Μεζνδνινγία επίιπζεο αζθήζεωλ ακείσησλ κεραληθώλ ηαιαληώζεωλ Α. H ηππηθή άζθεζε Μηα ηππηθή άζθεζε κεραληθώλ ηαιαληώζεσλ (ρσξίο θόιπα), μεθηλάεη κε δεδνκέλo όηη ην είδνο ηεο θίλεζεο είλαη ΓΑΣ θαη κία από ηηο εμηζώζεηο ηεο π.ρ. Δίλεηαη ε εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο κηαο ΓΑΣ: U = 0,4π ζπλ(10πt+π/3) {ζην SI} Από ηελ νπνία πξνθύπηνπλ εύθνια πιάηνο, πεξίνδνο θαη αξρηθή θάζε. Β Παξαιιαγέο ζηα δεδνκέλα : 1. Αληί γηα ηε ζπλάξηεζε κπνξεί λα δίλεηαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε, από ηελ νπνία πξνθύπηνπλ εκθαλώο ην πιάηνο θαη ε πεξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο. 2. Αληί λα δίλεηαη μεθάζαξα ην πιάηνο (Α) ηεο ηαιάλησζεο: α. Δίλεηαη ε απόζηαζε κεηαμύ ησλ δύν άθξσλ d = 8 cm, άξα Α = d/2 = 4 cm β. Δίλεηαη ε αξρηθή κεηαηόπηζε πνπ έρσ πξνθαιέζεη ζην ζώκα πνπ ηαιαληώλεηαη. Απηό είλαη θαη ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο (κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη δελ ππάξρεη αξρηθή ηαρύηεηα (δειαδή γηα t =0 έρσ U=0). γ. Δίλεηαη ην έξγν πνπ δαπαλήζεθε γηα ηελ παξακόξθσζε ηνπ ειαηεξίνπ, άξα θαη ε (νιηθή) ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο, νπόηε ππνινγίδσ ην πιάηνο από ηε ζρέζε : Ε = ½ DΑ 2 3. Αληί λα δίλεηαη ε ζηαζεξά (θ) ηνπ ειαηεξίνπ, δίλεηαη ε παξακόξθσζε πνπ πθίζηαηαη ην ειαηήξην γηα νξηζκέλε δύλακε. ειαηήξην πθίζηαηαη παξακόξθσζε 10cm κε εμσηεξηθή δύλακε 0,016Ν είλαη F=kρ άξα k= F/ρ = 0,016Ν/0,10m = 0,16N/m 4. Αληί λα δίλεηαη ε ζλόηεηα, δίλεηαη ν αξηζκόο ησλ αησξήζεσλ κέζα ζε νξηζκέλν ρξόλν. 30 αησξήζεηο ζε 1 ιεπηό ζεκαίλεη f = N/t =30/60 = 0,5Hz Γ. Σα ηππηθά δεηνύκελα 1. ζηαζεξέο Πνηά ε ζλόηεηα, ε πεξίνδνο, ε θπθιηθή ζλόηεηα, ε ζηαζεξά επαλαθνξάο, ην πιάηνο θαη ε (νιηθή) ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο. 2. κέγηζηεο ηηκέο Να ππνινγίζεηο ηε κέγηζηε ηηκή ελόο κεγέζνπο ηεο ηαιάλησζεο ηεο ηαρύηεηαο ή ηεο επηηάρπλζεο.
3. εμηζώζεηο άιισλ κεγεζώλ θαη νη γξαθηθέο ηνπο παξαζηάζεηο Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο δύλακεο επαλαθνξάο ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ (ή ζπλαξηήζεη ηεο απνκάθξπλζεο) θαη λα ηελ παξαζηήζεηε γξαθηθά. Πξνζνρή ζηε κεηαηόπηζε ηνπ θαηαθόξπθνπ άμνλα ιόγσ αξρηθήο θάζεο. 4. ρξνληθή ζηηγκή ( t 1 = ; ) πνπ έλα κέγεζνο ηεο ηαιάλησζεο (όπσο ε ζέζε, ε ηαρύηεηα, ε δπλακηθή ελέξγεηα θιπ) έρεη νξηζκέλε ηηκή, γηα 1 ε ή λ-νζηή θνξά. πόηε παίξλεη γηα 3 ε θνξά ε ηαρύηεηα ηελ ηηκή U = +2m/s. 5. ζέζε (x =;) Όηαλ δίλεηαη ε ρξνληθή ζηηγκή ή ε ηηκή ελόο άιινπ κεγέζνπο πνύ βξίζθεηαη ε ζθαίξα όηαλ ε ηαρύηεηα παίξλεη ηελ ηηκή U = 2m/s ( πνηά είλαη ε ηαρύηεηα ηεο ζθαίξαο ηε ζηηγκή πνπ πεξλάεη από ηε ζέζε Χ = +Α/2, θηλνύκελε πξνο ηα θάησ; ). 6. ζηηγκηαία ηηκή ελόο κεγέζνπο γηα κηα ζπγθεθξηκέλε ρξνληθή ζηηγκή t 1 ή ζε ζπγθεθξηκέλε ζέζε a. πνηό είλαη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηε ζηηγκή Σ/12 ; b. πνηά ε ηηκή ηεο επηηάρπλζεο ζηε ζέζε x=α/2 ; c. πνηά ε ηηκή ηεο δπλακηθήο ελέξγεηαο όηαλ ε ηαρύηεηα είλαη u = u max /2 ; Γ. Σα πην οχωρημένα δεηνύκελα 1. ιόγνο (δύν νκνεηδώλ κεγεζώλ) λα ππνινγηζηεί ν ιόγνο ηεο θηλεηηθήο πξνο ηε δπλακηθή ελέξγεηα ζηε ζέζε ρ = Α/3 K+U = E άξα K/U = E-U /U = E/U -1 = ½ DA 2 / ½ DΧ 2-1 = (Α/ρ) 2-1 = 8 Πξνζνρή: ν ιόγνο δύν νκνεηδώλ κεγεζώλ είλαη θαζαξόο αξηζκόο 2. κεηαβνιή Θέιεη κεγάιε πξνζνρή αλ κηιάκε γηα κνλόκεηξν ή δηαλπζκαηηθό κέγεζνο a. αύμεζε ή ειάηησζε ΓΑ = A ηει A αξρ
b. ε ζρεηηθή κεηαβνιή (είλαη θαζαξόο αξηζκόο 2) ΓΑ/Α αξρ = U ηει / Uαξρ - 1 c. ε πνζνζηηαία ή επί ηνηο εθαηό κεηαβνιή είλαη δεθαδηθόο αξηζκόο ΓΑ.100% / Α αξρ δηαλπζκαηηθά κεγέζε πξόζζεζε αθαίξεζε 1 νο ηξόπνο (δηαδνρηθά) 2 νο ηξόπνο (ζπγγξακηθά) ρεκαηίδσ ην αληίζεην ηνπ b θαη ην πξνζζέησ κε ην a. (a - b) = a + ( - b ) Ελώλσ ηηο αξρέο ηνπο θαη θέξσ ηελ δηαγώλην από ην πέξαο ηνπ β ζην πέξαο ηνπ α. -b (a-b) a -b b 3. ξπζκόο κεηαβνιήο a. κέζνο ξπζκόο κεηαβνιήο (Δt κεγάιν) γηα νξηζκέλε ρξνληθή δηάξθεηα ΓΑ/Γt = A ηει A αξρ / t 2 t 1 b. ζηηγκηαίνο ξπζκόο κεηαβνιήο (Δt 0) ζε νξηζκέλε ρξνληθή ζηηγκή ή ζέζε da/dt = (A) ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζέζεο θάπνηα ρξνληθή ζηηγκή t 1, δελ είλαη άιινο από ηελ ηαρύηεηα ηε ρξνληθή ζηηγκή απηή ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο είλαη ε επηηάρπλζε
ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο νξκήο είλαη ε δύλακε {2 νο λόκνο ηνπ Νεύησλα : F = dρ/dt } ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ελέξγεηαο είλαη ε ηζρύο {P = de/dt = dw F /dt = Fdρ/dt = F.U } θαη ιίγεο παξάγσγνη Η ηαρύηεηα είλαη ε 1 ε παξάγσγνο ηεο κεηαηόπηζεο. u = dρ/dt = (ρ) Η επηηάρπλζε είλαη ε 1 ε παξάγσγνο ηεο ηαρύηεηαο, άξα 2ε παξάγσγνο ηεο κεηαηόπηζεο: α = du/dt = (u) ή α = (u) = d 2 x/dt 2 Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο δπλακηθήο ελέξγεηαο, είλαη θάζε ζηηγκή αληίζεηνο από ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο. K + U = E = ζηαζ. παξαγσγίδνληαο έρσ: dk/dt + du/dt = 0 άξα dk/dt = -du/dt c. κέγηζηνο ξπζκόο κεηαβνιήο dk/dt = (K) = {½ mu 2 } = ½ m.2u.(u) = m.u.α = mα.u = F.U ή dk/dt = m.(σαζπλσt).(-σ 2 Αεκσt) = -½ mσ 2.σΑ 2.εκ2σt = -½ DσA 2 εκ2σt = = -σ½ DA 2 εκ2σt = -σε εκ2σt θαη εθόζνλ ε κέγηζηε ηηκή ηνπ εκηηόλνπ είλαη 1, (dk/dt) max = -ωδ du/dt = (U) = (½Dx 2 ) = ½D.2x. (x) = D.x.U = D.(Aεκσt).(σΑζπλσt) = = ½DA 2.σ.εκ2σt = Ε σ.εκ2σt θαη εθόζνλ ε κέγηζηε ηηκή ηνπ εκηηόλνπ είλαη 1, (du/dt) max = ωδ Γ. Γπλακηθή ηεο ηαιάληωζεο λα δείμεηο όηη ε θίλεζε είλαη ΓΑΤ
ώκα κάδαο m ζπλδέεηαη κε ην ειεύζεξν άθξν νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ, πνπ ην άιιν άθξν ηνπ είλαη αθιόλεην. Αλ ζεσξήζνπκε ακειεηέεο ηξηβέο θαη αληηζηάζεηο, λα δείμεηε όηη ην ζύζηεκα (αξκνληθόο ηαιαλησηήο) εθηειεί ΓΑΣ. Παξαιιαγέο: 1. Καηαθόξπθν ειαηήξην κε ην αθιόλεην ζεκείν α) ζηελ νξνθή θαη β) ζην έδαθνο. 2. Ειαηήξην ζε θεθιηκέλν επίπεδν, θιίζεο θ. 3. Δύν ειαηήξηα ζε ζεηξά. (F 1 = F 2 ) k νι = k 1 k 2 / k 1 +k 2 4. Δύν ειαηήξηα παξάιιεια. (Χ 1 = Χ 2 k νι = k 1 + k 2 Δ 2. Απιό (καζεκαηηθό) εθθξεκέο εθηειεί αησξήζεηο κηθξνύ πιάηνπο. Να δείμεηε όηη ε θίλεζε ηνπ είλαη ΓΑΣ. Η κηθξή ζθαίξα ηνπ εθθξεκνύο είλαη κεηαιιηθή θαη από θάησ ηεο ζε ζηαζεξή απόζηαζε ηνπνζεηνύκε καγλήηε. Αλ ε πεξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο δηπιαζηαζηεί, λα ππνινγίζεηε ηε (ζηαζεξή) δύλακε πνπ αζθεί ν καγλήηεο ζηε ζθαίξα. Δ 3. Αλ ε κεηαιιηθή ζθαίξα είλαη θνξηηζκέλε κε ειεθηξηθό θνξηίν +Q θαη ε θίλεζε γίλεηαη κέζα ζε θαηαθόξπθν νκνγελέο ειεθηξηθό πεδίν έληαζεο E, λα ππνινγίζεηε ηελ λέα πεξίνδν ηεο ηαιάλησζεο, αλ ε θνξά ηεο έληαζεο είλαη α) κε θνξά πξνο ηα θάησ θαη β) κε θνξά πξνο ηα πάλσ. Δ 4. Μηθξή ζθαίξα κάδαο m θαη θνξηηζκέλε κε ειεθηξηθό θνξηίν +q, ηζνξξνπεί κεηαμύ δύν ειεθηξηθώλ θνξηίσλ Q 1 θαη Q 2, πνπ είλαη αθίλεηα ζε ζηαζεξή απόζηαζε d. Αλ εθηξέςνπκε ηε ζθαίξα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηεο θαη ζεσξήζνπκε πσο ε θίλεζε ηεο γίλεηαη εθηόο αηκόζθαηξαο θαη πεδίνπ βαξύηεηαο. Δ 5. Οκνγελήο κεηαιιηθόο θύιηλδξνο εκβαδνύ βάζεο S θαη ύςνπο h, πνπ εμαξηάηαη από ην έλα άθξν θαηαθόξπθνπ ειαηεξίνπ ζθιεξόηεηαο k, πνπ ην άιιν ηνπ άθξν είλαη αθιόλεην, ηζνξξνπεί θαηαθόξπθα βπζηζκέλνο ελ κέξεη ζε πγξό εηδηθνύ βάξνπο ε π. Ο θύιηλδξνο εθηξέπεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαηά ρ πξνο ηα θάησ. Δ 6. ε επζύγξακκν δξόκν κε παξάιιειεο ηζαπέρνπζεο εμνρέο πνπ απέρνπλ θαηά d ε κηα από ηελ άιιε, θηλείηαη δίηξνρν πνδήιαην ζπλνιηθήο κάδαο (καδί κε ηνλ αλαβάηε ηνπ) m κε ζηαζεξή ηαρύηεηα, θάζεηε ζηε δηεύζπλζε ησλ εμνρώλ. Αλ ε ζπκπίεζε ηνπ ειαηεξίνπ (ακνξηηζέξ) θάζε ηξνρνύ είλαη α γηα θάζε Kg βάξνπο πνπ δέρεηαη, λα ππνινγίζηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ πνδειάηνπ, έηζη ώζηε λα επηηεζεί ζπληνληζκόο. (Ολςμπιάδα Φςζικήρ ζηην Πολωνία) Δ 7. Μηθξή ζθαίξα κάδαο m αθήλεηαη ειεύζεξε από ην έλα ζηόκην Κ επζύγξακκεο ζήξαγγαο, πνπ ζπκπίπηεη κε κηα δηάκεηξν ΚΛ ηεο γεο. Θεσξήζηε ηε γε ζαλ αθίλεηε ζηεξεά, νκνγελή ζθαίξα αθηίλαο R Γ θαη ππθλόηεηαο ξ θαη ηε ζθαίξα m λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο, ζε θελό αέξα. (ΕΜΠ Σσολή Μησανολόγων, 1959) Δ 10. Σν ίδην κε ηελ πξνεγνύκελε, αιιά κε ηε ζήξαγγα λα ζρεκαηίδεη ηώξα γσλία θ κε ηε δηάκεηξν ηεο γεο.
Δ 11. Οκνγελήο παξαιιειεπίπεδε ζαλίδα βάξνπο w θαη κήθνπο l ηζνξξνπεί πάλσ ζε δύν κηθξνύο ηξνρνύο πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο θαηά d θαη πεξηζηξέθνληαη αληίξξνπα κε ζηαζεξή γσληαθή ηαρύηεηα ω, όπσο ζην ζρήκα. Η ζαλίδα εθηξέπεηαη θαηά ρ πξνο ηα αξηζηεξά. ςποδείξειρ: Θεωπήζηε ζαν δεδομένα ηα μεγέθη πος δίνονηαι με bold όπωρ και ηην επιηάσςνζη ηηρ βαπύηηηαρ g. 1. ρξεζηκνπνηήζηε ηνλ λόκν ηεο παγθόζκηαο έιμεο ηνπ Νεύησλα. 2. ν όγθνο ζθαίξαο είλαη V ζθ = πr 3, ελώ ε ππθλόηεηα ξ = m/v 3. ε ειθηηθή δύλακε ηεο γεο ζηε ζθαίξα m (ην βάξνο ηεο) ζε βάζνο h, νθείιεηαη ζηε ζθαίξα αθηίλαο (R-h) 4. ε δύλακε πνπ αζθεί θάζε ηξνρόο ζηε ζαλίδα είλαη ε ηξηβή νιίζζεζεο: Σ = κν 5. νη θάζεηεο αληηδξάζεηο ησλ ηξνρώλ ζηε ζαλίδα ππνινγίδνληαη ζπλαξηήζεη ηνπ βάξνπο ηεο, κε ην ζεώξεκα ησλ ξνπώλ σο πξνο θάπνην ραξαθηεξηζηηθό ζεκείν (Μ Κ = 0).