Περίθλαση από µία σχισµή.

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων στην περίπτωση της περίθλασης από µία σχισµή. Επίσης, γίνεται ποσοτική διερεύνηση της κατανοµής της έντασης. 7.2 Εισαγωγή Σχήµα 7.1 Πορεία των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων µέσα από µια σχισµή, όπως προβλέπεται από την γεωµετρική οπτική. Στην προηγούµενη εργαστηριακή άσκηση µελετήσαµε την απόκλιση από την ευθύγραµµη διάδοση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας λόγω περίθλασης από την ή τις ακµές ενός εµποδίου. Θα µελετήσουµε τώρα την περίθλαση που υφίσταται το φως όταν διέρχεται µέσα από µία µικρή σχισµή. Εστω λοιπόν ότι µία παράλληλη δέσµη ακτίνων πέφτει πάνω σε ένα αδιαφανές εµπόδιο (π.χ. σε µία µεταλλική πλάκα) το οποίο όµως έχει µία σχισµή. Θεωρούµε ότι η σχισµή είναι ορθογώνια και έχει πλάτος της τάξης του µήκους κύµατος της ακτινοβολίας (π.χ. 2-3 µήκη κύµατος), ενώ το µήκος της είναι αρκετά µεγαλύτερο του πλάτους της. Αν δεχτούµε τη γεωµετρική οπτική, τότε η πορεία των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων θα είναι αυτή που φαίνεται στο Σχήµα 7.1. Το φως, δηλαδή, θα περάσει

72 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ µέσα από την σχισµή και θα συνεχίσει να διαδίδεται ευθύγραµµα. Αν πίσω από το εµπόδιο µε την σχισµή µετρήσουµε την ένταση του πεδίου, τότε, σύµφωνα πάντα µε την γεωµετρική οπτική θα πέρναµε µία κατανοµή της µορφής του Σχήµατος 7.2 1.0 I (ένταση ακτινοβολίας) 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0-10 -5 0 5 10 X Σχήµα 7.2 Κατανοµή της έντασης της ακτινοβολίας από µία ορθογώνια σχισµή, σύµφωνα µε την γεωµετρική οπτική. Πίσω, δηλαδή, από το εµπόδιο µε την σχισµή θα εµφανιζόταν η σκιά του εµποδίου και το φωτεινό είδωλο της σχισµής (ένα φωτεινό ορθογώνιο, ίδιο µε το σχήµα της σχισµής). Στην πραγµατικότητα όµως, λόγω της κυµατικής φύσης των ηλεκτρο- µαγνητικών ακτινοβολιών, η σχισµή προκαλεί περίθλαση των ακτίνων που διέρχονται από αυτή (Σχήµα 7.3). Σχήµα 7.3 Πορεία (περίθλαση) των ηλεκτρο- µαγνητικών κυµάτων µέσα από µια σχισµή, όπως προβλέπεται από την κυµατική οπτική. Όλα τα σηµεία της σχισµής, σύµφωνα µε την αρχή του Huygens, δρούν σαν δευτερεύουσες πηγής κυµάτων, εκπέµπωντας ακτινοβολία προς όλες τις κατευθύνσεις. Έτσι το πεδίο πίσω από την σχισµή είναι το τελικό αποτέλεσµα της συµβολής όλων αυτών των

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 73 δευτερευουσών κυµάτων. Το πεδίο πίσω από την σχισµή και σε γωνία Θ από την κάθετη στη σχισµή, από την ευθεία δηλαδή που θα ακολουθούσε η ακτινοβολία αν ίσχυε η γεωµετρική οπτική, θα έχει ένταση Ι(Θ) που δίνεται από την σχέση : I ( Θ) = I 0 2 D sin π sinθ λ (7.1) D π sinθ λ όπου D το πλάτος της σχισµής, λ το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας, και Ι 0 η ένταση της ακτινοβολίας ακριβώς πίσω από την σχισµή, δηλαδή σε Θ = 0. Η σχέση (7.1) δίνεται εδώ χωρίς απόδειξη. Για περισσότερες πληροφορίες, δείτε το βιβλίο του θεωρητικού µέρος του µαθήµατος ή οποιοδήποτε άλλο βιβλίο φυσικής (πανεπιστηµιακού επιπέδου) που αναφέρεται στα φαινόµενα της περίθλασης. Η εικόνα της περίθλασης που παίρνουµε εξαρτάται κυρίως από το λόγο του πλάτους της σχισµής D, προς το µήκος κύµατος λ της ακτινοβολίας που χρησιµοποιούµε. Στο Σχήµα 7.4 φαίνεται η σχετική κατανοµή της έντασης της ακτινοβολίας, Ι(Θ)/Ι 0, όταν η σχισµή έχει πλάτος τριπλάσιο του χρησιµοποιούµενου µήκους κύµατος της ακτινοβολίας. 1,00 0,75 Ι(Θ) / Ι 0 0,50 0,25 0,00-80 -60-40 -20 0 20 40 60 80 Θ ( ) Σχήµα 7.4 Καταναµή της έντασης της ακτινοβολίας στην περίπτωση της περίθλασης από σχισµή µε πλάτος τριπλάσιο του µήκους κύµατος.

74 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ -80-60 -40-20 0 20 40 60 80 Θ Σχήµα 7.5 Εικόνα περίθλασης από σχισµή µε πλάτος τριπλάσιο του µήκους κύµατος, όπως αυτή εµφανίζεται στο ανθρώπινο οφθαλµό ή σε φωτογραφικό φιλµ. Όπως βλέπουµε στο Σχήµα 7.4, η εικόνα περίθλασης αποτελείται από ένα πλήθος φωτεινών και σκοτεινών περιοχών. Υπάρχουν σηµεία που η ένταση της ακτινοβολίας είναι ελάχιστη, για την ακρίβεια είναι µηδέν και άλλα που η ένταση είναι µέγιστη. Αυτά τα ελάχιστα της έντασης δηµιουργούνται από την καταστρεπτική ανάµιξη (συµβολή), δηλαδή από την αµοιβαία διαγραφή, των δευτερογενών κυµάτων κατά Huygens. Στο Σχήµα 7.5 παρουσιάζεται η εικόνα περίθλασης του Σχήµατος 7.4 όπως θα την βλέπαµε µε το µάτι µας ή όπως αυτή θα εµφανιζόταν σε ένα φωτογραφικό φιλµ. Στο σηµείο αυτό πρέπει να αναφέρουµε ότι ο ανθρώπινος οφθαλµός αλλά και το φωτογραφικό φιλµ αντιλαµβάνεται τις µεταβολές του φωτός µε λογαριθµική κλίµακα. Το ίδιο συµβαίνει και µε τον ήχο και το ανθρώπινο αυτί. Έναν ήχο έντασης 2dB τον αντιλαµβάνεται το αυτί µας σαν δυο φορές πιο δυνατό από τον ήχο του 1dB ενώ στην πραγµατικότητα έχει 10πλάσια ένταση! Αυτή η ιδιότητα του οφθαλµού είναι πολύ σηµαντική µια και µας επιτρέπει να µην θαµπωνόµαστε από το πολύ δυνατό φως ενώ παράλληλα µας επιτρέπει να ξεχωρίσουµε και τις αδύνατες πηγές φωτός. Τα σηµεία που η ένταση του πεδίου εµφανίζει ελάχιστα και µέγιστα µπορούµε να τα βρούµε από την σχέση (7.1) εξετάζοντας σε ποιές γωνίες Θ αυτή εµφανίζει τοπικά ακρότατα (τα σηµεία που η παράγωγος της µηδενίζεται). Αν θέσουµε η σχέση (7.1) γράφεται x D =π λ sinθ (7.2)

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 75 () x I( Θ ) = I sin 0 x 2 (7.3) Η σχέση (7.3) έχει ελάχιστα όταν στο sin(x) = 0. Στα σηµεία αυτά µάλιστα η ένταση γίνεται µηδέν. Εξαίρεση αποτελεί στο σηµείο x = 0 στο οποίο εκτός από τον αριθµητή, sin(x), µηδενίζεται και ο παρανοµαστής, x. Στο σηµείο αυτό έχουµε το µέγιστο της ακτινοβολίας µιας και lim sin( ) 2 x x x = 1 (7.4) 0 Σκοτεινές λοιπόν περιοχές (δηλαδή ελάχιστα) θα έχουµε όταν sin( x) = 0 x= nπ (7.5) όπου n = 1, 2, Το n = 0 το απορρίψαµε προηγουµένως γιατί εκεί έχουµε µέγιστο. Αντικαθιστώντας το x από την σχέση (7.2) στην σχέση (7.5) έχουµε x= nπ π D λ sinθ = n π D λ sinθ = n sinθ = n λ D (7.6) Τις γωνίες περίθλασης Θ λοιπόν που θα έχουµε ελάχιστα µπορούµε να τις υπολογίσουµε από την σχέση : ( ) Θ=arcsin n λ D (7.7) όπου µε arcsin(x) συµβολίζουµε το τόξο ηµιτόνου x, την γωνία δηλαδή του το ηµίτονο της είναι ίσο µε x. Όπως είναι προφανές από την σχέση (7.6), επειδή το sin(θ) είναι πάντα µικρότερο ή ίσο της µονάδας, για να έχουµε ελάχιστα θα πρέπει να n λ D 1 (7.8) Αυτό συνεπάγεται δύο περιορισµούς : Πρώτον, για να έχουµε ελάχιστα στην εικόνα της περίθλασης θα πρέπει το µήκος κύµατος της πηγής να είναι µικρότερο ή ίσο µε το πλάτος της σχισµής, δηλαδή ο λόγος να είναι λ/d 1. Εφόσον λ/d 1 τότε και το n δεν µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή. Θα πρέπει να ισχύει η σχέση (7.8).

76 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ Έτσι λοιπόν το n πέρνει τιµές όλες τις ακέραιες τιµές για τις οποίες ισχύει : 1 n D λ (7.9) Όταν το D έχει τιµή τέτοια που να ισχύει: D = λ, τότε η κατανοµή της έντασης µεταβάλεται από µηδέν µέχρι το µέγιστο. Το πρώτο και µοναδικό ελάχιστο εµφανίζεται σε γωνία Θ=90. Αν D < λ, τότε το αριστερό µέρος της εξίσωσης (7.8) είναι πάντα µεγαλύτερο της µονάδος και συνεπώς δεν υπάρχουν ελάχιστα. Σαν εφαρµογή των σχέσεων (7.7) και (7.9) ας βρούµε ακριβώς σε ποιές γωνίες Θ θα έχουµε ελάχιστα όταν η σχισµή έχει πλάτος τριπλάσιο του µήκους κύµατος. Η ένταση της ακτινοβολίας είναι αυτή που παρουσιάζεται στο Σχήµα 7.4 Ο λόγος του µήκους κύµατος προς το πλάτος της σχισµής είναι στην περίπτωση αυτή λ D = 1 3 Το n λοιπόν µπορεί να πάρει τις τιµές 1, 2 και 3. Για κάθε τιµή του n θα έχουµε και ένα ελάχιστο. Έτσι τα ελάχιστα θα είναι : n = 1 sinθ= 1 1 3 = n = 2 sinθ= 2 1 3 = n = 3 sinθ= = 1 3 ( ) Θ=arcsin 1 3 2 3 ( ) Θ=arcsin 2 3 Θ = 19.47 Θ = 41.81 3 1 3 1 Θ=arcsin () 1 Θ = 90 Για τις περιοχές µε που εµφανίζεται η µέγιστη ένταση η εξίσωση που µας δίνει την γωνία Θ είναι αρκετά πολύπλοκη. Η εύρεσή της ξεφεύγει από τα πλαίσια του εργαστηρίου και αφήνεται σαν άσκηση στους σπουδαστές που αγαπούν τα µαθηµατικά (υπόδειξη : υπολογίστε σε ποιές τιµές του x µηδενίζεται η παράγωγος της συνάρτησης [(sin x)/x] 2 ). Πάντως σηµειώστε ότι το µέγιστο, που εµφανίζεται µεταξύ δύο ελαχίστων, δεν είναι στο µέσο του διαστήµατος µεταξύ των ελαχίστων. Εξαίρεση αποτελεί το κεντρικό µέγιστο που εµφανίζεται στην θέση Θ = 0. Πριν προχωρίσουµε στην πειραµατική διαδικασία ας δούµε λίγο και την περίπτωση που το πλάτος της σχισµής είναι µικρότερο του µήκους κύµατος. Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχουν ελάχιστα ακτινοβολίας και το κεντρικός κροσσός απλώνεται σε γωνιακό εύρος 180. Οι σχετικές Ι(Θ)/Ι 0 έντασεις της ακτινοβολίας για σχισµές πλάτους ίσες µε λ / 2 (συνεχής γραµµή) και λ / 10 (διακεκοµένη γραµµή) παρουσιάζονται στο Σχήµα 7.6. Βλέπουµε, ιδιαίτερα στην περίπτωση του D = λ / 10, ότι η ακτινοβολία που περνά απο την σχισµή διαχέεται σε όλες τις διευθύνσεις σχεδόν µε ίση ένταση. Έτσι µια πολύ λεπτή σχισµή δρά σαν µία δευτερεύουσα πηγή ακτινοβολίας. Η παρατήρηση αυτή θα µας χρειαστεί ιδιαίτερα στην κατανόηση της επόµενης εργαστηριακής άσκησης.

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 77 1.00 0.75 Ι(Θ) / Ι 0 0.50 0.25 0.00-80 -60-40 -20 0 20 40 60 80 Θ ( ) Σχήµα 7.6 Κατανοµή της έντασης της ακτινοβολίας στην περίπτωση που η σχισµή έχει πλάτος µικρότερο του µήκους κύµατος. Συνεχής γραµµή όταν D = λ /2, διακεκοµένη γραµµή όταν D = λ / 10. 1.0 0.8 Ι(Θ) / Ι 0 0.6 0.4 0.2 0.0-80 -60-40 -20 0 20 40 60 80 Θ ( ) Σχήµα 7.7 Κατανοµή της έντασης της ακτινοβολίας στην περίπτωση που η σχισµή έχει πλάτος πολύ µεγαλύτερο του µήκους κύµατος (D = 10 λ).

78 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ Στην αντίθετη περίπτωση, στην περίπτωση δηλαδή που η σχισµή έχει πλάτος πολύ µεγαλύτερο του µήκους κύµατος, θα εµφανιστούν πάρα πολλά δευτερεύοντα µέγιστα και ελάχιστα. Στο Σχήµα 7.7 παρουσιάζεται η περίπτωση όπου D = 10 λ.. Τα δευτερεύοντα µέγιστα όµως έχουν πολύ µικρή ένταση ακτινοβολίας µε αποτέλεσµα το µεγαλύτερο ποσοστό της ακτινοβολίας να συγκεντρώνεται στην κεντρική περιοχή και να γίνεται ορατή µε το µάτι µόνο αυτή η περιοχή. Έτσι εξηγείται γιατί στην καθηµερινή ζωή, όπου το ορατό φως έχει πολύ µικρό µήκος κύµατος και οι σχισµές είναι σχετικά µεγάλες να µην παρατηρούµε φαινόµενα περίθλασης αλλά τα αντικείµενα να παρουσιάζουν σκιές όπως αυτές προβλέπονται από την γεωµετρική οπτική. Αντίθετα στα µικροκύµατα, που έχουν µήκος κύµατος της τάξης των εκατοστών (cm) είναι πολύ ευκολότερο να παρατηρηθούν φαινόµενα περίθλασης. 7.3 Εργαστηριακός εξοπλισµός Τα υλικά που θα συναρµολογηθούν για την πραγµατοποίηση του πειράµατος είναι αυτά της Άσκησης 1. Επιπλέον, χρειάζεται ο ακόλουθος εξοπλισµός: 2 Μεταλλικές πλάκες διαστάσεων 230 Χ 230. 2 Στήλες στήριξης. 2 Βάσεις στήριξης. Γωνιοµετρική κλίµακα (χαρτί µε αποτύπωση µοιρών ή µεγάλο µοιρογνωµόνιο). 7.4 Πειραµατική διαδικασία 1. Σχηµατίστε την πειραµατική διάταξη που φαίνεται στο Σχήµα 7.8. Προσέξτε ο ταλαντωτής Gunn να σκοπεύει κάθετα στο µέσο της σχισµής που σχηµατίζουν οι δύο µεταλικές πλάκες. Πίσω ακριβώς από το κέντρο της σχισµής πρέπει να λαµβάνεται στον ανιχνευτή ηλεκτρικού πεδίου την µέγιστη ένταση. Χρησιµοποιείστε την σελίδα µε την γωνιοµετρική κλίµακα για να µετρήσετε τη θέση του ανιχνευτή του πεδίου Ε. 2. Κατανοµή της έντασης στη σχισµή. Επιλέξτε σχισµή πλάτους D = 40 mm αρχικά και κατόπιν D = 60 mm. Μετρήστε την τάση απολαβής U REC (σε Volts). Συµπληρώστε τον πίνακα 7.1, κανονικοποιώντας τις µετρήσεις σας στη µέγιστη τιµή U MAX (δηλαδή να βρείτε τους λόγους U REC /U MAX ).

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 79 Σχήµα 7.8 Πειραµατική διάταξη. Ταλαντωτής Gunn (1), µεταλλικές πλάκες (2), ανιχνευτής ηλεκτρικού πεδίου (3), γωνιοµετρικό χαρτί (4). 7.5 Εργασία Σπουδαστών. Αναφέρετε τον σκοπό της εργαστηριακής άσκησης. Αντιγράψτε τον Πίνακα 7.1 µε τις µετρήσεις σας. Παρουσιάστε σε δύο γραφικές παράστασεις µε άξονες την γωνία Θ και U REC /U MAX, για τις περιπτώσεις D = 40 mm και D = 60 mm αντίστοιχα τα αποτελέσµατα των µετρήσεων. Σχεδιάστε αρχικά την θεωρητική καµπύλη που προκύπτει από την σχέση (7.1) χρησιµοποιώντας ως µήκος κύµατος της ακτινοβολίας την τιµή λ = 32 mm και στην συνέχεια τοποθετήστε στο σχήµα τα σηµεία µε τις µετρήσεις από τις αντίστοιχες στήλες του πίνακα 7.1 Υπολογίστε µε την βοήθεια των σχέσεων (7.7) και (7.9) τις γωνίες Θ που παρουσιάζονται τα ελάχιστα της ακτινοβολίας σε κάθε µία από τις δύο περιπτώσεις, δηλαδή για D = 40 mm και D = 60 mm.

80 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ Πίνακας 7.1 D=40mm D=60mm Θ ( Ο ) U REC (V) U REC / U MAX U REC (V) U REC / U MAX -70-60 -50-40 -30-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70