Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015

Transcript

1 Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης

2 Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους ΔΕ και ΔΖ των γωνιών αντίστοιχα. α) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: i. ii. Μονάδες β) Να αποδείξετε ότι: Μονάδες () ii. Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε: () β) Αντιστρέφοντας τη σχέση () έχουμε: () και με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των σχέσεων () και () έχουμε: () Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: (), οπότε από τις σχέσεις (),() προκύπτει ότι: α) i. Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ΑΔΒ έχουμε: Όμοια τρίγωνα.0.θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ εσωτερική διχοτόμο και Ε σημείο της ΑΔ τέτοιο ώστε. της γωνίας Από το Ε φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ που τέμνουν τη ΒΓ στα Ζ και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Μονάδες β) Μονάδες α) Επειδή ΕΖ//ΑΒ τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΔΕΖ είναι όμοια, οπότε : β) Επειδή ΕΗ//ΑΓ τα τρίγωνα ΔΕΗ και ΔΑΓ είναι όμοια, άρα ()

3 (από α) ερώτημα) (), από τις (),() προκύπτει ότι: () Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε: (), οπότε από τις σχέσεις (),() προκύπτει ότι. Επειδή είναι και και Στο διπλανό σχήμα είναι α) Να δικαιολογήσετε γιατί τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔE είναι όμοια και... να συμπληρώσετε τα κενά στην ισότητα Μονάδες β) Αν ο λόγος ομοιότητας των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔE είναι ίσος με, να βρείτε το μήκος του τμήματος ΔE. Μονάδες 0 και τη γωνία Α κοινή, οπότε είναι όμοια. α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ έχουν Οι λόγοι ομοιότητας είναι: β) Επειδή ο λόγος ομοιότητας των δύο τριγώνων είναι, ισχύει ότι: Πυθαγόρειο θεώρημα.7. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α. Στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε ένα τμήμα AE AB και στην ΑΔ ένα τμήμα. Αν το εμβαδόν του πενταγώνου ΕΒΓΔΖ είναι 76, να υπολογίσετε: α) Το μήκος α της πλευράς του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Μονάδες β) Την περίμετρο του πενταγώνου ΕΒΓΔΖ. Μονάδες α) Είναι E B α, α (ΑΒ,ΑΔ πλευρές τετραγώνου) α α 76 α α 9α 6α 6 α α 76 α 76 α 00 α 0 9

4 β) Είναι α 0 6, οπότε 0 6 και α 0 8, οπότε 0 8. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΖ ισχύει ότι: Η περίμετρος του πενταγώνου ΕΒΓΔΖ είναι: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 8 cm και ΒΓ = 0 cm. Η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Δ. Αν ΑΔ = 9 cm τότε: α) Να βρείτε το μήκος της πλευράς ΑΓ. Μονάδες β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Μονάδες α) Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ΑΒΓ 0 0 9, άρα έχουμε: β) Είναι , οπότε από το αντίστροφο του 90. πυθαγορείου θεωρήματος ισχύει ότι Γενίκευση πυθαγορείου θεωρήματος..σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε το ύψος του ΒΔ. 0, να υπολογίσετε: Αν ΑΒ=7, ΑΓ=0 και A α) το τμήμα ΑΔ. β) την πλευρά ΒΓ. Μονάδες 8 Μονάδες 7 0, άρα α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ είναι A β) Είναι A Από το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: συν Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. α) Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; Στη συνέχεια να την γράψετε σωστά. Α. β α γ α

5 Β. γ β α β Γ. α β γ β Μονάδες β) Αν α=7, β= και γ=, να υπολογίσετε την προβολή της ΒΓ πάνω στην ΑΓ. Μονάδες α) Λανθασμένη είναι η Β γιατί από το θεώρημα οξείας γωνίας στο τρίγωνο ΑΒΓ προκύπτει: γ β α β β) Η προβολή της ΒΓ πάνω στην ΑΓ είναι το τμήμα ΓΕ. Από τη σχέση Β έχουμε: γ β α β Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=, ΑΓ=6, ΒΓ=8. α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του. β) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΑΓ πάνω στην ευθεία ΒΓ. Μονάδες 0 Μονάδες 90, άρα το α) Είναι τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. β) Η προβολή της ΑΓ στη ΒΓ είναι το ΓΔ. 90 από το θεώρημα αμβλείας γωνίας στο τρίγωνο Επειδή ΑΒΓ, έχουμε: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών α=, β=7 και γ=. α) Να αποδείξετε ότι 0. (Μονάδες ) β) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς α πάνω στην ευθεία ΑΒ. (Μονάδες ) α) Από το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε : β α γ αγ συνb 7 συνb 9 9 0συνB 0συνB συνb 0 β) Εφαρμόζοντας το θεώρημα αμβλείας γωνίας στο τρίγωνο ΑΒΓ προκύπτει: β α γ γ

6 Θεωρήματα διαμέσων 90 με.. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τη διάμεσο του ΑΜ και το ύψος του ΑΔ. α) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ή λανθασμένες. Αν κάποια είναι λανθασμένη να τη ξαναγράψετε διορθωμένη. Α. β γ μ α Β. β γ α μονάδες 0 β) Αν ΑΒ = 8 και ΑΓ = 6, να υπολογίσετε την προβολή ΜΔ της διαμέσου ΑΜ στην πλευρά ΒΓ. μονάδες α) Η μ α είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, α άρα μ α. Από το ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: μ (μ α ) α β γ μ α μ α μ α α μ α μ α μ α Η Β σχέση δεν μπορεί να είναι σωστή γιατί η πλευρά β είναι μικρότερη από την πλευρά γ. Η σωστή είναι γ β α β) Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι α β γ α 0 γ β α γ β 8 6, 0 α 89 Μονάδες Μονάδες.09.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ για το οποίο έχουμε β=7, γ=6 και η διάμεσος του μ α α) Να αποδείξετε ότι α = 9. β) Να υπολογίσετε την προβολή ΜΔ της διαμέσου ΑΜ πάνω στην πλευρά α. α) Από το ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι 89 α α α 89 β γ μ α α 8 α 9 α β) Από το ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: β γ 7 6 β γ α 8 8 α 6

7 .06.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών α, α και AB = α, όπου α > 0. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να βρείτε ποια είναι η ορθή γωνία. Μονάδες α β) μ γ, όπου μ γ η διάμεσος του ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΒ. Μονάδες α) Είναι α α α α α α 90, άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. α β γ α β) μ γ α α 6α α α 9α α μγ.0. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 6, ΑΓ = 8. Φέρουμε το ύψος του ΑΔ και τη διάμεσο ΑΜ και ισχύει ότι: ΔΜ=. α) Να αποδείξετε ότι ΒΓ = 7 Μονάδες β) Να βρείτε το μήκος του ύψους ΑΔ. Μονάδες α) Από το ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: β γ β γ α α 7 β) Από το ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: β γ α μ α μα Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΜ έχουμε:.9.δίνεται κύκλος (Κ,R) και δύο διάμετροί του ΑΒ και ΓΔ. Έστω Μ εξωτερικό σημείο του κύκλου τέτοιο, ώστε ΑΜ=0, ΒΜ= και ΓΜ=. α) Να αποδείξετε ότι : ( R ) Μονάδες 9 β) Να αποδείξετε ότι : ( R ) γ) Να υπολογίσετε το μήκος του ΔΜ. ο α) Από θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ΜΑΒ έχουμε: ( R) R ( R ). Μονάδες 7 Μονάδες 9 β) Από ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ΜΓΔ έχουμε: ( R) R ( R ). γ) Από τις σχέσεις που αποδείξαμε στα ερωτήματα α) και β), επειδή τα δεύτερα μέλη είναι 7

8 ίσα, θα είναι και τα πρώτα. Άρα 0 8. Τέμνουσες κύκλου..δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και το ύψος του ΑΔ. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σημεία Δ, Γ και τέμνει την ΒΑ στο Ε και την προέκτασή της στο Ζ έτσι ώστε: ΒΕ=6, ΒΖ=8 και ΒΔ=. Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων: α) ΒΓ Μονάδες β) ΑΒ Μονάδες α) Τα ΕΖ, ΔΓ είναι χορδές του κύκλου που τέμνονται στο Β, άρα: β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ το ΒΔ είναι η προβολή του ΑΒ στη ΒΓ και ισχύει: 8 8 Εμβαδόν βασικών σχημάτων.98.σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ θεωρούμε Μ το μέσο της ΑΔ. Προεκτείνουμε τη ΔΓ προς το Γ κατά ΓΕ=ΔΓ. Να αποδείξετε ότι: α) β) (ΑΒΓΔ) = (ΒΓΕ) Μονάδες Μονάδες α) Επειδή η ΒΜ είναι διάμεσος στο τρίγωνο ΑΒΔ,τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΒΜΔ είναι ισεμβαδικά, οπότε β) Έστω υ το ύψος του παραλληλογράμμου που αντιστοιχεί στη πλευρά ΔΓ. Είναι υ και υ υ υ.97.σε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α, θεωρούμε σημείο Ε της πλευράς ΔΓ έτσι ώστε ΔΕ= cm. Αν ισχύει ότι, τότε: 8 α) Να αποδείξετε ότι η πλευρά του τετραγώνου α είναι 8 cm. Μονάδες β) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΒΕ. Μονάδες 8

9 α) α α α α β) Είναι 8 6cm. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΒΓΕ έχουμε: BE B cm.9.Στο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε Δ εσωτερικό σημείο της ΒΓ και έστω Μ στο μέσον της ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: α) AMB AB Μονάδες β) Μονάδες α) Επειδή ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΔ τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΒΜΔ είναι ισεμβαδικά και AMB AB (). β) Επειδή το ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΓΔ τα τρίγωνα ΑΓΜ και ΓΜΔ είναι ισεμβαδικά και A (). Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (),() έχουμε: AB A A.89.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ζ και η παράλληλη στην ΑΓ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε. Θεωρούμε Κ και Λ τα μέσα των ΒΔ και ΔΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Μονάδες 7 β) Μονάδες 7 γ) Μονάδες α) Επειδή διάμεσος του τριγώνου από γνωστή εφαρμογή του σχολικού βιβλίου, ισχύει ότι το τρίγωνο χωρίζεται σε δύο άλλα ισοδύναμα τρίγωνα, τα και. Άρα ( ) ( ) ( ). β) Ισχύει ότι ( ) ( ) ( ) () Όμως ( ) ( ) υ () και ( ) ( ) υ () 9

10 με υ ( ) το ύψος του παραλληλογράμμου. Επομένως τα δεύτερα μέλη των (),() είναι ίσα άρα και τα πρώτα. Δηλαδή ( ) ( ) (). Από (),() έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) Αλλιώς: Επειδή το ΑΔΖΕ είναι παραλληλόγραμμο τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΕΖΔ είναι ίσα οπότε είναι ισεμβαδικά. Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) εφόσον ( ) ( ) από α) ερώτημα, ( ) ( ) από β) ερώτημα και ( ) ( ) όμοια με α) ερώτημα. Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου 0..0.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ = cm, cm και γωνία α) Να αποδείξετε ότι ΑΒ = cm. Μονάδες 0 β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 8 γ) Να υπολογίσετε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 7 α) Από το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: συν0 7 6 ΑΒ = cm cm β) ημ0 γ) Είναι α β γ α β γ R α β γ R cm R Κανονικά πολύγωνα.9. Με ένα σύρμα μήκους c κατασκευάζουμε ένα κανονικό εξάγωνο. α) Να εκφράσετε την πλευρά του εξαγώνου ως συνάρτηση του c. Μονάδες 0 c β) Να αποδείξετε ότι, το εμβαδόν του εξαγώνου ισούται με Μονάδες α) Αν λ 6 η πλευρά του εξαγώνου, τότε: 6λ 6 c λ 6 c 6 β) Έστω ρ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του εξαγώνου, τότε: λ 6 ρ 0 c ρ 6

11 c ρ 6 c Αν α 6 είναι το απόστημα του κανονικού εξαγώνου, τότε α 6. Για το εμβαδόν του εξαγώνου ισχύει ότι: c c c E6 6 α 6 6 λ6 α6 6 Εμβαδόν κυκλικού τομέα.0.από σημείο Α εκτός κύκλου (Ο, R) φέρουμε τέμνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε ΑΒ=ΒΓ. Αν R 7 τότε: α) Να αποδείξετε ότι λ R Μονάδες β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος ΓΔΒ. Μονάδες α) Επειδή η ΑΒΓ είναι τέμνουσα του κύκλου, ισχύει ότι: δ R R 7 R 7R R 6R R R λ 0. β) Επειδή λ R, το τόξο ΒΓ είναι 0, οπότε και Είναι. πr 0 60 OB O ημ0 πr πr R πr R R R R π.0. Στο διπλανό σχήμα, τα καμπυλόγραμμα τμήματα ΒΑ, ΑΓ, ΖΔ και ΔΕ είναι ίσα ημικύκλια. Αν ΒΕ//AΔ//ΓΖ, ΒΕ=ΑΔ=ΓΖ=0 και το ύψος του σχήματος είναι, να υπολογίσετε: α) Την περίμετρο του σχήματος. Μονάδες β) Το εμβαδόν του. Μονάδες α) Η περίμετρος του σχήματος αποτελείται από ημικύκλια (δηλαδή δύο κύκλους) διαμέτρου :, δηλαδή ακτίνας : =6 και από τα τμήματα ΒΕ=ΓΖ=0, οπότε: π 6 0 π 0 β) Επειδή τα ημικύκλια έχουν ίσες ακτίνες έχουν και ίσα εμβαδά. Το εμβαδόν του σχήματος ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου που έχει διαστάσεις 0 και, αφού τα εμβαδά των ημικυκλίων επάνω που προεξέχουν είναι ίσα με τα εμβαδά εκείνων που αφαιρούνται, άεα 0 80.

12 .00.Στο διπλανό σχήμα οι κύκλοι (Ο, R) και (Κ, ρ) εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο Α. Από το άκρο Β της διαμέτρου ΑΒ του κύκλου (Ο, R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΒΓ του κύκλου (Κ, ρ) και είναι ΒΓ=. Αν η διάμετρος ΒΑ τέμνει τον κύκλο (Κ, ρ) στο Δ και ισχύει ότι ΒΔ=8,τότε: α) Να αποδείξετε ότι για τις ακτίνες R και ρ των κύκλων (Ο, R) και (Κ, ρ) ισχύουν R=9 και ρ=. Μονάδες β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου (σκιασμένο) που περικλείεται μεταξύ των κύκλων. Μονάδες 0 α) Επειδή το ΒΓ είναι εφαπτόμενο του κύκλου (Κ, ρ) και η ΒΔΑ τέμνουσά του, ισχύει ότι: Όμως R R 8 R 9 και ρ 0 ρ β) Το σκιασμένο χωρίο είναι η διαφορά των εμβαδών των δύο κυκλικών δίσκων, άρα: πr πρ 8π π 6π.96. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 0, θεωρούμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του κέντρου Ο και εντός του κύκλου το εγγεγραμμένο τετράγωνο ΚΛΜΝ. α) Να αποδείξετε ότι (ΚΛΜΝ)=0. Μονάδες β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του κύκλου που βρίσκεται στο εξωτερικό του τετραγώνου ΚΛΜΝ και εσωτερικά του κύκλου, είναι π. Μονάδες α) Για την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου ΑΒΓΔ ισχύει: ρ N 0 ρ. Επειδή το τετράγωνο ΚΛΜΝ είναι εγγεγραμμένο στο κύκλο ακτίνας ρ, η πλευρά του είναι ίση με λ ρ, οπότε το εμβαδόν του είναι: 0 β) Αν Ε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου, τότε:,ρ π 0 π.9.δύο ίσοι κύκλοι (K,R) και (Λ,R) τέμνονται στα σημεία Α και Β έτσι ώστε το μήκος της διακέντρου τους να είναι R. α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΑΛΒ είναι τετράγωνο. (Μονάδες 0) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κοινού χωρίου των δύο κύκλων. (Μονάδες ) α) Το ΚΑΛΒ έχει όλες τις πλευρές του ίσες ( R ) άρα είναι ρόμβος. Στο τρίγωνο ΑΛΚ εφαρμόζεται τι πυθαγόρειο θεώρημα. Πράγματι R R R, συνεπώς το τρίγωνο ΑΛΚ είναι

13 ορθογώνιο με 90. Δηλαδή το τετράπλευροκαλβ είναι ρόμβος με μια γωνία ορθή. Άρα είναι τετράγωνο. β) Το εμβαδόν του κοινού χωρίου των κύκλων, λόγω συμμετρίας, είναι το διπλάσιο της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας του σχήματος. Δηλαδή ) ( ) πr 90 R R πr R R π (A. 60 όπου ( ) R λ α R.