5 β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: + + + + + 4 8 6 9. 5. ** Εξηγήστε γιατί η παρακάτω διαδικασία οδηγεί σε άτοπο 4 = =..., άρα ( 4 ) =..., δηλαδή προσθετέοι φορές 4 =..., άρα 4 =, επομένως 4 =!!! φορές 75
76