Τµήµα Επιστήµης των Υλικών 1 Μάθηµα: Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες ιδάσκων: Κ. Πετρόπουλος Κατανοµές-Λυµένα Παραδείγµατα Παράδειγµα 1. Σε ένα κατάστηµα µπαίνουν κατά µέσο όρο 6 πελάτες το δίλεπτο. 1. Ποια είναι η πιθανότητα να µπουν 4 πελάτες µεταξύ 11:59 και 12:00; 2. Ποια είναι η πιθανότητα µεταξύ 12:00 και 12: να µπουν ακριβώς 4 πελάτες µεταξύ 12:02-12:03 και 12:05-12:06; Απόδειξη. Ορίζουµε ως X την τ.µ. που µετράει τον αριθµό των πελατών που µπαίνουν στο κατάστηµα ανά λεπτό, εποµένως X P(3). 1. P(X = 4) = e 334 4! = 0.169 2. Ορίζουµε την τ.µ. Y η οποία µετράει τα λεπτά όπου ακριβώς 4 πελάτες µπαίνουν στο κατάστηµα (ανά λεπτό), Y( B(,0.169). ) P(Y = 2) = (0.169) 2 2 (1 0.169) 8 = 0.292. Παράδειγµα 2. Ο δείκτης ευφυΐας για τους ϕοιτητές του Πανεπιστηµίου Πατρών έχει κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση 20. 1. Ποιο ποσοστό του πληθυσµού έχει δείκτη ευφυΐας µικρότερο του 90; 2. Ποια είναι η πιθανότητα, από 120 ϕοιτητές του Πανεπιστηµίου Πατρών, οι 45 να έχουν δείκτη ευφυΐας µικρότερο του 90; 3. Αν µετρήσουµε διαδοχικά τον δείκτη ευφυΐας των ϕοιτητών του Πανεπιστηµίου Πατρών, ποια είναι η πιθανότητα ο πρώτος που ϑα έχει δείκτη ευφυΐας µικρότερο του 90, να είναι ο 25ος; Απόδειξη. Ορίζουµε ως X την τ.µ. που µετράει το δείκτη ευφυΐας για τους ϕοιτητές του Πανεπιστηµίου Πατρών, οπότε X N(0,20 2 ). ( X 0 1. P(X < 90) = P < 90 0 ) = Φ( 0.5) = 1 Φ(0.5) = 1 0.6915 = 0.3085. 20 20 2. Ορίζουµε την τ.µ. Y η οποία µετράει το πλήθος των ϕοιτητών του Πανεπιστηµίου Πατρών που έχουν δείκτη ευφυΐας µικρότερο του 90, οπότε P(Y = 45) = ( 120 45 Y B(120,0.3085). ) (0.3085) 45 (1 0.3085) 120 45. 3. Ορίζουµε την τ.µ. Z η οποία µετράει το πλήθος των αποτυχιών µέχρι την 1η επιτυχία (ϕοιτητής του Πανεπιστηµίου Πατρών µε δείκτη ευφυΐας µικρότερο του 90), οπότε Z Ge(0.3085). P(Z = 24) = (0.3085) (1 0.3085) 24
2 Πανεπιστήµιο Πατρών Παράδειγµα 3. Το ποσό των χρηµάτων που έχει ένας ϕοιτητήςτου Πανεπιστηµίου Πατρών στην τσέπη του είναι τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί κανονική κατανοµή, µε µέση τιµή 50 και τυπική απόκλιση 20. 1. Αν πάρουµε τυχαία 5 ϕοιτητές του Π.Π., ποια είναι η πιθανότητα το πολύ 2 από αυτούς να έχουν στην τσέπη περισσότερο από 70 ; 2. Αν εξετάσουµε διαδοχικά αυτούς τους 5 ϕοιτητές, ποια είναι η πιθανότητα µόνο ο 5ος να έχει στην τσέπη του περισσότερα από 70 ; 3. Αν γνωρίζουµε ότι σε ένα σύνολο 120 ϕοιτητών του Π.Π., οι 50 έχουν στην τσέπη τους περισσότερα από 70 και ϱωτήσουµε τυχαία 40 από τους 120, ποια είναι η πιθανότητα 15 από αυτούς τους 40 να έχουν στην τσέπη τους περισσότερα από 70 ; Απόδειξη. 1. Θεωρούµε τις τ.µ. X η οποία µετράει το ποσό των χρηµάτων που έχει ένας ϕοιτητήςτου Πανεπιστηµίου Πατρών στην τσέπη του, X N(50,20 2 ) και Y η οποία µετράει το πλήθος των ϕοιτητών που έχουν στην τσέπη περισσότερο από 70, τότε Y B(n,p), n = 5, p = P(X > 70). ( X 50 p = P(X > 70) = 1 P(X 70) = 1 P 70 50 ) = 1 Φ(1) = 1 0.8413 = 0.1587. 20 20 Οπότε, η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι, P(Y 2) = P(Y = 0)+P(Y = 1)+P(Y = 2) = 2 k=0 ( 5 k ) p k (1 p) 5 k. 2. Θεωρούµε την τ.µ. Ζ η οποία µετράει τις αποτυχίες (λιγότερα από 70 στην τσέπη) µέχρι την 1η επιτυχία (περισσότερα από 70 στην τσέπη), δηλ. Z Ge(p), p = 0.1587 Οπότε η Ϲητούµενη πιθανότητα ϑα είναι, P(Z = 4) = p(1 p) 4. 3. Ορίζουµε την τ.µ. W να µετράει το πλήθος των ατόµων (από τα 40) που έχουν στην τσέπη τους περισσότερα από 70, τότε W H(x;n,m,r), n = 70, m = 50, r = 40. Άρα η πιθανότητα 15 από αυτούς τους 40 να έχουν στην τσέπη τους περισσότερα από 70 ϑα είναι, ) ( ) P(W = 15) = ( 50 15 70 40 15 ( ) 120 40 Παράδειγµα 4. Σε µια κλινική υπολογίζεται ότι καταφτάνουν κατά µέσο όρο 3 ασθενείς την ηµέρα και Ϲητάνε κρεβάτι. 1. Ποια είναι η πιθανότητα να ϕτάσουν 1 ή 2 ασθενείς µεταξύ 8 π.µ. και 4 µ.µ. για µία συγκεκριµένη ηµέρα;
Τµήµα Επιστήµης των Υλικών 3 2. Για τις επόµενες 5 ηµέρες, ποια είναι η πιθανότητα ώστε τις 2 από αυτές, στην κλινική να κατα- ϕτάνουν 1 ή 2 ασθενείς µεταξύ 8 π.µ. και 4 µ.µ.; 3. Ποια είναι η πιθανότητα µόνο την 5η ηµέρα να ϕτάσουν στην κλινική 1 ή 2 ασθενείς µεταξύ 8 π.µ. και 4 µ.µ.; 4. Αν σε ένα σύνολο 20 ασθενών της κλινικής, οι 6 έχουν καταφτάσει µεταξύ 8 π.µ. και 4 µ.µ. και επιλέξω 8 από από αυτούς, ποια είναι η πιθανότητα οι 3 να έχουν καταφτάσει µεταξύ 8 π.µ. και 4 µ.µ. ; Απόδειξη. Ορίζουµε ως X την τ.µ. που µετράει την άφιξη των ασθενών µεταξύ 8 π.µ. και 4 µ.µ., εποµένως X P(λ), λ = 1 (για τις 8 ώρες). 1. Η Ϲητούµενη πιθανότητα ϑα είναι, P(X = 1) + P(X = 2), δηλ. P(X = 1)+P(X = 2) = e 1 1 1! +e 112 2! = 3 2e = 0.552. 2. Ορίζουµε την τ.µ. Y η οποία µετράει τις ηµέρες που ϕτάνουν στην κλινική 1 ή 2 ασθενείς µεταξύ 8 π.µ. και 4 ( µ.µ., ) Y B(5,0.552). 5 P(Y = 2) = (0.552) 2 2 (1 0.552) 3 = 0.274. 3. Ορίζουµε την τ.µ. Z η οποία µετράει τις αποτυχίες (δεν ϕτάνουν στην κλινική 1 ή 2 ασθενείς µεταξύ 8 π.µ. και 4 µ.µ.) µέχρι την 1η επιτυχία, Z Ge(p), p = 0.552. P(Z = 4) = p(1 p) 4 = 0.022 4. Ορίζουµε την τ.µ. W η οποία µετράει το πλήθος των ασθενών από τους 8, οι οποίοι έχουν ϕτάσει στην κλινική µεταξύ 8 π.µ. και 4 µ.µ., W H(x;n,m,r), m = 6, n = 14, r = 8. P(W = 3) = ( ) ( ) 6 14 3 5 ( ) 20 8 Παράδειγµα 5. Μηχανή κατασκευάζει ϐίδες των οποίων το µήκος (σε cm) ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 5 cm και τυπική απόκλιση 0.2 cm. Αν το µήκος µιας ϐίδας είναι εκτός του διαστήµατος 5±0.2, τότε αυτή ϑεωρείται ελαττωµατική. 1. Ποια είναι η πιθανότητα µια ϐίδα από την παραπάνω µηχανή να είναι ελαττωµατική; 2. Ποια είναι η πιθανότητα για ϐίδες, να υπάρχει τουλάχιστον µια ελαττωµατική; 3. Αν ελέγξουµε 5 ϐίδες, µία προς µία, ποια είναι η πιθανότητα µόνο η τελευταία να είναι ελαττωµατική; 4. Αν σε ένα σύνολο 30 ϐιδών, οι 5 είναι ελαττωµατικές και επιλέξουµε 12 ϐίδες από το παραπάνω σύνολο, ποια είναι η πιθανότητα οι 2 από αυτές να είναι ελαττωµατικές; Απόδειξη. Ορίζουµε την τ.µ. X η οποία µετράει το µήκος της ϐίδας. X N(5,(0.2) 2 ) Y = X 5 N(0,1). 0.2
4 Πανεπιστήµιο Πατρών 1. A = {µια ϐίδα από την παραπάνω µηχανή είναι ελαττωµατική} ( 4.8 5 P(A) = 1 P(4.8 X 5.2) = 1 P X 5 5.2 5 ) 0.2 0.2 0.2 = 1 P( 1 Y 1) = 1 (Φ(1) Φ( 1)) = 1 (Φ(1) (1 Φ(1))) = 2(1 Φ(1)) = 0.3174 2. Ζ: µετράει τις ελαττωµατικές ( ) ϐίδες, Z B(,p), p = 0.3174 P(Z 1) = 1 P(Z < 1) = 1 P(Z = 0) = 1 p 0 0 (1 p) 0. 3. W : µετράει το πλήθος των αποτυχιών (µη ελαττωµατική ϐίδα) µέχρι την πρώτη επιτυχία (ελαττω- µατική ϐίδα), W Ge(p), p = 0.3174. P(W = 4) = p(1 p) 4. 4. T : µετράει το πλήθος των ελαττωµατικών ϐιδών από το δείγµα των 12 ϐιδών, T H(x;n,m,r), n = 25,m = 5,r = 12 ( ) ( ) 5 25 2 P(T = 2) = ( ). 30 12 Παράδειγµα 6. Ο µέσος χρόνος αναµονής για την καταβολή του εφάπαξ σε έναν συνταξιούχο δηµόσιο υπάλληλο είναι 18 µήνες. 1. Ποια είναι η πιθανότητα για έναν συνταξιούχο να πάρει το εφάπαξ του το πολύ σε 2 χρόνια; 2. Σε ένα δείγµα 20 συνταξιούχων, ποια είναι η πιθανότητα, τουλάχιστον 5 από αυτούς να πάρουν το εφάπαξ το πολύ σε 2 χρόνια; 3. Σε ένα δείγµα 15 συνταξιούχων, ποια είναι η πιθανότητα µόνο ο πρώτος και ο τελευταίος να πάρουν το εφάπαξ τους το πολύ σε 2 χρόνια; Απόδειξη. Εστω η τ.µ. X η οποία µετράει τον χρόνο αναµονής για την καταβολή του εφάπαξ σε έναν συνταξιούχο δηµόσιο υπάλληλο. X E(λ), EX = 1 1 = 1.5 χρόνια λ = λ 1.5 = 2 3. Εποµένως η π.π. είναι, f X (x) = 2 3 e 2 3 x. 1. P(X 2) = 2 2 2 0 3 e 3 x dx = 1 e 4 3. 2. Θεωρούµε την τ.µ. Y η οποία µετράει το πλήθος των συνταξιούχων που παίρνουν το εφάπαξ το πολύ σε 2 χρόνια, Y B(20,p), p = 1 e 4 3. 20 ( ) 20 P(Y 5) = p y (1 p) 20 y. y y=5 3. Θεωρούµε την τ.µ. Z η οποία µετράει το πλήθος των αποτυχιών µέχρι την 2η επιτυχία, όπου επιτυχία είναι ο συνταξιούχος να πάρει το εφάπαξ το πολύ σε 2 χρόνια. Z NB(r,p), r = 2 και p = 1 e 4 3. ( ) 2+13 1 P(Z = 13) = p 13 2 (1 p) 13.
Τµήµα Επιστήµης των Υλικών 5 Παράδειγµα 7. Στην Ελλάδα, τον Αύγουστο, ϐρίσκονται σε εξέλιξη, κατά µέσο όρο, πυρκαγιές την ηµέρα. 1. Ποια είναι η πιθανότητα, σε µία ηµέρα του Αυγούστου, να έχουµε σε εξέλιξη τουλάχιστον 15 πυρκαγιές; 2. Ποια είναι η πιθανότητα, µέσα σε µια εβδοµάδα του Αυγούστου, να έχουµε για δυο µέρες, από αυτήν την εβδοµάδα, τουλάχιστον 15 πυρκαγιές σε εξέλιξη; Ποιος είναι ο αναµενόµενος αριθµός ηµερών, όπου έχουµε τουλάχιστον 15 πυρκαγιές σε εξέλιξη; 3. Ποια είναι η πιθανότητα στις 15 Αυγούστου να είναι η 1η µέρα που ϐρίσκονται σε εξέλιξη τουλάχιστον 15 πυρκαγιές; (µέσα σε όλο τον Αύγουστο.) Απόδειξη. Ορίζουµε ως X την τ.µ. που µετράει τον αριθµό των πυρκαγιών που ϐρίσκονται σε εξέλιξη ανά ηµέρα (τον Αύγουστο), εποµένως X P(λ), λ =. 1. Η Ϲητούµενη πιθανότητα ϑα είναι, P(X 15) = 1 P(X 14) = 1 λ λx P(X = x) = e x!. 14 x=0 P(X = x) = p, όπου 2. Ορίζουµε την τ.µ. Y η οποία µετράει το πλήθος των ηµερών όπου έχουµε σε εξέλιξη τουλάχιστον 15 πυρκαγιές( την) ηµέρα, Y B(7,p). 7 P(Y = 2) = p 2 2 (1 p) 7 2. Ο αναµενόµενος αριθµός ηµερών είναι η µέση τιµή της Y, δηλαδή EY = np = 7p. 3. Ορίζουµε την τ.µ. Z η οποία µετράει τις αποτυχίες (ηµέρα µε λιγότερες από 14 πυρκαγιές σε εξέλιξη) µέχρι την 1η επιτυχία (ηµέρα µε τουλάχιστον 15 πυρκαγιές σε εξέλιξη), Z Ge(p). P(Z = 14) = p(1 p) 14. Παράδειγµα 8. Ο χρόνος που απαιτείται για τη συναρµολόγηση ενός υπολογιστή είναι κανονικά κατανεµηµένος µε µέση τιµή 50 λεπτά και τυπική απόκλιση λεπτά. 1. Ποια είναι η πιθανότητα ένας υπολογιστής να συναρµολογηθεί σε λιγότερο από 1 ώρα; 2. Αν η εταιρεία έχει σκοπό να συναρµολογήσει 50 υπολογιστές, ποια είναι η πιθανότητα 20 από αυτούς να συναρµολογηθούν σε λιγότερο από 1 ώρα; 3. Αν για 120 υπολογιστές είναι γνωστό ότι οι 80 µπορούν να συναρµολογηθούν σε λιγότερο από µια ώρα και ϑεωρήσουµε 70 (από τους 120) υπολογιστές. Ποια είναι η πιθανότητα, οι 40 (από τους 70) να συναρµολογηθούν σε λιγότερο από 1 ώρα; Απόδειξη. Ορίζουµε την τ.µ. X η οποία µετράει το χρόνο συναρµολόγησης (σε λεπτά) ενός υπολογιστή. X N(50, 2 ) Z = X 50 N(0,1). ( X 50 1. P(X 60) = P 60 50 ) = P(Z 1) = Φ(1) = 0.8413
6 Πανεπιστήµιο Πατρών 2. Y : µετράει το πλήθος των υπολογιστών, που συναρµολογούνται σε λιγότερο από µια ώρα. ( ) 50 Y B(50,p), p = 0.8413 P(Y = 20) = p 20 20 (1 p) 50 20. 3. T : µετράει το πλήθος των υπολογιστών που συναρµολογούνται σε λιγότερο από µια ώρα, από το δείγµα των 70 υπολογιστών, T H(x;n,m,r), n = 40,m = 80,r = 70 ( ) ( ) 80 40 40 30 P(T = 40) = ( ). 120 70 Παράδειγµα 9. Σε ένα δείγµα 60 ϕοιτητών, η πιθανότητα ένας ϕοιτητής να αντιγράψει είναι 25% όταν στην αίθουσα υπάρχει ένας επιτηρητής, 15% να αντιγράψει όταν στην αίθουσα υπάρχουν δύο επιτηρητές, ενώ το ποσοστό πέφτει στο % όταν στην αίθουσα υπάρχουν 3 επιτηρητές. Αν η πιθανότητα να υπάρχει στην αίθουσα ένας επιτηρητής είναι %, δύο επιτηρητές 60%, ενώ η πιθανότητα να υπάρχουν 3 επιτηρητές είναι 30%, 1. ποια είναι η πιθανότητα να αντιγράψει ο ϕοιτητής; 2. Ποια είναι η πιθανότητα να αντιγράψουν 5 ϕοιτητές; 3. Αν στην αίθουσα υπάρχουν δύο επιτηρητές, ποια είναι η πιθανότητα µόνο ο 60ος ϕοιτητής να έχει αντιγράψει; Απόδειξη. 1. Θεωρούµε τα γεγονότα, Α = { ο ϕοιτητής αντιγράφει} και E i = { υπάρχουν i επιτηρητές στην αίθουσα }, i = 1,2,3. P(A) = P(A E 1 )P(E 1 )+P(A E 2 )P(E 2 )+P(A E 3 )P(E 3 ) = 25 0 0 + 15 0 60 0 + 0 30 0 = 0.145. 2. Ενας ϕοιτητής ή ϑα αντιγράψει ή δεν ϑα αντιγράψει, εποµένως αν ορίσουµε την τυχαία µεταβλητή X να µετράει το πλήθος των ϕοιτητών που αντιγράφουν, τότε X B(n,p), όπου n = 60 και p = 0.145. ( ) 60 P(X = 5) = p 5 5 (1 p) 60 5. 3. Εστω Y µετράει το πλήθος των αποτυχιών (ο ϕοιτητής δεν έχει αντιγράψει) µέχρι την 1η επιτυχία (ο ϕοιτητής έχει αντιγράψει), τότε Y Ge(p ), όπου p = 0.15 και η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι P(Z = 59) = p (1 p ) 59. Παράδειγµα. Θεωρούµε ότι η τ.µ. που µετράει το πλήθος των αεροπλάνων που προσγειώνονται στο διάδροµο του Ελ. Βενιζέλος σε ένα δεκάλεπτο είναι µια Poisson τ.µ. µε παράµετρο λ =. 1. Ποια είναι η πιθανότητα, µέσα σε ένα πεντάλεπτο, να προσγειωθούν το πολύ 8 αεροπλάνα; 2. Για τα επόµενα πεντάλεπτα, ποια είναι η πιθανότητα, για 4 από αυτά τα πεντάλεπτα να προσγειώνονται το πολύ 8 αεροπλάνα; 3. Ποιο είναι το αναµενόµενο πλήθος των αεροπλάνων που προσγειώνονται τα επόµενα 30 λεπτά;
Τµήµα Επιστήµης των Υλικών 7 4. Αν γνωρίζω ότι για τις επόµενες ώρες ( 12 πεντάλεπτα = 120 πεντάλεπτα) ότι για 40 πεντάλεπτα έχουν προσγειωθεί λιγότερα από 8 αεροπλάνα. Ποια είναι η πιθανότητα για τα πρώτα 2 πεντάλεπτα κάθε ώρας (συνολικά 20 πεντάλεπτα) για τα 8 από αυτά τα πεντάλεπτα να έχουν προσγειωθεί λιγότερα από 8 αεροπλάνα; Απόδειξη. X P(5), f X (x) = P(X = x) = e 55x x! 1. P(X 8) = 8 x=0 e 55x x! = p. 2. Αν Y µετράει το πλήθος των πεντάλεπτων όπου προσγειώνονται το πολύ 8 αεροπλάνα, τότε Y B(,p). ( ) P(Y = 4) = p 4 (1 p) 4. 4 3. 30 αεροπλάνα. 4. Αν η τ.µ. W µετράει το πλήθος των πεντάλεπτων όπου έχουν προσγειωθεί λιγότερα από 8 αεροπλάνα, τότε W H(x;n,m,r), n = 80,m = 40,r = 20. ( )( ) 40 80 P(W = 8) = 8 20 8 ( ) 120. 20 Παράδειγµα 11. Η αντίσταση ενός οργάνου, είναι µια κανονική τ.µ. µε µέση τιµή 000 Ohms και τυπική απόκλιση 2000 Ohms. 1. Ποια είναι η πιθανότητα µία τυχαία ηµέρα, η αντίσταση ενός οργάνου να κυµανθεί µεταξύ 8000 και 000 Ohms; 2. Για τις επόµενες ηµέρες, ποια είναι η πιθανότητα για τουλάχιστον 3 από αυτές, η αντίσταση του οργάνου να κυµαίνεται µεταξύ 8000 και 000 Ohms; 3. Για τις επόµενες ηµέρες, ελέγχουµε την αντίσταση του οργάνου, µέχρις ότου αυτή µετρηθεί να µην είναι µεταξύ 8000 και 000 Ohms. Υπολογίστε την πιθανότητα, όπως την 6η ηµέρα, η αντίσταση του οργάνου να µην είναι µεταξύ 8000 και 000 Ohms. Απόδειξη. Αν X είναι η τ.µ. που µετράει την αντίσταση του οργάνου, τότε, σύµφωνα µε την άσκηση X N(000,(2000) 2 ). 1. Επειδή ϑέλουµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα, µία τυχαία ηµέρα, η αντίσταση ενός οργάνου να κυµανθεί µεταξύ 8000 και ( 000 Ohms, έχουµε 8000 000 P(8000 X 000) = P X 000 000 000 ) = P( 1 Z 0), 2000 2000 2000 όπου Z = X 000 N(0,1), 2000 εποµένως, P(8000 X 000) = P(Z 0) P(Z 1) = Φ(0) Φ( 1) = Φ(0) (1 Φ(1)) = 0.5 (1 0.8413) = 0.3413 = p
8 Πανεπιστήµιο Πατρών 2. Αν ϑεωρήσουµε ως Y την τ.µ. η οποία µετράει το πλήθος των ηµερών, όπου η αντίσταση του οργάνου κυµαίνεται µεταξύ 8000 και 000 Ohms τότε Εποµένως, P(Y 3) = y=3 Y B(,p),p = 0.3413 ( ) p y (1 p) y. y 3. Θεωρούµε ως W την τ.µ. που µετράει το πλήθος των αποτυχιών (η αντίσταση του οργάνου κυ- µαίνεται µεταξύ 8000 και 000 Ohms) µέχρι την πρώτη επιτυχία (η αντίσταση του οργάνου δεν κυµαίνεται µεταξύ 8000 και 000 Ohms), τότε W Ge(p ), p = 1 p = 0.8413. Η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι, P(W = 5) = p (1 p ) 5.