ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙI. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Ελατική Συµπριφορά Όπως έχι ήδη ααφρθί, όλα τα τρά υλικά που καταποούται από ξωτρικά φορτία ααπτύοται ωτρικές δυάµις, οι οποίς καταµηµές τη πιφάια της διατοµής του ώµατος οδηγού τη αάπτυξη ορθώ και διατµητικώ τάω. Οι τάις µ τη ιρά τους προκαλού τη παραµόρφωη του τρού ώµατος, δηλαδή τη µταβολή τω διατάω και/ή του χήµατός του. Όο οι τιµές της παραµόρφωης του ώµατος διατηρούται χαµηλά πίπδα, τότ η φύη τους ίαι ατιτρπτή (reversible). Αυτό ηµαίι ότι ά ξαλιφθί η αιτία που προκαλί αυτές τις µικρές παραµορφώις (δηλαδή οι τάις), τότ οι παραµορφώις µηδίζοται και το ώµα αακτά τις αρχικές του διατάις και χήµα. Αυτού του ίδους η ατιτρπτή παραµόρφωη οοµάζται λατική παραµόρφωη (elastic defrmatin). Όλα τα τρά υλικά (µέταλλα, κραµικά, πολυµρή) µφαίζου λατική υµπριφορά (elastic behavir) µικρότρο ή µγαλύτρο βαθµό.. Σχέις µταξύ Τάης και Παραµόρφωης τη Ελατική Πριοχή Η µέχρι τώρα υζήτηή µας χτικά µ τις τάις και τις παραµορφώις ήτα απολύτως γική και φαρµόιµη όλα τα τρά υλικά. Εά, όµως, θέλουµ α υχτίουµ τις τάις που ααπτύοται έα ώµα µ τις παραµορφώις που προκαλού αυτό, τότ πρέπι απαραίτητα α ιάγουµ τις ιδιότητς (prperties) του κάθ υγκκριµέου υλικού. Μαθηµατικές χέις αυτής της µορφής, που υχτίζου δηλαδή τις τάις µ τις παραµορφώις έα ώµα µέω τω ιδιοτήτω του υλικού του ώµατος, οοµάζοται κατατατικές ξιώις (cnstitutive equatins). Στη ότητα αυτή θα µας απαχολήου οι κατατατικές ξιώις ιότροπα λατικά ώµατα. 4

Σ υλικά που µφαίζου γραµµική λατικότητα, όπως ίαι τα µέταλλα και τα κράµατά τους, που µας απαχολού και πριότρο, οι παραµορφώις και οι τάις τη λατική πριοχή υδέοται µταξύ τους µ γραµµικό τρόπο. Ας θωρήουµ το απλό παράδιγµα του µοοαξοικού φλκυµού (ή θλίψης) µίας ράβδου, µ αρχικό µήκος L, και αρχική διατοµή L, L,, τη οποία φαρµόζται έα αξοικό φλκυτικό φορτίο P, Σχ.. L, L, L, L, -u L, u L, -u Σχ. Η πέργια της φλκυτικής δύαµης P θα έχι α αποτέλµα τη αάπτυξη µιας οµοιόµορφης ορθής τάης κάθ διατοµή της ράβδου. Επίης, λόγω της φλκυτικής δύαµης P, το µήκος της ράβδου θα µταβληθί από L, L, u, όπου u η πιµήκυη της ράβδου κατά το άξοα. Επιπρόθτα, η πιµήκυη της ράβδου κατά το άξοα θα έχι α υέπια τη µίωη (λέπτυη) της διατοµής. Αυτό ηµαίι ότι οι γκάρις διατάις της ράβδου θα µταβληθού από L, L, u και από L, L, u, όπου u και u η πιβράχυη της ράβδου κατά τους άξος και, ατίτοιχα. Εά η ορθή τάη ίαι µικρότρη από το όριο ααλογίας (ή το όριο λατικότητας) του υλικού της ράβδου, τότ η ράβδος λιτουργί τός της γραµµικής λατικής πριοχής και κατά υέπια οι παραµορφώις που υφίταται ίαι λατικές. Ας δούµ τώρα πόη ίαι η ορθή τάη που ααπτύται τη ράβδο. Εά κφράουµ τη ορθή τάη α οοµατική τάη (δηλαδή οοµατικές τιµές), τότ θα έχουµ: 43

P n, () L L,, Εά τη κφράουµ α πραγµατική τάη (δηλαδή πραγµατικές τιµές) τότ ίαι: P P () ( L, u ) ( L, u ) L, L, L, u L, u u u Στα υλικά που µας αφορού πριότρο, δηλαδή µέταλλα και κράµατα, αλλά πίης και τα κραµικά υλικά, οι µταβολές µήκους τη λατική πριοχή ίαι πάρα πολύ µικρές. Αυτό ηµαίι ότι τα u, u και u ίαι πάρα πολύ µικροί αριθµοί, υγκριόµοι µ τις αρχικές διατάις του ώµατος L,, L, και L,. Κατά υέπια, οι όροι L, u, L, u και u u το παροοµατή της Εξ.() ίαι, πίης, πολύ µικροί αριθµοί χέη µ το γιόµο L, L,. Εποµέως, τη λατική πριοχή ιχύι ότι L, L, L, L, -L, u - L, u -u u και άρα n,. Έτι, τη λατική πριοχή δ έχι ιδιαίτρη ηµαία α κφράζουµ τις ορθές τάις οοµατικές ή πραγµατικές τιµές, καθώς οι τιµές αυτές υµπίπτου χωρίς µγάλο φάλµα. Το ίδιο ιχύι και για τις ορθές παραµορφώις τη λατική πριοχή. Για παράδιγµα, η ορθή παραµόρφωη της ράβδου του Σχ. κατά το άξοα, α κφρατί οοµατικές τιµές (δηλαδή α οοµατική παραµόρφωη), θα ίαι: e ( L u ),, (3) L, L u L, Παρατηρίτ ότι ύµφωα µ όα ααφέρθηκα τη προηγούµη παράγραφο u << L, e <<, που ότως ιχύι για τη λατική πριοχή τα µταλλικά και κραµικά υλικά. Εά κφράουµ τη ορθή παραµόρφωη κατά το άξοα πραγµατικές τιµές (δηλαδή α πραγµατική παραµόρφωη), θα έχουµ: L, u L, u ln ( e L ln L L ln ) (4),,, 44

Όµως, πιδή από τα µαθηµατικά ίαι γωτό ότι [ ln( a )] a lim α 0, τη λατική πριοχή, όπου ότως e 0, ιχύι ότι e. Το ίδιο φυικά ιχύι και για τις λατικές παραµορφώις τους γκάριους άξος, δηλαδή e και e. Κατά υέπια, όο αφορά τις ορθές παραµορφώις, τη λατική πριοχή τω µταλλικώ και κραµικώ υλικώ δ έχι ιδιαίτρη ηµαία α κφράζουµ τις ορθές παραµορφώις οοµατικές ή πραγµατικές τιµές, καθώς αυτές υµπίπτου χωρίς ηµατικό φάλµα. Το ρώτηµα τώρα ίαι πώς υχτίζται η τάη µ τη παραµόρφωη, ότα το υλικό βρίκται τός της γραµµικής λατικής πριοχής. Η υχέτιη αυτή γίται µέω του όµου του Hke, που γικότρα ίαι γωτός α όµος γραµµικής λατικότητας. Έτι, πιτρέφοτας το παράδιγµα του Σχ., η ορθή τάη υδέται µ τη ορθή παραµόρφωη µέω της γραµµικής χέης: (5) Η ταθρά ααλογίας, Ε, τη Εξ.(5) ίαι µία από τις βαικότρς µηχαικές ιδιότητς τω υλικώ και οοµάζται µέτρο Yung (Yung s mdulus) ή µέτρο λατικότητας (elasticit mdulus) φλκυµό και θλίψη. Το µέτρο λατικότητας ός υλικού, α φυική έοια, κφράζι τη ατίταη που προβάλλι το υλικό λατική παραµόρφωη και ξαρτάται άµα από τη ιχύ τω χηµικώ δµώ µταξύ τω ατόµω του υλικού. Έτι, υλικά που χηµατίζου ιχυρούς χηµικούς δµούς, όπως τα µέταλλα (µταλλικοί δµοί) και τα κραµικά (οµοιοπολικοί ή τροπολικοί δµοί), χαρακτηρίζοται από υψηλό µέτρο λατικότητας. Αυτό ηµαίι ότι απαιτούται χτικά µγάλς τάις για α παραχθί χτικά µικρή λατική παραµόρφωη. Ατίθτα, υλικά όπως τα πολυµρή και τα λατοµρή, τω οποίω οι µοριακές αλυίδς υγκρατούται µταξύ τους µ αθίς χηµικούς δµούς (π.χ. Van der Waals), χαρακτηρίζοται από χαµηλό µέτρο λατικότητας, που ηµαίι ότι χτικά µικρές τάις µπορού α προκαλέου µγάλς λατικές παραµορφώις. Το µέτρο λατικότητας ός υλικού ξαρτάται πίης από τη θρµοκραία. Επιδή όο αυξάται η θρµοκραία τα άτοµα τω υλικώ γίοται πιο κιητικά, αυτό έχι α υέπια τη χαλάρωη της ιχύος τω χηµικώ δµώ που τα υγκρατού τις θέις ιορροπίας τους, µ αποτέλµα α µιώται και το µέτρο λατικότητας του υλικού. 45

Ας πιτρέψουµ όµως το παράδιγµα του Σχ.. Όπως ίδαµ, η φλκυτική δύαµη P κτός από πιµήκυη κατά το άξοα προκαλί και µίωη της διατοµής, δηλαδή µίωη τω γκάριω διατάω της ράβδου κατά τους άξος και. Οι ορθές παραµορφώις κατά τους άξος και ίαι ίς µ (βλ. Σχ. ): ( L u ), L, u e (6) L L,, και ( L u ) L u,, e (7) L, L, (Υπθυµίζται ότι, πιδή µιλάµ πάτα για τη λατική πριοχή, δ έχι ηµαία α κφράζουµ τη ορθή παραµόρφωη οοµατικές ή πραγµατικές τιµές.) Προέξτ ότι η ορθή παραµόρφωη τους γκάριους άξος και ίαι αρητική, που υποδηλώι ακριβώς το γγοός ότι η πιµήκυη προς το άξοα προκαλί πιβράχυη προς τους άξος και. Από µπιρία έχι παρατηρηθί ότι η ορθή παραµόρφωη τους γκάριους άξος (δηλαδή τη πρίπτωη της ράβδου του Σχ. οι ορθές παραµορφώις και ) ιούται µ έα ταθρό ποοτό της ορθής παραµόρφωης κατά το πιµήκη άξοα (δηλαδή της ). Το ποοτό αυτό οοµάζται λόγος Pissn (Pissn s rati) και υµβολίζται µ το γράµµα : (8) Ο λόγος Pissn για έα τέλια ιότροπο τρό υλικό ιούται θωρητικά µ 0,5. Ωτόο, τη πραγµατικότητα τα πριότρα µταλλικά, πιδή δ ίαι τέλια ιότροπα, οι τιµές του λόγου Pissn βρίκοται πιο κοτά το 0,33. Ο Πίακας παρουιάζι τυπικές τιµές του µέτρου λατικότητας και του λόγου Pissn θρµοκραία δωµατίου για οριµές από τις πλέο χρηιµοποιούµς τη πράξη κατηγορίς µτάλλω και κραµάτω (το µέτρο διάτµηης G ξηγίται τη πόµη ότητα). 46

Πίακας Υλικό Μέτρο λατικότητας Ε ( GPa) Μέτρο διάτµηης G ( GPa) Λόγος Pissn Κράµατα αλουµιίου (Al) 7,4 7,5 0,3 Χαλκός (Cu) 0 4,4 0,33 Χάλυβς (απλοί αθρακούχοι και 00 75,8 0,33 χαµηλής κραµάτωης) Αοξίδωτοι χάλυβς 93 65,6 0,8 Τιτάιο (Ti) 7 44,8 0,3 Βολφράµιο (W) 400 57 0,7 3. Ο Γικυµέος Νόµος του Hke Στη προηγούµη υζήτηη ίδαµ το όµο του Hke ή όµο της γραµµικής λατικότητας τη απλή πρίπτωη του µοοαξοικού φλκυµού (ή θλίψης). Σπάια, όµως, τη πράξη οι τατικές κατατάις που υφίταται έα ώµα ίαι τόο απλές. Ωτόο, ο όµος της γραµµικής λατικότητας ιχύι και πιο πρίπλοκς τατικές κατατάις, απλά χριάζται τη κατάλληλη µαθηµατική διατύπωη. Η πλέο πρίπλοκη τατική κατάταη ίαι η γικυµέη τριδιάτατη, όπου υπάρχου ορθές και διατµητικές τάις και προς τις τρις διατάις του χώρου. Μία τέτοια γικυµέη τατική κατάταη φαίται το Σχ., που δίχι έα τοιχιώδη κύβο µ µοαδιαίο µήκος ακµής, τις έδρς του οποίου ααπτύοται οι ορθές τάις,, και οι διατµητικές τάις τ τ, τ τ και τ τ. 47

Σχ. Επιδή υζητάµ πάτοτ για τη λατική πριοχή, όπου τα µγέθη τω τάω και τω παραµορφώω ίαι µικρά (τουλάχιτο τα µταλλικά υλικά που µας διαφέρου πριότρο) και πιδή το υλικό µας θωρίται ιότροπο, µπορούµ χωρίς α ιάγουµ φάλµα τους υπολογιµούς α δχτούµ ότι οι ορθές τάις προκαλού µόο ορθές παραµορφώις (όχι όµως διατµητικές) και ότι οι διατµητικές τάις προκαλού µόο διατµητικές παραµορφώις (όχι όµως ορθές). Μ βάη αυτή τη παραδοχή, µπορούµ α ξτάουµ ξχωριτά τη χέη µταξύ ορθώ τάω - ορθώ παραµορφώω και διατµητικώ τάω διατµητικώ παραµορφώω τη λατική πριοχή. Ας ξκιήουµ από τις ορθές τάις και τις ορθές παραµορφώις, Σχ. 3. Η ορθή τάη, ύµφωα µ τα όα ααφέρθηκα τη προηγούµη ότητα, προκαλί µία ορθή παραµόρφωη κατά το άξοα, δηλαδή τη. Επιδή το µήκος της έδρας του κύβου αυξάται κατά το άξοα, αυτόµατα ηµαίι ότι το µήκος τω δρώ κατά τους άξος και µιώται (γκάρις παραµορφώις). Πόη ίαι η ορθή παραµόρφωη που προκαλί η ορθή τάη κάθ άξοα; Σύµφωα µ όα ααφέρθηκα παραπάω ίαι: 48

,, (9) Σχ. 3 Οι ορθές παραµορφώις της Εξ.(9) οφίλοται τη πέργια µόο της. Ας µη ξχάµ, όµως, ότι το κύβο πργού και οι άλλς δύο ορθές τάις, οι και. Κάθ µία από αυτές προκαλί ατίτοιχς ορθές παραµορφώις µ τη, δηλαδή: - η ορθή τάη,, (0) - η ορθή τάη,, () Εποµέως, για α βρούµ υολικά τη ορθή παραµόρφωη του κύβου ως προς κάθ άξοα, πρέπι α φαρµόουµ τη αρχή της υπέρθης και α λάβουµ υπόψη τη 49

υιφορά κάθ µίας από τις ορθές τάις τη ορθή παραµόρφωη για κάθ άξοα. Άρα, οι ορθές παραµορφώις για κάθ άξοα έχου ως ξής: [ ( )] [ ( [ ( )] )] () (3) (4) Οι Εξ.()-(4) ίαι γωτές ως ο γικυµέος όµος του Hke τις τρις διατάις και µας πιτρέπου α υχτίουµ τις ορθές παραµορφώις και τις ορθές τάις τη γραµµική λατική πριοχή ός υλικού, χρηιµοποιώτας για το κοπό αυτό το µέτρο λατικότητας και το λόγο Pissn του υλικού. Στη µέχρι τώρα αάλυή µας δ ααφρθήκαµ καθόλου τις χέις µταξύ διατµητικώ τάω και διατµητικώ παραµορφώω τη λατική πριοχή. Το µόο που παραδχθήκαµ ήτα ότι οι διατµητικές τάις δ προκαλού ορθές παραµορφώις, όπως και το ατίτροφο, ότι δηλαδή οι ορθές τάις δ προκαλού διατµητικές παραµορφώις. Εποµέως, µπορούµ τώρα α ξτάουµ ξχωριτά τη χέη αάµα διατµητικές τάις και παραµορφώις. Όπως φαίται το Σχ. 4, το οποίο για απλότητα έχουµ κρατήι µόο τις τάις τ τ, οι διατµητικές τάις δ προκαλού µταβολή τω γραµµικώ διατάω (δηλαδή µήκους), αλλά του χήµατος (δηλαδή γωιώ). Ας θυµηθούµ, πίης, ότι ίχαµ ορίι α διατµητική παραµόρφωη τη µταβολή της γωίας κφραµέη rad. Στη γραµµική λατική πριοχή η υχέτιη µταξύ διατµητικής τάης και διατµητικής παραµόρφωης ίαι πίης γραµµική. Ο όµος του Hke για τις διατµητικές τάις και παραµορφώις έχι τη µορφή: τ G γ (5) 50

Η ταθρά ααλογίας G τη Εξ.(5) ίαι ιδιότητα του υλικού και οοµάζται µέτρο διάτµηης (mdulus f shear). Σα φυικό µέγθος κφράζι τη ατίταη ός υλικού λατική διάτµηη και ίαι απολύτως αάλογο του µέτρου λατικότητας που ααφέρται ορθές τάις και παραµορφώις τη λατική πριοχή. Το µέτρο διάτµηης καθορίζται πίης από τη ιχύ τω χηµικώ δµώ αάµα τα άτοµα και ξαρτάται µ το ίδιο τρόπο από τη θρµοκραία όπως και το µέτρο λατικότητας. Ο πιραµατικός καθοριµός του µέτρου διάτµηης τω υλικώ γίται µ µία µέτρηη που οοµάζται δοκιµή τρέψης (trsin test) και θα πριγραφί ύτοµα τη πόµη ότητα. Τυπικές τιµές του µέτρου διάτµηης θρµοκραία δωµατίου, για οριµές από τις πλέο χρηιµοποιούµς τη πράξη κατηγορίς µτάλλω και κραµάτω, παρουιάζοται το Πίακα. Σχ. 4 Α λάβουµ υπόψη και τις διατµητικές τάις τ τ και τ τ, η υχέτιή τους µ τις διατµητικές τάις που προκαλού έχι τη ίδια µορφή µ αυτή της Εξ.(5), δηλαδή: τ G γ (6) και 5

τ G γ (7) Οι Εξ.()-(7) αποτλού το γικυµέο όµο του Hke, ή γικυµέο όµο της γραµµικής λατικότητας, τη τριδιάτατη τατική κατάταη. 4. Καθοριµός του Μέτρου ιάτµηης µ τη οκιµή Στρέψης Όπως ίδαµ µέχρι τώρα, το µέτρο λατικότητας (Ε), το µέτρο διάτµηης (G) και ο λόγος Pissn () ίαι οι βαικές µηχαικές ιδιότητς ός υλικού που καθορίζου τη υµπριφορά του τη λατική πριοχή. Για το λόγο αυτό τα Ε, G και οοµάζοται λατικές ταθρές (elastic cnstants) του υλικού. Στη τχολογία υλικώ ααφέρθηκ ότι το µέτρο λατικότητας Ε µπορί α καθοριτί από τη δοκιµή φλκυµού, αφού ουιατικά ατιπροωπύι τη κλίη της καµπύλης τάης-παραµόρφωης τη γραµµική λατική πριοχή. Επίης, τη προηγούµη ότητα ίδαµ ότι ο λόγος Pissn τω πριοτέρω µταλλικώ υλικώ ιούται πρίπου µ 0,33. Ατίθτα, το µέτρο διάτµηης G καθορίζται πιραµατικά µέω µίας µηχαικής δοκιµής που οοµάζται δοκιµή τρέψης. Ότα έα κυλιδρικό τρό ώµα υποβάλλται καθαρή τρέψη, δηλαδή ότα το ξωτρικό φορτίο αποτλίται µόο από µία τρπτική ροπή T που τίι α πριτρέψι το κύλιδρο γύρω από το άξοά του, τότ κάθ διατοµή του κυλίδρου ααπτύοται µόο διατµητικές τάις, όπως δίχι το Σχ. 5. Σχ. 5 5

Από τη ατοχή υλικώ ίαι γωτό ότι τη λατική πριοχή η γωία τρέψης του κυλίδρου, φ, υδέται µ τη φαρµοζόµη τρπτική ροπή, Τ, µέω της χέης: T L φ (8) J G Στη Εξ.(8) φ ίαι η γωία τρέψης ( rad), T η τρπτική ροπή ( Nm), L το µήκος του κυλίδρου ( m), J η πολική ροπή αδράιας της διατοµής ( m 4 ) και G το µέτρο διάτµηης ( Pa). Υπθυµίζται δώ ότι η πολική ροπή αδράιας για έα κύλιδρο υµπαγούς διατοµής δίδται από τη χέη: J 4 π R (9) όπου R η ακτία της κυκλικής διατοµής του κυλίδρου ( m). Το Σχ. 6 δίχι µία µηχαή τρέψης. Όπως φαίται, η µηχαή τρέψης µοιάζι αρκτά µ τόρο, µ τη διαφορά ότι αποτλίται από δύο τοκ, πάω τα οποία υγκρατίται έας άξοας, κατακυαµέος από το υλικό του οποίου θέλουµ α καθορίουµ το µέτρο διάτµηης. Σχ. 6 53

Η µηχαή τρέψης δίι τη δυατότητα φαρµογής µίας γωτής τρπτικής ροπής T τα άκρα του άξοα, που αποτλί το δοκίµιο τρέψης. Επίης, µ κατάλληλα µτρητικά όργαα, µπορί α µτρηθί η γωία τρέψης φ που προκαλί η φαρµογή της ροπής T (βλ. Σχ. 6). Επιπλέο, οι διατάις του δοκιµίου, δηλαδή το µήκος του (L) και η διάµτρός του (R), µπορού ύκολα α µτρηθού. Κατά υέπια, µπορί α υπολογιτί το µέτρο διάτµηης του υλικού του δοκιµίου, ααδιατάοτας τη Εξ.(8) ως ξής: T L G (0) J φ Έτι λοιπό, το µέτρο διάτµηης µπορί α µτρηθί χτικά ύκολα, µέω της δοκιµής τρέψης. 5. Υδροτατική Πίη Μέτρο Συµπίης Η τατική κατάταη που οοµάζται υδροτατική πίη (hdrstatic pressure) υατάται ότα το τρό ώµα ααπτύοται µόο ορθές τάις και προς τις τρις διυθύις του χώρου. Το όοµά της το οφίλι το γγοός ότι αυτή ίαι η τατική κατάταη που καταποί έα τρό ώµα (π.χ. έα κύβο ή µία φαίρα), ότα αυτό βυθίζται µέα κάποιο υγρό. Αυτό δ ηµαίι, βέβαια, ότι τατική κατάταη υδροτατικής πίης υατάται µόο αυτές τις πριπτώις. Ας υποθέουµ ότι έχουµ το τοιχιώδη κύβο του Σχ. 3 (λ. 49). Πρι ο κύβος αυτός υποβληθί υδροτατική πίη ο όγκος του ιούται µ, καθώς έχουµ θωρήι για απλότητα ότι οι ακµές του κύβου έχου µοαδιαίο µήκος. Ότα υποβληθί υδροτατική πίη, τις έδρς του ααπτύοται οι ορθές τάις, και, µ αποτέλµα ο κύβος α παραµορφωθί έα ορθογώιο παραλληλπίπδο µ όγκο: V ) ( ) ( ) () ( Καθώς ααφρόµατ πάτοτ τη λατική πριοχή, δ πρέπι α ξχάµ ότι οι ορθές παραµορφώις, και ίαι αριθµοί πολύ µικρότροι της µοάδας. Έτι, το γιόµό 54

τους ίαι έας ακόµη πιο µικρός αριθµός χέη µ τη µοάδα. Εά λοιπό καίς ααπτύξι τη Εξ.() και αγοήι τα γιόµα µταξύ τω ορθώ παραµορφώω, προκύπτι ότι: V () Συµβολίζοτας µ V τη µταβολή του όγκου του κύβου, βρίκουµ ότι: ( ) V V V V αρχ τλ (3) Η ποότητα V τη Εξ.(3) ίαι η µταβολή όγκου που υπέτη ο κύβος κάτω από τη πίδραη τω ορθώ τάω, και, που όπως βλέπουµ ιούται µ το άθροιµα τω ορθώ παραµορφώω. Βέβαια, δ πρέπι α ξχάµ ότι ίχαµ θωρήι το αρχικό όγκο του κύβου του Σχ. 3 ίο µ. Εποµέως, για α ίµατ πιο ακριβίς, η ποότητα V της Εξ.(3) κφράζι τη µταβολή όγκου αά µοάδα όγκου του ώµατος. Έτι λοιπό, α ίχαµ για παράδιγµα έα κύβο αρχικού όγκου mm 3 και µας διότα ότι V0,5, ο τλικός (µτά τη παραµόρφωη) όγκος του ώµατος θα ήτα mm 3 (0,5) mm 3,5 mm 3, δηλαδή η µταβολή όγκου θα ήτα 0,5 mm 3 χέη µ το αρχικό. Εά τη Εξ.(3) ατικατατήουµ τις ορθές παραµορφώις χρηιµοποιώτας τις Εξ.()-(4), θα έχουµ: ( ) V V (4) Η Εξ.(4) υχτίζι τη µταβολή όγκου αά µοάδα όγκου του ώµατος µ τις ορθές τάις τη λατική πριοχή. 55

Στη ιδική πρίπτωη όπου έχουµ πραγµατική υδροτατική πίη, τότ οι ορθές τάις, και ίαι όλς θλιπτικές και ίς µταξύ τους και ιούται µ τη υδροτατική πίη p που ακίται το ώµα. Ιχύι δηλαδή ότι p. Έτι, η Εξ.(4) γίται: V 3 ( ) p (5) Ειάγοτας τη ταθρά: Ε Κ (6) 3 ( ) η Εξ.(5) µπορί α γραφί ως ξής: p V (7) K Η ταθρά Κ οοµάζται µέτρο υµπίης (mdulus f cmpressin) και ίαι ιδιότητα του υλικού. Το µέτρο υµπίης (Κ) αήκι τις λατικές ταθρές του υλικού, ακριβώς όπως το µέτρο λατικότητας (Ε) και το µέτρο διάτµηης (G). Η µοάδα µέτρηης του Κ, ακριβώς όπως και τω Ε και G, ίαι το N/m ή Pa. Από τη µπιρία µας γωρίζουµ ότι ότα έα ώµα βυθίζται το ρό και υφίταται υδροτατική πίη, τότ ο όγκος του δ µπορί παρά α µιώται. Εποµέως, από τη Εξ.(7) φαίται ότι ότα V < 0, το µέτρο υµπίης του υλικού πρέπι οπωδήποτ α ίαι θτική ποότητα (Κ > 0). Όµως, για α ίαι το Κ πάτοτ θτική ποότητα, θα πρέπι και η ποότητα τη Εξ.(6) α ίαι πάτοτ θτική (το µέτρο λατικότητας Ε ίαι πάτοτ θτικός αριθµός). Εποµέως, θα πρέπι πάτοτ α ιχύι ότι: > 0 < (8) 56

Επιπρόθτα, ο λόγος Pissn ξ οριµού δ µπορί α ίαι αρητικός αριθµός. Εποµέως, πάτοτ > 0. Έτι λοιπό για όλα τα τχολογικά υλικά ιχύι ότι ο λόγος Pissn ίαι µία ποότητα που παίρι τιµές από 0 έως 0,5: 0 < < (9) Έα ιδατό υλικό µ 0 θα µπορού α πιµηκύται προς µία κατύθυη, χωρίς α υρρικώοται οι διατάις του προς τις γκάρις κατυθύις. Τέτοιο υλικό φυικά δ υπάρχι τη πραγµατικότητα. Από τη άλλη µριά, έα ιδατό υλικό µ 0,5 θα έδι Κ, δηλαδή το υλικό θα ήτα τλίως αυµπίτο. Ούτ τέτοιο υλικό υπάρχι τη πραγµατικότητα. Άλλωτ, όπως ίδαµ, τα πριότρα µταλλικά υλικά ο λόγος Pissn παίρι τιµές κοτά το 0,33, δηλαδή πρίπου το µέο του διατήµατος 0 0,5. Τέλος, αξίζι α παρατηρήουµ το ξής: φόο τη λατική πριοχή ο λόγος Pissn τω πραγµατικώ υλικώ ίαι όπως ίδαµ < ½, αυτό ηµαίι ότι ότα υποβάλλουµ έα υλικό µοοαξοικό φλκυµό ( > 0, 0), τότ η Εξ.(4) µας δίι ότι V > 0. Εποµέως, τη λατική πριοχή ο όγκος ός υλικού δ διατηρίται ταθρός. Ατίθτα, θα δούµ ότι ότα το υλικό πράι τη πλατική πριοχή, δηλαδή ότα υφίταται πλέο µόιµη πλατική παραµόρφωη, τότ ο όγκος του διατηρίται ταθρός. 6. Σχέις µταξύ τω Ελατικώ Σταθρώ Στη µέχρι τώρα υζήτηή µας διαπιτώαµ ότι τις χέις µταξύ τάω και παραµορφώω τη λατική πριοχή υπιέρχοται τέρις λατικές ταθρές:, Ε, G και Κ. Μία τέτοια χέη ίδαµ ήδη τη Εξ.(6), που υχτίζι το µέτρο υµπίης µ το µέτρο λατικότητας και το λόγο Pissn: Ε Κ (30) 3 ( ) Μία άλλη ηµατική χέη ίαι αυτή που υδέι το µέτρο διάτµηης µ το µέτρο λατικότητας και το λόγο Pissn: 57

G (3) ( ) Υπάρχου ακόµη µρικές ξιώις που υδέου τις λατικές ταθρές µταξύ τους: 9K (3) 3K G ( ) ( ) 3 K G (33) G 3K (34) G 3K K 3 (35) 9 G Οι Εξ.(30)-(35) ιχύου για ιότροπα, λατικά υλικά. Εποµέως, µπορού α χρηιµοποιούται και τα πριότρα πολυκρυταλλικά µέταλλα και κράµατα που χρηιµοποιούται τη πράξη. 7. Υπολογιµός Τάω από Ελατικές Παραµορφώις Όλη η µέχρι τώρα αάλυή µας τηρίχθηκ τη παραδοχή ότι τη λατική πριοχή, όπου οι παραµορφώις ίαι µικρές, δ υπάρχι αλληλπίδραη µταξύ ορθώ και διατµητικώ τάω-παραµορφώω. Αυτό µας πιτρέπι α ατιτρέψουµ τις Εξ.()- (7) και α υπολογίουµ τις τάις α υάρτηη τω παραµορφώω. Για παράδιγµα, από τις Εξ.()-(4) έχουµ: 58

( ) [ ] (36) ( ) [ ] (37) ( ) [ ] (38) Οι Εξ.(36)-(38) αποτλού έα γραµµικό ύτηµα τριώ ξιώω µ τρις αγώτους (,, ). Η πίλυή του δίι: ( ) ( ) ( ) (39) ( ) ( ) ( ) (40) ( ) ( ) ( ) (4) Σ ταυτικό υµβολιµό οι Εξ.(39)-(4) παίρου τη ξής µορφή: ( ) ( ) ij kk ij ij δ (4) Να υπθυµιθί δώ ότι ότα i j πρόκιται για ορθές τάις και παραµορφώις (,, 33,,, 33 ), ώ ότα i j πρόκιται για διατµητικές τάις και παραµορφώις (τ τ τ τ, τ 3 τ τ 3 τ, κ.ο.κ.). Το δ ij οοµάζται δέλτα του Krnecker και έχι τη ιδιότητα δ ij ότα i j και δ ij 0 ότα i j. Επίης, κοιτάζοτας τη Εξ.(3) βλέπουµ ότι: 59

G (43) Για α απλοποιηθί η Εξ.(4), ορίζται η ταθρά Lamé ως ξής: λ ( ) ( ) (44) Οπότ η Εξ.(4) µπορί α γραφί ως ξής: ij G ij λ kk δ ij (45) Ας υποθέουµ τώρα ότι µιλάµ µ όρους κυρίω τάω και έτω ότι, και 3. Στη πρίπτωη της πίπδης τατικής κατάταης (plane stress), όπου 3 0, η πίλυη του υτήµατος τω Εξ.(36) και (37) δίι: ( ) (46) ( ) (47) όπου και ίαι οι κύρις (ορθές) παραµορφώις (principal strains). Μια άλλη ηµατική τατική κατάταη ίαι η πίπδη παραµόρφωη (plane strain), τη οποία 3 0. Ετατική κατάταη πίπδης παραµόρφωης υατάται υήθως φορίς τω οποίω η µία διάταη ίαι πολύ µγαλύτρη από τις υπόλοιπς δύο και το οποίο για κάποιο λόγο µία από τις διατάις δ µπορί α παραµορφωθί. Έα παράδιγµα τατικής κατάταης πίπδης παραµόρφωης θα µπορού α ίαι µία κυλιδρική ράβδος µγάλου µήκους, της οποίας τα άκρα ίαι πακτωµέα και έτι δ µπορί α παραµορφωθί κατά τη διύθυη του άξοά της. Από τη Εξ.(4) έχουµ: 60

) (48) [ 3 ( )] 3 ( 3 0 Βλέπουµ, δηλαδή, ότι παρόλο που η ράβδος δ µπορί α παραµορφωθί προς τη κύρια διύθυη 3, ωτόο υπάρχι τάη προς τη διύθυη αυτή ( 3 0). Ατικαθιτώτας τη τιµή αυτή της 3 τις Εξ.()-(4) παίρουµ: [( ) ( ) ] (49) [( ) ( ) ] (50) 3 0 (5) Οι Εξ.(46)-(47) και (49)-(5) πριγράφου τις χέις µταξύ κυρίω τάω και κυρίω παραµορφώω τη γραµµική λατική πριοχή, για τις τατικές κατατάις πίπδης τάης (plane stress) και πίπδης παραµόρφωης (plane strain), ατίτοιχα. 6