Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών Ασκήσεις σε εύρεση του βαθµού πινάκων m x n 2 4 9 18-4 -8 2 4 --> µε διαγραφή της 3 ης γραµµής:,, 9 18 2 4 9 18 2 4 --> µε διαγραφή της 2 ης γραµµής:,, -4-8 2 4-4 -8 9 18 --> µε διαγραφή της 1 ης γραµµής:,, -4-8 9 18-4 -8 = 2 C 1 [ -8], η ορίζουσα είναι det ([ -8] ) = -8-8 -5-15 3 9 4 12-5 -15 --> µε διαγραφή της 3 ης γραµµής:,, 3 9-5 -15 3 9-5 -15 --> µε διαγραφή της 2 ης γραµµής:,, 4 12-5 -15 4 12
3 9 --> µε διαγραφή της 1 ης γραµµής:,, 4 12 3 9 4 12 = 3 C 1 [ 12 ] ([ 12] ) = 12 12 6 24-1 -4 6 24 6 24 --> µε διαγραφή της 3 ης γραµµής:,, -1-4 6 24-1 -4 6 24 --> µε διαγραφή της 2 ης γραµµής:,, 6 24 6 24 6 24-1 -4 --> µε διαγραφή της 1 ης γραµµής:,, 6 24-1 -4 6 24 = 4 C 1 [ 24 ] ([ 24] ) = 24 24
4 12-9 -27 2 6 4 12 --> µε διαγραφή της 3 ης γραµµής:,, -9-27 4 12-9 -27 4 12 --> µε διαγραφή της 2 ης γραµµής:,, 2 6 4 12 2 6-9 -27 --> µε διαγραφή της 1 ης γραµµής:,, 2 6-9 -27 2 6 = 3 C 1 [ 6 ] ([ 6] ) = 6 6-2 -4-6 -12-8 -16-2 -4 --> µε διαγραφή της 3 ης γραµµής:,, -6-12 -2-4 -6-12 -2-4 --> µε διαγραφή της 2 ης γραµµής:,, -8-16 -2-4 -8-16 -6-12 --> µε διαγραφή της 1 ης γραµµής:,, -8-16 -6-12 -8-16
= 2 C 1 [-16], η ορίζουσα είναι det ( [-16] ) = -16-16 Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών Ασκήσεις σε εύρεση του βαθµού πινάκων m x n 7-7 0, οι υπο-πίνακες 3x3 είναι: -9 5-4 7-8 -1 --> µε διαγραφή της 4 ης γραµµής:, 7-7 0 7-7 0-9 5-4 -9 5-4 7-8 -1 --> µε διαγραφή της 3 ης γραµµής:, 7-7 0 7-7 0-6 4-2 7-8 -1 --> µε διαγραφή της 2 ης γραµµής:, -9 5-4 -9 5-4 -6 4-2 7-7 0 7-7 0 --> µε διαγραφή της 1 ης γραµµής:, -9 5-4 -9 5-4 -6 4-2 Bρείτε ποια σχέση έχουν µεταξύ τους οι 3 στήλες του πίνακα (Απάντηση :, C 3 = C 1 + C 2, -- έτσι µπορούσατε να πείτε ότι όλες οι 3x3 υπο-ορίζουσες είναι 0 )
οι υπο-πίνακες 2x2 είναι: 5-4, 4-2 5-4 6 4-2 6 0, άρα rank(a) = 2-5 3-2, οι υπο-πίνακες 3x3 είναι: -9 9 0 5-9 -4 --> µε διαγραφή της 4 ης γραµµής:, -5 3-2 -5 3-2 -9 9 0-9 9 0 5-9 -4 --> µε διαγραφή της 3 ης γραµµής:, -5 3-2 -5 3-2 0 8 8 5-9 -4 --> µε διαγραφή της 2 ης γραµµής:, -9 9 0-9 9 0 0 8 8-5 3-2 -5 3-2 --> µε διαγραφή της 1 ης γραµµής:, -9 9 0-9 9 0 0 8 8 Bρείτε ποια σχέση έχουν µεταξύ τους οι 3 στήλες του πίνακα (Απάντηση :, C 3 = C 1 + C 2, -- έτσι µπορούσατε να πείτε ότι όλες οι 3x3 υπο-ορίζουσες είναι 0 ) οι υπο-πίνακες 2x2 είναι: 9 0, 8 8 9 0 72 8 8 72 0, άρα rank(a) = 2
8 4 12-6 -7-13, οι υπο-πίνακες 3x3 είναι: 0-1 -1 5 5 10 8 4 12 8 4 12 --> µε διαγραφή της 4 ης γραµµής:, -6-7 -13-6 -7-13 0-1 -1 0-1 -1 8 4 12 8 4 12 --> µε διαγραφή της 3 ης γραµµής:, -6-7 -13-6 -7-13 5 5 10 5 5 10 8 4 12 8 4 12 --> µε διαγραφή της 2 ης γραµµής:, 0-1 -1 0-1 -1 5 5 10 5 5 10-6 -7-13 -6-7 -13 --> µε διαγραφή της 1 ης γραµµής:, 0-1 -1 0-1 -1 5 5 10 5 5 10 Bρείτε ποια σχέση έχουν µεταξύ τους οι 3 στήλες του πίνακα (Απάντηση :, C 3 = C 1 + C 2, -- έτσι µπορούσατε να πείτε ότι όλες οι 3x3 υπο-ορίζουσες είναι 0 ) οι υπο-πίνακες 2x2 είναι: -1-1, 5 10-1 -1-5 5 10-5 0, άρα rank(a) = 2