ΦΥΣΙΚΗ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Συγγραφική οµάδα: Πανελλαδικά Συνεργαζόµενα Φροντιστήρια Τµήµα Φυσικής: ΑΓΓΕΛΗΣ Β. ΑΛΕΞΙΟΥ Β. ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΣ Π. ΑΝΑΣΤΑΣΑΚΗΣ Ν. ΑΝ ΡΙΟΠΟΥΛΟΣ Γ. ΒΑΓΙΟΝΑΚΗΣ Ι. ΒΑΡΒΑΡΑΣ Ι. ΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ Γ. ΒΕΪΤΗΣ Β. ΓΑΒΡΙΕΛΗΣ. ΓΑΖΗΣ Α. ΓΕΩΡΓΙΟΥ Β. ΓΙΑΝΝΑΚΗΣ Π. ΓΙΟΜΠΛIΑΚΗΣ Λ. ΓΚΡΟΣ Γ. ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΑΚΗΣ Γ. ΑΜΙΑΝΟΣ ΣΠ. ΕΛΗΓΙΑΝΝΗ Μ. ΕΡΜΙΤΖΑΚΗ Μ. ΗΜΟΣ Ι. ΡΑΚΑΚΗΣ Κ. ΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΖΕΛΙ ΗΣ Χ. ΖΗΣΑΚΟΣ Β. ΘΕΟ ΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΚΑΚΑΛΕΤΡΗΣ Γ. ΚΑΛΙΜΑΝΗΣ Ι. ΚΑΛΠΟΥΖΑΝΗ M. ΚΑΝΕΛΛΟΠΟΥΛΟΣ Ν. ΚΑΠΕΤΑΝΟΣ Β. ΚΑΡΑΓΙΩΡΓΟΣ Π. ΚΑΤΣΑΝΑΚΗΣ Α. ΚΑΤΣΙΑΟΥΝΗΣ Κ. ΚΟΛΛΙΑΣ Κ. ΚΟΝΤΟΓΕΩΡΓΑΚΟΥ Ν. ΚΟΣΚΙΝΑΣ Σ. ΚΟΥΝΤΟΥΡΗΣ Π. ΚΟΥΡΟΣ. ΚΟΥΤΣΟΝΙΚΑ Ε. ΚΡΗΤΙΚΟΣ Ι. ΚΥΡΙΑΚΑΤΗ Α. ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΟΣ Κ. ΛΑΖΙ ΟΥ Μ. - ΜΙΤΟΓΛΟΥ ΛΙΜΟΣ Λ. ΛΙΝΑΚΗΣ Κ. ΛΙΝΑΡ ΟΥ Σ. ΛΟΥΒΕΡ ΗΣ Σ. ΛΟΥΠΑΚΗΣ Σ. ΜΑΝ ΡΑΒΕΛΗΣ Π. ΜΑΣΤΡΑΛΕΞΗΣ. ΜΑΤΣΟΣ Γ. ΜΑΥΡΟΜΙΧΑΛΗΣ Κ. ΜΙΣΙΡΛΗΣ Σ. ΜΙΧΑΛΑΡΙΑΣ Χ. ΜΟΣΧΟΒΟΣ Β. ΜΠΑΛΤΑΣ Θ. ΜΠΑΛΤΑΣ Κ. MΠΑΤΡΗΣ Β. ΜΠΕΜΠΗΣ Σ. ΜΠΕΡΤΖΕΛΕΤΟΣ Γ. ΜΠΙΖΕΛΗΣ. ΝΙΚΟΛΑΪ ΗΣ Η. ΝΤΡΕΣ Σ. ΞΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ Χ. ΠΑΛΑΪΝΗΣ Γ. ΠΑΝΙ ΗΣ Α. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΠΑΠΑ ΑΚΗΣ Β. ΠΑΠΑΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΣΤ. ΠΑΠΑΛΕΞΙΟΥ Γ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΗΛ Σ. ΠΑΠΑΠΟΣΤΟΛΟΥ Ι. ΠΑΠΠΟΥΣ ΧΡ. ΠΑΡΧΑΣ Θ. ΠΑΤΣΑΤΖΗ Τ. ΠΕΡ ΙΚΑKΗΣ Ν. ΠΕΤΡΙ ΗΣ Α. ΠΙΤΕΡΟΣ Τ. ΠΥΡΙΟΧΟΥ Β. ΡΟΥΠΑΚΑΣ Γ. ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ Ι. ΣΑΛΤΑΡΗ Μ. ΣΙΟΥΤΑΣ ΑΠ. ΣΚΟ ΡΑΣ. ΣΤΑΘΗΣ Γ. ΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ Χ. ΤΕΠΕΤΕΣ Ν. ΤΟΥΜΠΗΣ. ΤΟΥΝΤΑΣ Κ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΙ ΗΣ Γ. ΤΡΟΥΛΛΙΝΟΣ Γ. ΤΣΑΠΡΟΥΝΗΣ Ι. ΤΣΙΚΡΙΚΑΣ Ν. ΦΡΑΓΚΟΥΛΙ ΗΣ Π. ΧΑΤΖΗΜΑΡΙΝΑΚΗΣ ΣΤ. ΧΙΩΤΑΚΗ Ζ.
Copyright Eκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε. Απαγορεύεται η αναπαραγωγή του παρόντος βιβλίου, µε οποιονδήποτε τρόπο, χωρίς την έγγραφη άδεια του Εκδοτικού Οίκου. / ΝΣΗ Εκπαιδευτικής σειράς: Α. ΖΥΡΜΠΑΣ Ηλ. Σελιδοποίηση - Γραφικά: Ευαγγελία Κυριακίδου Eκτύπωση Απρίλιος 00 Εκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε Λ. Ιωνίας 66 44 ΑΘΗΝΑ τηλ.: 0 95 46 000
ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Β Λυκείου, σύµφωνα µε το αναλυτικό πρόγραµµα του Υπουργείου Παιδείας. Με θεωρία - Μεθοδολογία ασκήσεων. Παραδείγµατα - Ερωτήσεις - Ασκήσεις µε τις απαντήσεις τους. Τεστ πολλαπλής επιλογής - Εύρεσης σωστού - λάθους Συµπλήρωσης κενών - Αντιστοίχισης - Σύντοµης απάντησης. Κριτήρια αξιολόγησης - Ανά κεφάλαιο και επαναληπτικά. Θέµατα που κινούν τη σκέψη και βοηθούν στο σωστο τρόπο µάθησης.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό Εξετάσεις της Ελευθεροτυπίας. Παρουσιάσαµε στην εφηµερίδα τα µαθήµατα όπως γίνονται στον πίνακα, δηµιουργώντας για το σκοπό αυτό την πολυπληθέστερη συγγραφική οµάδα που έχει ποτέ συσταθεί, προσπαθώντας την εµπειρία της τάξης να την αποτυπώσουµε στο χαρτί. Τη συγγραφική οµάδα αποτελούν καθηγητές συγγραφείς καταξιωµένοι στη συνείδηση γονιών και µαθητών για την ποιότητα της δουλειάς τους. Η συλλογική αυτή προσπάθεια, εµπλουτισµένη, σε σχέση µε το υλικό που παρουσιάστηκε στην εφηµερίδα, απευθύνεται αφενός στον καθηγητή που θέλει να παρουσιάσει το µάθηµά του στην τάξη µε µια µεθοδικότητα, αφετέρου στο φιλόπονο µαθητή που θέλει να διαβάσει, να µελετήσει και να κατανοήσει την ύλη, χωρίς να σπαταλήσει τον πολύτιµο χρόνο του. Γι αυτό κάθε µάθηµα ολοκληρώνεται σ έναν τόµο. Στο βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιέχονται µια σειρά από νέες, στην Ελληνική βιβλιογραφία, ασκήσεις καθώς και συνδυαστικά θέµατα. Θελήσαµε να δηµιουργήσουµε ένα εργαλείο δουλειάς για όλους µας. Η ύλη χωρίστηκε σε 9 ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα που το καθένα περιέχει: Τις απαραίτητες γνώσεις θεωρίας, µε παρατηρήσεις για βαθύτερη κατανόηση. Τη µεθοδολογία ασκήσεων, στις κίτρινες σελίδες. Λυµένα παραδείγµατα, στα οποία καταδεικνύεται η µεθοδολογία επίλυσής τους. Τα προτεινόµενα θέµατα µε τις απαντήσεις τους, στις µπλέ σελίδες. Το ξεχωριστό θέµα, που περιέχει ένα ή περισσότερα συνδυαστικά θέµατα και τέλος Ένα διαγώνισµα στις πράσινες σελίδες. Όσοι από τους συναδέλφους επιθυµούν να έχουν τις λύσεις των ασκήσεων, για έλεγχο των απαντήσεων, µε χαρά θα τις στείλουµε αν επικοινωνήσουν µαζί µας. Επίσης θα θέλαµε κρίσεις, παρατηρήσεις, καθώς και επισηµάνσεις γι αυτή µας την προσπάθεια, ώστε η γόνιµη αυτή ανταλλαγή απόψεων να βοηθήσει στη βελτίωση των µελλοντικών µας εκδόσεων. Η συγγραφική οµάδα
περιεχόµενα ο κεφάλαιο. Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση.... Κινητική θεωρία... 7 ιαγώνισµα ου κεφαλαίου... 9 ο κεφάλαιο. Έργο, θερµότητα, εσωτερική ενέργεια... 45 4. Θερµικές µηχανές... 6 ιαγώνισµα ου κεφαλαίου... 8 ο κεφάλαιο 5. υναµική ενέργεια, κινήσεις φορτισµένων σωµατιδίων σε Ο.Η.Π.... 87 4ο κεφάλαιο 6. Κινήσεις φορτισµένων σωµατιδίων σε Ο.Μ.Π.... ιαγώνισµα ου - 4ου κεφαλαίου... 5ο κεφάλαιο 7. Επαγωγή... 9 8. Εναλλασσόµενο ρεύµα... 9 9. Αµοιβαία επαγωγή - Αυτεπαγωγή... 09 ιαγώνισµα 5ου κεφαλαίου... 9
Τυπολόγιο ου κεφαλαίου Κινητική θεωρία των αερίων Νόµος του Βoyle: P V σταθ. για Τσταθ. Νόµος του Charles: P σταθ. για V. T σταθ Νόµος του Gay-Lussac: V σταθ. για P. T σταθ Καταστατική εξίσωση ιδανικών αερίων P V nrt R 8,4J/ol K P V NkT k,8 0 J/ol K Αριθµός ol: n : µάζα M: γραµµοµοριακή µάζα M Kινητική θεωρία Σχέση πίεσης - ταχυτήτων των µορίων: υ P N V Σχέση θερµοκρασίας - ταχυτήτων των µορίων: K υ kτ kτ RT Ενεργός ταχύτητα: υ εν υ M
Νόµοι αερίων Καταστατική εξίσωση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Οι πειραµατικά προσδιορισµένες σχέσεις που συνδέουν τα τρία µακροσκοπικά µεγέθη (πίεση, όγκο και θερµοκρασία) ορισµένης ποσότητας αερίου ονοµάζονται νόµοι των αερίων και είναι οι εξής: Νόµος του Boyle (ή νόµος της ισόθερµης µεταβολής) Η πίεση ορισµένης ποσότητας αερίου, σε σταθερή θερµοκρασία, είναι αντίστροφα ανάλογη µε τον όγκο του. p V σταθ ή p V p V για T σταθ Γραφική παράσταση του νόµου του Boyle Νόµος του Charles (ή νόµος της ισόχωρης µεταβολής) Η πίεση ορισµένης ποσότητας αερίου, υπό σταθερό όγκο, είναι ανάλογη µε την απόλυτη θερµοκρασία του αερίου. P T σταθ ή p p T T για V σταθ Γραφική παράσταση του νόµου του Charles Η κλίση στο διάγραµµα P f( T) P nr είναι αντιστρόφως ανάλογη του όγκου του αερίου εφφ T V
. Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση Νόµος του Gay-Lussac (ή νόµος της ισοβαρούς µεταβολής) Ο όγκος ορισµένης ποσότητας αερίου, σε σταθερή πίεση, είναι ανάλογος µε την απόλυτη θερµοκρασία του αερίου. V V σταθ ή V T T T για p σταθ Γραφική παράσταση του νόµου του Gay-Lussac V nr Η κλίση στο διάγραµµα V f( T) είναι αντιστρόφως ανάλογη της πίεσης: εφφ T P Καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων Οι τρεις πειραµατικοί νόµοι των αερίων συνδυάζονται, ώστε να προκύψει ένας άλλος, ο οποίος θα περιγράφει τις µεταβολές όταν τα µεγέθη p,v,t αλλάζουν ταυτόχρονα. Ο νέος νόµος είναι η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων και οι διάφορες µαθηµατικές εκφράσεις της είναι: p V p V p V σταθ T T T p V n R p V nrt T ολ n ολ ρ Μr V ολ ολ R R p V RT p T p ρ T Mr V Mr Mr N R n k ΝΑ N Ν R p V RT p V N T p V NkT ΝΑ NΑ Οι σταθερές που εµφανίζονται στις παραπάνω σχέσεις είναι: J L at Παγκόσµια σταθερά των ιδανικών αερίων: R 8, 4 0, 08 ol K ol K Σταθερά του vogadro: Σταθερά του Boltzann: k,8 0 N µόρια 6,0 0 6,0 0 ol ol J µόριο Κ Παρατήρηση: Είναι χρήσιµο για την επίλυση των προβληµάτων να γνωρίζουµε ότι J N οπότε η
Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση. J N σταθερά R γράφεται R 8, 4 8, 4 στο S.I. ol K ol K Oι γραµµοµοριακές µάζες µετρούνται σε kg, π.χ. για το υδρογόνο ol ( H ):M 0 r g ol Kg ol Η καταστατική εξίσωση χρησιµοποιείται ακόµα και αν η µάζα του αερίου µεταβάλλεται κατά τη µετάβαση του αερίου από µία κατάσταση σε µία άλλη. Τότε θα ισχύει η παρακάτω εξίσωση: pv pv nrt R nt pv pv pv nt nt p V nrt R nt Όλα τα αέρια τα οποία επαληθεύουν ακριβώς την καταστατική εξίσωση pv nrt ονοµάζονται ιδανικά αέρια. Όταν δίνεται ότι ένα αέριο βρίσκεται σε s.t.p. έχουµε: N και T 7K 5 P at,0 0 Σε θερµοκρασίες κοντά στο απόλυτο µηδέν δεν ισχύουν οι νόµοι των αερίων. Β. Μεθοδολογία ασκήσεων. Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση ιδανικών αερίων Για να καταλάβουµε ποιός νόµος αερίων ισχύει, κοιτάµε πιο µέγεθος από τα P,V,T είναι σταθερό. Αν κανένα µέγεθος δεν είναι σταθερό ή δίνεται η µάζα ή η πυκνότητα τότε χρησιµοποιούµε καταστατική εξίσωση. Παράδειγµα. Ιδανικό αέριο βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο που κλείνεται µε έµβολο o πάνω στο οποίο θέτουµε ορισµένα σταθµά. Το αέριο βρίσκεται σε θερµοκρασία, 5 C και καταλαµβάνει όγκο 0L. Θερµαίνουµε το αέριο σε θερµοκρασία 70 o C. α. Ποιός νόµος αερίων ισχύει β. Ποιός είναι ο τελικός όγκος του δοχείου γ. Να αποδώσετε τη µεταβολή σε άξονες P V, P T, V T. Λύση α. Η πίεση στο εσωτερικό του δοχείου είναι ίση µε την πίεση που προκαλεί η ατµόσφαιρα, το βάρος του εµβόλου και των σταθµών. Επειδή η εξωτερική πίεση παραµένει σταθερή, θα είναι και η εσωτερική πίεση σταθερή. Άρα ισχύει ο Ν. Gay-Lussac.
4. Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση β. V 0L, T, 5 + 7 7, 5K, T 70+ 7 54 Κ V V V T 0L 54K V V V 40L T T T 7,5K γ. Αν το φυσικό µέγεθος που είναι σταθερό π.χ. P σταθ, εµφανίζεται στους άξονες, τότε η γραφική παράσταση είναι κάθετη σ αυτόν τον άξονα. Τ 7 + θ, L 0, 0 5 N at, 0 Αν στο τελικό αποτέλεσµα εµφανίζεται πηλίκο οµοειδών µεγεθών, τότε δεν χρειάζεται να µετατρέψω τον όγκο και την πίεση στο S.I. H θερµοκρασία πάντα µετατρέπεται σε βαθµούς Kelvin (K). Παράδειγµα. Ένα κυλινδρικό δοχείο µε διαθερµικά τοιχώµατα κλείνεται µε έµβολο και περιβάλλεται από λουτρό, σταθερής θερµοκρασίας. Το δοχείο περιέχει ιδανικό αέριο πίεσης p at και όγκου V 0L. Μετακινώντας το έµβολο τριπλασιάζουµε την πίεση του αερίου. Nα βρεθεί: α. Ποιός νόµος αερίων ισχύει. β. Ποιός είναι ο τελικός όγκος του αερίου γ. Να αποδώσετε τη µεταβολή σε άξονες P V, P T, V T. Λύση α. Επειδή το δοχείο έχει διαθερµικά τοιχώµατα και περιβάλλεται από λουτρό σταθερής θερµοκρασίας, θα ισχύει ο Ν. Boyle β. p at, V 0L, p p at. γ. Ισχύει ο Ν. Boyle: p V p V V p pv at 0L V V 0L at
Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση 5. Παράδειγµα. Ιδανικό αέριο βρίσκεται µέσα σε κυλινδρικό δοχείο µε p 5at, V L και T 00K. Το αέριο θερµαίνεται µε σταθερή πίεση µέχρι να διπλασιαστεί ο όγκος του. Στη συνέχεια µε σταθερή θερµοκρασία αυξάνεται ο όγκος του µέχρι να γίνει VΓ 5L. Έπειτα ψύχεται µε σταθερή πίεση µέχρι την αρχική θερµοκρασία και τέλος συµπιέζεται µε σταθερή θερµοκρασία µέχρι την αρχική του κατάσταση. α. Να υπολογίσετε την πίεση, τον όγκο και την θερµοκρασία σε κάθε θέση. β. Να γίνουν τα διαγράµµατα P V, P T, V T. Λύση Αντί για τους νόµους των αερίων, θα µπορούσαµε να εφαρµόσουµε την καταστατική εξίσωση σε κάθε θέση. Iσχύει: V V 4L οπότε: B Α Α B B ( σταθ ) Ν. Gay-Lussac: T B p Α V T V T B B P V V T V V B Γ( ΤΒ B B σταθ) Ν. Boyle: p V p V p Ρ 4 at B B Γ Γ Γ Γ Γ 00K 4L TB TB 600K L Γ ( pγ σταθ) Ν. Gay-Lussac VΓ V T T Γ V VΓ Τ Τ Γ 5L 00K V V, 5L 600K Για την τιµή της σταθερής R έχουµε: R 8, 4J/ol K αν όλες οι µονάδες είναι στο S.I. και R 0,08at L / ol K αν η πίεση δίνεται σε at και ο όγκος σε L. Παράδειγµα.4 c αέρα βρίσκεται σε s.t.p. α. Πόση είναι η µάζα του, β. Πόσος είναι ο αριθµός µορίων του, γ. Ποιά είναι η πυκνότητα του. ίνεται R 8, 4J/ol K, 6, 0 0 µόρια/ ol, η µέση γραµοµοριακή µάζα του αέρα N
6. Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση M 9 0 kg/ol, 0 5 N at, 0 Λύση 5 N S.t.p. σηµαίνει πίεση P at,0 0 και θερµοκρασία T 7K α. Από την καταστατική εξίσωση P V nrt P V RT M 5 6 PVM,0 0 N / 0 9 0 kg / ol RT 8, 4J / ol K 7K, 9 0 kg (ή αλλιώς 6 N MN n N M ) N N N β. Ο αριθµός των oles του αέρα: n N N M M 6,9 0 6,0 0 N N 0, 7 0 9 0 0 µόρια. γ. Από την καταστατική εξίσωση PM PM P V nrt P V RT ρ M V RT RT 5 PΜ,0 0 N / 9 0 kg / ol kg ρ ρ,9 RT 8,4J / ol K 7K kg ρ,9 (ή αλλιώς ρ ). V Παράδειγµα.5 Για να µετρήσουµε το βάθος της λίµνης Πλαστήρα κάνουµε το εξής πείραµα. Μια φυσαλίδα αέρα όγκου 0c βρίσκεται στο βυθό της λίµνης όπου η θερµοκρασία είναι 4 o C. Η φυσαλίδα όταν ανεβαίνει στην επιφάνεια έχει όγκο 00c και η θερµοκρασία είναι 0 o C. Θεωρήστε τη θερµοκρασία της ίση µε τη θερµοκρασία του νερού που την περιβάλλει, την 5 N kg ατµοσφαιρική πίεση P 0 0, την πυκνότητα του νερού ρ 0 και την επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 s. Υδροστατική πίεση P υδρ ρgh.
Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση 7. Λύση ( ) H ή ί ό: P gh V nrt καταστατικ εξ σωση στον βυθ 0 + ρ καταστατικ εξ σωση στην επιφ νεια 0 H ή ί ά :P V nrt VT P0 ( P0 +ρgh) V nrt VT h PV 0 nrt ρg 5 N 00c 77K 0 0c 9K h h 7, 6 kg 0 0 s Σηµείωση: Αν δίνεται η ακτίνα r της φυσαλίδας τότε ο όγκος της είναι 4 V πr. Παράδειγµα.6 Σ ένα παιδικό πάρτυ θέλουµε να φουσκώσουµε 00 µπαλόνια µε ήλιο. Το κάθε µπαλόνι έχει όγκο L και πίεση,5at. Αν η φιάλη που θα χρησιµοποιήσουµε έχει όγκο 4L, ποιά είναι η πίεσή της. Θεωρήστε ότι η φιάλη και τα µπαλόνια έχουν την ίδια θερµοκρασία, ενώ δεν χάθηκε ήλιο στη διαδικασία. Λύση Όταν η συνολική µάζα διατηρείται σταθερή, χρησιµοποιούµε την καταστατική εξίσωση σε συνδυασµό µε την αρχή διατήρησης της µάζας. Η καταστατική εξίσωση: στη φιάλη: P ολ V ολ n ολ RT n P V στο µπαλόνι: P V nrt n RT ολ Pολ V RT ολ Η µάζα του ηλίου που είναι στη φιάλη ( n ολ ) είναι ίση µε το άθροισµα των µαζών στα µπαλόνια (00n). Άρα n ολ Pολ V 00n RT ολ P V 00 RT 00 P V 00, 5at L Pολ Pολ Pολ 50at. V 4L ολ Παράδειγµα.7 Ένα κυλινδρικό δοχείο ακτίνας r 40c και ύψους h0 50c είναι γεµάτο µε αέρα θερµοκρασίας 0 o C και πίεσης at. Στη συνέχεια τίθεται ένα έµβολο στο πάνω µέρος του δοχείου, µάζας 0kg, το οποίο κατέρχεται µέσα στον κύλινδρο συµπιέζοντας τον αέρα που έχει παγιδευθεί µέσα στο δοχείο. Τελικά, ένας άνθρωπος µάζας M 75kg στέκεται πάνω στο
8. Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση έµβολο συµπιέζοντας ακόµη περισσότερο τον αέρα (ο οποίος παραµένει στους 0 o C ) α. Πόσο πιο κάτω ( h) κατέβηκε το έµβολο όταν ο άνθρωπος ανέβηκε πάνω του; β. Σε ποια θερµοκρασία πρέπει να θερµανθεί ο αέρας ώστε το έµβολο µε τον άνθρωπο να ανυψωθούν στο ύψος h, όπου αρχικά ισορροπούσε το έµβολο. ίνονται: Όγκος κυλίνδρου V S h πr h, η πίεση που προκαλεί µια δύναµη F κάθετη F σε επιφάνεια εµβαδού S είναι P, 0 5 N at, g 0. S s Λύση α. Η καταστατική εξίσωση: µε το έµβολο:p V nrt0 P V P αρχικά :P0 V0 nrt0 0 V 0 g P0 h0 P0 + πr h P0 πr h0 h 49,8c h 49,8c S g P0 + πr Η καταστατική εξίσωση: µε τον άνθρωπο και το έµβολο:p V µε το έµβολο:p V nrt 0 nrt0 P V P V 0 g ( + M) g P0 + πr h P0 + πr h S S S ( + ) Άρα h h h 0, 7c h 0, 7c g P + h h h 49,c M g P0 + S β. Όταν θερµανθεί το αέριο µε το έµβολο και τον άνθρωπο, η εσωτερική πίεση µένει σταθερή ίση ( ) + M g µε την εξωτερική που είναι P P0 +. ηλαδή ισχύει ο Ν. Gay-Lussac. S
Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση 9. V V V S h T' T T' T T T' V S h 0 0 0 h 49, 8c T' T0 T' 9K T' 97, K h 49, c Παράδειγµα.8 Ένας κύλινδρος στο πάνω µέρος του κλείνεται µε έµβολο εµβαδού διατοµής 0 και αµελητέας µάζας. Το έµβολο είναι συνδεδεµένο µε N ελατήριο σταθεράς K 0. Ο κύλινδρος περιέχει 5L αερίου και το ελατήριο ισορροπεί ασυµπίεστο, υπο πίεση at και θερµοκρασία o 0 C. α. Κατά πόσο θα ανυψωθεί το έµβολο, όταν η θερµοκρασία του αερίου ανέλθει στους 50 o C ; β. Ποια είναι τότε η πίεση του αερίου; ίνεται 0 5 N at. Λύση α. V 5L V V + x S P at k x P P+ T 9K S T 5K S 0 Όταν το έµβολο ανυψωθεί κατά x, τότε ο όγκος του αερίου, γίνεται V V+ x S, ενώ στην ατµοσφαιρική πίεση προστίθεται η πίεση του συµπιεσµένου ελατηρίου P ελ Fελ k x. S S Eποµένως k x P P +. S Εφαρµόζουµε στις δύο θέσεις την καταστατική εξίσωση. Αρχικά:P V nrt P V Τελικά:P V nrt P V T PV T P V Τ Τ k x PVΤ P+ ( V+ x S) 0x + 0x, 9 0 S Τ Από τη λύση της δευτεροβάθµιας εξίσωσης έχουµε x 0, 68 k x N β. P P + P, 6 0 s 5
0. Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση Παράδειγµα.9 Οριζόντιος κυλινδρικός σωλήνας κλειστός στις δύο άκρες του, χωρίζεται σε δύο διαµερίσµατα από στεγανό ευκίνητο έµβολο. Στο ένα διαµέρισµα περιέχεται αέριο He και στο άλλο H. Τα δύο τµήµατα έχουν την ίδια θερµοκρασία και τον ίδιο όγκο. Αν η ολική µάζα των αερίων είναι 5g, να βρεθεί: α. Η µάζα κάθε αερίου β. Αν θερµάνουµε οµοιόµορφα τον κύλινδρο θα µετακινηθεί το έµβολο; ίνονται οι γραµοµοριακές µάζες M He 4 0 kg / ol, M H 0 kg/ ol Λύση α. Θα είναι + () ολ He H 0 διαµέρισµα : P V M 0 διαµέρισµα : P V M He He H H RT 4 RT He H 0 Από τις (), () έχω: He g και 5 H g He H () β. Αν θερµάνουµε οµοιόµορφα σε θερµοκρασία T τότε: 0 P V PV διαµέρισµα : T T V V άρα δεν θα κινηθεί το έµβολο P V P V 0 διαµέρισµα : T T Παράδειγµα.0 Σε οριζόντιο κυλινδρικό θερµοµονωτικό σωλήνα, εσωτερικής διατοµής S 0c περιέχεται ιδανικό αέριο θερµοκρα- σίας 7 o C. Θερµοµονωτικό έµβολο, που µετακινείται χωρίς τριβές, χωρίζει τον σωλήνα σε δύο ίσα διαµερίσµατα όγκου V 70c το καθένα. Αυξάνουµε τη θερµοκρασία στο ένα διαµέρισµα στους 7 o C ενώ στο άλλο τη διατηρούµε στους 7 o C. Κατά πόσο µετακινήθηκε το έµβολο; Λύση Αν ο όγκος στο 0 διαµέρισµα αυξήθηκε κατά V µε µετακίνηση του εµβόλου κατά x, τότε στο 0 διαµέρισµα µειώθηκε κατά V. 0 P V P ( V + V) : T ( ) ( ) T P V + V P V V 0 P V P ( V V) T T : T T
Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση. ( V + V) ( V V) V ( T T ) V V 0c T T T + T V Άρα V x S x x c. S Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων µπορεί να πάρει τη µορφή: N ρ α. PV RT β. P RT N n γ. PV RT δ. PV M N RT. Τι µεταβολή παριστάνει το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ στο διπλανό διάγραµµα P-V α. Ισόχωρη µεταβολή β. Ισόθερµη µεταβολή γ. Ισοβαρή µεταβολή δ. Τυχαία µεταβολή. Αν διπλασιάσουµε τον όγκο και τη θερµοκρασία ορισµένης ποσότητας ιδανικού αερίου τότε η πίεση του γίνεται: Pαρχ α. P αρχ β. Pαρχ γ. σταθερή δ. 4 4. Στο διπλανό διάγραµµα παριστάνονται δύο ισοβαρείς µεταβολές συγκεκριµένης ποσότητας ιδανικού αερίου. Για ποια από τις δύο µεταβολές η πίεση είναι µεγαλύτερη και γατί; α. Στην () β. Στην ()
. Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση 5. Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα ΑΒ παριστάνει ισόθερµη εκτόνωση: 6. Στην ισόχωρη µεταβολή ΑΒ ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα αντιστοιχεί: 7. Ποσότητα ιδανικού αερίου συµπιέζεται ισόθερµα. Η µεταβολή της πυκνότητας σε συνάρτηση µε την πίεση του αερίου παριστάνεται στην ακόλουθη γραφική παράσταση. 8. Η ελάττωση της πίεσης ορισµένης ποσότητας ιδανικού αερίου συνοδεύεται από: α. ελάττωση του όγκου όταν T σταθ. β. ελάττωση της θερµοκρασίας όταν V σταθ. γ. αύξηση του όγκου όταν T σταθ. δ. αύξηση της θερµοκρασίας όταν V σταθ. 9. Η ισόχωρη µεταβολή ορισµένης ποσότητας αερίου: α. περιγράφεται από την εξίσωση P σταθ. T β. υπακούει στο νόµο του Gay-Lussac γ. παριστάνεται µε µια ευθεία που διέρχεται από την ατχή των αξόνων σε διάγραµµα πίεσηςθερµοκρασίας δ. είναι η µεταβολή κατά την οποία η πυκνότητα του αερίου αυξάνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας
Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση. 0. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες. α. Η καταστατική εξίσωση ισχύει µόνο για µονοατοµικά αέρια. β. Στην κλίµακα Kelvin δεν υπάρχουν αρνητικές θερµοκρασίες. γ. Η πίεση ενός ιδανικού αερίου δεν εξαρτάται από την πυκνότητά του. δ. Η καταστατική εξίσωση ισχύει και για αέριο που αποτελεί µίγµα δύο ή περισσότερων ιδανικών αερίων.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ιδανικό αέριο περιέχεται σε δοχείο σταθερού όγκου. Αρχικά η θερµοκρασία του ήταν 0 o C και η πίεσή του,5at. α. Ποια θα είναι η πίεσή του όταν η θερµοκρασία του γίνει 80 o C. β. Να σχεδιαστούν τα διαγράµµατα P f (V), V f (T) και P f (T). Απ. α., at. Ποσότητα αέριου οξυγόνου βρίσκεται υπό πίεση P και σε θερµοκρασία 7 o C. α. Αν το αέριο θερµανθεί υπό σταθερό όγκο έως ότου τριπλασιαστεί η πίεσή του ποιά θα είναι η τελική θερµοκρασία; β. Αν το αέριο, από την αρχική κατάσταση θερµανθεί ώστε η πίεσή του και ο όγκος του να διαπλασιαστούν, ποιά θα είναι η τελική θερµοκρασία. π. α. Τ 900 Κ, β. Τ 00 Κ. Αέριο βρίσκεται σε δοχείο υπό πίεση 0at και θερµοκρασία 5 o C. Αν το µισό αέριο διαφύγει και η θερµοκρασία του ανυψωθεί στους 65 o C ποιά θα είναι η πίεση του αερίου στο δοχείο. π. 5,87 at.4 Μια ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί την µεταβολή που φαίνεται στο σχήµα. α. Ποιος νόµος περιγράφει κάθε µεταβολή β. Να παραστήσετε τη µεταβολή σε άξονες P V και V T γ. Μεγαλύτερος είναι ο όγκος στη θέση ή στη θέση Γ; Απ. γ. στη θέση Γ.5 Μια φυσαλλίδα αερίου, που βρίσκεται σε θερµική ισορροπία µε το νερό σε κάθε θέση, ανέρχεται από τον πυθµένα µιας λίµνης βάθους 4, και θερµοκρασίας 5 o C στην επι-
4. Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση φάνεια, όπου η θερµοκρασία του νερού είναι o C. Ποιος είναι ο λόγος των διαµέτρων της φυσαλλίδας στις δύο θέσεις. 5 N kg ίνονται P 0 0, g 0 s, ρ 0 Απ.,.6 Ένα κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο διατοµής S 0, 008 κλείνεται αεροστεγώς από ένα έµβολο εµβαδού µάζας 0kg, χωρίς τριβές. Ο κύλινδρος περιέχει n 0, ol ιδανικού αερίου θερµοκρασίας θ 7 C προσδιορίστε το ύψος h στο οποίο το έµβολο θα o ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του. 5 N ίνονται g 0, P s 0, 0 0, R 8, 4J/ol K. Απ. h0,66.7 Σε µια µεταβολή δεδοµένης ποσότητας ιδανικού αερίου, η πυκνότητά του παραµένει σταθερή και η αρχική πίεση του αερίου είναι,5at σε θερµοκρασία 7 o C. Να υπολογιστεί η πίεσή του όταν η θερµοκρασία του γίνει 7 o C. π. P at.8 ύο δοχεία µε όγκους 600L και 400L συνδέονται µε λεπτό σωλήνα αµελητέου όγκου που φέρει κλειστή στρόφιγγα. Τα δοχεία περιέχουν αέριο υπο πίεση at και at αντίστοιχα. Να βρεθεί η τελική πίεση στα δοχεία αν ανοίξουµε τη στρόφιγγα. Να θεωρήσετε οτι η θερµοκρασία παραµένει σταθερή. π. P,8 at.9 Ποσότητα n ol ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α και εκτελεί τις µεταβολές που φαίνονται στο R σχήµα. α. Να υπολογίσετε τις θερµοκρασίες στις καταστάσεις Α, Β, Γ β. Να βρείτε τις σχέσεις p ( T) σε κάθε µεταβολή. γ. Να βρείτε την µέγιστη θερµοκρασία στη διάρκεια των µεταβολών. π. α. T 00 K, Τ Β 400 Κ, Τ Γ 400 Κ, γ. Τ ax 450 K
Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση 5. ΤO ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Κυλινδρικό δοχείο κλείνεται στο ένα άκρο του µε έµβολο που κινείται χωρίς τριβές. Το δοχείο βρίσκεται σε µια µεγάλη δεξαµενή νερού σε οριζόντια θέση και σε βάθος h 0. Το δοχείο περιέχει ιδανικό αέριο θερµοκρασίας 7 o C, έχει εµβαδόν διατοµής S 5 0 και ισορροπεί στη θέση όπου το µήκος του τµήµατος του κυλίνδρου που περιέχει το αέριο είναι x 0,. α. Με τη βοήθεια θερµοδοχείου το αέριο αρχίζει να εκτονώνεται σιγά-σιγά καθώς θερµαίνεται µέχρι το έµβολο να µετατοπιστεί κατά x 0,. β. Ακολούθως κρατώντας συνεχώς σταθερό το έµβολο και οριζόντιο τον κύλινδρο, το ανεβάζουµε στην επιφάνεια, όπου µε την βοήθεια ψυχροδοχείο, ψύχουµε το αέριο µέχρι να 5 N αποκτήσει πίεση ίση µε την ατµοσφαιρική P 0 0 γ. Στη συνέχεια αφήνουµε το έµβολο και ψύχουµε το αέριο µέχρι να αποκτήσει τον αρχικό όγκο. δ. Τέλος κρατώντας πάλι σταθερό το έµβολο θερµαίνουµε το αέριο µέχρι τις αρχικές συνθήκες. i. ποιές µεταβολές υφίσταται το αέριο, γράψτε τους αντίστοιχους νόµους των αερίων, ii. υπολογίστε τα P,V,T σε κάθε θέση, iii. κάντε τα διαγράµµατα P V, P T, V T. ίνεται P 5 0 N 0, Κg ρ H O 0, g 0 s. Λύση i. Αρχικά επειδή βρίσκεται σε µεγάλη δεξαµενή είναι T σταθ. Ισχύει ο Ν. Boyle: P V P V () B B Ακολούθως επειδή κρατάµε σταθερό το έµβολο είναι P P T T B B Γ Γ () V σταθ. Ισχύει ο Ν. Charles: Στη συνέχεια επειδή η εσωτερική πίεση του αερίου είναι ίση µε την εξωτερική (ατµοσφαιρική) συνεχώς είναι P σταθ. Ισχύει ο Ν. Gay - Lussac: () V Γ V Τ Τ Τέλος επειδή κρατάµε πάλι σταθερό το έµβολο είναι P P Τ T () 4 ii. Κατάσταση Α: T ( 7 + 7) K 00K, V S x 0 P P + h ρ 0 HO 5 N g 0 Γ V σταθ. Ισχύει ο Ν. Charles:
6. Νόµοι αερίων - Καταστατική εξίσωση Κατάσταση Β: V B S( x + x ), 5, TB T 00K, 0 P V 4 Ν. Boyle () 0 5 N PB V B iii. Κατάσταση Γ: V V, 5 0 Γ B P Γ 5 N P 0 0 5 N P Τ 0 00K Γ Β Ν. Charles: () Τ Γ 5K P 4 N B 5 0 Κατάσταση : P 5 N Γ P P 0 0 V V 0 Τ V Ν. Gay-Lussac: Γ 5K 0 () Τ T 50Κ V, 5 0 Γ