f Ο λόγος i Αντίστοιχα ορίζονται και οι ροπές για ένα πληθυσμό. Π.χ. η ροπή 1 ης τάξης γύρω από το μηδέν είναι η σχετική συχνότητα για το

Transcript

1 Ατίστοιχα ορίζοται και οι ροπές για έα πληθυσμό. Π.χ. η ροπή ης τάξης γύρω από το μηδέ μ N Η ροπή ης τάξης γύρω από τη μέση τιμή N N μ σ N η πληθυσμιακή διακύμαση Α έχουμε ομαδοποιημέα δεδομέα, k διαστήματα, και f είαι η απόλυτη συχότητα του διαστήματος, τότε η ροπή τάξης γύρω από το σημείο 0 είαι k f w w είαι η κετρική τιμή του διαστήματος. Για 0 0, έχουμε τη ροπή τάξης γύρω από τη αρχή k f w 0 f Ο λόγος είαι η σχετική συχότητα για το διάστημα και συμβολίζεται συχά με p αφού εκτιμά τη πιθαότητα η μεταβλητή μας α πάρει τιμή στο διάστημα. Γράφοτας f p,,,..., k η ροπή τάξης γύρω από τη αρχή γράφεται k p w Για ομαδοποιημέα δεδομέα, η κετρική ροπή τάξης είαι k μ f w p w k

2 Σχέση μεταξύ κετρικώ ροπώ και ροπώ γύρω από το μηδέ Ότα γωρίζουμε τις ροπές γύρω από τη αρχή, k, για k,,..., μπορούμε α βρούμε τις ροπές μ k γύρω από το μέσο. Για, 0 μ Για, μ Για, μ Παρόμοια για μ παίροτας το αάπτυγμα ου βαθμού κλπ.

3 Έστω μία μεταβλητή Χ με ροπή τάξης γύρω από το μέσο μ. Θεωρούμε μία μεταβλητή Υ α β Χ Έστω μ η κετρική ροπή τάξης της Υ. Τότε ισχύει μ β μ Παράδειγμα Έστω τα παρακάτω δεδομέα μιας μεταβλητής Χ 5.0, 5.06, 5., 5., 5., 5., 5.5 Ζητάμε τις τρεις πρώτες κετρικές ροπές της Χ. Λύση Πολλαπλασιάζουμε όλες τις τιμές επί 00 ώστε α γίου ακέραιοι 50, 506, 5, 5, 5, 5, 55 Α αφαιρέσουμε το 500 από κάθε τιμή, τα δεδομέα γίοται, 6,,,,, 5 Οι τιμές αυτές προέρχοται από μία μεταβλητή Υ για τη οποία ισχύει Υ 00 Χ 500 Η πρώτη κετρική ροπή είαι μηδέ. Για α βρούμε τη η και η ροπή της Υ, βρίσκουμε πρώτα τη μέση τιμή και μετά κατασκευάζουμε το πίακα 5 6

4 Σύολο 6 5 Παρόμοια, βρίσκουμε για τη τρίτη ροπή 5 μ 9 από όπου παίρουμε για τη μεταβλητή Χ, μ 9 6 μ 9 0 0, Άρα 6 μ 5 Συεπώς, μ μ 00 0,05

5 Άσκηση 6. στο βιβλίο f Α αυξηθού όλοι οι μισθοί κατά 0%, τότε και ο αριθμητικός μέσος αυξάεται κατά 0% ο καιούριος μέσος όρος θα είαι 90, 9 Α αυξηθού όλοι οι μισθοί κατά 0, ο έος μέσος θα είαι Στη πρώτη περίπτωση, η διακύμαση θα πολλαπλασιαστεί επί,, εώ στη δεύτερη α αυξηθού όλοι οι μισθοί κατά μία σταθερή ποσότητα, η διακύμαση παραμέει σταθερή. f f 0 5,

6 Άσκηση. στο βιβλίο α Α από τις τιμές μιας μεταβλητής Χ αφαιρέσουμε μια ποσότητα, η μέση τιμή ελαττώεται κατά εώ η διακύμαση παραμέει αμετάβλητη. β Τι συμβαίει με τους συτελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης; Λύση α Έστω Υ Χ, τότε για τις τιμές στο δείγμα έχουμε.. Για τη διακύμαση ατίστοιχα έχουμε [ ] β Ο συτελεστής ασυμμετρίας της Υ είαι [ ],,, β β χρησιμοποιώτας τα αποτελέσματα από το α παραπάω. Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι ο συτελεστής κύρτωσης είαι,, β β Οι δύο συτελεστές παραμέου αμετάβλητοι.

7 Άσκηση. στο βιβλίο Κλάσεις f w w F Σύολο 0 Να υπολογιστού Οι δύο πρώτες ροπές ο και ο τεταρτημόριο ο και 9 ο δεκατημόριο επικρατούσα τιμή fw f , Για τη δεύτερη ροπή παρόμοια βρίσκουμε f w ,6 Συεπώς για τη διακύμαση παίρουμε ότι f w f f ,9. w 9,

8 Η τυπική απόκλιση είαι 0,9,5 Επομέως ο συτελεστής μεταβλητότητας είαι CV,5, 0,5 Για το Q, βρίσκουμε τη κλάση στη οποία αήκει 60,, L 0, f 9, F Άρα έχουμε Q 0 66,6 Παρόμοια βρίσκουμε ότι Q , 60 0 οπότε το εδοτεταρτημοριακό εύρος είαι IQR Q Q 5,95. Υπολογίζουμε το πρώτο δεκατημόριο το σημείο κάτω από το οποίο βρίσκεται το 0% τω παρατηρήσεω Επειδή 0/0, από τις αθροιστικές συχότητες βλέπουμε ότι το δεκατημόριο βρίσκεται στη η κλάση 90-0, συεπώς ισούται με δ δ L F L F f 0 f 0 Για το 9 ο , δεκατημόριο κάτω από το οποίο βρίσκεται το 90% τω παρατηρήσεω, έχουμε 9 0 L, 5 συεπώς 5 δ5 9 F f ,

9 Για τη επικρατούσα τιμή, βλέπουμε ότι η κλάση με τη μεγαλύτερη συχότητα είαι η η Η επικρατούσα τιμή είαι τ L δ f f f f f f