Τµήµα Επιστήµης των Υλικών 1 Μάθηµα: Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες ιδάσκων: Κ. Πετρόπουλος Πιθανότητες-Λυµένα Παραδείγµατα Παράδειγµα 1. Σε 7 εκλογικά τµήµατα, µια παράταξη πήρε συνολικά 10 ψήφους. πιθανότητα, Ποια είναι η 1. σε ένα συγκεκριµένο εκλογικό τµήµα να υπάρχουν ψήφοι της παράταξης,. να έχει πάρει η παράταξη µία τουλάχιστον ψήφο σε κάθε τµήµα. 3. σε ακριβώς 4 εκλογικά τµήµατα να µην υπάρχουν ψήφοι της παράταξης. Το πρόβληµα είναι ότι ϑέλουµε να τοποθετήσουµε 10 σφαιρίδια (οι ψήφοι σε 7 κουτιά (τα εκλογικά τµήµατα. Οι δυνατές περιπτώσεις είναι 7 10. 1. Α = {σε ένα συγκεκριµένο εκλογικό τµήµα να υπάρχουν ψήφοι της παράταξης}. ( 10 Οι ψήφοι επιλέγονται µε διαφορετικούς τρόπους, ενώ οι υπόλοιπες 8 ψήφοι ϑα πάνε στα εναποµείναντα 6 εκλογικά τµήµατα κατά 6 8 διαφορετικούς τρόπους, οπότε, 6 8 ( 10 = 0.68. 7 10. Β = {να έχει πάρει η παράταξη µία τουλάχιστον ψήφο σε κάθε τµήµα}. Οι 3 ψήφοι που περισσεύουν τοποθετούνται µε 7 3 διαφορετικούς τρόπους, ενώ οι υπόλοιποι 7 ψήφοι πηγαίνουν σε καθ ένα από τα 7 τµήµατα κατά 7! διαφορετικούς τρόπους, οπότε, P(B = 73 7! 7 10 = 0.006. 3. Γ = {σε ακριβώς 4 εκλογικά τµήµατα να µην υπάρχουν ψήφοι της παράταξης}. ( 7 Αυτά τα 4 τµήµατα τα επιλέγουµε µε διαφορετικούς τρόπους και οι 10 ψήφοι πηγαίνουν 4 στα υπόλοιπα 3 τµήµατα µε 3 10 διαφορετικούς τρόπους, εποµένως, P(Γ = ( 7 4 3 10 7 10 = 0.007. Παράδειγµα. Σε µια αίθουσα υπάρχουν 6 άτοµα, εκ των οποίων τα 8 έχουν γρίπη. Παίρνουµε τυχαία άτοµα. Να ϐρεθεί η πιθανότητα ότι κανείς από τους δεν έχει γρίπη αν η δειγµατοληψία γίνει, (α µε επανάθεση και (ϐ χωρίς επανάθεση.
Πανεπιστήµιο Πατρών Κατ αρχάς έχουµε µια δειγµατοληψία χωρίς διάταξη και είναι επίσης προφανές ότι 18 άτοµα από τα 6 δεν έχουν γρίπη. Ορίζουµε το ενδεχόµενο Α={κανένα από τα άτοµα δεν έχει γρίπη.} ( ( 18+ 1 9 1. ( 6+ 1 ( 18 = (. 37. (. 6 Παράδειγµα 3. 80 άνθρωποι λαµβάνουν µέρος σε ένα ψυχολογικό τεστ. Μια από τις ερωτήσεις αυτού του τεστ έχει 3 δυνατές απαντήσεις. Ποια είναι η πιθανότητα 1. 5 άνθρωποι να δώσουν την απάντηση (α, 5 την απάντηση (ϐ και 30 την απάντηση (γ;. κανείς άνθρωπος να µη δώσει την απάντηση (α; 1. Το πρόβληµα είναι αντίστοιχο µε αυτό της τοποθέτησης n σφαριδίων σε k κάλπες µε έναν συγκεκριµένο τρόπο. Οπότε ορίζω το ενδεχόµενο, Α={ 5 άνθρωποι δίνουν την απάντηση (α, 5 την απάντηση (ϐ και 30 την απάντηση (γ}. 5!5!30! 3 80. Β={κανένας άνθρωπος δεν δίνει την απάντηση (α}. Αυτό µπορεί να λυθεί µε την λογική του προηγούµενου ερωτήµατος, δηλ. 0 άνθρωποι δίνουν την απάντηση (α και αν x δώσουν την απάντηση (ϐ, τότε 80 x ϑα δώσουν την απάντηση (γ, όπου x = 0,1,...80. Εποµένως, P(B = 80 x=0 x!(80 x! 3 80 Παράδειγµα 4. 6 ϕοιτητές του τµ. Επιστήµης των Υλικών χρωστάνε τα µαθήµατα Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Υπεραγωγοί, Στοιχεία Μοριακής Φυσικής και Κβαντικής Χηµείας και Οικονοµικά για µη Οικονοµολόγους. 1. Ποια είναι η πιθανότητα όλοι οι ϕοιτητές να εξεταστούν ή στο µάθηµα Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες ή στο µάθηµα Υπεραγωγοί.. Ποια είναι η πιθανότητα όλοι οι ϕοιτητές να εξεταστούν το πολύ σε δύο µαθήµατα;
Τµήµα Επιστήµης των Υλικών 3 Αν ορίσουµε το ενδεχόµενο, Α = {όλοι οι ϕοιτητές εξετάζονται στο µάθηµα Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες ή στο µάθηµα Υπεραγωγοί.}, τότε, πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων πλήθος δυνατών περιπτώσεων = 6 4 6. Αν ορίσουµε το σύνολο Β={όλοι οι ϕοιτητές εξετάζονται το πολύ σε µαθήµατα}. Οι ευνοϊκές περιπτώσεις υπολογίζονται ως εξής, Είτε όλοι ϑα εξεταστούν στο ίδιο µάθηµα (υπάρχουν 4 τέτοιες περιπτώσεις, είτε ακριβώς σε δια- ( 4 ϕορετικά µαθήµατα όπου οι περιπτώσεις είναι, = 6 τέτοιες δυάδες µαθηµάτων όπου για κάθε δυάδα υπάρχουν 6 διαφορετικές περιπτώσεις που δίνουν ακριβώς στα δύο µαθήµατα και όχι στο ένα από τα δύο. Τελικά οι ευνοϊκές περιπτώσεις ϑα είναι: 4+6 ( 6 = 376. Οι δυνατές περιπτώσεις, όπως και πριν: 4 6. ηλαδή, P(B = 376 4 6 = 0.0918. Παράδειγµα 5. ύο ϕίλοι ϱίχνουν Ϲάρια. Ο Α ϱίχνει τρία Ϲάρια µια ϕορά και ο Β ϱίχνει δύο Ϲάρια µια ϕορά. 1. Ποια είναι η πιθανότητα να ϕέρει ο Α άθροισµα 9;. Ποια είναι η πιθανότητα να ϕέρει ο Β άθροισµα 6; Το συγκεκριµένο πρόβληµα είναι αντίστοιχο µε αυτό µιας δειγµατοληψίας όπου τα δείγµατα που παίρνω είναι µη διατεταγµένα (τα Ϲάρια τα ϱίχνω ταυτόχρονα και όχι διαδοχικά και µε επανατοπο- ϑέτηση (τα ξεχωριστά Ϲάρια µπορούν να ϕέρουν τον ίδιο αριθµό όλα, όταν τα ϱίξω. 1. Α = {ο Α ϕέρνει άθροισµα 9}. οι ευνοϊκές περιπτώσεις ϑα είναι 6, δηλ. (1,,6,(1,3,5,(1,4,4,(,,5,(,3,4,(3,3,3 ( 6+3 1 ενώ οι δυνατές περιπτώσεις είναι = 56, οπότε, 3 6 56 = 0.107.. Β = {ο Β ϕέρνει άθροισµα 6}. οι ευνοϊκές περιπτώσεις ϑα είναι 3, δηλ. (1,5,(,4,(3,3 ( 6+ 1 ενώ οι δυνατές περιπτώσεις είναι = 1, οπότε, P(B = 3 1 = 0.143.
4 Πανεπιστήµιο Πατρών Παράδειγµα 6. Ενα κουτί περιέχει 16 σφαιρίδια και καθ ένα από αυτά έχει χρώµα είτε λευκό, είτε µαύρο, είτε κόκκινο. 1. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν µέσα στο κουτί 10 λευκά, 4 µαύρα και κόκκινα σφαιρίδια;. Αν ισχύει η αναλογία του (α, και επιλέξουµε σφαιρίδια, να υπολογιστεί η πιθανότητα το πολύ ένα από αυτά να είναι λευκό, όταν η δειγµατοληψία γίνει (i µε επανάθεση και (ii χωρίς επανάθεση. 1. Α = {υπάρχουν µέσα στο κουτί 10 λευκά, 4 µαύρα και κόκκινα σφαιρίδια} 16! 10!4!! 3 16. B = {κανένα δεν είναι Λευκό}, Γ = {ένα είναι Λευκό} ( ( ( 6+ 1 10 6 1 1 (i P(B Γ = P(B+P(Γ = ( + ( 16+ 1 16+ 1 (ii P(B Γ = P(B+P(Γ = ( ( ( 6 10 6 1 1 ( + ( 16 16 Παράδειγµα 7. Στο αµφιθέατρο 60 άτοµα δίνουν εξετάσεις στο µάθηµα Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες. 1. Ποια είναι η πιθανότητα 35 άτοµα να µην περάσουν το µάθηµα, 15 άτοµα να πάρουν ϐαθµό 5 και 10 άτοµα από 6 και πάνω;. Τουλάχιστον 8 άτοµα να περάσουν το µάθηµα; Το πρόβληµα είναι αντίστοιχο µε αυτό της επαναληπτικής δειγµατοληψίας, δηλαδή ϑέλουµε να τοποθετήσουµε 60 διακεκριµένα σφαιρίδια σε κ κάλπες. 1. Στο υποερώτηµα αυτό τοποθετούµε τα σφαιρίδια στις 3 κάλπες µε έναν συγκεκριµένο τρόπο. 35 στην 1η (οι ϕοιτητές δεν περνούν το µάθηµα, 15 στην η (οι ϕοιτητές µε ϐαθµό 5 και οι υπόλοιποι 60! 10 στην 3η (ϕοιτητές µε ϐαθµό> 5. Άρα οι ευνοϊκές περιπτώσεις ϑα είναι, ενώ οι δυνατές 35!15!10! περιπτώσεις (τοποθετώ 60 διακεκριµένα σφαιρίδια στις 3 κάλπες χωρίς περιορισµούς είναι 3 60. Τελικά, η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι 60! 35!15!10! 3 60.. Το πρόβληµα στη ϕύση του είναι το ίδιο, µόνο που τώρα τα σφαιρίδια τα τοποθετούµε σε δύο κάλπες (οι ϕοιτητές περνούν το µάθηµα και (οι ϕοιτητές δεν περνούν το µάθηµα. Αν ϑέσουµε ως, Α = {τουλάχιστον 8 άτοµα περνούν το µάθηµα}, τότε η Ϲητούµενη πιθανότητα ϑα είναι 1 P(A c, όπου
Τµήµα Επιστήµης των Υλικών 5 A c = {το πολύ 7 άτοµα περνούν το µάθηµα}, δηλαδή 60! 7 x!(60 x! 1 60 x=0 Παράδειγµα 8. Εχει παρατηρηθεί ότι ο χρόνος επώασης της νέας γρίπης είναι από 1-4 ηµέρες, δηλαδή από τη στιγµή της µόλυνσης µέχρι την ώρα έναρξης των συµπτωµάτων. 1. Για 80 µολυσµένα άτοµα, τα οποία καταλήγουν σε νόσο, ποια είναι η πιθανότητα 5 να παρουσιάσουν τα συµπτώµατα της νέας γρίπης την 1η ηµέρα, 5 την η ηµέρα, 0 την 3η ηµέρα και 30 την 4η ηµέρα;. Ποια είναι η πιθανότητα την 1η ηµέρα να παρουσιάσουν τα συµπτώµατα της νέας γρίπης τουλάχιστον 10 άτοµα; 3. Αν σε 150 άτοµα που µολύνονται, νοσούν τα 50 και πάρουµε τυχαία 0 άτοµα (χωρίς επανάθεση, ποια είναι η πιθανότητα 5 από αυτά να νοσήσουν; 1. Θεωρούµε το γεγονός, Α = { 5 άτοµα παρουσιάζουν τα συµπτώµατα της νέας γρίπης την 1η ηµέρα, 5 την η ηµέρα, 0 την 3η ηµέρα και 30 την 4η ηµέρα}. 5!5!0!30! 4 80. Θεωρούµε το γεγονός, Β = {Την 1η ηµέρα να παρουσιάζουν τα συµπτώµατα της νέας γρίπης τουλάχιστον 10 άτοµα}. Αυτό σηµαίνει ότι ανxάτοµα παρουσιάζουν τα συµπτώµατα την 1η µέρα, 80 x ϑα παρουσιάζουν τις επόµενες τρεις. P(B = 80 x=10 x!(80 x! 80 3. Γ = {5 από τα 0 άτοµα νοσούν}. ( ( 50 100 P(Γ = 5 ( 150 0 15 Παράδειγµα 9. Σε ένα µικρό εµπορικό κέντρο υπάρχουν 5 καταστήµατα (K 1,K,K 3,K 4,K 5. Αν είναι γνωστό ότι την επόµενη ώρα πρόκειται να επισκεφτούν το εµπορικό αυτό κέντρο 80 άτοµα, 1. ποια είναι η πιθανότητα 16 άτοµα να επισκεφτούν το K 1, το K, 0 το K 3, 15 το K 4 και 17 το K 5 ;
6 Πανεπιστήµιο Πατρών. Αν η επισκεψιµότητα των 5 καταστηµάτων είναι αυτή που αναφέρεται στο Ερώτηµα (α και ϱωτήσουµε 0 από τα 80 άτοµα ποιο κατάστηµα έχουν επισκεφτεί, ποια είναι η πιθανότητα 5 (από τα 0 να έχουν επισκεφτεί το K 4 ; 1. Αν ϑεωρήσουµε το γεγονός A = {16 άτοµα επισκέπτονται το K 1, το K,0 το K 3,15 το K 4 και 17 το K 5 }, τότε το αντίστοιχο πρόβληµα στη συνδυαστική ανάλυση είναι σαν να ϑέλουµε να τοποθετήσουµε 80 σφαιρίδια σε 5 κάλπες µε ένα συγκεκριµένο περιορισµό.. Ορίζουµε το γεγονός 16!!0!15!17! 5 80. B = {5 άτοµα επισκέπτονται το K 4, και τα υπόλοιπα 15 τα άλλα καταστήµατα.}, Τότε έχουµε πρόβληµα δειγµατοληψίας χωρίς διάταξη και χωρίς επανατοποθέτηση και P(B = ( ( 15 65 5 15 (. 80 0 Παράδειγµα 10. Για 80 µετοχές που είναι εισηγµένες στο ΧΑ, παρατηρούµε την τάση που έχει η τιµή τους, σε σχέση µε την χθεσινή τιµή κλεισίµατος. 1. Υπολογίστε την πιθανότητα, όπως µετά την σηµερινή τιµή κλεισίµατος, οι 30 από αυτές να έχουν παρουσιάσει άνοδο, οι 40 από αυτές να έχουν παρουσιάσει πτώση και οι υπόλοιπες 10 να έχουν µείνει στα χθεσινά επίπεδα.. Αν ισχύει ο καταµερισµός του ερωτήµατος (a και επιλέξουµε 0 από αυτές τις 80 µετοχές, υπολογίστε την πιθανότητα οι 5 (από τις 0 να είναι από αυτές που είχαν την ανοδική τάση. (15 1. Εχουµε ένα πρόβληµα επαναληπτικής δειγµατοληψίας, όπου τα σφαιρίδια (οι µετοχές είναι διακεκριµένα και τα τοποθετούµε σε 3 κάλπες (διαφορετικές τάσεις µε περιορισµό. Επο- µένως, αν ορίσουµε το γεγονός A = {οι 30 από τις µετοχές έχουν παρουσιάσει άνοδο, οι 40 από αυτές έχουν παρουσιάσει πτώση και οι υπόλοιπες 10 έχουν µείνει στα χθεσινά επίπεδα.}, τότε 30!40!10! 3 80.. Σε αυτό το ερώτηµα έχουµε ένα πρόβληµα δειγµατοληψίας χωρίς επανατοποθέτηση και χωρίς διάταξη και µας ενδιαφέρει να ϐρούµε την πιθανότητα οι 5 (από τις 0 µετοχές να έχουν ανοδική τάση. Ορίζουµε το γεγονός B = { οι 5 (από τις 0 µετοχές να έχουν ανοδική τάση}, τότε ( 30 50 P(B = 5( 15. ( 80 0