«Β Θέματα» (Έκδοση: )

«Β Θέματα» (Έκδοση: 13 03-2015)

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr Έκδοση: 13 03 2015 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται αποκλειστικά από το μαθηματικό blog http://lisari.blogspot.gr Η ομάδα του lisari 2

Περιεχόμενα Β Θέματα Σελίδες Πρόλογος:..... 4 Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα... 7 Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες..... 33 Κεφάλαιο 5ο: Παραλληλόγραμμα Τραπέζια.... 46 Κεφάλαιο 6ο: Εγγεγραμμένα σχήματα....... 86 Η ομάδα του lisari 3

Πρόλογος Στο παρόν αρχείο δίνονται όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων που αφορούν στην Γεωμετρία της Α Λυκείου μαζί με τις λύσεις τους. Η παρουσίαση των λύσεων είναι κατά το δυνατόν αναλυτική έτσι, ώστε το αρχείο να μπορεί να διαβαστεί και να μελετηθεί εύκολα από τους μαθητές. Σε αρκετές περιπτώσεις οι λύσεις συνοδεύονται με αναφορές σε παρόμοιες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου ή της τράπεζας θεμάτων καθώς και με κάποια στοιχεία θεωρίας ή ακόμα και μεθοδολογίας. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε από μια διαδικτυακή (και όχι μόνο) ομάδα μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος. Η ομάδα συγκροτήθηκε από τους μαθηματικούς που ανταποκρίθηκαν στο κάλεσμα που απεύθυνε μέσα από το blog http://lisari.blogspot.gr ο ακούραστος Μάκης Χατζόπουλος. Εργάστηκε με μεράκι, κάτω από πίεση χρόνου, για να προσφέρει στην εκπαιδευτική κοινότητα, μαθητές και καθηγητές, το συγκεκριμένο υλικό. Επιθυμία όλων μας είναι να συμβάλλουμε, έστω και ελάχιστα, στην βελτίωση της διδασκαλίας των μαθηματικών στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, μέσα από την παροχή υποστηρικτικού υλικού στην ελληνική εκπαιδευτική κοινότητα. Μετά την αρχική συγγραφή των λύσεων έγιναν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και βελτιώσεις για την όσο το δυνατό ποιοτικότερη παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες οι οποίες ενδεχομένως θα έχουν διαλάθει της προσοχής μας, κάτι αναπόδραστο στην εκπόνηση μιας εργασίας τέτοιας έκτασης σε τόσο στενά περιθώρια χρόνου. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου το υλικό θα βελτιωθεί. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com. Με εκτίμηση Η ομάδα του lisari 30 11 2014 Η ομάδα του lisari 4

lisari team Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου Κατεύθυνση - Άργος) Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου ΔΙΑΤΑΞΗ - Ν. Σμύρνη και Νίκαια) Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο ΒΕΛΑΩΡΑΣ - Λιβαδειά Βοιωτίας) Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο Ευθύνη - Ρέθυμνο) Γιαννόπουλος Μιχάλης (Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή) Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο Αστρολάβος - Άρτα) Δούδης Δημήτρης (3 ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης) Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια Πουκαμισάς Γλυφάδας) Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο Ώθηση - Αργυρούπολη) Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο Παπαπαναγιώτου Παπαπαύλου - Σέρρες) Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ 2ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού) Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων) Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων 19+ - Πολύγωνο) Κουλούρης Αντρέας (3 ο Λύκειο Γαλατσίου) Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο Στόχος - Περιστέρι) Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο Ρηγάκης - Κοζάνη) Μαρούγκας Χρήστος (3 ο ΓΕΛ Κηφισιάς) Νάννος Μιχάλης (1 ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας) Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος) Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο Φάσμα - Αγρίνιο) Παντούλας Περικλής (Φροντιστήρια Γούλα-Δημολένη - Ιωάννινα) Παπαδομανωλάκη Μαρία (Ιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ - Ρέθυμνο) Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός Ρόμβος) Πορίχης Λευτέρης (Γυμνάσιο Λιθακιάς Ζάκυνθος) Ράπτης Γιώργος (6 ο ΓΕΛ Βόλου) Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο Μπαχαράκης - Θεσσαλονίκη) Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας 1 ο Λύκειο Χαλκίδας) Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ - Ηράκλειο Κρήτης) Σπυριδάκης Αντώνης (Γυμνάσιο Βιάννου - Λασίθι) Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα) Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λέχαιου Κορινθίας) Τηλέγραφος Κώστας (Φροντιστήριο Θεμέλιο - Αλεξανδρούπολη) Τρύφων Παύλος (1 ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου) Φιλιππίδης Χαράλαμπος (Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί) Χαραλάμπους Σταύρος (Μουσικό Σχολείο Λαμίας) Χατζόπουλος Μάκης (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων) Η ομάδα του lisari 5

Λύτες Γιάννης Βελαώρας Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης Δημήτρης Δούδης Βασίλης Κακαβάς Γιάννης Κάκανος Σπύρος Καρδαμίτσης Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α τάξης Έλεγχος Μιχάλης Νάννος Χρήστος Μαρούγκας 20 Δεκεμβρίου 2014 Συντονιστής Ανδρέας Κουλούρης Θανάσης Νικολόπουλος Εξώφυλλο Μιχάλης Νάννος Πρόλογος Ανδρέας Κουλούρης Επιμελητής Μάκης Χατζόπουλος Ανδρέας Κουλούρης Χρήστος Κουστέρης Θόδωρος Παγώνης Χρήστος Σίσκας Κώστας Τηλέγραφος Παύλος Τρύφων Σταύρος Χαραλάμπους Μάκης Χατζόπουλος lisari team η καλύτερη ομάδα λόγω teαm_ής!

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3ο : Τρίγωνα lisari team «Β Θέματα» 7

ΑΣΚΗΣΗ (2_2814) Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα o Σε ισοσκελές τρίγωνο Α Γ (ΑΒ=ΑΓ) είναι A 80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ = ΒΕ και ΓΕ = ΓΖ. α Να υπολογιστούν οι γωνίες των τριγώνων BΔ και β Να υπολογιστεί η γωνία Ε. Ζ (Μονάδες 15) (Μονάδες 10) ΑΣΚΗΣΗ (2_2816) Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) φέρνουμε τις τέμνουσες του ΣΑΒ και ΣΓΔ ώστε ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του κύκλου αντίστοιχα. α Να αποδείξετε ότι : i) Τα τρίγωνα Β και Δ είναι ίσα. ii) KΛ=ΚΜ. β Να αιτιολογήσετε γιατί οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες. (Μονάδες 10) (Μονάδες 10) (Μονάδες 5) lisari team «Β Θέματα» 8

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_2819) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ), Αx η εφαπτομένη σε σημείο Α του κύκλου και επιπλέον o Α x 85 και α Να αποδείξετε ότι o BA 40. β Να υπολογιστεί η γωνία o BΔ 45. ΔΑ. (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) ΑΣΚΗΣΗ (2_2824) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Β (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ. Αν ισχύει ότι ΕΗ ΒΓ και ΔΖ ΒΓ να αποδείξετε ότι : α) Γ Β. β) ΕΗ=ΔΖ. (Μονάδες 13) (Μονάδες 12) lisari team «Β Θέματα» 9

ΑΣΚΗΣΗ (2_2837) Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα Σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Γ ( =90 ), η διχοτόμος τη γωνίας τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Δ. Από το Δ φέρουμε προς την πλευρά ΒΓ την κάθετο ΔΕ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Ε. α) ΑΔ=ΔΕ (Μονάδες 13) β) ΑΔ<ΔΒ (Μονάδες 12) ΑΣΚΗΣΗ (2_2839) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο Α Γ ( =90 ). Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Δ. Φέρουμε τμήμα ΔΕ κάθετο στην πλευρά ΒΓ. α) ΒΕ = ΑΒ (Μονάδες 12) β) Αν επιπλέον Β Α = 55, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου Γ Ε. (Μονάδες 13) lisari team «Β Θέματα» 10

ΑΣΚΗΣΗ (2_2845) Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα Σε ισοσκελές τρίγωνο Α Γ (ΑΒ=ΑΓ) φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς την ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. α) Το τρίγωνο Α Ζ είναι ισοσκελές β) Τα τρίγωνα Α Δ και Α Δ είναι ίσα. (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) ΑΣΚΗΣΗ (2_2846) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Α Γ (ΑΒ=ΑΓ) και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ. α) Τα τρίγωνα Β Γ και Γ Β είναι ίσα. β) ΑΔ=ΑΕ. (Μονάδες 15) (Μονάδες 10) lisari team «Β Θέματα» 11

ΑΣΚΗΣΗ (2_2847) Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο Α Γ (ΑΒ=ΑΓ) και το μέσο Μ της βάσης του ΒΓ. Φέρουμε τις αποστάσεις ΜΚ και ΜΛ του σημείου Μ από τις ίσες πλευρές του τριγώνου Α Γ. α) ΜΚ=ΜΛ. β) Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας Κ Λ. (Μονάδες 13) (Μονάδες 12) ΑΣΚΗΣΗ (2_2848) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Α Γ με ΑΒ = ΑΓ. Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α) ΜΔ=ΜΕ. (Μονάδες 12) β) το τρίγωνο Α Ε είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13) lisari team «Β Θέματα» 12

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_2853) Ένας μαθητής της Α' λυκείου βρήκε έναν τρόπο να κατασκευάζει παράλληλες ευθείες. Στην αρχή σχεδιάζει μια τυχαία γωνία Χ Ψ. Στη συνέχεια με κέντρο την κορυφή Ο της γωνίας σχεδιάζει δυο ομόκεντρους διαφορετικούς κύκλους με τυχαίες ακτίνες. Ο μικρότερος κύκλος τέμνει τις πλευρές ΟΧ και ΟΨ της γωνίας στα σημεία Α,Β αντίστοιχα και ο μεγαλύτερος στα σημεία Γ, Δ. Ισχυρίζεται ότι οι ευθείες που ορίζονται από τις χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες. Μπορείτε να το δικαιολογήσετε; Μονάδες 25 ΑΣΚΗΣΗ (2_2854) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Α Γ (ΑΒ=ΑΓ). Οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών και τέμνονται στο σημείο Μ και Κ, Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο Β Γ είναι ισοσκελές με ΜΒ=ΜΓ. β) Να δείξετε ότι ΜΚ=ΜΛ. (Μονάδες 12) (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_2855) Δίνεται τρίγωνο Α Γ στο οποίο η εξωτερική γωνία είναι διπλάσια της εσωτερικής γωνίας. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο Α Γ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. lisari team «Β Θέματα» (Μονάδες 10) 13

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα β) Η μεσοκάθετη της πλευράς ΑΒ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο εσωτερικό της σημείο Δ. Αν η γωνία Α Β είναι ίση με 80 ο, τότε να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου Α Γ. (Μονάδες 15) ΑΣΚΗΣΗ (2_2860) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών ˆΒ και ˆΓ. α) Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές. β) Ο γωνίες ˆ ΑΙΓ και ˆ ΑΙΒ είναι ίσες. γ) Η ευθεία ΑΙ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ. Μονάδες 10 Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (2_3417) Δ Έστω δύο ισοσκελή τρίγωνα Α ΒΓ (ΑΒ ΑΓ) και Α Β Γ (Α Β Α Γ ). α) αν ισχύει ΑΒ Α Β και Α Λ Α Λ, τότε τα τρίγωνα Δ Α Β Γ είναι ίσα. β) αν ισχύει ΑΓ Α Γ και Β Λ Β Λ, τότε τα τρίγωνα Δ Α Β Γ είναι ίσα. Δ Δ Α ΒΓ και Μονάδες 13 Δ Α ΒΓ και Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_3420) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που αντιστοιχούν στις πλευρές του ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. lisari team «Β Θέματα» 14

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα Δ α) Αν το τρίγωνο Α ΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ ΑΓ, τότε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. Μονάδες 12 β) Αν τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα, τότε το τρίγωνο ΑΓ ΑΒ. Δ Α ΒΓ είναι ισοσκελές με Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_3421) Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ (προς το Μ ) κατά ίσο τμήμα ΜΔ. α) Τα τρίγωνα Λ Α ΒΜ και Λ Μ ΓΔ είναι ίσα. β) Τα σημεία Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ. ΑΣΚΗΣΗ (2_3423) Μονάδες 12 Μονάδες 13 0 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90 ) και ΒΔ η διχοτόμος της γωνίας. Από το Δ φέρουμε, και έστω Ζ το σημείο στο οποίο η ευθεία ΕΔ τέμνει την προέκταση της ΒΑ (προς το Α). α) ΑΒ = ΒΕ Μονάδες 13 β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΖΕΒ είναι ίσα. Μονάδες 12 lisari team «Β Θέματα» 15

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_3425) Στο ακόλουθο σχήμα, η ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ και το Ε είναι σημείο στην προέκταση της ΑΔ, ώστε ΔΕ = ΑΔ. α) ΑΒ = ΓΕ Μονάδες 12 β) 2 Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_3426) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A 90 τέμνει την πλευρά ΑΒ στο Δ. Από το Δ φέρουμε. α) Τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΔΓΕ είναι ίσα. β) Η ευθεία ΓΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΕ. 0 και η διχοτόμος της γωνίας του, η οποία Μονάδες 13 Μονάδες 12 lisari team «Β Θέματα» 16

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_4974) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Οι μεσοκάθετες ευθείες των ίσων πλευρών του τέμνονται στο Μ και προεκτεινόμενες τέμνουν τη βάση ΒΓ στα Ζ και Η. α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΗ και ΕΖΓ. Μονάδες 15 β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΖΗ είναι ισοσκελές. Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (2_5017) Αν στο παρακάτω σχήμα είναι α α) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα β) Οι γωνίες ε και ζ είναι ίσες δ, β γ και ΑΒ = ΑΓ, να αποδείξετε ότι: Μονάδες 12 Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 17

ΑΣΚΗΣΗ (2_5029) Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με BA ΒΓ και A Γ. Να αποδείξτε ότι: α) BAΓ BΓΑ β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές. β) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ. () (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (2_5035) Αν για το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ του σχήματος ισχύουν α β και γ δ να γράψετε μια απόδειξη για καθέναν από τους ακόλουθους ισχυρισμούς: α) Τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΕΓ είναι ίσα. β) Το τρίγωνο ΓΕΒ είναι ισοσκελές. γ) Η ευθεία ΑΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ. () () (Μονάδες 9) lisari team «Β Θέματα» 18

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5048) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ και Κ εσωτερικό σημείο του τριγώνου τέτοιο ώστε ΚΒ ΚΓ. α) Τα τρίγωνα ΒΑΚ και ΚΑΓ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Η ΑΚ είναι διχοτόμος της γωνίας BAΓ γ) Η προέκταση της ΑΚ διχοτομεί τη γωνία ΒΚΓ του τριγώνου ΒΚΓ. (Μονάδες 6) (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (2_5053) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στην προέκταση της πλευράς ΒΓ και προς τα δυο της άκρα, θεωρούμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ ΓΕ. B Γ α) εξ εξ (Μονάδες 6) β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 12) γ) Η διάμεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ είναι και διάμεσος του τριγώνου ΑΔΕ. (Μονάδες 7) lisari team «Β Θέματα» 19

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5075) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ και σημείο Μ εσωτερικό του τριγώνου, τέτοιο ώστε ΜΒ ΜΓ. α) Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Η ευθεία ΑΜ διχοτομεί τη γωνία BMΓ. (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_5127) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου Ο,ρ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΡΑΜ και ΡΜΒ είναι ίσα. Μονάδες 12 β) οι γωνίες ΜΑΟ και ΜΒΟ είναι ίσες. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5136) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( AB AΓ ) και στις ίσες πλευρές ΑΒ, ΑΓ παίρνουμε 1 1 αντίστοιχα τμήματα ΑΔ ΑΒ και ΑΕ ΑΓ. Αν Μ το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε 3 3 ότι : α) τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. Μονάδες 5 β) τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΜΕΓ είναι ίσα. Μονάδες 10 γ) το τρίγωνο ΔΕΜ είναι ισοσκελές. Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (2_5139 ) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΚΒΓ ( ΚA ΚΒ ) και ΚΓ διχοτόμος της γωνίας Κ. Στην lisari team «Β Θέματα» 20

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα προέκταση της ΒΑ (προς το Α) παίρνουμε σημείο Λ και στην προέκταση της ΑΒ (προς το Β) παίρνουμε σημείο Μ, έτσι ώστε ΑΛ ΒΜ. Να αποδείξετε ότι : α) το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές Μονάδες 12 β) η ΚΓ είναι διάμεσος του τριγώνου ΚΛΜ Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5144) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με BA BΓ και ΔA ΔΓ. Οι διαγώνιοι ΑΓ, ΒΔ του τετραπλεύρου είναι ίσες και τέμνονται κάθετα. Να αποδείξετε ότι : α) Η ΒΔ είναι διχοτόμος των γωνιών Β και Δ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. β) Η ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ. Μονάδες 12 Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5157 ) Δίνεται γωνία xoy και η διχοτόμος της Οδ. Θεωρούμε σημείο Μ της Οδ και σημεία Α και Β στις ημιευθείες Οx και Oy αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΟA OB. Να αποδείξετε ότι : α) MA MB. Μονάδες 15 β) Η Οδ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΜΒ. Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (2_5567 ) Δίνεται κύκλος κέντρου Ο, και από ένα σημείο Ρ εκτός αυτού φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Το τμήμα ΡΟ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ και η εφαπτομένη του κύκλου στο Μ τέμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Δ και Γ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΡΔΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 13 β) Αν η γωνία ΑΡΒ είναι 40 ο να υπολογίσετε την γωνία ΑΟΒ. Μονάδες 12 lisari team «Β Θέματα» 21

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5573) Στο παρακάτω σχήμα οι γωνίες Α, Β είναι ορθές και επιπλέον ΑΔ ΒΓ και ΑΓ ΒΕ. Να αποδείξετε ότι : α) Να τρίγωνα ΑΓΔ και ΒΓΕ είναι ίσα. Μονάδες 13 β) Αν η γωνία ΕΓΒ 40 0 τότε το τρίγωνο ΔΓΕ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_5580) Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία Α. Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, η ΔΕ είναι κάθετη στη ΒΓ και η γωνία Γ είναι μικρότερη της γωνίας Β. α) ΑΔ=ΔΕ β) ΑΔ<ΔΓ Μονάδες 9 γ) ΑΓ<ΑΒ lisari team «Β Θέματα» 22

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5582) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ (προς το Α ) θεωρούμε τα σημεία Ε και Δ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΔ ΑΕ. α) ΒΕ ΓΔ. Μονάδες 6 β) ΒΔ ΓΕ. Μονάδες 10 γ) ΔΒΓ ΕΓΒ. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (2_5591) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΜΔ, ΝΕ οι μεσοκάθετοι των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. α) Αν ΜΔ ΝΕ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. β) Αν ΑΒ ΑΓ τότε ΜΔ ΝΕ Μονάδες 12 Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 23

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5595) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ. Στην προέκταση της ΒΓ (προς το Γ ) θεωρούμε σημείο Δ και στην προέκταση της ΓΒ (προς το Β ) θεωρούμε σημείο Ε έτσι ώστε ΓΔ ΒΕ. Από το Δ φέρουμε ΔΗ κάθετη στην ευθεία ΑΓ και από το Ε φέρουμε ΕΖ κάθετη στην ευθεία ΑΒ. α) ΑΔ ΑΕ. Μονάδες 12 β) ΕΖ ΔΗ. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5597) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μέσο της διαμέσου του ΑΜ. Αν ΒΓ 2ΒΕ να αποδείξετε ότι: α) ΑΕΒ ΕΜΓ. β) ΑΒ ΕΓ. Μονάδες 12 Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5603) Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Αν η διάμετρος ΑΔ είναι διχοτόμος lisari team «Β Θέματα» 24

της γωνίας ΒΑΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τόξα ΒΔ και ΔΓ είναι ίσα. β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα. Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα Μονάδες 10 Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_5607) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ και τις διαμέσους του ΒΚ και ΓΛ, οι οποίοι τέμνονται στο σημείο Θ. α) Οι διάμεσοι ΒΚ και ΓΛ είναι ίσες. β) Τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑΓΘ είναι ίσα Μονάδες 12 Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 25

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5613) Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο και ακτίνες ρ και R (ρ < R). Οι χορδές ΔΓ και ΖΕ του κύκλου (Ο, R) εφάπτονται του κύκλου (Ο, ρ) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ΔΓ = ΖΕ. Μονάδες 12 β) Αν οι ΔΓ και ΖΕ προεκτεινόμενες τέμνονται στο σημείο Κ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΕΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5619) Δίνεται γωνία xay και η διχοτόμος της Αδ, από τυχαίο σημείο Β της Ay φέρνουμε κάθετη στη διχοτόμο, η οποία τέμνει την Αδ στο Δ και την Αx στο Γ. α) Τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ είναι ίσα. Μονάδες 12 β) Το τυχαίο σημείο Ε της Αδ ισαπέχει από τα Β και Γ. Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 26

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5628 ) Δίνονται τα τμήματα ΑΓ = ΒΔ που τέμνονται στο σημείο Ο έτσι ώστε ΟΑ = ΟΒ, και τα σημεία Η και Ζ στα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΟΗ = ΟΖ. α) Οι γωνίες ΑΔΟ και ΒΓΟ είναι ίσες. β) ΑΖ = ΒΗ Μονάδες 12 Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5630) Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Από τα μέσα Κ και Λ των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΚΕ και ΛΖ στην πλευρά ΒΓ. α) Τα τρίγωνα ΚΕΓ και ΛΖΒ είναι ίσα. β) ΕΗ = ΖΘ, όπου Η, Θ τα μέσα των τμημάτων ΚΓ, ΛΒ αντίστοιχα. Μονάδες 15 Μονάδες 10 lisari team «Β Θέματα» 27

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5633) Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ σε σημείο Ν του κύκλου φέρουμε την εφαπτομένη του, και εκατέρωθεν του Ν θεωρούμε σημεία Α και Β, τέτοια ώστε ΝΑ = ΝΒ. Οι ΟΑ και ΟΒ τέμνουν το κύκλο στα Κ και Λ αντίστοιχα. α) Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές. β) Το σημείο Ν είναι μέσο του τόξου ΚΛ. Μονάδες 13 Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_5634) Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε διάμετρο ΑΒ και τυχαίο σημείο Γ του κύκλου. Αν ΑΕ κάθετο στην ΟΓ και ΓΔ κάθετο στην ΑΟ α) Το τρίγωνο ΔΟΕ είναι ισοσκελές. lisari team «Β Θέματα» Μονάδες 13 28

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα β) Η ΟΖ διχοτομεί τη γωνία ΑΟΓ και προεκτεινόμενη διέρχεται από το μέσο του τόξου ΑΓ. Μονάδες 12 lisari team «Β Θέματα» 29

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5647) Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. από σημείο Α εκτός του κύκλου, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ. Τα σημεία Ε και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία των Β και Γ αντίστοιχα. α) Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα. Μονάδες 13 β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_5733) Στο παρακάτω σχήμα έχουμε το χάρτη μιας περιοχής όπου είναι κρυμμένος ένας θησαυρός. Οι ημιευθείες Αx και Ay παριστάνουν δύο ποτάμια και στα σημεία Β και Γ βρίσκονται δύο πλατάνια. Να προσδιορίσετε γεωμετρικά τις δυνατές θέσεις του θησαυρού, αν είναι γνωστό ότι: α) Ισαπέχει από τα δύο πλατάνια. Μονάδες 9 β) Ισαπέχει από τα δύο ποτάμια. Μονάδες 9 γ) Ισαπέχει και από τα δύο πλατάνια και από τα δύο ποτάμια. Μονάδες 7 lisari team «Β Θέματα» 30

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_6592) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στα σημεία Β και Γ της ΒΓ φέρουμε προς το ίδιο μέρος της ΒΓ, τα τμήματα ΒΔ ΒΓ και ΓΕ ΒΓ τέτοια ώστε ΒΔ = ΓΕ. Αν Μ το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα. Μονάδες12 β) ΑΔ = ΑΕ. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_6886) [είναι από το κεφάλαιο 2ο) Έστω κύκλος κέντρου Ο και διαμέτρου ΒΓ. Θεωρούμε τα σημεία Α και Δ του κύκλου εκατέρωθεν της ΒΓ, τέτοια ώστε το τόξο ΒΔ να είναι διπλάσιο του τόξου ΔΓ. Να υπολογίσετε : α) το μέτρο x του τόξου ΓΔ, β) τη γωνία ΒΟΔ, Μονάδες 9 γ) τη γωνία ΒΑΔ. lisari team «Β Θέματα» 31

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_7453) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ 0 Α 90 και η διχοτόμος του ΒΔ. Από το Δ φέρουμε ΔΕ ΒΓ που τέμνει την προέκταση της ΑΒ (προς το Α) στο Ζ. Να αποδείξετε ότι : α) ΒΕ = ΑΒ, β) το τρίγωνο ΒΓΖ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) (Μονάδες 13) lisari team «Β Θέματα» 32

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 4ο : Παράλληλες ευθείες lisari team «Β Θέματα» 33

ΑΣΚΗΣΗ (2_2825) Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες Δίνεται τρίγωνο Β, στο οποίο φέρνουμε τις διαμέσους του ΒΜ και ΓΝ. Προεκτείνουμε την ΒΜ προς το Μ κατά τμήμα ΜΔ=ΒΜ και την ΓΝ προς το Ν κατά τμήμα ΝΕ=ΓΝ. α) Να αποδείξετε ότι ΑΔ//ΒΓ και ΑΕ//ΒΓ. (Μονάδες 13) β) Είναι τα σημεία Ε,Α και Δ συνευθειακά; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12) ΑΣΚΗΣΗ (2_2857) Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Φέρουμε, εκτός του τριγώνου ημιευθείες Αx και Αy τέτοιες ώστε Ax AB και Ay AΓ. Οι κάθετες στην πλευρά ΒΓ στα σημεία Β και Γ τέμνουν τις Ax και Ay στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ. Μονάδες 12 β) Αν η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με 80 ο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΔΑΕ. Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 34

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (2_3424) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και σημεία Δ και Ε στην ευθεία ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΓΕ. Έστω ότι και. α) i. ΒΖ = ΓΗ Μονάδες 10 ii. Το τρίγωνο ΑΖΗ είναι ισοσκελές Μονάδες 7 β) Αν 0 50, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΖΗ. ΑΣΚΗΣΗ (2_4972) Σε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ προεκτείνουμε την ΑΒ προς το μέρος του Α και παίρνουμε ένα σημείο Γ. Θεωρούμε Ε ένα σημείο του ημικυκλίου και έστω Δ το σημείο τομής του τμήματος ΓΕ με το ημικύκλιο. Αν το τμήμα ΓΔ ισούται με το ΟΒ και η γωνία 0 45, να υπολογίσετε τη γωνία x. Μονάδες 25 ΑΣΚΗΣΗ (2_5040) Δίνεται ευθεία ε του επιπέδου. Τα παράλληλα τμήματα ΑΒ και ΓΔ καθώς και ένα τυχαίο σημείο Ε βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της ε. α) Αν το Ε είναι εκτός των τμημάτων ΑΒ και ΓΔ τότε: ω φ θ lisari team «Β Θέματα» 35

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες β) Αν το Ε είναι ανάμεσα στα τμήματα ΑΒ και ΓΔ και ΕΖ ΑΒ, τότε να αποδείξετε ότι θ ω φ ΑΣΚΗΣΗ (2_5055) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και o Α 80. Έστω Κ σημείο της διχοτόμου της γωνίας A, τέτοιο ώστε ΚΒ ΚΑ ΚΓ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΚΑ και ΓΚΑ είναι ίσα. β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ABK και ΑΓΚ γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΒΚΓ. (Μονάδες 10) () (Μονάδες 7) lisari team «Β Θέματα» 36

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (2_5061) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Φέρουμε ημιευθεία προς το ημιεπίπεδο που δεν ανήκει το Α και παίρνουμε σε αυτήν τμήμα ΓΔ= ΑΒ. α) Η γωνία ΔΑΓ είναι ίση με τη γωνία ΓΔΑ. (Μονάδες 12) β) Η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΑΓ. (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_5064) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ. Έστω Αx η διχοτόμος της εξωτερικής του γωνίας 0 A 120. Από την κορυφή Β φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην Αx, η οποία τέμνει εξ την πλευρά ΑΓ στο σημείο Δ. α) i. Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισόπλευρο. ii.δγ ΑΓ ΑΒ (Μονάδες 10) (Μονάδες 5) lisari team «Β Θέματα» 37

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες β) Αν η γωνία ΒΔΑ είναι διπλάσια της γωνίας Γ του τριγώνου ΑΒΓ, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΔΓ. (Μονάδες 10) ΑΣΚΗΣΗ (2_5066) Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ (προς το Α) και ΓΑ (προς το Α) τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τα τμήματα ΑΔ ΑΒ και ΑΕ ΑΓ. α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) ΕΔ//ΒΓ (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_5080) Δίνεται τρίγωνο ισοσκελές ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ με γωνία της πλευράς ΑΓ, τέτοιο ώστε ΒΔ=ΒΓ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ΔΒΓ είναι ίση με τη γωνία Α. ΑΣΚΗΣΗ (2_5089) Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α 90 πλευράς ΑΓ και ΔΕ ΒΓ. Να υπολογίσετε: α) τις γωνίες του τριγώνου ΔΕΓ. β) τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΔΕΒ. 0 με 0 0 Α 50. Έστω Δ είναι σημείο (Μονάδες 12) (Μονάδες 13) Γ 40. Έστω Δ τυχαίο σημείο της (Μονάδες 10 ) (Μονάδες 15) lisari team «Β Θέματα» 38

ΑΣΚΗΣΗ (2_5092) Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες 0 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με γωνία κορυφής Α 40. Στην προέκταση της ΓΒ (προς το Β) παίρνουμε τμήμα ΒΔ τέτοιο ώστε ΒΔ = ΑΒ. Να υπολογίσετε α) τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 10) β) τη γωνία ΔΑΓ. (Μονάδες 15) ΑΣΚΗΣΗ (2_5094) Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ 0 Α 90. Έστω ότι η ΑΔ είναι η διχοτόμος της 0 γωνία Α και η ΔΕ // ΑΒ. Αν η γωνία Β 20 Γ, α) να υπολογίσετε: I. τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ. II. τις γωνίες φ και ω. β) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. () (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (2_5100) Στο παρακάτω σχήμα ισχύουν ΔΒ ΒΑ ΑΓ ΓΕ και Να αποδείξετε ότι 0 BAΓ 40. α) 0 ΑΒΔ ΑΓΕ 110. β) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. γ) το τρίγωνο ΔΑΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) (Μονάδες 10) (Μονάδες 5) lisari team «Β Θέματα» 39

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (2_5134 ) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται κύκλος Ο,R και τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ. Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΓ ΜΑ και την ΟΜ κατά τμήμα ΜΔ ΜΟ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΜΒ και ΜΓΔ είναι ίσα, και να γράψετε τα στοιχεία τους. Μονάδες 13 β) Να αιτιολογήσετε γιατί ΟΑ / /ΓΔ. Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_5562) 0 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α 90 και Γ 25 0. Δίνονται επίσης η διάμεσος ΑΜ, το ύψος ΑΗ από την κορυφή Α και η διχοτόμος ΑΔ της γωνίας Α. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΜΒ, ΗΑΒ, ΑΔΒ. Μονάδες 15 β) Να αποδείξετε ότι 0. ΜΑΔ ΔΑH 20 Μονάδες 10 lisari team «Β Θέματα» 40

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (2_5570) Στα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ (γωνία Α ορθή) του παρακάτω σχήματος ισχύει 0. Β Δ 30 α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΕΓΖ. β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΓΖΔ και ΕΒΖ είναι ισοσκελή. Μονάδες 12 Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5572) Στο παρακάτω σχήμα, οι ΑΔ και ΒΕ είναι παράλληλες. Επιπλέον ισχύουν ΑΔ ΑΖ, 0 ΒΕ ΒΖ και Α 70. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΑΔΖ και ΒΖΕ. β) Να αποδείξετε ότι ΔΖΕ 90 0. lisari team «Β Θέματα» Μονάδες 16 Μονάδες 9 41

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (2_5578) Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν 2 και 3. 0 α) Να αποδείξετε ότι η γωνία είναι ίση με 60 Μονάδες 10 β) Αν το ύψος ΑΔ και η διχοτόμος του ΒΕ τέμνονται στο σημείο Ζ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΖΕ είναι ισόπλευρο. Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_5599) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και η διάμεσός του ΑΔ τέτοια ώστε Θεωρούμε σημείο Ε στην ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΔ ΑΕ. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΕ. γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΔΓ. ο ΒΑΔ 30. Μονάδες 9 lisari team «Β Θέματα» 42

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (2_5626) Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι (Ο, ρ) και (Κ, ρ) με ΟΚ = ρ, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Α και Δ. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΚ είναι ισόπλευρο. Μονάδες 10 β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΚ. Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_5652) Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ο Β 90 και Ζ το μέσο του ΑΓ. Με υποτείνουσα το ΑΓ κατασκευάζουμε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΔΓ με Δ 90 α) Να αποδείξετε ότι ΒΖ = ΔΖ. β) Αν ο ΑΓΒ 30, να υπολογίσετε τις γωνίες ΒΑΔ και ΒΓΔ. ο Μονάδες 13 Μονάδες 12 lisari team «Β Θέματα» 43

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (2_6002) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Θεωρούμε σημείο Ε στην προέκταση της ΒΑ (προς το Α) και σημείο Δ στο εσωτερικό της πλευράς ΑΓ, ώστε ΑΕ = ΑΔ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΕ. Μονάδες 10 β) Αν Ζ είναι το σημείο τομής της προέκτασης της ΕΔ (προς το Δ) με την ΒΓ, να αποδείξετε ότι η ΕΖ είναι κάθετη στην ΒΓ. Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_6584) ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α 90 και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α. από το σημείο Δ φέρουμε την παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ε. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ορθογώνιο. β) Να υπολογίσετε τη γωνία ΑΔΕ. Μονάδες 9 Μονάδες 9 γ) Αν η γωνία Β είναι 20 μοίρες μεγαλύτερη της γωνίας Γ, να υπολογίσετε τη γωνία ΕΔΓ. ΑΣΚΗΣΗ (2_6593) Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Μονάδες 7 lisari team «Β Θέματα» 44

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες α) Να αποδείξετε ότι τα μέσα Δ και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, ισαπέχουν από τη βάση ΒΓ. Μονάδες 13 β) Αν ο Α 75 Β να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_6595) Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. β) Η γωνία ΑΕΔ είναι ορθή. Μονάδες 12 Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 45

Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 5ο Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια lisari team «Β Θέματα» 46

ΑΣΚΗΣΗ (2_2817) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο Β (ΑΒ=ΑΓ).Στο μέσο Δ της πλευράς ΑΒ φέρουμε κάθετη ευθεία που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουμε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. α Να αποδείξετε ότι ΑΕ=ΒΕ. (Μονάδες 15) β Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΕΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10) ΑΣΚΗΣΗ (2_2822) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ.Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει την ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι α Το τρίγωνο Α είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β Το τετράπλευρο ΔΕΓΒ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) γ Η ΑΗ είναι διάμεσος του τριγώνου Α. (Μονάδες 9) lisari team «Β Θέματα» 47

ΑΣΚΗΣΗ (2_2827) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και η διαγώνιός του ΒΔ. Από τις κορυφές Α και Γ φέρουμε τις κάθετες ΑΕ και ΓΖ στην ΒΔ, που την τέμνουν στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. α)να αποδείξετε ότι Δ Β. (Μονάδες 10) β)να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 15) ΑΣΚΗΣΗ (2_2829) Δίνεται τρίγωνο Β.Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΜΔ=ΒΑ με ΜΔ//ΒΑ και ευθύγραμμο τμήμα ΜΕ=ΓΑ με ΜΕ//ΓΑ. Να αποδείξετε ότι : α) ΔΑ=ΑΕ () β) Τα σημεία Δ,Α και Ε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. (Μονάδες 9) γ) ΔΕ=ΒΓ (Μονάδες 9) lisari team «Β Θέματα» 48

ΑΣΚΗΣΗ (2_2831) Δίνεται τρίγωνο Β και Δ το μέσο της πλευράς ΑΒ. Από το Δ διέρχεται μια τυχαία ευθεία (ε) που τέμνει την πλευρά ΑΓ σε εσωτερικό της σημείο Ε.Η ευθεία (ε) χωρίζει το τρίγωνο Β σε ένα τρίγωνο Δ και ένα τετράπλευρο ΒΔΕΓ. α)ποια πρέπει να είναι η θέση του σημείου Ε, ώστε το τετράπλευρο ΒΔΕΓ να είναι τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12) β)ποιο πρέπει να είναι το είδος του τριγώνου Β,ώστε το τραπέζιο του ερωτήματος (α) να είναι ισοσκελές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_2832) Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, προεκτείνουμε την πλευρά ΔΑ (προς το Α) κατά τμήμα ΑΗ=ΔΑ. Φέρουμε την διχοτόμο της γωνίας,η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι : α)το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β)το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή την γωνία. (Μονάδες 13) lisari team «Β Θέματα» 49

ΑΣΚΗΣΗ (2_2834) Δίνεται παραλληλόγραμμο με ΑΒ=2ΑΔ.Φέρουμε την διχοτόμο της γωνίας,του παραλληλογράμμου, η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Είναι το Ε μέσο της πλευράς ΑΒ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_2836) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Θεωρούμε σημείο Ε του τμήματος ΑΟ και σημείο Ζ του τμήματος ΟΓ, ώστε ΟΕ=ΟΖ. α) ΔΕ=ΒΖ. (Μονάδες 12) β) το ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13) lisari team «Β Θέματα» 50

ΑΣΚΗΣΗ (2_2841) Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο Α Γ( =90 ) ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε. ΒΓ α) ΑΔ 2 () β) Το τρίγωνο Δ Γ είναι ορθογώνιο. ΑΓ γ) ΔΕ 2 () (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (2_2844) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με γωνία =120 και ΑΒ=2ΑΔ. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας του παραλληλογράμμου, η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε, και στη συνέχεια το κάθετο τμήμα ΑΖ στη ΔΕ. α) γωνία Α Ε = 30. ΑΒ β) ΑΖ 4 (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) lisari team «Β Θέματα» 51

ΑΣΚΗΣΗ (2_2850) ο ο Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με 90, ΑΒ > ΓΔ, ΒΓ = 4ΓΔ και 60. Φέρουμε την ΓΗ ΑΒ και θεωρούμε τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι: α) ΑΒ = 3ΓΔ. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_2858) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2ΒΓ και Ε το μέσο της πλευράς του ΑΒ. α) Το τρίγωνο ΕΑΔ είναι ισοσκελές. Μονάδες10 β) Η ΔΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆΔ Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_3411) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της διαμέσου ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΜΔ = ΔΕ. lisari team «Β Θέματα» 52

α) Το τετράπλευρο ΑΜΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 12 β) Η ΒΕ διέρχεται από το μέσο της διαμέσου ΑΜ. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_2849) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο Α Γ ( = 90 ο ) με ΒΓ = 8 cm. Έστω ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου και ΜΔ ΑΓ. Αν η γωνία Α Γ είναι ίση με 120 ο, τότε: α) Να δείξετε ότι ΑΒ = 4 cm. β) Να βρείτε το μήκος της ΜΔ. (Μονάδες 12) (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_2852) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Α Γ (ΑΒ = ΑΓ). Στην προέκταση της ΒΑ (προς το μέρος της κορυφής Α) παίρνουμε σημείο Δ ώστε ΑΒ = ΑΔ και στην προέκταση της ΔΓ (προς το μέρος της κορυφής Γ) παίρνουμε σημείο Ε ώστε ΔΓ = ΓΕ. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο Δ Β είναι ορθογώνιο. β) Να δείξετε ότι ΒΕ//ΑΓ και ΑΓ=ΒΕ/2. (Μονάδες 12) (Μονάδες 13) lisari team «Β Θέματα» 53

ΑΣΚΗΣΗ (2_2851) Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ > ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ. α) Αν τα μήκη των βάσεων είναι: ΑΒ = 3x + 2, ΓΔ = x + 2 και το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου είναι ΜΝ = x + 4, τότε να δείξετε ότι x = 2. (Μονάδες 12) β) Αν η γωνία τραπεζίου. είναι διπλάσια της γωνίας, να υπολογίσετε τις γωνίες του (Μονάδες 13) lisari team «Β Θέματα» 54

ΑΣΚΗΣΗ (2_2856) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρουμε, εκτός του τριγώνου, τις ημιευθείες Αx και Ay τέτοιες ώστε Αx AB και Αy AΓ. Στις Αx και Αy θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΑΔ=ΑΕ. α) Να αποδείξετε ότι ΒΔ=ΓΕ. (Μονάδες 12) β) Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των τμημάτων ΒΔ και ΓΕ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΜΝ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_3412) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και η διάμεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της διαμέσου ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΜΔ = ΔΕ. Αν το σημείο Ζ είναι το ίχνος του Δ στην ΑΜ, να αποδείξετε ότι α) Το τετράπλευρο ΑΜΓΕ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 12 ΒΓ β) ΔΖ 4 Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 55

ΑΣΚΗΣΗ (2_3414) Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με Φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) ΔΕ = ΓΖ και ΑΒ = ΕΖ. β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου. ˆΓ Δˆ 60 ο, ΑΔ = 12 και ΓΔ = 20. Μονάδες 12 Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_3415) Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ABΓΔ (AB / /ΓΔ).Φέρνουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) ΔΕ ΓΖ β) ΑΖ ΒΕ Μονάδες 12 Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 56

ΑΣΚΗΣΗ (2_3416) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ), το ύψος του ΑΔ και τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΓΔΖ είναι ίσα β) Το τετράπλευρο ΑΖΔΕ είναι ρόμβος. Μονάδες 15 Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (2_3418) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ,Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ,ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. α) To τετράπλευρο ΔΒΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. β) Η ευθεία ΔΖ διχοτομεί το τμήμα ΑΕ. ΑΣΚΗΣΗ (2_3419) Μονάδες 13 Μονάδες 12 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και γωνία Λ 0 Γ 30. Θεωρούμε το ύψος ΑΔ και το μέσο Ζ της πλευράς ΑΓ. Προεκτείνουμε το ύψος ΑΔ (προς το Δ ) κατά ίσο τμήμα ΔΕ. ΑΓ α) ΔΖ. 2 Μονάδες 12 β) Το τρίγωνο Δ Α Γ Ε είναι ισόπλευρο. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_3422) Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και το ύψος του ΑΔ. Προεκτείνουμε το ΑΔ (προς το Δ) κατά τμήμα ΔΕ = ΑΔ. Έστω Κ το συμμετρικό του Β ως προς το Δ. lisari team «Β Θέματα» 57

α) Το τρίγωνο ΑΒΚ είναι ισοσκελές. β) Το τετράπλευρο ΑΒΕΚ είναι ρόμβος. Μονάδες 12 Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_3427) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του σχήματος είναι παραλληλόγραμμο. Έστω ότι α) Αν το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος, τότε ΑΖ = ΑΕ. Μονάδες 12 β) Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει ΑΖ = ΑΕ, τότε αυτό είναι ρόμβος. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_4973) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με AB στο οποίο η διαγώνιος ΒΔ είναι ίση με την πλευρά ΑΔ. Αν η γωνία 0 110 και η γωνία 0 30, να υπολογίσετε τη γωνία. Μονάδες 25 ΑΣΚΗΣΗ (2_5007) Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ. Θεωρούμε τα σημεία Ε και Ζ πάνω στην ΑΒ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ και έστω Κ το σημείο τομής των ΔΖ και ΓΕ. lisari team «Β Θέματα» 58

α) ΔΖ=ΓΕ Μονάδες 13 β) Τα τρίγωνα ΕΚΖ και ΔΚΓ είναι ισοσκελή. Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_5021) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο είναι το κέντρο του. Έστω Ε, Ζ, Η, Θ τα μέσα των ΟΔ, ΟΑ, ΟΒ και ΟΓ αντίστοιχα α) Το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 10 β) Αν η περίμετρος του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι 40, να βρείτε την περίμετρο του ΕΖΗΘ Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_5024) Σε κύκλο κέντρου Ο, έστω ΟΑ μία ακτίνα του. Φέρουμε τη μεσοκάθετη της ΟΑ που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Β και Γ. Να αποδείξετε ότι α) Το τρίγωνο ΟΒΑ είναι ισόπλευρο Μονάδες 13 β) Το τετράπλευρο ΟΒΑΓ είναι ρόμβος Μονάδες 12 lisari team «Β Θέματα» 59

ΑΣΚΗΣΗ (2_5033) Δίνεται γωνία x O y και σημείο Α στο εσωτερικό της. Από το Α φέρνουμε τις κάθετες ΑΒ, ΑΓ προς τις πλευρές Οx, Oy της γωνίας αντίστοιχα, και ονομάζουμε Μ το μέσο του ΟΑ. α) Το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) BMΓ 2x O y (Μονάδες 15) ΑΣΚΗΣΗ (2_5039) o o Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β 40 και Γ 60. Επιπλέον, τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε τη γωνία A του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι ο BΔΕ EZΓ 80. () (Μονάδες 9) γ) Να υπολογίσετε τη γωνία DEΖ () lisari team «Β Θέματα» 60

ΑΣΚΗΣΗ (2_5059) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ 0 A 90. Έστω Δ σημείο της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε, η διχοτόμος ΔΕ της γωνίας AΔΒ να είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) Αν 0 AΔΒ 60, I. να υπολογίσετε τη γωνία Γ. II. να αποδείξετε ότι ΒΓ 2ΑΒ () (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (2_5069) Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τα τμήματα ΑΔ ΑΒ και ΑΕ ΑΓ. Να αποδείξετε ότι α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Η προέκτασή της διαμέσου ΑΜ προς το μέρος της κορυφής Α διχοτομεί την πλευρά ΕΔ του τριγώνου ΔΑΕ. (Μονάδες 13) lisari team «Β Θέματα» 61

ΑΣΚΗΣΗ (2_5071) Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ, αν Μ και Ν είναι τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) ΜΔ=ΜΓ. (Μονάδες 12) β) Η ευθεία ΜΝ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΓΔ. (Μονάδες 13 ) ΑΣΚΗΣΗ (2_5073) Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Α, Γ οι προβολές των κορυφών Α και Γ στη διαγώνιο ΒΔ. Αν τα σημεία Α και Γ δεν ταυτίζονται, να αποδείξετε ότι: α) ΑΑ // ΓΓ () β) ΑΑ =ΓΓ (Μονάδες 10) β) Το τετράπλευρο ΑΓ ΓΑ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (2_5096) 0 Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α 90 με γωνία Β 2Γ. Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην ΑΒ, η οποία τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Δ. α) Να υπολογίσετε I. τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ. II. τις γωνίες του τριγώνου ΑΜΓ. β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΔ είναι μεσοκάθετος του ΑΓ. (Μονάδες 7) (Μονάδες 9) (Μονάδες 9) lisari team «Β Θέματα» 62

ΑΣΚΗΣΗ (2_5103) 0 0 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α 40 και Β 70. Τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ με ΔΕ =9 και ΕΓ=16. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και να βρείτε ποιες είναι οι ίσες πλευρές του. () β) Να αποδείξετε ότι ΒΓ=18. () γ) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (2_5104) Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών Δ και Β τέμνουν τις πλευρές ΑΒ και ΓΔ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΓΖ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_5108) Στις πλευρές ΑΔ και ΒΓ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ θεωρούμε σημεία E και Z, τέτοια ώστε ΑE=ΓZ. Αν η ευθεία ΖΕ τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΓΔ στα σημεία H και Θ, να αποδείξετε ότι: α) HBZ EΔΘ lisari team «Β Θέματα» 63

β) BZH ΔΕΘ γ) ΒΗ ΘΔ () () (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (2_5111) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρών ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα, τέτοια ώστε α) Να δικαιολογήσετε γιατί ΔΕ AB β) Να υπολογίσετε I. τη γωνία x II. τις γωνίες Α και Γ του τριγώνου ΑΒΓ 0 50. Έστω ότι τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των 0 70. () () (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (2_5113) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Δ και Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, ΑΔ=9, ΕΓ=10 και ΒΓ=30. α) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 9) lisari team «Β Θέματα» 64

β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΓΒ είναι τραπέζιο. () γ) Να υπολογίσετε το μήκος x του τμήματος ΔΕ. () ΑΣΚΗΣΗ (2_5114) Στο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, ΑE=8, ΕΔ=9 και ΔΒ=10. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΓΒ είναι τραπέζιο. () β) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΒΓ. () γ) Να συγκρίνετε τις περιμέτρους του τριγώνου ΑΒΓ και του τετράπλευρου ΔΕΓΒ. (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (2_5117) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Επιπλέον ισχύουν ΑΔ ΕΔ ΔΒ με ΑΕ 8 και ΔΒ 10. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ορθογώνιο. β) Να αποδείξετε ότι ΒΓ 20. γ) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 9 lisari team «Β Θέματα» 65

ΑΣΚΗΣΗ (2_5118) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Επιπλέον ισχύουν ΑΔ ΕΔ ΔΒ με ΑΕ 8 και ΔΒ 10. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 10 γ) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (2_5124) Στο ακόλουθο σχήμα ισχύουν ΑΒ ΒΔ ΑΓ ΓΕ 5, ΒΚ ΑΔ και ΓΛ ΑΕ. α) Να προσδιορίσετε, ως προς τις πλευρές, το είδος των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΕ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των τμημάτων ΑΔ και ΑΕ. Μονάδες 10 γ) Αν η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι 12, να υπολογίσετε το τμήμα ΚΛ. Μονάδες 9 lisari team «Β Θέματα» 66

ΑΣΚΗΣΗ (2_5129 ) Στο παρακάτω σχήμα είναι ε 1/ /ε 2 και το σημείο Ο είναι το μέσο της ΒΔ. Να αποδείξετε ότι : α) τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ είναι ίσα και να γράψετε τα στοιχεία τους. β) το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 12 Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5132) Στο παρακάτω σχήμα είναι ε 1/ /ε 2 και ΑΒ 6. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες φ και ω. β) Να προσδιορίσετε το είδος του τριγώνου ΑΒΚ ως προς τις γωνίες του. γ) Να υπολογίσετε το μήκος της ΑΚ, αιτιολογώντας την απάντησή της. Μονάδες 10 Μονάδες 7 lisari team «Β Θέματα» 67

ΑΣΚΗΣΗ (2_5142) 0 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α 80 και Β 20 0 Γ, και ΑΔ διχοτόμος της γωνίας Α. α) να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ. Μονάδες 12 β) Φέρουμε από το Δ ευθεία παράλληλη στην ΑΒ, που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΔΕ και ΕΔΓ. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5149 ) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε την εξωτερική διχοτόμο Αx της γωνίας Α και από το σημείο Γ την κάθετο ΓΔ στην Ax. Τα σημεία Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α) το τρίγωνο ΑΖΔ είναι ισόπλευρο. Μονάδες 12 β) το τετράπλευρο ΑΔΖΕ είναι ρόμβος. Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 68

ΑΣΚΗΣΗ (2_5162) Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ( AB/ /ΓΔ ) με AB ΒΓ φέρουμε από τις κορυφές Α και Γ κάθετους στην διαγώνιο ΒΔ, οι οποίες την τέμνουν σε διαφορετικά σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α) AΕ ΓΖ. Μονάδες 15 β) Το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (2_5167) Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ ( AB/ /ΓΔ ) με ΑΒ ΓΔ και κορυφές Α και Β φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου. β) Να αποδείξετε ότι ΑΕ ΕΔ ΒΖ ΓΖ 0 Β 135. Από τις Μονάδες 10 Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_5557) 0 Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α Γ 120 και Α 3Γ. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να υπολογίσετε τις γωνίες του. Μονάδες 15 β) Αν η πλευρά ΒΓ 2 cm, να βρείτε το μήκος της ΑΒ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5569 ) Μονάδες 10 0 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (με Α 90 ) και η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Δ, τέτοιο ώστε ΓΔ ΔΒ 2 cm. Να αποδείξετε ότι : α) 0 Β 30. Μονάδες 12 lisari team «Β Θέματα» 69

β) ΑΒ 3 cm Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5574) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει ΒΓ 2ΑΒ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ. Αν η ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΜ και Ε σημείο στην προέκτασή της ώστε ΑΔ ΔΕ. α) Το τετράπλευρο ΑΒΕΜ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 12 β) ΜΕ ΜΓ Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5554) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΓΒ. Φέρουμε από την κορυφή Α ευθεία (ε) παράλληλη στη ΒΓ. Η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΒ τέμνει την (ε) στο Δ και την ΒΓ στο Ε. α) Να αποδείξετε ότι ΔΑ ΔΒ και ΕΑ ΕΒ. Μονάδες 6 β) Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΕΜΒ. lisari team «Β Θέματα» 70

Μονάδες 10 γ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΔΒΕ είναι ρόμβος. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (2_5565) 0 Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ ( ΑΒ/ /ΓΔ ) με ΑΒ 6, ΒΓ 4 και Γ 60. Δίνονται επίσης τα ύψη ΑΕ και ΒΖ από τις κορυφές Α και Β αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τραπεζίου ΑΒΓΔ. Μονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΔ, ΒΖΓ είναι ίσα. Μονάδες 10 γ) Να υπολογίσετε την περίμετρο του ΑΒΓΔ. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (2_5566 ) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ ( ΑΒ/ /ΓΔ ) με ΑΒ ΒΓ 4, επίσης το ύψος ΒΕ από την κορυφή Β. α) Να υπολογίσετε τις άλλες δυο γωνίες του τραπεζίου ΑΒΓΔ. 0 Α 90 και 0 Γ 60. Δίνεται β) Να αποδείξετε ότι 2ΕΓ ΒΓ. Μονάδες 9 γ) Αν Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ, ΒΓ αντίστοιχα να βρείτε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΜΝ. lisari team «Β Θέματα» 71

ΑΣΚΗΣΗ (2_5568) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΒΓ (προς το μέρος του Γ) θεωρούμε τμήμα ΓΔ ΒΓ. Φέρουμε τμήμα ΔΕ κάθετο στην ΑΔ στο σημείο της Δ, τέτοιο ώστε ΔΕ ΒΓ (Α και Ε στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ΒΔ). α) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΔ. Μονάδες 12 β) Να αποδείξετε ότι ΑΒΔΕ παραλληλόγραμμο. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5575) Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημεία Ε και Ζ στις προεκτάσεις των ΑΒ (προς το Β) και ΒΓ (προς το Γ) αντίστοιχα, ώστε ΒΕ=ΓΖ. α) Τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΕΔ είναι ίσα. Μονάδες 12 β) Οι γωνίες ΕΔΓ και ΑΖΒ είναι ίσες. Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 72

ΑΣΚΗΣΗ (2_5577) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ=3, ΓΔ=4. Θεωρούμε σημείο Ε στην ΑΒ ώστε ΑΕ=1. Στο τραπέζιο ΕΒΓΔ θεωρούμε τα Κ και Λ, μέσα των ΕΔ και ΒΓ αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε τη διάμεσο ΚΛ του τραπεζίου ΕΒΓΔ. Μονάδες 13 β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΛΚ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_5581) ο ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A 90,Β 35 και Μ το μέσο της ΒΓ. α) Να υπολογίσετε τη γωνία Γ. Μονάδες 10 β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΜΒ Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_5583) 0 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A 90, 2Γ Β και ΑΔ το ύψος του. α) Να υπολογιστούν οι οξείες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να υπολογιστεί η γωνία ΒΑΔ. ΑΒ γ) Να αποδείξετε ότι ΒΔ. 2 lisari team «Β Θέματα» Μονάδες 9 Μονάδες 7 73

Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (2_5585) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ/ /ΓΔ και ΒΔ να υπολογίσετε: α) Τη γωνία Γ. β) Τη γωνία Α. ΒΓ. Αν ο ΔΒΓ 110 και ο ΑΔΒ 25 Μονάδες 11 Μονάδες 14 ΑΣΚΗΣΗ (2_5586) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και εκτός αυτού κατασκευάζουμε τετράγωνο ΒΓΔΕ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες i) ΑΒΕ ii) ΒΕΑ β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 lisari team «Β Θέματα» 74

ΑΣΚΗΣΗ (2_5587) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου το τετράγωνο ΑΒΔΕ. α) Το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισοσκελές. Μονάδες 10 β) ο 2ΕΓΑ 90 ΒΑΓ Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_5588) Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και το ΑΓΔΕ είναι ορθογώνιο. α) Το σημείο Α είναι μέσο του ΒΕ. β) Το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 γ) ΒΓΑ ΑΔΕ lisari team «Β Θέματα» 75

ΑΣΚΗΣΗ (2_5589) Δίνονται τα παραλληλόγραμμα ΑΒΔΓ και ΒΔΕΖ. α) Το τετράπλευρο ΑΓΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. β) ΑΒΖ ΓΔΕ. Μονάδες 13 Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_5590) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και Μ το μέσο της ΒΓ. Φέρουμε ημιευθεία Αx παράλληλη στη ΒΓ (στο ημιεπίπεδο που ορίζει η ΑΜ με το σημείο Γ ). α) ΜΑΓ ΜΓΑ β) η ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜAx Μονάδες 12 Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 76

ΑΣΚΗΣΗ (2_5593) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Αν ΜΔ ΜΕ τότε: i) Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα. ii) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 β) Αν ΑΒ ΑΓ τότε ΜΔ ΜΕ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5601) Σε κύκλο κέντρου Ο φέρουμε τις διαμέτρους του ΑΓ και ΒΔ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 13 β) Ποια σχέση πρέπει να έχουν οι διάμετροι ΑΓ και ΒΔ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι τετράγωνο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_5612) Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ο ΑΒΓ(Α 90 ) θεωρούμε τα μέσα Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. α) Το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. β) Το τετράπλευρο ΕΔΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 12 Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 77

ΑΣΚΗΣΗ (2_5615) Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ Στα σημεία Β και Γ φέρουμε κάθετες στη ΒΓ προς το ίδιο μέρος, και θεωρούμε σε αυτές σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΜΔ ΜΕ. α) Τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. Μονάδες 13 β) Το τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μονάδες12 ΑΣΚΗΣΗ (2_5617) Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ, το σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς ΔΓ και τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. α) Τα τμήματα ΚΜ και ΛΜ είναι ίσα. Μονάδες 12 β) Τα τμήματα ΑΜ και ΒΜ είναι ίσα. Μονάδες 12 lisari team «Β Θέματα» 78

ΑΣΚΗΣΗ (2_5621) ο ο Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α 90 και Β 30. Αν τα σημεία Ε και Δ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα με ΕΔ = 1, να υπολογίσετε τα τμήματα: α) ΑΓ=. β) ΒΓ=.. Μονάδες 9 γ) ΑΔ=.. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΣΚΗΣΗ (2_5635) Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε κάθετες ακτίνες ΟΑ, ΟΓ και εφαπτόμενο στον κύκλο τμήμα ΑΒ με ΑΒ = ΟΓ. α) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΟ και ΒΓ διχοτομούνται. Μονάδες 10 β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετράπλευρου ΑΒΟΓ. Μονάδες 15 lisari team «Β Θέματα» 79

ΑΣΚΗΣΗ (2_5637) Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε την ακτίνα ΟΑ και τη χορδή ΒΓ κάθετη στην ΟΑ στο μέσο της Μ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΟΒ είναι ρόμβος. Μονάδες 10 β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετράπλευρου ΑΓΟΒ. Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_5638 ) Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ). Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ προς το Α φέρνουμε τμήματα ΒΔ και ΓΕ κάθετα στις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ Μονάδες 10 β) Αν Μ το μέσο της ΒΓ τότε: i. Να αποδείξετε ότι ΜΔ = ΜΕ. lisari team «Β Θέματα» 80

ii. Να αποδείξετε ότι η ΑΜ διχοτομεί τη γωνία ΔΜΕ Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (2_5641) Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ. Στην προέκταση της διαγωνίου ΑΔ (προς το Δ) παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε. α) Το σημείο Ε ισαπέχει από τις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ (προς το μέρος των Β και Γ αντίστοιχα). Μονάδες 10 β) Το σημείο Ε ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ. Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_5644) Έστω τρίγωνο ΑΒΔ με ο Α 120. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα ΑΕΒ και ΑΖΔ. α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒΔ είναι ίσα. lisari team «Β Θέματα» 81

Μονάδες 12 β) Το τετράπλευρο ΒΔΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5646) Σε κύκλο κέντρου Ο φέρουμε δύο διαμέτρους του ΑΒ και ΓΔ. α) Οι χορδές ΑΓ και ΒΔ του κύκλου είναι ίσες. β) Το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 13 Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_5653) Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, και γωνία μέσα τν ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. ο Β 30. Θεωρούμε Δ και Ε τα α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε τις γωνίες του. Μονάδες 16 β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισόπλευρο. Μονάδες 9 lisari team «Β Θέματα» 82

ΑΣΚΗΣΗ (2_5654) Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ (προς το Α) και την πλευρά ΔΓ (προς το Γ) κατά τμήματα ΑΕ = ΑΒ και ΓΖ = ΔΓ. α) BΖ = ΕΔ Μονάδες 13 β) Το τετράπλευρο ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (2_6580 ) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσο ΑΜ στην πλευρά ΒΓ. και Β Γφέρουμε το ύψος του ΑΔ και την ο Α 90 α) Οι γωνίες Β και ΓΑΔ είναι ίσες. β) ΑΜΔ 2 Γ ΑΣΚΗΣΗ (2_6582) Μονάδες 12 Μονάδες 13 ο Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Β 60. Φέρουμε τα ύψη ΑΕ και ΒΖ του παραλληλογράμμου που αντιστοιχούν στην ευθεία ΔΓ. ΑΔ α) ΓΖ. 2 β) Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ίσο με το τρίγωνο ΒΓΖ Μονάδες 9 γ) Το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ορθογώνιο. lisari team «Β Θέματα» 83

ΑΣΚΗΣΗ (2_6583) Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ν και Κ των ΑΒ ΔΓ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΝ = ΚΓ. α) i) τα τρίγωνα ΑΝΔ και ΒΓΚ είναι ίσα, ii) το τετράπλευρο ΝΒΚΔ είναι παραλληλόγραμμο. β) Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των ΝΔ και ΔΚ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΝΚΖΕ είναι τραπέζιο. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (2_6585) Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ ( ΑΒ//ΓΔ ) με ΑΒ = 8 και ΔΓ = 12. Αν ΑΗ και ΒΘ τα ύψη του τραπεζίου, α) Να αποδείξετε ότι ΔΗ = ΘΓ. Μονάδες 12 β) Να υπολογίσετε τη διάμεσο του τραπεζίου.. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_6590) ΓΔ ο Στο τραπέζιο του παρακάτω σχήματος έχουμε ΑΒ ΑΔ,Δ 60 και Μ το μέσο της πλευράς ΓΔ. α) Η ΔΒ είναι διχοτόμος της γωνίας Δ. β) Η ΒΜ χωρίζει το τραπέζιο σε ένα ρόμβο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο. 2 Μονάδες 9 Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (2_6882) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά τμήμα ΜΔ = ΜΑ. Από το Α φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ η οποία τέμνει την προέκταση της ΔΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι : α) το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο, (Μονάδες 12) AE β) BM 2 (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_6885) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο, ώστε ΑΓ < ΑΒ. Στην πλευρά ΑΒ θεωρούμε σημείο Δ lisari team «Β Θέματα» 84

τέτοιο ώστε ΑΔ = ΑΓ και στην προέκταση της ΒΑ (προς το Α) θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΑΕ = ΑΓ. Να αποδείξετε ότι : α) ΔΓ ΕΓ (Μονάδες 12) β) η γωνία ΕΑΓ είναι διπλάσια της γωνίας ΑΔΓ. (Μονάδες 13) ΑΣΚΗΣΗ (2_7452) 0 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Β 120 και ΔΕ ΒΓ. Έστω ΕΖ η διάμεσος του τριγώνου ΔΕΓ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Α και Γ του παραλληλογράμμου. () β) Αν Κ είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ, να αποδείξετε ότι ΕΖ = ΑΚ. (Μονάδες 9) γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖΓ. () lisari team «Β Θέματα» 85

Γεωμετρία Κεφάλαιο 6ο: Εγγεγραμμένα σχήματα Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 6ο Εγγεγραμμένα σχήματα lisari team «Β Θέματα» 86

Γεωμετρία Κεφάλαιο 6ο: Εγγεγραμμένα σχήματα ΑΣΚΗΣΗ (2_3413) Στο ακόλουθο σχήμα, η εφαπτομένη του κύκλου στην κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ σχηματίζει γωνία φ = 30 ο με την πλευρά ΑΒ. Αν το μέτρο του τόξου ΒΔΓ είναι 160 ο, α) να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. β) να βρείτε το μέτρο του τόξου ΑΕΓ Μονάδες 18 Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (2_5009) Στο ακόλουθο σχήμα η επίκεντρη γωνία BOΔ είναι α) Να υπολογίσετε την γωνία ΒΓΔ β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ω είναι ο 45 ο 120 και η γωνία ΓΒΑ είναι ο 15 Μονάδες 12 Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 87

Γεωμετρία Κεφάλαιο 6ο: Εγγεγραμμένα σχήματα ΑΣΚΗΣΗ (2_5012) Σε κύκλο κέντρου Ο δίνονται οι χορδές ΑΒ και ΑΔ τέτοιες ώστε η γωνία ΒΑΔ να είναι ο 44. Θεωρούμε τυχαίο σημείο Γ του κύκλου και σχηματίζουμε τετράπλερυο ΒΓΔΟ α) Να υπολογίσετε την γωνία x Μονάδες 12 β) Να αποδείξετε ότι η γωνία y είναι ο 136 Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5037) Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε τρεις διαδοχικές ίσες γωνίες ΑΟΒ, ΒΟΓ και ΓΟΑ. α) Να αποδείξετε ότι η προέκταση της ακτίνας ΑΟ διχοτομεί τη γωνία ΒΟΓ. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις πλευρές του. () γ) Αν με κέντρο Ο και ακτίνα ΟΚ όπου Κ το μέσο της ακτίνας ΟΑ, γράψουμε έναν άλλο κύκλο που θα τέμνει τις ακτίνες ΟΒ και ΟΓ στα σημεία Λ και Μ αντίστοιχα, τότε τα τόξα ΚΜ και ΑΒ είναι ίσα; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (2_5153 ) 0 Δίνεται κύκλος (Ο,R) διαμέτρου ΑΒ, χορδή ΑΓ τέτοια ώστε ΒΑΓ 30. Στο σημείο Γ φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου, η οποία τέμνει την προέκταση της διαμέτρου ΑΒ (προς το Β) στο σημείο Δ. lisari team «Β Θέματα» 88

Γεωμετρία Κεφάλαιο 6ο: Εγγεγραμμένα σχήματα α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΟΓΔ. β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΟΓ και ΓΒΔ είναι ίσα. Μονάδες 12 Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (2_5608) Θεωρούμε κύκλο (Ο, ρ) και διάμετρο του ΑΒ. Στην εφαπτομένη του κύκλου στο Β θεωρούμε σημείο Γ τέτοιο ώστε, η γωνία ΒΓΟ να είναι ίση με 30 ο. αν η ΟΓ τέμνει τον κύκλο στο Δ να αποδείξετε ότι: α) ΟΓ = 2ΟΑ Μονάδες 12 β) ΒΓ = ΑΔ Μονάδες 13 lisari team «Β Θέματα» 89

Γεωμετρία Κεφάλαιο 6ο: Εγγεγραμμένα σχήματα ΑΣΚΗΣΗ (2_5623) Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου ΒΓ. Φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου σε σημείο του Α ώστε να σχηματίζει με τη χορδή ΑΓ γωνία 45 ο. φέρουμε επίσης μια παράλληλη ευθεία στη ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΓ. Μονάδες 10 β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογίσετε τις γωνίες του. Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_6587) Στο παρακάτω σχήμα η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου (Ο, ρ) στο σημείο Γ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες x, y και ω δικαιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας. Μονάδες 15 β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΟΑΓ ως προς τις πλευρές. Μονάδες 10 lisari team «Β Θέματα» 90

Γεωμετρία Κεφάλαιο 6ο: Εγγεγραμμένα σχήματα ΑΣΚΗΣΗ (2_6588 ) Έστω κύκλος κέντρου Κ, μια διάμετρος του ΒΓ και σημείο Α του κύκλου τέτοιο ώστε ΒΑ = ΚΓ. Αν Δ τυχαίο σημείο του κύκλου διαφορετικό των Β και Γ, α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΚΑ είναι ισόπλευρο. Μονάδες 7 β) Να υπολογίσετε τη γωνία ΒΔΑ. γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 9 Μονάδες 9 lisari team «Β Θέματα» 91

«Δ Θέματα» (Έκδοση: 13 03-2015)

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr Έκδοση: 13 03 2015 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται αποκλειστικά από το μαθηματικό blog http://lisari.blogspot.gr Η ομάδα του lisari 2

Περιεχόμενα Δ Θέματα Σελίδες Πρόλογος:..... 4 Ομάδα εργασιών... 6 Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα... 7 Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες..... 14 Κεφάλαιο 5ο: Παραλληλόγραμμα Τραπέζια.... 20 Κεφάλαιο 6ο: Εγγεγραμμένα σχήματα....... 101 Η ομάδα του lisari 3

Πρόλογος Στο παρόν αρχείο δίνονται όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων που αφορούν στην Γεωμετρία της Α Λυκείου μαζί με τις λύσεις τους. Η παρουσίαση των λύσεων είναι κατά το δυνατόν αναλυτική έτσι, ώστε το αρχείο να μπορεί να διαβαστεί και να μελετηθεί εύκολα από τους μαθητές. Σε αρκετές περιπτώσεις οι λύσεις συνοδεύονται με αναφορές σε παρόμοιες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου ή της τράπεζας θεμάτων καθώς και με κάποια στοιχεία θεωρίας ή ακόμα και μεθοδολογίας. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε από μια διαδικτυακή (και όχι μόνο) ομάδα μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος. Η ομάδα συγκροτήθηκε από τους μαθηματικούς που ανταποκρίθηκαν στο κάλεσμα που απεύθυνε μέσα από το blog http://lisari.blogspot.gr ο ακούραστος Μάκης Χατζόπουλος. Εργάστηκε με μεράκι, κάτω από πίεση χρόνου, για να προσφέρει στην εκπαιδευτική κοινότητα, μαθητές και καθηγητές, το συγκεκριμένο υλικό. Επιθυμία όλων μας είναι να συμβάλλουμε, έστω και ελάχιστα, στην βελτίωση της διδασκαλίας των μαθηματικών στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, μέσα από την παροχή υποστηρικτικού υλικού στην ελληνική εκπαιδευτική κοινότητα. Μετά την αρχική συγγραφή των λύσεων έγιναν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και βελτιώσεις για την όσο το δυνατό ποιοτικότερη παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες οι οποίες ενδεχομένως θα έχουν διαλάθει της προσοχής μας, κάτι αναπόδραστο στην εκπόνηση μιας εργασίας τέτοιας έκτασης σε τόσο στενά περιθώρια χρόνου. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου το υλικό θα βελτιωθεί. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com. Με εκτίμηση Η ομάδα του lisari 30 11 2014 Η ομάδα του lisari 4

lisari team Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου Κατεύθυνση - Άργος) Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου ΔΙΑΤΑΞΗ - Ν. Σμύρνη και Νίκαια) Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο ΒΕΛΑΩΡΑΣ - Λιβαδειά Βοιωτίας) Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο Ευθύνη - Ρέθυμνο) Γιαννόπουλος Μιχάλης (Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή) Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο Αστρολάβος - Άρτα) Δούδης Δημήτρης (3 ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης) Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια Πουκαμισάς Γλυφάδας) Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο Ώθηση - Αργυρούπολη) Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο Παπαπαναγιώτου Παπαπαύλου - Σέρρες) Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ 2ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού) Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων) Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων 19+ - Πολύγωνο) Κουλούρης Αντρέας (3 ο Λύκειο Γαλατσίου) Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο Στόχος - Περιστέρι) Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο Ρηγάκης - Κοζάνη) Μαρούγκας Χρήστος (3 ο ΓΕΛ Κηφισιάς) Νάννος Μιχάλης (1 ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας) Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος) Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο Φάσμα - Αγρίνιο) Παντούλας Περικλής (Φροντιστήρια Γούλα-Δημολένη - Ιωάννινα) Παπαδομανωλάκη Μαρία (Ιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ - Ρέθυμνο) Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός Ρόμβος) Πορίχης Λευτέρης (Γυμνάσιο Λιθακιάς Ζάκυνθος) Ράπτης Γιώργος (6 ο ΓΕΛ Βόλου) Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο Μπαχαράκης - Θεσσαλονίκη) Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας 1 ο Λύκειο Χαλκίδας) Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ - Ηράκλειο Κρήτης) Σπυριδάκης Αντώνης (Γυμνάσιο Βιάννου - Λασίθι) Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα) Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λέχαιου Κορινθίας) Τηλέγραφος Κώστας (Φροντιστήριο Θεμέλιο - Αλεξανδρούπολη) Τρύφων Παύλος (1 ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου) Φιλιππίδης Χαράλαμπος (Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί) Χαραλάμπους Σταύρος (Μουσικό Σχολείο Λαμίας) Χατζόπουλος Μάκης (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων) Η ομάδα του lisari 5

Λύτες Γιάννης Βελαώρας Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης Δημήτρης Δούδης Βασίλης Κακαβάς Γιάννης Κάκανος Σπύρος Καρδαμίτσης Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α τάξης Έλεγχος Μιχάλης Νάννος Χρήστος Μαρούγκας 20 Δεκεμβρίου 2014 Συντονιστής Ανδρέας Κουλούρης Θανάσης Νικολόπουλος Εξώφυλλο Μιχάλης Νάννος Πρόλογος Ανδρέας Κουλούρης Επιμελητής Μάκης Χατζόπουλος Ανδρέας Κουλούρης Χρήστος Κουστέρης Θόδωρος Παγώνης Χρήστος Σίσκας Κώστας Τηλέγραφος Παύλος Τρύφων Σταύρος Χαραλάμπους Μάκης Χατζόπουλος lisari team η καλύτερη ομάδα λόγω teαm_ής!

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (4_2787) Στο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος, η κάθετη από το μέσο Μ της ΒΓ τέμνει την προέκταση της διχοτόμου ΑΔ στο σημείο Ε. Αν Θ, Ζ είναι οι προβολές του Ε στις ΑΒ, ΑΓ, να αποδείξετε ότι : α) Το τρίγωνο ΕΒΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5) β) Τα τρίγωνα ΘΒΕ και ΖΓΕ είναι ίσα. () γ) 0 (Μονάδες 12) ΑΓΕ ΑΒΕ 180 ΆΣΚΗΣΗ (4_2788) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Β 50 0 Α 90 με 0, το ύψος του ΑΔ και σημείο Ε στην ΔΓ ώστε ΔΕ = ΒΔ. Το σημείο Ζ είναι η προβολή του Γ στην ΑΕ. α) Να αποδείξετε ότι : i) Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) ii) ΓΑΕ 10 0 (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΖΓΕ. (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (4_2796) Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο, και έστω ΑΒ μια διάμετρος του, Γ το μέσο του ενός ημικυκλίου ότι και Δ τυχαίο σημείο του άλλου. Στην προέκταση της ΔΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΒΕ = ΑΔ. α) Να αποδείξετε ότι : i) Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ είναι ίσα. () ii) Η ΓΔ είναι κάθετη στην ΓΕ. () β) Να αιτιολογήσετε γιατί, στην περίπτωση που το σημείο Δ είναι το αντιδιαμετρικό του Γ, η ΓΕ είναι εφαπτομένη του κύκλου. (Μονάδες 9) 7

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (4_3694) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμος ΑΔ. Φέρουμε από το Β κάθετη στην ΑΔ που τέμνει την ΑΔ στο Ε και την πλευρά ΑΓ στο Η. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΗ είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 β) ΕΜ // ΗΓ γ) 2 ΑΣΚΗΣΗ (4_3695) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΕ και ΓΔ που αντιστοιχούν στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση: Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές ΑΒ = ΑΓ, τότε τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα. α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π αιτιολογώντας την απάντησή σας. Μονάδες 10 β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να αποδείξετε ότι ισχύει. Μονάδες 10 γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση. Μονάδες 5 8

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (4_3696) Δίνεται οξεία γωνία ˆ xoy και δύο ομόκεντροι κύκλοι (Ο, ρ1) και (Ο, ρ2) με ρ1 < ρ2, που τέμνουν την Οx στα σημεία Κ, Α και την Οy στα Λ, Β αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΛ = ΒΚ. β) Το τρίγωνο ΑΡΒ είναι ισοσκελές, όπου Ρ το σημείο τομής των ΑΛ και ΒΚ. γ) Η ΟΡ διχοτομεί την γωνία ˆ xoy. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3721) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέρουμε τις διαμέσους ΒΔ και ΓΕ. Μία ευθεία ε παράλληλη στη βάση ΒΓ τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα Ζ και Η αντίστοιχα και τις διαμέσους ΒΔ και ΓΕ στα σημεία Θ και Κ αντίστοιχα. α) ΒΖ = ΓΗ β) τα τρίγωνα ΖΒΘ και ΗΚΓ είναι ίσα. Μονάδες 9 γ) ΖΚ = ΗΘ 9

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (4_3726) Θεωρούμε δύο σημεία Α και Β τα οποία βρίσκονται στο ίδιο μέρος ως προς μια ευθεία (ε), τέτοια ώστε η ευθεία ΑΒ δεν είναι κάθετη στην (ε). Έστω Α το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία (ε). α) Αν η Α Β τέμνει την ευθεία (ε) στο σημείο Ο, να αποδείξετε ότι: i. H ευθεία (ε) διχοτομεί την γωνία ΑΟΑ. Μονάδες 6 ii. Oι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ σχηματίζουν ίσες οξείες γωνίες με την ευθεία (ε). Μονάδες 6 β) Αν Κ είναι ένα άλλο σημείο πάνω στην ευθεία (ε), να αποδείξετε ότι: i. ΚΑ = ΚΑ Μονάδες 6 ii. ΚΑ + ΚΒ > ΑΟ + ΟΒ Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_3728) Έστω ότι ο κύκλος (Ο, ρ) εφάπτεται των πλευρών του τριγώνου ΡΓΕ στα σημεία Α, Δ και Β. α) I. ΡΓ = ΓΔ + ΑΡ Μονάδες 6 ΙΙ. ΡΓ ΓΔ = ΡΕ ΔΕ β) Αν ΑΓ = ΒΕ, να αποδείξετε ότι Ι. Το τρίγωνο ΡΓΕ είναι ισοσκελές. Μονάδες 6 ΙΙ. Τα σημεία Ρ, Ο και Δ είναι συνευθειακά. Μονάδες 5 10

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (4_3729) Θεωρούμε κύκλο κέντρου Ο και εξωτερικό σημείο του Ρ. Από το Ρ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήμα ΡΑ και ΡΒ. Η διακεντρική ευθεία ΡΟ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Λ. Η εφαπτόμενη του κύκλου στο Λ τέμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. α) Το τρίγωνο ΡΓΔ είναι ισοσκελές. Μονάδες 10 β) ΓΑ = ΔΒ γ) Η περίμετρος του τριγώνου ΡΓΔ είναι ίση με ΡΑ + ΡΒ Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_3767) Δίνεται κύκλος (Ο, Κ) και μια επίκεντρη γωνία του ΑΟΒ ˆ ίση με 120 0. Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία Α και Β τέμνονται στο σημείο Ρ. Θεωρούμε σημείο Μ του τόξου ΑΒ και φέρουμε τις χορδές ΑΜ και ΒΜ, οι οποίες προεκτεινόμενες τέμνουν τις ΡΒ και ΡΑ και στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Το τρίγωνο ΑΡΒ είναι ισόπλευρο. β) ˆ ΜΑΒ + ˆ ΜΒΑ = 60 ο. γ) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΡΕΒ είναι ίσα. Μονάδες 9 11

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (4_4741) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ. Στην προέκταση της ΑΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε έτσι ώστε ΑΕ=ΑΓ. Στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Δ έτσι ώστε ΑΔ=ΑΒ. Αν τα τμήματα ΔΕ και ΒΓ τέμνονται στο Κ και η προέκταση της ΑΚ τέμνει την ΕΓ στο Μ, να αποδείξετε ότι: α) ΒΓ=ΔΕ (Μονάδες 6) β) ΒΚ=ΚΔ (Μονάδες 7) γ) Η ΑΚ είναι διχοτόμος της γωνίας δ) Η ΑΜ είναι μεσοκάθετος της ΕΓ. (Μονάδες 6) (Μονάδες 6) ΑΣΚΗΣΗ (4_4806) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), και την ευθεία ε της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας Α. Η κάθετη στην πλευρά ΑΒ στο Β τέμνει την ε στο Κ και 12

Γεωμετρία Κεφάλαιο 3ο: Τρίγωνα την ευθεία ΑΓ στο Ζ. Η κάθετη στην πλευρά ΑΓ στο Γ τέμνει την ε στο Λ και την ευθεία ΑΒ στο Ε. α) i. AZ = AE ii. ΑΚ = ΑΛ Μονάδες 9 β) Ένας μαθητής κοιτώντας το σχήμα, διατύπωσε την άποψη ότι η ΑΘ είναι διχοτόμος της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ, όπου Θ το σημείο τομής των ΚΖ και ΕΛ. Συμφωνείτε με την παραπάνω σκέψη του μαθητή ή όχι; Δικαιολογήστε πλήρως την απάντησή σας. 13

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3825) Δίνεται τρίγωνο AB με AB A. Φέρουμε τη διχοτόμο του AK και σε τυχαίο σημείο της E φέρουμε ευθεία κάθετη στη διχοτόμο AK, η οποία τέμνει τις AB και A στα σημεία Z και αντίστοιχα και την προέκταση της B στο σημείο H. α) A Z 90 2 β) ZK K γ) B ˆ ZH 2 Μονάδες 7 Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3903) Δίνεται τετράπλευρο AB με AB A και B. Αν E είναι το σημείο τομής των προεκτάσεων των BA και και Z είναι το σημείο τομής των προεκτάσεων των A και B να αποδείξετε ότι: α) Η A είναι διχοτόμος της γωνίας B (Μονάδες 7 ) β) Z E (Μονάδες 9) γ) EZ B (Μονάδες 9) 14

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (4_4588) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και στην προέκταση της ΓΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΒΔ = ΒΓ, ενώ στην προέκταση της ΒΓ (προς το Γ) θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΓΕ = ΒΓ. Φέρουμε την κάθετη στην ΕΔ στο σημείο Ε, η οποία τέμνει την προέκταση της ΔΑ στο Ζ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΓΑΕ και ΒΔΑ. β) Να αποδείξετε ότι η ΓΖ είναι μεσοκάθετος του ΑΕ. γ) Να αποδείξετε ότι ΑΒ//ΓΖ. () (Μονάδες 12) (Μονάδες 5) 15

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (4_4622) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΓΕ. Στην προέκταση της ΓΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΒΔ = ΒΓ. Αν η ευθεία ΔΕ τέμνει την 2 ΑΓ στο Ζ και ΖΘ // ΒΓ α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΔΕ είναι ισοσκελές και το τρίγωνο ΑΘΖ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΘΕΖ. (Μονάδες 5) γ) Να αποδείξετε ότι ΑΕ = 2 ΘΖ. (Μονάδες 5) δ) Να αποδείξετε ότι 3ΑΒ = 4ΘΒ. (Μονάδες 5) ΑΣΚΗΣΗ (4_4794) 0 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90 ) με ΒΔ διχοτόμο και ΑΚ ύψος, που τέμνονται στο Ε. Η κάθετη από το Ε στην ΑΒ τέμνει τις ΑΒ και ΒΓ στα Η και Ζ αντίστοιχα. α) i. Τα τρίγωνα ΕΗΑ και ΕΚΖ είναι ίσα. Μονάδες 6 ii. Το τρίγωνο ΒΚΗ είναι ισοσκελές τρίγωνο. Μονάδες 6 iii. Η ΒΔ είναι κάθετη στην ΑΖ Μονάδες 7 β) Αν επιπλέον το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ισοσκελές, να αποδείξετε ότι η ΓΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Γ. Μονάδες 6 16

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (4_ 4799) Δίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Φέρνουμε τμήμα ΑΔ κάθετο στην ΑΒ και τμήμα ΑΕ κάθετο στην ΑΓ με ΑΔ=ΑΕ. Θεωρούμε τα μέσα Ζ, Η και Μ τα μέσα των ΔΒ, ΕΓ και ΒΓ αντίστοιχα. α) i. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ είναι ίσα. Μονάδες 7 ii. Το τρίγωνο ΖΑΗ είναι ισοσκελές. Μονάδες 6 iii. Η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ΖΗ. Μονάδες 7 β) Ένας μαθητής συγκρίνοντας τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ έγραψε τα εξής: «1. ΑΔ = ΑΕ από υπόθεση 2. ΑΒ = ΑΓ πλευρές ισοσκελούς τριγώνου 3. ως κατακορυφήν. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα έχοντας δύο πλευρές ίσες μια προς μια και την περιεχόμενη γωνία ίση». Ο καθηγητής είπε ότι αυτή η λύση περιέχει λάθος μπορείς να το εντοπίσεις; Μονάδες 5 17

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (4_5900) Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Φέρουμε ΓΔ ΒΓ με ΓΔ ΑΒ (Α, Δ εκατέρωθεν της ΒΓ). α) AM ΓΔ β) η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ MΑΓ. γ) Β ΔΑΓ 45 2 δ) ΑΔ 2ΑΒ (Μονάδες 6) (Μονάδες 7) (Μονάδες 7) (Μονάδες 5) 18

Γεωμετρία Κεφάλαιο 4ο: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (4_5904) [Κεφάλαιο 4 ο ή 5 ο (ανάλογα με την λύση)] Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι θέσεις στο χάρτη πέντε χωριών Α, Β, Γ, Δ και Ε και οι δρόμοι που τα συνδέουν. Το χωριό Ε ισαπέχει από τα χωριά Β, Γ και επίσης από τα χωριά Α και Δ. α) i. η απόσταση των χωριών Α και Β είναι ίση με την απόσταση των χωριών Γ και Δ. (Μονάδες 5) ii. αν οι δρόμοι ΑΒ και ΓΔ έχουν δυνατότητα να προεκταθούν, να αποδείξετε ότι αποκλείεται να συναντηθούν. (Μονάδες 5) iii. τα χωριά Β και Γ ισαπέχουν από τον δρόμο ΑΔ. () β) Να προσδιορίσετε γεωμετρικά το σημείο του δρόμου ΑΓ που ισαπέχει από τα χωριά Α και Δ. (Μονάδες 7) 19

ΑΣΚΗΣΗ (4_2789) Σε μια τάξη της Α Λυκείου στο μάθημα της Γεωμετρίας ο καθηγητής έδωσε στους μαθητές του το παρακάτω πρόβλημα : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και μια ευθεία (ε) που διέρχεται από την κορυφή Α και είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η εξωτερική γωνία Γ του τριγώνου είναι διπλάσια της εσωτερικής γωνίας Α. Ζητείται, χωρίς την βοήθεια γεωμετρικών οργάνων, να χαραχθεί η διάμεσος ΒΜ του τριγώνου και η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας Γ. Ο καθηγητής για να διευκολύνει του μαθητές του, έδωσε την εξής υπόδειξη : «Αν πάρω στην ευθεία (ε), στο ημιεπίπεδο (ΑΒ, Γ) ένα σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΒΓ τότε : α) η ΒΔ τέμνει την ΑΓ στο μέσο Μ, (Μονάδες 12) β) η ΓΔ είναι η ζητούμενη διχοτόμος». (Μονάδες 13) Μπορείτε να δικαιολογήσετε τους ισχυρισμούς αυτούς; ΑΣΚΗΣΗ (4_2792) Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και στο εσωτερικό του θεωρούμε τα σημεία Γ, Δ ώστε να ισχύει ΑΓ = ΓΔ = ΔΒ. Επίσης θεωρούμε σημείο Ο εκτός του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έτσι ώστε να ισχύουν ΟΓ = ΑΓ και ΟΔ = ΔΒ. α) Να αποδείξετε ότι : i) η γωνία ΓΟΔ είναι 0 60 ii) οι γωνίες ΟΑΓ, ΟΒΔ είναι ίσες και κάθε μια ίση με 0 30 (Μονάδες 9) (Μονάδες 9) β) Αν Μ το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, να αποδείξετε ότι 2ΟΜ = ΟΑ. (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (4_2794) Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) είναι ΓΔ = 2ΑΒ. Επίσης τα Ζ, Η, Ε είναι τα μέσα των ΑΔ, ΒΓ και ΔΓ αντίστοιχα. Ακόμη η ΖΗ τέμνει τις ΑΕ, ΒΕ στα σημεία Θ, Ι αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι, το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10) β) Να δείξετε ότι, τα σημεία Θ, Ι είναι τα μέσα των ΑΕ, ΒΕ αντίστοιχα. 20

γ) Να δείξετε ότι 3 ΖΗ ΑΒ. 2 (Μονάδες 5) (Μονάδες 10) ΑΣΚΗΣΗ (4_2797) Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α Γ 2Β(1) και έστω ΑΔ ύψος και ΒΕ διχοτόμος του τριγώνου που τέμνονται στο Ζ. α) Να αποδείξετε ότι : i) 0 Β 60 και ΑΖ ΒΖ. (Μονάδες 10) 3 ii) ΑΔ ΒΖ. 2 () β) Αν είναι γνωστό ότι το τρίγωνο ΑΖΕ είναι ισόπλευρο, να υπολογίσετε τις άλλες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (4_2799) Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά (Α, Β, Γ, Δ, Θ, Ε, Μ, Η, Κ, Λ, Ζ). Αν το σημείο Θ, είναι μέσο των τμημάτων ΑΔ και ΒΓ ενώ το σημείο Ε είναι μέσο των τμημάτων ΓΖ και ΔΗ, να αποδείξετε ότι : α) Το τετράπλευρο ΓΗΖΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 10) β) Τα σημεία Β, Δ, Ζ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 9) γ) Το τετράπλευρο ΑΓΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 6) ΑΣΚΗΣΗ (4_2802) 21

Δίνεται ευθεία (ε) και δύο σημεία Α, Β εκτός αυτής έτσι ώστε η ευθεία ΑΒ να μην είναι κάθετη στην (ε). Φέρουμε ΑΔ, ΒΓ κάθετες στην (ε) και Μ, Ν μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. α) Αν τα Α, Β είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την (ε) i) να εξετάσετε αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι, παραλληλόγραμμο, τραπέζιο ή ορθογώνιο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αιτιολογώντας την απάντηση σας: 1) ΑΔ < ΒΓ (Μονάδες 4) 2) ΑΔ = ΒΓ (Μονάδες 4) ii) να εκφράσετε το τμήμα ΜΝ σε σχέση με τα τμήματα ΑΔ, ΒΓ στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις. (Μονάδες 6) β)αν η ευθεία (ε) τέμνει το τμήμα ΑΒ στο μέσο του Μ να βρείτε το είδος του τετράπλευρου ΑΓΒΔ (παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, ορθογώνιο) και να δείξετε ότι τα Μ, Ν ταυτίζονται. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9 + 2) ΑΣΚΗΣΗ (4_2804) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που τέμνονται στο σημείο Η και το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι i) ΜΔ = ΜΕ (Μονάδες 10) ii) Η ευθεία ΑΗ τέμνει κάθετα τη ΒΓ και ότι ΑΗΔ Γ, όπου Γ η γωνία του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΗ. (Μονάδες 5) (Μονάδες 10) 22

ΑΣΚΗΣΗ (4_2808) Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τις ορθές προβολές Α, Β, Γ, Δ των κορυφών του Α, Β, Γ, Δ αντίστοιχα, σε μια ευθεία ε. α) Αν η ευθεία ε αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράμμου στο ίδιο ημιεπίπεδο και είναι ΑΑ = 3, ΒΒ = 2 και ΓΓ = 5, τότε: i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου του παραλληλογράμμου από την ε είναι ίση με 4. () ii) Να βρείτε την απόσταση ΔΔ. (Μονάδες 9) β) Αν η ευθεία διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και είναι παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ, ΔΔ ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. () ΑΣΚΗΣΗ (4_2809) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΚ και ΓΛ, τα οποία τέμνονται στο Ι. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΒΙ και ΓΙ αντίστοιχα, να αποδείξετε: α) Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5) β) Τα τρίγωνα ΒΙΛ και ΓΙΚ είναι ίσα. (Μονάδες 5) γ) Το ΑΙ προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΒΓ. 23

δ) Το τετράπλευρο ΜΛΚΝ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 5) (Μονάδες 10) ΑΣΚΗΣΗ (4_3691) Οι κύκλοι (Κ, ρ) και (Λ, 3ρ) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α. Μια ευθεία ε εφάπτεται εξωτερικά και στους δύο κύκλους στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα και τέμνει την προέκταση της διακέντρου ΚΛ στο σημείο Ε. Φέρουμε από το σημείο Κ παράλληλο τμήμα στην ε που τέμνει το τμήμα ΛΓ στο Δ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΔΚ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 9) β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ΔΚΛ είναι 30 ο. () γ) Να αποδείξετε ότι το τμήμα ΕΛ=6ρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου (Κ, ρ). () ΑΣΚΗΣΗ (4_3693) 0 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α 90 ) και η διχοτόμος του ΒΔ. Από το Δ φέρουμε ΔΕ ΒΓ και ονομάζουμε Ζ το σημείο στο οποίο η ευθεία ΕΔ τέμνει την προέκταση της ΒΑ. α) Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές. β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΕΖ είναι ίσα. (Μονάδες 6) 24

γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετη των τμημάτων ΑΕ και ΖΓ. δ) Το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 6) (Μονάδες 6) (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (4_3697) α)να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα πλευρών ισοσκελούς τριγώνου είναι ισοσκελές. β)να διατυπώσετε και να αποδείξετε ανάλογη πρόταση για i) Ισόπλευρο τρίγωνο. ii) Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3698) o Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Aˆ ˆ 90, ΔΓ = 2ΑΒ και B ˆ 3 ˆ. Από το Β φέρνουμε την κάθετη στη ΓΔ που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Κ και την ΓΔ στο Ε. Επίσης φέρνουμε την ΑΕ που τέμνει την ΒΔ στο σημείο Λ. α) ˆ 45 o β) B AE 1 γ) K 4 ΑΣΚΗΣΗ (4_3699) Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν τα σημεία Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο 25

β) AEˆ BZˆ γ) Οι ΔΕ και ΒΖ διχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3700) Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ˆ 30 και Ο το κέντρο του. Φέρουμε ΔΕ ΑΓ. α) Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ χωρίζεται από τη ΔΕ και τη διαγώνιο ΔΒ σε τρεις ίσες γωνίες. Μονάδες 13 β) Φέρουμε κάθετη στη ΑΓ στο σημείο Ο η οποία τέμνει την προέκταση της ΑΔ στο Ζ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΖΟ και ΑΒΓ είναι ίσα. Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (4_3701) Έστω ότι Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίστοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ επιπλέον ισχύει ΑΒ > ΑΔ, να εξετάσετε αν είναι αληθείς ή όχι οι ακόλουθοι ισχυρισμοί: Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. 26

Ισχυρισμός 2: AEˆ BZˆ Ισχυρισμός 3: Οι ΔΕ και ΒΖ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών ˆ και ˆB. α) Στη περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον αποδείξετε. Μονάδες 16 β)στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής. Να αιτιολογήστε την απάντησή σας. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3702) Έστω ότι Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίστοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ επιπλέον ισχύουν ΑΒ > ΑΔ και γωνία Α αμβλεία, να εξετάσετε αν είναι αληθείς οι ακόλουθοι ισχυρισμοί: Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. Ισχυρισμός 2: Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ είναι ίσα. Ισχυρισμός 3: Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ είναι ισοσκελή. α) Στη περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον αποδείξετε. Μονάδες 16 β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής. Να αιτιολογήστε την απάντησή σας. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3703) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε το ύψος του ΑΗ κατά τμήμα ΗΔ = ΑΗ και τη διάμεσό του ΑΜ κατά τμήμα ΜΕ = ΑΜ. 27

α) ΑΒ = ΒΔ = ΓΕ β) Bˆ B ˆ E γ) Το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3704) Έστω ε 1, ε 2 δύο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο Ο και τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου που δεν ανήκει στις ευθείες α) Αν Μ 1 είναι το συμμετρικό του Μ ως προς την ε 1 και Μ 2 το συμμετρικό του Μ 1 ως προς την ε 2, να αποδείξετε ότι: Ι. ΟΜ = ΟΜ 1 Μονάδες 6 ΙΙ. Τα σημεία Μ, Ο και Μ 2 είναι συνευθειακά. ΙΙΙ Το τρίγωνο ΜΜ 1 Μ 2 είναι ορθογώνιο. Μονάδες. 6 β) Αν το Μ 3 είναι το συμμετρικό σημείο του Μ 2 ως προς την ε 1, τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το ΜΜ 1 Μ 2 Μ 3 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 5 ΑΣΚΗΣΗ (4_3705) Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και έξω από αυτό, κατασκευάζουμε τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, ΓΔΗ, ΔΑΘ. 28

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόμβος. Μονάδες 15 β) Αν το αρχικό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο, τότε το ΕΖΗΘ τι είδους παραλληλόγραμμο είναι; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Μονάδες 15 ΑΣΚΗΣΗ (4_3706) Θεωρούμε ευθεία (ε) και δύο σημεία Α και Β εκτός αυτής, τα οποία βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την (ε) έτσι ώστε, η ευθεία ΑΒ να μην είναι κάθετη στην (ε). Έστω Α και Β τα συμμετρικά σημεία των Α και Β αντίστοιχα ως προς την ευθεία (ε). α) Αν η μεσοκάθετος του ΑΒ τέμνει την ευθεία (ε) στο σημείο Κ, να αποδείξετε ότι το Κ ανήκει και στην μεσοκάθετο του Α Β. Μονάδες 10 β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΒ Α είναι τραπέζιο. γ) Να βρείτε τη σχέση των ευθειών ΑΒ και της ευθείας (ε) ώστε το τετράπλευρο ΑΒΒ Α να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 7 29

ΑΣΚΗΣΗ (4_3709) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) με τη γωνία Γ ίση με 30 ο και έστω Κ, Λ τα μέσα των διαγώνιων του. Οι μη παράλληλες πλευρές του ΔΑ και ΓΒ προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα στο σημείο Ε. α) ΑΒ = 2ΑΕ Μονάδες 10 β) ΚΛ = ΑΔ Μονάδες 10 γ) Σε ποια περίπτωση το ΑΒΛΚ είναι παραλληλόγραμμο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 5 ΑΣΚΗΣΗ (4_3711) Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆ = 90 ο ) και το ύψος του ΑΗ. Έστω Δ και Ε τα συμμετρικά σημεία του Η ως προς τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Ι. ΑΗ = ΑΔ = ΑΕ Μονάδες 6 ΙΙ. Η γωνία ΕΗΔ είναι ορθή. Μονάδες 6 ΙΙΙ. Τα σημεία Ε, Α και Δ είναι συνευθειακά. Μονάδες 6 β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΗΔ είναι ίσα; Αν ναι, να το αποδείξετε. Αν όχι, κάτω από ποιες αρχικές προϋποθέσεις θα μπορούσε να είναι ίσα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 7 30

ΑΣΚΗΣΗ (4_3713) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ 2, ˆ και η διχοτόμος ΒΔ της γωνίας ˆ. Από το μέσο Μ της ΑΓ φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο ΒΔ που τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Ν. α) Το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές Μονάδες 5 β) Το τρίγωνο ΜΝΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 10 γ) ΑΝ ΒΓ Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (4_3715) Δίνονται οι ακόλουθες προτάσεις Π 1 και Π 2 : Π 1 : Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, τότε οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες. Π 2 : Αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προτάσεις Π 1 και Π 2 αιτιολογώντας πλήρως την απάντησή σας. Μονάδες 20 β) Στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως μια ενιαία πρόταση. Μονάδες 5 31

ΑΣΚΗΣΗ (4_3717) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Κ, Λ τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ στο εσωτερικό του τριγώνου και Δ, Ε τα συμμετρικά του Μ ως προς τα Κ και Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΔΕ // ΒΓ. Μονάδες 15 β) Στη περίπτωση που το σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, και Δ, Ε τα συμμετρικά του Μ ως προς τα Κ και Λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Α και Ε είναι συνευθειακά. Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (4_3718) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του παρακάτω σχήματος είναι ρόμβος. Θεωρούμε ΑΖ ΓΔ και ΑΕ ΓΒ. α) Το τρίγωνο ΖΑΕ είναι ισοσκελές. Μονάδες 6 β) Η ευθεία ΑΓ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΖΕ Μονάδες 9 γ) Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ και ΑΒ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΜΝΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 10 32

ΑΣΚΗΣΗ (4_3720) Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με ˆ 120. Έστω ότι ΑΕ και ΑΖ είναι οι αποστάσεις του σημείου Α στις πλευρές ΓΔ και ΓΒ αντίστοιχα. α) i. Τα σημεία Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΓΔ και ΓΒ αντίστοιχα. ii. ΑΓ ΕΖ. β) Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ και ΑΒ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΜΝΖ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3722) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΒΑ = ΒΓ και ˆ ˆ α) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 β) Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα. Μονάδες 6 γ) Το τετράπλευρο που έχει για κορυφές τα μέσα των πλευρών του ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 10 33

ΑΣΚΗΣΗ (4_3723) Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔΕΖ ισχύουν τα εξής: ˆ ˆ, ˆ ˆ και ˆ. ˆ α) Να υπολογίσετε το άθροισμα ˆ ˆ ˆ β) Αν οι πλευρές ΑΖ και ΔΕ προεκτεινόμενες τέμνονται στο Η και οι πλευρές ΑΒ και ΓΔ προεκτεινόμενες τέμνονται στο Θ, να αποδείξετε ότι: i. Οι γωνίες Α και Η είναι παραπληρωματικές Μονάδες 10 ii. Το τετράπλευρο ΑΘΔΗ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_3724) Δίνεται κύκλος (Ο, R) με διάμετρο ΑΒ και δύο ευθείες ε 1. ε 2 εφαπτόμενες του κύκλου στα άκρα της διαμέτρου ΑΒ. Έστω ότι, μια τρίτη ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου σ ένα σημείο του Ε και τέμνει τις ε 1 και ε 2 στα Δ και Γ αντίστοιχα. α) Αν το σημείο Ε δεν είναι το μέσο του τόξου ΑΒ, να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. ii. ΓΔ = ΑΔ + ΒΓ β) Αν το σημείο Ε βρίσκεται στο μέσο του τόξου ΑΒ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΔΓΒ είναι ορθογώνιο. Στην περίπτωση αυτή να εκφράσετε την περίμετρο του ορθογωνίου ΑΔΓΒ ως συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3725) 34

Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ ονομάζουμε Ο το κέντρο του και θεωρούμε τυχαίο σημείο Ε του τμήματος ΟΔ. Φέρνουμε την κάθετη από το Β στην ΑΕ, που τέμνει το τμήμα ΑΟ στο Ζ. α) Οι γωνίες ω και φ του παρακάτω σχήματος είναι ίσες. Μονάδες 6 β) ΒΖ = ΑΕ και ΓΖ = ΒΕ Μονάδες 12 γ) Το τμήμα ΕΖ είναι κάθετο στο ΑΒ Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_3727) Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα ΒΝ = ΑΒ και την πλευρά ΒΓ κατά τμήμα ΓΜ = ΑΝ. α) i. ΔΝ = ΔΜ Μονάδες 7 ii. ΔΝ ΔΜ Μονάδες 10 β) Αν Ε το συμμετρικό σημείο του Δ ως προς την ευθεία ΜΝ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΜΕΝ είναι τετράγωνο. ΑΣΚΗΣΗ (4_3732) 35

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. Στο ΑΔ θεωρούμε σημείο Η τέτοιο ώστε ΗΑ = ΗΒ. Έστω ότι Ε είναι το σημείο τομής της ΒΗ με την ΑΓ. Φέρνουμε την ΑΖ κάθετη στην ΒΕ, η οποία τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Θ. α) i. Τα τρίγωνα ΗΔΒ και ΗΖΑ είναι ίσα. Μονάδες 6 ii. ΔΘ = ΘΖ Μονάδες 6 iii. Η ευθεία ΘΗ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ. Μονάδες 6 β) Ποιο από τα σημεία του σχήματος είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΗΒ; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_3734) Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) είναι ΑΒ = ΑΔ. α) Να αποδείξετε ότι η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Δ. Μονάδες 7 β) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου Ε, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΕΔ να είναι ρόμβος. Μονάδες 10 γ) Αν επιπλέον είναι γωνία ΒΑΔ = 120 ο και οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται στο σημείο Ο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΕΟΒΓ. ΑΣΚΗΣΗ (4_3735) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ. Έστω Αx η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας Α. α) Aˆ ˆ ˆ o B i. ˆB 180, όπου 2 2 Â και ˆB παριστάνουν τις εξωτερικές γωνίες των A, ˆ B ˆ αντίστοιχα. Μονάδες 10 ii. Η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας Â τέμνει την προέκταση της πλευράς ΓΒ (προς το μέρος του Β) σε σημείο Ζ. 36

β) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α και ΒΓ = 2ΑΒ ˆ o AZB 15, να αποδείξετε ότι Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_3737) o Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓΔ, τέτοιο ώστε Aˆ ˆ 1 1 90, AB και AB A. 4 3 Επιπλέον, φέρουμε ΒΕ ΔΓ α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΕΔ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Μονάδες 10 γ) Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΒΕ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η ΑΓ διέρχεται από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΒΚ. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3739) Δίνεται κύκλος (Ο, R) με διάμετρο ΑΒ και ευθείες ε 1, ε 2 εφαπτόμενες του κύκλου στα άκρα της διαμέτρου ΑΒ. Θεωρούμε ευθεία ε εφαπτομένη του κύκλου σε σημείο του Ε, η οποία τέμνει τις ε 1 και ε 2 στα Δ και Γ αντίστοιχα. α) i. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. Μονάδες 6 ii. ΓΔ= ΑΔ + ΒΓ. Μονάδες 7 iii. Το τρίγωνο ΓΟΔ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 7 β) Αν η γωνία ΑΔΕ είναι 60 ο και η ΟΔ τέμνει τον κύκλο (Ο, R) στο σημείο Κ, να αποδείξετε ότι το Κ είναι μέσο του ΔΟ. Μονάδες 5 37

ΑΣΚΗΣΗ (4_3741) Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με γωνία αμβλεία, ισχύει ότι ΑΒ = 2ΑΔ. Τα σημεία Ε και Ζ, είναι μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. Από το Δ φέρουμε τη ΔΗ κάθετη στην προέκταση της ΒΓ. α) Το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι ρόμβος. β) Το τρίγωνο ΕΖΗ είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 γ) Το τμήμα ΗΕ, είναι διχοτόμος της γωνίας ΖΗΓ. ΑΣΚΗΣΗ (4_3745) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΑΜ το ύψος του στην πλευρά ΒΓ. Στην προέκταση του ΑΜ θεωρούμε τμήμα ΜΝ=ΑΜ. Στην προέκταση του ΒΓ προς το μέρος του Γ θεωρούμε τμήμα ΓΔ =ΒΓ. α) Το τετράπλευρο ΑΒΝΓ ρόμβος. 38

β) Το τρίγωνο ΑΔΝ είναι ισοσκελές. γ) Το σημείο Γ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΔΝ. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3747) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α ίση με 120 και γωνία Β είναι ίση με 45 ο. Στην προέκταση της ΒΑ προς το Α, παίρνουμε τμήμα ΑΔ = 2ΑΒ. Από το Δ φέρνουμε την κάθετη στην ΑΓ που την τέμνει στο σημείο Κ. α) Η γωνία ΑΔΚ είναι ίση με 30 ο. β) Το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισοσκελές. γ) Αν Ζ το μέσο της ΔΑ, τότε 0 90 δ) Το σημείο Κ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΒΔ. Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_3751) Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Έστω ότι Δ είναι το 39

μέσο της ΑΜ τέτοιο ώστε και γωνία 0 120. 2 α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΔΜ. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ορθογώνιο. γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΔΜΓ είναι ίσα. δ) Αν το σημείο Κ είναι η προβολή του Δ στην ΒΓ, να αποδείξετε ότι 2ΜΚ=ΑΔ. Μονάδες 5 Μονάδες 6 Μονάδες 6 ΑΣΚΗΣΗ (4_3754) Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Από την κορυφή Α φέρουμε ΑΕ ΒΔ. Έστω Κ, Λ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΔ αντιστοίχως, τότε: α) i. 0 90 ii. 2 β) Αν 0 30, να αποδείξετε ότι ΚΛ=ΒΓ. Μονάδες 9 40

ΑΣΚΗΣΗ (4_3757) Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και ΑΒ > ΒΓ, ΑΓ=2ΒΓ. Στην προέκταση της πλευράς ΔΑ (προς το Α) παίρνουμε σημείο Ε ώστε ΔΑ=ΑΕ. α) ί. Το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι παραλληλόγραμμο. ίί. Το τρίγωνο ΕΒΔ είναι ισόπλευρο. Μονάδες 9 β) Αν η ΕΟ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Ζ, να αποδείξετε ότι ΔΖ ΕΒ. ΑΣΚΗΣΗ (4_3759) Δίνεται κύκλος (Ο,Κ) με διάμετρο ΒΓ. Θεωρούμε σημείο Α του κύκλου και σχεδιάζουμε το τρίγωνο ΑΒΓ. Η προέκταση της ΑΟ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ζ. Φέρουμε το ύψος του ΑΔ, η προέκταση του οποίου τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε. α) ί. ΖΓ=ΑΒ=ΒΕ. 41

ίί. Το τετράπλευρο ΒΕΖΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 7 β) Αν Γ = 30 ο, να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τραπεζίου ΒΕΖΓ είναι ίση με 5R, όπου R η ακτίνα του κύκλου. Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (4_3762) Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Έστω Ε το συμμετρικό σημείο του Β ως προς το Δ και Ζ είναι το μέσο της ΑΔ. Η προέκταση της ΓΔ τέμνει την ΑΕ στο Η. Να αποδείξετε ότι: ΑΒ α) ΔΗ = 2 β) Τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΖΔΓ είναι ίσα. γ) Η ΓΖ είναι κάθετη στην ΑΕ. Μονάδες 9 Ι 42

ΑΣΚΗΣΗ (4_3765) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ ( ΑΒ // ΓΔ ) με Α ˆ Δ ˆ = 90 ο, ΔΓ = 2ΑΒ και Β = 3Γ. Φέρνουμε ΒΕ ΔΓ που τέμνει τη διαγώνιο ΑΓ στο Μ. Φέρνουμε την ΑΕ που τέμνει τη διαγώνιο ΒΔ στο Ν. α) Α ˆ 45 0. Μονάδες 6 β) Το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 6 1 γ) ΜΝ ΓΔ. 4 Μονάδες 7 δ) ΑΕ ΒΔ. Μονάδες 6 ΑΣΚΗΣΗ (4_3775) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Ο το κέντρο του. Από την κορυφή Δ φέρουμε το τμήμα ΔΚ κάθετο στην ΑΓ και στην προέκτασή του προς το Κ θεωρούμε σημείο Ε, ώστε ΚΕ= ΔΚ. α) ΕΟ ΒΔ. 2 β) Η γωνία ΔΕΒ είναι ορθή. γ) Το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 9 43

ΑΣΚΗΣΗ (4_3777) Δύο κύκλοι (Ο, ρ 1 ), (Κ,ρ 2 ) εφάπτονται εξωτερικά στο Ν. Μια ευθεία (ε) εφάπτεται στους δύο κύκλους στα σημεία Α, Β αντίστοιχα. Η κοινή εφαπτομένη των κύκλων στο Ν τέμνει την (ε) στο Μ. α) Το Μ είναι μέσον του ΑΒ. Μονάδες 7 β) ΟΜΚ ˆ = 90 0. Μονάδες 9 γ) ΑΝΒ ˆ = 90 0. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3781) Έστω κύκλος (Ο, ρ) και Ε το μέσον του τόξου του ΒΓ. Μια ευθεία (ε) εφάπτεται στο κύκλο στο Ε. Οι προεκτάσεις των ΟΒ, ΟΓ τέμνουν την ευθεία (ε) στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α) ΒΓ//ΖΗ Μονάδες 5 β) ΟΖ=ΟΗ Μονάδες 5 γ) Αν Β μέσον της ΟΖ 44

i. να αποδείξετε ότι ΒΕΖ ˆ ΖΟΗ, 4 ii. να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΖΟΗ. Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_3784) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΔ=ΒΓ. Αν Ε,Λ,Ζ,Κ,Ν,Μ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΔΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΕΜΖΝ ρόμβος. β) Η ΕΖ είναι μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΜΝ. Μονάδες 7 γ) ΚΕ=ΖΛ Μονάδες 5 δ) Τα ευθύγραμμα τμήματα ΚΛ, ΜΝ, ΕΖ διέρχονται από ίδιο σημείο. Μονάδες 5 ΑΣΚΗΣΗ (4_3789) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Θεωρούμε το μέσο Μ της πλευράς ΑΔ και ΓΕ κάθετος από τη κορυφή Γ στην ευθεία ΜΒ (ΓΕ ΜΒ). Η παράλληλη από την κορυφή Δ στην ευθεία ΜΒ (Δx // ΜΒ) τέμνει τις ΒΓ και ΓΕ στα σημεία Ν, Ζ αντίστοιχα. α) Το τετράπλευρο ΜΒΝΔ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 7 β) Το σημείο Ζ είναι μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΓΕ. 45

γ) ΔΕ = ΔΓ Μονάδες 9 Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3796) Δίνονται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ΒΕ,ΓΖ, τα ύψη από τις κορυφές Β, Γ αντίστοιχα και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου. Επίσης δίνονται τα Μ, Ν, Κ, Λ μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ, ΑΓ, ΓΗ, ΒΗ αντίστοιχα. α) i. ΜΝ=ΛΚ Μονάδες 6 ii. ΝΚ ΜΛ ΑΗ. 2 iii. Το τετράπλευρο ΜΝΚΛ είναι ορθογώνιο. β) Αν το Ο είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι το ΜΟΚ ˆ 90 0. Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_3798) Δίνεται ορθή γωνία ˆ xοy =90 0 και Α,Β σημεία των ημιευθειών Οy, Οx, με ΟΑ=ΟΒ. Η (ε) είναι ευθεία που διέρχεται από την κορυφή Ο και αφήνει τις ημιευθείεςοx, Οy στο ίδιο ημιεπίπεδο. Η κάθετος από το σημείο Α στην (ε) την τέμνει στο Δ και η κάθετος από το σημείο Β στην (ε) την τέμνει στο Ε. 46

α) Τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΕΒ είναι ίσα. Μονάδες 7 β) ΑΔ+ΒΕ=ΔΕ Μονάδες 7 ΔΕ γ) ΜΝ όπου ΜΝ είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των ΔΕ 2 και AB. Μονάδες 7 δ) Το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ορθογώνιο ισοσκελές. Μονάδες 4 ΑΣΚΗΣΗ (4_3803) Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε τη διαγώνιο ΒΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΔΒ. Έστω Μ το μέσο της ΑΔ και Ν το σημείο τομής των ΑΕ και ΓΔ. α) Να αποδείξετε ότι ΔΝ=ΔΜ. β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΝΜΔ. Μονάδες 7 γ) ί. ΜΝ ΑΓ Μονάδες 5 ίί. ΓΜ ΑΝ Μονάδες 5 47

ΑΣΚΗΣΗ (4_3806) Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στη διαγώνιο ΑΓ θεωρούμε σημεία Ι, Ο, Η ώστε ΑΙ = ΙΟ = ΟΗ = ΗΓ. Αν Ε, Θ και Ζ τα μέσα των πλευρών ΔΓ, ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΟΖΓΕ είναι τετράγωνο. Μονάδες 7 β) ΖΗ ΑΓ 4 γ) Το τετράπλευρο ΙΘΖΗ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, με ΘΖ = 2ΘΙ. Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (4_3808) Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ο ), τα μέσα Δ, Ε, Ζ των πλευρών του και το ύψος του ΑΚ. Έστω Θ είναι το σημείο τομής των ΑΖ και ΔΕ. α) i. Το τετράπλευρο ΑΔΖΕ είναι ορθογώνιο. ii. 4 Μονάδες 7 β) Αν επιπλέον είναι γωνία 0 30 i. Nα βρείτε τη γωνία ii. Να αποδείξετε ότι 4 Μονάδες 5 Μονάδες 5 48

ΑΣΚΗΣΗ (4_3810) Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) ισχύει ΑΒ + ΓΔ = ΑΔ. Αν η διχοτόμος της γωνίας 0 30 τέμνει την ΒΓ στο Ε και την προέκταση της ΔΓ στο Ζ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΔΑΖ είναι ισοσκελές. β) Το Ε είναι το μέσο της ΒΓ. Μονάδες 7 Μονάδες 10 γ) Η ΔΕ είναι διχοτόμος της γωνίας του τραπεζίου. ΑΣΚΗΣΗ (4_3811) Δίνεται τραπέζιο ΑΔΕΒ, με ΑΔ//ΒΕ, στο οποίο ισχύει ότι ΑΒ=ΑΔ+ΒΕ, και Ο το μέσον της ΔΕ. Θεωρούμε σημείο Ζ στην ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΖ=ΑΔ και ΒΖ=ΒΕ.Αν γωνία, α) να εκφράσετε τη γωνία σε συνάρτηση με τη φ. β) Να εκφράσετε τη γωνία σε συνάρτηση με τη φ. 49

γ) Να αποδείξετε ότι οι OΑ και ΟΒ είναι μεσοκάθετοι των τμημάτων ΔΖ και ΖΕ αντίστοιχα. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3812) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με ΑΒ > ΑΔ. Θεωρούμε σημεία Κ, Λ, των ΑΔ και ΑΒ αντίστοιχα ώστε ΑΚ = ΑΛ. Έστω Μ το μέσο του ΚΛ και η προέκταση του ΑΜ (προς το Μ) τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Ε. α) ΑΔ =ΔΕ. β) ΒΓ + ΓΕ = ΑΒ. Μονάδες 10 γ) 2 Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_3813) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2 ΒΓ. Από την κορυφή Α φέρουμε την ΑΕ κάθετη στην ευθεία ΒΓ και Μ, Ν τα μέσα των ΑΒ, ΔΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΒΓΝ είναι ρόμβος. 50

β) Το τετράπλευρο ΜΕΓΝ είναι ισοσκελές τραπέζιο. γ) Η ΕΝ είναι διχοτόμος της γωνίας. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3815) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2ΒΓ, τη γωνία αμβλείαα και Μ το μέσο της ΓΔ. Φέρουμε κάθετη στην ΑΔ στο σημείο Α, η οποία τέμνει την ΒΓ στο Η. Αν η προέκταση της ΗΜ τέμνει την προέκταση της ΑΔ στο Ε, να αποδείξετε ότι: α) Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας β) Τα τμήματα ΕΗ, ΔΓ διχοτομούνται. γ).. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3820) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB με την γωνία A ορθή και τυχαίο σημείο της πλευράς AB. Έστω K,M, N τα μέσα των,b, B αντίστοιχα. lisarii team «Θέμα Δ» 51

(α) Το τετράπλευρο KMN είναι παραλληλόγραμμο (β) Το τετράπλευρο AKMN είναι ισοσκελές τραπέζιο (γ) Η διάμεσος του τραπεζίου AKMN είναι ίση με AB 2 Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3822) 0 Δίνεται παραλληλόγραμμο AB με τη γωνία του B να είναι ίση με 70 και το ύψος του AE. Έστω Z σημείο της B ώστε BE EZ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AZ είναι ισοσκελές τραπέζιο. β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου AZ Μονάδες 9 A γ) Αν M το μέσο του B να αποδείξετε ότι EM 2 52

ΑΣΚΗΣΗ (4_3824) o Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB με Â 90 και ˆ 30 o. Φέρνουμε το ύψος του A και την διάμεσό του AM. Από το φέρνουμε κάθετη στην ευθεία AM, η οποία την τέμνει στο E. Nα αποδείξετε ότι: (α) Το τρίγωνο AMB είναι ισόπλευρο. B (β) ME M 4 Μονάδες 9 (γ) Το A E είναι ισοσκελές τραπέζιο. lisarii team «Θέμα Δ» 53

ΑΣΚΗΣΗ (4_3904) α) Σε ορθογώνιο AB θεωρούμε K,,M, N τα μέσα των πλευρών του AB, B,, A αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο K MN είναι ρόμβος. β) Σε ένα τετράπλευρο AB τα μέσα K,,M, N Μονάδες 15 των πλευρών του AB, B,, A αντίστοιχα είναι κορυφές ρόμβου. Το τετράπλευρο AB, πρέπει να είναι απαραίτητα ορθογώνιο; Να τεκμηριώσετε τη θετική ή αρνητική σας απάντηση. Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3906) Εκτός τριγώνου AB κατασκευάζουμε τετράγωνα AB E,A ZH. Αν M το μέσο του B και σημείο στην προέκταση της AM τέτοιο, ώστε AM M να αποδείξετε ότι: α) AE β) Οι γωνίες A,EAH είναι ίσες. γ) Η προέκταση της MA (προς το A ) τέμνει κάθετα την EH. (Μονάδες 10) (Μονάδες 10) (Μονάδες 5) ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3908) Δυο ίσοι κύκλοι O, και K, εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο E. Αν OA και OB είναι τα εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο O στον κύκλο K, να αποδείξετε ότι: 54

α) AE BE β) A AOK 30 γ) Το τετράπλευρο AKBE είναι ρόμβος. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_3911) α) Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ θεωρούμε Κ,, Λ, Μ, Ν τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα. Να αποδείξετεε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ρόμβος. (Μονάδες 13) β) Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ τα μέσα Κ, Λ, Μ, Ν των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα είναι κορυφές ρόμβου. Για να σχηματίζετα αι ρόμβος το ΑΒΓΔ πρέπει να είναι ισοσκελές τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε πλήρως τη θετική ή αρνητική απάντησή σας. (Μονάδες 12) ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3915) lisarii team «Θέμα Δ» 55

(α) Σε ρόμβο AB θεωρούμε K,,M, N τα μέσα των πλευρών του AB, B,, A αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο K MN είναι ορθογώνιο. Μονάδες 13 (β) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός ορθογωνίου είναι κορυφές ρόμβου. Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3926) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB με AB A, τυχαίο σημείο M της βάσης του B και το ύψος του BH. Από το M φέρουμε κάθετες M,ME και M στις AB,A και BH αντίστοιχα. α) Το τετράπλευρο MEH είναι ορθογώνιο. β) B M γ) Το άθροισμα M ME BH Μονάδες 9 Μονάδες 9 Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3932) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ > ΑΒ και Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών του ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα. Αν η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει την ΖΕ στο σημείο Μ και την προέκταση της ΔΕ στο σημείο Ν, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΖΕΔΒ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 7) β) Τα τρίγωνα ΒΖΜ και ΜΕΝ είναι ισοσκελή. (Μονάδες 10) γ) ΒΖ + ΝΕ =ΔΓ. () 56

ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3938) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΜ διάμεσός του και Κ το μέσο του ΑΜ. Αν η προέκταση της ΒΚ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ν, και Λ είναι το μέσο του ΓΝ, να αποδείξετε ότι: α) Το σημείο Ν είναι μέσο του ΑΛ. (Μονάδες 9) β) (Μονάδες 9) γ) ΒΚ = 3ΚΝ (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3945) Δίνεται τρίγωνο AB με B 2A. Έστω AM διάμεσος του AB και K, τα μέσα των M και AB αντίστοιχα. α) MA AM 57

β) M MK γ) Η AM είναι διχοτόμος της γωνίας AK Μονάδες 7 Μονάδες 9 Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3948) Δίνεται τετράπλευρο AB με AB και M,N,K τα μέσα των A,B,B αντίστοιχα. Αν οι προεκτάσεις των ΑΒ και ΔΓ τέμνουν την προέκταση της MN στα σημεία E και Z αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: α) MK KN Μονάδες 13 β) MEA MZ Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3954) 58

Δίνεται παραλληλόγραμμο AB και στην προέκταση της A θεωρούμε σημείο E τέτοιο ώστε E ενώ στην προέκταση της ΑΒ θεωρούμε σημείο Z τέτοιο ώστε BZ B. α) i. B Z E. Μονάδες 10 ii. τα σημεία Z,, E είναι συνευθειακά. Μονάδες 10 β) Ένας μαθητής για να αποδείξει ότι τα σημεία Z,, E είναι συνευθειακά ανέπτυξε τον παρακάτω συλλογισμό. «Έχουμε: B Z E (ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων E και B που τέμνονται από τη ZE και B E (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων E και B που τέμνονται από την ). Όμως E E E 180 (ως άθροισμα των γωνιών του τριγώνου E ). Άρα σύμφωνα με τα προηγούμενα: E B B Z 180. Οπότε τα σημεία Z,, E είναι συνευθειακά.» Όμως ο καθηγητής υπέδειξε ένα λάθος στο συλλογισμό αυτό. Να βρείτε το λάθος στο συγκεκριμένο συλλογισμό. Μονάδες 5 ΑΣΚΗΣΗ (4_ 3994) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB με AB A και,e τα μέσα των πλευρών του AB και A αντίστοιχα. Στην προέκταση της E (προς το E ) θεωρούμε σημείο ώστε E AE και στην προέκταση της E (προς το ) θεωρούμε σημείο K τέτοιο ώστε K A. α) K E Μονάδες 6 β) Τα τρίγωνα AKB και A είναι ορθογώνια. Μονάδες 9 γ) Τα τρίγωνα AKB και A είναι ίσα. 59

Μονάδες 10 ΑΣΚΗΣΗ (4_4555) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και από το μέσο Μ του ΒΓ φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΜΔ ίσο και παράλληλο με το ΒΑ και ευθύγραμμο τμήμα ΜΕ ίσο και παράλληλο με το ΓΑ (τα σημεία Δ και Ε είναι στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τη ΒΓ και το σημείο Α). α) Τα σημεία Δ, Α, Ε είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10) β) Η περίμετρος του τριγώνου ΜΔΕ είναι ίση με την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 9) γ) Όταν ένας καθηγητής έθεσε το ερώτημα αν τα σημεία Δ, Α, Ε είναι συνευθειακά στους μαθητές του, ένας από αυτούς έκανε το παρακάτω σχήμα και απάντησε ως εξής: 1 1 (εντός εναλλάξ των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΑΖ) 2 (εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΔΕ) Όμως 0 1 3 180 (άθροισμα γωνιών του τριγώνου ΑΔΖ). Άρα σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε: 0 1 2 3 180. Οπότε Δ, Ε, Α συνευθειακά. Όμως ο καθηγητής είπε ότι υπάρχει λάθος στο συλλογισμό. Μπορείτε να εντοπίσετε το λάθος του μαθητή; (Μονάδες 6) ΑΣΚΗΣΗ (4_ 4559) Δίνονται δυο παράλληλες ευθείες και, και μια τρίτη που τις τέμνει στα σημεία A και B αντίστοιχα. Θεωρούμε τις διχοτόμους των εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών που σχηματίζονται, οι οποίες τέμνονται σε σημείο. Αν M είναι το μέσον του AB, να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία B A είναι ορθή Μονάδες 9 β) BM 2M A 60

γ) M / / ΑΣΚΗΣΗ (4_ 4562) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB με τη γωνία A ορθή και M τυχαίο σημείο της πλευράς B. Φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών BMA και AM οι οποίες τέμνουν τις AB και A στα σημεία και E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι, η γωνία ME είναι ορθή. Μονάδες 12 β) Αν K το μέσο του E, να αποδείξετε ότι MK KA. Μονάδες 13 ΑΣΚΗΣΗ (4_ 4565) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB με τη γωνία A ορθή και AM η διάμεσός του. Από το M φέρουμε MK κάθετη στην AB και M κάθετη στην A. Αν N,P είναι τα μέσα των BM και M αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) NKM NMK Μονάδες 7 β) Η MK είναι διχοτόμος της γωνίας NMA Μονάδες 9 γ) AM KN P Μονάδες 9 61

ΑΣΚΗΣΗ (4_ 4567) Δίνεται τετράγωνο AB και εντός αυτού ισόπλευρο τρίγωνο MB. Αν η προέκταση της AM τέμνει τη B στο σημείο E, να αποδείξετε ότι: α) 0 AE 15 β) Τα τρίγωνα AE και E είναι ίσα. γ) Η E είναι διχοτόμος της γωνίας M () () (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (4_ 4569) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ = ΑΔ + ΒΓ. Αν η διχοτόμος της γωνίας ˆΔ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΔΜ είναι ισοσκελές. β) Το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ισοσκελές. () (Μονάδες 9) 62

γ) Η ΓΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆΓ του τραπεζίου. () ΑΣΚΗΣΗ (4_ 4571) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB με AB A και σημείο στην προέκταση της B. Από το φέρουμε κάθετη στην AB και E κάθετη στην προέκταση της A. Από το σημείο φέρουμε H κάθετη στην AB και Z κάθετη στην K. α) H γωνία Z είναι ίση με τη γωνία B. (Μονάδες 4) β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας Z E γ) Το τρίγωνο ZE είναι ισοσκελές. δ) K E H (Μονάδες 4) (Μονάδες 9) () 63

ΑΣΚΗΣΗ (4_4579) Δίνεται τρίγωνο AB με A και AE αντίστοιχα η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A (,E σημεία της ευθείας B ). Φέρουμε BZ κάθετη στην A και BH κάθετη στην AE και θεωρούμε M το μέσο του. α) Το τετράπλευρο AZBH είναι ορθογώνιο. Μονάδες 5 β) Η γωνία HZA είναι ίση με τη γωνία ZA. Μονάδες 6 γ) Η ευθεία HZ διέρχεται από το M. Μονάδες 6 AB A δ) MH 2 64

ΑΣΚΗΣΗ (4_4583) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, η διχοτόμος του ΑΔ και ευθεία (ε) παράλληλη από το Β προς την ΑΓ. Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρουμε ευθεία παράλληλη στην ΑΔ η οποία τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ζ, την ευθεία (ε) στο σημείο Λ και την προέκταση της ΒΑ στο σημείο Ε. α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΒΛΕ είναι ισοσκελή. () β) ΒΛ =ΓΖ. (Μονάδες 9) γ) ΑΕ=ΑΓ-ΒΛ. () ΑΣΚΗΣΗ (4_4593) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διάμεσοι του ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Προεκτείνουμε το τμήμα ΖΕ (προς το Ε) κατά τμήμα ΕΗ = ΖΕ. α) Το τετράπλευρο ΕΗΔΒ είναι παραλληλόγραμμο. () β) Η περίμετρος του τριγώνου ΑΔΗ είναι ίση με το άθροισμα των διαμέσων του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 9) γ) Οι ευθείες ΒΕ και ΔΗ τριχοτομούν το τμήμα ΖΓ. () 65

ΑΣΚΗΣΗ (4_4599) 0 Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ ( 90 ) με ΒΓ = ΓΔ = 2ΑΒ και Κ, Λ τα μέσα των ΒΓ και ΓΔ. Η παράλληλη από το Κ προς την ΑΒ τέμνει την ΑΛ στο Ζ. α) ΒΓ = 2 ΔΖ. β) Το τετράπλευρο ΖΚΓΛ είναι ρόμβος. γ) 0 90 () (Μονάδες 9) () ΑΣΚΗΣΗ (4_4603) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), και τυχαίο σημείο Μ της πλευράς ΒΓ. Από το σημείο Μ φέρουμε ευθεία κάθετη στην πλευρά ΒΓ που τέμνει τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Θ αντίστοιχα. Αν ΑΔ και ΑΗ τα ύψη των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΘΕ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: 66

α) 0 90 β) Το τρίγωνο ΑΘΕ είναι ισοσκελές. γ) ΜΘ+ΜΕ = 2ΑΔ. () () (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (4_4606) Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και δυο μη αντιδιαμετρικά σημεία του Α και Β. Φέρουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία Α και Β οι οποίες τέμνονται στη σημείο Γ. Φέρουμε επίσης και τα ύψη ΑΔ και ΒΕ του τρίγωνου ΑΒΓ τα οποία τέμνονται στο σημείο Η. α) Το τρίγωνο ΒΗΑ είναι ισοσκελές. () β) Το τετράπλευρο ΟΒΗΑ είναι ρόμβος. (Μονάδες 9) γ) Τα σημεία Ο, Η, Γ είναι συνευθειακά. () ΑΣΚΗΣΗ (4_4611) 67

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και στην προέκταση της ΓΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΒΔ =ΑΒ ενώ στην προέκταση της ΒΓ (προς το Γ) θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΓΕ = ΓΑ. Αν οι εξωτερικοί διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνουν τις ΑΔ και ΑΕ στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα, και η ΚΛ τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Τα σημεία Κ και Λ είναι μέσα των ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα. () β) Τα τρίγωνα ΚΜΑ και ΑΝΛ είναι ισοσκελή. (Μονάδες 9) AB AΓ BΓ γ) ΚΛ = () 2 ΑΣΚΗΣΗ (4_4614) Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΔΓ. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΖ της γωνίας και τη ΔΗ κάθετη από το Δ προς την ΑΖ, η οποία τέμνει την ΑΕ στο Μ και την ΑΒ στο Ν. α) Τα τρίγωνα ΑΔΝ και ΑΒΖ είναι ίσα. () β) ΑΜ=ΑΝ και ΔΕ=ΕΜ. (Μονάδες 10) γ) ΑΕ=ΔΕ+ΒΖ (Μονάδες 7) 68

ΑΣΚΗΣΗ (4_4616) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Μ το μέσο της πλευράς ΔΓ. Φέρουμε κάθετη στην ΑΜ στο σημείο της Μ, η οποία τέμνει την ευθεία ΑΔ στο σημείο Ρ και την ΒΓ στο Σ. α) ΔΡ = ΣΓ. () β) Το τρίγωνο ΑΡΣ είναι ισοσκελές. () γ) ΑΣ = ΑΔ + ΓΣ. (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (4_4619) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μέσο της διάμεσου ΒΔ. Στην προέκταση της ΑΕ θεωρούμε σημείο Ζ τέτοιο ώστε ΕΖ=ΑΕ και έστω Θ το σημείο τομής της ΑΖ με την πλευρά ΒΓ. 69

α) Το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. β) Το τετράπλευρο ΒΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. γ) Το σημείο Θ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΒΔΖ. () () (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (4_4626) Σε μια ευθεία (ε) θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία Α, Β, Γ έτσι ώστε ΑΒ = 2 ΒΓ και στο ίδιο ημιεπίπεδο θεωρούμε ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΕ. Αν Η είναι το μέσο του ΑΔ και θ ευθεία ΔΕ τέμνει την ευθεία (ε) στο σημείο Ζ να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΒΗΔΕ είναι ορθογώνιο. () β) Το τρίγωνο ΓΖΕ είναι ισοσκελές. () γ) Το τετράπλευρο ΗΕΓΑ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9) 70

ΑΣΚΗΣΗ (4_4630) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Κ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Φέρουμε ΑΗ κάθετη στην ΒΔ και στην προέκταση της ΑΗ (προς το Η) θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΑΗ = ΗΕ. α) Το τρίγωνο ΑΕΚ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) Το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 9) γ) Το τετράπλευρο ΔΒΓΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (4_4635) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και γωνία 2. Φέρουμε το ύψος του ΑΔ και σημείο Ε στην προέκταση της ΑΒ τέτοιο ώστε ΒΕ = ΒΔ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΔΕ. (Μονάδες 9) β) i. BE = AB () 2 ii. ΑΕ = ΓΔ () 71

ΑΣΚΗΣΗ (4_4640) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες Β και Γ οξείες και Δ, Μ και Ε τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Στις μεσοκάθετες των ΑΒ και ΒΓ και εκτός του τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΔΖ = AB και ΕΗ = BΓ. 2 2 α) i. Το τετράπλευρο ΒΔΜΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 5) ii. Τα τρίγωνα ΖΔΜ και ΕΜΗ είναι ίσα. (Μονάδες 10) β) Αν τα σημεία Ζ, Δ, Ε είναι συνευθειακά, να αποδείξετε ότι η γωνία Α=90 0. (Μονάδες 10) 72

ΑΣΚΗΣΗ (4_4643) 0 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ 90. Φέρουμε τη διάμεσο του ΑΜ την οποία προεκτείνουμε (προς το μέρος του Μ) κατά τμήμα ΜΔ = ΑΜ. Θεωρούμε ευθεία ΔΚ κάθετη στη ΒΓ, η οποία τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας Β στο Ε. α) Το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι ορθογώνιο () β) 0 90 γ) ΔΕ = ΒΔ 2 () (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (4_4645) Στο παρακάτω τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύουν: ΑΔ=ΒΓ,ΑΓ=ΒΔ και ΑΒ<ΓΔ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΔΟΓ είναι ισοσκελή. () β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. () γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι ΓΔ=3ΑΒ και Κ, Λ τα μέσα των διαγώνιων ΒΔ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΛΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) 73

ΑΣΚΗΣΗ (4_4646) 0 0 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90 ) και 30 με Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Έστω ότι η μεσοκάθετος της πλευράς ΒΓ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε. α) i) η ΒΕ είναι διχοτόμος της. (Μονάδες 6) ii) 2 (Μονάδες 6) iii) η ΒΕ είναι μεσοκάθετος της διάμεσου ΑΜ. (Μονάδες 7) β) Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ που τέμνει την ΒΕ στο Η, να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Η και Ν είναι συνευθειακά. (Μονάδες 6) ΑΣΚΗΣΗ (4_4648) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου κέντρου Ο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ, ΡΒ και τη διακεντρική ευθεία ΡΟ που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Δ και Γ αντίστοιχα. Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Γ τέμνει τις προεκτάσεις των ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. 74

α) Δ Ρ Δ Ρ β) ΕΑ=ΖΒ γ) Το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. () (Μονάδες 9) () ΑΣΚΗΣΗ (4_4649) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΒΓ και η διχοτόμος ΒΕ της. Αν ΑΖ ΒΕ, όπου Ζ σημείο της ΒΓ και Μ το μέσον της ΑΓ, να αποδείξετε ότι : α) Το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) ΒΓ ΑΒ β) ΔΜ//ΒΓ και ΔΜ = 2 (Μονάδες 10) γ), όπου η γωνία του τριγώνου ΑΒΓ. 2 () 75

ΑΣΚΗΣΗ (4_4650) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος Βx της γωνίας Β του τριγώνου ΑΒΓ και η διχοτόμος Βy της εξωτερικής γωνίας Β. Αν Δ και Ε είναι οι προβολές της κορυφής Α του τριγώνου ΑΒΓ στην Βx και Βy αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΔΒΕ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 7) β) Η ευθεία ΕΔ είναι παράλληλη προς τη ΒΓ και διέρχεται από το μέσο Μ της ΑΓ. (Μονάδες 10) γ) Το τετράπλευρο ΚΜΓΒ είναι τραπέζιο και θ διάμεσος του είναι ίση με 3α 4, όπου α=βγ. () ΑΣΚΗΣΗ (4_4651) Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ θεωρούμε σημεία Ε, Ζ, Η, Θ στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα, με ΑΕ=ΓΗ και ΒΖ=ΔΘ. α) Το τετράπλευρο ΑΕΓΗ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 6) β) Το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10) γ) Τα τμήματα ΑΓ, ΒΔ, ΕΗ και ΖΘ διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Μονάδες 9) 76

ΑΣΚΗΣΗ (4_4652) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημεία Κ, Λ της διαγωνίου του ΒΔ, τέτοια ώστε να ισχύει ΒΚ=ΚΛ=ΛΔ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΚΓΛ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10) β) Να αποδείξετε ότι, αν το αρχικό παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος, τότε και το ΑΚΓΛ είναι ρόμβος. () γ) Ποιά πρέπει να είναι η σχέση των διαγωνίων του αρχικού παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, ώστε το ΑΚΓΛ να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (4_4653) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ. Φέρνουμε την ΑΕ κάθετη στην διαγώνιο ΒΔ. Εάν Ζ είναι το συμμετρικό του Α ως προς την διαγώνιο ΒΔ, τότε να αποδείξετε ότι: 77

α) Το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) ΖΓ = 2ΟΕ. (Μονάδες 9) γ) Το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Β,Δ,Ζ και Γ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (4_4655) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ παίρνουμε τμήμα ΒΕ=ΑΒ και στην προέκταση της πλευράς ΑΔ τμήμα ΔΖ=ΑΔ. α) i. Τα τετράπλευρα ΒΔΓΕ και ΒΔΖΓ είναι παραλληλόγραμμα. (Μονάδες 7) ii. Τα σημεία Ε, Γ και Ζ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 9) β) Αν Κ και Λ είναι τα μέσα των ΒΕ και ΔΖ αντίστοιχα, τότε ΚΛ// ΔΒ και ΚΛ= 3 2 ΔΒ. (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (4_4731) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και το ύψος του ΑΜ. Φέρουμε ΜΔ κάθετη την ΑΓ και θεωρούμε Η το μέσο του τμήματος ΜΔ. Από το Η φέρουμε παράλληλη στη ΒΓ η οποία τέμνει τις ΑΜ και ΑΓ στη σημεία Κ και Ζ αντίστοιχα. α) ΗΖ = ΒΓ 4 (Μονάδες 9) β) ΜΖ // ΒΔ () γ) Η ευθεία ΑΗ είναι κάθετη στη ΒΔ. () 78

ΑΣΚΗΣΗ (4_4735) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α, για την οποία ισχύει ΑΔ=ΔΓ. Η ΔΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΔΒ και η ΔΗ παράλληλη στην ΑΒ. α) Τα τμήματα ΕΔ και ΑΓ είναι παράλληλα. (Μονάδες 9) β) Το τρίγωνο ΕΑΔ είναι ισοσκελές. () γ) Τα τμήματα ΑΔ και ΕΗ διχοτομούνται. () ΑΣΚΗΣΗ (4_4737) 0 Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία 60. Φέρνουμε τα ύψη ΑΔ και ΓΕ που τέμνονται στο Η. Φέρνουμε ΚΖ διχοτόμο της γωνίας ΕΗΑ και ΘΗ κάθετο στο ύψος ΑΔ. α) Για το τμήμα ΖΕ ισχύει ΖΗ=2ΕΖ. (Μονάδες 9) β) Το τρίγωνο ΘΖΗ είναι ισόπλευρο. () 79

γ) Το τετράπλευρο ΘΗΚΒ είναι ισοσκελές τραπέζιο. () ΑΣΚΗΣΗ (4_4753) Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Έστω σημείο Α εξωτερικό του κύκλου 0 και τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ ώστε να ισχύει ΒΑΓ 60. Έστω ότι η εφαπτόμενη του κύκλου στο Δ τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. α) Το τετράπλευρο ΑΒΟΓ είναι εγγράψιμο με ΟΑ=2ΟΒ. Μονάδες 6 β) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισόπλευρο. Μονάδες 6 γ) 2ΖΒ = ΑΖ Μονάδες 7 δ) Το τετράπλευρο ΕΖΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 6 80

ΑΣΚΗΣΗ (4_4756) Δίνεται κύκλος (Ο, ρ) και ΑΓ μια διάμετρός του. Θεωρούμε τις χορδές ΑΔ = ΒΓ. Έστω Κ και Λ τα μέσα των χορδών ΔΓ και ΒΓ αντίστοιχα. α) Οι χορδές ΑΒ και ΔΓ είναι παράλληλες. Μονάδες 6 β) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μονάδες 6 γ) Η ΒΔ είναι διάμετρος του κύκλου. Μονάδες 7 δ) Το τετράπλευρο ΟΛΓΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μονάδες 6 ΑΣΚΗΣΗ (4_4762) Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο ΕΖΗΘ παριστάνει ένα τραπέζι του μπιλιάρδου. Μια μπάλα του μπιλιάρδου ξεκινάει από σημείο Α της μεσοκαθέτου του τμήματος ΕΖ και χτυπώντας διαδοχικά στους τοίχους του μπιλιάρδου ΕΘ, ΘΗ, ΗΖ στα σημεία Β, Γ και Δ αντίστοιχα, καταλήγει στο σημείο εκκίνησης Α. Για τη διαδρομή Α Β Γ Δ Α που ακολουθεί η μπάλα ισχύει ότι κάθε γωνία πρόσπτωσης σε τοίχο (π.χ η γωνία ΑΒΕ) είναι ίση με κάθε γωνία ανάκλασης σε τοίχο (π.χ η γωνία ΘΒΓ) 0 και η κάθε μια απ' αυτές είναι 45. α) i. Τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΖΔ είναι ίσα. Μονάδες 9 ii. Η διαδρομή ΑΒΓΔΑ της μπάλας σχηματίζει τετράγωνο. β) Αν η ΑΖ είναι διπλάσια από την απόσταση του Α από τον τοίχο ΕΖ, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΕΖ. 81

ΑΣΚΗΣΗ (4_4767) 0 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 90. Στην πλευρά ΒΓ θεωρούμε τα σημεία Κ, Μ, Λ ώστε ΒΚ = ΚΜ = ΜΛ = ΛΓ. Αν τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΔΕΛΚ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 13 β) Η διάμεσος του τραπεζίου ΚΔΑΜ ισούται με 3 8 Μονάδες 12 ΑΣΚΗΣΗ (4_4769) Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ ( ) με 2 και. 2 Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας Β, η οποία τέμνει το ΔΓ στο Κ και η κάθετη από το Κ προς το ΒΓ το τέμνει στο Μ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του ΑΒΓΔ Μονάδες 10 β) i. Το τετράπλευρο ΑΒΚΔ είναι ρόμβος. ii. Το σημείο Μ είναι το μέσο του ΒΓ. Μονάδες 7 82

Σημείωση: Το δεδομένο της τελευταίας ισότητας είναι περιττό 2 (μπορούμε να το αποδείξουμε με τα άλλα δεδομένα). ΑΣΚΗΣΗ (4_4771) Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ και Μ το μέσο της πλευράς ΔΑ. Προεκτείνουμε το τμήμα ΔΑ (προς την πλευρά του Α) κατά τμήμα. Φέρουμε τα τμήματα ΓΜ και 2 ΒΝ και θεωρούμε τα μέσα τους Κ και Λ αντίστοιχα. α) Το τετράπλευρο ΜΝΒΓ είναι παραλληλόγραμμο. β) Το τετράπλευρο ΑΔΚΛ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 9 γ) Το τετράπλευρο ΑΜΚΛ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΑΣΚΗΣΗ (4_4774) Έστω κύκλος με κέντρο Ο και δύο κάθετες ακτίνες του ΟΒ και ΟΓ. Έστω Α το μέσον του τόξου ΒΓ. Από το Α φέρω κάθετες στις ακτίνες ΟΒ και ΟΓ που τις τέμνουν στα Δ και Ε αντίστοιχα. Οι προεκτάσεις των ΑΔ και ΑΕ τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα. α) ΑΖ = ΑΗ Μονάδες 4 β) Το ΑΔΟΕ είναι ορθογώνιο Μονάδες 7 γ) Τα σημεία Ζ και Η είναι αντιδιαμετρικά Μονάδες 7 δ) Το τετράπλευρο ΒΓΗΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 83

Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_4778) 0 Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ > ΒΓ και 90 θεωρούμε σημείο Ζ στη προέκταση της ΒΓ (προς το Γ) τέτοιο ώστε ΓΖ = ΒΓ. Αν Ε είναι σημείο της ΑΒ, τέτοιο ώστε ΕΓ = ΓΒ, να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία ΒΕΖ είναι ορθή. β) Το τετράπλευρο ΑΕΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. γ) Το τετράπλευρο ΑΓΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 9 Σημείωση: Η άσκηση είχε αφαιρεθεί και προστέθηκε. Στην νέα έκδοση δεν δίνεται το σχήμα. ΑΣΚΗΣΗ (4_4781) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΚ διχοτόμο της γωνίας Α. Στην προέκταση της ΑΚ θεωρούμε σημείο Δ ώστε ΑΚ = ΚΔ. Η παράλληλη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει τις ΑΓ και ΒΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. α) Το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. Μονάδες 6 β) Η ΕΚ είναι μεσοκάθετος της ΑΔ. Μονάδες 6 γ) Τα τρίγωνα ΑΚΒ και ΚΔΖ είναι ίσα. Μονάδες 7 δ) Το τετράπλευρο ΑΖΔΒ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 6 84

ΑΣΚΗΣΗ (4_4783) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση του ύψους του ΑΚ θεωρούμε σημείο Δ ώστε ΑΚ = ΚΔ. Έστω Λ, Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. α) Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές Μονάδες 7 β) Το τετράπλευρο ΒΛΚΝ είναι ρόμβος Μονάδες 9 γ) Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_4786) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τις μεσοκαθέτους μ1, μ2 των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ, οι οποίες τέμνονται στο μέσο Μ της ΒΓ. α) i. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με 0 90 ii. Το τετράπλευρο ΑΛΜΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. iii.,όπου Θ το σημείο τομής των ΑΜ και ΚΛ 4 Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 6 85

β) Αν Ι σημείο της ΒΓ τέτοιο ώστε ΚΘΙΒ είναι παραλληλόγραμμο. να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο 4 Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_4788) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ, ΔΓ = 4ΑΒ και ΒΓ = 2ΑΒ. Θεωρούμε σημείο Ζ 0 της ΓΔ, ώστε ΔΖ = ΑΒ. Αν η γωνία Γ είναι 60 και ΒΕ το ύψος του τραπεζίου, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. β) Το τρίγωνο ΖΑΕ είναι ισόπλευρο. γ) Τα τρίγωνα ΔΑΖ και ΓΑΕ είναι ίσα. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_4790) Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ = ΑΒ. Φέρουμε τα τμήματα ΑΕ και ΒΖ κάθετα στις διαγώνιες ΒΔ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Τα σημεία Ζ και Ε είναι μέσα των διαγώνιων ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Μονάδες 5 β) ΑΕ= ΒΖ γ) Το τετράπλευρο ΑΕΖΒ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 7 δ) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Δ. Μονάδες 5 86

ΑΣΚΗΣΗ (4_4791) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε αν φέρουμε την κάθετη στην ΑΓ στο κέντρο του Ο, αυτή τέμνει την προέκταση της ΑΔ σε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΔΕ=ΑΔ. α) Το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 β) Το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 9 γ) Το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 ΑΣΚΗΣΗ (4_4792) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΒΓ (προς το Γ) θεωρούμε τμήμα ΓΔ = ΒΓ. Αν Μ, Κ και Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα τότε: α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΔ. Μονάδες 7 β) i. Το τετράπλευρο ΚΛΓΜ είναι ισοσκελές τραπέζιο με τη μεγάλη βάση διπλάσια από τη μικρή. ii. Το τρίγωνο ΚΜΛ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 10 87

ΑΣΚΗΣΗ (4_4795) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Με βάση την ΑΒ κατασκευάζουμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΔΒ, εκτός του τριγώνου ΑΒΓ, με γωνία Δ = 120. Θεωρούμε τα μέσα Ζ και Η των πλευρών ΑΔ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι η ΔΓ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ. β) Αν η ΔΓ τέμνει την ΑΒ στο Θ, να αποδείξετε ότι η γωνία ΖΘΗ είναι ορθή. Μονάδες 9 γ) Αν η ΖΚ είναι κάθετη στην ΑΒ από το σημείο Ζ, να αποδείξετε ότι 4 ΑΣΚΗΣΗ (4_4796) Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΔΓ) και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Η ΑΓ είναι κάθετη στην ΑΔ και η ΒΔ είναι κάθετη στην ΒΓ. Θεωρούμε τα μέσα Μ, Ε και Ζ των ΓΔ, ΒΔ και ΑΓ αντίστοιχα. α) ΜΕ = ΜΖ Μονάδες 6 β) Η ΜΖ είναι κάθετη στην ΑΓ Μονάδες 6 γ) Τα τρίγωνα ΜΔΕ και ΜΖΓ είναι ίσα. Μονάδες 7 δ) Η ΟΜ είναι μεσοκάθετος του ΕΖ. Μονάδες 6 88

ΑΣΚΗΣΗ (4_4797) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε και Μ των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Στην προέκταση του ΜΔ (προς το Δ) θεωρούμε τμήμα ΔΖ=ΔΜ. α) Τα τρίγωνα ΑΖΔ και ΒΜΔ είναι ίσα. Μονάδες 6 β) Το τετράπλευρο ΖΑΓΜ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 6 γ) Τα τμήματα ΖΕ και ΑΔ τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται. Μονάδες 7 δ) Η ΒΖ είναι κάθετη στη ΖΑ. Μονάδες 6 ΑΣΚΗΣΗ (4_4798) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ. Φέρνουμε τμήμα ΒΔ κάθετο στην ΑΒ και με ΒΔ = ΑΓ και τμήμα ΓΕ κάθετο στην ΑΓ με ΓΕ = ΑΒ. Θεωρούμε τα μέσα Ζ και Θ των ΑΔ και ΑΕ καθώς και τη διχοτόμο Αδ της γωνία ΔΑΕ. α) Να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΑΕ Μονάδες 9 β) Αν Κ τυχαίο σημείο της διχοτόμου Αδ, να αποδείξετε ότι το Κ ισαπέχει από τα μέσα Ζ και Θ. Μονάδες 9 89

γ) Αν το Κ είναι σημείο της διχοτόμου Αδ τέτοιο ώστε ΚΖ = ΑΖ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΖΚΘ είναι ρόμβος. Μονάδες 7 ΑΣΚΗΣΗ (4_4801) Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με A = 120. Φέρουμε ημιευθεία Αx κάθετη στην ΑΓ στο Α, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο Δ. Έστω Λ το μέσο του ΑΒ και Κ το μέσο του ΔΓ. α) Το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ισοσκελές. β) ΔΓ = 2ΒΔ γ) ΛΔ // ΑΚ Μονάδες 5 δ) ΑΚ=2ΛΔ Μονάδες 4 ΑΣΚΗΣΗ (4_4802) 0 0 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 90 και 60. Η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει την ΑΓ στο Ζ. Τα σημεία Μ και Κ είναι τα μέσα των ΒΖ και ΒΓ αντίστοιχα. Αν το τμήμα ΓΛ είναι κάθετο στη διχοτόμο Βδ να αποδείξετε: α) Το τρίγωνο ΒΖΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 6 90

β) Το τετράπλευρο ΑΜΚΖ είναι ρόμβος. γ) ΓΖ = 2ΖΑ δ) ΒΛ = ΑΓ Μονάδες 6 Μονάδες 7 Μονάδες 6 ΑΣΚΗΣΗ (4_4803) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσο ΑΜ τέτοια ώστε ΑΜ=ΑΒ. Φέρουμε το ύψος του ΑΚ και το προεκτείνουμε (προς το Κ) κατά τμήμα ΚΔ = ΑΚ. Προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ (προς το Μ) κατά τμήμα ΜΕ=ΑΜ. α) και ΔΕ = 2ΚΜ Μονάδες 7 β) Το τετράπλευρο ΑΒΕΓ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 6 γ) Το τετράπλευρο ΑΒΔΜ είναι ρόμβος. Μονάδες 6 δ) Η προέκταση της ΔΜ τέμνει το ΑΓ στο μέσον του Ζ. Μονάδες 6 91

ΑΣΚΗΣΗ (4_4804) Έστω κύκλος με κέντρο Ο και διάμετρο ΚΛ = 2ρ. Έστω Α σημείο του κύκλου ώστε η ακτίνα ΟΑ να είναι κάθετη στην ΚΛ. Φέρουμε τις χορδές ΑΒ = ΑΓ = ρ. Έστω Δ και Ε τα σημεία τομής των προεκτάσεων των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα με την ευθεία της διαμέτρου ΚΛ. α) Η γωνία ΒΑΓ είναι 0 120 β) Τα σημεία Β και Γ είναι μέσα των ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα. γ) ΚΓ = ΛΒ. Μονάδες 7 Μονάδες 9 Μονάδες 9 Προσοχή: Οι επίσημες εκφωνήσεις έχουν ΑΓ, αντί του σωστού που είναι ΑΕ ΑΣΚΗΣΗ (4_4808) Δίνονται δυο ίσα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΑΒΔ (ΒΑ= ΒΔ), τέτοια ώστε οι πλευρές τους ΑΓ και ΒΔ να τέμνονται κάθετα στο σημείο Ε, όπως φαίνεται σχήμα. Τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των τμημάτων ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. α) ΕΔ=ΕΓ Μονάδες 7 β) ΔΓ//ΑΒ γ) Το τρίγωνο ΕΚΛ είναι ισοσκελές και ΚΛ//ΑΒ Μονάδες 10 92

ΑΣΚΗΣΗ (4_4810) Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του και Κ το μέσο του ΓΔ. Προεκτείνουμε το τμήμα ΟΚ κατά τμήμα. Η ΒΖ τέμνει τη διαγώνιο ΑΓ στο Θ. α) Τα τμήματα ΟΓ και ΒΖ διχοτομούνται. () β). (Μονάδες 9) γ) Τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΔΖΓ είναι ίσα. () ΑΣΚΗΣΗ (4_4812) Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με. Προεκτείνουμε το ΒΓ (προς το Γ) κατά τμήμα. Φέρουμε τις διαμέσους ΑΕ και ΓΖ του τριγώνου Α ΒΓ που τέμνονται στο Θ. Το ΒΘ προεκτεινόμενο, τέμνει το ΑΓ στο Κ και το ΑΔ στο Η. α) Το ΖΚΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) β). (Μονάδες 9) γ) 2. (Μονάδες 7) 93

Σχόλιο: η προσθήκη της παρένθεσης (προς το Γ) είναι περιττή, σύμφωνα με και με το σχόλιο του σχολικού βιβλίου στο 2 ο κεφάλαιο. ΑΣΚΗΣΗ (4_4814) Έστω κύκλος με κέντρο Ο και διάμετρο ΑΒ. Φέρνουμε χορδή μέσο της. Από το Δ φέρνουμε το τμήμα ΔΕ κάθετο στη ΔΓ. α) Το τετράπλευρο ΚΓΟΕ είναι παραλληλόγραμμο. β) 2 γ). με Κ το () (Μονάδες 12) (Μονάδες 5) 94

ΑΣΚΗΣΗ (4_4816) Έστω ορθογώνιο τρίγωνο Α ΒΓ με A 90 και Δ, Ε και Ν τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ και ΔΕ αντίστοιχα. Στο τμήμα ΒΓ θεωρούμε σημεία Κ και Λ ώστε και. α) 2 και 2 β) Το τετράπλευρο ΔΕΛΚ είναι παραλληλόγραμμο με 2. γ) 4 (Μονάδες 10) () (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (4_4818) Έστω τρίγωνο Α ΒΓ ( ), ΑΔ το ύψος του και Μ το μέσο του ΑΒ. Η προέκταση της ΜΔ τέμνει την προέκταση της ΑΓ στο σημείο Ε ώστε. α). β) 2. γ). () (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) 95

ΑΣΚΗΣΗ (4_4821) Έστω τρίγωνο Α ΒΓ, ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α και Μ το μέσον της ΑΒ. Η κάθετη από το Μ στην ΑΔ τέμνει το ΑΓ στο Ε. Η παράλληλη από το Β στο ΑΓ τέμνει την προέκταση της ΑΔ στο Κ και την προέκταση της ΕΜ στο Λ α) Τα τρίγωνα ΑΕΜ, ΜΒΛ και ΑΒΚ είναι ισοσκελή. (Μονάδες 15) β) Το τετράπλευρο ΑΛΒΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10) ΑΣΚΗΣΗ (4_4832) Έστω ισοσκελές τρίγωνο Α ΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ΑΔ διάμεσος. Στο τμήμα ΑΔ θεωρούμε τυχαίο σημείο Κ από το οποίο φέρνουμε τα τμήματα ΚΖ και ΚΕ κάθετα στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) i. ΑΓΚ (Μονάδες 6) ii. Το τρίγωνο ZK E είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) iii. Το τετράπλευρο ΖΕΓΒ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 7) β) Ένας μαθητής στο (αi.) ερώτημα έδωσε την εξής απάντηση: «Το τμήμα ΑΔ είναι διάμεσος στη βάση ισοσκελούς άρα ύψος και διχοτόμος του τριγώνου Α ΒΓ και μεσοκάθετος του ΒΓ. Οπότε το τρίγωνο BKΓ είναι ισοσκελές. Τα τρίγωνα Α ΒK και AΓΚ έχουν: 1. 2. επειδή ΑΚ διχοτόμος της 3. ως διαφορές ίσων γωνιών ισοσκελών τριγώνων. 96

Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα βάση του κριτηρίου Γωνία Πλευρά Γωνία.» Ο καθηγητής είπε ότι η απάντησή του είναι ελλιπής. Να συμπληρώσετε την απάντηση του μαθητή ώστε να ικανοποιεί το κριτήριο Γωνία Πλευρά Γωνία διατηρώντας τις πλευρές ΒΚ και ΚΓ. (Μονάδες 6) ΑΣΚΗΣΗ (4_5886) [Κεφάλαιο 5 ο ή 6 ο (ανάλογα με την λύση)] Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με και το ύψος του ΑΗ. Αν Δ, Ε και Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ,ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. α) το τετράπλευρο ΔΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο. () β) οι γωνίες ΗΔΖ και ΗΕΖ είναι ίσες. () γ) οι γωνίες ΕΔΖ και ΕΗΖ είναι ίσες. (Μονάδες 9) ΑΣΚΗΣΗ (4_5898) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με και η διχοτόμος του ΑΔ. Στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε. α) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ είναι ίσα. (Μονάδες 7) β) η ευθεία ΑΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΕ. (Μονάδες 9) γ) αν το ύψος από την κορυφή Β του τριγώνου ΑΒΓ τέμνει την ΑΔ στο Η τότε η ευθεία ΕΗ είναι κάθετη στην ΑΒ. (Μονάδες 9) 97

ΑΣΚΗΣΗ (4_5902) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με. Από το Β φέρουμε κάθετη στην διχοτόμο ΑΜ της γωνίας Α, η οποία τέμνει την ΑΜ στο Η και την ΑΓ στο Δ. Στην προέκταση της ΑΗ θεωρούμε σημείο Ζ τέτοιο ώστε και έστω Θ το μέσο της πλευράς ΒΓ. α) το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι ρόμβος. (Μονάδες 9) β) το τετράπλευρο ΗΒΖΘ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 9) γ) η διάμεσος του τραπεζίου ΗΒΖΘ είναι ίση με AB. 4 (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ (4_5908) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ > ΑΔ και οι διχοτόμοι των γωνιών του ΑΡ, ΒΕ, ΓΣ και ΔΤ (όπου Ρ, Ε στην ΔΓ και Σ, Τ στην ΑΒ) τέμνονται στα σημεία Κ, 98

Λ, M και N όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. α) το τετράπλευρο ΔΕΒΤ είναι παραλληλόγραμμο. β) το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο. γ) δ) (Μονάδες 7) () (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) ΑΣΚΗΣΗ (4_5911) Έστω ΑΒΓΔ ορθογώνιο με ΑΒ ΒΓ τέτοιο ώστε οι διαγώνιοι του να σχηματίζουν γωνία 60. Από το Δ φέρουμε ΔΜ κάθετη στην ΑΓ. α) i. το σημείο Μ είναι μέσο του ΑΟ όπου Ο το κέντρο του ορθογωνίου. () 1 ii. 4 (Μονάδες 7) β) Αν από το Γ φέρουμε ΓΝ κάθετη στη ΒΔ, να αποδείξετε ότι το ΜΝΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10) ΑΣΚΗΣΗ (4_6876) Δίνεται τρίγωνο ΑΓΒ ( ). Φέρουμε τα ύψη ΑΚ και ΓΛ. Αν Ε το μέσο της πλευράς ΑΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΚΕΛ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) Η ΚΛ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΚΕ. (Μονάδες 15) 99

ΑΣΚΗΣΗ (4_7433) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΔ. Έστω Ε, Ζ και Η είναι τα μέσα των ΒΔ, ΑΔ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΖΗ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τη σχέση των πλευρών ΑΒ και ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ, ώστε το παραλληλόγραμμο ΔΕΖΗ να είναι ρόμβος. (Μονάδες 10) γ) Στην περίπτωση που το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (η γωνία Β ορθή), να βρείτε το είδος του παραλληλογράμμου ΔΕΖΗ. (Μονάδες 5) ΑΣΚΗΣΗ (4_13527) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και, οι διάμεσοι του τριγώνου που αντιστοιχούν στις πλευρές β και γ αντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση: Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με, τότε οι διάμεσοι, είναι ίσες. α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π, αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 10) β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να εξετάσετε αν ισχύει αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 10) γ) Στην περίπτωση που οι δυο προτάσεις, η Π και η αντίστροφή της ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως ενιαία πρόταση. (Μονάδες 5) 100

Γεωμετρία Κεφάλαιο 6ο: Εγγεγραμμένα σχήματα ΑΣΚΗΣΗ (4_2806) Δύο κύκλοι (Κ, ρ), (Λ, R) τέμνονται σε δύο σημεία Α, Β. Αν Γ και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Α στους δύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι: α) ΑΒΓ 90 0 β) τα σημεία Γ, Β, Δ είναι συνευθειακά. γ) το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ, Λ, Γ, Δ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 5) (Μονάδες 10) (Μονάδες 10) ΑΣΚΗΣΗ (4_2810) Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Τα τμήματα ΓΖ και ΒΖ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα σημεία Γ και Β αντίστοιχα. Αν το τμήμα ΘΗ είναι κάθετο στο τμήμα ΑΖ στο Ζ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΖΒΓ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 7) β) Το τετράπλευρο ΑΓΖΒ είναι ρόμβος. () γ) Το τετράπλευρο ΒΓΗΘ είναι τραπέζιο, με ΒΘ = ΒΖ και ΘΗ = 2ΒΓ. (Μονάδες 10) ΑΣΚΗΣΗ (4_3714) Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε τα ίσα τόξα ΑΒ και ΑΓ, το καθένα ίσο με 120 ο. Έστω Δ και Ε τα μέσα των τόξων ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. 101